Teorie jazyků a automatů

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Teorie jazyků a automatů"

Transkript

1 Slezská univerzit v Opvě Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Skript do předmětů II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Slezská univerzit v Opvě Opv 9. prosince 2015

2 Anotce: Tto skript jsou určen pro studenty předmětů Teorie jzyků utomtů II obory Informtik výpočetní technik, Informtik dvouoborové Zákldy teoretické informtiky II obor Aplikovná informtik. Nvzujeme n látku probírnou v předchozím semestru přecházíme k pokročilejším témtům. Teorie jzyků utomtů II, Zákldy teoretické informtiky II RNDr. Šárk Vvrečková, Ph.D. Dostupné n: Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Slezská univerzit v Opvě Bezručovo nám. 13, Opv Sázeno v systému LATEX

3 Obsh 1 Konečné utomty regulární jzyky Definice konečného utomtu K uzávěrovým vlstnostem Pozitivní iterce Zrcdlový obrz Průnik Doplněk Rozdíl Kritéri regulárnosti jzyk Pumping lemm pro regulární jzyky Využití uzávěrových vlstností Nerodov vět Minimlizce konečného utomtu Vzth mezi konečnými utomty regulárními výrzy Bezkontextové grmtiky jzyky Definice bezkontextové grmtiky Trnsformce bezkontextových grmtik Nezkrcující bezkontextová grmtik Redukovná grmtik Grmtik bez jednoduchých prvidel Necyklické vlstní grmtiky, substituce Rekurze neterminálu v grmtice Normální formy pro bezkontextové grmtiky Chomského normální form Greibchové normální form závěrové vlstnosti bezkontextových jzyků Sjednocení Zřetězení iii

4 iv Iterce Reverze Průnik doplněk Homomorfismus substituce Kritéri bezkontextovosti Využití uzávěrových vlstností bezkontextových jzyků Pumping lemm pro bezkontextové jzyky Zásobníkový utomt Definice zásobníkového utomtu Vzth mezi typy zásobníkových utomtů Vzth zásobníkových utomtů bezkontextových grmtik Vytvoření utomtu podle bezkontextové grmtiky Vytvoření grmtiky podle zásobníkového utomtu Zásobníkové utomty uzávěrové vlstnosti bezkontextových jzyků Deterministické bezkontextové jzyky Deterministický zásobníkový utomt závěrové vlstnosti deterministických bezkontextových jzyků Jzyky typu Grmtiky typu Stroje rozpoznávjící jzyky typu Zásobníkový utomt se dvěm zásobníky Turingův stroj Vrinty Turingov stroje Vzth Turingových strojů k jzykům typu Vytvoření Turingov stroje podle grmtiky Vytvoření grmtiky podle Turingov stroje Jzyky typu Grmtiky typu Kurodov normální form pro grmtiky typu Lineárně ohrničený utomt závěrové vlstnosti jzyků typu Litertur 122

5 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky V této kpitole si zopkujeme učivo o konečných utomtech probereme věty důkzy, které jsme v minulém semestru brli jen okrjově. 1.1 Definice konečného utomtu Nejdřív si zopkujeme všechny definice týkjící se konečného utomtu. Definice 1.1 Konečný utomt Konečný utomt je uspořádná pětice A = Q, Σ, δ, q 0, F, kde je Q... neprázdná konečná množin stvů Σ... neprázdná konečná beced množin signálů δ... přechodová funkce, definovná níže q 0... počáteční stv, q 0 Q F... množin koncových stvů, F Q, F Přechodová funkce δ konečného utomtu dále KA A = Q, Σ, δ, q 0, F je definován tkto: δ: Q Σ Q zápis pomocí množin δq, = r, kde q, r Q, Σ symbolický zápis Definice 1.2 Konfigurce, počáteční koncová konfigurce Oznčme Σ množinu všech slov, která lze utvořit ze symbolů becedy Σ. Konfigurce KA je uspořádná dvojice q, w, kde q Q, w Σ nepřečtená část vstupní pásky. Dále definujeme tyto pojmy: Počáteční konfigurce je konfigurce q 0, w 0, kde q 0 je počáteční stv utomtu w 0 je strtovcí počáteční slovo Koncová konfigurce je konfigurce q f, ε, kde q f F 1

6 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 2 Definice 1.3 Přechod mezi konfigurcemi Relci přechodu mezi konfigurcemi znčíme symbolem definujeme ji tkto: q i, w q j, w def δq i, = q j, kde q i, q j Q, Σ, w Σ 1.1 Definice 1.4 Výpočet slov v konečném utomtu Výpočet slov v konečném utomtu je posloupnost konfigurcí zčínjící počáteční konfigurcí s dným slovem končící některou koncovou konfigurcí, vzth mezi sousedními konfigurcemi je dán relcí přechodu. Reflexivní trnzitivní uzávěr relce přechodu mezi konfigurcemi oznčíme, trnzitivní uzávěr +. Definice 1.5 Rozpoznání přijímání slov konečným utomtem Konečný utomt A = Q, Σ, δ, q 0, F rozpoznává přijímá slovo w, pokud existuje posloupnost výpočtu tohoto slov v utomtu, tedy pokud se lze z počáteční konfigurce q 0, w 0 postupným upltňováním relcí přechodu dostt do některé koncové konfigurce: q 0, w q f, ε, kde q f F 1.2 Definice 1.6 Jzyk konečného utomtu Jzyk konečného utomtu A je množin všech slov w, která utomt přijímá: LA = {w Σ ; q 0, w q f, ε, kde q f F } 1.3 Automt A rozpoznává jzyk L j, pokud přijímá právě slov jzyk L j tj. přijímá všechn slov jzyk, le nepřijímá žádné slovo do jzyk neptřící. Znčíme L j = LA jzyk L j je rozpoznáván utomtem A, je jeho jzykem. M Příkld 1.1 Zopkujeme si všechny možné zápisy konečného utomtu. Zákldní specifikce je následující: A = {q 0, q 1 }, {, b}, δ, q 0, {q 1 } Digrm: δ-funkce: Tbulk přechodů: q 0 b b q 1 δq 0, = q 0 stv\vstup b δq 0, b = q 1 q 0 q 0 q 1 δq 1, b = q 0 q 1 - q 0 Jeden z možných výpočtů v utomtu: q 0, b q 0, b q 0, b q 1, ε proto b LA

7 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 3 Předchozí výpočet byl úspěšný, jednlo se o slovo ptřící do jzyk rozpoznávného utomtem. Nicméně utomt může mít n vstupu i slov neptřící do jeho jzyk, npříkld: q 0, bb q 1, b q 0, q 0, ε tto konfigurce není koncová: q 0 / F, proto bb / LA q 0, b q 1,??? dál nelze pokrčovt, le konfigurce není koncová, proto b / LA Jzyk utomtu: LA = { n b ; n 0} {b b i ; i 0 } = bb b M Dále jsme si definovli nedeterministický konečný utomt ukázli, že třídy jzyků rozpoznávných deterministickými nedeterministickými utomty jsou nvzájem ekvivlentní. Následovl totální úplný utomt dále postup redukce stvů utomtu. 1.2 K uzávěrovým vlstnostem V minulém semestru jsme se důkldně zbývli zejmén uzávěrovými vlstnostmi třídy jzyků generovných konečnými utomty vzhledem k regulárním opercím sjednocení, zřetězení iterci. Nyní se změříme i n dlší operce, včetně příslušných důkzů Pozitivní iterce Operce pozitivní iterce je podobná operci iterce Kleeneho uzávěru, hvězdičce s tím rozdílem, že pokud do původního jzyk neptřilo prázdné slovo, nebude ptřit ni do výsledného jzyk. Srovnejme definici operce iterce pozitivní iterce původní jzyk oznčme L: Vět 1.1 iterce: L = L i pozitivní iterce: L + = i=0 Tříd jzyků rozpoznávných konečnými utomty je uzvřen vzhledem k operci pozitivní iterce. Postup Vezměme jkýkoliv konečný utomt A 1 = Q, Σ, δ 1, q 0, F rozpoznávjící jzyk L 1. Sestrojíme utomt A = Q, Σ, δ, q 0, F tkový, že LA = L + 1 = i=1 Li 1. Tentokrát si nemusíme hrát s počátečním stvem, protože do jzyk explicitně nepřidáváme prázdné slovo. Postupujeme následovně: použijeme původní počáteční stv, množinu stvů, množinu koncových stvů, zjistíme iterci v koncových stvech přidáme rekce stejné, jké jsou v počátečním stvu. Zápis přechodové funkce: δp, = { δ 1 p, ; p Q F, Σ δ 1 p, δ 1 q 0, ; p F, Σ i=1 L i

