Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého matematického manipulačního programovacího jazyka. Jednotlivé příkazy se ukončují středníkem nebo dvojtečkou a po stisku klávesy ENTER jsou hned vykonány. Je-li příkaz ukončen dvojtečkou, vykonaná operace se nezobrazí na monitoru, je-li příkaz ukončen středníkem, operace se zobrazí. Je důležité, aby byla dodržena přesná syntax příkazů (zápis čárek, dvojteček, středníků a závorek). Bez přesného zápisu příkazu program požadovaný příkaz neprovede, protože ho neidentifikuje jako příkaz. V případě, že se program začne chovat podivně, restartujeme ho příkazem restart. Tento manuál je určen pro studenty Zemědělské fakulty Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích. Je rozdělen do 8 tematických celků pokrývající probíranou látku kurzů matematiky. Každá z kapitol obsahuje několik řešených příkladů, na kterých je ukázáno použití jednotlivých příkazů (jsou uvedeny červeně) a za nimi následuje ukázka provedeného příkazu (uvedeno modře). Software MAPLE je nainstalovaný na Bobíku i na výpočetním středisku a je k nalezení rozkliknutím nabídky Start/Programy/Maple V/Maple V Release. 1 MATEMATICKÉ OPERACE Protože je MAPLE kanadský produkt, má některá svá specifika spojená s angloamerickým prostředím. Prvním patrným specifikem je používání desetinné tečky místo desetinné čárky nebo že goniometrická funkce tg(x) je reprezentována příkazem tan(x). Pro práci s programem MAPLE je vhodné používat anglickou klávesnici, neboť se v příkazech vyskytují speciální znaky anglické klávesnice. 1
1.1 Řešené příklady 1.1.1 Příklad Zjistěte hodnoty daného výrazu: 13,8765 3472+7 3987 37. Pro operaci násobení používáme znak *, pro dělení znak /. Nezapomínáme na užití desetinné tečky místo desetinné čárky. Výraz vyčíslíme příkazem: 1.1.2 Příklad (13.8765-3472+7*3987)/37; 660.8345000 Zjistěte hodnoty daného výrazu: 7 13 5 + e 4 3π na 50 platných míst. Mocniny zadáváme pomocí znaku ˆ. Odmocniny přepisujeme jako exponent ve tvaru zlomku. Eulerovo číslo e zapisujeme ve tvaru exp(), kde v závorce uvádíme exponent. Pro číslo π používáme příkaz Pi. Daný výraz najdeme pomocí příkazu: 13ˆ(5/7) + exp(4) - 3*Pi; 13 ( 5 7 ) + e 4 3π Abychom zjistili hodnotu daného výrazu, použijeme evaluační příkaz: evalf(%,50); 51.420405402643010363201707440781398943418329755147 Znak % zastupuje poslední vypočítanou hodnotu (v tomto případě 13 ( 5 7 ) +e 4 3π), za čárkou je uveden počet míst, kolik jich chceme uvést (např. 50). Počet míst není povinný, bez zadání vyčílí MAPLE výraz na 10 platných míst. Také je možné získat danou hodnotu rovnou kombinací výše uvedených příkazů: evalf(13ˆ(5/7) + exp(4) - 3*Pi,50); 51.420405402643010363201707440781398943418329755147 2
