3D REKONSTRUKCE VÝSTUPŮ Z OPTICKÝCH MIKROSKOPŮ 3-D RECONSTRUCTION OF OPTICAL MICROSCOPE OUTPUTS. PhD. Thesis

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY aeddr. Dalibor Martišek 3D REKONSTRUKCE VÝSTUŮ Z OTICKÝCH MIKROSKOŮ 3-D RECONSTRUCTION OF OTICAL MICROSCOE OUTUTS hd. Thesis Vědí obor: Školitel: Opoeti: ateatické ižeýrství Doc. RNDr. Miloslav Drucküller, CSc. rof. ig. Josef Kohoutek, CSc. Doc. RNDr. Bedřich ůža, CSc. Doc. RNDr. Josef Reischig, CSc. Datu obhaoby:

2 000 Dalibor Martišek ISBN

3 Obsah Úvod Teoretická východiska Grafický prostor Grafická rovia Grafický prostor Obraz Vizualizace 3D obektu Barevá apa plochy Vrstevice roítací etody Kovečí ikroskop Rekostrukce síku z kovečího ikroskopu áso ostrost ultifokálí obraz Složeí ostrého obrazu D rekostrukce Kofokálí ikroskop Složeí optických řezů D rekostrukce Softwarové zpracováí... 4 Abstract... 7 oužitá literatura... 3 oužité publikace autora Curiculu vitae

4 4

5 ÚVOD Moe disertačí práce se zabývá ožosti rekostrukce síků pořízeých optickýi ikroskopy, a to ak kofokálí tak kovečíi. Zpracováí těchto síků softwarovýi ástroi ůže výstupy z těchto zařízeí (a tí i zařízeí saotá) začě zhodotit. Jak e patré z výsledků, které sou v práci prezetováy, e ožé provést poěrě uspokoivý způsobe ak dvo-, tak trorozěré rekostrukce pozorovaých obektů. rví část práce obsahue ěkteré ateatické poy, které sou v práci používáy. Opírá se o citovaou literaturu a pro edostatek ísta eí v tezích uvedea. Druhá část se zabývá základíi kostrukcei v roviě a v prostoru. Základí defiovaé poy - pixel a voxel - sou sice v literatuře používáy, esou však uspokoivě ateaticky defiováy. Tato část práce staví základí kostrukce počítačové grafiky a ateatický základ, který ebyl dosud publiková a který uožňue zcela origiálí kostrukce. Třetí část se zabývá obecě probleatikou zobrazeí trorozěrého obektu a výstupí zařízeí počítače. Některé kostrukce sou opět zcela origiálí, ié sou sice záy, ale ty sou buď ipleetováy v profesioálích grafických systéech a ako takové sou součástí fireích taeství, ebo sou ziňováy v dostupé literatuře, ale aprosto edostatečý a epoužitelý způsobe. Čtvrtá část se zabývá zobrazeí obektů optický ikroskope. Základí pricipy sou saozřeě záy a v úvodu této části se autor opírá o citovaou literaturu. Nicéě i tyto pricipy sou postavey a ateatický základ, který dosud ebyl publiková. Těžiště této části práce e pak studiu evů, kterýi se literatura běžě ezabývá. Jsou to evy, které sou obvykle chápáy ako vady či eze optického zobrazeí, eboť překračuí ráec geoetrické optiky. rávě tyto evy závisí však a geoetrii pozorovaého obektu a uožňuí tak eho prostorovou rekostrukci. átá a šestá část se zabývá rekostrukcei obektů pozorovaých kovečíi resp. kofokálíi ikroskopy. Sedá část popisue softwarové zpracováí celé probleatiky. 5