8 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 4 První řádek předpisu použijeme pro všechny stvy kromě koncových jen přejmeme chování z původního utomtu, druhý řádek pltí pro koncové stvy. V nich necháme původní přechody přidáme ty přechody, které vedou z počátečního stvu. M Příkld 1.2 Postup si ukážeme n utomtu rozpoznávjícím jzyk L 1 = { i bb ; i 0 } = bb stejném jko u iterce. Tento jzyk je rozpoznáván utomtem A 1 = {p 0, p 1, p 2 }, {, b}, δ 1, p 0, {p 2 } určeným tkto: A 1 b δ 1 p 0, = p 0 p 0 p 0 p 1 δ 1 p 0, b = p 1 b b p 1 p 2 p 0 p 1 δ 1 p 1, b = p 2 p 2 p 2 Sestrojíme utomt A rozpoznávjící jzyk LA = L + 1 : A = {p 0, p 1, p 2 }, {, b}, δ, p 0, {p 2 }. Přidáme nové přechody vedoucí z koncových stvů v tomto přípdě ze stvu p 2 zkopírujeme přechody z počátečního stvu. A b δp 0, = p 0 δp 2, = p 0 p 0 p 0 p b b 1 p δp 0, b = p 0 p 1 p 2 1 δp 2, b = p 1 p 1 p 2 δp 1, b = p b 2 p 2 p 0 p 1 M Důkz Vět 1.1: Tento důkz bude velmi podobný důkzu pro iterci. Dokážeme, že výše popsný lgoritmus vytvoří utomt rozpoznávjící jzyk, který je pozitivní itercí jzyk původního utomtu, tedy že LA = LA 1 +. Použijeme důkz mtemtickou indukcí. Protože pltí L + = i=1 Li, mtemtická indukce se bude týkt různého počtu zřetězení jzyk, tedy postupně probereme L 1, L 2, td. Ke konečnému utomtu A 1 = Q 1, Σ, δ 1, q 0, F 1 rozpoznávjícímu jzyk L 1 sestrojíme utomt A = Q, Σ, δ, q 0, F tk, jk bylo popsáno v konstrukci před příkldem. Báze: Dokzujeme L 1 1 LA: rozlišíme dv přípdy w = 0 w 1. První přípd je triviální. ε L 1 právě tehdy jen tehdy, když ε LA, protože s počátečním stvem q 0 se v lgoritmu nijk nemnipuluje, včetně toho, zd ptří do množiny koncových stvů. Jestliže w 1: v utomtu A 1 existuje výpočet q 0, w... q f, ε, q x Q 1, q f F 1 protože veškeré přechody z δ 1 existují i v δ, pk v utomtu A existuje výpočet q 0, w... q f, ε, q x Q, q f F w LA L 1 1 LA Předpokld: Dále budeme předpokládt, že L k 1 LA pro nějké k 1.

9 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 5 Krok indukce: Dokzujeme, že L k+1 1 LA. Vezměme slovo w = w 1 w 2... w k+1, kde w i 1, w i = i w i, w i L 1 pro 1 i k + 1. pro kždé i {1,..., k + 1} existuje výpočet v A 1 : q 1 0, w i q xi, w i... q f i, ε, q xi Q 1, q fi F 1 v A 1 existují předpisy δ 1 q 1 0, i q xi v A existují předpisy δq 0, i q xi, δq f, i q xi pro některé q f F pro kždé i {1,..., k + 1} v utomtu A existují podvýpočty q 0, w i q xi, w i... q f i, ε, q xi Q, q fi F q f, w i q xi, w i... q f i, ε, q xi Q, q fi F první použijeme pro slovo w 1, druhý pro slov w i, i {2,..., k + 1}: s 0, w 1 w 2... w k+1 q x1, w 1 w 2... w k+1... q f1, w 2... w k+1 q x2, w 2... w k+1... q fk, w k+1 q xk+1, w k+1... q f k+1, ε w LA L k+1 1 LA Zbývá dokázt opčný směr pokud slovo w / L 1, pk tké w / LA. Do funkce δ jsme přidávli pouze tkové přechody, které zjistily návrt n zčátek po ukončení zprcování jednoho slov z jzyk L 1, proto můžeme říct, že pokud w / L 1, pk w / LA. Z toho vyplývá, že jzyk utomtu A je pozitivní itercí jzyk utomtu A Zrcdlový obrz Vět 1.2 Tříd jzyků rozpoznávných konečnými utomty je uzvřen vzhledem k operci zrcdlového obrzu reverze. Postup Je dán regulární jzyk L 1 rozpoznávný konečným utomtem A 1, kde A 1 = Q 1, Σ, δ 1, q0 1, F 1, L 1 = LA 1. Vytváříme jzyk L = L R 1 konečný utomt A = Q, Σ, δ, q 0, F, L = LA. Postupujeme tkto: převrátíme všechny přechody, vytvoříme nový počáteční stv q 0, pltí q 0 / Q 1, ze stvu q 0 budou vést přechody, které po převrácení přechodů vedou z bývlých koncových stvů tj. z momentálních virtuálních počátečních stvů, množin koncových stvů bude obshovt pouze původní počáteční stv, le pokud do jzyk L 1 ptřilo i slovo ε, pk tm zřdíme i stv q 0. Tkže pltí: Q = Q 1 {q 0 },

10 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 6 F = { {q1 0 } ; ε / L 1 {q 1 0, q 0} ; ε L 1 přechodová funkce: δp, = { {r ; δ 1r, p, Σ} ; p Q 1 {r ; δ 1 r, q f, q f F 1, Σ} ; p = q 0 M Příkld 1.3 Je dán tento jzyk konečný utomt, který ho rozpoznává: L 1 = { b i {1,2} ; i 0 } { b i c ; i 0 } = { b i ; i 0 } {,, c} A 1 = {q 0, q 1, q 2, q 3 }, {, b, c}, δ 1, q 0, {q 2, q 3 } A 1 b c q 0 q 1 q 1 q 2 q 1 q 3 q 2 q 3 q 3 δ 1 q 0, = q 1 δ 1 q 1, = q 2 δ 1 q 1, b = q 1 δ 1 q 1, c = q 3 δ 1 q 2, = q 3 q 0 b q 1 q 2 c q 3 Sestrojíme utomt A rozpoznávjící jzyk LA = L R 1. V digrmu změníme orientci hrn, v předpisu přechodové funkce změníme stv v závorce se stvem z rovnítkem, v tbulce změníme umístění stvu v oznčení řádku stvu v buňce n tomto řádku. Protože utomt A 1 má dv koncové stvy, je třeb vytvořit nový stv s 0, který přejme roli těchto stvů n zčátku výpočtu kždého slov v utomtu A. A = {q 0, q 1, q 2, q 3, s 0 }, {, b, c}, δ, s 0, {q 0 } δs A b c 0, = {q 1, q 2 } δs 0, c = {q 1 } b s 0 q 1, q 2 q,c 1 δq 1, = {q 0 } q 0 q 0 q 1 q 2 s δq 1, b = {q 1 } 0 q 1 q 0 q 1 δq 2, = {q 1 } c q 2 q 1 q 3 δq 3, = {q 2 } q 3 q 2 q 1 δq 3, c = {q 1 } Je zřejmé, že stv q 3 je nedosžitelný, tedy dlším krokem by mohlo být jeho odstrnění. M Důkz Vět 1.2: Ke konečnému utomtu A 1 = Q 1, Σ, δ 1, q0 1, F 1 rozpoznávjícímu jzyk L 1 sestrojíme utomt A = Q, Σ, δ, q 0, F tk, jk bylo popsáno v konstrukci před příkldem. Dokážeme, že tento lgoritmus vytvoří utomt rozpoznávjící jzyk, který je zrcdlovým obrzem jzyk původního utomtu, tedy že LA = LA 1 R. V důkzu budeme počítt s tím, že operce zrcdlového obrzu řetězců je sm k sobě inverzní, tj. w R R = w. Dokzujeme LA 1 R LA: Nechť w LA 1, w R LA 1 R, w = 1 n, n 1.

11 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 7 v A 1 existuje posloupnost konfigurcí q 1 0, 1 n 1 n... r, n q f, ε, kde r Q 1, q f F 1 podle lgoritmu pro všechny přechody podle δ 1 r, p v utomtu A 1 je vytvořeno δp, r v utomtu A otočení všech přechodů, pro δ 1 r, q f, r Q 1, Σ jsme v A vytvořili δq 0, r v A existuje posloupnost konfigurcí q 0, n n 1 1 r, n q 1 0, ε, kde r Q 1, q f F 1 w R LA Dokzujeme LA 1 R LA: Nechť w LA, w = 1 n, n 1. v A existuje posloupnost konfigurcí q 0, 1 2 n s, 1 2 n... s f, ε, kde s Q, s f F podle lgoritmu pro všechny přechody podle δ 1 r, p v utomtu A 1 je vytvořeno δp, r v utomtu A, pro δ 1 s, s f, s Q 1, Σ jsme v A vytvořili δq 0, r v A 1 existuje posloupnost konfigurcí q 1 0, n s, 1 s f, ε, kde s Q 1, s f F 1 w R LA 1 Pro prázdné slovo w = ε tvrzení o obou inkluzích pltí tké: právě tehdy, když ε LA 1, pltí podle lgoritmu q 0 F, tedy ε LA ε LA 1 R Průnik Vět 1.3 Tříd jzyků rozpoznávných konečnými utomty je uzvřen vzhledem k operci průniku. Následující postup se nám bude hodit i později, podobný lgoritmus totiž budeme potřebovt i u operce rozdílu jzyků. Postup Budeme předpokládt, že některé dv regulární jzyky L 1 L 2 jsou rozpoznávány deterministickými konečnými utomty A 1 = Q 1, Σ 1, δ 1, q0 1, F 1, L 1 = LA 1 A 2 = Q 2, Σ 2, δ 2, q0 2, F 2, L 2 = LA 2, Q 1 Q 2 =. Vytváříme jzyk L = L 1 L 2 utomt A = Q, Σ 1 Σ 2, δ, q 0, F, L = LA.

