Lineární algebra : Lineární zobrazení

Lineární algebra : Lineární zobrazení (6. přednáška František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 20. května 2014, 22:40 1

2 6.1 Lineární zobrazení Definice 1. Buďte P a Q dva lineární prostory nad stejným tělesem T a A : P Q. Zobrazení A nazveme lineární, právě když platí: Definice lineárního zobrazení 1. ( x, y P (A(x + y = Ax + Ay, 2. ( α T ( x P ( A(αx = αax. Množinu všech lineárních zobrazení P do Q značíme L(P, Q. Definice 2. Lineární zobrazení prostoru V do V nazýváme lineární operátor (transformace na V. Množinu všech lineárních operátorů na V značíme krátce L(V. Lineární zobrazení prostoru V do tělesa T nazýváme lineární funkcionál na V. Množinu všech lineárních funkcionálů definovaných na V značíme V # a nazýváme duální prostor k prostoru V. Tedy L(V, T = V #. Příklady lineárních zobrazení f : R R, f(x := αx f : C 3 C 2, f(x, y, z := (x + 2y z, x 2y 3z A : P P, B : P P, N : F F Ap := p (Bp(x := x 0 N(f := f(0 p(tdt Zobrazení C, které funkci zobrazí na posloupnost následovně: C(f := {f(1, f(2, f(3,... }.

3 Další příklady Vzpomeňte si na neobvyklý LP L = R + and tělesem R s operacemi x y := xy, α x := x α. Zobrazení f : R + R, f(x := ln x je lineární. Souřadnicový funkcionál x # i : V n T je lineární zobrazení! Na množině L(P, Q definujeme operace: Množina lineárních zobrazení je LP součet zobrazení A, B L(P, Q: ( x P ( (A + Bx = Ax + Bx, násobení zobrazení A L(P, Q číslem α T : ( x P ( (αax = αax. Věta 3. Množina L(P, Q s operacemi zavedenými výše je lineární prostor nad T. Důkaz. Nejprve si uvědomíme, že množina L(P, Q je neprázdná, neboť existuje alepoň jedno lineární zobrazení P do Q, a to nulové zobrazení Θ, definované pro všechna x P jako Θx = θ Q, kde θ Q je nulový vektor z Q. Dále vyšetříme uzavřenost množiny L(P, Q vzhledem ke sčítání zobrazení a násobení zobrazení číslem. Buďte A, B L(P, Q. S využitím linearity A, B máme (A+B(x+y = A(x+y+B(x+y = Ax+Ay+Bx+By = (A+Bx+(A+By, (A + B(αx = A(αx + B(αx = αax + αbx = α(a + Bx. Zcela obdobně bychom ukázali (αa(x + y = (αax + (αa(y a (αa(βx = β(αax.

4 Zbývá ověřit axiomy lineárního prostoru. Ověříme například komutativitu sčítání vektorů, ostatní axiomy by se ověřili analogicky. Pro libovolný x P jsou Ax a Bx prvky z Q. Máme (A + Bx = Ax + Bx = Bx + Ax = (B + Ax, což jsme chtěli dokázat. Axiom o existenci nulového vektoru je splněn díky nulovému zobrazení Θ. Opačným vektorem k zobrazení A L(P, Q je ( 1A. Věta 4. Buďte P a Q LP nad T, A : P Q. Následující 3 tvrzení jsou ekvivalentní: Některé vlastnosti lineárního zobrazení 1. A L(P, Q. 2. ( α T ( x, y P ( A(x + αy = Ax + αay. 3. ( n N( α 1,..., α n T ( x 1,..., x n P platí ( n A α i x i = α i Ax i. Důkaz. (1 (2 : Z linearity A platí A(αx + y = A(αx + Ay = αax + Ay. (2 (3 : Tvrzení dokážeme matematickou indukcí. Nejprve ukážeme Aθ P = θ Q. Podle bodu 2. platí A(θ P = A( x + x = Ax + Ax = θ Q, kde jsme využili, že pro x P je též x P. Pro n = 1, α 1 T a x 1 P dle bodu 2. máme A(α 1 x 1 = A(α 1 x 1 + θ P = α 1 Ax 1 + Aθ P = α 1 Ax 1 + θ Q = α 1 Ax 1. Nechť pro n N, (α 1,..., α n T n a (x 1,... x n P platí ( n A α i x i = α i Ax i. Nyní vezměme libovolně (α 1,..., α n+1 T n a (x 1,... x n+1 P. Potom ( n+1 ( n A α i x i = A α i x i + α n+1 x n+1 = α i Ax i + α n+1 Ax n+1,

