Analýza bodové množiny

Transkript

1 alýza bodové možy Petra Suryková Faculty of Mathematcs ad Physcs, Charles Uversty Prague Sokolovská 83, Praha 8, Czech Republc emal: petra.surykova@mff.cu.cz bstrakt. V příspěvku se zaměříme a jedu fáz rekostrukce ploch a to zpracováí vstupí možy bodů. Úloha, kterou řešíme, je zadaá pomocí eorgazovaé koečé možy bodů v prostoru a vstupu, přčemž úkolem je vytvořt rekostruovaý povrch plochy takový, že body vstupí možy leží a ebo blízko povrchu. K prvotímu popsu a zpracováí vstupí možy bodů používáme růzé typy aproxmací dat v rově přímkou a v prostoru přímkou a rovou. Dále se zabýváme odstraěím šumů, adbytečých bodů a bodů, které epatří zkoumaému objektu. Zjšťujeme rověž oretac dat a hledáme rové symetre této bodové možy. V ašch expermetech řešíme rekostrukce povrchů s ohledem a specálí typ zpracovávaých objektů. Navržeé metody ověřujeme a bodových možách reprezetující buď počítačově geerovaá data (sytetcká), geometrcké modely ebo jedoduché část reálých staveb. K mplemetac avržeých postupů jž tradčě používáme výpočetí prostředí MTLB. Klíčová slova: bodová moža, rekostrukce povrchů, ortogoálí prokládáí, metoda ejmeších čtverců 1 Dgtálí rekostrukce povrchů z mrača bodů V ašem výzkumu se zabýváme dgtálí rekostrukcí povrchů z mrače bodů. Hlavím cílem rekostrukce je dokumetovat reálé objekty v počítačové podobě a popsovat je matematcky. Ze vstupí bodové možy, která reprezetuje fyzcký model ějakého objektu, reálou stavbu, mechackou součástku ebo jý reálý objekt, chceme zpětě zrekostruovat povrch daého objektu v podobě počítačového modelu a popsat teto model v co ejkompaktějším tvaru, tedy pomocí parametrckých ebo mplctích rovc. V obecé úloze jsou k dspozc pouze prostorové souřadce bodů, žádé další vlastost a formace o struktuře této bodové možy předem ejsou zámy. Vždy předpokládáme, že body vstupí možy (bodového mrača) leží a ebo blízko povrchu. V ašch expermetech se zabýváme zpracováím specálích mrače bodů, které popsují část reálých staveb a to jedoduchých kleeb, částí zastřešeí ebo jých jedodušších povrchů, které lze popsovat plocham ízkých stupňů případě plocham o jých specfckých vlastostech. Rekostrukce povrchů se skládá z ěkolka dílčích kroků bodové fáze, polygoálí fáze a tvarové fáze. V bodové fáz získáváme mračo bodů a to ejčastěj 3D skeováím reálých povrchů a dále toto bodové mračo zpracováváme. V polygoálí fáz aproxmujeme bodové mračo pomocí trojúhelíkové sítě a v závěrečé tvarové fáz ahrazujeme polygoálí síť specálím typem plochy, který předem určujeme. Podroběj jsou jedotlvé fáze rekostrukce