6 . TEORETICKÁ VÝCHODISKA Tato část práce obsahue defiice a vlastosti ateatických poů, které sou v práci používáy. Opírá se o citovaou literaturu a pro edostatek ísta zde eí uvedea.. GRAFICKÝ ROSTOR.. Grafická rovia V počítačové grafice ukládáe data ako souřadice bodů. Body sou v souladu s tradičí Euklidovskou geoetrií odelováy ako bezrozěré obekty. Zobrazovací plocha výstupího zařízeí (ať iž oitoru či tiskáry, koeckoců i sítice lidského oka) e však fyzické zařízeí a body bez rozěrů zobrazovat resp. víat euí. Místo pou bod e proto používá poe pixel (ovotvar z aglického "picture eleet") ako eeší zobrazitelý útvar. Jak však bude zřeé z ásleduícího, při ateatické odelováí e třeba rozlišovat pixely ve syslu logické (t. výstupí zařízeí chápat ako ožiu izolovaých Euklidovských bodů) a ve syslu fyzické (t. výstupí zařízeí ako ožia eleetárích plošek ).. Defiice: Nechť sou dáy itervaly I = i ;i ); J = ; ). Dále echť Dx = { xi} ; i= 0 > e ekvidistatí děleí itervalu I, Dy = { yi} ; > e i= 0 ekvidistatí děleí itervalu J. Obdélík F = xi ; xi+ y ; y + ; i = 0,,..,, = 0,,.., azýváe fyzický pixele. Čísla px = xi + xi ; resp p y = y + y azýváe horizotálí resp. vertikálí rozěr fyzického pixelu F i,. Obdélík I J spolu s děleíi D x, D y azýváe grafický prostore G (grafickou roviou), podrobě začíe G = ( I J, D x, D y ). Uspořádaou dvoici ( ; ) azýváe rozlišeí grafické roviy.. Věta: Horizotálí resp. vertikálí rozěry všech fyzických pixelů F i, grafické roviy G sou si rovy. { } 3. Věta: Možia F F = x x ) y ; y ) i { 0,.., }; { 0,.., } = i ; i+ + všech fyzických pixelů grafické roviy G e rozklade grafické roviy G. 4. Věta: Nechť G e grafická rovia, F ožia z věty 3. Relace ρ defiovaá a G vztahe ρ( A, B) ( Fi F )[ A Fi B Fi ] e ekvivalece a G. 6

7 5. Defiice: Nechť G e grafická rovia. Faktorovou ožiu F = G / ρ, kde ρ e ekvivalece z předcházeící věty, azýváe fyzickou roviou roviy G. Rozlišeí fyzické roviy F rozuíe rozlišeí příslušé grafické roviy G. 6. Defiice: Nechť G e grafická rovia, F eí fyzická rovia, rozěry eích fyzických pixelů F,. Dále echť pro resp. pro [ c d] i c < px e I = rk R k { 0,,..., } : rk xk ; xk + ) d < p e J s R k { 0,,..., } : s y ; y ) y p x resp. { rk xk c} { s y d} c = d = k k k k + k k = c I d =,. ak ožiu L = J azýváe logickou roviou, eí prvky L pak logické pixely. 7. Věta: Nechť F e fyzická rovia grafické roviy G, L libovolá logická rovia téže grafické roviy, a ϕ : F L zobrazeí takové, že pro každé i = 0,,..,, = 0,,..., e ϕ ( F ) = L L Fi,. ak zobrazeí ϕ e biekce. 8. Defiice: Zobrazeí ϕ : F L z předchozí věty azýváe apováí fyzické roviy. Mapováí ϕ : F L zobrazue roviu fyzickou a roviu logickou. Vzhlede k tou, že se edá o biekc existue vždy apováí iverzí ϕ : L F, které zobrazue roviu fyzickou a roviu logickou. Je zřeé, že k daé fyzické roviě existue ekoečě oho rovi logických, eboť logickou roviu L lze sestroit pro libovolé = [ c, d] x0 ; x ) y0; y. Každá fyzická rovia ůže být tedy apováa ekoečě oha způsoby. Dále budu používat e dva edůležitěší: 9. Defiice: Mapováí V : V L apováí. Mapováí S : S L středový apováí. ϕ F, kde [ ] p y, a V = x 0 ; y 0 azýváe vrcholový S = x + x ); ( y + y ) azýváe ( 0 0 ϕ F, kde [ ] ozáka: Nebude-li uté přesě specifikovat použité apováí, budee logickou roviu začit stručě L a apováí ϕ. 0. Defiice: Nechť F e fyzická rovia, F i, eí fyzický pixel. Uspořádaou dvoici [ ] azýváe souřadicei fyzického pixelu F i,. 7