1.1.3 Příklad Zjistěte hodnotu výrazu s goniometrickými funkcemi: (cos(3, 5)) 3 + sin(2, 7) tan(5) na 25 platných míst. Pro výpočet hodnot goniometrických funkcí používáme příkazy sin(), cos() a tan(). V závorkách uvádíme argument. Daný výraz vyčíslíme příkazem: 1.1.4 Příklad evalf((cos(3.5))ˆ3 + sin(2.7) - tan(5),25); 2.9866681389465856370 Jakému úhlu v radiánech a ve stupních odpovídá hodnota sin(x) = 0, 6438? Pro výpočet úhlu goniometrických funkcí používáme cyklometrické funkce arcsin(x), arccos(x), a arctan(x). V tomto případě použijeme funkci arcsin(x) reprezentovanou příkazem arcsin(), kde v závorce uvádíme argument: evalf(arcsin(0.6438)); 0.6994540165 Získaná hodnota je v radiánech. Pro převod radiánů na stupně použijeme příkaz: convert(0.6994540165,degrees); 125.9017230 degrees π Abychom dostali hledanou hodnotu, musíme ještě použít evaluační příkaz: 1.1.5 Příklad evalf(%); 40.07576312 degrees Zjistěte hodnotu výrazu s absolutní hodnotou 7 6 15 32. Pro výpočet hodnot s absolutní hodnotou používáme příkazy abs(), kde v závorkách uvádíme výraz v absolutní hodnotě. Daný výraz vyčíslíme příkazem: abs(7-abs(6-15)-32); 34 3
1.1.6 Příklad Zjednodušte daný výraz x 2 y 2 x 2 +4x+4 : x y x+2. Pro zjednodušování výrazů použijeme příkaz: 1.1.7 Příklad simplify(((xˆ2-yˆ2)/(xˆ2+4*x+4))/((x-y)/(x+2))); x+y x+2 Zjednodušte daný výraz s komplexními čísly (3 8i)3 3 5i. Pro zápis imaginární jednotky i použijeme znak I a výraz zjednodušíme opět příkazem: 1.2 Neřešené příklady simplify(((3-8*i)ˆ3)/(3-5*i)); 3127 34 1857 34 I Vyčíslete: 3 8 + ( ) 37 7 7 32 13 [8072, 253684] (sin(5)) 7 + e 2,5 [11.43692093] (17 5 6 4 ) 3 2 21 3, 35 7 3 π α ve stupních, je-li cos(α) = 0, 7236 [ 2804, 205010] [43, 64749138 ] Upravte: x2 (x + y) x y x(x + y + 1) + y i5 + (5 i) 2 2 i [x 1] [ 57+6i 5 ] 4
2 LINEÁRNÍ ALGEBRA Před začátkem práce s vektory a maticemi je nutné aktivovat knihovnu lineární algebry. Tím si program MAPLE aktivizuje příkazy,které my pak můžeme používat. Knihovna lineární algebry se aktivizuje příkazem with(linalg); Po zadání příkazu se modře vypíše seznam příkazů, které můžeme pro zpracování úloh z lineární algebry používat. MAPLE umí pracovat jak s vektory tak s maticemi. Vždy je dobré si zadávané vektory a matice pojmenovat pomocí přiřazovacího příkazu :=, aby bylo možné s nimi dále pracovat. Některá velká písmena nedovolí MAPLE pro pojmenování použít, neboť manjí svůj specifický význam (např. E je rezervovaný název pro jednotkovou matici). 2.1 Řešené příklady 2.1.1 Příklad Jsou dány vektory a = (3, 5, 5) a b = (2, 3, 7). Určete skalární součin a b, vektorový součin a b, normu vektoru a a odchylku vektorů a a b. Vektory a a b zadáme pomocí příkazu: a:=vector(3,[3,-5,5]); a:=[3, -5, 5] b:=vector(3,[2,3,-7]); b:=[2, 3,-7] První cifra označuje počet složek vektoru, v hranatých závorkách pak uvedeme postupně všechny složky vektoru, které oddělíme čárkami. Skalární a vektorový součet vektorů provedeme příkazy: dotprod(a,b); 44 crossprod(a,b); [20, 31, 19] 5
