Funkce více proměnných: 4. Integrál Začneme sice formálně nesprávnou, přesto výstižnou představou určitého integrálu pro funkci jedné proměnné.

Transkript

1 Funkce více proměnných: 4. Integrál Zčneme sice formálně nesprávnou, přesto výstižnou předstvou určitého integrálu pro funkci jedné proměnné. Výr b f()djedefinovánjko obshpodgrfem, msimůžememslet,žejkob sčítáme hodnotfunkcevbodech,lesčítámeje ve formě obshů teňounkých sloupečků, obdélníčků. V kždém bodě je obdélníček ovýšce f()šířce d,kde djechápánojkonekonečněmlýkousekos,jeto diferenciáldélk.obshtkovéhoobdélníkjepk f() dsčítámejesmbolem. Z toho vcháí předstv pro funkce více proměnných. Máme-li nějkou oblst v IR n nnífunkci f,pktkémůžeme sčítt hodnot. Tentokrátelenesčítáme plochéobdélníčk. PokudjevIR,tedmámefunkcidvouproměnných,tknd kždýmbodem mámeteňounkýválečekovýšce f( )ákldně da, kde daje tentokráte nekonečně mlý kousek rovin, je to diferenciál ploch. Kdž posčítáme pomocísmbolickéhooperátoru jejichobjem,kteréjsoujevně f( ) da,dostáváme f( )da,říkámetomudvojnýintegrál. Jehovýnmjeintuitivnějsný,jeto objemobjektuseákldnouhornístrnoudnougrfemfunkce f. f( ) da Toto pk hrvě obecníme n funkce více proměnných, třeb f( )dv ječtřroměrná velikost objektu pod grfem funkce f tří proměnných. Protože tková f má proměnnéprostoru IR 3,jsou ákldn sčítných sloupečků tříroměrné,odtud ončení dv, je to diferenciál objemu. Je dobré říct, že válečk nejsou podsttné. Klidně jsme mohli vít mlé hrnolk či pětiboké hrnol, v této chvíli to není podsttné válečk nám přišl přiroené. Ono osttně není úplně jsné, co je to váleček v přípdě, že jsme třeb v sedmiroměrném prostoru. Kždopádně se nám chvíli tto volnost výběru tvru bude hodit, protože se s jednou možností výrně lépe prcuje. Ponámk: Něco o terminologii: V mtemtické nlýe je slovo oblst speciálním termínem pro množin, které jsou souvislé otevřené. Bohužel, u vícenásobných integrálů se stejné slovo trdičně používá pro množinu, přes kterou integrujeme, be ohledu n její vlstnosti. Je prvd, že obvkle integrujeme přes souvislé množin, le jenřídkjsouotevřené,dokoncejetotk,žejsouvevětšiněpřípdůuvřené. Tojenemilé,leslovo oblst sekintegrováníjksihodískorokždýtopoužívá. Abbltentotetpřesný,snžiljsemsepsátdůsledně množin,lestejněmisem čloblstinějklét,tkjsemtotknechl. Vemtetedprosímnvědomí,žev této kpitole oblst nenmená klsickou mtemtickou oblst, npříkld nemusí být otevřená, je to jen jiné slovo pro množinu.

2 Hlvní mšlenk víceroměrného integrálu je jsná, není ovšem řejmé, jk b se tkový integrál počítl v pri. Vkoušíme oblíbený nápd budeme prcovt s ře, čímž se problém převede n jednoroměrné integrování. K řeům ve směru os se dostneme tk, že si válečk chtře orgniujeme. Jko obvkle se nejprve pořádně podíváme n funkce dvou proměnných. Tm se nám bude hodit předstv, že sčítáme supertenké hrnolk, jejichž ákldn da jsou nekonečně mlé čtverečk d d. Zvolíme si ákldní směr, řekněme směr os. Jkouderivcísipevněvolímejisté podívámesenvšechnhrnolk,které odpovídjí této hodnotě. Stojí těsně vedle sebe, mjí shodnou šířku d vtvářejí protojkousideskusvkousnýmhornímokrjem(tenjednýfunkcí f).objemtéto desk ískáme, kdž její boční plochu vnásobíme tloušťkou d. d d f( ) Onbočníploch,jinkviděnořegrfemfunkce f,senjdesndno,jetovlstně plochpodgrfemfunkce f(,),tedklsickýintegrálfunkcejednéproměnné. Zkusmetoformulovtpřesněji.Pokudsivolíme,jímánásmnožinvšech bodů(,),kteréležívdnémnožině.jinkřečeno,bvímesetuopřímcevedoucí definičním oborem ve směru os, podobně jko v předchoích kpitolách, nás jímá jejíprůniksmnožinou. Tentoprůnikmůžebýtivelmidivoký,lemsedepro jednoduchost omeíme n tkové tvr, pro které budou všechn tkovéto ře(pro všechn volb ) buď prádné(t nás nejímjí), nebo budou mít podobu úsečk s jistými okrji c() d(). Provolené nástedbudoujímtbod(,)prohodnot splňující c( ) d( ). Protto mámefunkci(ojednéproměnné) f(,),kteroupři troše štěstí budeme umět integrovt. Výpočtem ískáme číslo dvouroměrný obsh řeu těles pod grfem funkce f. d A d() c() A f(,)d,cožje b Z prktického pohledu předstíráme, že je konstnt, integrujeme podle. Je