8 . Defiice: Nechť L e libovolá logická rovia fyzické roviy F. Ozače e = ( px ;0 ); e = ( 0; p y ) ; S = L00. ak uspořádaou čtveřici L ; S; e; e azýváe světovou souřadou soustavou logické roviy L.. Defiice: Nechť L e logická rovia, L ; S; e; e eí světová souřadá soustava. Dále echť F e fyzická rovia, pro kterou existue iverzí apováí takové, že ϕ : F L. Soustavu L ; S; e; e azýváe světovou souřadou soustavou fyzické roviy F idukovaou apováí ϕ. Začíe F ; S; e; e. 3. Defiice: Nechť L e logická rovia grafické roviy G, F e fyzická roviy téže grafické roviy, ϕ : L F apováí, L ; S; e; e světová souřadá soustava logické roviy L. Uspořádaou čtveřici O; S; e; e azýváe světovou souřadou soustavou roviy G idukovaou apováí ϕ. odrobě začíe O; S; e; e. ϕ 4. Defiice: Měe světovou souřadou soustavu L ;S ; e; e libovolé logické roviy idukovaou eí libovolý apováí. V této soustavě ěe bod O = [ o ;o ] a vektory i = ( i ;0) ; = ( 0; ). Uspořádaou troici O ;i; azýváe uživatelskou souřadou soustavou. říku určeou bode O = [ o ;o ] a sěrový vektore i () azýváe osou x (y), vektor i () e edotkový vektor a ose x (y). 5. Defiice: Nechť F e fyzická rovia s rozlišeí ( wh ; ), ϕ e libovolé x ; x y y F zobrazeí takové, že pro každé apováí, ν : ) ; ) [ x ; y] x ; x ) y; y ) e ([ x ; y] ) = Fi w i = ϕ ( x x ) x x ; = ϕ ( y ) y y y uživatelskou trasforací. Souči ; x ) y y ) plochou. ν právě tehdy, když h ;. ak toto zobrazeí azýváe x azýváe uživatelskou 6. Věta: Nechť G e grafická rovia, F eí fyzická rovia, pixely. Zobrazeí () () i ϕ F, eí fyzické () E : F F R takové, že E ( F ; F ) = ( k i) + ( l ) ; F F : F F R takové, že F ( Fi, ; Fk, l ) = k i + l ; () () C F : F F R takové, že C F ( Fi, ; Fk, l ) = ax{ k i ; l } sou etriky a F. () F k, l 8

