RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných pravidel různé výsledky, tj. výsledek závisí na náhodě ř. Hod kostkou, Ruleta, Sportka, Karty Def.: Náhodný pokus je pokus závisející nejen na předepsaných podmínkách, ale také na náhodě. oznámka: Náhoda je soubor drobných, ne zcela zjistitelných vlivů, které způsobují změnu výsledku. Náhodný jev = jakékoliv tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o kterém lze rozhodnout, zda je pravdivé či nepravdivé říklad: Náhodný pokus hod kostkou Náhodný jev padnutí stěny s číslem tři, padnutí sudého čísla Elementární jev jev, který už nelze rozložit příklad: adnutí stěny s číslem 4 Nemožný jev jev, který nikdy nenastane příklad: adnutí stěny s číslem 7 Jistý jev jev, který vždy nastane příklad: adnutí jednoho z čísel Značení jevu: velké písmeno, např. A A jev A, A jev OAČNÝ, doplňkový nastane právě tehdy, když nenastává jev A říklad: A: Na kostce padne číslo 5. A : Na kostce padne cokoliv kromě čísla 5. Vztahy mezi jevy: Jev A je podjevem jevu B; jev A je částí jevu B značení: A B říklad: A: Hod čísla pět. B: Hod lichého čísla.
růnik jevů A, B značení: A B nastane právě tehdy, když nastanou jevy A, B současně říklad: A: adne číslo dělitelné. B: adne liché číslo. A B: adne číslo. oznámka: Je-li A B = 0, pak nazýváme dané jevy neslučitelné. Sjednocení jevů A, B značení: A B nastane právě tehdy, když nastane alespoň jeden z jevů A, B říklad: A: adne číslo dělitelné. B: adne liché číslo. A B: adne právě jedno z čísel ; ; 5;. ravděpodobnost náhodného jevu Často si před náhodným pokusem klademe otázku, jaká je naděje (pravděpodobnost), že daný jev nastane. RAVDĚODOBNOST zkoumá matematické zákonitosti projevující se v náhodných pokusech = míra očekávání, že daný náhodný jev nastane Některé pokusy mají n stejně možných výsledků každý výsledek má pravděpodobnost n říklad: adnutí čísla na kostce, vylosování konkrétního čísla některé pokusy nemají všechny výsledky stejně možné po provedení velkého počtu pokusů lze zjistit, v kolika případech jev nastal a provést odhad pravděpodobnosti říklad: Narození chlapce, výroba kvalitního výrobku Klasická pravděpodobnost Má-li pokus n stejně možných elementárních výsledků, které se navzájem vylučují, je pravděpodobnost číslo m m - počet příznivých výsl. ( A) = n n - počet všech výsledků říklad : Jaká je při hodu hrací kostkou pravděpodobnost, že padne stěna se sudým počtem bodů? říklad 2: V loterii je 5000 losů, z nichž 00 vyhrává. Jaká je pravděpodobnost, že váš zakoupený los vyhraje? 2
říklad : Jaká je pravděpodobnost, že vyhrajete ve sportce první cenu, vyplníte-li jednu sázenku? Uvažujeme pouze tažených čísel z osudí 49 čísel. očet všech možných výsledků: 49 = 98 8. cena uhodneme všech tažených čísel = 988 = 0,000 000 072 říklad 4: Jaká je pravděpodobnost, že při jednom hodu třemi kostkami bude součet bodů 2? očet všech možných výsledků: = Některé součty mají různé výsledky, např.,5,;,,5; 5,,; 5,,;,,5;,5, příznivých výsledků Součet 2: ( 2 ) = + + + + + = 0, Statistická pravděpodobnost Nelze-li použít klasickou def. pravděpodobnosti, vycházíme z výsledků již provedených pokusů a k odhadu pravděpodobnosti využijeme statistiku. Statistická pravděpodobnost je založena na relativní četnosti jevů při dostatečně velkém počtu na sobě nezávislých pokusů. ( A) n( A) n n(a) - počet pokusů, ve kterých jev A nastal n - celkový počet pokusů říklad: ři 4 040 hodech mincí padl rub 2 048, při 2 000 hodech 09, při 24 000 hodech 2 02. roveďte odhad pravděpod. padnutí rubu mince
Věty o pravděpodobnosti V: Každému náhodnému jevu A je přiřazena pravděpodobnost (A); 0 (A). V2: ravděpodobnost jistého jevu je. ravděpodobnost nemožného jevu je 0. V: ravděpodobnost sjednocení neslučitelných jevů je součet pravděpodobností těchto jevů. oznámka: říklad: Jaká je pravděpodobnost, že při tahu sportky bude taženo alespoň jedno jednociferné číslo? A ( A) = ( A) ( ) = 0, 274 ( A) = 0, 72 40 49 ( A) = = 0, 274 Cvičení: říklad : Jaká je pravděpodobnost, že při jednom hodu dvěma kostkami bude součet? Je tato pravděpodobnost větší než u součtu 7? říklad 2: Ve třídě je 40 žáků, z toho 25 dívek a 5 chlapců. Náhodně vylosujeme 2 žáky. Jaká je pravděpodobnost, že to bude chlapec a dívka? říklad : Jaká je pravděpodobnost výhry páté ceny ve sportce ( čísla ze tažených), je-li 98 8 možných výsledků losování? říklad 4: V bedně je 0 výrobků, z nichž jsou vadné. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 5 náhodně vybranými výrobky bude nejvýš vadný. říklad 5: 40 studentů má být náhodně rozděleno na 4 stejně početné skupiny. Mezi studenty jsou i Adam a Eva. Jaká je pravděpodobnost, že budou oba zařazení do téže skupiny? ravděpodobnost sjednocení ravděpodobnost sjednocení dvou navzájem neslučitelných jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností: ( A B) = ( A ) + ( B ) ravděpodobnost sjednocení dvou navzájem slučitelných jevů je rovna: ( A B) = ( A) + ( B) ( A B) 4
říklad: Hodíme dvěma kostkami bílou a modrou. Jev A na bílé padne číslo, jev B na modré padne číslo. S jakou pravděpodobností nastává jev A; jev B; jev A i B současně; jev A nebo jev B? očet všech možných výsledků: = a) na bílé kostce padne číslo očet příznivých výsledků: 4 = 24 b) na modré kostce padne číslo očet příznivých výsledků: 4 = 24 c) na bílé kostce padne číslo a na modré číslo očet příznivých výsledků: 4 = 2 d) na bílé kostce padne číslo nebo na modré číslo nezávislé jevy Cvičení: říklad : V tombole se prodalo 500 slosovatelných lístků, ze kterých pět vyhrává. cenu, deset 2. cenu a čtyřicet. cenu. Jaká je pravděpodobnost výhry na právě jeden zakoupený lístek? říklad 2: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne alespoň na jedné kostce šestka? říklad : Ve třídě je 70 % chlapců a 0 % dívek. S vyznamenáním studuje 20 % chlapců a 0 % dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný žák studuje s vyznamenáním? 5