Lebesgue Manuál Josef Hekrdla 1. prosince 2011 (Vzniklo pro potřeby předmětu Matematická teorie signálů Obsah I Měřitelné množiny v R p Lebesgueova míra 3 1 Objem intervalu. 3 2 Objem otevřené množiny. 3 3 Vnější míra podmnožin R p. 3 4 Lebesgueovsky měřitelné množiny. 3 5 Lebesgueova míra. 3 6 Měřitelný prostor, prostor s mírou. 4 7 Měřitelné funkce. 4 8 Jednoduché funkce. 4 II Lebesgueův integrál definice 5 9 Lebesgueův integrál jednoduché nezáporné měřitelné funkce. 5 10 Lebesgueův integrál nezáporné měřitelné funkce. 5 11 Lebesgueův integrál obecné reálné měřitelné funkce. 5 12 Závěrečná zobecnění. 6 III Newtonův integrál 7 13 Newtonův integrál zobecněná primitivní funkce. 7 14 Integrace per partes, integrace substitucí. 8 IV Základní vlastnosti Lebesgueova integrálu 8 15 Integrál jako funkce integrandu. 8 16 Integrál jako funkce integračního oboru. 10 Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze, hekrdla@math.feld.cvut.cz 1
17 Fubiniho věty, substituce. 11 18 Prostory funkcí L r p, L p, 1 p <. 12 V Použité pojmy a symboly 13 2
Část I Měřitelné množiny v R p Lebesgueova míra 1 Objem intervalu. Nechť I = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a p, b p ] R p je p rozměrný uzavřený interval v R p, je vždy kartézským součinem uzavřených jednorozměrných intervalů [a i, b i ] R, a i b i. Objemem intervalu I rozumíme číslo 2 Objem otevřené množiny. v(i = (b 1 a 1 (b 2 a 2 (b p a p. Nechť G R p je otevřená podmnožina v R p, tj. G τ p, τ p označuje systém všech otevřených podmnožin v R p. Každou otevřenou podmnožinu R p lze vyjádřit jako spočetné sjednocení uzavřených nepřekrývajících se intervalů z R p, tj. G = k N I k, k l (I k I l =. Objemem množiny G je pak číslo v(g R definované vztahem v(g = k N v(i k. (1 Dá se ukázat, že číslo v(g nezávisí na tom, jakým způsobem je otevřená množina G vyjádřena jako sjednocení uzavřených nepřekrývajících se intervalů z R p. Součet řady (1 vždy existuje, protože řada má nezáporné členy. Součet však může být nekonečný. 3 Vnější míra podmnožin R p. Vnější míra je funkce µ : P(R p [0, + ], definovaná rovností: Nechť A, B, A k P(R p, pak platí 1. µ ( = 0, 2. A B µ (A µ (B, 3. µ ( k N A k k N µ (A k. µ (M = inf {v(g M G, G τ p }. V poslední nerovnosti 3. obecně nenastává rovnost ani v případě konečné posloupnosti navzájem disjunktních množin A k. To odporuje intuitivním představám o vlastnostech objemu. Problém spočívá v přílišné bohatosti množiny všech podmnožin množiny R p, kterou nazýváme potencí množiny R p a označujeme symbolem P(R p. 4 Lebesgueovsky měřitelné množiny. Systém A P(R p je systémem lebesgueovsky měřitelných množin, právě když platí A A : ε R + G τ p (A G & µ (G A < ε. (2 Jestliže A A, říkáme, že A je (lebesgueovsky měřitelná. Definici (2 můžeme interpretovat tak, že množina je lebesgueovsky měřitelná, pokud se ve smyslu vnější míry libovolně málo liší od otevřené množiny. 5 Lebesgueova míra. Lebesgueova míra je restrikce µ na množinu A, tj. je to funkce µ : A [0, + ], pro kterou platí ( A A(µ(A = µ (A. Nechť A, B, A k A, pak pro Lebesgueovu míru µ platí: 3
1. µ( = 0, 2. A B µ(a µ(b, 3. (k l A k A l = µ( k N A k = k N µ(a k, 4. M R p & µ (M = 0 M A & µ(m = 0. Vlastnost 3. se nazývá σ aditivita míry μ. Množina M R p, pro kterou µ (A = 0, se nazývá množinou míry nula. Vlastnost 4. říká, že množina míry nula je měřitelná a má nulovou Lebesgueovu míru. Každá míra, která splňuje vlastnost 4. se nazývá úplná. 6 Měřitelný prostor, prostor s mírou. Množina A, definovaná vztahem (2, je tzv. σ algebra podmnožin množiny R p. Obecně, je-li dána libovolná množina, je σ algebra podmnožin množiny takový systém množin A, A P(, pro který platí: 1. A, 2. A A A A, 3. A : N A k N A k A. Z vlastností 1. 2. 