2 popsáy v [6]. V ašem příspěvku se zabýváme aalýzou a dalším zpracováím vstupí bodové možy, tedy bodovou fází rekostrukce povrchů. Zbývající část čláku je rozdělea ásledově: Následující kaptola je věováa metodám zjšťováí oretace dat, třetí kaptola se zabývá odstraňováím adbytečých bodů ze vstupí možy, kaptola čtvrtá prezetuje vlastí ávrhy hledáí os symetrí bodů v rově a v prostoru pomocí dferecálích umerckých metod. V závěru dskutujeme další možý vývoj ašeho výzkumu. Metody pro zjšťováí oretace dat V této kaptole s ukážeme zámé metody prokládáí dat přímkou a rovou, které dále použjeme jako řešící metody v aalýze vstupí bodové možy..1 proxmace fukcí metodou ejmeších čtverců Jako motvac k dalším postupům použjme zámou aproxmac metodou ejmeších čtverců. Metoda ejmeších čtverců se používá př zpracováí epřesých dat, typcky výsledků ějakého měřeí, které je zatížeo chybam, a obecě slouží k elmac chyby. Nejčastěj tedy jde o hledáí aproxmující fukce aměřeým daty. Je zřejmé, že hledáí fukčí závslost, která by terpolovala aměřeá data, eí žádoucí, eboť takto bychom chybu apodoboval. Pro lepší ázorost uveďme ejzákladější použtí metody ejmeších čtverců a to hledáí aproxmující fukce daým hodotam získaým ějakým měřeím, kdy předem záme, o jakou fukčí závslost se jedá. Použjeme přtom ejpoužívaější krtérum, čímž bude mmalzace součtu druhých moc odchylek fukčích hodot a aměřeých hodot. Mějme dáu možu 1 bodů x, y,,1,..., v eukledovské rově E, možu bodů chápeme jako posloupost, eboť body se můžou opakovat. Začt tuto možu budeme jako X. Dále je dáa moža k 1 fukcí, j,1,..., k, kde k, defovaých alespoň ve všech bodech x. Z možy leárích kombací (1) a ( x) a1 1( x)... akk ( x); aj, j,1,..., k vybereme takovou fukc ( x) a ( x) a ( x)... a ( x) a ( x), () 1 1 pro kterou fukce j k k j j j (3) H a, a,..., a ( x ) y 1 k abývá mmálí hodoty. Kdybychom zal přesou fukc, kterou yí pomocí koečého možství hodot avíc zatížeých chybam aproxmujeme, předpokládáme, že pro ějaké k

3 ezámé k lze tuto fukc vyjádřt jako koečou leárí kombac možy fukcí, j,1,..., k. V případech, v jakých využíváme aproxmac j metodou ejmeších čtverců, se většou vyskytuje aproxmace přímkou. Předem tedy záme, že se má jedat o leárí fukčí závslost, v důsledku chyb vzklých měřeím ale edokážeme tuto přesou fukc odhalt. Jedá se o specálí případ, kdy fukce ( x) je polyomem stupě k, tj. fukce ( x) je j leárí kombací polyomů x, j,1,..., k s koefcety a, j,1,..., k. k Předpokládáme tedy, že přesá fukce by byla též polyomem stupě k, kvůl chybám v měřeí však získáme pouze její aproxmac. Pro volbu k 1 dostáváme právě aproxmačí přímku. Přepšme tedy () ásledově (4) k k j ( x) a a1 x a x... akx a jx j. V tomto specálím případě má fukce z (3) tvar H a, a,..., a a a x a x... a x y. k () 1 k 1 k Hledáí mma fukce H závslé a parametrech a, a1,..., a řešíme stadardím postupy matematcké aalýzy. Získáme tak soustavu k 1 leárích k rovc (tzv. ormálích rovc) pro ezámé a, a1,..., a, tedy k (6) j j j k j j 1... k, a x a x x a x x a x x y x pro j,1,..., k. Ukažme s vše a ásledujícím příkladě. Mějme dáu možu 1 bodů (vz tabulka 1) v eukledovské rově E a předpokládejme, že byly tyto body získáy měřeím leárí závslost. Na obrázku 1 můžeme vdět výsledek aproxmace těchto dat přímkou metodou ejmeších čtverců. x - 1, 3 4 4,, y , 3 x, , y -1, 1 4 1, 4 1 4, 4 6 Tabulka 1: Expermetálí data pro aproxmac přímkou metodou ejmeších čtverců Klascká metoda ejmeších čtverců představuje jedu z ejpoužívaějších a ejzámějších typů aproxmací fukcí objevující se v celé řadě aplkací. Je však zřejmé, že s jejím použtím jsme kvůl fukčí závslost začě omeze. Proto zavedeme další obecější přístupy.