3 to obdobný proces jko u prciálního derivování, tkže b to nemělo činit problém. Všimnětesi,žedostnemečíslo,kteréáležínvolbě,leproměnná sejižtrtí při integrování. Kdž tuto hodnotu vnásobíme tloušťkou d, ískáme číslo d() c() f(,)d d, což je objem řeu cob trojroměrného objektu, jk jsme si jej vtvořili orgniováním určitých hrnolků. Dlší ře dostáváme měněním oné fiovné hodnot. Abchom dostli celý hledný objem, musíme sečíst objem jednotlivých řeů, což se jevně stne integrováním pomocí. Vše do sebe krásně pdá, protože jsme si již romsleli, že hodnot objemů řeů áleží právě n volbě. Nejmenší hodnot největší hodnot bpro jsoudántím,kteréřemnožinoujsouneprádné.dostávámevorec b d() c() f(,)d d. Abtotofungovlo,musíbýttktvrovná,bsedlroumněurčitfunkce c(), d()prookrjeřeůmee,bpro.jinýmislov,mluvímeooblstechmeidvěm křivkmi nd intervlem: {(,) IR ; b c() d()provšechn I} b Pk f(,)da b d() c() f(,)d d. Tkovému přepisu dvojného integrálu říkáme dvojnásobný integrál. Jedobrénučitseprcovtjensobrákemoblsti,beodvoláváníngrffunkce (který potřebuje o dimeni víc). M chceme dvojným integrálem projít všechn bod množin. Rohodlijsmesebráttopoúsečkáchrovnoběžnýchsosou,vnšem obráku po svislých řeech. Vnitřní integrál jede po tpickém řeu, jehož konce smořejmě ávisí n konkrétní poloe tohoto řeu, ted n hodnotě. Vnějším integrálem pk měnmi procháíme jednotlivými ře. Smořejmě není důvod čínt ře ve směru. Pokud je množin orientován nopk, 3

4 d nebolijdeomnožinuvetvru c {(,) IR ; c d () b()provšechn I}, pkjemožnéřetvesměruos. Přestpickýřeintegrujemepomocí (pohb lev doprv), mee ávisí n poloe řeu dné volbou. Výsledná čísl pk sečteme dlším integrálem, tentokráte vhledem k. d b() f(,)da f(,)d d. c Toto je ted druhý možný převod dvojného integrálu n integrál dvojitý. Některé množin vhovují oběm specifikcím, pk máme n výběr, kterým směrem budeme řet. Příkld. Budemeintegrovtfunkci f(,)e přesdintervl,,3 nebolimnožinu () {(,) IR ; 3}. Máme n výběr, pomocí které proměnné integrovt nejdříve, protože v obdélníku budou obojí směr řeů fungovt. Pokud budeme chtít nejprve integrovt s, ted fiovt řetvesměruos,tkse měnímei3beohledunpolohuřeu. 3 3 Obráek vlevo je re smbolický, grf dné funkce nejspíš vpdá jink, je jen pro připomenutí situce, nás jímá spíš obráek vprvo. Z něj bchom měli včíst vše potřebné pro sestvení integrálu. Pro integrál přes jeden ře dostáváme jeie konstntmáme e d e e d,kdbereme jkokonstntu. Pk [ ] 3 [ 9 ] d e e 4e. 4

