9. OBJEMY A POVRCHY TĚLES 9.. Vypočítejte poch kádu ABCDEFGH, jestliže ) AB =, BC = b, BH = u b) AB =, BH = u, odchylk AG EH je ϕ H G Poch kádu učíme podle zoce: S = b + c + bc ( ) c E F D b C ) A B u S = b) = + b + c c = u b b + bc + c = b + ( + b) u b A c F b = u cosϕ c = u G u b b = u u cos = u ϕ ϕ ϕ ( cos ) = u sin ( u cosϕ + u cosϕ u sin ϕ + u sin ) S = ϕ V úloze ) musíme yjádřit pomocí tělesoé úhlopříčky u elikost hny c dosdíme do zoce. V úloze b) je zdán pouze délk hny zbylé délky hn musíme yjádřit pomocí tělesoé úhlopříčky u odchylky ϕ. Odchylk ϕ je zdán jko odchylk mezi AG EH, stejná odchylk je mezi AG FG, jelikož EH je onoběžná s FG.
Stn Objemy pochy těles 9.. Objem kužele je 9π dm odchylk stny kužele od oiny podsty je α = 60. Učete obsh pláště kužele. V = π = tg 60 = 60 = π = 9π = 7 = dm = dm V Polomě kuhoé ýseče (pláště): ρ = + = 6 dm Obod kužnice o poloměu 6 dm: o = πρ = π dm Obod kuhoého oblouku (pláště): o = π = 6 π dm Plášť kužele je přesným půlkuhem: S = πρ = 8 π dm Vzoec po ýpočet kužele je V = π. Pomocí odchylky si yjádříme ýšku dosdíme. Máme tk yjádřený objem pouze záislosti n poloměu ten sndno ypočteme doszením objemu ze zdání. Plášť je část kuhu o poloměu + = 6 = 6 dm. Obsh celého kuhu je 6 π dm jeho obod je π dm. Ale oblouk pláště má délku π = 6 π dm, což je přesně poloin celého kuhu. Obsh pláště je tedy 8 π dm. 9.. Pidelný komolý čtyřboký jehln má hny podst dlouhé 4 cm, 0 cm. Boční stěny mjí sklon 45. Vypočítejte poch těles. H G N M D E F K L A B N 0 cm M E cm 45 K 4 cm L A LM = + = cm 4 + 0 S = 4 + 0 + 4 ( ) =ɺ 4, 76 cm C F B Těleso se skládá ze dou čteců (podsty) čtyř lichoběžníků (boční stěny). Jedn boční stěn je lichoběžník ABFE. Abychom mohli ypočítt obsh bočního lichoběžníku, musíme znát jeho ýšku. Řešíme lichoběžník KLMN. Rmeno síá se zákldnou úhel 45 úsek pod menem měří cm. Stejná délk přísluší ýšce těles. Délku úsečky LM ypočteme Pythgooou ětou. Celkoý poch toří čtece (ětší menší) 4 shodné lichoběžníky.