4 ( x ) y a a x y 1 y x, y ( x ) y x Obr. 1: Prokládáí dat metodou ejmeších čtverců prcp metody. Ortogoálí prokládáí dat přímkou Metoda ortogoálího prokládáí dat v rově ebo v prostoru přímkou (orthogoal le fttg) je sce méě zámá, a vysokých školách se v základích kurzech umercké matematky většou evyučuje, ale je mohem více uplattelá v praktckých aplkacích. Následující odvozeí bude platé v lbovolé dmez, s ohledem a aše aplkace se omezíme pouze a dmez dvě a tř. Předpokládejme, že je dáa moža 1 bodů X v eukledovském prostoru E 3 (případě v eukledovské rově E ). Hledáme yí přímku, která bude dobře aproxmovat zadaé body, přčemž volíme přrozeé geometrcké krtérum. Budeme mmalzovat součet druhých moc ejkratších vzdáleostí bodů přímky. Hledaou přímku vyjádříme parametrcky (7) () t ut, X od hledaé kde t a u je jedotkový směrový vektor přímky, tj. u 1. Lze odvodt, že pro ortogoálí průmět X bodu X a přímku platí X X y d u, (8) kde d u X u X a vektor y X. Velkost vektoru X X y du je ortogoálí vzdáleost bodu X od přímky, podívejme se a obrázek.

5 X y u u y X Obr. : Geometrcký výzam použtých vektorů a vzdáleostí př ortogoálím prokládáí dat v rově přímkou Př hledáí přímky budeme opět postupovat a základě metody ejmeších čtverců, yí ale fukce, ozačme j X, jejíž mmum hledáme, defujeme jako součet druhých moc ejkratších vzdáleostí daých bodů od přímky, tj. (9) y du. Nyí hledáme mmum fukce z (9) závslé a parametrech a u (bod a směrový vektor přímky ). Začěme s výpočtem souřadc bodu. Využjeme k tomu stadardí postup, tj. potřebujeme spočítat parcálí dervac fukce podle bodu. Pro zjedodušeí výpočtu vyjádříme fukc v alteratvím tvaru (1) y E uu y. Pro lepší ázorost s tvar fukce z (1) rozepšme po souřadcích pro případ v eukledovském prostoru E 3, přčemž horí dex u vektoru začí x y z x-ovou, y-ovou ebo z-ovou souřadc, tj. y ( y, y, y ) x y z a u ( u, u, u ). x x 1 u y x y z y x y z y (11) y y y 1 u u u u y. z z 1 u y Čtvercovou matc E uu (1) ozačme jako U a prvky této matce u kl, tedy U ( u kl ). Vyjádřeme prvky matce U opět pro případ v eukledovském prostoru E 3

6 x x y x z u11 u1 u13 1 ( u ) u u u u x y y y z (1) E uu U u1 u u 3 u u 1 ( u ) u u. x z y z z u31 u3 u 33 u u u u 1 ( u ) Je zřejmé, že matce U je podle (1) symetrcká, eboť pro každé kl, 1,,3 platí ukl ulk. S použtím zavedeého začeí přepšme tvar fukce z (1) a postupě rozásobme jedotlvé matce uvtř sumy x x y x z y Uy ( y ) u11 y y u1 y y u31 (13) y y u ( y ) u y y u x y y y z 1 3 ( ). x z y z z y y u13 y y u3 y u33 Dostáváme tak hodotu fukce vstupích parametrů. Přejděme yí k výpočtu parcálí dervace fukce vyjádřeou v závslost a souřadcích podle bodu a vy- užjme k tomu tvar fukce z (1). Parcálí dervac fukce podle bodu defujeme jako vektor parcálích dervací fukce podle jedotl- vých souřadc (pracujeme stále v eukledovském prostoru E 3 ) a zapsujeme ásledově (14),, x y z. x x y y z z Vyjádříme-l y v souřadcích, dostáváme y ( X, X, X ). Fukce, jak je vdět z výsledého tvaru ve (13), je složeá fukce, pro složky parcálí dervace fukce podle bodu tedy platí ásledující () y, y x x x x y, y y y y y y. z z z z y Pro x-ovou souřadc parcálí dervace fukce podle bodu dostáváme x y z y z (16) x y u11 y u1 y u31 y u1 y u13. Důležtý pozatek, který je třeba s yí uvědomt je, že matce U je symetrcká, tedy pro každé kl, 1,,3 platí ukl ulk. Můžeme tedy x-ovou souřadc parcálí dervace fukce podle bodu zjedodušt a u11 u x 1 u13 y. (17),, alogcky bychom takto spočítal zbývající souřadce. Symbolcky můžeme zapsat parcálí dervac fukce podle bodu ásledově