12 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 8 Potřebujeme, by utomt A rozpoznávl právě t slov, která rozpoznávjí utomty A 1 A 2. Toho docílíme jednoduše tk, že totéž slovo necháme prlelně zprcovávt ob původní utomty, resp. v utomtu A spustíme prlelní simulci výpočtu původních utomtů. Vyhledáme dvojice přechodů, jeden z utomtu A 1, druhý z utomtu A 2, tkové, že ob tyto přechody lze použít ve stejné situci v nšem přípdě při stejném vstupním signálu. Tkže pokud v prvním utomtu máme přechod δ 1 r, = s v druhém δ 2 u, = v, pk v utomtu A bude přechod δ[r, u], = [s, v]. Množinu stvů výsledného utomtu bude tvořit množin uspořádných dvojic tkových, že první prvek dvojice je stv z Q 1, druhý prvek je stv z Q 2. Tedy se vlstně jedná o vytvoření krtézkého součinu množin Q 1 Q 2, le ve skutečnosti některé jeho prvky nové stvy budou v utomtu A nedosžitelné či ndbytečné, tedy v reálu půjde prvděpodobně o podmnožinu krtézského součinu. Shrňme, jk bude výsledný utomt vypdt: množin stvů je množinou uspořádných dvojic: Q = Q 1 Q 2 = {[x, y] ; x Q 1, y Q 2 } počáteční stv je uspořádná dvojice q 0 = [q 1 0, q2 0 ] množin koncových stvů bude podmnožinou množiny Q obshující jen ty dvojice původních stvů, které jsou v utomtech A 1 A 2 koncové: F = F 1 F 2 = {[x, y] ; x F 1, y F 2 } přechodová funkce δ vychází z přechodových funkcí δ 1 δ 2 : δ[x, y], = [u, v], kde δ 1 x, = u, δ 2 y, = v, Σ 1 Σ 2 M Příkld 1.4 Sestrojíme utomt rozpoznávjící průnik dvou jzyků, potřebujeme k nim ekvivlentní deterministické utomty: L 1 = { i b j ; i, j 0 } = b A 1 = {0, 1}, {, b}, δ 1, 0, {1} L 2 = { b i j ; i, j 0 } = b A 2 = {2, 3, 4}, {, b}, δ 2, 2, {3, 4} Automty pro jzyky L 1 L 2 : A 1 b δ 1 0, = 0 δ 1 0, b = 1 δ 1 1, = 1 b 0 1 A 2 b δ 2 2, = 3 δ 2 3, = 4 δ 2 3, b = 2 δ 2 4, = 4 2 b 3 4 Množin stvů bude množinou uspořádných dvojic původních stvů, le z důvodu zkrácení zjednodušení zápisu nebudeme psát čárku oddělující prvky uspořádné dvojice. Sestrojíme utomt A = Q, Σ, δ, [02], F, kde Q = Q 1 Q 2 = {[02], [03], [04], [12], [13], [14]} F = F 1 F 2 = {[13], [14]}

13 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 9 přechodová funkce δ: A b [02] [03] [03] [04] [12] [04] [04] [12] [13] [13] [14] [14] [14] δ[02], = [03] δ[03], = [04] δ[03], b = [12] δ[04], = [04] δ[12], = [13] δ[13], = [14] δ[14], = [14] [02] [03] b [12] [04] [13] [14] Stv [04] je, jk vidíme, ndbytečný, proto by nebyl problém ho odstrnit. M Důkz Vět 1.3: Je třeb dokázt, že pro jkékoliv slovo w Σ 1 Σ 2 pltí: w LA 1 LA 2 w LA. Budeme používt stejné znčení jko ve výše uvedeném popisu konstrukce. Předpokládáme, že utomty A 1 A 2 jsou deterministické. Dokzujeme LA 1 LA 2 LA: Nechť w LA 1 LA 2, w = n, n 1. v A 1 existuje výpočet q 1 0, w q 1 f, ε, q1 f F 1 o délce n přes posloupnost stvů q 1 0 = r 0,..., r n = q 1 f v A 2 existuje výpočet q 2 0, w q 2 f, ε, q2 f F 2 o délce n přes posloupnost stvů q 2 0 = s 0,..., s n = q 2 f v množině stvů Q budou dle lgoritmu obsženy obsženy stvy [r i, s i ], 0 i n pro přechodovou funkci δ pltí δ[x, y], = [u, v], kde δ 1 x, = u, δ 2 y, = v, Σ 1 Σ 2 v A existuje výpočet [q0 1, q2 0 ], w [qf 1, q2 f ], ε o délce n přes posloupnost stvů [q0 1, q2 0 ] = [r 0, s 0 ],..., [r n, s n ] = [qf 1, q2 f ] w LA Dokzujeme LA 1 LA 2 LA: Nechť w LA, w = n, n 1. v A existuje výpočet [q 1 0, q2 0 ], w [q 1 f, q2 f ], ε, q1 f F 1, q 2 f F 2 o délce n přes posloupnost stvů [q 1 0, q2 0 ] = [r 0, s 0 ],..., [r n, s n ] = [q 1 f, q2 f ] vzhledem k lgoritmu existuje v utomtu A 1 výpočet q 1 0, w q 1 f, ε, q1 f F 1 o délce n přes posloupnost stvů q 1 0 = r 0,..., r n = q 1 f v utomtu A 2 výpočet q 2 0, w q 2 f, ε, q2 f F 2 o délce n přes posloupnost stvů q 2 0 = s 0,..., s n = q 2 f w LA 1 w LA 2 w LA 1 LA 2 Zbývá prověřit lgoritmus pro w = 0. Zde si stčí uvědomit, že [q0 1, q2 0 ] F právě tehdy jen tehdy, pokud q0 1 F 1 zároveň q0 2 F 2. Proto ε LA ε LA 1 LA 2.

14 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky Doplněk Vět 1.4 Tříd jzyků rozpoznávných konečnými utomty je uzvřen vzhledem k operci doplňku jzyk v dné becedě. Postup Sestrojení konečného utomtu rozpoznávjícího doplněk jzyk jiného konečného utomtu nebudeme podrobně probírt, jen si tento lgoritmus stručně nstíníme: vezmeme původní utomt, budeme chtít, by byl deterministický totální, pokud F 1 je původní množin koncových stvů, nová množin koncových stvů bude F = Q F 1. Poznámk: Důkz této věty bude poněkud jiného druhu než jiné, které v těchto skriptech njdeme. Bylo by možné sice vytvořit podobný důkz jko u předchozích vět, le zde si ukážeme, že v některých přípdech to jde i mnohem jednodušeji. Jk víme z předchozího semestru, jzyk je ve skutečnosti množin, se kterou můžeme provádět různé množinové operce včetně sjednocení, průniku doplňku, čehož zde využijeme. Důkz: Pro jkékoliv dv jzyky L 1, L 2 pltí De Morgnovy zákony: L 1 L 2 = L 1 L 2 A zároveň budeme předpokládt, že jzyky L 1, L 2 jsou regulární, tedy ptří do třídy jzyků rozpoznávných konečnými utomty. Důkz povedeme sporem. Předpokládejme tedy, že tříd jzyků rozpoznávných konečnými utomty není uzvřen vzhledem k operci doplňku. Zároveň víme z předchozích vět důkzů, že tto tříd je uzvřen vzhledem k osttním opercím, které se v uvedeném vzthu vyskytují sjednocení průniku. N levé strně uvedeného vzthu je rozhodně regulární jzyk, tedy L 1 L 2 ptří do třídy jzyků rozpoznávných konečnými utomty. Pokud by tto tříd nebyl uzvřen vzhledem k doplňku, pk by nebylo možno tvrdit, že L 1 L 2 jsou regulární, tedy by některý z těchto jzyků nemusel být regulární. Totéž pltí i o celé prvé strně L 1 L 2. N levé strně máme vždy tkový jzyk, který ptří do třídy jzyků rozpoznávných konečnými utomty, le n prvé strně nikoliv spor. Tříd jzyků rozpoznávných konečnými utomty je uzvřen vzhledem k operci doplňku.

15 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky Rozdíl Vět 1.5 Tříd jzyků rozpoznávných konečnými utomty je uzvřen vzhledem k operci rozdílu. Výsledkem rozdílu dvou jzyků je jzyk obshující právě t slov prvního jzyk, která se nencházejí v druhém jzyce. Jk bylo výše nznčeno, postup bude velmi podobný tomu, který jsme probírli u operce průniku, le nvíc budeme poždovt, by ob původní utomty byly totální. Postup Budeme předpokládt, že dv regulární jzyky L 1 L 2 jsou rozpoznávány deterministickými úplnými konečnými utomty A 1 = Q 1, Σ 1, δ 1, q0 1, F 1, L 1 = LA 1 A 2 = Q 2, Σ 2, δ 2, q0 2, F 2, L 2 = LA 2, Q 1 Q 2 =. Vytváříme jzyk L = L 1 L 2 utomt A = Q, Σ 1 Σ 2, δ, q 0, F, L = LA. Totéž slovo necháme prlelně zprcovávt ob původní utomty, resp. v utomtu A spustíme prlelní simulci výpočtu původních utomtů. Tkže pokud v prvním utomtu máme přechod δ 1 r, = s v druhém δ 2 u, = v, pk v utomtu A bude přechod δ[r, u], = [s, v]. Množinu stvů výsledného utomtu bude tvořit množin uspořádných dvojic tkových, že první prvek dvojice je stv z Q 1, druhý prvek je stv z Q 2. Odlišnost postupu oproti operci průniku bude v množině koncových stvů. Ztímco u průniku byly v množině koncových stvů všechny tkové dvojice, kde ob prvky byly v původních množinách koncových stvů výsledný utomt rozpoznávl právě t slov, která rozpoznávly ob původní utomty, v přípdě rozdílu zřdíme do množiny koncových stvů tkové dvojice, kde první prvek je koncový v prvním utomtu zároveň druhý prvek není koncový v druhém utomtu. Shrňme, jk bude výsledný utomt vypdt: množin stvů: Q = Q 1 Q 2 = {[x, y] ; x Q 1, y Q 2 } počáteční stv je uspořádná dvojice q 0 = [q0 1, q2 0 ] množin koncových stvů bude podmnožinou množiny Q: F = F 1 Q 2 F 2 = {[x, y] ; x F 1, y Q 2 F 2 } přechodová funkce δ vychází z přechodových funkcí δ 1 δ 2 : δ[x, y], = [u, v], kde δ 1 x, = u, δ 2 y, = v, Σ 1 Σ 2 M Příkld 1.5 Sestrojíme utomt rozpoznávjící rozdíl jzyků, k nimž máme deterministické totální utomty: L 1 = { i b j ; i, j 0 } = b A 1 = {0, 1, X}, {, b}, δ 1, 0, {1} L 2 = { b i j ; i, j 0 } = b A 2 = {2, 3, 4, Y }, {, b}, δ 2, 2, {3, 4}

