Teorie jazyků a automatů

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Teorie jazyků a automatů"

Transkript

1 Slezská univerzit v Opvě Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Skript do předmětů II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Slezská univerzit v Opvě Opv 9. prosince 2015

2 Anotce: Tto skript jsou určen pro studenty předmětů Teorie jzyků utomtů II obory Informtik výpočetní technik, Informtik dvouoborové Zákldy teoretické informtiky II obor Aplikovná informtik. Nvzujeme n látku probírnou v předchozím semestru přecházíme k pokročilejším témtům. Teorie jzyků utomtů II, Zákldy teoretické informtiky II RNDr. Šárk Vvrečková, Ph.D. Dostupné n: Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Slezská univerzit v Opvě Bezručovo nám. 13, Opv Sázeno v systému LATEX

3 Obsh 1 Konečné utomty regulární jzyky Definice konečného utomtu K uzávěrovým vlstnostem Pozitivní iterce Zrcdlový obrz Průnik Doplněk Rozdíl Kritéri regulárnosti jzyk Pumping lemm pro regulární jzyky Využití uzávěrových vlstností Nerodov vět Minimlizce konečného utomtu Vzth mezi konečnými utomty regulárními výrzy Bezkontextové grmtiky jzyky Definice bezkontextové grmtiky Trnsformce bezkontextových grmtik Nezkrcující bezkontextová grmtik Redukovná grmtik Grmtik bez jednoduchých prvidel Necyklické vlstní grmtiky, substituce Rekurze neterminálu v grmtice Normální formy pro bezkontextové grmtiky Chomského normální form Greibchové normální form závěrové vlstnosti bezkontextových jzyků Sjednocení Zřetězení iii

4 iv Iterce Reverze Průnik doplněk Homomorfismus substituce Kritéri bezkontextovosti Využití uzávěrových vlstností bezkontextových jzyků Pumping lemm pro bezkontextové jzyky Zásobníkový utomt Definice zásobníkového utomtu Vzth mezi typy zásobníkových utomtů Vzth zásobníkových utomtů bezkontextových grmtik Vytvoření utomtu podle bezkontextové grmtiky Vytvoření grmtiky podle zásobníkového utomtu Zásobníkové utomty uzávěrové vlstnosti bezkontextových jzyků Deterministické bezkontextové jzyky Deterministický zásobníkový utomt závěrové vlstnosti deterministických bezkontextových jzyků Jzyky typu Grmtiky typu Stroje rozpoznávjící jzyky typu Zásobníkový utomt se dvěm zásobníky Turingův stroj Vrinty Turingov stroje Vzth Turingových strojů k jzykům typu Vytvoření Turingov stroje podle grmtiky Vytvoření grmtiky podle Turingov stroje Jzyky typu Grmtiky typu Kurodov normální form pro grmtiky typu Lineárně ohrničený utomt závěrové vlstnosti jzyků typu Litertur 122

5 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky V této kpitole si zopkujeme učivo o konečných utomtech probereme věty důkzy, které jsme v minulém semestru brli jen okrjově. 1.1 Definice konečného utomtu Nejdřív si zopkujeme všechny definice týkjící se konečného utomtu. Definice 1.1 Konečný utomt Konečný utomt je uspořádná pětice A = Q, Σ, δ, q 0, F, kde je Q... neprázdná konečná množin stvů Σ... neprázdná konečná beced množin signálů δ... přechodová funkce, definovná níže q 0... počáteční stv, q 0 Q F... množin koncových stvů, F Q, F Přechodová funkce δ konečného utomtu dále KA A = Q, Σ, δ, q 0, F je definován tkto: δ: Q Σ Q zápis pomocí množin δq, = r, kde q, r Q, Σ symbolický zápis Definice 1.2 Konfigurce, počáteční koncová konfigurce Oznčme Σ množinu všech slov, která lze utvořit ze symbolů becedy Σ. Konfigurce KA je uspořádná dvojice q, w, kde q Q, w Σ nepřečtená část vstupní pásky. Dále definujeme tyto pojmy: Počáteční konfigurce je konfigurce q 0, w 0, kde q 0 je počáteční stv utomtu w 0 je strtovcí počáteční slovo Koncová konfigurce je konfigurce q f, ε, kde q f F 1

6 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 2 Definice 1.3 Přechod mezi konfigurcemi Relci přechodu mezi konfigurcemi znčíme symbolem definujeme ji tkto: q i, w q j, w def δq i, = q j, kde q i, q j Q, Σ, w Σ 1.1 Definice 1.4 Výpočet slov v konečném utomtu Výpočet slov v konečném utomtu je posloupnost konfigurcí zčínjící počáteční konfigurcí s dným slovem končící některou koncovou konfigurcí, vzth mezi sousedními konfigurcemi je dán relcí přechodu. Reflexivní trnzitivní uzávěr relce přechodu mezi konfigurcemi oznčíme, trnzitivní uzávěr +. Definice 1.5 Rozpoznání přijímání slov konečným utomtem Konečný utomt A = Q, Σ, δ, q 0, F rozpoznává přijímá slovo w, pokud existuje posloupnost výpočtu tohoto slov v utomtu, tedy pokud se lze z počáteční konfigurce q 0, w 0 postupným upltňováním relcí přechodu dostt do některé koncové konfigurce: q 0, w q f, ε, kde q f F 1.2 Definice 1.6 Jzyk konečného utomtu Jzyk konečného utomtu A je množin všech slov w, která utomt přijímá: LA = {w Σ ; q 0, w q f, ε, kde q f F } 1.3 Automt A rozpoznává jzyk L j, pokud přijímá právě slov jzyk L j tj. přijímá všechn slov jzyk, le nepřijímá žádné slovo do jzyk neptřící. Znčíme L j = LA jzyk L j je rozpoznáván utomtem A, je jeho jzykem. M Příkld 1.1 Zopkujeme si všechny možné zápisy konečného utomtu. Zákldní specifikce je následující: A = {q 0, q 1 }, {, b}, δ, q 0, {q 1 } Digrm: δ-funkce: Tbulk přechodů: q 0 b b q 1 δq 0, = q 0 stv\vstup b δq 0, b = q 1 q 0 q 0 q 1 δq 1, b = q 0 q 1 - q 0 Jeden z možných výpočtů v utomtu: q 0, b q 0, b q 0, b q 1, ε proto b LA

7 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 3 Předchozí výpočet byl úspěšný, jednlo se o slovo ptřící do jzyk rozpoznávného utomtem. Nicméně utomt může mít n vstupu i slov neptřící do jeho jzyk, npříkld: q 0, bb q 1, b q 0, q 0, ε tto konfigurce není koncová: q 0 / F, proto bb / LA q 0, b q 1,??? dál nelze pokrčovt, le konfigurce není koncová, proto b / LA Jzyk utomtu: LA = { n b ; n 0} {b b i ; i 0 } = bb b M Dále jsme si definovli nedeterministický konečný utomt ukázli, že třídy jzyků rozpoznávných deterministickými nedeterministickými utomty jsou nvzájem ekvivlentní. Následovl totální úplný utomt dále postup redukce stvů utomtu. 1.2 K uzávěrovým vlstnostem V minulém semestru jsme se důkldně zbývli zejmén uzávěrovými vlstnostmi třídy jzyků generovných konečnými utomty vzhledem k regulárním opercím sjednocení, zřetězení iterci. Nyní se změříme i n dlší operce, včetně příslušných důkzů Pozitivní iterce Operce pozitivní iterce je podobná operci iterce Kleeneho uzávěru, hvězdičce s tím rozdílem, že pokud do původního jzyk neptřilo prázdné slovo, nebude ptřit ni do výsledného jzyk. Srovnejme definici operce iterce pozitivní iterce původní jzyk oznčme L: Vět 1.1 iterce: L = L i pozitivní iterce: L + = i=0 Tříd jzyků rozpoznávných konečnými utomty je uzvřen vzhledem k operci pozitivní iterce. Postup Vezměme jkýkoliv konečný utomt A 1 = Q, Σ, δ 1, q 0, F rozpoznávjící jzyk L 1. Sestrojíme utomt A = Q, Σ, δ, q 0, F tkový, že LA = L + 1 = i=1 Li 1. Tentokrát si nemusíme hrát s počátečním stvem, protože do jzyk explicitně nepřidáváme prázdné slovo. Postupujeme následovně: použijeme původní počáteční stv, množinu stvů, množinu koncových stvů, zjistíme iterci v koncových stvech přidáme rekce stejné, jké jsou v počátečním stvu. Zápis přechodové funkce: δp, = { δ 1 p, ; p Q F, Σ δ 1 p, δ 1 q 0, ; p F, Σ i=1 L i

8 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 4 První řádek předpisu použijeme pro všechny stvy kromě koncových jen přejmeme chování z původního utomtu, druhý řádek pltí pro koncové stvy. V nich necháme původní přechody přidáme ty přechody, které vedou z počátečního stvu. M Příkld 1.2 Postup si ukážeme n utomtu rozpoznávjícím jzyk L 1 = { i bb ; i 0 } = bb stejném jko u iterce. Tento jzyk je rozpoznáván utomtem A 1 = {p 0, p 1, p 2 }, {, b}, δ 1, p 0, {p 2 } určeným tkto: A 1 b δ 1 p 0, = p 0 p 0 p 0 p 1 δ 1 p 0, b = p 1 b b p 1 p 2 p 0 p 1 δ 1 p 1, b = p 2 p 2 p 2 Sestrojíme utomt A rozpoznávjící jzyk LA = L + 1 : A = {p 0, p 1, p 2 }, {, b}, δ, p 0, {p 2 }. Přidáme nové přechody vedoucí z koncových stvů v tomto přípdě ze stvu p 2 zkopírujeme přechody z počátečního stvu. A b δp 0, = p 0 δp 2, = p 0 p 0 p 0 p b b 1 p δp 0, b = p 0 p 1 p 2 1 δp 2, b = p 1 p 1 p 2 δp 1, b = p b 2 p 2 p 0 p 1 M Důkz Vět 1.1: Tento důkz bude velmi podobný důkzu pro iterci. Dokážeme, že výše popsný lgoritmus vytvoří utomt rozpoznávjící jzyk, který je pozitivní itercí jzyk původního utomtu, tedy že LA = LA 1 +. Použijeme důkz mtemtickou indukcí. Protože pltí L + = i=1 Li, mtemtická indukce se bude týkt různého počtu zřetězení jzyk, tedy postupně probereme L 1, L 2, td. Ke konečnému utomtu A 1 = Q 1, Σ, δ 1, q 0, F 1 rozpoznávjícímu jzyk L 1 sestrojíme utomt A = Q, Σ, δ, q 0, F tk, jk bylo popsáno v konstrukci před příkldem. Báze: Dokzujeme L 1 1 LA: rozlišíme dv přípdy w = 0 w 1. První přípd je triviální. ε L 1 právě tehdy jen tehdy, když ε LA, protože s počátečním stvem q 0 se v lgoritmu nijk nemnipuluje, včetně toho, zd ptří do množiny koncových stvů. Jestliže w 1: v utomtu A 1 existuje výpočet q 0, w... q f, ε, q x Q 1, q f F 1 protože veškeré přechody z δ 1 existují i v δ, pk v utomtu A existuje výpočet q 0, w... q f, ε, q x Q, q f F w LA L 1 1 LA Předpokld: Dále budeme předpokládt, že L k 1 LA pro nějké k 1.