Normu vektoru a nalezneme pomocí příkazu: norm(a,2); 59 Cifra 2 v argumentu je součástí příkazu a je povinná. Odchylku vektorů získáme příkazem: evalf(angle(a,b)); 2.385462159 Získaná hodnota odpovídá radiánům. Pro převod na stupně použijeme příkaz: evalf(convert(%,degrees)); 136.6769139 degrees 2.1.2 Příklad Je dány matice A = ( 3 5 4 6 3 7 ), matice B = Určete matici C, její hodnost a determinant. 7 9 5 3 7 1 Nejprve je potřeba vytvořit matice A a B pomocí příkazu: a matice C = A B. A:=matrix(2,3,[3,5,4,-6,3,7]); [ ] 3 5 4 A := 6 3 7 B:=matrix(3,2,[7,9,-5,3,7,1]); 7 9 B := 5 3 7 1 První dvě cifry před hranatou závorkou určují typ matice, v hranatých závorkách pak uvedeme postupně všechny prvky matice, které oddělíme čárkami. 6
Nyní můžeme s maticemi pracovat. Nejprve matice vynásobíme, abychom získali matici C: C:=evalm(A&*B); nebo C:=multiply(A,B); [ ] 24 46 C := 8 38 Hodnost matice a determinant matice C zjistíme zadáním příkazu: rank(c); 2 det(c); 554 2.1.3 Příklad Najděte matici V, pro kterou platí, že V = 3 A B. Pro násobení matic číslem a matic navzájem použijeme příkaz: V:=evalm(3*A&*B); [ ] 72 138 V := 24 114 Pro násobení se v příkazu rozlišuje násobení matice číslem (*) a matic navzájem (&*). 2.1.4 Příklad Jsou dány matice A = ( 3 5 4 6 3 7 Určete matici H. ), B = 7 9 5 3 7 1, matice G = ( 3 7 9 5 ), a matice H = A B 5G. 7
Máme-li z předchozího příkladu zadané matice A i B, zadáme ještě matici G: Nyní určíme matici H: G:=matrix(2,2,[3,7,9,-5]); [ ] 3 7 G := 9 5 2.1.5 Příklad H:=evalm(A&*B-5*G); [ ] 9 11 H := 53 13 Pro matici K platí, že K = B A. Určete matici transponovanou a adjungovanou k matici K. Nejprve vynásobíme matice B a A, abychom získali matici K: K:=multiply(B,A); 33 62 91 K := 33 16 1 15 38 35 Nyní můžeme přistoupit k výpočtu matice transponované (nazveme transk) a adjungované (nazveme adjk): transk:=transpose(k); 33 33 15 transk := 62 16 38 91 1 35 adjk:=adj(k); 598 1288 1518 transk := 1170 2520 2970 1014 2184 2574 8
2.1.6 Příklad Je dána matice S := matici k ní inverzní. 5 7 13 3 6 11 2 8 5. Určete její determinant a pokud je regulární, najděte Nejprve zadáme matici S: Vypočteme determinant: S:=matrix(3,3,[5,7,13,-3,6,11,2,8,5]); 5 7 13 S := 3 6 11 2 8 5 Matice je regulární, zjistíme matici inverzní: det(s); -499 inverse(s); 58 499 37 499 36 499 69 499 1 499 26 499 1 499 94 499 51 499 2.1.7 Příklad Upravte matici S do Gaussova tvaru. Pro úpravu matic do Gaussova tvaru používáme příkaz: gausselim(s); 5 7 13 51 94 0 5 5 0 0 499 51 9
2.2 Neřešené příklady Určete: závislost souboru S = {(1, 3, 2, 6, 3); (3, 5, 2, 0, 5); (8, 3, 5, 2, 8); ( 3, 2, 7, 4, 6), (7, 3, 12, 0, 22)} [h(s) = 4, závislý] normu vektoru v = (2, 3; 5, 3; 3; 7; 4; 9, 1; 3) odchylku vektorů m = (3, 7, 3, 5, 6) a n = ( 1, 3, 5, 7, 11) determinant matice X = hodnost matice R = 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 3 5 6 4 1 0 7 3 5 9 8 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 [2 53 = 14.56021978] [34, 18542441 ] [ 2744] [2] 10