3. se dále dá dokázat, že rovněž platí: 4. A, 5. A : N A k N A k A. Uspořádaná dvojice (, A, kde A je nějaká σ algebra podmnožin množiny, se nazývá měřitelný prostor, uspořádaná trojice (, A, µ, kde (, A je měřitelný prostor a µ je míra, tj. funkce µ : A [0, + ], která splňuje vlastnosti 1. až 4. sekce 5, se nazývá prostor s (úplnou mírou. Z definice systému A, vztah (2, vyplývá, že σ algebra A podmnožin množiny R p obsahuje všechny otevřené podmnožiny z R p. Z vlastnosti 2. plyne, že obsahuje i všechny uzavřené podmnožiny R p a podle 3. a 5. obsahuje i jejich spočetná sjednocení a průniky, atd... Systém A tedy obsahuje všechny tzv. borelovské podmnožiny R p, neboť systém borelovských podmnožin R p je definován jako nejmenší (ve smyslu inkluze σ algebra podmnožin R p, která obsahuje otevřené podmnožiny R p. 7 Měřitelné funkce. Nechť je dán měřitelný prostor (R p, A, A je σ algebra definovaná vztahem (2. Funkce f R p R se nazývá A měřitelná (zkráceně též jen měřitelná, právě když platí: D(f A & c R (f ((c, ] A. (3 Poznámka: Zde f (M znamená vzor množiny M, tj. f ((c, ] = {x f(x > c}, místo f ((c, ] se používá též symbol [f > c], tj. f ((c, ] = [f > c]. Protože A je σ algebra, dá se podmínka (3 formulovat mnoha ekvivalentními způsoby. 8 Jednoduché funkce. Nechť (R p, A je měřitelný prostor, R p. Funkce ϕ : [0, se nazývá jednoduchá nezáporná měřitelná funkce, právě když ϕ je A měřitelná a obor hodnot R(ϕ je konečná množina, je tedy A, R(ϕ = {a 1,..., a n } [0,, a ϕ ({a i } A. Ke každé jednoduché nezáporné měřitelné funkci ϕ : [0, existují množiny A k A a čísla a k [0, taková, že platí: k l A k A l =, = n A k a ϕ = n a k χ Ak, kde χ Ak : {0, 1} je tzv. charakteristická funkce množiny A k, nebo též indikátor množiny A k. Platí x A k χ Ak (x = 0, x A k χ Ak (x = 1. Je tedy R(ϕ = {a 1, a 2, a n }. 4
Část II Lebesgueův integrál definice 9 Lebesgueův integrál jednoduché nezáporné měřitelné funkce. Nechť (R p, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, A, funkce ϕ : [0, je jednoduchá nezáporná měřitelná a platí: A k A, k l A k A l =, = n A k, ϕ = n a kχ Ak. Definujeme ϕ dµ := n a k µ(a k. (4 Na pravé straně rovnice (4 se může vyskytnout součin 0, v tom případě klademe 0 := 0. 10 Lebesgueův integrál nezáporné měřitelné funkce. Nechť (R p, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, A, f : [0, ] je nezáporná A měřitelná funkce. Definujeme ( f dµ := sup ϕ dµ, (5 ϕ S f kde supremum se bere přes množinu S f všech jednoduchých nezáporných měřitelných funkcí ϕ : [0,, které vyhovují nerovnosti 0 ϕ f, 1 tj. S f = {ϕ 0 ϕ f & ϕ je jednoduchá nezáporná měřitelná funkce [0, }. Vztah (5 lze ekvivalentně vyjádřit pomocí neklesající posloupnosti nezáporných jednoduchých měřitelných funkcí. Ke každé nezáporné A měřitelné funkci f : [0, ], existuje neklesající posloupnost jednoduchých nezáporných měřitelných funkcí ϕ n : [0,, taková, že platí: 0 ϕ n ϕ n+1 f & lim n ϕ n = f na. (6 Podmínka (6 se stručně zapisuje symbolem ϕ n f na. Pak platí: ϕ n f na f dµ := lim ϕ n dµ n Každá nezáporná měřitelná funkce má tedy Lebesgueův integrál, protože supremum (5 v uspořádané množině ( R, vždy existuje, může být však nekonečné. 11 Lebesgueův integrál obecné reálné měřitelné funkce. Nechť (R p, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, A, funkce f : R je A měřitelná a může nabývat kladných i záporných hodnot. Definujeme f dµ := f + dµ f dµ, (7 kde f + := max {f, 0}, f := max { f, 0}, má-li pravá strana rovnice (7 smysl, tj. když nejsou oba integrály na pravé straně rovnice (7 nekonečné, rozdíl totiž není definován. Má-li pravá strana rovnice (7 smysl, říkáme, že (Lebesgueův integrál existuje, nebo že integrál má smysl. Jestliže integrál existuje a je konečný, říkáme, že integrál konverguje, nebo že f je (lebesgueovsky integrovatelná na. Množinu reálných lebesgueovky integrovatelných funkcí na značíme symbolem L r 1(, viz sekce 18. Poznámka: Je-li f funkce měřitelná, jsou měřitelné i funkce f +, f. 1 Nerovnosti mezi funkcemi f, g : R (resp. R jsou definovány vztahem f g ( x (f(x g(x. 5
