F4 SÍLA, PRÁCE, ENERGIE A HYBNOST Evroský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
F4 SÍLA, PRÁCE, ENERGIE A HYBNOST Prvními velmi důležitými ojmy jsou mechanická ráce a otenciální energie Pojďme si nyní tyto ojmy zavést, nejde o nic složitéhoequation Chater (Next) Section 1 Mechanická ráce Na základní škole jste mechanickou ráci cháali jako součin síly ůsobící na těleso a uražené dráhy: A Fl; A = J = Nm (41) Takto jednoduchý vztah latí, okud je síla konstantní a míří ve směru ohybu tělesa Mechanickou ráci měříme v joulech, jde o součin newtonu a metru Na střední škole jste již řiustili, že síla nemusí mířit ve směru ohybu tělesa, výsledný vztah vyadal takto: A Flcos (4) Síla je oět konstantní, ale směr jejích ůsobení svírá se směrem ohybu úhel a Pokud je úhel nulový, získáme ředchozí vztah, okud je 90, tedy síla ůsobí kolmo na dráhu, ráce se nekoná Pokud budeme sílu a dráhu cháat jako vektory, je výraz (4) součinem velikosti jednoho vektoru, velikosti druhého vektoru a kosinem sevřeného úhlu, tedy nejde o nic jiného než o skalární součin: AFl F l F l F l (43) x x y y z z Uvažujme nyní nejobecnější říklad, kdy se těleso ohybuje o obecné křivce a síla mění jak svůj směr, tak svou velikost Na malém úseku dráhy, který je možný ovažovat za rovný, se vykoná mechanická ráce A Flcos Fl F xf yf z (44) x y z Takový vztah je samozřejmě jen řibližný Přesný bude, okud element zvolené dráhy bude infinitezimálně malý, tedy da Fdlcos Fdl F dxf dyf d z (45) x y z Celkovou vykonanou mechanickou ráci získáme integrací odél celé křivky γ: A Fdl F dxf dyf d z (46) x y z F4-
Takový integrál se v matematice nazývá křivkový integrál druhého druhu Nelekejte se, že obsahuje tři diferenciály Výočet není nijak složitý, okud máte křivku zadánu arametricky V mechanice může být arametrem naříklad čas Ukažme si výočet na jednoduchém, říkladu vodorovného vrhu (ostuně se na tomto říkladu učíme všechny nové věci, takže si ravděodobně rovnice ro vodorovný vrh už amatujete: x v0t, 1 y H gt (47) Tyto rovnice jsou arametrickým zadáním araboly, o které se těleso ohybuje Jde o naši křivku γ, na které budeme očítat mechanickou ráci Povšimněte si, že úhel mezi ůsobící silou (tíží) a směrem ohybu se místo od místa mění Diferenciály křivky otřebné do integrace (46) snadno získáme ze vztahu (47): Působící silou je tíže d l (d x,d y) ( v d t, gtd t) (48) 0 F ( F, F ) (0, mg) (49) x y Nyní již snadno sestavíme otřebný integrál ro výočet mechanické ráce vykonané mezi body A a B: tb tb x y 0 ta ta A Fdl F dxf dy 0v d t( mg)( gt)dt mg tdt (410) V obecnějším říadě by byl nenulový i rvní sčítanec a integrál by mohl obsahovat i řísěvek v ose z Povšimněte si, že z ůvodních tří diferenciálů zůstane o dosazení křivky jeden jediný, a to diferenciál času Integrál se tak stane běžným určitým integrálem Integrace je nyní snadná (t A = 0) t B A mg t / mg t B / 0 (411) Čas doadu snadno zjistíme z rovnice (47), dosadíme-li y = 0: t B H (41) g Pro vykonanou ráci máme F4-3 Amg t / mgh (413) B
Zaamatujte si: Mechanická ráce je integrálem A Fdl F dxf dyf d z x y z Integrál se očítá o křivce, o níž se ohybuje těleso Křivku zadáme arametricky, vyočteme diferenciály dx, dy, dz, a tím řevedeme integraci na standardní integrál s určitými mezemi Potenciální energie a síla Mechanická ráce se zravidla koná na úkor otenciální energie tělesa, kterou roto můžeme definovat takto dw daf dxf dy F dz (414) x y z Sama otenciální energie je funkcí olohy, a tak její diferenciál můžeme vyjádřit jako W W W dw dx dy dz x y z (415) Porovnáním obou osledních výrazů získáme důležitý vztah mezi silou a otenciální energií: F F F x y z W x W y W z,, (416) Sílu získáme jako záorně vzaté arciální derivace otenciální