Stn Objemy pochy těles 9.4. Pomě pláště otčního álce k obshu jeho podsty je 5 :. Učete jeho objem, má-li úhlopříčk osoého řezu délku 9 cm. Z poměu pláště podsty yjádříme zth mezi ýškou poloměem. 9 Dále yjádříme pomocí Pythgooy ěty úhlopříčku řezu. Doszením z dostneme onici po polomě. Vypočtené hodnoty poloměu ýšky dosdíme do zoce po objem álce. π 5 5 = 6 = 5 = π 6 ( ) + = 9 5 6 4 + = 9 69 6 = 9 = 8 cm, = 5 cm V = π = 4860 π cm 9.5. Do kužele, jehož stn síá s oinou podsty úhel 60, je epsná koule s objemem V = 4 cm. Učete objem kužele. Osoý řez tohoto kužele je onostnný tojúhelník řez koule je kužnice. 60 60 / Střed kužnice (koule) leží těžišti tohoto tojúhelníku. Těžiště dělí příslušnou těžnici poměu :. V onostnném tojúhelníku se shoduje těžnice s ýškou. Tzn. že je kolmá n stnu. 4 π = 4 = π = ( ) = = V = π = π = π = 9 cm
Stn 4 Objemy pochy těles 9.6. Podstou kolmého hnolu je poúhlý tojúhelník, jeho oděsny jsou poměu : 4. Výšk hnolu je o cm menší než delší oděsn podsty. Učete objem hnolu, je-li jeho poch 468 cm. F D E 4x C B x C. A B A = 4 x, b = x, c = ( x) + (4 x) = 5x h = 4x x 4x S = S + S = + x x = x x = p pl (4 ) 60 4 468 60x 4x 468 = 0 5x x 9 = 0 x =, x =,6... nelze = cm, b = 9 cm, c = 5 cm, = 0 cm b V = h = 540 cm h Oděsny si yjádříme pomocí poměu neznámé x. Pythgooou ětou dopočteme přeponu. Vyjádříme poch hnolu záislosti n x ze známé hodnoty pochu učíme hodnotu x. Známe šechny stny podstě i ýšku hnolu. Doszením do zoce po ýpočet objemu hnolu ýpočet dokončíme.
Stn 5 9. TEORETICKÁ ČÁST Objemy pochy těles Otázky, kteé mohou pdnout při mtuitní zkoušce: ) Definuj geometická těles: kychle, kád, hnol, álec, kužel, jehln, komolý kužel, komolý jehln, koule. ) Ueď zthy po ýpočet objemů obshů po těles z předchozí otázky. ) Jký je zth mezi kuželem elipsou, pbolou, hypebolou, kužnicí? 4) Vysětli spoň přibližně Clieiho pincip.. Definuj geometická těles: hnol, kád, kychle, álec, kužel, jehln, komolý kužel, komolý jehln, koule. Geometické těleso je postooě omezený geometický út, jehož hnicí (pochem) je uzřená ploch. Hnoloá ploch Je dán n-úhelník A A... A (oznčoný jko řídící mnohoúhelník) ležící oině ρ přímk s ůznoběžná s oinou ρ. Hnoloá ploch je sjednocení šech přímek, kteé jsou onoběžné s přímkou s potínjí obod mnohoúhelníku A A... A. Hnoloý posto je sjednocení šech přímek, kteé jsou onoběžné s přímkou s potínjí řídící mnohoúhelník (n obodě nebo unitř). Hnol je těleso omezené hnoloou plochou děm ůznými nzájem onoběžnými oinmi, kteé jsou ůznoběžné se směem hnoloé plochy. Jink řečeno, je to část hnoloého postou ohničená děm onoběžnými oinmi, kteé potínjí jeho smě. Mnohoúhelníky, kteé jsou půnikem hnoloého postou onoběžných oin, nzýáme podsty hnolu, jejich stny nzýáme podstné hny, jejich choly nzýáme choly hnolu. Úsečky hnoloé plochy, kteé pochází choly