U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n

MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášky M. Krupky Zmí semestr 999/ 3. Iverzí a mplctí zobrazeí V této kaptole uvádíme dvě důležté věty, které acházeí aplkace v moha oblastech matematky: Větu o verzím a větu o mplctím zobrazeí. 3.. Iverzí zobrazeí. V tomto odstavc formulueme větu o verzím zobrazeí. Věta 3. o verzím zobrazeí). Nechť f : U e spoté zobrazeí, spotě dferecovatelé v bodě U. Jestlže leárí zobrazeí Df ): e zomorfsmus, pak estue okolí V bodu tak, že moža W = f V) e okolí bodu y = f ) a zúžeí f : V W e homeomorfsmus. Iverzí zobrazeí f : W V e dferecovatelé v bodě y. Platí Df y ) Df ). 3..) Lemma 3.. Nechť f : U e spoté zobrazeí, spotě dferecovatelé v bodě U a takové, že Df ) = d. Pak estue okolí V bodu tak, že moža W = f V ) e okolí bodu y = f ) a zúžeí f : V W e homeomorfsmus. D ů k a z. Bez úmy a obecost předpokládeme, že zobrazeí f má Gâteauovu dervac v každém bodě možy U. Položme g= f d čl g ) = f ) pro každé U). Máme Dg ) = Df ) Dd ) = d d = 3..) vz věty. a.7). Máme tedy Dg ) =. 3..3) Podle předpokladu e zobrazeí f spotě dferecovatelé v bodě. Zobrazeí g e tedy rověž spotě dferecovatelé v bodě, což zameá, že zobrazeí Dg G : U L, ) e spoté v bodě. Estue tedy uzavřeá koule B se středem v bodě taková, že pro všechy eí prvky platí e Dg G ), det Df ). 3..4) Zvolme yí dva lbovolé body, B. Podle důsledku věty o středí hodotě. g ) g ) sup Dgy ) G y [, ], 3..5) což společě s 3..4) dává g ) g ). 3..6) Máme tedy

3 MATEMATICKÁ ANALÝZA III ebol g ) g ) = f ) f ) + = = ) f ) f )) f ) f ), f ) f ), 3..7) což dokazue, že zobrazeí f e a možě B ektví. Uvažme yí možu ffr B). Tato moža e kompaktí moža fr B e kompaktí a zobrazeí f spoté) a eobsahue bod y zobrazeí f e a koul B prosté a fr B). Estue tedy číslo d > takové, že pro každý prvek y ffr B) platí Položme yy d. 3..8) d W = B y ) a dokažme, že W ft B). Nechť y W e lbovolý bod. Defume fukc h : B předpsem ) = h ) = f ) y = f ) y 3..9). 3..) Tato fukce e spotá a v každém bodě uvtř možy B má Gâteauovu dervac. Ze spotost této fukce a z kompaktost možy B plye, že estue bod B, ve kterém fukce f má mmum. Bod leží určtě uvtř možy B: kdyby totž ležel a eí hrac, bylo by f ) y d to plye z 3..8)) a f ) y < d vz 3..9)), což by zamealo, že h ) < h ) a v fukce h emá mmum. A elkož t B a fukce h má v mmum, musí v tomto bodě mít všechy parcálí dervace ulové: ) Dh ) = pro každé {, K, }. Jelkož Dh ) = f ) y D f ) ) = 3..) a det Df ) 3..4), dostáváme, že f ) = y. Položme V = f W) t B. Právě sme ukázal, že zúžeí f : V W e bekce. Zbývá tedy dokázat, že zobrazeí f : W V e spoté. To ovšem sado plye ze vztahu f y ) f y ) y y, 3..) který pro lbovolé y, y W plye z 3..7). Tím e lemma dokázáo. Lemma 3.3. Nechť f : V W e bekce mez otevřeým možam v, dferecovatelá v bodě V a taková, že Df ) = d. Dále předpokládeme, že zobrazeí f e spoté v bodě y = f ). Pak zobrazeí f e dferecovatelé v bodě y a platí Df y ) = d. 3..3) D ů k a z. Pro lbovolý bod y W, y= f ), máme f y) f y ) d y y ) = f ) + f ) = = f ) f ) d ) = ε ), kde lm ε ) = vz větu. o dferecálu)). Dále, ) Toto tvrzeí e vcelku zřemé; dokážeme e však až v kaptole 5.