12 Závěrečná zobecnění. V teorii Lebesgueova integrálu lze ve většině situací zanedbávat množiny míry 0. Pro účelné vyjadřování jsou užitečná dále uvedená zobecnění. 1. Nechť (R p, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, R p, A je σ algebra definovaná vztahem (2. Říkáme, že funkce f R p R je definována µ skoro všude v množině (zkráceně µ s.v. v, též jen s.v. v, právě když existuje množina N míry 0, tj. µ(n = 0, taková, že N D(f. Právě uvedenou podmínku lze ekvivalentně vyjádřit rovnicí µ( D(f = 0. 2. Zobecnění měřitelnosti funkce. Nechť je dán prostor s Lebesgueovou mírou (R p, A, µ, A je σ algebra definovaná vztahem (2. Funkce f R p R se nazývá měřitelná v množině R p, právě když je funkce f definována µ skoro všude v množině a restrikce f (= f ( R je měřitelná. Z této definice vyplývá, že funkce f R p R je měřitelná v množině R p, právě když A, µ( D(f = 0 a ( c R ( f ((c, ] A. Dále platí: Jestliže Y A, f je měřitelná v množině a µ(y = 0, pak f je měřitelná v množině Y. Důkaz. Nechť platí: f je měřitelná v množině, Y A a µ(y = 0. Odtud A, µ( D(f = 0, existuje tedy množina míry nula N A taková, že D(f = N. Odtud D(f c N c, tj. Y D(f c Y (N c = (Y N (Y c. Odtud plyne µ(y D(f µ(y N + µ(y = 0. Nechť c R, označme M c = f ((c, ], podle předpokladu M c A. Potom Y M c = Y M c ( c = (Y M c (Y c M c. Protože M c A a Y A je Y M c A. Dále Y c M c Y c a µ(y = 0, tj. Y c M c A. Pak ovšem Y M c A, cbd. Z právě dokázaného dále vyplývá, že je-li N množina nulové míry, pak dále uvedená tvrzení jsou ekvivalentní: funkce f je měřitelná v, funkce f je měřitelná v N, funkce f je měřitelná v N. Podle tohoto zobecnění je funkce f měřitelná právě když je měřitelná v množině D(f. Měřitelná funkce je tedy měřitelná v každé měřitelné podmnožině svého definičního oboru a také v měřitelných množinách, které jej o málo přesahují, tj. v množinách A, pro které platí µ( D(f = 0. 3. Zobecnění integrálu. Nechť (R p, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, R p, f R p R je funkce měřitelná v množině. Pak A a existuje měřitelná funkce g : R a množina N míry 0 taková, že g N = f N. Definujeme f dµ := g dµ, (8 kde integrál vpravo je míněn podle dříve platné definice. Platí tedy pro libovolnou množinu N míry 0 a funkci f R p R měřitelnou v množině f dµ = f dµ = f dµ, (9 N existuje-li alespoň jeden z integrálů ve vztahu (9 (existuje-li jeden, existují i ostatní. Dále, jestliže f R p R je měřitelná v množině a Y, Y A, potom f je měřitelná v Y, fχ Y je měřitelná v a platí f dµ = fχ Y dµ. (10 Y N 6
4. Jestliže funkce f je komplexní, tj. f R p C, říkáme, že f = Re(f + i Im(f je měřitelná, právě když jsou měřitelné reálné funkce Re(f, Im(f, f je měřitelná v množině, jsou-li funkce Re(f, Im(f měřitelné v množině, f je definována µ s.v. v, jsou-li funkce Re(f, Im(f definovány µ s.v. v množině. Integrál z komplexní funkce f měřitelné v množině je definován vztahem f dµ := Re(f dµ + i Im(f dµ, (11 jsou-li oba integrály na pravé straně rovnice (11 konečné (jestliže tedy oba konvergují. Poznámka: Je-li R jednorozměrný interval s krajními body a < b, tj. (a, b [a, b], užíváme běžné označení b a f := f. Dále definujeme a b f := b f, pro každou funkci f a pro každé a R a klademe a f := 0. (Symboly míry dµ je možné vynechávat, nehrozí-li nejasnosti. a Část III Newtonův integrál 13 Newtonův integrál zobecněná primitivní funkce. Newtonův integrál je důležitý nástroj výpočtu Lebesgueova jednorozměrného integrálu. Dá se ukázat, že existuje-li na nějakém intervalu I R s krajními body a, b R, a < b zároveň jak Lebesgueův tak Newtonův integrál, jsou si rovny. Newtonův integrál se opírá o pojem primitivní funkce. Nechť f, F R R jsou funkce, I R je interval s krajními body a, b R, a < b. Budeme říkat, že funkce F je zobecněnou primitivní funkcí k funkci f na intervalu I a zapisovat symbolem F zpf(f, I, právě když platí: 1. F je spojitá funkce na intervalu I, 2. existuje konečná podmnožina K I taková, že ( x I K (F (x = f(x. Newtonův integrál je pomocí zobecněné primitivní funkce definován následovně: Nechť f, F R R jsou funkce, I R je interval s krajními body a, b R, a < b. Číslo F (b F (a + se nazývá Newtonův integrál z funkce f na intervalu I právě když: 1. F zpf(f, I, 2. číslo F (b F (a + je konečné. Píšeme b a f := F (b F (a +, případně b a f(x dx := F (b F (a +. Jsou-li splněny uvedené podmínky říkáme též, že Newtonův integrál existuje, nebo že integrál má smysl. Poznámka: Čísla F (b, F (a + jsou definována limitami F (b := lim x b F (x, F (a + := lim x a+ F (x, výraz F (b F (a + se zapisuje stručně zkratkou [F (x] b a. Z definice je zřejmé, že není podstatné, zda krajní body intervalu I jsou, či nejsou jeho součástí. Definici Newtonova integrálu dále rozšiřujeme standardním způsobem rovnicemi a a f = 0, a b f = b a f. Je-li potřeba rozlišovat Lebesgueův a Newtonův integrál, užívá se symbolů (L b a, (N b a. Věta 1. Nechť f je reálná spojitá a omezená funkce, definovaná na omezeném intervalu (a, b R. Pak integrál (N b a existuje. 7