7 E uu y. (18) Je zřejmé, že parcálí dervace fukce podle bodu z (18) je rova ulovému vektoru pouze v případě, je-l splěo (19) y o. Dosadíme-l-l do výrazu (19) za y X, dostáváme vzorec pro výpočet bodu 1 () X. 1 Veškeré výpočty se souřadcem jsme uváděl pro případ v eukledovském prostoru E 3, případ v eukledovské rově E je aalogcký a přeps jedotlvých vzorců je jedoduchý. Posuňme se ve výpočtech dále. Bod hledaé přímky jsme určl, yí zbývá spočítat vektor u, což je jedotkový směrový vektor přímky. K tomu použjeme další alteratví přeps fukce a to (1) u y y E y y u u Mu. Pro lepší ázorost s matc M z (1) opět rozepšme po souřadcích pro případ v eukledovském prostoru E 3, tj. y z x y x z ( y ) ( y ) y y y y x y x z y z () M y y ( y ) ( y ) y y. x z y z x y y y y y ( y ) ( y ) Ozačme prvky této matce m kl, tedy M ( m kl ). Je zřejmé, že matce M je symetrcká, eboť pro každé kl, 1,,3 platí mkl mlk. Výpočty se souřadcem pro případ v eukledovské rově E jsou aalogcké. Určeme yí jedotkový směrový vektor u hledaé přímky. Pro daé určíme vektor u jako vlastí vektor [] příslušý ejmešímu vlastímu číslu [] matce M. Zobrazeí u Mu z (1) je kvadratcká forma, jejíž mmum hledáme. Pro vlastí čísla symetrcké matce platí (vz []) (3) 1 m u Mu, max u Mu. u: u 1 u: u 1 Nalezeím ejmešího vlastího čísla matce M završíme úlohu ortogoálího prokládáí dat přímkou, eboť tak acházíme mmum kvadratcké

8 formy u Mu. Příslušý jedotkový vlastí vektor u je potom směrovým vektorem hledaé přímky, eboť tuto kvadratckou formu mmalzuje. Pops přímky, jak už jsme uvedl a začátku tohoto oddílu, získáme v parametrckém tvaru (4) () t ut kde t a u je jedotkový směrový vektor přímky, tj. u 1. Výsledky, ke kterým jsme dospěl, uvádí apříklad [1] ebo je čteář může alézt a webových strákách [3]. Předložey jsou ale pouze výsledky a závěry, které řeší metodu ortogoálího prokládáí dat přímkou. V žádém jmeovaém zdroj ejsou uvedeé postupy výpočtů, tvrzeí, věty a utá matematcká teore, a které jsou výpočty a odvozeí založey. V žádém jém zdroj se m epodařlo teto teoretcký základ daé metody alézt. Shrňme s yí odvozeé postupy a demostrujme s jejch prcp a ázorém příkladu v rově. Předložme rověž případovou stud ortogoálího prokládáí dat přímkou pro růzé vstupí možy, které použjeme v bodové fáz rekostrukce povrchů z možy bodů. Mějme dáu možu 1 bodů (vz tabulka 1) v eukledovské rově E a proložme tyto body ortogoálě přímkou. Na obrázku 3 je zázorěa výsledá přímka. 6 Rovce přímky x=-.7639t+.448 y=-.6469t směrový vektor přímky u (,7639,,6469) X y - X, 4476;1, Obr. 3: Ortogoálí prokládáí dat přímkou v rově prcp metody Zaměřme se yí a rozbor ěkolka růzých vstupích bodových mož a sledujme výsledky ortogoálího prokládáí dat přímkou v rově a v prostoru. Na základě vlastostí, které ortogoálí prokládáí dat přímkou v rově splňuje a které jsme odvodl, avrhujeme možé použtí této metody a to k aalýze bodové možy z hledska osové symetre bodů. Všechy bodové možy

9 v této případové stud jsou počítačově geerováy, předem tedy víme, jaké výsledky z hledska osové symetre mají vycházet. Rovce přímky x=t+6 y=1t Rovce přímky x=-.96t+.877 y=-.387t X X Rovce přímky x=-.876t-3.8 y=.4994t Rovce přímky x= t-3.73 y=.61341t X 4 3 X Rovce přímky x=-.7869t y=-.7t Rovce přímky x=-.84t-3.71 y=-.976t X - X Obr. 4: Hledáí os symetrí bodových mož v rově Obrázek 4 studuje v prvích dvou případech osové symetre mož bodů v rově získaých z pravdelého avzorkováí dvou rovoběžých úseček a elpsy. Další dvě možy jsou opět bodově symetrcké podle jedé ebo dvou os. Výsledkem ortogoálího prokládáí je vždy jeda z os symetrí těchto mož a to ta, v jejímž směru je moža více protáhlá. Tuto osu budeme