9 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 5 Krok indukce: Dokzujeme, že L k+1 1 LA. Vezměme slovo w = w 1 w 2... w k+1, kde w i 1, w i = i w i, w i L 1 pro 1 i k + 1. pro kždé i {1,..., k + 1} existuje výpočet v A 1 : q 1 0, w i q xi, w i... q f i, ε, q xi Q 1, q fi F 1 v A 1 existují předpisy δ 1 q 1 0, i q xi v A existují předpisy δq 0, i q xi, δq f, i q xi pro některé q f F pro kždé i {1,..., k + 1} v utomtu A existují podvýpočty q 0, w i q xi, w i... q f i, ε, q xi Q, q fi F q f, w i q xi, w i... q f i, ε, q xi Q, q fi F první použijeme pro slovo w 1, druhý pro slov w i, i {2,..., k + 1}: s 0, w 1 w 2... w k+1 q x1, w 1 w 2... w k+1... q f1, w 2... w k+1 q x2, w 2... w k+1... q fk, w k+1 q xk+1, w k+1... q f k+1, ε w LA L k+1 1 LA Zbývá dokázt opčný směr pokud slovo w / L 1, pk tké w / LA. Do funkce δ jsme přidávli pouze tkové přechody, které zjistily návrt n zčátek po ukončení zprcování jednoho slov z jzyk L 1, proto můžeme říct, že pokud w / L 1, pk w / LA. Z toho vyplývá, že jzyk utomtu A je pozitivní itercí jzyk utomtu A Zrcdlový obrz Vět 1.2 Tříd jzyků rozpoznávných konečnými utomty je uzvřen vzhledem k operci zrcdlového obrzu reverze. Postup Je dán regulární jzyk L 1 rozpoznávný konečným utomtem A 1, kde A 1 = Q 1, Σ, δ 1, q0 1, F 1, L 1 = LA 1. Vytváříme jzyk L = L R 1 konečný utomt A = Q, Σ, δ, q 0, F, L = LA. Postupujeme tkto: převrátíme všechny přechody, vytvoříme nový počáteční stv q 0, pltí q 0 / Q 1, ze stvu q 0 budou vést přechody, které po převrácení přechodů vedou z bývlých koncových stvů tj. z momentálních virtuálních počátečních stvů, množin koncových stvů bude obshovt pouze původní počáteční stv, le pokud do jzyk L 1 ptřilo i slovo ε, pk tm zřdíme i stv q 0. Tkže pltí: Q = Q 1 {q 0 },

10 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 6 F = { {q1 0 } ; ε / L 1 {q 1 0, q 0} ; ε L 1 přechodová funkce: δp, = { {r ; δ 1r, p, Σ} ; p Q 1 {r ; δ 1 r, q f, q f F 1, Σ} ; p = q 0 M Příkld 1.3 Je dán tento jzyk konečný utomt, který ho rozpoznává: L 1 = { b i {1,2} ; i 0 } { b i c ; i 0 } = { b i ; i 0 } {,, c} A 1 = {q 0, q 1, q 2, q 3 }, {, b, c}, δ 1, q 0, {q 2, q 3 } A 1 b c q 0 q 1 q 1 q 2 q 1 q 3 q 2 q 3 q 3 δ 1 q 0, = q 1 δ 1 q 1, = q 2 δ 1 q 1, b = q 1 δ 1 q 1, c = q 3 δ 1 q 2, = q 3 q 0 b q 1 q 2 c q 3 Sestrojíme utomt A rozpoznávjící jzyk LA = L R 1. V digrmu změníme orientci hrn, v předpisu přechodové funkce změníme stv v závorce se stvem z rovnítkem, v tbulce změníme umístění stvu v oznčení řádku stvu v buňce n tomto řádku. Protože utomt A 1 má dv koncové stvy, je třeb vytvořit nový stv s 0, který přejme roli těchto stvů n zčátku výpočtu kždého slov v utomtu A. A = {q 0, q 1, q 2, q 3, s 0 }, {, b, c}, δ, s 0, {q 0 } δs A b c 0, = {q 1, q 2 } δs 0, c = {q 1 } b s 0 q 1, q 2 q,c 1 δq 1, = {q 0 } q 0 q 0 q 1 q 2 s δq 1, b = {q 1 } 0 q 1 q 0 q 1 δq 2, = {q 1 } c q 2 q 1 q 3 δq 3, = {q 2 } q 3 q 2 q 1 δq 3, c = {q 1 } Je zřejmé, že stv q 3 je nedosžitelný, tedy dlším krokem by mohlo být jeho odstrnění. M Důkz Vět 1.2: Ke konečnému utomtu A 1 = Q 1, Σ, δ 1, q0 1, F 1 rozpoznávjícímu jzyk L 1 sestrojíme utomt A = Q, Σ, δ, q 0, F tk, jk bylo popsáno v konstrukci před příkldem. Dokážeme, že tento lgoritmus vytvoří utomt rozpoznávjící jzyk, který je zrcdlovým obrzem jzyk původního utomtu, tedy že LA = LA 1 R. V důkzu budeme počítt s tím, že operce zrcdlového obrzu řetězců je sm k sobě inverzní, tj. w R R = w. Dokzujeme LA 1 R LA: Nechť w LA 1, w R LA 1 R, w = 1 n, n 1.

11 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 7 v A 1 existuje posloupnost konfigurcí q 1 0, 1 n 1 n... r, n q f, ε, kde r Q 1, q f F 1 podle lgoritmu pro všechny přechody podle δ 1 r, p v utomtu A 1 je vytvořeno δp, r v utomtu A otočení všech přechodů, pro δ 1 r, q f, r Q 1, Σ jsme v A vytvořili δq 0, r v A existuje posloupnost konfigurcí q 0, n n 1 1 r, n q 1 0, ε, kde r Q 1, q f F 1 w R LA Dokzujeme LA 1 R LA: Nechť w LA, w = 1 n, n 1. v A existuje posloupnost konfigurcí q 0, 1 2 n s, 1 2 n... s f, ε, kde s Q, s f F podle lgoritmu pro všechny přechody podle δ 1 r, p v utomtu A 1 je vytvořeno δp, r v utomtu A, pro δ 1 s, s f, s Q 1, Σ jsme v A vytvořili δq 0, r v A 1 existuje posloupnost konfigurcí q 1 0, n s, 1 s f, ε, kde s Q 1, s f F 1 w R LA 1 Pro prázdné slovo w = ε tvrzení o obou inkluzích pltí tké: právě tehdy, když ε LA 1, pltí podle lgoritmu q 0 F, tedy ε LA ε LA 1 R Průnik Vět 1.3 Tříd jzyků rozpoznávných konečnými utomty je uzvřen vzhledem k operci průniku. Následující postup se nám bude hodit i později, podobný lgoritmus totiž budeme potřebovt i u operce rozdílu jzyků. Postup Budeme předpokládt, že některé dv regulární jzyky L 1 L 2 jsou rozpoznávány deterministickými konečnými utomty A 1 = Q 1, Σ 1, δ 1, q0 1, F 1, L 1 = LA 1 A 2 = Q 2, Σ 2, δ 2, q0 2, F 2, L 2 = LA 2, Q 1 Q 2 =. Vytváříme jzyk L = L 1 L 2 utomt A = Q, Σ 1 Σ 2, δ, q 0, F, L = LA.

12 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 8 Potřebujeme, by utomt A rozpoznávl právě t slov, která rozpoznávjí utomty A 1 A 2. Toho docílíme jednoduše tk, že totéž slovo necháme prlelně zprcovávt ob původní utomty, resp. v utomtu A spustíme prlelní simulci výpočtu původních utomtů. Vyhledáme dvojice přechodů, jeden z utomtu A 1, druhý z utomtu A 2, tkové, že ob tyto přechody lze použít ve stejné situci v nšem přípdě při stejném vstupním signálu. Tkže pokud v prvním utomtu máme přechod δ 1 r, = s v druhém δ 2 u, = v, pk v utomtu A bude přechod δ[r, u], = [s, v]. Množinu stvů výsledného utomtu bude tvořit množin uspořádných dvojic tkových, že první prvek dvojice je stv z Q 1, druhý prvek je stv z Q 2. Tedy se vlstně jedná o vytvoření krtézkého součinu množin Q 1 Q 2, le ve skutečnosti některé jeho prvky nové stvy budou v utomtu A nedosžitelné či ndbytečné, tedy v reálu půjde prvděpodobně o podmnožinu krtézského součinu. Shrňme, jk bude výsledný utomt vypdt: množin stvů je množinou uspořádných dvojic: Q = Q 1 Q 2 = {[x, y] ; x Q 1, y Q 2 } počáteční stv je uspořádná dvojice q 0 = [q 1 0, q2 0 ] množin koncových stvů bude podmnožinou množiny Q obshující jen ty dvojice původních stvů, které jsou v utomtech A 1 A 2 koncové: F = F 1 F 2 = {[x, y] ; x F 1, y F 2 } přechodová funkce δ vychází z přechodových funkcí δ 1 δ 2 : δ[x, y], = [u, v], kde δ 1 x, = u, δ 2 y, = v, Σ 1 Σ 2 M Příkld 1.4 Sestrojíme utomt rozpoznávjící průnik dvou jzyků, potřebujeme k nim ekvivlentní deterministické utomty: L 1 = { i b j ; i, j 0 } = b A 1 = {0, 1}, {, b}, δ 1, 0, {1} L 2 = { b i j ; i, j 0 } = b A 2 = {2, 3, 4}, {, b}, δ 2, 2, {3, 4} Automty pro jzyky L 1 L 2 : A 1 b δ 1 0, = 0 δ 1 0, b = 1 δ 1 1, = 1 b 0 1 A 2 b δ 2 2, = 3 δ 2 3, = 4 δ 2 3, b = 2 δ 2 4, = 4 2 b 3 4 Množin stvů bude množinou uspořádných dvojic původních stvů, le z důvodu zkrácení zjednodušení zápisu nebudeme psát čárku oddělující prvky uspořádné dvojice. Sestrojíme utomt A = Q, Σ, δ, [02], F, kde Q = Q 1 Q 2 = {[02], [03], [04], [12], [13], [14]} F = F 1 F 2 = {[13], [14]}