14 Integrace per partes, integrace substitucí. Připomeňme v tomto kontextu dvě základní metody integrace pro Newtonův integrál, metodu per partes a metodu substituce. Integrace per partes. Nechť f, g R R jsou funkce, (a, b R je interval, a < b. Nechť F zpf(f, (a, b, G zpf(g, (a, b. Pak platí: b a b F g = [F G] b a fg, mají-li smysl alespoň dvě veličiny v předchozí rovnici, tj. buď existují oba integrály, nebo jeden z integrálů a hodnota [F G] b a je konečná. Integrace substitucí. Nechť ω : (α, β na (a, b je striktně monotónní bijekce taková, že existuje konečná množina K (α, β a platí ( t (α, β K (ω (t R {0}. Pak platí b a f(x dx = β α a f ω(t ω (t dt, jestliže existuje alespoň jeden z integrálů v napsané rovnici (existuje-li jeden pak existuje i druhý a platí uvedená rovnost. Poznámka: Striktně monotónní bijekce ω : (α, β na (a, b je spojitá funkce. Část IV Základní vlastnosti Lebesgueova integrálu V této části je barevně odlišeno, které věty, či jejich části, jsou formulovány přímo pro komplexní funkce a které pro funkce reálné. Připomeňme, že komplexní varianta věty ve většině případů vznikla aplikací reálné varianty zvlášť na reálnou a imaginární část komplexní funkce a podle bodu 4 výrazy integrál má smysl, integrál existuje byly nahrazeny výrazem integrál konverguje. V dále uvedených odstavcích se často hovoří o nějaké vlastnosti V (x prvků x, která platí skoro všude v, zkráceně s.v. v. Znamená to, že existuje množina N míry nula taková, že platí N {x V (x}, tj. vlastnost V (x platí pro všechny prvky x množiny s výjimkou prvků množiny N míry nula. Pro úplnou míru µ je výrok N {x V (x} ekvivalentní s µ( {x V (x} = 0. Prostory funkcí L p (, L r p(, užívané v dále uvedených větách, jsou definovány v sekci 18. 15 Integrál jako funkce integrandu. Věta 2. Nechť (R p, A, µ je prostor s mírou, A, funkce f, g jsou reálné a měřitelné v. Pak platí: f g s.v. v f g, (12 speciálně 0 g s.v. v 0 g, (13 jestliže integrály v (12 existují, (existence integrálu v (13 plyne z nezápornosti funkce g. Dále platí: f g s.v. v & g L r 1( f L r 1( a platí, f f g. (14 Tvrzení (14 platí i pro komplexní funkci f, tj. f g s.v. v & g L r 1( f L 1 ( a platí, f f g. (15 8
Věta 3. Nechť (R p, A, µ je prostor s mírou, A, funkce f k, k = 1,..., n, jsou reálné a měřitelné v, c k, k = 1,..., n, jsou konečná reálná čísla. Pak platí: ( n n c k f k = (c k f k, (16 má-li pravá strana rovnosti (16 smysl (pak má smysl i levá strana a platí uvedená rovnost. Poznámka: Pravá strana rovnosti (16 má smysl, existují-li integrály f k a v součtu na pravé straně rovnice nevznikne. Avšak je definováno 0 = 0. Věta 4. (Monotónní konvergence Nechť (R p, A, µ je prostor s mírou, A, funkce f, f k, k N jsou reálné a měřitelné v. Pak platí: f k f s.v. v & < f existuje & f k f, (17 f k f s.v. v & > f 1 f 1 f existuje & f k f. (18 Symbol f k f s.v. v znamená, že f k (x f k+1 (x a lim k f k (x = f(x pro skoro všechna x. Obdobně f k f s.v. v. Symbol f k f znamená, že číselná posloupnost k f k je neklesající a lim k f k = Obdobně f k f. Podmínka < f 1 (resp. > f 1 je ekvivalentní podmínce f 1 < (resp. f 1 + <. Věta 5. Nechť (R p, A, µ je prostor s mírou, A, funkce g, f a f k, k N, jsou reálné a měřitelné v. Pak platí: Jestliže potom f k f s.v. v & ( k N ( f k g s.v. v & g L r 1( f L r 1( & f k Poznámka: Funkce g se nazývá integrovatelná majoranta posloupnosti funkcí f k. f. f. (19 Věta 6. Nechť (R p, A, µ je prostor s mírou, A, funkce f a f k, k N, jsou komplexní a měřitelné v, funkce g je reálná a měřitelná v. Pak platí: Jestliže potom f k f s.v. v & ( k N ( f k g s.v. v & g L r 1( f L 1 ( & f k Poznámka: Funkce g se nazývá integrovatelná majoranta posloupnosti funkcí f k. f. (20 Věta 7. Nechť (R p, A, µ je prostor s mírou, A, funkce f k, k N, jsou reálné a měřitelné v. Jestliže je splněna jedna z dále uvedených podmínek (21, (22, tj. buď nebo existuje funkce g L r 1( taková, že ( k N (f k 0 s.v. v, (21 ( n N ( n f k g s.v. v, (22 a řada f k konverguje s.v. v, pak platí: ( ( f k = f k. (23 9