16 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 12 Úplné deterministické utomty pro jzyky L 1 L 2 : A 1 b X X X X δ 1 0, = 0 δ 1 0, b = 1 δ 1 1, = 1 δ 1 1, b = X δ 1 X, = X δ 1 X, B = X b 0,b b 1 X A 2 b 2 3 Y Y Y Y Y δ 2 2, = 3 δ 2 2, b = Y δ 2 3, = 4 δ 2 3, b = 2 δ 2 4, = 4 δ 2 4, b = Y δ 2 Y, = Y δ 2 Y, b = Y 2 b b 3,b b 4 Y Sestrojíme utomt A = Q, Σ, δ, [02], F, kde Q = Q 1 Q 2 = {[02], [03], [04], [0Y ], [12], [13], [14], [1Y ], [X1], [X2], [X3], [X4], [XY ]} F = F 1 Q 2 F 2 = {[12], [1Y ]} přechodová funkce δ: A b δ[02], = [03] δ[14], = [14] [02] [03] [1Y ] δ[02], b = [1Y ] δ[14], b = [XY ] [03] [04] [12] δ[03], = [04] δ[1y ], = [1Y ] [04] [04] [1Y ] δ[03], b = [12] δ[1y ], b = [XY ] [0Y ] [0Y ] [1Y ] δ[04], = [04] δ[x2], = [X3] [12] [13] [XY ] δ[04], b = [1Y ] δ[x2], b = [XY ] [13] [14] [X2] δ[0y ], = [0Y ] δ[x3], = [X4] [14] [14] [XY ] δ[0y ], b = [1Y ] δ[x3], b = [X2] [1Y ] [1Y ] [XY ] δ[12], = [13] δ[x4], = [X4] [X2] [X3] [XY ] δ[12], b = [XY ] δ[x4], b = [XY ] [X3] [X4] [X2] δ[13], = [14] δ[xy ], = [XY ] [X4] [X4] [XY ] δ[13], b = [X2] δ[xy ], b = [XY ] [XY ] [XY ] [XY ] Digrm celého výsledného utomtu nemá smysl kreslit, b [02] [03] [12] byl by velmi nepřehledný. Proto je lepší nejdřív provést b redukci postup necháme n čtenáři, po které nám z 12 stvů zbývá pouze 5: b [1Y] [04] M Důkz Vět 1.5: Je třeb dokázt, že pro jkékoliv slovo w Σ 1 Σ 2 pltí: w LA 1 LA 2 w LA. Budeme používt stejné znčení jko ve výše uvedeném popisu konstrukce. Předpokládáme, že utomty A 1 A 2 jsou deterministické totální. Dokzujeme LA 1 LA 2 LA: Nechť w LA 1 LA 2, w = n, n 1.

17 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 13 v A 1 existuje výpočet q 1 0, w q 1 f, ε, q1 f F 1 o délce n přes posloupnost stvů q 1 0 = r 0,..., r n = q 1 f v A 2 existuje výpočet q 2 0, w q 2 g, ε, q 2 g Q 2 F 2 o délce n přes posloupnost stvů q 2 0 = s 0,..., s n = q 2 x v množině stvů Q budou dle lgoritmu obsženy obsženy stvy [r i, s i ], 0 i n pro přechodovou funkci δ pltí δ[x, y], = [u, v], kde δ 1 x, = u, δ 2 y, = v, Σ 1 Σ 2 v A existuje výpočet [q 1 0, q2 0 ], w [q 1 f, q2 g], ε o délce n přes posloupnost stvů [q 1 0, q2 0 ] = [r 0, s 0 ],..., [r n, s n ] = [q 1 f, q2 g] w LA Dokzujeme LA 1 LA 2 LA: Nechť w LA, w = n, n 1. v A existuje výpočet [q 1 0, q2 0 ], w [q 1 f, q2 g], ε, q 1 f F 1, q 2 g Q 2 F 2 o délce n přes posloupnost stvů [q 1 0, q2 0 ] = [r 0, s 0 ],..., [r n, s n ] = [q 1 f, q2 g] vzhledem k lgoritmu existuje v utomtu A 1 výpočet q 1 0, w q 1 f, ε, q1 f F 1 o délce n přes posloupnost stvů q 1 0 = r 0,..., r n = q 1 f v utomtu A 2 výpočet q 2 0, w q 2 g, ε, q 2 g Q 2 F 2 o délce n přes posloupnost stvů q 2 0 = s 0,..., s n = q 2 g w LA 1 w / LA 2 w LA 1 LA 2 Pro w = 0: pltí [q0 1, q2 0 ] F právě tehdy jen tehdy, pokud q1 0 F 1 ε LA ε LA 1 LA 2. q 2 0 Q 2 F 2. Tedy 1.3 Kritéri regulárnosti jzyk Jk poznt, zd je dný jzyk regulární? Ztím víme, že jzyk je regulární, jestliže ho lze reprezentovt pomocí regulárního výrzu, k němu lze sestrojit ekvivlentní konečný utomt, k němu lze sestrojit ekvivlentní regulární grmtiku. Existují všk i jiné možnosti, které obvykle slouží k popření regulárnosti dokázání, že dný jzyk není regulární. To je užitečné zvláště tehdy, když se nám nedří vytvořit ekvivlentní regulární výrz, konečný utomt ni grmtiku, le zároveň si nejsme jisti, proč buď jzyk sice je regulární, le uvedené postupy jsou příliš složité, nebo jzyk dooprvdy regulární není Pumping lemm pro regulární jzyky Jednou z možností, jk dokázt, že dný jzyk není regulární, je Pumping lemm pro regulární jzyky. Tky se nzývá lemm o vkládání nebo pumpovcí vět pro regulární jzyky. Jedná se o jednu z tzv. strukturálních vlstností regulárních jzyků, tedy její tvrzení se vzthuje ke struktuře slov jzyk. Nejdřív si vysvětlíme princip, ze kterého Pumping lemm vychází, potom teprve přejdeme k smotnému lemmtu.

18 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 14 Předpokládejme, že L je regulární jzyk. Víme, že v tom přípdě je možné k němu sestrojit ekvivlentní konečný utomt. b b p 0 p 1 p 2 Jestliže je tento jzyk nekonečný, bude v digrmu tohoto utomtu nejméně jedn smyčk. N obrázku vprvo vidíme digrm, b ve kterém je smyčk přes jeden stv ve stvu p 0 smotná smyčk generuje množinu slov, dále smyčk přes dv stvy p 1, p 2 nvíc smyčk přes všechny tři stvy. I tk jednoduchý jzyk jko npříkld b by měl v digrmu svého utomtu smyčku, protože je nekonečný. Vezměme z tkového jzyk dosttečně dlouhé slovo. Co je to dosttečně dlouhé slovo? Jednoduše tkové, o kterém se dá říct, že není krátké. Nejlepší je zvolit nikoliv konkrétní slovo, le reprezentci množiny slov s podobnou strukturou tkovou, kde máme v zápisu index ten nám zjistí dosttečnou délku slov. Npříkld b i rozhodně předstvuje množinu, ve které máme i dosttečně dlouhá slov, stčí si pod indexem i předstvit nějké hodně velké číslo. Proč potřebujeme dosttečně dlouhé slovo? tkového slov máme jistotu, že při jeho vyhodnocování konečným utomtem bude nutné přejít minimálně jednou přes některou smyčku. Když víme, že přes některou smyčku určitě půjdeme, můžeme si s ní trochu pohrát přes tu smyčku půjdeme opkovně vícekrát, obecně jiný počet krát než v původním slově. Jestliže jsme pořád v tomtéž konečném utomtu, pk musí pltit, že slovo, které tkto zprcujeme jiný počet průchodů přes smyčku, tky bude ptřit do jzyk utomtu. Npříkld z jzyk utomtu n obrázku vprvo si můžeme vybrt slovo k b 2. Pro různé indexy k získáme tyto posloupnosti výpočtu: k = 0: p 0, bb p 1, b p 2, ε k = 1: p 0, bb p 0, bb p 1, b p 2, ε k = 2: p 0, bb p 0, bb p 0, bb p 1, b p 2, ε k = 3: p 0, bb p 0, bb p 0, bb p 0, bb p 1, b p 2, ε td. Od indexu 1 vede cest v grfu vždy minimálně jednou přes smyčku ve stvu p 0, přičemž vždy dné slovo ptří do jzyk rozpoznávného utomtem. Opkovným procházením smyčky pumpujeme dnou část slov pořád dokol, proto se probírné větě říká Pumping lemm. Vyzkoušíme jiné slovo pro tentýž jzyk utomt, npříkld bbbb k. Je zřejmé, že teď cílíme n smyčku přes stvy p 1, p 2. Pro různé indexy k získáme tyto posloupnosti výpočtu: k = 0: p 0, bb p 0, bb p 1, b p 2, ε k = 1: p 0, bbbb p 0, bbbb p 1, bbb p 2, bb p 1, b p 2, ε k = 2: p 0, bbbbbb p 0, bbbbbb p 1, bbbbb p 2, bbbb p 1, bbb p 2, bb p 1, b p 2, ε td. Opět všechn tkto npumpovná slov ptří do jzyk generovného utomtem. Z toho vyplývá, že typickou vlstností všech regulárních jzyků je: pokud njdeme dosttečně dlouhé slovo, můžeme jeho část tu, která jde přes jkoukoliv smyčku pumpovt opkovt v jkémkoliv počtu kroků ovšem vždy celou smyčku, nestčí jen její část, výsledné slovo bude tké ptřit do dného jzyk. Zbývá poslední otázk: jk zvolit dosttečnou délku slov? Podívejme se n náš utomt n předchozí strně. Stčí, když zvolíme slovo o délce přeshující počet stvů utomtu, už máme