13 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 9 přechodová funkce δ: A b [02] [03] [03] [04] [12] [04] [04] [12] [13] [13] [14] [14] [14] δ[02], = [03] δ[03], = [04] δ[03], b = [12] δ[04], = [04] δ[12], = [13] δ[13], = [14] δ[14], = [14] [02] [03] b [12] [04] [13] [14] Stv [04] je, jk vidíme, ndbytečný, proto by nebyl problém ho odstrnit. M Důkz Vět 1.3: Je třeb dokázt, že pro jkékoliv slovo w Σ 1 Σ 2 pltí: w LA 1 LA 2 w LA. Budeme používt stejné znčení jko ve výše uvedeném popisu konstrukce. Předpokládáme, že utomty A 1 A 2 jsou deterministické. Dokzujeme LA 1 LA 2 LA: Nechť w LA 1 LA 2, w = n, n 1. v A 1 existuje výpočet q 1 0, w q 1 f, ε, q1 f F 1 o délce n přes posloupnost stvů q 1 0 = r 0,..., r n = q 1 f v A 2 existuje výpočet q 2 0, w q 2 f, ε, q2 f F 2 o délce n přes posloupnost stvů q 2 0 = s 0,..., s n = q 2 f v množině stvů Q budou dle lgoritmu obsženy obsženy stvy [r i, s i ], 0 i n pro přechodovou funkci δ pltí δ[x, y], = [u, v], kde δ 1 x, = u, δ 2 y, = v, Σ 1 Σ 2 v A existuje výpočet [q0 1, q2 0 ], w [qf 1, q2 f ], ε o délce n přes posloupnost stvů [q0 1, q2 0 ] = [r 0, s 0 ],..., [r n, s n ] = [qf 1, q2 f ] w LA Dokzujeme LA 1 LA 2 LA: Nechť w LA, w = n, n 1. v A existuje výpočet [q 1 0, q2 0 ], w [q 1 f, q2 f ], ε, q1 f F 1, q 2 f F 2 o délce n přes posloupnost stvů [q 1 0, q2 0 ] = [r 0, s 0 ],..., [r n, s n ] = [q 1 f, q2 f ] vzhledem k lgoritmu existuje v utomtu A 1 výpočet q 1 0, w q 1 f, ε, q1 f F 1 o délce n přes posloupnost stvů q 1 0 = r 0,..., r n = q 1 f v utomtu A 2 výpočet q 2 0, w q 2 f, ε, q2 f F 2 o délce n přes posloupnost stvů q 2 0 = s 0,..., s n = q 2 f w LA 1 w LA 2 w LA 1 LA 2 Zbývá prověřit lgoritmus pro w = 0. Zde si stčí uvědomit, že [q0 1, q2 0 ] F právě tehdy jen tehdy, pokud q0 1 F 1 zároveň q0 2 F 2. Proto ε LA ε LA 1 LA 2.

14 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky Doplněk Vět 1.4 Tříd jzyků rozpoznávných konečnými utomty je uzvřen vzhledem k operci doplňku jzyk v dné becedě. Postup Sestrojení konečného utomtu rozpoznávjícího doplněk jzyk jiného konečného utomtu nebudeme podrobně probírt, jen si tento lgoritmus stručně nstíníme: vezmeme původní utomt, budeme chtít, by byl deterministický totální, pokud F 1 je původní množin koncových stvů, nová množin koncových stvů bude F = Q F 1. Poznámk: Důkz této věty bude poněkud jiného druhu než jiné, které v těchto skriptech njdeme. Bylo by možné sice vytvořit podobný důkz jko u předchozích vět, le zde si ukážeme, že v některých přípdech to jde i mnohem jednodušeji. Jk víme z předchozího semestru, jzyk je ve skutečnosti množin, se kterou můžeme provádět různé množinové operce včetně sjednocení, průniku doplňku, čehož zde využijeme. Důkz: Pro jkékoliv dv jzyky L 1, L 2 pltí De Morgnovy zákony: L 1 L 2 = L 1 L 2 A zároveň budeme předpokládt, že jzyky L 1, L 2 jsou regulární, tedy ptří do třídy jzyků rozpoznávných konečnými utomty. Důkz povedeme sporem. Předpokládejme tedy, že tříd jzyků rozpoznávných konečnými utomty není uzvřen vzhledem k operci doplňku. Zároveň víme z předchozích vět důkzů, že tto tříd je uzvřen vzhledem k osttním opercím, které se v uvedeném vzthu vyskytují sjednocení průniku. N levé strně uvedeného vzthu je rozhodně regulární jzyk, tedy L 1 L 2 ptří do třídy jzyků rozpoznávných konečnými utomty. Pokud by tto tříd nebyl uzvřen vzhledem k doplňku, pk by nebylo možno tvrdit, že L 1 L 2 jsou regulární, tedy by některý z těchto jzyků nemusel být regulární. Totéž pltí i o celé prvé strně L 1 L 2. N levé strně máme vždy tkový jzyk, který ptří do třídy jzyků rozpoznávných konečnými utomty, le n prvé strně nikoliv spor. Tříd jzyků rozpoznávných konečnými utomty je uzvřen vzhledem k operci doplňku.

15 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky Rozdíl Vět 1.5 Tříd jzyků rozpoznávných konečnými utomty je uzvřen vzhledem k operci rozdílu. Výsledkem rozdílu dvou jzyků je jzyk obshující právě t slov prvního jzyk, která se nencházejí v druhém jzyce. Jk bylo výše nznčeno, postup bude velmi podobný tomu, který jsme probírli u operce průniku, le nvíc budeme poždovt, by ob původní utomty byly totální. Postup Budeme předpokládt, že dv regulární jzyky L 1 L 2 jsou rozpoznávány deterministickými úplnými konečnými utomty A 1 = Q 1, Σ 1, δ 1, q0 1, F 1, L 1 = LA 1 A 2 = Q 2, Σ 2, δ 2, q0 2, F 2, L 2 = LA 2, Q 1 Q 2 =. Vytváříme jzyk L = L 1 L 2 utomt A = Q, Σ 1 Σ 2, δ, q 0, F, L = LA. Totéž slovo necháme prlelně zprcovávt ob původní utomty, resp. v utomtu A spustíme prlelní simulci výpočtu původních utomtů. Tkže pokud v prvním utomtu máme přechod δ 1 r, = s v druhém δ 2 u, = v, pk v utomtu A bude přechod δ[r, u], = [s, v]. Množinu stvů výsledného utomtu bude tvořit množin uspořádných dvojic tkových, že první prvek dvojice je stv z Q 1, druhý prvek je stv z Q 2. Odlišnost postupu oproti operci průniku bude v množině koncových stvů. Ztímco u průniku byly v množině koncových stvů všechny tkové dvojice, kde ob prvky byly v původních množinách koncových stvů výsledný utomt rozpoznávl právě t slov, která rozpoznávly ob původní utomty, v přípdě rozdílu zřdíme do množiny koncových stvů tkové dvojice, kde první prvek je koncový v prvním utomtu zároveň druhý prvek není koncový v druhém utomtu. Shrňme, jk bude výsledný utomt vypdt: množin stvů: Q = Q 1 Q 2 = {[x, y] ; x Q 1, y Q 2 } počáteční stv je uspořádná dvojice q 0 = [q0 1, q2 0 ] množin koncových stvů bude podmnožinou množiny Q: F = F 1 Q 2 F 2 = {[x, y] ; x F 1, y Q 2 F 2 } přechodová funkce δ vychází z přechodových funkcí δ 1 δ 2 : δ[x, y], = [u, v], kde δ 1 x, = u, δ 2 y, = v, Σ 1 Σ 2 M Příkld 1.5 Sestrojíme utomt rozpoznávjící rozdíl jzyků, k nimž máme deterministické totální utomty: L 1 = { i b j ; i, j 0 } = b A 1 = {0, 1, X}, {, b}, δ 1, 0, {1} L 2 = { b i j ; i, j 0 } = b A 2 = {2, 3, 4, Y }, {, b}, δ 2, 2, {3, 4}

16 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 12 Úplné deterministické utomty pro jzyky L 1 L 2 : A 1 b X X X X δ 1 0, = 0 δ 1 0, b = 1 δ 1 1, = 1 δ 1 1, b = X δ 1 X, = X δ 1 X, B = X b 0,b b 1 X A 2 b 2 3 Y Y Y Y Y δ 2 2, = 3 δ 2 2, b = Y δ 2 3, = 4 δ 2 3, b = 2 δ 2 4, = 4 δ 2 4, b = Y δ 2 Y, = Y δ 2 Y, b = Y 2 b b 3,b b 4 Y Sestrojíme utomt A = Q, Σ, δ, [02], F, kde Q = Q 1 Q 2 = {[02], [03], [04], [0Y ], [12], [13], [14], [1Y ], [X1], [X2], [X3], [X4], [XY ]} F = F 1 Q 2 F 2 = {[12], [1Y ]} přechodová funkce δ: A b δ[02], = [03] δ[14], = [14] [02] [03] [1Y ] δ[02], b = [1Y ] δ[14], b = [XY ] [03] [04] [12] δ[03], = [04] δ[1y ], = [1Y ] [04] [04] [1Y ] δ[03], b = [12] δ[1y ], b = [XY ] [0Y ] [0Y ] [1Y ] δ[04], = [04] δ[x2], = [X3] [12] [13] [XY ] δ[04], b = [1Y ] δ[x2], b = [XY ] [13] [14] [X2] δ[0y ], = [0Y ] δ[x3], = [X4] [14] [14] [XY ] δ[0y ], b = [1Y ] δ[x3], b = [X2] [1Y ] [1Y ] [XY ] δ[12], = [13] δ[x4], = [X4] [X2] [X3] [XY ] δ[12], b = [XY ] δ[x4], b = [XY ] [X3] [X4] [X2] δ[13], = [14] δ[xy ], = [XY ] [X4] [X4] [XY ] δ[13], b = [X2] δ[xy ], b = [XY ] [XY ] [XY ] [XY ] Digrm celého výsledného utomtu nemá smysl kreslit, b [02] [03] [12] byl by velmi nepřehledný. Proto je lepší nejdřív provést b redukci postup necháme n čtenáři, po které nám z 12 stvů zbývá pouze 5: b [1Y] [04] M Důkz Vět 1.5: Je třeb dokázt, že pro jkékoliv slovo w Σ 1 Σ 2 pltí: w LA 1 LA 2 w LA. Budeme používt stejné znčení jko ve výše uvedeném popisu konstrukce. Předpokládáme, že utomty A 1 A 2 jsou deterministické totální. Dokzujeme LA 1 LA 2 LA: Nechť w LA 1 LA 2, w = n, n 1.