5 kde jsme využili indukčního předpokladu. Posldení výraz je roven n+1 α i Ax i. (3 (1 : Stačí dosadit v 3. n = 2 a α 1 = α 2 = 1, resp. n = 1. Další věta říká, že lineární zobrazení zachovává lineární obal vektorů. Věta 5. Nechť A L(P, Q a M P. Potom A( M = A(M. Důkaz. Nechť y A( M. Potom existuje x M, že Ax = y. Jelikož x M, existují α 1,..., α n T a x 1,..., x n M, že x = n α i x i. Z linearity A dostáváme ( n y = Ax = A α i x i = α i Ax i. Vektor y je tedy lineární kombinací vektorů Ax 1,... Ax n, nebo-li y A(M. Tím máme dokázanou inkluzi A( M A(M. Opačnou inkluzi dokážeme obdobně přečtením uvedeného důkazu odspoda nahoru. (Proveďte jako cvičení! Věta 6. Buďte P,Q lineární prostory nad T a A L(P, Q. Potom Lineární obraz resp. vzor podprostoru je podprostor 1. je-li P P, pak A( P Q, 2. je-li Q Q, pak A 1 ( Q P. Důkaz. Ad 1 Všimněme si, že A( P, protože P. Dále A( P Q. Stačí tedy ukázat, že ( α T ( u, v A( P (αu + v A( P. Pro libovolně volené u, v A( P musí existovat x, y P, že u = Ax a v = Ay. Potom αu + v = αax + Ay = A(αx + y. Protože αx + y P, neboť P P, platí αu + v A( P. Ad 2 Opět si všimněme, že A 1 ( Q, protože minimálně θ A 1 ( Q. Nechť α T, x, y A 1 ( Q. Potom Ax Q, Ay Q. Protože A(αx + y = αax + Ay Q, platí, že αx + y A 1 ( Q.

6 Poznámka 7. Speciálně tedy platí, že A(P Q a také A 1 (Q P. Věta 8. 1. Lineární obraz LZ souboru je LZ soubor. 2. Lineární vzor LN souboru je LN soubor. Důkaz. Ad 1 Nechť A L(P, Q, kde P, Q jsou lineární prostory nad tělesem T. Nechť (x 1,..., x n je LZ soubor z P. Tedy existuje (α 1,..., α n T n, že n α i x i = θ P a zároveň existuje i 0 ˆn, že α i0 0. Tedy ( n θ Q = A α i x i = α i Ax i, z čehož plyne, že (Ax 1,..., Ax n je LZ. Ad 2 Pokud by existoval LN soubor z Q, jehož lineární vzor by byl LZ, dostali bychom se do sporu s bodem 1. Cvičení: Dokažte následující tvrzení. Inverzní a složené zobrazení 1. Je-li A L(P, Q bijekce, potom existuje A 1 a je také lineární, tj. A 1 L(Q, P. 2. Buďte A L(P, Q a B L(Q, R. Potom složené zobrazení BA definované ( x P ( (BAx = B(Ax je lineární, tj. BA L(P, R. Jádro, defekt a hodnost Definice 9. Nechť A L(P, Q. Číslo dim A(P nazýváme hodnost zobrazení A a značíme h(a. Množinu ker A := {x P Ax = θ} nazýváme jádro zobrazení A, číslo dim ker A nazýváme defekt zobrzení A a značíme d(a.

7 Poznámka 10. Víme, že množina A(P Q, má tedy nějakou dimenzi, a proto definice hodnosti zobrazení A má dobrý smysl. Snadno také ověříme, že ker A P (proveďte!, i defekt A je proto dobře definován. Cvičení: Najděte jádro, defekt a hodnost u dříve zmíněných příkladů lineárních zobrazení. To, jestli je lineární zobrazení prosté, poznáme podle jeho jádra. Prosté lineární zobrazení Věta 11. Nechť A L(P, Q. Potom platí: A je prosté ker A = {θ}. Důkaz. Víme, že A(θ P = θ Q. Protože A je prosté, neexistuje jiný vektor než θ P, které by A zobrazilo na θ Q. Tedy, ker A = {θ P }.. Tuto implikaci dokážeme sporem. Předpokládejme, že ker A = {θ P } a současně existují x, y P, x y a A(x = A(y. Tedy Ax Ay = θ Q, s využitím linearity A(x y = θ Q. To znamená, že x y ker A = {θ P }. Ale x y θ P, neboť x y, čímž dostávámne spor. Věta 12. Nechť A L(P, Q je prosté. Potom 1. je-li (x 1,..., x n LN soubor vektorů z P, je také (Ax 1,..., Ax n LN, 2. je-li (y 1,..., y n LZ soubor vektorů z A(Q, je také soubor vzorů (x 1,..., x n LZ, tj. ( i ˆn(y i = Ax i. Důkaz. Ad 2 Je-li (y 1,..., y n LZ soubor vektorů z Q, existuje i 0 ˆn, že α i0 0 a zároveň ( n θ Q = α i y i = α i Ax i = A α i x i. Protože A je prosté, n α i x i ker A = {θ P }. A tak je soubor (x 1,..., x n LZ. Ad 1 Kdyby existoval LN soubor, jehož obraz by byl LZ, dostali bychom se do sporu s 1. Známe-li hodnoty lineárního zobrazení A na bazických vektorech, je tím A již plně určeno. Lineární zobrazení určené hodnotami na bázi