energie Tento záis se často zkracuje, možností záisu je několik: W F grad W W (417) r Všechny záisy jsou jen zkratkou ůvodních tří rovnic (416) Oerace se nazývá gradient, symbolu obráceného ísmene delta říkáme nabla Název zavedl skotský matematický fyzik Peter Guthrie Tait (1831 1901) odle trojúhelníkového tvaru asyrské harfy ze 7 století ř n l Asýrie byla v severní Mezootámii Slovo nabla (Nbl) je z aramejštiny, která ho uravila z hebrejského Nev(b)el Stejný nástroj už ale znali Sumerové v období 3 100 ř n l James Clerk Maxwell razil ro tento oerátor název sloe z anglického slova znamenajícího sád či sklon Návrh Taita ale zvítězil Oerace ůsobí na skalární funkci a jejím výsledkem je vektor f f f f,, (418) x y z Takový vektor míří k maximu funkce f Vztah (417) je tedy jen matematickým vyjádřením faktu, že síla vždy míří k minimu otenciální energie F4-4
Poznámky: To, že síla míří do minima otenciální energie, nám umožní určit srávné znaménko otenciální energie, okud váháme Naříklad, je-li osa y orientována svisle vzhůru, z možných znamének otenciální energie ±mgy musíme vybrat znaménko +, jinak by síla ůsobila směrem vzhůru V okolí minima otenciální energie můžeme očekávat kmitavý ohyb, neboť síla vždy míří do minima, těleso setrvačností minimum rolétne a začne na něho ůsobit vratná síla Pokud má minimum arabolický růběh, hovoříme o harmonických oscilacích Potenciální energie nemusí k danému silovému oli vždy existovat Jinými slovy nemusí se nám odařit nalézt takovou funkci, aby síla byla jejím záorně vzatým gradientem Silové ole, ro které existuje otenciální energie, nazýváme konzervativní silové ole (atří sem naříklad tíže, gravitace, elektrostatické ole) Naoak tření není konzervativní silou Pro konzervativní ole je integrál ze síly o určité křivce roven W W W Fdl W dl dx dy dz x y z B d W W ( A) W ( B) A a je tedy závislý jen na jejím koncovém a očátečním bodě Integrál o uzavřené křivce je nulový (419) Vždy je výhodnější si amatovat jednu veličinu (otenciální energii) než všechny tři složky síly Z otenciální energie je snadno můžeme zrekonstruovat jako záorně vzatý gradient otenciální energie Zaamatujte si: Konzervativním silovým olem nazýváme takové ole, ro které existuje otenciální energie a sílu lze vyjádřit jako záorně vzatý gradient otenciální energie Síla míří vždy do minima otenciální energie, tj F W V okolí minima otenciální energie vykonává soustava kmitavý ohyb Mechanická ráce v konzervativním oli závisí jen na koncovém a očátečním bodě, nikoli na tvaru křivky Příklad 41 Zadání: Nalezněte sílu k otenciální tíhové otenciální energii dané ředisem W = mgy Řešení: Síla je minus gradientem, tedy Křivkové integrály F4-5 W W W F W,, (0, mg,0) (40) x y z Představme si, že máme arametricky zadánu nějakou křivku γ: x xt (), y yt () (41) z z() t Parametrem může být čas nebo nějaká jiná roměnná Vektorovým elementem křivky nazveme její diferenciály
dx dy dz dx dy dz d l (d x,d y,d z) d t, d t, d t,, dt (4) dt dt dt dt dt dt Skalárním elementem nazveme výraz dx dy dz dl dld l = dx dy dz dt (43) dt dt dt Křivkovým integrálem rvního druhu otom nazveme integraci skalární funkce řes skalární element: I f l (44) 1 d Tento ty integrálu můžeme využít k výočtu hmotnosti drátu (f je ak délkovou hustotou) nebo k výočtu délky křivky (f = 1) Křivkovým integrálem druhého druhu nazveme integrál z vektorové funkce řes vektorový element: I F dl (45) Příkladem může být výočet mechanické ráce, který jsme se řed chvílí naučili Příklad 4 Zadání: Nalezněte obvod kružnice Řešení: Kružnici zadáme arametricky x Rcos, y Rsin ; 0, ) Nyní nalezneme vektorový a skalární element: d l (d x,d y) ( Rsin, Rcos )d ; dl dx dy R sin R cos d Rd Obvod kružnice sočteme jako křivkový integrál rvního druhu: o= dl Rd R d R 0 0 0 Zaamatujte si: Pokud chceme očítat křivkové integrály, musíme mít křivku zadanou arametricky Pro křivku najdeme vektorový element dl = (dx, dy, dz) a skalární element dl = (dx +dy +dz ) 1/ Integrál rvního druhu je integrál ze skalární funkce a skalárního elementu Integrál druhého druhu je integrál ze skalárního součinu vektorové funkce a vektorového elementu F4-6