19 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 15 dosttečnou délku, protože v tom přípdě je jisté, že výpočet půjde přes nejméně jeden stv lespoň dvkrát. V nšem přípdě potřebujeme slovo o délce větší než 3. Lemm 1.6 Pumping lemm pro regulární jzyky Jestliže L je regulární jzyk, pk existuje přirozené číslo p > 0 tkové, že pro kždé slovo w L tkové, že w > p, existuje lespoň jedno rozdělení slov w ve formě w = x y z, kde y ε x y p k 0 je x y k z L 1.4 V těchto větách si můžeme všimnout, že se ve skutečnosti střídjí existenční obecný kvntifikátor. vedeme si totéž lemm v jiné formulci, přičemž podmínku y 0 zpíšeme jko y > 0: Lemm 1.7 Pumping lemm pro regulární jzyky jiné znění L je regulární jzyk p N, p > 0 tkové, že w L, w > p rozdělení w = x y z y > 0 x y p k 0 je x y k z L 1.5 Poznámk: Všimněme si ještě jedné důležité věci ve větě se nic neříká ni o utomtu, ni o stvech. Je tm prostě podmínk n nějké číslo p, le nic víc. Ve větě totiž vůbec žádný utomt nepotřebujeme, stčí, když zvolíme dosttečně velké číslo p ideálně s využitím vhodného indexu. Zmínk o utomtu stvech by dokonce byl škodlivá, protože jk si později ukážeme tuto větu používáme v důkzech, že určitý jzyk není regulární tedy pro něj vlstně ni žádný konečný utomt nelze sestrojit. Jinými slovy pokud ve větě někdo zčne u zkoušky mluvit o utomtu či stvech, letí... Pumping lemm pro regulární jzyky se dá používt dvěm způsoby: 1. O jzyce L víme, že je regulární, chceme vystihnout strukturu dlouhých slov. 2. Chceme zjistit, zd je jzyk L regulární. Nejdřív se podíváme n první možnost. M Příkld 1.6 Vezměme jzyk L = { bc n ; n 0}. Tento jzyk je regulární, q 0 q 1 q 2 protože lze sestrojit ekvivlentní regulární výrz R = bc, b regulární grmtiku konečný utomt, jehož digrm vidíme c vprvo. Jzyk L je nekonečný v digrmu jeho konečného utomtu je smyčk přes stvy q 1, q 2, q 3. q 3 Podle Pumping lemm pro regulární jzyky pro tento jzyk existuje p > 0 tkové, že všechn slov jzyk delší než p dokážeme rozdělit n tři části splňující stnovené podmínky. Můžeme zvolit npříkld p = 10, le lepší je jednoduše se spolehnout n vhodný index jko zákldní

20 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 16 slovo zvolit w = bc i pro dosttečně velký index i tento předpis mimochodem předstvuje všechn dlouhá slov jzyk. Ve větě se píše, že pro kždé tkové slovo existuje lespoň jedno rozdělení, tedy stčí njít jedno. Můžeme zvolit třeb w = x y z = bc bc i 1, tedy prostřední část y = bc. Ověříme, zd pumpování pro toto rozdělení funguje oznčme w k = x y k z: w 0 = bc 0 bc i 1 = bc i 1 L w 1 = bc 1 bc i 1 = bc i L w 2 = bc 2 bc i 1 = bc i+1 L w 3 = bc 3 bc i 1 = bc i+2 L td. Rozdělení jsme zvolili dobře, pumpovné slovo vždy ptří do jzyk L. Pokud bychom zvolili šptné rozdělení zde npříkld w = bc bc i 1, po pumpování bychom získli slov neptřící do dného jzyk. Ve větě se totiž nepíše, že důsledek pltí pro všechn možná rozdělení, le pro nejméně jedno možné rozdělení. Možných správných rozdělení ovšem může být víc než jedno, zde bychom npříkld jko prostřední část mohli zvolit třeb bc 2. Tktéž pokud njdeme víc různých smyček, přidávjí se dlší možnosti rozdělení. M Poznámk: vědomme si, že Pumping lemm má formu implikce, nikoliv ekvivlence. Říká: jzyk je regulární jzyk splňuje dnou vlstnost Proč je to tk důležité? Existují totiž jzyky, které sice nejsou regulární, le dnou vlstnost mjí tké, v jejich přípdě tedy obrácené tvrzení nepltí. Npříkld jzyk L = {b m n c n ; m, n 1} není regulární vyžduje synchronizci dvou částí slov, což konečný utomt nedokáže, le přesto existuje p > 0 tkové, že pro kždé dosttečně dlouhé slovo jzyk dokážeme njít rozdělení pro pumpování, npříkld w = ε b b i 1 j c j. žitečnějším využitím Pumping lemm je druhý uvedený způsob důkz, že dný jzyk není regulární. Zde využíváme nepřímý důkz. Původní implikci jzyk je regulární jzyk splňuje dnou vlstnost ekvivlentně uprvíme, čímž vznikne tvrzení jzyk splňuje dnou vlstnost jzyk je regulární jzyk nesplňuje dnou vlstnost jzyk není regulární Poznámk: Proč to můžeme provést? Vzpomeňte si n ekvivlentní úprvy logických výrzů: A B B A

21 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 17 Je třeb si uvědomit, jký vliv má negce n kvntifikátory. Srovnejte původní tvr podmínky ve větě tvr po převrácení: L L REG p > 0 w: w > p rozdělení... k 0: x y k z L p > 0 w: w > p rozdělení... k 0: x y k z / L L / L REG Postup Pokud tedy pomocí této věty chceme dokázt, že jzyk L není regulární, postupujeme tkto: vybereme dosttečně dlouhé slovo w L, stnovíme strukturu tohoto slov určíme možná rozdělení vyhovující podmínkám w = x y z y ε x y p, ukážeme, že žádné z těchto rozdělení neodpovídá podmínce k 0 je x y k z L, tedy pro kždé rozdělení njdeme číslo k tkové, že x y k z / L obvykle stčí vyzkoušet k = 0 nebo k = 2, pokud se to nepodří, vrcíme se k prvnímu bodu hledáme dlší dosttečně dlouhé slovo. Role čísl p je ve větě dvojí předně nám říká, že slovo má být oprvdu dosttečně dlouhé, dále ve vzthu x y p stnovuje horní omezení délky prvních dvou částí slov po rozdělení. Omezení je zde proto, bychom v dném slově zvolili vždy první smyčku zlev, má to být první možnost opkování, n kterou ve slově nrzíme. Z nšeho pohledu je důsledek tkový, že pokud při specifikci dosttečně dlouhého slov použijeme písmenný index, pk by se tento index neměl v prvních dvou částech vůbec vyskytovt. M Příkld 1.7 kážeme pomocí Pumping lemm, že jzyk L = { n b n ; n 0} není regulární. Jko dosttečně dlouhé slovo jzyk si zvolíme w = i b i pro nekonkrétní velké číslo i. Dále stnovíme různá možná rozdělení tohoto slov ke kždému zjistíme, jestli se dá pumpovt. Rozdělení w = x y z má být tkové, že prostřední část musí obshovt lespoň jeden symbol y ε první dvě části mjí shor omezenou délku tj. nemůžeme v nich použít index i. Postupujeme tk, že určujeme místo ve slově, ve kterém by mohl být prostřední tedy hrniční část slov. Jsou tyto možnosti: prostřední část y bude n zčátku první části slov, prostřední část y bude v první části slov, le ne zcel n zčátku. Dlší možnosti odpdjí, protože musí pltit x y < p. Nejdřív tedy prověříme možnost x = ε, y = m, z = i m b i, kde m > 0 je číslo m < p nebudeme zvlášť prověřovt m = 1, m = 2,..., důkz by se poněkud protáhl. Pk je tedy w = ε m i m b i, po pumpování w k = ε m k i m b i = m k+i m b i = mk 1+i b i. Npříkld pro k = 0 dostáváme w 0 = i m b i, přičemž m > 0. Je zřejmé, že w 0 / L. K témuž závěru bychom došli, kdybychom zvolili jkékoliv číslo k 1, dobře se prcuje npříkld s k = 2.

22 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 18 Druhá možnost nám dává x = r, y = s, z = i r s b i, kde r, s > 0, r + s < p. Pk pltí w = r s i r s b i, po pumpování w k = r s k i r s b i = r+s k+i r s b i = s k+i s b i = sk 1+i b i Opět můžeme zvolit k = 0, dostáváme w 0 = i s b i / L, protože s > 0. Všimněte si, že první možnost rozdělení slov w je vlstně speciálním přípdem druhé možnosti pro r = 0. Tento důkz by tedy bylo možné ještě zkrátit. M Poznámk: Pumping lemm by mělo pltit pro všechny regulární jzyky. Pltí i pro konečné jzyky? Víme, že kždý konečný jzyk ptří do třídy regulárních jzyků lze pro něj vytvořit ekvivlentní konečný utomt, tkže by vět měl pltit i pro konečné jzyky. Podívejme se n znění věty pro kždé slovo w L tkové, že w > p... Pokud číslo p položíme rovno počtu stvů utomtu, pk v konečném jzyce L neexistuje žádné slovo delší než p smozřejmě jink by v digrmu utomtu musel být smyčk jzyk by nebyl konečný, proto množin slov delších než p je prázdná. Jenže v tom přípdě můžeme tvrzení pro kždé... existuje... povžovt z pltné, protože pro prvky prázdné množiny vlstně pltí jkákoliv podmínk klidně můžeme kždé slovo množiny rozkládt n tři části td., protože v reálu to provedeme 0 není co testovt. Důkz Pumping lemm pro regulární jzyky: Tto vět je implikce, tedy důkz povedeme pouze jedním směrem. Předpokládejme, že jzyk L je rozpoznáván konečným utomtem A = Q, Σ, δ, q 0, F. Máme dokázt, že pro tkový jzyk existuje číslo p tkové, že kždé slovo delší než p lze rozdělit n tři části tk, jk je ve větě popsáno. Máme dokázt, že tkové číslo existuje, proto si můžeme zvolit volíme p = crdq, tedy počet prvků množiny stvů. Nechť M = {w L ; w > p} je množin všech slov jzyk L delších než p. Pokud je tto množin prázdná, tvrzení věty pltí, jk jsme si přečetli v poznámce před tímto důkzem. Dále tedy předpokládejme, že tto množin není prázdná. Tvrzení věty má pltit pro všechny prvky množiny M, tedy dále budeme prcovt s jkýmkoliv slovem w M, oznčme w = n. Protože w L, musí v utomtu A existovt kceptující výpočet tohoto slov, to postupně přes n+1 stvů. Poněvdž n > p p je počet stvů utomtu, musí existovt minimálně jeden stv ve skutečnosti minimálně dv stvy tkový, který se v této posloupnosti stvů vyskytuje více než jednou.... Oznčme q Q první tkový stv posloupnosti výpočtu, který se v posloupnosti y vyskytuje více než jednou. Pk můžeme nši q 0... q... q f posloupnost stvů rozdělit n tři části, jk je x z nznčeno n obrázku vprvo první úsek oznčený x povede od počátečního stvu q 0 k prv-