10 ozačovat za hlaví. Posledí dva případy ukazují bodové možy, o kterých víme, že mají být bodově symetrcké. Smulujeme však reálou stuac, kdy dochází k epřesostem v měřeí, aše možy tedy ebudou bodově symetrcké přesě. Ortogoálím prokládáím těchto bodů přímkou lze tedy ajít pouze přblžou osu symetre. Na obrázku jde o áhodě rozmístěé body v rově, které jsou přblžě osově symetrcké. Pro ověřeí správost jsou body jedé polorovy určeé osou zobrazey v této alezeé osové symetr. Rovce přímky x=-.9t+4.71 y=.3763t-.388 Rovce přímky x=-.9t+4.71 y=.3763t X X Obr. 4: Ověřeí správost osy symetre- zobrazeí bodů jedé polorovy určeé osou v alezeé osové symetr (obrazy bodů oražově) Obdobou případovou stud proveďme také pro možy bodů v prostoru. Opět avrhujeme podobě jako v rově další možé použtí této metody a to k aalýze bodové možy z hledska osové symetre bodů. Opět jsou všechy bodové možy v této případové stud počítačově geerováy, předem tedy víme, jaké výsledky z hledska osové symetre mají vycházet. Saděj tak lze ověřt správost výstupů. Na obrázku lustrují prví dva případy hledáí osové symetre bodových mož získaých z pravdelého avzorkováí dvou a čtyř rovoběžých úseček v prostoru. Další moža, kterou aalyzujeme, eí jž pravdelá, ale víme, že je osově symetrcká podle svslé osy. Pro lepší představu je doplě rověž pohled ve směru alezeé osy symetre a jedotlvé spojce bodů, které s odpovídají v alezeé osové symetr v prostoru. Bodová mrača, která chceme rekostruovat, často odpovídají elemetárím rotačím plochám [] ízkého stupě ebo představují růzé kombace těchto ploch. Důležtou vlastostí rotačích ploch je, že díky svému vytvořeí rotací tvořcí křvky kolem osy jsou podle této osy souměré. Z toho rověž plye, že je rotačí plocha souměrá podle každé rovy procházející její osou. V rově obsahující osu dostáváme rověž osovou symetr. Jedotlvé případy a obrázku 6 ukazují výsledky aalýzy počítačově geerovaých mož, jejchž body jsme získal pravdelým avzorkováím část povrchu rotačí válcové plochy, rotačího protáhlého elpsodu a část povrchu rotačího jedodílého hyperbolodu.

11 Rovce přímky x=.7711t-.666 y=t+ z=-.7711t Rovce přímky x=t+ y=1t- z=t+17 3 X 1 X pohled ve směru osy symetre Rovce přímky x=t+9.19e-17 y=t-9.19e-18 z=1t Rovce přímky x=t+9.19e-17 y=t-9.19e-18 z=1t Rovce přímky x=t+9.19e-17 y=t-9.19e-18 z=1t X X Obr. : Hledáí os symetrí bodových mož v prostoru Pro lepší ázorost a oretac v prostorové stuac jsou do ěkterých obrázků rověž přdáy půdorysy jedotlvých bodů a alezeé osy. Doposud jsme v prostoru pracoval pouze s možam bodově symetrckým podle ějaké osy. Na závěr této stude se opět věujme případům, které se objevují v praktckých aplkacích, kdy často dochází k epřesostem př símaí bodů a tvorbě bodového mrača. Na obrázku 7 ejsou možy přesě bodově symetrcké, předpokládáme však, že tyto epřesost vzkly kvůl vějším faktorům (epřesost skeovacího zařízeí, ldský faktor). Víme tedy, že povrchy ebo jé prostorové útvary, které bodové možy popsují, mají osovou symetr splňovat. Ortogoálím prokládáím těchto bodů přímkou alezeme tedy přblžou osu symetre.

