511 Vzdálenost roviny přímky Předpokldy: 510 Př 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti přímky od roviny, nvrhni definici této vzdálenosti Uvžovt o vzdálenosti přímky roviny můžeme pouze v přípdě, že přímk je s rovinou rovnoběžná Ve všech osttních přípdech se přímk s rovinou protíná Z vzdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné povžujeme vzdálenost libovolného bodu přímky od této roviny Př : Je dán stndrdní krychle, = = 4cm Urči vzdálenost: ) přímky od roviny, b) přímky od roviny S, c) přímky od roviny S ) vzdálenost přímky od roviny Přímk je rovnoběžná s rovinou Zvolíme n přímce libovolný bod npříkld bod Jeho kolmým průmětem do roviny je bod Vzdálenost přímky od roviny je tedy rovn délce hrny, která je dlouhá 4 cm b) vzdálenost přímky od roviny S S S S S Přímk je rovnoběžná s rovinou S Rovin S je kolmá k přední stěně 1
(je rovnoběžná s přímkou ) můžeme n ní zvolit libovolný bod pomocí jeho kolmého průmětu do roviny S určit vzdálenost přímky od roviny Nkreslíme si čtverec : S oplníme vzdálenost do obrázku 5 S kolmice n rovinu S může ležet v přední stěně Zvolíme n přímce bod hledáme jeho vzdálenost od přímky S Musíme určit délku úsečky z trojúhelníku S S S = + S = + 5 S = + = 4 4 S = 5, npříkld Můžeme využít podobnosti vyznčených trojúhelníků delší odvěsn delší odvěsn = = přepon přepon 5 = = 5 5 osdíme: = = 4cm = 3,58cm 5 5 c) vzdálenost přímky od roviny S S S S S Přímk je rovnoběžná s rovinou S (je rovnoběžná s přímkou ) můžeme n ní zvolit libovolný bod pomocí jeho kolmého průmětu do roviny S určit vzdálenost přímky od roviny Rovin S je kolmá k prvé boční stěně kolmice n rovinu S může ležet v prvé boční stěně Zvolíme n přímce bod hledáme jeho
vzdálenost od přímky S Pt kolmice z bodu n přímku S leží mimo prvou boční stěnu kromě čtverce i jeden dlší shodný sousední čtverec S oplníme vzdálenost do obrázku Musíme určit délku úsečky S, npříkld z trojúhelníku S S = + S = + 5 S = + = 4 4 S = 5 5 S Můžeme využít podobnosti vyznčených trojúhelníků delší odvěsn delší odvěsn = = přepon přepon 5 1 4 = = = cm = 1,79cm 5 5 5 Pedgogická poznámk: Nejbystřejší studenti si u bodu c) všimnou, že hledná vzdálenost je polovinou vzdálenosti z bodu b) Používám bod c) k synchronizci třídy (jkmile pomlejší část dokončí bod b), jdeme dál) 3
Př 3: Njdi chybu v uvedeném řešení následujícího příkldu Je dán stndrdní krychle, = = 4cm Urči vzdálenost přímky S od roviny S S S Přímk S je rovnoběžná s rovinou S (leží v rovině S, která je s rovinou S rovnoběžná) můžeme n ní zvolit libovolný bod pomocí jeho kolmého průmětu do roviny S určit vzdálenost přímky od roviny S S Kolmým průmětem přímky S do roviny S je přímk S Obě tyto přímky leží v rovině (rovin kolmá k rovině S ) N přímce S si můžeme zvolit libovolný bod určit v rovině jeho průmět do roviny S Zvolíme npříkld bod S S P S S Nesprávná jsou všechn tvrzení o kolmosti: kolmým průmětem přímky S do roviny S není přímk S (správně určený kolmý průmět neprochází žádným vrcholem krychle), rovin není kolmá k rovině S (k rovině S jsou kolmé npříkld roviny nebo ) Jedním ze směrů roviny S je směr přímky směr kolmý k rovině S musí být kolmý k této přímce nemůže z bodu S směřovt do vnitřku krychle 4
S S S Správně sestrojený kolmý průmět bodu S do roviny S leží ve stěně řešení příkldu je pk shodné s příkldem b) Pedgogická poznámk: Všem učitelům doporučuji v podobných situcích vyřešit příkld nlyticky zkontrolovt tk správnost stereometrického výsledku Př 4: Je dán stndrdní krychle, = = 4cm Urči vzdálenost přímky S od roviny KS, kde K ; K = 3 K S Přímk S je rovnoběžná s rovinou KS (je rovnoběžná s přímkou S ) můžeme n ní zvolit libovolný bod pomocí jeho kolmého průmětu do roviny KS určit vzdálenost přímky od roviny S K Kolmým průmětem přímky S do roviny KS je přímk S Obě tyto přímky leží v rovině (rovin kolmá k rovině KS ) N přímce S si můžeme zvolit libovolný bod určit v rovině jeho průmět do roviny KS Zvolíme npříkld bod S S S K 5
Nkreslíme si obdélník : S oplníme vzdálenost do obrázku S osdíme: P 3 S S = = 4 cm = 1,89 cm 3 3 Musíme určit délku úsečky z trojúhelníku S S, npříkld ( ) S = + S = + 9 S = + = 4 4 3 S = Můžeme využít podobnosti vyznčených trojúhelníků delší odvěsn delší odvěsn = = přepon přepon 3 = = 3 3 Př 5: Je dán prvidelný čtyřboký jehln V, = = 5cm, SV = v = 6cm Urči vzdálenost přímky SS V od roviny V S V V S V Přímk SS V je rovnoběžná s přímkou S (jde o protější strny rovnoběžník V SSV S V ) přímk V S S je rovnoběžná s rovinou V ledáme rovinu kolmou k rovině V (v ní sestrojíme průmět libovolného bodu přímky S S do roviny V) V S Nejsndněji kreslitelnou rovinou kolmou k rovině V je rovin SS V Rovin V dělí úsečku S V v poměru :1 6
V V S V S V S V S S S S V Ve stejném poměru dělí rovin V i úsečku ledáme průsečík úsečky SS V s rovinou SS V V Nkreslíme si trojúhelník SSV jko kolmý průmět celého jehlnu V Vodorovná vzdálenost mezi úsečkou SS V S V S S V S oplníme vzdálenost do obrázku V 4v + v úsečkou S V je stále Musíme určit délku úsečky z trojúhelníku SSV VS = SV + S S = v + 4v + VS = v + = 4 4 VS = 4v + SV, npříkld Můžeme využít podobnosti vyznčených trojúhelníků delší odvěsn delší odvěsn v = = přepon přepon 4v + v v = = 4v + 4v + S S 7
osdíme: v 5 6 = = cm =,31cm 4v + 4 6 + 5 Př 6: Petáková: strn 93/cvičení 8 b) Shrnutí: Vzdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné se rovná vzdálenosti libovolného bodu této přímky od roviny 8