Věta 8. Nechť (R p, A, µ je prostor s mírou, A, funkce f k, k N, jsou komplexní a měřitelné v. Jestliže existuje funkce g L r 1( taková, že ( n ( n N f k g s.v. v, (24 a řada f k konverguje s.v. v, pak platí: ( ( f k = f k. (25 Věta 9. (Beppo Levi Nechť (R p, A, µ je prostor s mírou, A, funkce f k, k N, jsou komplexní, (resp. reálné a měřitelné v. Jestliže ( ( f k <, nebo f k < (26 pak řada f k konverguje absolutně s.v. v, součet řady je funkce z L 1 (, (resp. L r 1( a platí rovnost ( ( f k = f k. (27 Poznámka: Jestliže je splněna jedna z podmínek (26, pak je splněna i druhá a výrazy na levých stranách nerovností (26 se sobě rovnají (plyne z aplikace Věty 7 na integrály z nezáporných funkcí f k. 16 Integrál jako funkce integračního oboru. Věta 10. Nechť (R p, A, µ je prostor s mírou, { k A k I} je konečná, nebo nekonečná posloupnost měřitelných množin, tj. I = {1, 2,..., n}, nebo I = N, funkce f je reálná nezáporná měřitelná v = k I k. Pak platí: 1. Jestliže k l k l =, potom f = k I ( k f 2. Jestliže I = N & k I k k+1, potom f = lim f. k k Věta 11. Nechť (R p, A, µ je prostor s mírou,, Y A, funkce f je reálná a měřitelná v. Je-li Y a f existuje, pak existuje f a platí: Y < f < Y f <. f <, (28 Y f, (29 f L r 1( f L r 1(Y, (30 Poznámka: Pro komplexní funkci f měřitelnou v je aplikovatelná jen rovnice (30, která pak dostává tvar f L 1 ( f L 1 (Y. (31 10
Věta 12. Nechť (R p, A, µ je prostor s mírou, n N, 1,..., n A jsou po dvou disjunktní měřitelné množiny (tj. k, m {1,..., n} & k m k m =, reálná funkce f je měřitelná v := n k. Pak platí n ( f =, (32 má-li jedna strana rovnosti smysl. Poznámka: Levá strana rovnosti (32 má smysl, existuje-li integrál f, pravá strana rovnosti (32 má smysl, existují-li integrály f k a v součtu na pravé straně rovnice (32 nevznikne. Má-li smysl jedna strana, má ho i druhá. Věta 13. Nechť (R p, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, k A, k N, je posloupnost měřitelných množin, funkce f je reálná a měřitelná v := n=1 k. Pak platí: 1. Jestliže k l k l =, potom f = k f ( k f, (33 má-li smysl levá strana rovnosti. (Má-li smysl levá strana, má ho i pravá. Jestliže integrál v (33 vlevo konverguje, konvergují integrály vpravo a řada konverguje absolutně. 2. Jestliže k N k k+1, potom f = lim k f, k (34 má-li smysl levá strana rovnosti. 17 Fubiniho věty, substituce. Věta 14. (1. Fubini Nechť A p, Y A q jsou měřitelné množiny v prostorech s Lebesgueovými mírami (R p, A p, µ p, (R q, A q, µ q, funkce f je A p+q měřitelná, nezáporná, f : Y [0, + ]. Pak platí: 1. funkce x f(x, y je A p měřitelná pro každé y Y, 2. funkce y f(x, y je A q měřitelná pro každé x, 3. funkce x Y f(x, y dy je A p měřitelná, 4. funkce y f(x, y dx je A q měřitelná, 5. platí: Y f(x, y dxdy = ( Y ( f(x, y dy dx = f(x, y dx dy. (35 Y Poznámka: Lebesgueovy míry dµ p, dµ q, dµ p+q jsou v rovnici (35 značeny tradičně dx, dy, dxdy. Věta 15. (2. Fubini Nechť A p, Y A q jsou měřitelné množiny v prostorech s Lebesgueovými mírami (R p, A p, µ p, (R q, A q, µ q, funkce f je A p+q měřitelná, komplexní, definována s.v. v Y. Jestliže alespoň jeden z dále uvedených integrálů f(x, y dxdy, (36 je konečný, potom platí: Y Y ( ( Y f(x, y dy dx, (37 f(x, y dx dy (38 11