17 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 13 v A 1 existuje výpočet q 1 0, w q 1 f, ε, q1 f F 1 o délce n přes posloupnost stvů q 1 0 = r 0,..., r n = q 1 f v A 2 existuje výpočet q 2 0, w q 2 g, ε, q 2 g Q 2 F 2 o délce n přes posloupnost stvů q 2 0 = s 0,..., s n = q 2 x v množině stvů Q budou dle lgoritmu obsženy obsženy stvy [r i, s i ], 0 i n pro přechodovou funkci δ pltí δ[x, y], = [u, v], kde δ 1 x, = u, δ 2 y, = v, Σ 1 Σ 2 v A existuje výpočet [q 1 0, q2 0 ], w [q 1 f, q2 g], ε o délce n přes posloupnost stvů [q 1 0, q2 0 ] = [r 0, s 0 ],..., [r n, s n ] = [q 1 f, q2 g] w LA Dokzujeme LA 1 LA 2 LA: Nechť w LA, w = n, n 1. v A existuje výpočet [q 1 0, q2 0 ], w [q 1 f, q2 g], ε, q 1 f F 1, q 2 g Q 2 F 2 o délce n přes posloupnost stvů [q 1 0, q2 0 ] = [r 0, s 0 ],..., [r n, s n ] = [q 1 f, q2 g] vzhledem k lgoritmu existuje v utomtu A 1 výpočet q 1 0, w q 1 f, ε, q1 f F 1 o délce n přes posloupnost stvů q 1 0 = r 0,..., r n = q 1 f v utomtu A 2 výpočet q 2 0, w q 2 g, ε, q 2 g Q 2 F 2 o délce n přes posloupnost stvů q 2 0 = s 0,..., s n = q 2 g w LA 1 w / LA 2 w LA 1 LA 2 Pro w = 0: pltí [q0 1, q2 0 ] F právě tehdy jen tehdy, pokud q1 0 F 1 ε LA ε LA 1 LA 2. q 2 0 Q 2 F 2. Tedy 1.3 Kritéri regulárnosti jzyk Jk poznt, zd je dný jzyk regulární? Ztím víme, že jzyk je regulární, jestliže ho lze reprezentovt pomocí regulárního výrzu, k němu lze sestrojit ekvivlentní konečný utomt, k němu lze sestrojit ekvivlentní regulární grmtiku. Existují všk i jiné možnosti, které obvykle slouží k popření regulárnosti dokázání, že dný jzyk není regulární. To je užitečné zvláště tehdy, když se nám nedří vytvořit ekvivlentní regulární výrz, konečný utomt ni grmtiku, le zároveň si nejsme jisti, proč buď jzyk sice je regulární, le uvedené postupy jsou příliš složité, nebo jzyk dooprvdy regulární není Pumping lemm pro regulární jzyky Jednou z možností, jk dokázt, že dný jzyk není regulární, je Pumping lemm pro regulární jzyky. Tky se nzývá lemm o vkládání nebo pumpovcí vět pro regulární jzyky. Jedná se o jednu z tzv. strukturálních vlstností regulárních jzyků, tedy její tvrzení se vzthuje ke struktuře slov jzyk. Nejdřív si vysvětlíme princip, ze kterého Pumping lemm vychází, potom teprve přejdeme k smotnému lemmtu.

18 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 14 Předpokládejme, že L je regulární jzyk. Víme, že v tom přípdě je možné k němu sestrojit ekvivlentní konečný utomt. b b p 0 p 1 p 2 Jestliže je tento jzyk nekonečný, bude v digrmu tohoto utomtu nejméně jedn smyčk. N obrázku vprvo vidíme digrm, b ve kterém je smyčk přes jeden stv ve stvu p 0 smotná smyčk generuje množinu slov, dále smyčk přes dv stvy p 1, p 2 nvíc smyčk přes všechny tři stvy. I tk jednoduchý jzyk jko npříkld b by měl v digrmu svého utomtu smyčku, protože je nekonečný. Vezměme z tkového jzyk dosttečně dlouhé slovo. Co je to dosttečně dlouhé slovo? Jednoduše tkové, o kterém se dá říct, že není krátké. Nejlepší je zvolit nikoliv konkrétní slovo, le reprezentci množiny slov s podobnou strukturou tkovou, kde máme v zápisu index ten nám zjistí dosttečnou délku slov. Npříkld b i rozhodně předstvuje množinu, ve které máme i dosttečně dlouhá slov, stčí si pod indexem i předstvit nějké hodně velké číslo. Proč potřebujeme dosttečně dlouhé slovo? tkového slov máme jistotu, že při jeho vyhodnocování konečným utomtem bude nutné přejít minimálně jednou přes některou smyčku. Když víme, že přes některou smyčku určitě půjdeme, můžeme si s ní trochu pohrát přes tu smyčku půjdeme opkovně vícekrát, obecně jiný počet krát než v původním slově. Jestliže jsme pořád v tomtéž konečném utomtu, pk musí pltit, že slovo, které tkto zprcujeme jiný počet průchodů přes smyčku, tky bude ptřit do jzyk utomtu. Npříkld z jzyk utomtu n obrázku vprvo si můžeme vybrt slovo k b 2. Pro různé indexy k získáme tyto posloupnosti výpočtu: k = 0: p 0, bb p 1, b p 2, ε k = 1: p 0, bb p 0, bb p 1, b p 2, ε k = 2: p 0, bb p 0, bb p 0, bb p 1, b p 2, ε k = 3: p 0, bb p 0, bb p 0, bb p 0, bb p 1, b p 2, ε td. Od indexu 1 vede cest v grfu vždy minimálně jednou přes smyčku ve stvu p 0, přičemž vždy dné slovo ptří do jzyk rozpoznávného utomtem. Opkovným procházením smyčky pumpujeme dnou část slov pořád dokol, proto se probírné větě říká Pumping lemm. Vyzkoušíme jiné slovo pro tentýž jzyk utomt, npříkld bbbb k. Je zřejmé, že teď cílíme n smyčku přes stvy p 1, p 2. Pro různé indexy k získáme tyto posloupnosti výpočtu: k = 0: p 0, bb p 0, bb p 1, b p 2, ε k = 1: p 0, bbbb p 0, bbbb p 1, bbb p 2, bb p 1, b p 2, ε k = 2: p 0, bbbbbb p 0, bbbbbb p 1, bbbbb p 2, bbbb p 1, bbb p 2, bb p 1, b p 2, ε td. Opět všechn tkto npumpovná slov ptří do jzyk generovného utomtem. Z toho vyplývá, že typickou vlstností všech regulárních jzyků je: pokud njdeme dosttečně dlouhé slovo, můžeme jeho část tu, která jde přes jkoukoliv smyčku pumpovt opkovt v jkémkoliv počtu kroků ovšem vždy celou smyčku, nestčí jen její část, výsledné slovo bude tké ptřit do dného jzyk. Zbývá poslední otázk: jk zvolit dosttečnou délku slov? Podívejme se n náš utomt n předchozí strně. Stčí, když zvolíme slovo o délce přeshující počet stvů utomtu, už máme

19 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 15 dosttečnou délku, protože v tom přípdě je jisté, že výpočet půjde přes nejméně jeden stv lespoň dvkrát. V nšem přípdě potřebujeme slovo o délce větší než 3. Lemm 1.6 Pumping lemm pro regulární jzyky Jestliže L je regulární jzyk, pk existuje přirozené číslo p > 0 tkové, že pro kždé slovo w L tkové, že w > p, existuje lespoň jedno rozdělení slov w ve formě w = x y z, kde y ε x y p k 0 je x y k z L 1.4 V těchto větách si můžeme všimnout, že se ve skutečnosti střídjí existenční obecný kvntifikátor. vedeme si totéž lemm v jiné formulci, přičemž podmínku y 0 zpíšeme jko y > 0: Lemm 1.7 Pumping lemm pro regulární jzyky jiné znění L je regulární jzyk p N, p > 0 tkové, že w L, w > p rozdělení w = x y z y > 0 x y p k 0 je x y k z L 1.5 Poznámk: Všimněme si ještě jedné důležité věci ve větě se nic neříká ni o utomtu, ni o stvech. Je tm prostě podmínk n nějké číslo p, le nic víc. Ve větě totiž vůbec žádný utomt nepotřebujeme, stčí, když zvolíme dosttečně velké číslo p ideálně s využitím vhodného indexu. Zmínk o utomtu stvech by dokonce byl škodlivá, protože jk si později ukážeme tuto větu používáme v důkzech, že určitý jzyk není regulární tedy pro něj vlstně ni žádný konečný utomt nelze sestrojit. Jinými slovy pokud ve větě někdo zčne u zkoušky mluvit o utomtu či stvech, letí... Pumping lemm pro regulární jzyky se dá používt dvěm způsoby: 1. O jzyce L víme, že je regulární, chceme vystihnout strukturu dlouhých slov. 2. Chceme zjistit, zd je jzyk L regulární. Nejdřív se podíváme n první možnost. M Příkld 1.6 Vezměme jzyk L = { bc n ; n 0}. Tento jzyk je regulární, q 0 q 1 q 2 protože lze sestrojit ekvivlentní regulární výrz R = bc, b regulární grmtiku konečný utomt, jehož digrm vidíme c vprvo. Jzyk L je nekonečný v digrmu jeho konečného utomtu je smyčk přes stvy q 1, q 2, q 3. q 3 Podle Pumping lemm pro regulární jzyky pro tento jzyk existuje p > 0 tkové, že všechn slov jzyk delší než p dokážeme rozdělit n tři části splňující stnovené podmínky. Můžeme zvolit npříkld p = 10, le lepší je jednoduše se spolehnout n vhodný index jko zákldní