3 ROVNICE 3.1 Řešené příklady 3.1.1 Příklad Řešte kvadratickou rovnici x 2 7x + 10 = 0; Rovnici budeme řešit jednoduchým příkazem: 3.1.2 Příklad solve(xˆ2-7*x+10=0,x); Najděte hodnoty neznámých x, y a z v soustavě: 5x + 7y 13z = 5 3x 5y + 6z = 3 2x 8y = 1 5, 2 Soustavy rovnic můžeme řešit několika způsoby. Máme-li aktivní knihovnu lineární algebry (linalg), můžeme soustavu zadat a nazveme ji R: R:={5*x+7*y-13*z-5,3*x-5*y+6*z-3,2*x-8*y+1}; R := {5x + 7y 13z 5, 3x 5y + 6z 3, 2x 8y + 1}; Rovnice soustavy jsme položili rovny 0, oddělili čárkami a zadali je do složených závorek. Nyní můžeme soustavu vyřešit příkazem: leastsqrs(r,{x,y,z}); {x = 25 22, y = 9 22, z = 3 11 } Dalším způsobem, jak vyřešit tuto soustavu, je použití matic. Nejprve vytvoříme matici soustavy A: A:=matrix(3,3,[5,7,-13,3,-5,6,2,-8,0]); 5 7 13 A := 3 5 6 2 8 1 11
Dále zadáme vektor pravých stran: v:=vector(3,[5,3,-1]); v := [5, 3, 1] A nyní soustavu vyřešíme příkazem a po řadě dostaneme hodnoty neznámých x, y a z: linsolve(a,v); [ 25 22, 9 22, 3 11 ] 3.1.3 Příklad Řešte rovnici 3x 2 + 2x 7 = 8. Rovnici vyřešíme příkazem: solve(3*xˆ2+2*x-7=8,x); 1 3 + 46 3, 1 3 46 3 3.2 Neřešené příklady Řešte: rovnici 3x 2 5x + 8 = 13 [ 5 6 + 85 6, 5 6 85 6 ] rovnici 2x 11 x+5 + 4x = 17 5x [ 25 6 + 1285 6, 25 6 1285 6 ] soustavu rovnic 7u + 5v 8x 9y = 6 3u 2v 3y = 5 u + 2v 13x 3y = 3 5u x 4y = 2 [v = 97 91, u = 788 455, x = 6 65, y = 1223 455 ] 12
4 POSLOUPNOSTI A ŘADY 4.1 Řešené příklady 4.1.1 Příklad Určete limitu dané posloupnosti: lim n 3n 3 + 5n + 1 7n 2. + 8 Limity posloupností hledáme pomocí příkazu: limit((3*nˆ3+5*n+1)/(7*nˆ2+8),n=infinity); V první části uvedeme samotnou posloupnost, ve druhé pak pro jaké n. V tomto případě se jednalo o limitu jdoucí do nekonečna - infinity. 4.1.2 Příklad Určete limitu dané posloupnosti: lim n n n. Limitu posloupnosti získáme pomocí příkazu: limit(nˆ(1/n),n=infinity); 1 4.1.3 Příklad ( Určete limitu dané posloupnosti: lim 1 + 1 n. n n) Limity posloupností zadáme pomocí příkazu: limit((1+(1/n))ˆn,n=infinity); Limita dané posloupnosti je rovna Eulerovu číslu e, které má přibližnou hodnotu 2,178. e 13
4.1.4 Příklad Určete součet řady 70 k=1 5 2k. Součet řady najdeme zadáním příkazu: sum(5/(2*k),k=1..70); 12.08209189 4.1.5 Příklad Určete součty harmonické řady 1000 k=1 1000000 1 k, k=1 Součty harmonické řady najdeme zadáním příkazu 1 k a k=1 1 k. sum(1/k,k=1..1000); 7.485470861 sum(1/k,k=1..1000000); 14.39272672 sum(1/k,k=1..infinity); Float( ) Z výsledku plyne, že harmonická řada má dané součty pro uvedené konkrétní n, ale v případě sečtení členů až do nekonečna daná řada součet nemá - diverguje. 4.2 Neřešené příklady Určete: sin(x) limitu posloupnosti lim x 0 x [1] ( limitu posloupnosti lim 1 + 1 ) 7n n n [e 7 = 1096, 633158] součet řady součet řady 57 k=1 n=1 7 2k 3 [4, 206669901] 1 n 2 [ 1 6 π2 = 1, 644934068] 14