1. funkce x f(x, y je prvkem L 1 ( pro skoro všechna y Y, 2. funkce y f(x, y je prvkem L 1 (Y pro skoro všechna x, 3. funkce x Y f(x, y dy je prvkem L 1(, 4. funkce y f(x, y dx je prvkem L 1(Y, 5. Y f(x, y dxdy = ( Y ( f(x, y dy dx = f(x, y dx dy. (39 Y Poznámka: Je-li konečný jeden z integrálů (36, (37, (38, jsou konečné všechny tři. Podle Věty 14 se navzájem rovnají. V rovnici (39 všechny integrály konvergují. Věta 16. Nechť (R p, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou,, Y, Ω R p, Φ : Ω R p je difeomorfismus. Pak platí: 1. Je-li Ω měřitelná množina, je i Φ ( měřitelná, 2. je-li Ω a µ( = 0, je i µ(φ ( = 0, 3. je-li (reálná či komplexní funkce f měřitelná v množině Y a Y Φ (Ω, je funkce f Φ měřitelná na množině Φ (Y. Poznámka: Zobrazení Φ : Ω R p, Φ = (Φ 1,..., Φ p, se nazývá difeomorfismus, právě když je prosté (injektivní, je třídy C 1 (Ω, tj. parciální derivace Φ i k : Ω R jsou spojité funkce a je regulární, tj. [ ] hodnost matice derivace Φ = Φ i k je rovna p v každém bodě otevřené množiny Ω. Věta 17. (substituce Nechť (R p, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou,, Y, Ω R p, Φ : Ω R p je difeomorfismus, f je reálná funkce. Pak platí: Ω f = f Φ det Φ, má li smysl alespoň jedna strana rovnice, (40 Φ ( Y Φ (Ω Y f = Φ (Y 18 Prostory funkcí L r p, L p, 1 p <. f Φ det Φ, má li smysl alespoň jedna strana rovnice. (41 Nechť (R n, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, A. Definujme prostor L r 1( reálných lebesgueovsky integrovatelných funkcí na, (stručně L r 1 vztahem: f L r 1( : f dµ R, (42 tj. f L r 1(, právě když f je reálná funkce měřitelná v taková, že f dµ je konečný (konverguje. Pro reálné i komplexní funkce a p R takové, že 1 p <, dále definujeme f L r p( : f p L r 1( & f je reálná, (43 f L p ( : Re(f L r p( & Im(f L r p( (44 f p L r 1(. Poznámka: definice podle vztahu (42 není v rozporu se vztahem (43 pro p = 1, neboť pro reálnou funkci f platí f dµ R f dµ R. (45 12
Věta 18. Nechť (R n, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, A, 1 p <, f L p (. Potom ( f p := f p 1 p, je norma na množině měřitelných funkcí v, přičemž nejsou rozlišovány funkce, které se liší na množině nulové míry. Věta 19. (Hölderova nerovnost, p > 1 Nechť (R n, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, A, f L p (, g L q (, 1 p + 1 q = 1, p > 1. Potom fg L 1( a platí fgdµ fg dµ, fg dµ f p g q, fgdµ f p g q. Věta 20. (Minkowského nerovnost, 1 p < Nechť (R n, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, A, f, g L p (. Pak platí: f + g p f p + g p. Věta 21. Nechť (R n, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, A. L 2 ( je komplexní Hilbertův prostor (a tedy i Banachův prostor. Skalární součin je definován vztahem: (f, g := f gdµ. Norma a metrika jsou definovány vztahy: f 2 = ( 1 f 2 2, ρ(f, g = f g 2, přičemž nejsou rozlišovány funkce, které se liší na množině nulové míry. Věta 22. Nechť (R n, A, µ je prostor s Lebesgueovou mírou, A. Jestliže 0 < p < q < a µ( <, potom L q ( L p (, a platí f p f q (µ( 1 p 1 q pro f L q (. Věta 23. Nechť 1 < p <, f L 1 (R, g L p (R. Potom pro s.v. x R funkce y f(x yg(y a y f(yg(x y patří do L 1 (R. Pro všechna taková čísla x definujme (f g(x := f(x yg(ydy, R (g f(x := g(x yf(ydy. Potom platí f g = g f skoro všude v R, f g L p (R, f g p f 1 g p. R Část V Použité pojmy a symboly 1. P( := {Y Y }, množina všech podmnožin množiny, tzv. potence množiny. 2. U := {x x = x}, univerzální třída, třída všech množin (prvků. 13
3. A je otevřená podmnožina v R p = (, + p, píšeme např. A τ p, právě když ke každému bodu x A existuje otevřený interval I = (a 1, b 1 (a p, b p takový, že x I A. Vnitřek A libovolné podmnožiny A R p je největší (ve smyslu inkluze otevřená podmnožina obsažená v A, tj. A A a B A & B τ p B A. Podmnožina B R p se nazývá uzavřená v R p, píšeme např. A τ p, je-li doplňkem nějaké otevřené podmnožiny R p, tj. B je uzavřená ( A τ p (B = R p A. Uzávěr Ā libovolné podmnožiny A Rp je nejmenší (ve smyslu inkluze uzavřená nadmnožina množiny A, tj. A Ā a A B & B τ p Ā B. (R p, τ p je topologický prostor, viz 5. 4. A je otevřená podmnožina v R p = [, + ] p, píšeme např. A τp e (e extended, právě když ke každému bodu x A existuje otevřený interval I takový, že x I A. Mezi otevřené intervaly v prostoru R p počítáme všechny intervaly tvaru (a 1, b 1 (a p, b p a rovněž intervaly, které vzniknou ze součinu (a 1, b 1 (a p, b p náhradou libovolného počtu jednorozměrných intervalů (a i, b i, i = 1...p libovolným z intervalů [, b i, (a i, + ], [, + ]. Například R p = [, + ] p je v prostoru R p otevřená množina. Definice uzavřené podmnožiny, vnitřku a uzávěru libovolné podmnožiny R p je shodná s definicemi v bodě 3, jestliže v nich nahradíme symboly τ p, R p, odpovídajícími symboly τp e, R p. ( Rp, τp e je topologický prostor, viz 5. 