20 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 16 slovo zvolit w = bc i pro dosttečně velký index i tento předpis mimochodem předstvuje všechn dlouhá slov jzyk. Ve větě se píše, že pro kždé tkové slovo existuje lespoň jedno rozdělení, tedy stčí njít jedno. Můžeme zvolit třeb w = x y z = bc bc i 1, tedy prostřední část y = bc. Ověříme, zd pumpování pro toto rozdělení funguje oznčme w k = x y k z: w 0 = bc 0 bc i 1 = bc i 1 L w 1 = bc 1 bc i 1 = bc i L w 2 = bc 2 bc i 1 = bc i+1 L w 3 = bc 3 bc i 1 = bc i+2 L td. Rozdělení jsme zvolili dobře, pumpovné slovo vždy ptří do jzyk L. Pokud bychom zvolili šptné rozdělení zde npříkld w = bc bc i 1, po pumpování bychom získli slov neptřící do dného jzyk. Ve větě se totiž nepíše, že důsledek pltí pro všechn možná rozdělení, le pro nejméně jedno možné rozdělení. Možných správných rozdělení ovšem může být víc než jedno, zde bychom npříkld jko prostřední část mohli zvolit třeb bc 2. Tktéž pokud njdeme víc různých smyček, přidávjí se dlší možnosti rozdělení. M Poznámk: vědomme si, že Pumping lemm má formu implikce, nikoliv ekvivlence. Říká: jzyk je regulární jzyk splňuje dnou vlstnost Proč je to tk důležité? Existují totiž jzyky, které sice nejsou regulární, le dnou vlstnost mjí tké, v jejich přípdě tedy obrácené tvrzení nepltí. Npříkld jzyk L = {b m n c n ; m, n 1} není regulární vyžduje synchronizci dvou částí slov, což konečný utomt nedokáže, le přesto existuje p > 0 tkové, že pro kždé dosttečně dlouhé slovo jzyk dokážeme njít rozdělení pro pumpování, npříkld w = ε b b i 1 j c j. žitečnějším využitím Pumping lemm je druhý uvedený způsob důkz, že dný jzyk není regulární. Zde využíváme nepřímý důkz. Původní implikci jzyk je regulární jzyk splňuje dnou vlstnost ekvivlentně uprvíme, čímž vznikne tvrzení jzyk splňuje dnou vlstnost jzyk je regulární jzyk nesplňuje dnou vlstnost jzyk není regulární Poznámk: Proč to můžeme provést? Vzpomeňte si n ekvivlentní úprvy logických výrzů: A B B A

21 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 17 Je třeb si uvědomit, jký vliv má negce n kvntifikátory. Srovnejte původní tvr podmínky ve větě tvr po převrácení: L L REG p > 0 w: w > p rozdělení... k 0: x y k z L p > 0 w: w > p rozdělení... k 0: x y k z / L L / L REG Postup Pokud tedy pomocí této věty chceme dokázt, že jzyk L není regulární, postupujeme tkto: vybereme dosttečně dlouhé slovo w L, stnovíme strukturu tohoto slov určíme možná rozdělení vyhovující podmínkám w = x y z y ε x y p, ukážeme, že žádné z těchto rozdělení neodpovídá podmínce k 0 je x y k z L, tedy pro kždé rozdělení njdeme číslo k tkové, že x y k z / L obvykle stčí vyzkoušet k = 0 nebo k = 2, pokud se to nepodří, vrcíme se k prvnímu bodu hledáme dlší dosttečně dlouhé slovo. Role čísl p je ve větě dvojí předně nám říká, že slovo má být oprvdu dosttečně dlouhé, dále ve vzthu x y p stnovuje horní omezení délky prvních dvou částí slov po rozdělení. Omezení je zde proto, bychom v dném slově zvolili vždy první smyčku zlev, má to být první možnost opkování, n kterou ve slově nrzíme. Z nšeho pohledu je důsledek tkový, že pokud při specifikci dosttečně dlouhého slov použijeme písmenný index, pk by se tento index neměl v prvních dvou částech vůbec vyskytovt. M Příkld 1.7 kážeme pomocí Pumping lemm, že jzyk L = { n b n ; n 0} není regulární. Jko dosttečně dlouhé slovo jzyk si zvolíme w = i b i pro nekonkrétní velké číslo i. Dále stnovíme různá možná rozdělení tohoto slov ke kždému zjistíme, jestli se dá pumpovt. Rozdělení w = x y z má být tkové, že prostřední část musí obshovt lespoň jeden symbol y ε první dvě části mjí shor omezenou délku tj. nemůžeme v nich použít index i. Postupujeme tk, že určujeme místo ve slově, ve kterém by mohl být prostřední tedy hrniční část slov. Jsou tyto možnosti: prostřední část y bude n zčátku první části slov, prostřední část y bude v první části slov, le ne zcel n zčátku. Dlší možnosti odpdjí, protože musí pltit x y < p. Nejdřív tedy prověříme možnost x = ε, y = m, z = i m b i, kde m > 0 je číslo m < p nebudeme zvlášť prověřovt m = 1, m = 2,..., důkz by se poněkud protáhl. Pk je tedy w = ε m i m b i, po pumpování w k = ε m k i m b i = m k+i m b i = mk 1+i b i. Npříkld pro k = 0 dostáváme w 0 = i m b i, přičemž m > 0. Je zřejmé, že w 0 / L. K témuž závěru bychom došli, kdybychom zvolili jkékoliv číslo k 1, dobře se prcuje npříkld s k = 2.

22 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 18 Druhá možnost nám dává x = r, y = s, z = i r s b i, kde r, s > 0, r + s < p. Pk pltí w = r s i r s b i, po pumpování w k = r s k i r s b i = r+s k+i r s b i = s k+i s b i = sk 1+i b i Opět můžeme zvolit k = 0, dostáváme w 0 = i s b i / L, protože s > 0. Všimněte si, že první možnost rozdělení slov w je vlstně speciálním přípdem druhé možnosti pro r = 0. Tento důkz by tedy bylo možné ještě zkrátit. M Poznámk: Pumping lemm by mělo pltit pro všechny regulární jzyky. Pltí i pro konečné jzyky? Víme, že kždý konečný jzyk ptří do třídy regulárních jzyků lze pro něj vytvořit ekvivlentní konečný utomt, tkže by vět měl pltit i pro konečné jzyky. Podívejme se n znění věty pro kždé slovo w L tkové, že w > p... Pokud číslo p položíme rovno počtu stvů utomtu, pk v konečném jzyce L neexistuje žádné slovo delší než p smozřejmě jink by v digrmu utomtu musel být smyčk jzyk by nebyl konečný, proto množin slov delších než p je prázdná. Jenže v tom přípdě můžeme tvrzení pro kždé... existuje... povžovt z pltné, protože pro prvky prázdné množiny vlstně pltí jkákoliv podmínk klidně můžeme kždé slovo množiny rozkládt n tři části td., protože v reálu to provedeme 0 není co testovt. Důkz Pumping lemm pro regulární jzyky: Tto vět je implikce, tedy důkz povedeme pouze jedním směrem. Předpokládejme, že jzyk L je rozpoznáván konečným utomtem A = Q, Σ, δ, q 0, F. Máme dokázt, že pro tkový jzyk existuje číslo p tkové, že kždé slovo delší než p lze rozdělit n tři části tk, jk je ve větě popsáno. Máme dokázt, že tkové číslo existuje, proto si můžeme zvolit volíme p = crdq, tedy počet prvků množiny stvů. Nechť M = {w L ; w > p} je množin všech slov jzyk L delších než p. Pokud je tto množin prázdná, tvrzení věty pltí, jk jsme si přečetli v poznámce před tímto důkzem. Dále tedy předpokládejme, že tto množin není prázdná. Tvrzení věty má pltit pro všechny prvky množiny M, tedy dále budeme prcovt s jkýmkoliv slovem w M, oznčme w = n. Protože w L, musí v utomtu A existovt kceptující výpočet tohoto slov, to postupně přes n+1 stvů. Poněvdž n > p p je počet stvů utomtu, musí existovt minimálně jeden stv ve skutečnosti minimálně dv stvy tkový, který se v této posloupnosti stvů vyskytuje více než jednou.... Oznčme q Q první tkový stv posloupnosti výpočtu, který se v posloupnosti y vyskytuje více než jednou. Pk můžeme nši q 0... q... q f posloupnost stvů rozdělit n tři části, jk je x z nznčeno n obrázku vprvo první úsek oznčený x povede od počátečního stvu q 0 k prv-

23 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 19 nímu výskytu stvu q v posloupnosti výpočtu, pk pokrčujeme smyčkou k druhému výskytu q v posloupnosti výpočtu to je druhý úsek oznčený y zbytek slov je zprcován v třetím úseku oznčeném z n nějž nekldeme žádné poždvky. Výpočet tedy můžeme zpst tkto: q 0, x y z q, y z + q, z q f, ε Výpočet slov w k = x y k z pro všechn k 0 bude pk následující: q 0, x y k z q, y k z } +.{{.. + } q, z q f, ε k-krát zprcujeme y Tím jsme dokázli, že pro jkékoliv slovo w L delší než p lze njít rozdělení toho slov w = x y z tkové, že w k = x y k z L protože pokud pro slovo w k dokážeme sestrojit posloupnost výpočtu, pk toto slovo ptří do jzyk L Využití uzávěrových vlstností Tříd regulárních jzyků resp. jzyků rozpoznávných konečnými utomty je uzvřen vzhledem mnoh různým opercím, čehož lze využít i v důkzech neregulárnosti. Nejužitečnější opercí je v tomto smyslu průnik. M Příkld 1.8 Dokážeme, že jzyk L = {w {, b} ; w = w b } není regulární. Tento jzyk obshuje všechn slov nd becedou {, b} tková, která obshují stejný počet symbolů jko b. Důkz povedeme nepřímo budeme předpokládt, že L je regulární, postupně dojdeme ke sporu. Jestliže tedy je jzyk L regulární, pk by jeho průnik s jkýmkoliv jiným regulárním jzykem byl tky regulární jzyk protože tříd regulárních jzyků je uzvřen vzhledem k operci průniku. Víme, že jzyk R = { i b j ; i, j 0} = b je regulární. Jzyk L R vypdá tkto: L R = {w {, b} ; w = w b } { i b j ; i, j 0} = { i b i ; i 0} Jenže jzyk L R není regulární to jsme n předchozích stránkách dokázli pomocí Pumping lemm. Došli jsme ke sporu tedy jzyk L není regulární. M Nerodov vět V této sekci budeme potřebovt, by konečné utomty, se kterými budeme prcovt, byly deterministické měly redukovnou množinu stvů především odstrněné nedosžitelné stvy ideálně i ndbytečné. Pro připomenutí: nedosžitelné stvy se odstrňují tk, že rekurzivním lgoritmem zjistíme, které stvy jsou dosžitelné: S 0 = {q 0 } S i+1 = S i {q Q ; p S i, Σ: δp, = q}, i 0 A teď trochu lgebry budeme se zbývt ekvivlencemi kongruencemi. Víme, že ekvivlence je tková relce, která splňuje tyto tři vlstnosti: je reflexivní, symetrická trnzitivní.