9 .. Grafický prostor. Defiice: Nechť sou dáy itervaly I = i ;i ); J = ; ); K = k ;k ) Dále echť Dx = { xi} ; i= 0 > e ekvidistatí děleí itervalu I, Dy = { yi} ; > i= 0 s ekvidistatí děleí itervalu J, D = { zk } k= 0 ; s > K. Kvádr F x x ) y ; y ) z z ); = 0,,..,,,.., z e ekvidistatí děleí itervalu, k = i ; i+ + k ; k + i, = 0, k = 0,,.., s azýváe fyzický voxele. Čísla vx = xi + xi ; resp v y = y + y resp. vz = zk+ zk azýváe rozěry fyzického voxelu F i,, k. Kvádr I J K spolu s děleíi D x, D y, D z azýváe grafický prostore, G = I J K, D, D, D. podrobě začíe ( ) 3 x y. Věta: Odpovídaící si rozěry všech fyzických voxelů F i,, k téhož grafického prostoru G 3 sou si rovy. 3. Věta: Možia F3 = Fi,, k = xi; x i+ y ; y + zk ; zk+ i { 0,.., } { 0,.., }; k { 0,.., s }} z ; e { ; všech fyzických voxelů grafického prostoru G 3 e rozklade grafického prostoru G Věta: Nechť G 3 e grafický prostor, F 3 ožia z věty 3. Relace ρ defiovaá a G 3 vztahe ρ( A, B) ( Fik F 3 )[ A Fik B Fik ] e ekvivalece a G Defiice: Nechť G 3 e grafický prostor. Faktorovou ožiu F 3 = G 3 / ρ, kde ρ e ekvivalece z předcházeící věty, azýváe fyzický prostore prostoru G 3. Rozlišeí fyzického prostoru F 3 rozuíe rozlišeí příslušého grafického prostoru G Defiice: Nechť G 3 e grafická rovia, F 3 eí fyzická rovia, v x resp. v y resp. v z rozěry eích fyzických voxelů F i,, k. Dále echť pro c < vx e c I = { rk R k { 0,,..., } : rk xk ; xk + ) rk xk = c} resp. pro d < v y e d J = { sk R k { 0,,..., } : sk yk ; yk + ) sk yk = d} resp. pro e < vz e e J = { tk R k { 0,,..., s } : tk yk ; yk+ ) tk zk = e} a = [ c, d, e]. ak ožiu L 3= c I d J e J azýváe logický prostore, eí prvky L, k pak logické voxely. 7. Věta: Nechť F 3 e fyzický prostor grafického prostoru G 3, L 3 libovolý logický prostor téhož grafického prostoru a ϕ : F 3 L 3 zobrazeí takové, že pro 9

10 každé i = 0,,..,, = 0,,...,, k = 0,,..., s e ϕ = L L F. ak zobrazeí ϕ e biekce. ( F, k ), k, k, k 8. Defiice: Zobrazeí ϕ : F 3 L 3 z předchozí věty azýváe apováí fyzického prostoru. 9. Defiice: Mapováí V : 3 V L 3 V = x0 ; y0; z0 azýváe vrcholový apováí. Mapováí S ϕ : F 3 S L 3, kde S = x + x ); ( y + y ); ( z + z ) azýváe středový apováí. [ ] ( ϕ F, kde [ ] 0. Defiice: Nechť F 3 e fyzický prostor, F i,, k eho fyzický voxel. Uspořádaou troici [ i,, k] azýváe souřadicei fyzického voxelu F i,, k.. Defiice: Nechť L 3 e libovolý logický prostor fyzického prostoru F 3. Ozače e = ( vx ;0;0 ); e = ( 0; v y ;0); e 3 = ( 0;0; v z ); S = L000. ak uspořádaou pětici L 3 ; S; e; e; e3 azýváe světovou souřadou soustavou logického prostoru L 3.. Defiice: Nechť L 3 e logický prostor, L 3 ; S; e; e; e3 eho světová souřadá soustava. Dále echť F 3 e fyzický prostor, pro který existue iverzí apováí takové, že ϕ : F 3 L3. Soustavu L 3 ; S; e; e; e 3 azýváe světovou souřadou soustavou fyzického prostoru F 3 idukovaou apováí ϕ. Začíe F ; S; e ; e e. 3 ; 3 ϕ 3. Věta: Nechť G 3 e grafický prostor, F 3 eho fyzický prostor, voxely. Zobrazeí (3) F i, k, eho fyzické (3) E : F F R takové, že E ( F ; F ) = ( l i) + ( ) + ( k) ; (3) F 3 3 (3) F, k l,, F : F 3 F 3 R takové, že F ( Fi,, k ; Fl,, ) = l i + + k ; (3) (3) C F : F 3 F 3 R takové, že C F ( Fi,, k ; Fl,, ) = ax{ l i ; ; k } sou etriky a F Obraz. Defiice: Nechť C r = c N; 0 c < r; r >. Zobrazeí O : F C r azýváe obrazovou aticí ebo stručě obraze. Je-li a F defiováa světová souřadá soustava, hovoříe o apovaé obrazu. Možiu C azýváe r-barevou ožiou. Je-li O : F c, pak číslo c azýváe r F e fyzická rovia, { } i 0