8 Věta 13. Nechť P, Q jsou LP nad T. Nechť (x 1,..., x n je báze P a nechť (y 1,..., y n je soubor vektorů z Q. Potom existuje právě 1 lineární zobrazení A L(P, Q takové, že ( i ˆn(Ax i = y i. Důkaz. Tvrdíme, že zobrazení A lze předepsat jako Ax = n x # i (xy i pro všechna x P. Nejprve ověříme linearitu A(αx + y = x # i (αx + yy i = (αx # i (x + x# i (yy i = α x # i (xy i + x # i (yy i = αax + Ay, kde jsem využili linearity souřadnicového funkcionálu x # i. Jednoznačnost dokážeme sporem. Nechť existuje B L(P, Q takové, že ( i ˆn(Bx i = y i a přitom B A, tj. ( a P (Ba Aa. Z linearity ale dostáváme ( n Ba = B x # i (ax i = x # i (abx i = x # i (ay i = Aa, což je spor. Příklad: Uvažujte A L(P 3, R 3 takové, že A1 = (1, 1, 0, Ax = (0, 1, 2, Ax 2 = ( 1, 1, 3. Jak působí A na libovolný polynom z P 3? Představme si obecný problém, že chceme najít všechna řešení rovnice Množina řešení rovnice s lineárním zobrazením Ax = b kde A L(P, Q a b Q je známý vektor. Problémy tohoto (lineárního typu se objevují v matematice velice často: soustavy lineárních rovnic, diferenciální a integrální rovnice, rekurentní rovnice, aj. Následující věta udává tvar množiny řešení: stačí znát jediné řešení a jádro A.

9 Věta 14. Nechť A L(P, Q, b Q. Nechť a P takové, že Aa = b, potom platí: A 1 ({b} = a + ker A. Důkaz. Dokážeme dvě inkluze. Buď nejprve x A 1 ({b}, tj. Ax = b. Tedy A(x a = θ, neboli x a ker A, odtud x a + ker A. Naopak nechť x a + ker A, tj. z ker A : x = a + z. Platí Ax = A(a + z = Aa = b, odtud x A 1 ({b}. Příklad: Najděte všechna řešení rekurentní rovnice: x n+1 x n = 2n + 1. 2. věta o dimenzi Věta 15 (2. o dimenzi. Nechť A L(P, Q a dim P <. Potom h(a + d(a = dim P. Důkaz. Pokud je h(a = 0, pak A(P = {θ Q }, tj. A = Θ. Tedy ker A = P, a tak d(a = dim ker A = dim P. Nechť je tedy h(a = k N. Bázi A(P značme (y 1,..., y k a její vzor (x 1,..., x k. Podle jedné z předchozích vět je (x 1,..., x k LN. Označme P = x 1,..., x k. Ukážeme, že ker A P = P. Tvrzení věty potom bude plynout z 1. věty o dimenzi. Nejprve ukážeme ker A+ P = P, direktnost součtu posléze. Protože inkluze ker A+ P P je zřejmá, zaměříme se na opačnou inkluzi: Uvažujme libovolný x P. Chceme najít rozklad x = p + q, kde p P a q ker A. Protože p P, musí platit p = k α i x i, kde koeficienty α 1,..., α k určíme z podmínky q = x k α i x i ker A. Platí k k k θ = A(x α i x i = Ax α i Ax i = Ax α i y i, neboli Ax = k α i y i. Odtud i ˆk : α i = y # i (Ax. Tím je ovšem rozklad x = p + q P + ker A určen. Nyní ukážeme, že P ker A = P. Vezměme x P ker A, tj. existují (β 1,..., β k T k, že x = k β i x i. Současně platí k k θ = Ax = β i Ax i = β i y i. Odtud plyne, že β i = 0 pro všechny i ˆk, neboť (y 1,..., y k je báze A(P. Potom je ale x = θ, tj. P ker A = {θ}. Příklad: Jaká je hodnost zobrazení A L(P n, P n, kde Ap := p?