24 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 20 Definice 1.7 Rozkld n třídy ekvivlence Relce ekvivlence je binární relce n dné množině M, která množinu M dělí n vzájemně disjunktní podmnožiny. Tyto podmnožiny nzýváme třídy ekvivlence proces jejich vytvoření je rozkld množiny n třídy ekvivlence. Třídu ekvivlence n množině M znčíme podle kteréhokoliv prvku této třídy: [], kde M. Pltí [] = {b M ; b }. Fktorovou množinu, tedy rozkld množiny M podle ekvivlence, znčíme M/ pltí M/ = M []. M Příkld 1.9 Aby bylo jsné, jk se používá rozkld n třídy ekvivlence, ukážeme jej n této ekvivlenci: Nechť je relce n množině přirozených čísel s nulou N 0 tková, že, b N: b mod 5 = b mod 5 Provádíme tedy rozkld množiny n třídy ekvivlence podle zbytku po dělení číslem 5. Jednotlivé třídy vypdjí tkto: [0] = {0, 5, 10, 15,...} [1] = {1, 6, 11, 16,...} [2] = {2, 7, 12, 17,...} [3] = {3, 8, 13, 18,...} [4] = {4, 9, 14, 19,...} Jedná se o ekvivlenci je reflexivní kždý prvek je ekvivlentní sám se sebou, symetrická pro kždé dv prvky pltí b b trnzitivní pro jkékoliv tři prvky pltí b c c. Fktorizcí jsme vytvořili celkem pět tříd rozkldu. Tyto třídy jsou nvzájem disjunktní nenjdeme žádný prvek, který by ptřil do více než jedné třídy zároveň jejich sjednocením je celá původní množin: N 0 = [0] [1] [2] [3] [4] M Definice 1.8 Index ekvivlence Index ekvivlence definovné n množině M je počet tříd rozkldu M/. Pokud je počet tříd rozkldu nekonečný, je indexem ekvivlence. Index ekvivlence z předchozího příkldu je 5, protože rozkldem jsme získli pět tříd rozkldu. V příkldu jsme si ukázli relci ekvivlence definovnou n množině přirozených čísel s nulou, dále se změříme n ekvivlenci definovnou n množině Σ řetězců nd dnou becedou. Definice 1.9 Prvá kongruence Nechť Σ je beced nechť je relce ekvivlence n množině Σ. Říkáme, že relce je prvou kongruencí zprv invrintní, pokud pro kždé u, v, w Σ pltí u v u w v w.

25 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 21 Poznámk: Všimněte si, že vlstně vůbec neodbočujeme od konečných utomtů v definici prvé kongruence vidíme, že k prvkům řetězcům přidáváme zprv dlší prvky, co si provádí konečný utomt během výpočtu slov? Postupně zprv přidává dlší dlší rozpoznné symboly. Lemm 1.8 Nechť je relce ekvivlence n množině Σ. Relce je prvou kongruencí právě tehdy, když u, v Σ, Σ pltí u v u v. Důkz: Jedná se vlstně o vrici předchozí definice, kdy zprv přidáváme místo řetězce právě jeden symbol. Důkz jedním směrem definice vět je triviální, protože tvrzení lemmtu je vlstně okleštěním tvrzení z definice. Důkz druhým směrem vět definice lze provést mtemtickou indukcí dle délky slov w: Báze: w = 0: triviální u v u ε v ε Předpokld: Předpokládejme, že vzth pltí pro w Σ tkové, že 0 w n. Zjistíme, zd vzth pltí i pro w = w, Σ, tedy w = n + 1. Krok indukce: Jestliže podle předpokldu u v u w v w, kde w = n, pk můžeme využít trnzitivitu tvrzení z lemmtu: u w v w u w v w = u w v w. Vět 1.9 Nerodov vět Nechť L je jzyk nd becedou L. Pk tto tvrzení jsou ekvivlentní: 1. L je rozpozntelný konečným utomtem tj. je to regulární jzyk. 2. L je sjednocením některých tříd rozkldu určeného prvou kongruencí L n Σ s konečným indexem. Autorem Nerodovy věty je Anil Nerode. kážeme si, jkým způsobem je možné větu pro testování regulárnosti použít. M Příkld 1.10 Vezměme jzyk L = { n b n ; n 0}. Pomocí Pumping lemm jsme dokázli, že tento jzyk není regulární, teď provedeme důkz téhož tvrzení pomocí Nerodovy věty. Předně určíme rozkld tříd ekvivlence vzhledem k becedě jzyk, která je Σ = {, b}. Dotyčný rozkld je {, b} / L, kdyby jzyk L byl regulární, pk by podle Nerodovy věty byl sjednocením některých tříd rozkldu určeného prvou kongruencí s konečným indexem. Tento index prcovně oznčíme k tj. existuje právě k tříd rozkldu pro ekvivlenci L, tuto konstntu budeme používt i v dlší části důkzu. Relci L nemusíme pro účely důkzu přímo určovt, stčí vědět, že se jedná o prvou kongruenci.

26 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 22 To, že jzyk L není regulární, tedy dokážeme jednoduše tk, že njdeme dvě slov u, v Σ tková, že sice ptří do stejné třídy rozkldu, le jedno z nich ptří do L druhé ne. Vezmeme slov b, 2 b,..., k b, k+1 b Σ. Protože rozkld Σ / L má k tříd, budou minimálně dvě z těchto k + 1 slov v téže třídě oznčme je i b, j b pro nějké 1 i < j k + 1, tedy i b L j b. Protože L je zprv invrintní, mělo by pltit i b b i 1 L j b b i 1, po zřetězení i b i L j b i, le zároveň pltí i < j, tedy i j. Proto i b i L, kdežto j b i / L. Z toho vyplývá, že jzyk L není regulární nšli jsme dvě slov, která ptří do stejné třídy ekvivlence, le jedno z nich ptří do jzyk L druhé ne. M Nerodov vět určuje tvrzení, které je ekvivlencí, stnovuje tedy nutnou postčující podmínku pro regulárnost jzyk. Jinými slovy podle toho, zd je či není splněn podmínk 2 věty, můžeme přímo určit, zd dný jzyk je či není regulární. Oproti tomu Pumping lemm neurčuje ekvivlenci je pouze implikcí, tedy jde o nutnou podmínku, nikoliv postčující. M Příkld 1.11 Použijeme opět becedu Σ = {, b}. Definujeme ekvivlenci L n množině Σ přímo určením množin rozkldu: [ε] = {ε} [] do této třídy zřdíme slov odpovídjící výrzu b [b] do této třídy zřdíme slov odpovídjící výrzu b X všechn osttní slov nd dnou becedou. Vzhledem k poslední uvedené třídě můžeme tvrdit, že sjednocením všech tříd získáme původní množinu Σ, zároveň jsou všechny vytvořené třídy po dvou nvzájem disjunktní kždé slovo nd becedou Σ ptří právě do jedné třídy. Ověříme, zd se jedná o prvou kongruenci. Nejjednodušší to bude tím, že sestrojíme konečný utomt, jehož jednotlivé koncové stvy budou odpovídt prvním třem třídám rozkldu dále jeden nekoncový bude předstvovt poslední třídu. N obrázku vprvo vidíme digrm tkto sestrojeného utomtu. Tento utomt je deterministický totální díky [ε] [] q b b b [b] X,b stvu X, který plní roli odpdkového koše, rozpoznávný jzyk je L = ε + b + b. Díky determinismu je zprcování jkéhokoliv slov nd becedou Σ ukončeno právě v jednom stvu koncovém, pokud slovo ptří do jzyk L. Jk vidíme, Nerodov vět vlstně vystihuje zákldní strukturální chrkteristiku regulárních jzyků, vychází z toho, že regulární jzyk lze reprezentovt sjednocením konečného počtu jednodušších regulárních výrzů. Kždá tříd rozkldu pk odpovídá regulárnímu výrzu, jehož vyhodnocení v konečném utomtu je ukončeno v jednom konkrétním koncovém stvu. Tkovou třídu rozkldu můžeme reprezentovt buď některým ze slov ptřících do dné třídy, nebo oznčením příslušného koncového stvu. M

27 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 23 Účelem vytvoření následující definice je možnost vytvoření přehlednějšího zápisu výpočtu slov v konečném utomtu, zápis využijeme tké v důkzu Nerodovy věty. Definice 1.10 Rozšířená přechodová funkce Nechť A = Q, Σ, δ, q 0, F je konečný utomt. Rozšířená přechodová funkce v tomto utomtu je prciální funkce δ : Q Σ Q, kde δ q, ε = q 1.6 δ q, w = δδ q, w, 1.7 pokud přechody n prvé strně předpisu jsou definovány pokud je A totální utomt, pk jsou vždy definovány. Tkto definovná funkce nám zkrátí zápis, npříkld δ q, w = r v deterministickém utomtu znmená, že výpočet slov w zčínjící ve stvu q skončí ve stvu r po tolik krocích, jká je délk slov w. Tkže jzyk rozpoznávný utomtem A můžeme zpst tkto: LA = {w Σ ; δ q 0, w F } 1.8 Důkz Nerodov vět: Jedná se o ekvivlenci dvou tvrzení, tedy musíme dokázt dvě k sobě opčné implikce. Tvrzení 1 říká, že jzyk L je regulární, tvrzení 2 určuje, že L je sjednocením některých tříd rozkldu určeného prvou kongruencí L n Σ s konečným indexem. 1 2: Nechť je jzyk L je regulární, tedy lze sestrojit ekvivlentní deterministický totální konečný utomt A = Q, Σ, δ, q 0, F bez nedostupných stvů. Definujeme relci L n množině Σ předpisem x, y Σ : x L y def δ q 0, x = δ q 0, y tj. dvě slov nd dnou becedou jsou ekvivlentní právě tehdy, když jejich výpočet v utomtu A končí ve stejném stvu pozor, není řečeno, že končí úspěšně, dotyčný stv nemusí být koncový. Je zřejmé, že relce ekvivlence L má konečný index, protože tříd rozkldu je mximálně tolik, kolik je stvů v utomtu crdq, přičemž množin Q je konečná. Je to prvá kongruence, což plyne z definice rozšířené přechodové funkce δ. Jzyk L je sjednocením některých tříd rozkldu určeného prvou kongruencí L n Σ, protože může být zpsán následovně: L = q F {w Σ ; δ q 0, w = q} : Nechť jzyk L je sjednocením některých tříd rozkldu určeného prvou kongruencí L n Σ s konečným indexem. Jednotlivé třídy oznčíme [u], kde u [u] je některým prvkem třídy [u]. Sestrojíme konečný utomt A = Q, Σ, δ, q 0, F tkto: Q = Σ / L stvy utomtu budou jednotlivé třídy rozkldu; protože ekvivlence L má konečný index, tké množin Q bude konečná,