5. (, α je topologický prostor, píšeme (, α Top, právě když α je tzv. topologie na, tj. α P( je systém podmnožin množiny, pro který platí: α, α, A : N α n N A n α a A, B α A B α. 6. Množina f se nazývá binární relace, právě když f U U. Množina f se nazývá funkce, právě když f je binární relace s vlastností (x, y f & (x, z f y = z. Je-li f funkce, pak skutečnost, že (x, y f se zapisuje rovností y = f(x. Binární relace (a tedy i funkce lze skládat. Jsou-li f, g binární relace, pak složením g s f v tomto pořadí vznikne binární relace definovaná následovně: g f = {(x, z ( y ((x, y f & (y, z g}. Každé binární relaci f (a tedy i funkci jsou přidruženy dvě množiny, definiční obor D(f := {x ( y ((x, y f} a obor hodnot R(f := {y ( x ((x, y f}. 7. Obraz a vzor množiny. Nechť f je libovolná binární relace (tj. není nutné, aby to byla funkce. Obraz a vzor množiny A v binární relaci f je definován dále uvedenými vztahy. Obraz: f (A := {y ( x((x, y f & x A}, Vzor: f (A := {x ( y((x, y f & y A}. Je tedy R(f = f (D(f, D(f = f (R(f. 8. Je-li f binární relace pak f 1 označuje inverzní relaci k relaci f. Platí f 1 = {(y, x (x, y f}. Je zřejmé, že D(f = R(f 1, R(f = D(f 1. Funkce f se nazývá injektivní (též injekce, prostá, právě když relace f 1 je funkce. 9. f A := f (A U je tzv. restrikce funkce f na množinu A. Jestliže f, g jsou funkce a f g, říkáme že, že f je zúžením g, nebo že g je rozšířením f. f A je tedy zúžením f. 10. Symbol f : A B, nebo A f B se rovněž nazývá funkce. Tento nový, obsažnější pojem funkce coby šipky A f B budu v této sekci rozlišovat italikou od pojmu funkce coby binární relace z předchozích bodů. Toto grafické rozlišení budu pro účely detailnějšího popisu používat jen v této sekci a jen v bodech (10 - (12. Symbol f : A B, nebo A f B znamená toto: (1 f je funkce (tj. bin. relace s vlastností (x, y f & (x, z f y = z, (2 definiční obor D(f funkce f je roven A, tj. D(f = A, (3 obor hodnot R(f funkce f leží v B, tj. R(f B. Jestliže R(f = B říkáme, že funkce f : A B je surjektivní (též surjekce, zobrazení na, f : A na B. Říkáme, že funkce f : A B je injektivní (též injekce, prostá, právě když funkce f je injektivní. Injektivita je vlastnost samotné binární relace f, která je tímto přenesená i na funkci f : A B. Surjektivita je však vlastností pouze funkce f : A B. Je-li funkce f : A B zároveň surjekcí i 14
injekcí, říkáme, že je bijektivní, též bijekce. Jestliže R(f R říkáme, že funkce f je reálná, jestliže R(f C říkáme, že funkce f je komplexní. Každá reálná funkce je tedy zároveň komplexní, neboť R C. Obdobně se uvedené pojmy přenáší na funkci f : A B. Říkáme, že funkce f : A B je reálná (resp. komplexní, jestliže B R (resp. B C. 11. Pro libovolné množiny A, B, platí toto: A B právě když existuje funkce i : A B taková, že ( x A(i(x = x. Funkce i : A B je dvojicí množin A, B s vlastností A B určena jednoznačně, nazývá se inkluze, nebo také inzerce. Odtud vyplývá, že ke každé množině A existuje tzv. identita nebo jednotka na A, je to funkce 1 A : A A taková, že ( x A(1 A (x = x. ( ( 12. Funkce C g D, A f B je rovněž možno skládat. Kompozice D g C A f B je však definována pouze tehdy, ( když ( B = D (na rozdíl od skládání bin. relací g f, které je definováno vždy. Platí B g C A f B := A g f C, kde g f je bin. relace dříve definovaná. Jestliže( např. považuji ( funkce sin, cos, za funkce ( sin : R( R, cos : R R, potom kompozice R sin R R cos sin cos R = R R, R cos R R sin cos sin R = R R jsou definovány. Je-li však sin : R [ 1, 1], cos : R [ 1, 1], kompozice R sin [ 1, 1] R cos [ 1, 1], ( ( ( ( R cos [ 1, 1] R sin [ 1, 1] definovány nejsou. Poněkud těžkopádný symbol A f B je většinou nahrazován jen symbolem binární relace f, hovoříme pak o funkci f a máme