.9. Logaritmiká funke II Předpoklady: 9 Logaritmus se základem nazýváme dekadiký logaritmus a místo log píšeme pouze log pokud v zápisu logaritmu hybí základ, předpokládáme, že základem je číslo (logaritmus bez základu nemá smysl). Př. : Urči hodnoty logaritmů: a) log b) log ) log d) 5 log a) log = b) log = ) log = 6 d) 5 log = 5 Pedagogiká poznámka: Základ je vynehán pouze u dvou posledníh logaritmů zela záměrně. Určitě se pokaždé najde někdo, kdo nebude vědět, o má dělat. Mezi čísly a je obrovský rozdíl: Číslo je krát větší než číslo. Číslo je o 99999 větší než číslo. Logaritmy čísel a se liší pouze o 5. Zatímo eponeniální funke je nejryhleji rostouí funkí, logaritmus roste ze všeh funkí nejpomaleji a kvůli této vlastnosti se často používá. Logaritmus známe z hemie: ph je definována jako absolutního hodnota dekadikého logaritmu (logaritmu o základu ) konentrae iontu H O v roztoku. Proč? Př. : Doplň tabulku: konentrae HO v eponeniálním tvaru konentrae HO desetinným číslem ph 5 7 = : 7 = : log = = konentrae HO v eponeniálním tvaru konentrae HO desetinným číslem 7 log = 7 = 7 5 = : = : 5 log = 5 = 5 log = = 5 7,,,,
ph 5 7 Logaritmus používaný při výpočtu ph elegantně zobrazil obrovský rozsah konentraí na čísla od do (kdybyhom psali místo ph konentrae ve tvaru desetinnýh čísel, unulovali byhom se k smrti). Podobným způsobem jako u ph se logaritmů používá k zahyení intenzit zvuku. Obrovský - - rozsah slyšitelnýh zvuků ( W m až W m ) se zahyuje pomoí logaritmiké stupnie deibelů. Pokud se hladina zvuku zvýší ze 9 na deibelů, energie, kterou zvuk přenáší, vzrostla krát. Logaritmiká stupnie na ose grafu se používá, když heme zobrazit obrovský rozsah hodnot. Příklad je na obrázku. Horní stupnie je klasiká, dolní logaritmiká. Na dolní stupnii je zajímavé, že vzdálenost mezi čísly = a = (na normální stupnii je vzdálenost 9) je stejná jako vzdálenost mezi čísly = a = (na normální stupnii je vzdálenost 9). Vzdálenosti čísel na spodní ose totiž odpovídají rozdílu jejih logaritmů. Proto jsou všehny sousední moniny deseti vzdálené o jedna (hodnoty jejih logaritmů se liší i jedna.). Pomoí barev je vyznačeno, jak se jednotlivé části normální osy zobrazují na osu logaritmikou. Čím víe vpravo se podíváme, tím víe logaritmiká osa vzdálenosti zkrauje, naopak na levém koni obrázku čím dál víe vzdálenosti zvětšuje. Oranžová část normální osy začíná až m nalevo od obrazovky a končí ve vzdálenosti m (při % zobrazení na monitoru). 6 8 6 8-5 - - - 5 Př. : Pomoí vlastností logaritmikýh funkí porovnej čísla log 7 log. Obě srovnávaná čísla jsou logaritmy při základu. Funke y = log je rostouí. Platí tedy: log 7 < log, protože 7 <. Př. : Pomoí vlastností logaritmikýh funkí porovnej čísla logπ 8 log 8. 6 log 8 π, základ logaritmu je větší než, logπ je rostouí funke, 8 >, musí platit log 8 > log =. π 6 π log 8, základ logaritmu je menší než, log je klesajíí funke, 8 >, musí platit log 8 < log =. 6 6 6
Dáme obě nerovnosti dohromady: logπ 8 > > log 8. 6 Pedagogiká poznámka: Je samozřejmě možné, aby studenti na řešení příkladů použili grafy. Př. 5: Nakresli graf funke y ( ) Platí: y ( ) f ( ) = log =. Zvolíme. Vypočteme. = log. Nakreslíme funki y = f ( ) = log ( ). Nakreslíme funki y f ( ) ( ) = = log. - - - 6 Pedagogiká poznámka: V tomto okamžiku už mají studenti za sebou takové množství nakreslenýh grafů, že jejih pozornost značně polevuje a tak se objevuje překvapivé množství hyb. Například předhozí graf posouvají na špatnou stranu, u následujíího si nevšimnou, že absolutní hodnota se uplatňuje na hodnoty proměnné a ne na nakreslený graf funke atd. Ve všeh takovýh případeh je nutím, aby se vrátili k základním pravidlům a zkusili udělat obrázek znovu a opatrně. Př. 6: Nakresli graf funke y log ( ) Platí: y log ( ) f ( ) Zvolíme:. Vypočteme:. Vypočteme:. =. Nakreslíme funki y f ( ) log ( )
- - Př. 7: Nakresli graf funke y log ( ) Platí: y log ( ) f ( ) Zvolíme. Vypočteme. Vypočteme:. =. Nakreslíme funki y f ( ) log ( ) - - Pedagogiká poznámka: Hodinu je potřeba zorganizovat tak, aby alespoň jeden z následujííh příkladů studenti stihli. log Př. 8: Nakresli graf funke y =. Problém: Zdá se, že máme kreslit graf eponeniální funke, jenže přečíslování osy je nad naše síly zkusíme úpravu výrazu. log y = = (z definie logaritmu umoňujeme dvojku číslo, na které musíme umonit dvojku, aby vyšlo ). ;. Ještě musíme určit definiční obor: z počítáme logaritmus ( )
- - log Pedagogiká poznámka: S rovností y = = bývá často problém. Můžete zkusit i další metody: y = log, právě když y y log =. Dosadíme do rovnie za y = =. Další možností jsou množinové obrázky, na kterýh využijete inverzi obou funkí. Př. 9: Nakresli graf funke y = log. Problém: Zdá se, že máme kreslit graf logaritmiké funke, jenže se mění její základ zkusíme úpravu výrazu. y = log = (z definie logaritmu hledáme číslo, na které musíme umonit, aby vyšlo ) Ještě musíme určit definiční obor: ;, z počítáme logaritmus ( ) je základ logaritmu ( ; ) { }. D ( f ) = ( ; ) { } - - Pedagogiká poznámka: Oba předhozí příklady jsou důležité jako demonstrae užitečnosti návratu k základnímu významu v okamžiku, kdy nevíme, jak dál. Zela samostatné vyřešení prvního příkladu je raritou, s druhým je to podstatně lepší (bariéra jiného úhlu pohledu je překonána). Dalším význam příkladů je v dodržování definičníh oborů. Většina studentů má samozřejmě tendeni kreslit grafy jako přímky. 5
Př. : Petáková: strana /vičení 8 g, g, g 5 strana /vičení 8 h Shrnutí: Logaritmus se používá k zobrazování velkého rozsahu veličin. 6