28 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 24 funkci δ určíme jko funkci přechodu mezi třídmi: δ[u], = [u]; motivce byl ukázán v příkldu výše, protože je L prvou kongruencí, nezávisí náš zápis n volbě reprezentntů třídy, q 0 = [ε], F obshuje právě stvy vzniklé ze tříd rozkldu, jejichž sjednocení dá jzyk L. Pro jkékoliv slovo w Σ lze indukcí podle délky slov ukázt, že δ [ε], w = [w], pltí w Σ w L [w] F δ [ε], w F 1.10 Proto můžeme tvrdit, že LA = L. 1.4 Minimlizce konečného utomtu Z minulého semestru víme, jk vytvořit redukovný utomt, tedy redukovt množinu stvů utomtu. Ovšem nedá se tvrdit, že tkto vytvořený utomt je pro dný jzyk nejmenší možný co se týče množství stvů. Může totiž existovt ekvivlentní utomt s ještě menším množstvím stvů npříkld může být možné ještě dál prcovt s některými cykly či sdružovt konce cest v utomtu, čehož redukcí nedosáhneme. Ztímco při redukci prcujeme pouze se syntxí grfem, kdy nebereme v úvhu ohodnocení hrn, nyní se soustředíme i n sémntiku grf včetně ohodnocení. Účelem minimlizce nemusí být nutně minimlizce smotná, může být pro nás pouze prostředkem k jinému účelu npříkld pokud chceme zjistit, zd dv n pohled různé konečné utomty rozpoznávjí tentýž jzyk, pk ob utomty minimlizujeme pk jednoduše porovnáme podle stvů. Následující definice by pro nás měl být triviální, protože pod pojmem ekvivlence utomtů jsme i dřív rozuměli jejich jzykovou ekvivlenci: Definice 1.11 Jzykově ekvivlentní konečné utomty Dv utomty A 1 A 2 jsou jzykově ekvivlentní, jestliže LA 1 = LA 2. Nyní můžeme definovt minimální utomt: Definice 1.12 Minimální utomt Konečný utomt A je minimální minimlizovný, jestliže neexistuje žádný jiný konečný utomt A s menším množstvím stvů, pro který by pltilo LA = LA. Jk lze provést minimlizci? Algoritmus je zložen n myšlence, že pokud cesty vedoucí ze dvou různých stvů do koncových stvů určují ekvivlentní množiny rozpoznávných slov, pk jsou tyto dv stvy změnitelné jeden z nich můžeme odstrnit tedy tkové dv stvy ztotožníme/shrneme do jediného. Je zřejmé, že nemůžeme npříkld ztotožnit dv stvy tkové, že jeden z nich je koncový druhý ne. A pokud dv stvy ztotožníme shrneme, musíme ztotožnit i jejich následníky n cestě grfem digrmu utomtu.

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích Kpitol 1 Formální jzyky Cíle kpitoly: Po prostudování kpitoly máte plně rozumět pojmům jko(formální) beced, slovo, jzyk, operce n slovech jzycích; máte zvládt práci s těmito pojmy n prktických příkldech.

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Gaussovská prvočísla

Gaussovská prvočísla Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, 658 70 Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium

Více

II. termodynamický zákon a entropie

II. termodynamický zákon a entropie Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod PODKLDY K SEMINÁŘŮM ŘEŠENÉ PŘÍKLDY SEMINÁŘ I eorie bsolutních komprtivních výhod Zákldní principy teorie komprtivních výhod eorie komprtivních výhod ve své klsické podobě odvozuje motivci k obchodu z rozdílných

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013,

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, EVROPSKÁ KOMISE V Bruselu dne 30.4.2013 C(2013) 2420 finl NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, kterým se mění nřízení (ES) č. 809/2004, pokud jde o poždvky n zveřejňování

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ Brnislv Lcko VUT v Brně, Fkult strojního inženýrství, Ústv utomtizce informtiky, Technická 2, 616 69 Brno, lcko@ui.fme.vutbr.cz Abstrkt Příspěvek podává

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti Kpitol 5 Hilbertův prostor 5.1 Zákldní vlstnosti Historická poznámk 5.1.1. Prostor X se sklárním součinem je strukturou n lineárnímprostorus nejsilnějšími xiomy.jetonormovnýlineárníprostor,vněmžje norm

Více

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR ŘÍJEN 2014 MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Odbor řízení

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Regulace f v propojených soustavách

Regulace f v propojených soustavách Regulce f v propojených soustvách Zopkování principu primární sekundární regulce f v izolovné soustvě si ukážeme obr.,kde je znázorněn S Slovenské Republiky. Modře jsou vyznčeny bloky, které jsou zřzeny

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

Základy vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík

Základy vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík Zákldy vyšší mtemtiky(nejen) pro rboristy Robert Mřík 2.září2014 Ústv mtemtiky lesnická dřevřská fkult Mendelov univerzit v Brně E-mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik Podpořeno projektem

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

10. Nebezpečné dotykové napětí a zásady volby ochran proti němu, ochrana živých částí.

10. Nebezpečné dotykové napětí a zásady volby ochran proti němu, ochrana živých částí. 10. Nebezpečné dotykové npětí zásdy volby ochrn proti němu, ochrn živých částí. Z hledisk ochrny před nebezpečným npětím rozeznáváme živé neživé části elektrického zřízení. Živá část je pod npětím i v

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Virtuální svět genetiky 1

Virtuální svět genetiky 1 Chromozomy obshují mnoho genů pokud nejsou rozděleny crossing-overem, pk lely přítomné n mnoh lokusech kždého homologního chromozomu segregují jko jednotk během gmetogeneze. Rekombinntní gmety jsou důsledkem

Více

Ke schválení technické způsobilosti vozidla je nutné doložit: Musí být doložen PROTOKOL O TECHNICKÉ KONTROLE? ANO NE 10)

Ke schválení technické způsobilosti vozidla je nutné doložit: Musí být doložen PROTOKOL O TECHNICKÉ KONTROLE? ANO NE 10) ÚTAV INIČNÍ A MĚTKÉ DPRAVY.s., Prh 4,Chodovec, Türkov 1001,PČ 149 00 člen skupiny DEKRA www.usmd.cz,/ Přehled zákldních vrint pltných pro dovoz jednotlivých vozidel dle zákon č.56/2001b. ve znění zákon

Více

Sbírka příkladů do IFJ. Petr Zemek

Sbírka příkladů do IFJ. Petr Zemek Sírk příkldů do IFJ Petr Zemek 11. ledn 2012 Osh Předmluv 1 1 Aeedy, řetěze jzyky 3 2 Úvod do překldčů 5 3 Modely regulárníh jzyků 6 4 Speiální konečné utomty 8 5 Lexikální nlýz 10 6 Modely ezkontextovýh

Více

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Definice 10.1 Postův systém nad abecedou Σ je dán neprázdným seznamem S dvojic neprázdných řetězců nadσ, S = (α

Více

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a Stnovení disociční konstnty cidobzického indikátoru Teorie: Slbé kyseliny nebo báze disociují ve vodných roztocích jen omezeně; kvntittivní mírou je hodnot disociční konstnty. Disociční rekci příslušející

Více

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

1. Vznik zkratů. Základní pojmy.

1. Vznik zkratů. Základní pojmy. . znik zkrtů. ákldní pojmy. E k elektrizční soustv, zkrtový proud. krt: ptří do ktegorie příčných poruch, je prudká hvrijní změn v E, je nejrozšířenější poruchou v E, při zkrtu vznikjí přechodné jevy v

Více

PŘEDSTAVENÍ APLIKACE SMARTSELLING

PŘEDSTAVENÍ APLIKACE SMARTSELLING PŘEDSTAVENÍ APLIKACE SMARTSELLING CO JE TO SMARTSELLING SmartSelling je první kompletní nástroj n[ českém [ slovenském trhu, který pod jednou střechou spojuje všechny nezbytné nástroje moderního online

Více

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school Technická univerzit v Liberci FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚHUMANITNÍ A PEDAGOGICKÁ Ktedr: Studijní progrm: Studijní obor: Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky N750 Učitelství pro zákldní školy Učitelství fyziky pro.

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

visual identity guidelines Česká verze

visual identity guidelines Česká verze visul identity guidelines Česká verze Osh 01 Filosofie stylu 02 Logo 03 Firemní rvy 04 Firemní písmo 05 Vrice log 06 Komince rev Filosofie stylu Filozofie společnosti Sun Mrketing vychází ze síly Slunce,

Více

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Bezkontextové jazyky 3/3 Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Vlastnosti bezkontextových jazyků Bezkontextové jazyky 3 p.2/27 Pumping teorém pro BJ Věta 6.1 Necht L je bezkontextový jazyk. Pak existuje konstanta

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Studijní materiál PASCAL

Studijní materiál PASCAL Obsh Studijní mteriál PASCAL /76 Obsh Obsh Algoritmus 5 Vlstnosti lgoritmu 5 Metod návrhu lgoritmu 5 3 Rekurzivní lgoritmy 5 4 Překldč jeho struktur 6 4 Druhy překldčů 6 4 Hlvní části překldče 6 Jzyk Pscl

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

ČSN EN 1991-1-1 (Eurokód 1): Zatížení konstrukcí Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb. Praha : ČNI, 2004.