12 -3 Rovce přímky x=t+17 y=t+ z=1t Rovce přímky x=1t+14.9 y=t+.786 z=t X 3 1 X Rovce přímky x=t e-16 y=t+.3849e-16 z=1t Rovce přímky x=.67844t+.349 y= t z=.7711t X 3 3 X Obr. 6: Hledáí os bodových mož získaých pravdelým avzorkováím rotačích ploch Rovce přímky x=.8911t-.13 y=.1877t+.14 z=-.434t Rovce přímky x=.17t y=-.863t+1.61 z=.99998t X X Obr. 7: Odhady os symetrí bodových mož v prostoru zašuměá data

13 .3 Ortogoálí prokládáí dat rovou Ortogoálí prokládáí dat rovou v prostoru představuje obdobou problematku. V tomto případě jž ebudeme odvozovat jedotlvé výpočty, a obrázku 8 můžeme vdět možý výsledek takového prokládáí. Jedá se opět o stejý prcp - hledáme rovu, která bude dobře aproxmovat zadaé body, přčemž volíme přrozeé geometrcké krtérum, tj. mmalzujeme součet druhých moc ejkratších vzdáleostí zadaých bodů od hledaé rovy. X X Obr. 8: Ortogoálí prokládáí dat rovou 3 Odstraěí adbytečých bodů ze vstupí možy Vstupí mračo bodů, které chceme rekostruovat, může obsahovat redudatí data, tedy body, které epřáší žádou ovou formac ebo leží avzájem přílš blízko sebe. Může se také stát, že mračo bodů obsahuje část, které epatří skeovaému objektu. Jedá se apříklad o askeovaé okolí ebo u skeováí součástky o askeovaou ruku ebo držák, ve kterém je součástka upevěa apod. K odstraňováí těchto adbytečých bodů využíváme právě ortogoálího prokládáí dat rovou. V každém bodě vstupí možy odhadujeme ormálu pomocí rovy aproxmující ějaké okolí daého bodu. proxmac rovou provádíme právě ortogoálím prokládáím bodů v tomto okolí, čímž v každém bodě bodového mrača odhadujeme tečou rovu. Důležtým aspektem je volba velkost okolí daého bodu, pro které se počítá aproxmačí rova. Tuto velkost určujeme expermetálě a a základě vzuálího posouzeí bodového mrača. Pokud v okolí zkoumaého bodu eleží žádý další bod vstupí možy, bod odstraíme, eboť se jedá o případ odlehlého bodu. Tato metoda ovšem ezaručuje stejou oretac ormál ve všech bodech bodového mrača. Normály oretujeme až a závěr tzv. hlasovacím algort-

14 mem, kdy zjšťujeme, jak vypadají ormály opět v ějakém okolí bodu, ve kterém ormálu zkoumáme. Zajímá ás většová oretace, tj. pokud je ormála v daém bodě opačě oretovaá, její oretac změíme. Jelkož zpracováváme ve většě případů specálí bodové možy, které odpovídají jedoduchým geometrckým plochám, lze předpokládat, že sousedí ormály emají přílš velké úhlové odchylky. To však elze předpokládat o bodech, které patří askeovaému okolí (apř. ruce). Odstraňuje z bodového mrača tedy takové body, pro které je odchylka přílš velká. Míru toho, kdy je bod podezřelý, že epatří zkoumaému objektu, opět určujeme expermetálě. 4 Dferecálí umercké metody Na závěr s představme ově avržeou metodu hledáí os symetrí bodů v rově a v prostoru. Pokud pracujeme s možam, které odpovídají reálým objektům apř. klebám, jedá se většou je o část ějakých elemetárích ploch. Například křížové a valeé kleby, které aalyzujeme, jsou velce často složey z částí rotačích válcových ploch. Pokud hledáme osu těchto částí válcových ploch elze použít metodu ortogoálího prokládáí, eboť emůžeme využít symetre bodové možy, moža eobsahuje všechy body, které by měly odpovídat souměrým bodům. Proto jsme vyvul metodu, která řeší alezeí osy symetre bodové možy specálě rotačích válcových ploch. Předpokládejme, že máme bodovou možu získaou avzorkováím část rotačí válcové plochy. V prvím kroku algortmu zvolíme lbovolou počátečí polohu osy, kterou budeme v dalších krocích optmalzovat. Jedá se tedy o teračí metodu. Defujeme áhodou velču a to vektor, jehož složky jsou vzdáleost všech bodů od aktuálí osy (v prvím kroku od zvoleé přímky). Jedá se tedy o vektor reálých čísel. Dále zavádíme tzv. chybovou fukc, kterou budeme mmalzovat. Chybovou fukc defujeme jako rozptyl áhodé velčy [4]. Začme tuto chybovou fukc jako error_fucto ebo zkráceě f. Pokud hledáme osu rotačí válcové plochy, víme, že rozptyl musí být rove ule (v deálím případě). Mmalzac chybové fukce provádíme zámou dferecálí umerckou metodou ejrychlejšího spádu. V každém kroku mmalzace aktualzujeme celkem šest parametrů určující bod osy a její směrový vektor. To můžeme symbolcky zapsat ásledově u _ akt u _ poc dervace _ f () _ akt _ poc dervace _ f, kde je délka kroku v metodě ejvětšího spádu, dervace_f začí odhad parcálí dervace chybové fukce podle jedotlvých souřadc. Tedy apříklad f (, u) f (, u ) f (, u) (6), x u kde (,,). Zapšme chybovou fukc error_fucto pomocí pseudokódu.