10 6.2 Izomorfní lineární prostory Definice 16. Lineární zobrazení A L(P, Q které je navíc bijekcí P na Q nazýváme izomorismus. Pokud takové zobrazení existuje z P do Q, říkáme, že P a Q jsou izomorfní a píšeme P = Q. Izomorfismus a izomorfní lineární prostory Cvičení: Ukažte, že 1. složení dvou izomorfismů je izomorfismus, 2. inverze k izomorfismu existuje a je to izomorfismus. Příklad: Sestrojíme jedno důležité izomorfní zobrazení prostoru V n do T n. Buď X = (x 1,..., x n báze V n. Definujeme A X : V n T n vztahem Souřadnicový izomorfismus ( x V n (A X x = ( x # 1 (x,..., x# n (x. Ukážeme, že jde skutečně o izomorfismus (tabule. Zobrazení A X L(V n, T n nazýváme souřadnicový izomorfismus v bázi X. Důsledek 17. Buď V n LP dimenze n nad T. Potom V n = T n. K tomu, aby lineární zobrazení mezi prostory konečné (a stejné dimenze bylo izomorfismem, stačí, aby bylo prosté nebo na. Izomorfismus na prostorech konečné dimenze Věta 18. Nechť A L(P n, Q n. Potom A je izomorfismus tehdy a jen tehdy, je-li A prosté nebo na. Důkaz. Výplývá přímo z definice. Nechť A je injektivní, ukážeme surjektivitu. Bázi P n označme (x 1,..., x n. Potom A(P n = A x 1,..., x n = Ax 1,..., Ax n Q n. (Ax 1,..., Ax n je LN protože (x 1,..., x n je LN a A je prosté. Proto dim Ax 1,..., Ax n = n, z čehož plyne A(P n = Q n.

11 Nechť A je surjektivní, ukážeme ker A = {θ P }. Nechť Ax = θ Q. Existují (α 1,..., α n T n, že x = α i x i. Odtud dostáváme θ Q = Ax = n α i Ax i. Protože A je zobrazení P n na Q n, platí Q n = A(P n = Ax 1,..., Ax n. Tedy, (Ax 1,..., Ax n je LN. Proto α i = 0 pro každé i ˆn, a tak x = θ P. Věta 19. Buďte P, Q lineární prostory nad T a nechť alespoň jeden má konečnou dimenzi. Potom Izomorfní lineární prostory konečné dimenze P = Q dim P = dim Q. Důkaz. Nechť dim P <. Nechť je nejprve dim P = 0, což je ekvivalentní s P = {θ P }. Buď A izomorfismus P Q. Odtud plyne Q = A(P = {θ Q }, a tedy dim Q = 0. Pokud je dim P = n N, označme (x 1,..., x n bázi P. Buď A L(P, Q izomorfismus. Potom Q = A(P = A x 1,..., x n = Ax 1,..., Ax n, tj. soubor (Ax 1,..., Ax n generuje Q. Jedná se navíc o lineárně nezávislý soubor, neboť (x 1,..., x n je LN. Odtud dim Q = n. Nechť dim P = dim Q = 0. Odtud P = {θ P } a Q = {θ Q }. Zobrazení A : P Q definované jako Aθ p = θ Q je hledaným izomorfismem. Nechť dim P = dim Q = n N. Označme (x 1,..., x n bázi P a (y 1,..., y n bázi Q. Víme, že existuje právě jedno zobrazení A L(P, Q takové, že Ax i = y i pro všechna i ˆn. Ukážeme, že toto zobrazení je izomorfismus. Předně platí A(P = A x 1,..., x n = Ax 1,..., Ax n = Q, tj. zobrazení je surjektivní. Dále buď x ker A, tj. Ax = θ Q. Existuje (α 1,..., α n T n, tak že x = n α i x i. Odtud θ Q = Ax = α i Ax i = α i y i. Soubor (y 1,..., y n je ale báze Q, a tak α i = 0 pro všechny i ˆn. Neboli x = θ P. Dokázali jsme tak ker A = {θ P }. Zobrazení A je tedy injektivní. Důsledek 20. Pro P a Q LP nad T, platí implikace: P = Q dim P = dim Q.