podst, nzýáme boční hny. Ronoběžníky hnoloé plochy, z nichž kždý toří d choly jedné podsty d choly duhé podsty, nzýáme boční stěny. Poch hnolu toří podsty boční stěny. Plášť hnolu je sjednocení šech bočních stěn. Výšk hnolu je zdálenost jeho podst. Tělesoá úhlopříčk je spojnice dou cholů, kteé neleží téže stěně. Úhlopříčky stěn nzýáme stěnoé úhlopříčky. Kolmý hnol má kolmé boční stěny k podstám. Pidelný hnol je kolmý hnol, jehož podstou je pidelný mnohoúhelník. Kychle je kolmý čtyřboký hnol, jehož šechny hny jsou shodné. Její poch se skládá ze šesti shodných čteců. Má čtyři shodné tělesoé úhlopříčky, kteé se potínjí e společném bodě tímto bodem jsou půleny. Tento bod se nzýá střed kychle. Kychle má osm cholů dnáct hn. Výpočet stěnoé úhlopříčky kychle: u = Výpočet tělesoé úhlopříčky kychle: u = T
Stn 6 Objemy pochy těles Kád je kolmý čtyřboký hnol, jehož podstou je obdélník nebo čteec. Jeho poch se skládá ze šesti poúhelníků, z nichž kždé d potější jsou onoběžné shodné. Má čtyři shodné tělesoé úhlopříčky, kteé se potínjí e společném bodě tímto bodem jsou půleny. Tento bod se nzýá střed kádu. Kád má osm cholů dnáct hn. Hny oznčujeme ětšinou, b c. Výpočet stěnoé úhlopříčky kádu: Výpočet tělesoé úhlopříčky kádu: u = + b u = + b + c T Kuhoá álcoá ploch Je dán kužnice k ležící oině ρ přímk s ůznoběžná s oinou ρ. Kuhoá álcoá ploch je sjednocení šech přímek, kteé jsou onoběžné s přímkou s potínjí obod kužnice k. Kuhoý álcoý posto je sjednocení šech přímek, kteé jsou onoběžné s přímkou s potínjí kuh ohničený kužnicí k. Kuhoý álec je těleso omezené kuhoou álcoou plochou děm ůznými nzájem onoběžnými oinmi, kteé jsou ůznoběžné se směem kuhoé álcoé plochy. Ob kuhy, nichž kuhoý álcoý posto potíná onoběžné oiny, se nzýjí podsty, úsečky kuhoé álcoé plochy, kteé pochází kužnicí ohničující podstu, se nzýjí stny álce, množin stn álce yplňuje plášť álce. Poch álce se skládá ze dou kuhoých podst pláště. Výšk je dán zdáleností podst. Rotční álec je tkoý kuhoý álec, jehož stny jsou kolmé k podstám. Spojnice středů podst je tké kolmá k podstám nzýá se os álce. Kosý álec nemá stny kolmé k podstě. Ronostnný álec má ýšku stejně dlouhou jko půmě podsty. Rotční álec můžeme tké definot jko otční těleso. Vznikne otcí obdélníku nebo čtece kolem přímky, kteá obshuje jednu jeho stnu. Jehlnoá ploch Je dán n-úhelník A A... A (oznčoný jko řídící mnohoúhelník) ležící oině ρ bod V (chol) ležící mimo oinu ρ. Jehlnoá ploch je sjednocení šech přímek, kteé pocházejí bodem V potínjí obod mnohoúhelníku A A... A. Hn jehlnoé plochy je její přímk, kteá pochází cholem řídícího mnohoúhelník. Jehlnoý posto je sjednocení šech přímek, kteé pocházejí bodem V potínjí řídící mnohoúhelník (n obodě nebo unitř). Jehln je těleso omezené jehlnoou plochou oinou, kteá je ůznoběžné s hnmi jehlnoé plochy.