5 FUNKCE 5.1 Řešené příklady 5.1.1 Příklad Najděte funkční hodnotu funkce y = 9x 7 3 cos x v bodě x = 1, 73. Funkci nazveme f a zadáme ji příkazem f:=x->9*xˆ7-3*cos(x); f := x 9x 7 3 cos(x) Nyní zjistíme hodnotu v bodě x = 1, 73: f(1.73); 417.8878853 5.1.2 Příklad Najděte funkční hodnotu funkce 2 proměnných z = x 3 3y 2 + sin(xy) v bodě [3, 5; 2, 4]. Funkci nazveme z a zadáme ji příkazem: z:=(x,y)->xˆ3-3*yˆ2+ sin(x*y); f := (x, y) x 3 3y 2 + sin(xy) Nyní zjistíme hodnotu v bodě [3, 5; 2, 4]: z(3.5,2.4); 26.44959891 15
maximum funkce y = 7cos(sin(x 5 )) 5 na intervalu π 2 2π [2] 5.1.3 Příklad Najděte minimum a maximum funkce y = 5x 3 3x 2 + 8 na intervalu 3, 5. Minimum a maximum funkce y v daném intervalu 3, 5 najdeme pomocí příkazů: minimize(5*xˆ3-3*xˆ2+8,x=-3..5); 154 maximize(5*xˆ3-3*xˆ2+8,x=-3..5); 558 5.2 Neřešené příklady Určete: funkční hodnotu funkce y = 5x 7 3e 5x 4 cos(x) v bodě x = 6, 22 [ 9, 631182975.10 13 ] funkční hodnotu funkce 3 proměnných w = 5(xy) 3 +4zy 2 +cos(xyz) v bodě [ 2, 5; 1, 8; 3] [ 416.1500793] minimum funkce y = 3e 2x 5 3x 3 17 na intervalu 5, 9 [ 150.2028225] 16
6 GRAFIKA MAPLE umí vykreslit dvoudimenzionální grafy jedné proměnné i trojdimenzionální grafy dvou proměnných. Dokáže navíc vykreslit několik grafů do jednoho obrázku. Vždy je nutné uvést interval, na kterém se daný graf či grafy vykreslí. 6.1 Řešené příklady 6.1.1 Příklad Vykreslete graf funkce y = 3x 4 + 5x 3 1 na intervalu 2, 1. Graf vykreslíme následujícím příkazem, kde doplníme interval pro proměnnou x (ta je povinná) a pro proměnnou y (je nepovinná, ale graf je přehlednější): plot(3*xˆ4+5*xˆ3-1,x=-2..1,y=-4..3); 6.1.2 Příklad Vykreslete grafy funkcí y = x 2 2x 8 a y = 5x 8 na intervalu 3, 5 a najděte jejich průsečík. Grafy vykreslíme následujícím příkazem, kde do složených závorek zadáme obě funkce oddělené čárkou: plot({xˆ2-2*x-8,5*x-8},x=-3..5); Z grafů je patrné, že obě křivky se protínají v bodě [0,-8]. 17
6.1.3 Příklad Vykreslete trojdimenzionální graf funkce dvou proměnných z = x e x2 y 2 x 2, 2 a y 2, 2. na intervalu Pro vykreslení trojdimenzionálních grafů použijeme příkaz: plot3d(x*exp(-xˆ2-yˆ2),x=-2..2,y=-2..2); 18
7 DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET 7.1 Řešené příklady 7.1.1 Příklad Najděte první derivaci funkce y = x 7 5 x 3 + e 2x. Derivaci si nazveme d a vytvoříme ji příkazem: diff(xˆ7- (x)ˆ(3/5)+ exp(2*x),x); 7x 6 3 5x ( 2 5 ) + 2e(2x) V argumentu příkazu je nutné uvést proměnnou, podle které derivujeme (v tomto případě podle x). 7.1.2 Příklad Najděte 3.derivaci funkce y = sin(x) + x 3 + e 2x. Třetí derivaci funkce vytvoříme příkazem: diff(sin(x) + xˆ3 + exp(2*x),x$3); cos(x) + 6 + 8e 2x V argumentu příkazu je nutné uvést proměnnou, podle které derivujeme, a stupeň derivace (v tomto případě podle x a stupeň 3.) 7.1.3 Příklad Najděte parciální derivaci podle y funkce dvou proměnných z = sin(xy) + 3x 3 + x y. Parciální derivaci snadno vytvoříme příkazem: diff(sin(x*y) + 3*xˆ3 + (x/y),y); cos(xy)x x y 2 19