23 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 19 nímu výskytu stvu q v posloupnosti výpočtu, pk pokrčujeme smyčkou k druhému výskytu q v posloupnosti výpočtu to je druhý úsek oznčený y zbytek slov je zprcován v třetím úseku oznčeném z n nějž nekldeme žádné poždvky. Výpočet tedy můžeme zpst tkto: q 0, x y z q, y z + q, z q f, ε Výpočet slov w k = x y k z pro všechn k 0 bude pk následující: q 0, x y k z q, y k z } +.{{.. + } q, z q f, ε k-krát zprcujeme y Tím jsme dokázli, že pro jkékoliv slovo w L delší než p lze njít rozdělení toho slov w = x y z tkové, že w k = x y k z L protože pokud pro slovo w k dokážeme sestrojit posloupnost výpočtu, pk toto slovo ptří do jzyk L Využití uzávěrových vlstností Tříd regulárních jzyků resp. jzyků rozpoznávných konečnými utomty je uzvřen vzhledem mnoh různým opercím, čehož lze využít i v důkzech neregulárnosti. Nejužitečnější opercí je v tomto smyslu průnik. M Příkld 1.8 Dokážeme, že jzyk L = {w {, b} ; w = w b } není regulární. Tento jzyk obshuje všechn slov nd becedou {, b} tková, která obshují stejný počet symbolů jko b. Důkz povedeme nepřímo budeme předpokládt, že L je regulární, postupně dojdeme ke sporu. Jestliže tedy je jzyk L regulární, pk by jeho průnik s jkýmkoliv jiným regulárním jzykem byl tky regulární jzyk protože tříd regulárních jzyků je uzvřen vzhledem k operci průniku. Víme, že jzyk R = { i b j ; i, j 0} = b je regulární. Jzyk L R vypdá tkto: L R = {w {, b} ; w = w b } { i b j ; i, j 0} = { i b i ; i 0} Jenže jzyk L R není regulární to jsme n předchozích stránkách dokázli pomocí Pumping lemm. Došli jsme ke sporu tedy jzyk L není regulární. M Nerodov vět V této sekci budeme potřebovt, by konečné utomty, se kterými budeme prcovt, byly deterministické měly redukovnou množinu stvů především odstrněné nedosžitelné stvy ideálně i ndbytečné. Pro připomenutí: nedosžitelné stvy se odstrňují tk, že rekurzivním lgoritmem zjistíme, které stvy jsou dosžitelné: S 0 = {q 0 } S i+1 = S i {q Q ; p S i, Σ: δp, = q}, i 0 A teď trochu lgebry budeme se zbývt ekvivlencemi kongruencemi. Víme, že ekvivlence je tková relce, která splňuje tyto tři vlstnosti: je reflexivní, symetrická trnzitivní.

24 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 20 Definice 1.7 Rozkld n třídy ekvivlence Relce ekvivlence je binární relce n dné množině M, která množinu M dělí n vzájemně disjunktní podmnožiny. Tyto podmnožiny nzýváme třídy ekvivlence proces jejich vytvoření je rozkld množiny n třídy ekvivlence. Třídu ekvivlence n množině M znčíme podle kteréhokoliv prvku této třídy: [], kde M. Pltí [] = {b M ; b }. Fktorovou množinu, tedy rozkld množiny M podle ekvivlence, znčíme M/ pltí M/ = M []. M Příkld 1.9 Aby bylo jsné, jk se používá rozkld n třídy ekvivlence, ukážeme jej n této ekvivlenci: Nechť je relce n množině přirozených čísel s nulou N 0 tková, že, b N: b mod 5 = b mod 5 Provádíme tedy rozkld množiny n třídy ekvivlence podle zbytku po dělení číslem 5. Jednotlivé třídy vypdjí tkto: [0] = {0, 5, 10, 15,...} [1] = {1, 6, 11, 16,...} [2] = {2, 7, 12, 17,...} [3] = {3, 8, 13, 18,...} [4] = {4, 9, 14, 19,...} Jedná se o ekvivlenci je reflexivní kždý prvek je ekvivlentní sám se sebou, symetrická pro kždé dv prvky pltí b b trnzitivní pro jkékoliv tři prvky pltí b c c. Fktorizcí jsme vytvořili celkem pět tříd rozkldu. Tyto třídy jsou nvzájem disjunktní nenjdeme žádný prvek, který by ptřil do více než jedné třídy zároveň jejich sjednocením je celá původní množin: N 0 = [0] [1] [2] [3] [4] M Definice 1.8 Index ekvivlence Index ekvivlence definovné n množině M je počet tříd rozkldu M/. Pokud je počet tříd rozkldu nekonečný, je indexem ekvivlence. Index ekvivlence z předchozího příkldu je 5, protože rozkldem jsme získli pět tříd rozkldu. V příkldu jsme si ukázli relci ekvivlence definovnou n množině přirozených čísel s nulou, dále se změříme n ekvivlenci definovnou n množině Σ řetězců nd dnou becedou. Definice 1.9 Prvá kongruence Nechť Σ je beced nechť je relce ekvivlence n množině Σ. Říkáme, že relce je prvou kongruencí zprv invrintní, pokud pro kždé u, v, w Σ pltí u v u w v w.

25 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 21 Poznámk: Všimněte si, že vlstně vůbec neodbočujeme od konečných utomtů v definici prvé kongruence vidíme, že k prvkům řetězcům přidáváme zprv dlší prvky, co si provádí konečný utomt během výpočtu slov? Postupně zprv přidává dlší dlší rozpoznné symboly. Lemm 1.8 Nechť je relce ekvivlence n množině Σ. Relce je prvou kongruencí právě tehdy, když u, v Σ, Σ pltí u v u v. Důkz: Jedná se vlstně o vrici předchozí definice, kdy zprv přidáváme místo řetězce právě jeden symbol. Důkz jedním směrem definice vět je triviální, protože tvrzení lemmtu je vlstně okleštěním tvrzení z definice. Důkz druhým směrem vět definice lze provést mtemtickou indukcí dle délky slov w: Báze: w = 0: triviální u v u ε v ε Předpokld: Předpokládejme, že vzth pltí pro w Σ tkové, že 0 w n. Zjistíme, zd vzth pltí i pro w = w, Σ, tedy w = n + 1. Krok indukce: Jestliže podle předpokldu u v u w v w, kde w = n, pk můžeme využít trnzitivitu tvrzení z lemmtu: u w v w u w v w = u w v w. Vět 1.9 Nerodov vět Nechť L je jzyk nd becedou L. Pk tto tvrzení jsou ekvivlentní: 1. L je rozpozntelný konečným utomtem tj. je to regulární jzyk. 2. L je sjednocením některých tříd rozkldu určeného prvou kongruencí L n Σ s konečným indexem. Autorem Nerodovy věty je Anil Nerode. kážeme si, jkým způsobem je možné větu pro testování regulárnosti použít. M Příkld 1.10 Vezměme jzyk L = { n b n ; n 0}. Pomocí Pumping lemm jsme dokázli, že tento jzyk není regulární, teď provedeme důkz téhož tvrzení pomocí Nerodovy věty. Předně určíme rozkld tříd ekvivlence vzhledem k becedě jzyk, která je Σ = {, b}. Dotyčný rozkld je {, b} / L, kdyby jzyk L byl regulární, pk by podle Nerodovy věty byl sjednocením některých tříd rozkldu určeného prvou kongruencí s konečným indexem. Tento index prcovně oznčíme k tj. existuje právě k tříd rozkldu pro ekvivlenci L, tuto konstntu budeme používt i v dlší části důkzu. Relci L nemusíme pro účely důkzu přímo určovt, stčí vědět, že se jedná o prvou kongruenci.