12 Poznámka 21. Předpoklad konečnosti dimenze v implikaci dim P = dim Q < P = Q je podstatný. Např. dim P = dim F =, ale lze ukázat, že P F (důkaz neuvedeme. Izomorfní lineární prostory Protože izomorfní zobrazení přenásí všechny v lineární algebře studované vlastnosti množin vektorů (LN, obal, báze,..., není (z hlediska lineární algebry mezi izomorfními prostory rozdíl. Můžeme si vybrat v jakém ze vzájemně izomorfních prostorů budeme algebraický problém řešit. Obvykle je volen prostor T n (tedy např. R n, kde lze použít existující vektorové a maticové algoritmy. Máme-li např. řešit algebraický problém přirozeně formulovaný na polynomech stupně < n, tedy P n, lze si úlohu přeformulovat do C n, zde ji vyřešit, a výsledek opět zobrazit do P n. Jaký byste volili izomorfismus mezi P n a C n? 6.3 Lineární operátory Definice 22. Buď V LP. Zobrazení E : V V definované vztahem ( x V (Ex = x nazýváme identický operátor na V. Věta 23. Buď A L(V. 1. Existuje-li B L(V takový, že AB = E, pak je A surjektivní (=na. 2. Existuje-li C L(V takový, že CA = E, pak je A injektivní (=prosté. 3. Jsou-li splněny předpoklady bodu 1. a 2., potom je A bijekce a platí B = C = A 1. operá- Lineární tory Důkaz.

13 1. Chceme dokázat, že ( y V ( x V (y = Ax. Nechť tedy y V. Definujme x := By. Pak Ax = A(By = (ABy = Ey = y. 2. Ukážeme, že ker A = {θ}. Nechť x ker A, pak Ax = θ. Odtud θ = Cθ = C(Ax = (CAx = Ex = x. 3. A prosté i na, a tedy bijekce. Dále máme A 1 = A 1 E = A 1 (AB = (A 1 AB = EB = B. Rovnost C = A 1 ukážeme obdobně. Poznámka 24. Je-li dim V < a je-li splňen předpoklad z bodu 1. nebo 2., potom je A bijekce a platí A 1 = B, resp. A 1 = C. 6.4 Lineární funkcionály* Připomeňme, že všechna lineární zobrazení z V do T tvoří prostor lineárních funkcionálů L(V, T V #, nebo-li tzv. duální prostor k V. Lineární funkcionály* Příklad: 1. Souřadnicový funkcionál x # i V n #. 2. Zobrazení ϕ : R 2 R definované ϕ(x, y = x + y. 3. Zobrazení ψ : P C definované ψ(p = 1 0 p(xdx. Věta o dualitě

14 Věta 25. Nechť X = (x 1,..., x n je báze V n. Potom soubor X # = (x # 1,..., x# n je bází duálního prostoru X #, tedy dim V n # = n. Dále pro souřadnice libovolného ϕ V n # platí ϕ = ϕ(x i x # i. Důkaz. Nejprve ukážeme, že X # je LN. Uvažujme n α i x # i = θ. Tedy pro všechny x V n platí n α i x # i (x = θ. Speciálně pro x j X máme n α i x # i (x j = θ pro všechny j ˆn. Protože x # i (x j = δ ij, plyne odtud, že α i = 0 pro všechny i ˆn. Nyní ukážeme, že X # = V n #. Inkluze x # 1,..., x# n V n # je zřejmá. Opačnou inkluzi dokážeme konstruktivně. Mějtme x V n, ϕ V n # libovolné. Pak ( n ( n ϕ(x = ϕ x # i (xx i = x # i (xϕ(x i = ϕ(x i x # i (x. Musí proto platit rovnost zobrazení ϕ = n ϕ(x i x # i, odtud ϕ x# 1,... x# n. Příklad: Uvažujme standardní bázi (e 1, e 2, e 3 v R 3. Potom, např. Příklad ilustrující větu o dualitě e # 1 (x, y, z = x a podobně pro e # 2 a e# 3. Zvolme funkcionál ϕ (R3 # definovaný vztahem ϕ(x, y, z = 2x + 3y z. Potom skutečně platí ϕ = 2e # 1 + 3e# 2 e# 3, neboť ϕ(e 1 = 2, ϕ(e 2 = 3, ϕ(e 3 = 1.