Zákon zachování hybnosti V roce 1916 řišla německo-americká matematička Emmy Noether (188 1935) na zcela novou myšlenku Matematicky dokázala, že každá zachovávající se veličina souvisí se symetriemi v řírodě Zákon zachování energie, hybnosti a momentu hybnosti jsou jen důsledky určitých symetrií Jak si ředstavit symetrii v řírodě? V matematice je to snadné Pokud otočíme čtverec kolem kolmé osy o 90, řejde sám v sebe V řírodě nám jde o symetrie ři konání exerimentů Představme si, že máme v nějaké skříňce sadu fyzikálních exerimentů, které budou testovat různé situace Budou tam kyvadélka zastuující gravitační interakci, lasery a zrcadla testující elektromagnetickou interakci, beta zářič testující slabou interakci a třeba miniaturní atomový reaktor testující jaderné síly A s tímto řístrojem budeme konat naše exerimenty Symetrií nazveme takovou oeraci, o které bude celá aaratura i nadále fungovat stejně Naříklad můžeme řístroj odsunout vodorovně o jeden metr a na jeho funkčnost by to nemělo mít vliv Stejná symetrie ale nelatí vůči svislému osunutí Přístroj se dostane výše, tedy do jiné gravitace a bude fungovat jinak Zkusme nejrve ředokládat, že ři osunutí ve vodorovném směru x bude řístroj nadále fungovat stejně jako ředtím Potenciální energie může být obecně funkcí času a olohy: F4-7 W W (, t x, y, z ) (46) Pokud se řístroj o osunutí v ose x má chovat stejně, nesmí se ve směru x měnit otenciální energie, tedy W nebude záviset na roměnné x Matematickým vyjádřením je W W W (, t y, z) 0 x Pohybová rovnice ro x-ovou složku bude mít nulovou ravou stranu: (47) W mx mx 0 mx const x Na očátku byla symetrie vzhledem k osunutí, na konci výočtu je zachovávající se veličina Nazýváme ji hybnost Obdobnou úvahou můžeme zavést hybnost ve všech třech osách: x mv x, y mv y, (48) mv z z
Jednotlivé složky se zachovávají jen, latí-li symetrie vzhledem k osunutí v daném směru Už jsme se zmínili, že ve svislém směru symetrie vzhledem k osunutí nelatí Nelatí roto ani zákon zachování svislé složky hybnosti Pokud budete držet v ruce kámen, bude mít nulovou hybnost Pak ho usťte Při doadu na zem má zjevně hybnost nenulovou Svislá složka hybnosti se nezachovává Relaci (48) můžeme zasat také vektorově: mv (49) Příklad 43 Zadání: Elektrickým vodičem rotéká konstantní elektrický roud a souřadnicová soustava je definována dle obrázku V okolí vodiče se nachází elektron Rozhodněte, které složky jeho hybnosti se zachovávají a které nikoli Řešení: Naším řístrojem je elektron, který se nachází v magnetickém oli vodiče Pokud elektron řesuneme ve směru osy x, nezmění se jeho vzdálenost od vodiče a nezmění se ani magnetické ole (okud je vodič nekonečný) Pro elektron bude situace stejná, ať se ohne ve směru osy x jakkoli Proto se zachovává složka hybnosti x Složky y a z se nezachovávají, neboť se elektron ři ohybu ve směru osy y nebo z dostává do různé vzdálenosti od vodiče a tedy do různě silného magnetického ole Pokud není hmotnost konstantní, je otázkou, kde se v ohybové rovnici má nacházet: m dv d( mv) F; nebo F (430) d t d t Pro konstantní hmotnost jsou obě vyjádření ekvivalentní Pokud se hmotnost mění (naříklad jde o kroící vůz nebo raketu, která sotřebovává alivo), je srávně (v souladu s řírodou) vyjádření druhé Pro roměnnou hmotnost má ohybová rovnice tvar Zaamatujte si: d dt F (431) Hybnost souvisí se symetrií vzhledem k rostorovému osunutí Hybnost je za omoci této symetrie definována jako = mv Daná složka hybnosti se zachovává jen tehdy, okud latí symetrie vzhledem k osunutí v tomto směru Jednoduchým vztahem = mv je hybnost definována v klasické mechanice konzervativních olí Ve složitějších situacích není hybnost definována tak jednoduše Pokud není hmotnost tělesa konstantní, je na levé straně ohybové rovnice časová změna hybnosti tělesa, tj latí d/dt = F F4-8