3. INVEZNÍ A IMPLICITNÍ ZOBAZENÍ 3 3 ε ) = f y) f y ) ε f y) f y ))= f y) f y ) = yy ε f y) f y )). y y Jelkož lm y ε f y) f y ))= zobrazeí f e spoté v y ), stačí ukázat, že výraz f y) f y) yy e a ěakém okolí bodu y ohračeý. Tvrzeí pak bude vyplývat z věty. o dferecálu). Nechť V e okolí bodu takové, že pro každé V platí Pak ebol f ) f ) + > <. 3..4) f ) f ) + f ) f ) f ) f ) =, f ) f ) >. 3..5) Ozačme W okolí bodu y, pro ehož všechy prvky y platí f y) V. Pro lbovolý prvek y W a = f y) pak máme f y) f y ) y y Tím e lemma dokázáo. = f ) f ) <. 3..6) Nyí dokážeme dvě lemmata podobá lemmatům 3. a 3.3, avšak s oslabeým předpokladem o dervac zobrazeí f. Lemma 3.4. Nechť f : U e spoté zobrazeí, spotě dferecovatelé v bodě U. Jestlže leárí zobrazeí Df ): e zomorfsmus, pak estue okolí V bodu tak, že moža W = f V) e okolím bodu y = f ) a zúžeí f : V W e homeomorfsmus. D ů k a z. Ozačme l = Df ), y f = ) a položme f = l o f. Máme Df ) = D l o f) ) = Dl y ) odf ) = l ol = d. Na zobrazeí f tedy lze aplkovat lemma 3.. Platí f = f o l. Lemma 3.5. Nechť f : V W e bekce mez otevřeým možam v, dferecovatelá v bodě V a taková, že Df ): e zomorfsmus. Dále předpokládeme, že zobrazeí f e spoté v bodě y = f ). Pak zobrazeí f e dferecovatelé v bodě y a platí Df y ) Df ). 3..7) D ů k a z. Steě ako v důkazu předchozího lemmatu ozačme l = Df ) a položme f = l o f. Máme Df ) = d a podle lemmatu 3.3 Df y = ) d. Nyí f = f o l a Df y ) = D f ol ) y ) = Df ) odl y ) = d ol = l Tím e lemma dokázáo..