na mysli funkci A f B. Někdy se pak nevyhneme detailnějšímu označení. Jestliže například označíme sin := R sin R, cos := R cos R, pak označme jinými symboly funkce Sin := R sin [ 1, 1], Cos := R cos [ 1, 1]. Potom je definováno jen Sin cos, Sin sin, Cos cos, Cos sin. Zde poznáme o kterou šipku jde podle názvu funkce. Tato přísnější pravidla skládání však nepředstavují ve skutečnosti žádná omezení, jen přispívají k detailnějšímu popisu vztahů mezi funkcemi již na úrovni diagramů. Například, protože [ 1, 1] R, existuje inzerce i : [ 1, 1] R, potom platí cos = i Cos a kompozice sin i Cos je již definována. Tyto vztahy lze dobře znázorňovat tzv. komutativními diagramy, např: R 1 R R Cos [ 1, 1] i cos R (46 Komutativita diagramu znamená, že různé cesty mezi dvěma vrcholy diagramu ve směru šipek jsou shodné ve smyslu skládání funkcí, tj. v diagramu (46 to znamená rovnost cos 1 R = i Cos, tj. cos = i Cos, neboť 1 R je identita. Všimněme si, že Cos je funkce surjektivní, kdežto cos surjektivní není, i z tohoto důvodu je třeba tyto funkce rozlišovat. Jestliže f : A B je bijekce, pak inverzní relace f 1 určuje funkci f 1 : B A, která je rovněž bijekce zvaná inverzní funkce k funkci f. Platí f 1 f = 1 A, f f 1 = 1 B. Obráceně, platí-li pro dvě funkce f : A B, g : B A rovnosti g f = 1 A, f g = 1 B, pak jsou to bijekce a g = f 1, f = g 1. 13. χ A je tzv. charakteristická funkce (nebo též indikátor množiny A v prostoru např., právě když A, χ A : {0, 1} a platí: x A χ A (x = 0 a x A χ A (x = 1. 14. Maximum, minimum, supremum, infimum. Nechť (, je uspořádaná množina, tj. binární relace je uspořádáním na množině. Relace je uspořádáním na právě když je reflexivní, tranzitivní a antisymetrická relace na, tj. právě když splňuje dále uvedené vlastnosti: ( x (x x, ( x, y, z (x y & y z x z a ( x, y (x y & y x x = y. Je-li A, označme symbolem A množinu všech majorant (horních ohraničení množiny A v uspořádané množině (,, tj. A = {x ( y A(y x}. Obdobně, symbolem A označme 15
množinu všech minorant (dolních ohraničení množiny A v uspořádané množině (,, tj. A = {x ( y A(x y}. Množina A se nazývá shora (resp. zdola ohraničená, je-li A (resp. A. Dá se snadno ukázat, že průniky A A, A A jsou nejvýše jednoprvkové množiny. Jestliže A A, prvek, který leží v tomto průniku se nazývá maximum množiny A, tedy definujme max(a A A. Jestliže A A = říkáme, že maximum množiny A neexistuje, nebo že množina A nemá maximum. Jestliže A A, prvek, který leží v tomto průniku se nazývá minimum množiny A, tedy definujme min(a A A. Jestliže A A = říkáme, že minimum množiny A neexistuje, nebo že množina A nemá minimum. Minimum množiny A se nazývá supremum množiny A, platí tedy sup(a := min(a, tj. sup(a A A. Maximum množiny A se nazývá infimum množiny A, platí tedy inf(a := max(a, tj. inf(a A A. Jestliže množina A A (resp. A A je prázdná, říkáme, že sup(a (resp inf(a neexistuje, nebo že množina A nemá supremum (resp. infimum. A, A jsou stručné zápisy množin (A, (A. V uspořádané množině ( R, má každá množina supremum i infimum, např. sup( =, inf( = +, jestliže však A je vždy inf(a sup(a. V uspořádané množině (R, má každá neprázdná a shora ohraničená množina supremum a každá neprázdná zdola ohraničená množina má infimum. V uspořádané množině (R, jsou supréma a infíma vždy konečná čísla, např. sup(r v (R, neexistuje, protože R =. 15. Bodová, stejnoměrná, podle normy konvergence... 16
Rejstřík úplná míra, 4 A měřitelná funkce, 4 borelovské podmnožiny, 4 Lebesgueova míra, 3 lebesgueovsky měřitelné množiny, 3 měřitelný prostor, 4 množina míry nula, 4 objem intervalu, 3 objem množiny, 3 prostor s mírou, 4 sigma aditivita míry, 4 sigma algebra podmnožin, 4 vnější míra, 3 17
Reference [1] I. Černý: Úvod do inteligentního kalkulu 2 (1000 příkladů z pokročilejší analýzy, ACADE- MIA, Praha 2005. [2] E. Hewitt, K. Stromberg: Real and Abstract Analysis (A Modern Treatment of the Theory of Functions of a Real Variable, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1965. [3] S. Cheng: A Short Course on the Lebesgue Integral and Measure Theory, e-book, 2006. 18