26 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 22 To, že jzyk L není regulární, tedy dokážeme jednoduše tk, že njdeme dvě slov u, v Σ tková, že sice ptří do stejné třídy rozkldu, le jedno z nich ptří do L druhé ne. Vezmeme slov b, 2 b,..., k b, k+1 b Σ. Protože rozkld Σ / L má k tříd, budou minimálně dvě z těchto k + 1 slov v téže třídě oznčme je i b, j b pro nějké 1 i < j k + 1, tedy i b L j b. Protože L je zprv invrintní, mělo by pltit i b b i 1 L j b b i 1, po zřetězení i b i L j b i, le zároveň pltí i < j, tedy i j. Proto i b i L, kdežto j b i / L. Z toho vyplývá, že jzyk L není regulární nšli jsme dvě slov, která ptří do stejné třídy ekvivlence, le jedno z nich ptří do jzyk L druhé ne. M Nerodov vět určuje tvrzení, které je ekvivlencí, stnovuje tedy nutnou postčující podmínku pro regulárnost jzyk. Jinými slovy podle toho, zd je či není splněn podmínk 2 věty, můžeme přímo určit, zd dný jzyk je či není regulární. Oproti tomu Pumping lemm neurčuje ekvivlenci je pouze implikcí, tedy jde o nutnou podmínku, nikoliv postčující. M Příkld 1.11 Použijeme opět becedu Σ = {, b}. Definujeme ekvivlenci L n množině Σ přímo určením množin rozkldu: [ε] = {ε} [] do této třídy zřdíme slov odpovídjící výrzu b [b] do této třídy zřdíme slov odpovídjící výrzu b X všechn osttní slov nd dnou becedou. Vzhledem k poslední uvedené třídě můžeme tvrdit, že sjednocením všech tříd získáme původní množinu Σ, zároveň jsou všechny vytvořené třídy po dvou nvzájem disjunktní kždé slovo nd becedou Σ ptří právě do jedné třídy. Ověříme, zd se jedná o prvou kongruenci. Nejjednodušší to bude tím, že sestrojíme konečný utomt, jehož jednotlivé koncové stvy budou odpovídt prvním třem třídám rozkldu dále jeden nekoncový bude předstvovt poslední třídu. N obrázku vprvo vidíme digrm tkto sestrojeného utomtu. Tento utomt je deterministický totální díky [ε] [] q b b b [b] X,b stvu X, který plní roli odpdkového koše, rozpoznávný jzyk je L = ε + b + b. Díky determinismu je zprcování jkéhokoliv slov nd becedou Σ ukončeno právě v jednom stvu koncovém, pokud slovo ptří do jzyk L. Jk vidíme, Nerodov vět vlstně vystihuje zákldní strukturální chrkteristiku regulárních jzyků, vychází z toho, že regulární jzyk lze reprezentovt sjednocením konečného počtu jednodušších regulárních výrzů. Kždá tříd rozkldu pk odpovídá regulárnímu výrzu, jehož vyhodnocení v konečném utomtu je ukončeno v jednom konkrétním koncovém stvu. Tkovou třídu rozkldu můžeme reprezentovt buď některým ze slov ptřících do dné třídy, nebo oznčením příslušného koncového stvu. M

27 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 23 Účelem vytvoření následující definice je možnost vytvoření přehlednějšího zápisu výpočtu slov v konečném utomtu, zápis využijeme tké v důkzu Nerodovy věty. Definice 1.10 Rozšířená přechodová funkce Nechť A = Q, Σ, δ, q 0, F je konečný utomt. Rozšířená přechodová funkce v tomto utomtu je prciální funkce δ : Q Σ Q, kde δ q, ε = q 1.6 δ q, w = δδ q, w, 1.7 pokud přechody n prvé strně předpisu jsou definovány pokud je A totální utomt, pk jsou vždy definovány. Tkto definovná funkce nám zkrátí zápis, npříkld δ q, w = r v deterministickém utomtu znmená, že výpočet slov w zčínjící ve stvu q skončí ve stvu r po tolik krocích, jká je délk slov w. Tkže jzyk rozpoznávný utomtem A můžeme zpst tkto: LA = {w Σ ; δ q 0, w F } 1.8 Důkz Nerodov vět: Jedná se o ekvivlenci dvou tvrzení, tedy musíme dokázt dvě k sobě opčné implikce. Tvrzení 1 říká, že jzyk L je regulární, tvrzení 2 určuje, že L je sjednocením některých tříd rozkldu určeného prvou kongruencí L n Σ s konečným indexem. 1 2: Nechť je jzyk L je regulární, tedy lze sestrojit ekvivlentní deterministický totální konečný utomt A = Q, Σ, δ, q 0, F bez nedostupných stvů. Definujeme relci L n množině Σ předpisem x, y Σ : x L y def δ q 0, x = δ q 0, y tj. dvě slov nd dnou becedou jsou ekvivlentní právě tehdy, když jejich výpočet v utomtu A končí ve stejném stvu pozor, není řečeno, že končí úspěšně, dotyčný stv nemusí být koncový. Je zřejmé, že relce ekvivlence L má konečný index, protože tříd rozkldu je mximálně tolik, kolik je stvů v utomtu crdq, přičemž množin Q je konečná. Je to prvá kongruence, což plyne z definice rozšířené přechodové funkce δ. Jzyk L je sjednocením některých tříd rozkldu určeného prvou kongruencí L n Σ, protože může být zpsán následovně: L = q F {w Σ ; δ q 0, w = q} : Nechť jzyk L je sjednocením některých tříd rozkldu určeného prvou kongruencí L n Σ s konečným indexem. Jednotlivé třídy oznčíme [u], kde u [u] je některým prvkem třídy [u]. Sestrojíme konečný utomt A = Q, Σ, δ, q 0, F tkto: Q = Σ / L stvy utomtu budou jednotlivé třídy rozkldu; protože ekvivlence L má konečný index, tké množin Q bude konečná,

28 Kpitol 1 Konečné utomty regulární jzyky 24 funkci δ určíme jko funkci přechodu mezi třídmi: δ[u], = [u]; motivce byl ukázán v příkldu výše, protože je L prvou kongruencí, nezávisí náš zápis n volbě reprezentntů třídy, q 0 = [ε], F obshuje právě stvy vzniklé ze tříd rozkldu, jejichž sjednocení dá jzyk L. Pro jkékoliv slovo w Σ lze indukcí podle délky slov ukázt, že δ [ε], w = [w], pltí w Σ w L [w] F δ [ε], w F 1.10 Proto můžeme tvrdit, že LA = L. 1.4 Minimlizce konečného utomtu Z minulého semestru víme, jk vytvořit redukovný utomt, tedy redukovt množinu stvů utomtu. Ovšem nedá se tvrdit, že tkto vytvořený utomt je pro dný jzyk nejmenší možný co se týče množství stvů. Může totiž existovt ekvivlentní utomt s ještě menším množstvím stvů npříkld může být možné ještě dál prcovt s některými cykly či sdružovt konce cest v utomtu, čehož redukcí nedosáhneme. Ztímco při redukci prcujeme pouze se syntxí grfem, kdy nebereme v úvhu ohodnocení hrn, nyní se soustředíme i n sémntiku grf včetně ohodnocení. Účelem minimlizce nemusí být nutně minimlizce smotná, může být pro nás pouze prostředkem k jinému účelu npříkld pokud chceme zjistit, zd dv n pohled různé konečné utomty rozpoznávjí tentýž jzyk, pk ob utomty minimlizujeme pk jednoduše porovnáme podle stvů. Následující definice by pro nás měl být triviální, protože pod pojmem ekvivlence utomtů jsme i dřív rozuměli jejich jzykovou ekvivlenci: Definice 1.11 Jzykově ekvivlentní konečné utomty Dv utomty A 1 A 2 jsou jzykově ekvivlentní, jestliže LA 1 = LA 2. Nyní můžeme definovt minimální utomt: Definice 1.12 Minimální utomt Konečný utomt A je minimální minimlizovný, jestliže neexistuje žádný jiný konečný utomt A s menším množstvím stvů, pro který by pltilo LA = LA. Jk lze provést minimlizci? Algoritmus je zložen n myšlence, že pokud cesty vedoucí ze dvou různých stvů do koncových stvů určují ekvivlentní množiny rozpoznávných slov, pk jsou tyto dv stvy změnitelné jeden z nich můžeme odstrnit tedy tkové dv stvy ztotožníme/shrneme do jediného. Je zřejmé, že nemůžeme npříkld ztotožnit dv stvy tkové, že jeden z nich je koncový druhý ne. A pokud dv stvy ztotožníme shrneme, musíme ztotožnit i jejich následníky n cestě grfem digrmu utomtu.

Definice. Necht M = (Q, T, δ, q 0, F ) je konečný automat. Dvojici (q, w) Q T nazveme konfigurací konečného automatu M.

Definice. Necht M = (Q, T, δ, q 0, F ) je konečný automat. Dvojici (q, w) Q T nazveme konfigurací konečného automatu M. BI-AAG (20/202) J. Holu: 2. Deterministické nedeterministické konečné utomty p. 2/3 Konfigurce konečného utomtu BI-AAG (20/202) J. Holu: 2. Deterministické nedeterministické konečné utomty p. 4/3 Automty

Více

Minimalizace automatů. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 28. března / 31

Minimalizace automatů. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 28. března / 31 Minimlizce utomtů M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 1/ 31 Ekvivlence utomtů 1 2 3 1 2 3 1 2 Všechny 3 utomty přijímjí jzyk všech slov se sudým počtem -ček Nejvýhodnějšíjepronásposledníznich-mánejméněstvů

Více

Automaty a gramatiky. Organizační záležitosti. Přednáška: na webu (http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak/automaty) Proč chodit na přednášku?

Automaty a gramatiky. Organizační záležitosti. Přednáška: na webu (http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak/automaty) Proč chodit na přednášku? Orgnizční záležitosti Atomty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cni.cz http://ktiml.mff.cni.cz/~rtk Přednášk: n we (http://ktiml.mff.cni.cz/~rtk/tomty) Proč chodit n přednášk? dozvíte se více než

Více

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz PES Petriho sítě p. 1/34 Petriho sítě PES 2007/2008 Prof. RNDr. Miln Češk, CS. esk@fit.vutr.z Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. vojnr@fit.vutr.z Sz: Ing. Petr Novosd, Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. (verze 06.04.2010)

Více

Automaty a gramatiky. Úvod do formáln. lních gramatik. Roman Barták, KTIML. Příklady gramatik

Automaty a gramatiky. Úvod do formáln. lních gramatik. Roman Barták, KTIML. Příklady gramatik Úvod do formáln lních grmtik Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk Grmtiky, všichni je známe, le co to je? Popis jzyk pomocí prvidel, podle kterých se vytvářejí

Více

Definice limit I

Definice limit I 08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí

Více

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu: vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá

Více

Teorie jazyků a automatů I

Teorie jazyků a automatů I Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů I Sírk úloh pro cvičení Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Slezská univerzit v Opvě Opv, poslední ktulizce 5. květn 205 Anotce: Tto skript jsou určen

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

Automaty a gramatiky

Automaty a gramatiky 5 Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk Co ylo minule Množinové operce s jzyky sjednocení, pr nik, rozdíl, dopln k uzv enost opercí (lgoritmus p evodu) et

Více

Základy teorie matic

Základy teorie matic Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Teorie jazyků a automatů

Teorie jazyků a automatů Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Sírk příkldů pro cvičení II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Slezská univerzit v Opvě Opv 24. listopdu 2016 Anotce:

Více

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}? 1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

Je regulární? Pokud ne, na regulární ji upravte. V původní a nové gramatice odvod te řetěz 1111.