5 Přesně podle očekávání se proměnná vtrtil obsh řeu již ávisí poue n jeho poici dné hodnotou proměnné. Tto ře(integrál) pk posčítáme pomocí, dostáváme e da e dd 4e d [ 4e ] 4e 4. Některá poučení: ) Ne vžd je možné nepoužívnou proměnnou úplně vtknout. Neměl b to být problém, stčí si pořád předstvovt, že jisté člen jsou konstntní, prcovt s nimi jko obvkle. První integrál se ted dl počítt i jko [ ] 3 e d e 9 e e 4e. Protože ve funkci jsou dvě proměnné, rději jsme si v dosovcí fái připomněli, co máme mee dosdit. ) Nemusíme ře počítt vlášť, le nejprve sestvit celý integrál pk jej spočítt. Vždselepostupujetk,žesenejprveintegrujeintegrálvevnitřpktenvně,pk přípdnědlšíještěvícevnětkdále. Meediferenciálksoběptřívnořeným působem, integrál vně ptří k diferenciálu vně, integrál druhý od krje ptří k druhému diferenciálu od krje td. Není možné to mícht. Protože při výpočtu novu novu integrujeme, tkovýmto integrálům se tké říká opkovné integrál. 3) Je možné čít integrál sestvovt venčí. To si ukážeme u dlšího příkldu níže. Jko opkování sestvování integrálu evnitř(ted od řeů) si vkoušíme vodorovné ře, které jsou tké možné. 3 Zobrákuvčteme,ženřeuseproměnná vždpohbujemei,dostáváme e d,kdeberemejkokostntu. Ttointegrálpk posčítáme pomocí, vcháí e da e dd. Říkáme, že jsme k dnému dvojnému integrálu sestvili odpovídjící dvojnásobný integrál k výpočtu. Počítáme evnitř, což cvičných důvodů výrníme přepsáním 5

6 integrálu se ávorkou, což se normálně nedělá. e dd ( ) e d d (e )d Shrneme si to. Kdž máme dvojný integrál f da,přepíšemesijejjkodvojnásobný integrál b d() c() čneme tím, že počítáme tv. vnitřní integrál [e ] d [ (e ) ] 3 4(e ). e d f(,)dd(popřípděvopčnémpořdí).přivýpočtupk d() proměnné. Pk následuje vhodnocení tv. vnějšího integrálu Porovnejme ob působ přepisu v příkldě výše: c() f(,)d,čímžvniknefunkce b d. e da e dd e dd. Vpdá to, že jsme prostě jen prohodili pořdí integrálů odpovídjících diferenciálů d. Tkto sndno to ovšem funguje poue u integrce přes obdélník. Jink je tv. áměn pořdí integrce poněkud složitější. Příkld. Budemeintegrovtfunkci f(,)e přeskonečnouoblstvmeenoukřivkmi,. Vždsevpltínkreslitobráek,jetotrojúhelníksvrchol (,).(,)(,).Svisléře(vesměruos )budouurčitěfungovt. Vidíme,žeprourčenípolohřeumásmslvolit jenromeíž,čímžjedán vnější integrál, výsledný dvojnásobný integrál ted bude mít tvr 6 d.

7 Njednomkonkrétnímřeusepkproměnná pohbujemeihodnotmi. To osttně odpovídá formálnímu přepisu množin ve tvru {(,) IR ; }. Tím je jsné, jk bude vpdt vnitřní integrál po tpickém řeu. Můžeme počítt. e da e dd [e ] d e d dd e d [e ] e. Při dosování do vnitřního integrálu jsme si pro jistotu připomněli, která proměnná bl v té chvíli prcovní, ted kterou máme dosovt. Nníječsnřevevodorovnémsměru. / Polohřeujedánvolbou vromeíž,tímjejsnývnějšíintegrál. Ře(n kterémjeprcovníproměnná )jeúsečksprvýmkoncemnúrovni,levý konecležínkřivce násjímá,kolikjetm. Vidímeted,žepřipohbu podéltkovéhořeuse měníod po.dostáváme Zčneme vnitřním integrálem e da / / e dd. e d. Ahnedmámeproblém,primitivnífunkcik e nelevjádřitelementárnímlgebrickýmvorcem,tkžejsmeskončili. Vidíme, že někd volb směru řeu neboli volb pořdí při integrování může mít vliv n to, jk to dopdne. V méně etrémním přípdě může ovlivnit složitost výpočtu. Ačkoliv jeden výpočet nevšel, přesto to blo užitečné cvičení. Ob dv přepis do dvojnásobného integrálu bl cel v pořádku umět tkto integrál roepst je ákldní nlost. Viděli jsme tké, že se při měně pořdí integrce mee nechovl. e da e dd e dd. 7 /