Zákon zachování energie Předokládejme nyní, že náš ekelný stroj nebudeme nikam osouvat, necháme ho na místě, ale zaneme ho nejrve v čase t 0 a oté o něco ozději, naříklad v čase t 0 +Δt Otázka je stejná Bude řístroj fungovat stejně nebo nikoli? Omezme se v našem odvození ro jednoduchost na jednu jedinou rostorovou dimenzi, tj W = W (t, x) Pohybová rovnice ro sledované mechanické děje bude m dv W d t x (43) Pokud latí výchozí symetrie, tj exeriment suštěný o něco ozději doadne stejně, nemůže otenciální energie záviset na čase exlicitně, tj v našem říadě bude funkcí jediné roměnné x a arciální derivace se změní v úlnou: m dv dw d t d x (433) Přesuňme nyní diferenciál dx z ravé strany rovnosti na levou (zacházíme s ním jako s malým řírůstkem): dv m d x d W dt (434) Na levé straně si ovšimněme diferenciálu dx v čitateli a dt ve jmenovateli Solu dají rychlost, tj budeme mít Obě strany snadno integrujeme: mvdv d W (435) mv W const (436) Po řevedení otenciální energie na levou stranu dostáváme zákon zachování energie mv W const (437) Situace se oakuje, ředokládali jsme existenci nějaké symetrie (v tomto říadě symetrie vzhledem k časovému osunutí) a získali jsem zákon zachování, tentokrát energie Energie je touto symetrií definována Má kinetickou (½ mv ) a otenciální (W ) část Zákon zachování energie latí, okud latí symetrie vzhledem k osunutí v čase F4-9
Příklad 44: Zachovává se energie kyvadla zavěšeného na závěsu? Řešení: Sustíme-li kyvadlo nyní, bude se nějak ohybovat Pokud exeriment zoakujeme o ěti minutách, doadne stejně Situace je symetrická vzhledem k osunutí v čase, a roto se energie kyvadla zachovává Příklad 45: Zachovává se energie balíku zavěšeného na jeřábu, který omalu navíjí lano? Řešení: Rozkýveme-li balík nyní, bude se nějak ohybovat Pokud exeriment zoakujeme o ěti minutách, bude mít lano jinou délku a balík se bude kývat jinak Situace není symetrická vzhledem k osunutí v čase, a roto se energie balíku nezachovává Příčina je zjevná, je zde řítomen motor, který zůsobuje narušení zákona zachování energie balíku Příklad 46: Zachovává se energie elektronu v okolí vodiče rotékaného konstantním elektrickým roudem? Řešení: Nastřelíme-li elektron do magnetického ole vodiče nyní, bude se ohybovat určitým zůsobem Učiníme-li exeriment o něco ozději, doadne stejně, neboť se magnetické ole nezmění Energie elektronu se bude zachovávat Příklad 47: Zachovává se energie elektronu v okolí vodiče rotékaného roměnným elektrickým roudem? Řešení: Nastřelíme-li elektron do magnetického ole vodiče nyní, bude se ohybovat určitým zůsobem Učiníme-li exeriment o něco ozději, doadne jinak, neboť se magnetické ole změnilo Situace není symetrická vzhledem k osunutí v čase a energie elektronu se nebude zachovávat Příklad 48: Zachovává se celková energie ve vesmíru? Řešení: Vesmír exanduje zrychlenou exanzí a situace zjevně není symetrická vůči osunutí v čase Celková energie ve vesmíru se roto nezachovává Zaamatujte si: Energie je v jednoduchých mechanických systémech součtem kinetické a otenciální energie Ve třech dimenzích je kinetická energie dána vztahem W k = ½ m(v x +v y +v z ) Energie se zachovává jen tehdy, latí-li symetrie vzhledem k osunutí v čase F4-10