3 4 MATEMATICKÁ ANALÝZA III D ů k a z v ě t y 3.. Plye z předchozích lemmat. Tvrzeí o dervac verzího zobrazeí vztah 3..)) lze také dokázat přímo, pomocí věty o dervac složeého zobrazeí.5. Platí totž d = Dd ) = D f o f) ) = Df y ) odf ). Odtud už vztah 3..) plye. Za pozámku stě také stoí, že dmeze defčího oboru a oboru hodot zobrazeí f ve větě 3. musí být steé; ak by totž emohl platt vztah 3..) to víme z leárí algebry). Teto závěr lze dalekosáhle zobect: sado lze apříklad ukázat, že žádá spotě dferecovatelá fukce f : eí bekce pokud e Df y, ) pro každé y, ) z ěaké otevřeé možy V, pak stačí uvážt zobrazeí gy, ) = f y, ), y) ). Předpokládáme-l ve větě o verzím zobrazeí avíc, že zobrazeí f e a možě U dferecovatelé, lze okolí V a W alézt tak, aby verzí zobrazeí f bylo dferecovatelé a okolí W a spotě dferecovatelé v bodě y. Pokuste se to dokázat. m m 3.. Věta o mplctím zobrazeí.měme zobrazeí f : U, dferecovatelé v bodě, y) U a ozačme l : a l : m m m leárí zobrazeí, defovaá předpsy l h) = Df, y) h, ), 3..) l h) = Df, y), h). Evdetě platí Df, y ) = l + l. 3..) Zobrazeím l a l se ěkdy říká parcálí dervace zobrazeí f v bodě, y ) zobecěého typu). Přestože my sme s teto termí vyhradl pro ý obekt, vdíme, že s ím velm úzce souvsí. m m Věta 3.6 o mplctím zobrazeí). Nechť f : U e spoté zobrazeí, spotě dferecovatelé v bodě, y) U takovém, že f, y ). Uvažme leárí zobrazeí l a l z 3..) a možu M = {, y) U f, y) = }. Jestlže zobrazeí l e zomorfsmus, pak estuí okolí V bodu, okolí V bodu y a zobrazeí g: V V tak, že moža M V V ) e rova grafu zobrazeí g. Zobrazeí g e v bodě dferecovatelé a platí Dg ) =l o l 3..3) m D ů k a z. Uvažme zobrazeí F: U, Fy, ) = f, y, )). Toto zobrazeí e spoté a U a spotě dferecovatelé v bodě, y ). Pro leárí zobrazeí DF, y ) m a lbovolý vektor h, h) platí DF, y ) h, h ) = h, Df, y ) h, h )) = h, l h ) + l h )), Toto zobrazeí e tedy zomorfsmus: verzí zobrazeí e totž dáo předpsem )) ) = DF, y ) u, u ) u, l u l u ). 3..4) Podle věty 3. tedy estuí okolí V bodu, y ), okolí W bodu, m ) a verzí zobrazeí F : W V. Bez úmy a obecost můžeme předpokládat, že moža V e rova souču dvou otevřeých mož: V = V V. Nyí pro V položme g ) pr F, ). 3..5) Nyí dokážeme, že zobrazeí g má požadovaé vlastost. Nechť y, ) M V V) Máme f, y)=, ebol Fy, ) =, ), což zameá, že g ) = pr F, ))= pr y, ) = y..

3. INVEZNÍ A IMPLICITNÍ ZOBAZENÍ 3 5 Naopak, pro lbovolé V máme )= )), f g, )) Fg, ) F,pr F, ). Přtom pr F, ) )=, což zameá a celkově, f, g )) )= F F, ) )=, ) f, g ))=. Zbývá tedy dokázat vztah 3..3). Podle 3..4) a 3..5) máme Dg ) u ) = pr DF, ) u, ) )= pr u, l ol u ))=l ol u ). Tím e celé tvrzeí dokázáo. O zobrazeí g z předchozí věty se ěkdy říká, že e mplctě defováo zobrazeím f. Podobě ako u věty o verzím zobrazeí, vztah 3..3) můžeme dokázat přímo, pomocí vztahu 3..): Víme, že pro každé V platí f, g ))=. 3..6) Dervací této rovce v bodě dostaeme l + l o Dg ) =, 3..7) což e ekvvaletí s 3..3). Teto způsob odvozováí dervace mplctího zobrazeí se často používá př praktckých výpočtech. Pro = m= lze vztah 3..3) přepsat do tvaru Df, y) g ) = Df, y). 3..8) Větu o mplctím zobrazeí sme vlastě dokázal ako poměrě edoduchý důsledek věty o verzím zobrazeí. Kdybychom dokázal bez použtí této věty, mohl bychom pak aopak větu o verzím zobrazeí dokázat pomocí věty o mplctím zobrazeí, a to pomocí vztahu f f )) =. 3..9) m m Dalším důsledkem věty o verzím zobrazeí e ásleduící tvrzeí: Nechť f : U e spoté zobrazeí, spotě dferecovatelé v bodě, y) U a takové, že leárí zobrazeí Df, y ) e surektví. Pak estue okolí W bodu f, y ) a zobrazeí g W m :, dferecovatelé v bodě f, y) tak, že f o g= d W. 3..) V důkazu tohoto tvrzeí se postupue steě ako v důkazu věty o mplctím zobrazeí a pak se položí gy ) = F, y). 3..) Uvedeé tvrzeí vlastě říká, že zobrazeí f má a ěakém okolí bodu f, y ) pravou verz. Podobé tvrzeí lze vyslovt o verz levé ak?).