8 Tojetpické,přiměněpořdísemusímeenovupřepočítt. Někdsepotkámes úlohou, že je nám dán dvojnásobný integrál máme měnit pořdí integrce(npříkld proto, že v dném pořdí nele njít primitivní funkci). V tkovém přípdě je třeb nejdříve tvru meí odvodit, jk vlstně vpdá integrční oblst (jkýsi reverse engineering ), n ní pk plikovt ře druhým směrem. Onen dvojí ropis integrálu výše ukuje ještě jednu věc, kterou si ejmén čátečníci musí hlídt. Správně sestvený dvojnásobný integrál mimo jiné splňuje následující: Vnější integrál má jko mee poue čísl. Vnitřní integrál může mít jko mee čísl nebovýrproměnnou,vtompřípdětolemusíbýttproměnná,kterájevnější, ted v senmu diferenciálů ž n konci. Zvídvého čtenáře jistě npdlo, že ne všechn oblsti spdjí do dvou probrných tpů. V tkovém přípdě obvkle není problém dotčnou oblst rodělit n podoblsti, kteréjsoujižvhodnéhotpu,kždounichrokládámevlášť. Totojemožnédík lineritě integrálu, kterou le ve více dimeních vjádřit poněkud složitě, le nepřesně vjádřeno b to fungovlo tkto: Uvžujem oblst, kterousi rodělímen podoblsti,..., m vnásledujícím smslu: m podoblsti i senvájempronikjínejvýšensvých hrnicích, či jink řečeno, vájemné průnik těchto podoblstí mjí nulovou plochu. Pk m f( ) f( ) j I Příkld. Nechťjeoblstmei +osoun,.chcemenjít 8( +) 3 da. Nejprve si nkreslíme romslíme si obě možnosti pro ře. + Tvr oblsti přímo vývá ke svislým řeům, kd nejprve integrujeme podle. Vidíme totiž,žepokudbchomsepokusiliořevesměru,tkbchomnemělijednotné dání pro levé konce řeů. Tkže vnitřní integrál bude používt proměnnou. Romslíme si, že pokud integrujemefunkci8( +) 3 podle,tkje8vlstněkonstntdáseintegrálu vtknout. Přiintegrovánívýru( +) 3 podle jei +jkobkonstnt, čilivlstněintegrujemevýrvetvru( + ) 3,kterýkušeníintegrátořivládnou 8

9 pměti, ti optrní či méně kušení si pomohou substitucí: 8 ( +) 3 d w + + dw [ + +]d d 8 w 3 dw w 4 +C ( +) 3 +C. Dostáváme 8( +) 3 da + 8( +) 3 dd [ ( +) 4] + d ( +) 4 d [ ] 5 ( +) ( ( +) 4 )d Co kdbchom nějkého důvodu mermomocí chtěli řet ve směru? Ztímco prvý konecřeůsestáleřídístejnýmpředpisem,levékoncemjíjedenpředpis pro, jinýpředpispro,,tm čínánkřivce +,ted má čátečníhodnotu.tentoproblémsehrvěvřešítím,žesioblstrodělíme nhornídolníčást,kždánichjesprávnéhotvru. Jinkřečeno,sestvímedv integrál. 8( +) 3 da 8( +) 3 dd+ 8( +) 3 dd w + dw [ +]dd [( +) 4] d+ ( ) 4 ( ) 4 d+ [( +) 4] d ( ) 4 d [ 5 ( )5 + 5 ( )5] + [ 5 ( )5] 3 5. Uf, všlo to stejně, celou dobu jsem trnul, jestli nebudu muset hledt chbu ve výpočtu. Atojevásděvšechno. 9

10 Ponámk: Pokud vás jímá, jk se dělá trojný integrál f(,,)dv: V tomto přípdě je tříroměrný objekt. Pokud si fiujeme jednu proměnnou, třeb,ískámetímřetímtotělesem,kteréjsoukolménosu,ovšemjenpro hodnot jistéhoromeí ž b.dostávámetkprvníptrorokldu f(,,)dv b d. Teď je třeb integrovt přes tpický ře, což je ovšem dvojroměrný objekt ve směrech,jehožpřesnýtvrávisínvolbě.pokudmámeštěstí,půjdeoobjektroumného tvru, přesně řečeno jednoho těch ákldních dvou, které jsme probrli výše. c d c d Dvouroměrné integrál už umíme, při troše štěstí npříkld budou fungovt(přímkové)řevesměru.tmjísmsljenpromeijistýmihodnotmic()d(),protože tvrdvojroměrnéhořeuávisín,pkužproměnnou běhámepoúsečce,jejíž konce ávisí jk n konkrétním dvojroměrném řeu neboli n, tk n volbě úsečk neboli n. Dostáváme tk f(,,)dv b d() f(,) c() e(,) f(,,)ddd. Smořejmě v ávislosti n tvru nevíme, d rovn toto pořdí řeů bude fungovt, je celkem šest možností, lespoň jedn b mohl brt. Je jevné, že pro dárné sestvení tkového integrálu je třeb umět se dobře orientovt v prostoru mít vládnutou nltickou práci s geometrickými útvr.