ČSN EN 1991-1-1 (Eurokód 1): Zatížení konstrukcí Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb. Praha : ČNI, 2004. STÁLÁ UŽITNÁ ZTÍŽENÍ ČSN EN 1991-1-1 (Eurokód 1): Ztížení konstrukcí Objemové tíhy, vlstní tíh užitná ztížení pozemních stveb. Prh : ČNI, 004. 1. Stálá ztížení stálé (pevné) ztížení stvebních prvků zhrnuje

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

SMLOUVU O UZAVŘENÍ BUDOUCÍ SMLOUVY KUPNÍ

SMLOUVU O UZAVŘENÍ BUDOUCÍ SMLOUVY KUPNÍ Níže uvedeného dne, měsíce roku uzvřeli: KOPPA, v.o.s., se sídlem Mozrtov 679/21, 460 01 Liberec, ustnovená prvomocným Usnesením č.j. KSUL 44 INS 5060/2014-A-13, ze dne 04. dubn 2014, insolvenčním správcem

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

S M L O U V A O S M L O U VĚ BUDOUCÍ. Níže uvedeného dne, měsíce a roku byla uzavřena mezi těmito smluvními stranami: obchodní společnost se sídlem:

S M L O U V A O S M L O U VĚ BUDOUCÍ. Níže uvedeného dne, měsíce a roku byla uzavřena mezi těmito smluvními stranami: obchodní společnost se sídlem: Níže uvedeného dne, měsíce roku byl uzvřen mezi těmito smluvními strnmi: obchodní společnost se sídlem: IČ: DIČ: zpsná zstoupen (dále jen jko budoucí strn prodávjící ) v obchodním rejstříku vedeném, oddíl,

Více

Stavební firma. Díky nám si postavíte svůj svět. 1.D Klára Koldovská Šárka Baronová Lucie Pancová My Anh Bui

Stavební firma. Díky nám si postavíte svůj svět. 1.D Klára Koldovská Šárka Baronová Lucie Pancová My Anh Bui Stvební firm Díky nám si postvíte svůj svět. 1.D Klár Koldovská Šárk Bronová Lucie Pncová My Anh Bui Obsh 1) Úvod 2) Přesvědčení bnky 3) Obchodní jméno, chrkteristik zákzník, propgce 4) Seznm mjetku 5)

Více

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz Příručk k portálu Ktlog sociálních služeb v Ústeckém krji socilnisluzby.kr-ustecky.cz Uživtelská příručk k portálu socilnisluzby.kr-ustecky.cz 0 BrusTech s.r.o. Všechn práv vyhrzen. Žádná část této publikce

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY

ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY PAVEL MARTINEK VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

SCIENTIFIC REFLECTION OF NEW TRENDS IN MANAGEMENT

SCIENTIFIC REFLECTION OF NEW TRENDS IN MANAGEMENT POLICEJNÍ AKADEMIE ČESKÉ REPUBLIKY V PRAZE AKADÉMIA POLICAJNÉHO ZBORU V BRATISLAVE pořádjí ČTVRTOU VIRTUÁLNÍ VĚDECKOU KONFERENCI s mezinárodní účstí SCIENTIFIC REFLECTION OF NEW TRENDS IN MANAGEMENT PRAHA

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

Dobývání znalostí z databází (MI-KDD) Přednáška číslo 4 Asociační pravidla

Dobývání znalostí z databází (MI-KDD) Přednáška číslo 4 Asociační pravidla Dobývání znlostí z dtbází (MI-KDD) Přednášk číslo 4 Asociční prvidl (c) prof. RNDr. Jn Ruch, CSc. KIZI, Fkult informtiky sttistiky VŠE zimní semestr 2011/2012 Evropský sociální fond Prh & EU: Investujeme

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno 12 Délka výpočtu algoritmu Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno neméně důležité hledisko k posouzení vhodnosti algoritmu k řešení zadané úlohy. Jedná se o čas,

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

SMLOUVU O UZAVŘENÍ BUDOUCÍ SMLOUVY KUPNÍ

SMLOUVU O UZAVŘENÍ BUDOUCÍ SMLOUVY KUPNÍ Níže uvedeného dne, měsíce roku uzvřeli: se sídlem: Koterovská 633/29, 326 00 Plzeň, ustnovený prvomocným Usnesením č.j. KSPL 54 INS 378/2012-A-19 ze dne 29.3.2012, insolvenčním správcem dlužník:. prvomocným

Více

NAŘÍZENÍ EVROPSKÉHO PARLAMENTU A RADY (ES)

NAŘÍZENÍ EVROPSKÉHO PARLAMENTU A RADY (ES) NAŘÍZENÍ EVROPSKÉHO PARLAMENTU A RADY (ES) č. 178/2002 ze dne 28. ledn 2002, kterým se stnoví obecné zásdy poždvky potrvinového práv, zřizuje se Evropský úřd pro bezpečnost potrvin stnoví postupy týkjící

Více

SPS SPRÁVA NEMOVITOSTÍ

SPS SPRÁVA NEMOVITOSTÍ SMLOUVA O REZERVACI POZEMKU A SMLOUVA O BUDOUCÍ SMLOUVĚ O DÍLO Níže uvedeného dne, měsíce roku uzvřeli: 1. EURO DEVELOPMENT JESENICE, s.r.o., IČ 282 44 451, se sídlem Ječná 550/1, Prh 2, PSČ 120 00, zpsná

Více

E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ

E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ Sdělení Ministerstv zhrničníh věí č. 13/2005 S.m.s. Ministerstvo zhrničníh věí sděluje, že dne 20. říjn 2000 yl ve Florenii přijt Evropská úmluv o krjině. Jménem

Více

Grafický manuál v1.0

Grafický manuál v1.0 Grfický mnuál v1.0 Zákldní informce Logotyp je zákldním prvkem prezentce prcovní skupiny tvoří klíčovou konstntu designu. Logotyp se používá zásdně v podobě kodifikovné tímto mnuálem. Dále jsou v mnuálu

Více

Podmínky externí spolupráce

Podmínky externí spolupráce Podmínky externí spolupráce mezi tlumočnicko překldtelskou genturou Grbmüller Jzykový servis předstvující sdružení dvou fyzických osob podniktelů: Mrek Grbmüller, IČO: 14901820, DIČ: CZ6512231154, místo

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky ..7 Příkldy řešené pomocí ět pro trojúhelníky Předpokldy:, 6 Pedgogická poznámk: U následujících příkldů ( u mnoh dlších příkldů z geometrie) pltí, že nedílnou součástí řešení je nápd (který se tké nemusí

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

teorie elektronických obvodů Jiří Petržela zpětná vazba, stabilita a oscilace

teorie elektronických obvodů Jiří Petržela zpětná vazba, stabilita a oscilace Jiří Petržel zpětná vzb, stbilit oscilce zpětná vzb, stbilit oscilce zpětnou vzbou (ZV) přivádíme záměrněčást výstupního signálu zpět n vstup ZV zásdně ovlivňuje prkticky všechny vlstnosti dného zpojení

Více

GRAFY SOUVĚTÍ. AUTOR Mgr. Jana Pikalová. OČEKÁVANÝ VÝSTUP procvičování souvětí a jejich grafických znázornění

GRAFY SOUVĚTÍ. AUTOR Mgr. Jana Pikalová. OČEKÁVANÝ VÝSTUP procvičování souvětí a jejich grafických znázornění GRAFY SOUVĚTÍ AUTOR Mgr. Jn Piklová OČEKÁVANÝ VÝSTUP procvičování souvětí jejich grfických znázornění FORMA VZDĚLÁVACÍHO MATERIÁLU prcovní list pro žák POMŮCKY ppír kopírk OBSAH 1. Prcovní list s grfy

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Český jazyk a literatura

Český jazyk a literatura Český jzyk litertur Chrkteristik předmětu Předmět je rozdělen n tři disciplíny literární výchovu, jzykovou výchovu ční slohovou výchovu, které tvoří svébytné celky, le zároveň jsou ve výuce čsto propojovány.

Více

Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy.

Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy. Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy. Poznámka:Slovem okružní myslíme,žecestakončívestejném městě,

Více

5.4.2 Objemy a povrchy mnohostěnů I

5.4.2 Objemy a povrchy mnohostěnů I 5.. Objemy orchy mnohostěnů I Předokldy: 51 Význm slo objem i orch je intuitině jsný. Mtemtická definice musí být oněkud řesnější. Okoání z lnimetrie: Obsh obrzce je kldné číslo, řiřzené obrzci tk, že

Více

Fyzikální kabinet GymKT Gymnázium J. Vrchlického, Klatovy

Fyzikální kabinet GymKT Gymnázium J. Vrchlického, Klatovy Fzikální kbinet GmKT Gmnázium J. Vrchlického, Kltov stženo z http:kbinet.zik.net Optické přístroje Subjektivní optické přístroje - vtvářejí zánlivý (neskutečný) obrz, který pozorujeme okem (subjektivně)

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ REGULÁRNÍ A BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY I HASHIM HABIBALLA OSTRAVA 2005 Tento projekt byl spolufinancován Evropskou unií a českým státním rozpočtem Recenzent: Doc. Ing. Miroslav

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

NAŘÍZENÍ EVROPSKÉHO PARLAMENTU A RADY (ES) č. 853/2004. ze dne 29. dubna 2004,

NAŘÍZENÍ EVROPSKÉHO PARLAMENTU A RADY (ES) č. 853/2004. ze dne 29. dubna 2004, NAŘÍZENÍ EVROPSKÉHO PARLAMENTU A RADY (ES) č. 853/2004 ze dne 29. dubn 2004, kterým se stnoví specifické hygienické předpisy pro potrviny živočišného původu REGULATION (EC) No 853/2004 OF THE EUROPEAN

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

PÍSEMNÁ ZPRÁVA ZADAVATELE. "Poradenství a vzdělávání při zavádění moderních metod řízení pro. Město Klimkovice

PÍSEMNÁ ZPRÁVA ZADAVATELE. Poradenství a vzdělávání při zavádění moderních metod řízení pro. Město Klimkovice PÍSEMNÁ ZPRÁVA ZADAVATELE pro zjednodušené podlimitní řízení n služby v rámci projektu Hospodárné odpovědné město Klimkovice, reg. č. CZ.1.04/4.1.01/89.00121, který bude finncován ze zdrojů EU "Pordenství

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

2004R0853 CS 28.10.2008 004.001 1

2004R0853 CS 28.10.2008 004.001 1 2004R0853 CS 28.10.2008 004.001 1 Tento dokument je třeb brát jko dokumentční nástroj instituce nenesou jkoukoli odpovědnost z jeho obsh B NAŘÍZENÍ EVROPSKÉHO PARLAMENTU A RADY (ES) č. 853/2004 ze dne

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

NAŘÍZENÍ EVROPSKÉHO PARLAMENTU A RADY (ES) č. 853/2004 ze dne 29. dubna 2004 stanovující zvláštní hygienické předpisy pro potraviny živočišného původu

NAŘÍZENÍ EVROPSKÉHO PARLAMENTU A RADY (ES) č. 853/2004 ze dne 29. dubna 2004 stanovující zvláštní hygienické předpisy pro potraviny živočišného původu nřízení (ES) č. 853/2004 NAŘÍZENÍ EVROPSKÉHO PARLAMENTU A RADY (ES) č. 853/2004 ze dne 29. dubn 2004 stnovující zvláštní hygienické předpisy pro potrviny živočišného původu (Úřední věstník Evropské unie

Více

Stabilita atomového jádra. Radioaktivita

Stabilita atomového jádra. Radioaktivita Stbilit tomového jádr Rdioktivit Proton Kldný náboj.67 0-7 kg Stbilní Atomové jádro Protony & Neutrony Neutron Bez náboje.67 0-7 kg Dlouhodobě stbilní jen v jádře Struktur jádr A Z N A nukleonové číslo

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více