15 vzdáleost bodu od přímky fucto error _ fucto(, u) ( X ) u 1: dstace orm( w) ( X ) u u : for 1,,..., do 3: dstace orm( w) - počet bodů vstupí možy dstace - áhodý vektor 4 : expectato sum( dstace) / : for 1,,..., do středí hodota áhodé velčy 6 : d ( dstace expectato) 1 ( dstace E( X )) 7 : error _ fucto (1 / ) sum( d ) 1 8: retur error _ fucto rozptyl áhodé velčy složky áhodého vektoru Na obrázku 9 můžeme vdět postupé vylepšováí polohy osy symetre bodů v rově a v prostoru. Pro případ v rově je zvolea přesě symetrcká bodová moža, pro případ v prostoru jsou body získáy áhodým avzorkováím část rotačí válcové plochy a zašuměy. výsledá osa 3 výsledý odhad 3 osy, pohled ve směru této osy 4 X X 3 3 body pravdelě avzorkováy a dvou rovoběžých přímkách body áhodě avzorkováy a část rotačí válcové plochy a zašuměy Obr. 9: Postupé vylepšováí polohy osy symetre bodů v rově a v prostoru

16 Závěr V ašem příspěvku jsme se zabýval ortogoálím prokládáím dat v rově a v prostoru přímkou a rovou. Tuto metodu jsme avrhl jako řešící metodu př hledáí osových symetrí bodových mož a ke zpracováí vstupích bodových mož v rekostrukc povrchů. V další prác hodláme pokračovat v aalýze dalších typů mož a rozšířt áš výzkum o bodové možy reprezetující skutečé objekty. Dále pláujeme aše metody porovávat s jým přístupy, apříklad se zámou statstckou metodou PC (Prcpal Compoet alyss). V současé době také vyvíjíme ovou metodu pro hledáí rových symetrí, která je založeá opět a optmalzac počátečího áhodého umístěí rov symetrí. Jako ejvětší cíl s yí klademe rozšířt ortogoálí prokládáí také a obecé křvky a plochy. Lteratura [1] S. J. h: Least Suares Orthogoal Dstace Fttg of Curves ad Surfaces Space. Sprger-Verlag Berl Hedelberg, Germay, 4 [] H. Dym: Lear lgebra cto. merca Mathematcal Socety, US, 7 [3] Geometrc Tools: Books, Source Code, ad Documetato for Computer Graphcs, Mathematcs, Physcs, Numercal Methods, ad Image alyss [ole], (červe 1), 1 [4] M. Melou, J. Mltký: Statstcká aalýza expermetálích dat. cadema, akladatelství kademe věd České republky, Praha, 4 [] P. Suryková: Plochy stavebí praxe. Dplomová práce, Uverzta Karlova v Praze, Matematcko-fyzkálí fakulta, Česká republka, 8 [6] P. Suryková, Š. Voráčová: Dgtálí rekostrukce povrchů z mrača bodů. Sborík příspěvků 31. koferece o geometr a grafce, Malá Morávka, Česká republka, Vysoká škola báňská, Techcká uverzta Ostrava, s , ISBN , 11