Stn 7 Objemy pochy těles Mnohoúhelník, kteý je půnikem jehlnoého postou ohničující oiny, nzýáme podst jehlnu. Stny podsty nzýáme podstné hny, choly podsty chol V nzýáme choly jehlnu, přičemž chol V je hlní chol. Úsečky jehlnoé plochy, kteé pochází choly podst hlním cholem, nzýáme boční hny. Tojúhelníky, kteé toří d sousední choly podsty hlní chol, nzýáme boční stěny. Poch jehlnu toří podst boční stěny. Plášť jehlnu je sjednocení šech bočních stěn. Výšk jehlnu je zdálenost hlního cholu od oiny podsty. Pidelný jehln má podstu pidelný mnohoúhelník (onostnný tojúhelník, čteec, pidelný pětiúhelník td.). Jeho boční stěn jsou shodné onomenné tojúhelníky, kteé síjí s podstou shodné úhly kždé dě boční stěny síjí tké shodné úhly. Jeho boční hny jsou shodné síjí s podstou znou shodné úhly. Pt ýšky dopdá do středu podsty. Čtyřstěn je tojboký jehln. Pidelný čtyřstěn je pidelný tojboký jehln. Všechny čtyři stěny jsou shodné onostnné tojúhelníky. Komolý jehln znikne ozdělením půodního jehlnu oinou onoběžnou s podstou. Rozdělením znikne z jehlnu menší jehln těleso, kteé nzýáme komolý jehln. Jeho podstmi jsou podobné mnohoúhelníky, bočními stěnmi jsou lichoběžníky. Pidelný komolý jehln má boční stěny shodné onomenné lichoběžníky. Kuhoá kuželoá ploch Je dán kužnice k ležící oině ρ bod V, kteý oině ρ neleží. Kuhoá kuželoá ploch je sjednocení šech přímek, kteé pocházejí bodem V potínjí obod kužnice k. Kuhoý kuželoý posto je sjednocení šech přímek, kteé pocházejí bodem V potínjí kuh ohničený kužnicí k. Kuhoý kužel je těleso omezené kuhoou kuželoou plochou oinou, kteá je ůznoběžná s přímkmi kuželoé álcoé plochy nepochází bodem V. Kuh, němž kuhoý kuželoý posto potíná oinu, se nzýá podst, úsečky kuhoé kuželoé plochy, kteé pochází kužnicí ohničující podstu, se nzýjí stny kužele, množin stn kužele yplňuje plášť kužele. Poch kužele se skládá z jedné kuhoé podsty pláště. Výšk je dán zdáleností podsty cholu. Rotční kužel je tkoý kuhoý kužel, u něhož pt ýšky je záoeň středem podsty. Spojnice středu podsty cholu (ýšk) je kolmá k podstě nzýá se os kužele. Kosý kužel nemá ýšku kolmou k podstě. Ronostnný kužel má délku stny shodnou s půměem podsty. Rotční kužel můžeme tké definot jko otční těleso. Vznikne otcí poúhlého tojúhelníku kolem přímky, kteá obshuje jednu jeho oděsnu.
Stn 8 Objemy pochy těles Komolý kužel znikne ozdělením půodního kužele oinou onoběžnou s podstou. Rozdělením znikne z kužele menší kužel těleso, kteé nzýáme komolý kužel. Jeho podstmi jsou kuhy, jeho osoým řezem je lichoběžník (u otčního kužele se jedná o onomenný lichoběžník). Kuloá ploch je množin bodů postou, kteé mjí od bodu S (středu kuloé plochy) stejnou zdálenost (polomě kuloé plochy, > 0). Koule je množin bodů postou, kteé mjí od bodu S (středu koule) zdálenost menší nebo onu (polomě koule, > 0). Části kuloé plochy koule Kuloý chlík znikne ozdělením kuloé plochy sečnou oinou (to je oin, kteá má s kuloou plochou společnou kužnici). Sečná oin ozdělí kuloou plochu n d kuloé chlíky. Kuloý chlík je ploch, počítáme ho jednotkách čteečných. Kuloá úseč znikne ozdělením koule sečnou oinou (to je oin, kteá má s koulí společný kuh). Sečná oin ozdělí kouli n dě kuloé úseče. Kuloý pás je část kuloé plochy mezi děm onoběžnými řezy. Kuloá