Je regulární? Pokud ne, na regulární ji upravte. V původní a nové gramatice odvod te řetěz 1111. Grmtiky. Vytvořte grmtiku generující množinu řetězů { n m } pro n, m N {} tková, že n m. Pomocí této grmtiky derivujte řetezy,. 2. Grmtik je dán prvidly S ɛ S A A S B B A B. Je regulární? Pokud ne, n regulární

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

Logaritmické rovnice I

Logaritmické rovnice I .9.9 Logritmické rovnice I Předpokldy: 95 Pedgogická poznámk: Stejně jko u eponenciálních rovnic rozkldů n součin bereme ritmické rovnice jko nácvik výběru metody. Sestvujeme si rzenál metod n konci máme

Více

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce 1116 Podonosti trojúhelníků, goniometriké funke Předpokldy: 010104, úhel Pedgogiká poznámk: Zčátek zryhlit α γ β K α' l M γ' m k β' L Trojúhelníky KLM n nšem orázku mjí stejný tvr (vypdjí stejně), le liší

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11 Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n

Více

m n. Matice typu m n má

m n. Matice typu m n má MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE .. LOGARITMICKÁ FUNKCE V této kpitole se dovíte: jk je definován ritmická funkce (ritmus) jké má ákldní vlstnosti; důležité vorce pro práci s ritmickou funkcí; co nmená ritmovt odritmovt výr. Klíčová slov

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Úvod 1. 3 Regulární jazyky Konečné jazyky Pumping Lemma pro regulární jazyky a nekonečné jazyky Sjednocení...

Úvod 1. 3 Regulární jazyky Konečné jazyky Pumping Lemma pro regulární jazyky a nekonečné jazyky Sjednocení... Osh Úvod 1 1 Teoretická informtik 2 1.1 Vznik vývoj teoretické informtiky................... 2 1.1.1 Mtemtik............................. 2 1.1.2 Jzykověd............................. 5 1.1.3 Biologie...............................

Více

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích Kpitol 1 Formální jzyky Cíle kpitoly: Po prostudování kpitoly máte plně rozumět pojmům jko(formální) beced, slovo, jzyk, operce n slovech jzycích; máte zvládt práci s těmito pojmy n prktických příkldech.

Více

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady: 443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I 3.2.1 hodnost trojúhelníků I Předpokldy: 3108 v útvry jsou shodné, pokud je možné je přemístěním ztotožnit. v prxi těžko proveditelné hledáme jinou možnost ověření shodnosti v útvry jsou shodné, pokud

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Pumping lemma - podstata problému. Automaty a gramatiky(bi-aag) Pumping lemma - problem resolution. Pumping lemma - podstata problému

Pumping lemma - podstata problému. Automaty a gramatiky(bi-aag) Pumping lemma - problem resolution. Pumping lemma - podstata problému BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 10. Vlastnosti regulárních jazyků p. 2/22 Pumping lemma - podstata problému BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 10. Vlastnosti regulárních jazyků p. 4/22 Automaty a gramatiky(bi-aag)

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i,

Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, [161014-1204 ] 11 2.1.35 Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, kde i = 0, 1,..., takto: p 0 q právě tehdy, když bud p, q F nebo p, q F. Dokud i+1 i konstruujeme p

Více

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je

Více

Automaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Důkaz věty o isomorfismu reduktů. Věta o isomorfismu reduktů. Pro připomenutí

Automaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Důkaz věty o isomorfismu reduktů. Věta o isomorfismu reduktů. Pro připomenutí 3 Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktimlmffcunicz http://ktimlmffcunicz/~rtk Pro připomenutí 2 Njít ekvivlentní stvy w X* δ*(p,w) F δ*(q,w) F Vyřdit nedosžitelné stvy 3 Sestrojit podílový utomt Automty

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy) KVADRATICKÁ FUNKCE (vlstnosti, gr) Teorie Kvdrtikou unkí se nzývá kždá unke dná předpisem ; R,, R; D( ) je proměnná z příslušného deiničního ooru unke (nejčstěji množin R),, jsou koeiient kvdrtiké unke,

Více

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá

Více

Logaritmická funkce teorie

Logaritmická funkce teorie Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá

Více

Ohýbaný nosník - napětí

Ohýbaný nosník - napětí Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

II. termodynamický zákon a entropie

II. termodynamický zákon a entropie Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe

Více

8 Mongeovo promítání

8 Mongeovo promítání 8 Mongeovo promítání Pomocí metod uvedených v kpitolách 3. 4., 3. 6. bychom mohli promítnout do roviny 3 libovolný útvr U E. V prxi všk většinou nestčí sestrojit jeden průmět. Z průmětu útvru U je většinou

Více

AUTOMATY A GRAMATIKY

AUTOMATY A GRAMATIKY AUTOMATY A 1 GRAMATIKY Pavel Surynek Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Stručný přehled přednášky Automaty Formální jazyky, operace

Více

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání

Více

Gaussovská prvočísla

Gaussovská prvočísla Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, 658 70 Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium

Více

Datamining a AA (Above Average) kvantifikátor

Datamining a AA (Above Average) kvantifikátor Dtmining AA (Above Averge) kvntifikátor Jn Burin Lbortory of Intelligent Systems, Fculty of Informtics nd Sttistics, University of Economics, W. Churchill Sq. 4, 13067 Prgue, Czech Republic, burinj@vse.cz

Více

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami / Zákldní pojmy: Číselné obory vzthy mezi nimi ČÍSELNÉ MNOŽINY Zákony pro počítání s číselnými množinmi. Přirozená čísl vyjdřují počet prvků množiny N. Celá čísl změn počtu prvků dné množiny, přírůstky

Více

Nerovnosti a nerovnice

Nerovnosti a nerovnice Nerovnosti nerovnice Doc. RNDr. Leo Boček, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávcích příležitostí pro ndné žáky studenty v přírodních vědách mtemtice s využitím online prostředí, Operční

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

Úvod do Teoretické Informatiky (456-511 UTI)

Úvod do Teoretické Informatiky (456-511 UTI) Úvod do Teoretické Informtiky (456-511 UTI) Doc. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D. petr.hlineny@vs.cz 25. ledn 2006 Verze 1.02. Copyright c 2004 2006 Petr Hliněný. (S využitím části mteriálů c Petr Jnčr.) Osh

Více

Deterministický konečný automat

Deterministický konečný automat Deterministický konečný utomt Formálně je deterministický konečný utomt definován jko pětice (Q,Σ,δ,q 0,F) kde: Q je konečná množin stvů Σ je konečná eced δ:q Σ Qjepřechodováfunkce q 0 Qjepočátečnístv

Více

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících. 4.4. Sinová vět Předpokldy Trigonometrie řešení úloh o trojúhelnííh. Prktiké využití změřování měření vzdáleností, tringulční síť Tringulční síť je prolém měřit vzdálenosti dvou odů v krjině změříme velmi

Více

Neurčité výrazy

Neurčité výrazy .. Neurčité výrzy Předpokldy: Př. : Vypočti ity: ) d) ) d) neeistuje,, Zjímvé. Získli jsme čtyři nprosto rozdílné výsledky, přestože přímým doszením do všech výrzů získáme to smé: výrz může při výpočtu

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS

Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) 15. října 2013 Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) Chomskeho hierarchie a jazyky TS 15. října 2013 1 / 23 Rychlé

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček

Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Obsh Úvod.........................................

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

Formální jazyky a automaty Petr Šimeček

Formální jazyky a automaty Petr Šimeček Formální jazyky a automaty Petr Šimeček Úvod Formální jazyky a automaty jsou základním kamenem teoretické informatiky. Na počátku se zmíníme o Chomského klasifikaci gramatik, nástroje, který lze aplikovat

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu .. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

Hlavní body - magnetismus

Hlavní body - magnetismus Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností

Více

Vzdálenost rovin

Vzdálenost rovin 510 zdálenost rovin ředpokldy: 509 Kdy má cenu uvžovt o vzdálenosti dvou rovin? ouze, když jsou rovnoběžné, jink se protínjí ř 1: Nvrhni definici vzdálenosti dvou rovnoběžných rovin Z vzdálenost dvou rovnoběžných

Více

10. Suffixové stromy 1 2014-01-23

10. Suffixové stromy 1 2014-01-23 10. Suffixové stromy V této kpitole popíšeme jednu pozoruhodnou dtovou strukturu, pomocí níž dokážeme prolémy týkjící se řetězců převádět n grfové prolémy řešit je tk v lineárním čse. Řetězce, trie suffixové

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Teorie nekonečných her Vedoucí diplomové práce: doc. Mgr. Krel Pstor, Ph.D Rok odevzdání:

Více

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky. 2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální

Více

1.3.8 Množiny - shrnutí

1.3.8 Množiny - shrnutí 1.3.8 Množiny - shrnutí Předpokldy: 010307 Pedgogická poznámk: Kpitol o množinách spolu s následujícími dvěm kpitolmi (výroky dělitelnost) slouží k nácviku učení. Součástí učení je tké příprv n písemky

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více