7.1.4 Příklad Najděte druhou derivaci funkce 4x 7 5 x a její hodnotu v bodě x = 3, 78. Jestliže chceme s derivacemi ještě dále pracovat, je nezbytné nejprve vytvořit funkci a tu pak derivovat. Označíme si funkci a a zadáme již známým příkazem: Funkci a zderivujeme a derivaci nazveme b: a:=x->4*xˆ7-(x)ˆ(1/5); a := x 4x 7 x ( 1 5 ) b:=(d@@2)(a); b := x 168x 5 4 1 25 x ( 9 5 ) Nyní již můžeme zjistit hodnotu druhé derivace v bodě x = 3, 78: b(3.78); 129648.7488 7.1.5 Příklad Řešte neurčitý integrál ln(x) dx. Neurčitý integrál získáme pomocí příkazu: int(ln(x),x); x ln(x) x Opět je nutné v argumentu příkazu uvést, podle které proměnné integrujeme (v tomto případě podle x). 20
7.1.6 Příklad Určete hodnotu určitého integrálu 7 3 x 5 dx. Neurčitý integrál získáme pomocí příkazu: int((xˆ5),x=3..7); 58460 3 Opět je nutné v argumentu příkazu uvést, podle které proměnné integrujeme (v tomto případě podle x) a meze určitého intervalu. 7.2 Neřešené příklady Určete: 1.derivaci funkce y = xex x 2 x 8 hodnotu y (2) funkce funkce y = x7 +x 2 cos(x) x 8 [ ex +xe x 2x x 8 xex x 2 (x 8) 2 ] [ 685.1742897] parciální derivaci podle x funkce dvou proměnných z = cos(xy) + e3x y y 3 [ sin(xy)y + 3e(3x) y 3 ] 3x 2 x 4 dx [ 3 2 x2 + 12x + 48 ln(x 4)] 7 2e 5x x dx 5 [ 2 5 e( 25) + 2 5 e35 12 = 0, 6344053808 10 15 ] 21
8 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 8.1 Řešené příklady Funkci y zadáváme do programu pomocí příkazu y(x), její první derivaci pomocí diff(y(x),x), pro druhou derivace pak diff(y(x),x$2). Pro derivace vyšších řádů používáme stejný příkaz, kde jen měníme stupeň derivace. 8.1.1 Příklad Je dána diferenciální rovnice y (x) 2y(x) = e x. Řešte ji obecně a pak s počáteční podmínkou y(8) = 5. Nejprve si danou diferenciální rovnici vložíme a nazveme ji dr: Nyní nalezneme obecné řešení: dr:=diff(y(x),x) - 2*y(x) = exp(x); dr := ( d dx y(x)) 2y(x) = e x dsolve(dr,y(x)); y(x) = e x + e (2x) C1 Obecné řešení obsahuje C1, což označuje integrační konstantu C 1. Rovnou však můžeme najít partikulární řešení, když vložíme do argumentu příkazu danou počáteční podmínku: 8.1.2 Příklad dsolve({dr,y(8)=5},y(x)); y(x) = e x e(2x) ( 5 e 8 ) e 16 Je dána diferenciální rovnice y (x) 2y (x) 8y(x) = x 3 5. Najděte obecné řešení. Nejprve si danou diferenciální rovnici vložíme a nazveme ji a: a := diff(y(x), x$2) 2 diff(y(x), x) 8 y(x) = x 3 5; ( ) a := d 2 y(x) 2 ( d dx 2 dx y(x)) 8y(x) = x 3 5 22
Nyní nalezneme obecné řešení: dsolve(a,y(x)); y(x) = e (4x) C2 + e ( 2x) C1 + 175 256 9x 64 + 3x2 32 x3 8 8.2 Neřešené příklady Řešte: diferenciální rovnici 5y (x) y(x) = 3x 5. Řešte ji obecně a pak s počáteční podmínkou y(1) = 2. [y(x) = 10 3x + C 1 e ( x 5 ), y(x) = 10 3x + 15e( x 5 ) e ( 1 5 ) ] diferenciální rovnici y (x) 7y (x) + 10y(x) = 5e x + x 2 3. Řešte ji obecně a pak s počátečními podmínkami y(8) = 5 a y(0) = 9. [y(x) = C 2 e (5x) + C 1 e (2x) + 5 4 ex + x2 10 + 7x 50 111 500 ] 23