st je část koule mezi děm onoběžnými řezy. Kuloá ýseč je část koule ohničená kuloým chlíkem pláštěm kužele, jehož chol je e středu koule obod podsty je totožný s hniční kužnicí chlíku. Poznámk: Vchlík pás jsou plochy, úseč, st, ýseč jsou těles (počítáme objem). Kteé těleso nzýáme otční. Rotční těleso získáme otcí oinného obzce kolem dné přímky, osy otčního těles. Vyjmenuj někteá otční těles. Rotční álec, otční kužel, komolý otční kužel, koule (přípdně elipsoid zploštělý - otuje kolem sé edlejší osy, elipsoid ejčitý - otuje kolem sé hlní osy) 4. Ueď zthy po ýpočet objemů pochů po těles z předchozí otázky. Kád Poch kádu: S = ( b + c + bc) Objem kádu: V = bc, b, c jsou délky hn kádu c b Kychle Poch kychle: S = 6 Objem kychle: V = je délk hny kychle
Stn 9 Objemy pochy těles Hnol Poch hnolu: S = S p + S pl Objem hnolu: V = S S p je obsh podsty, S pl je obsh pláště, je ýšk hnolu p S P S Pl Jehln Poch jehlnu: S = S p + S pl Objem jehlnu: V = S p S p je obsh podsty, S pl je obsh pláště, je ýšk jehlnu S P Komolý jehln Poch komolého jehlnu: S = S p + S p + S pl V = S + S S + S S p, S p jsou obshy podst, S pl je obsh pláště, je ýšk komolého jehlnu Objem komolého jehlnu: ( p p p p ) S S Rotční álec S = π + = π + π Poch otčního álce: ( ) Objem otčního álce: V = π je polomě podsty álce, je ýšk álce Rotční kužel S = π + s = π + π s Poch otčního kužele: ( ) Objem otčního kužele: V = π s je délk stny kužele, je polomě podsty kužele, je ýšk kužele
Stn 0 Objemy pochy těles Komolý otční kužel Poch otčního kužele: S = π + π + π s( + ) Objem otčního kužele: V = π( + + ) s je délk stny komolého kužele,, jsou poloměy podst, je ýšk komolého kužele. Koule Poch koule: S = 4π 4 Objem koule: V = π je polomě koule Části koule Obsh kuloého chlíku nebo kuloého pásu: S = π je polomě kuloé plochy je ýšk chlíku (pásu) π Objem kuloé úseče: V = ( + ) 6 je polomě podsty úseče je ýšk úseče π 6, jsou poloměy podst sty je ýšk sty Objem kuloé sty: V = ( + + ) ( ) π π Objem kuloé ýseče: V = ( + ) + 6 Tento objem je součtem objemu kuloé úseče objemu otčního kužele (součet ýšek úseče kužele je polomě koule, kteé je ýseč částí) je polomě podsty úseče, je polomě koule je ýšk úseče S
Stn Objemy pochy těles 5. Jký je zth mezi kuželem elipsou, pbolou, hypebolou, kužnicí? Kužnice, elips, pbol hypebol jsou křiky, kteé nzýáme kuželosečky. Všechny znikjí řezem oiny kuželoou plochou. 6. Stučně ysětli pojem poch těles. Pochem S těles chápeme obsh jeho hnice. 7. Stučně ysětli pojem objem těles. Objem těles je kldné eálné číslo, kteé přiřzujeme kždému tělesu. Po objem pltí: ) Shodná těles mjí stejný objem. b) Pokud je těleso složeno z několik těles, kteé neponikjí skz sebe, je jeho objem oen součtu objemů těchto těles. c) Objem kychle, jejíž hn má délku (nzýáme ji jednotkoá kychle), je oen. 8. Vysětli spoň přibližně Clieiho pincip. Clieiho pincip říká, že těles se shodnými obshy podst shodnými ýškmi mjí stejný objem, pokud mjí řezy onoběžné s podstmi edené e stejné zdálenosti od podst stejné obshy. Můžeme zít sloupek stejných mincí, jednou z něj ytoříme kolmý álec, jednou kosý álec. Jelikož je obou přípdech obsh podsty shodný, ýšk shodná jkémkoli řezu onoběžném s podstou dostneme shodný kuh, tk objemy obou álců se shodují.