11 hodotou ebo též barvou pixelu F i. Rozlišeí obrazu rozuíe rozlišeí příslušé fyzické roviy.. Defiice: Barevou ožiu C r, pro kterou e r = z ; z >, azýváe - chroatickou ožiou. Speciálě pro = 3 azýváe barevou ožiu trichroatickou. Číslo z azýváe rozlišeí barevé ožiy. 3. Věta: Nechť C r e barevá ožia trichroatického systéu s rozlišeí z, 3 c0; c; c; ci = 0,,..., z. ak existue biekce β : Cr C z, taková, že pro každé 0 c e ( c ) = ( c ; c c ) c = c z + c z + c. Na ožiě C existue C r β 0 ; c 0 ; c; c < d0; d; d uspořádáí ( ) ( ) 4. Defiice: Možiu 3 0 z z 0 0 c 0 z + cz + cz < d0z + dz + d z 3 C z z předchozí věty azýváe trichroatický systée. 5. Defiice: Nechť C r e r-barevá ožia, Cr eí eéě dvouprvková podožia, < uspořádáí ožiy. ak ožiu azvee paletou vybraou z r-barevé ožiy C. 6. Defiice: Nechť F 3 e fyzický barevý prostor, voxely, F, k, F l, právě tehdy, když r F, F i,, k, F l,, eho fyzické F,, eich uzávěry. Voxel l, azvee sousede voxelu i, k F F l,,, k. 7. Defiice: Nechť C r e barevá ožia trichtoatického systéu, F 3 eho fyzický barevý prostor Cr e paleta trichroatického systéu. Nechť v paletě existuí evýše dva fyzické voxely F i,, k, F l,,, které aí právě edoho souseda růzého od sebe saa (počátečí resp. kocový voxel palety), ostatí voxely echť aí eéě dva sousedy růzé od sebe saa. ak paletu azvee plyulou. Ke kostrukci plyulých palet ůžee použít paraetricky zadaých spoitých křivek α G3, a to ásleduící způsobe: Nechť F 3 e fyzický barevý prostor, ( S ; e ; e; e3 ) eho světová souřadá soustava idukovaá libovolý apováí. V této souřadé soustavě echť e určea spoitá křivka paraetrickýi rovicei x = ϕ(t) ; y = ψ(t) ; z = τ(t) ; t t ;t. Ozače A = [ ϕ( t; ψ( t; τ( t ] G3, [ ] A = ϕ( t); ψ( t); τ( t) G3. Nechť () F pak fyzický voxel, pro který e A F spočívá v rekurziví půleí itervalu t ;t ( F e fyzický voxel, pro který e () ( A F ;. Kostrukce plyulé palety pak. Volba vhodé palety ůže veli přispět k vizualizaci prostorového obektu proítutého do roviy.

12 3. VIZUALIZACE 3D OBJEKTU 3.. Barevá apa plochy Barevá apa plochy eí popsáa v literatuře, přestože se edá o relativě edoduchý prostředek vizualizace trorozěrých obektů.. Defiice: Měe uživatelskou plochu ; x ) y y ) x ; a fukci z = f ( x; y), která e a í spoitá a eíž obor hodot e H = z0; z. Dále echť F e fyzická rovia, F i, eí fyzické pixely a v : x ; x ) y; y ) F e uživatelská trasforace. Dále echť Cr e prvková paleta, D z = { z 0 ; z ;...; z } e ekvidistatí děleí H a τ : H zobrazeí takové, že τ ( z ) = k právě tehdy, když z k ; k). ak obraz O : F azýváe barevou apou plochy. Kostrukci barevé apy pro fukce zadaé fukčí předpise z = f ( x; y) se iž popsal v []. Teto algoritus se testoval a ploše sestroeé etodou přesouváí středího bodu ve D (publikováo opět v []). 3.. Vrstevice Vrstevicei plochy z = f ( x; y) rozuíe rovié křivky f ( x; y) = kost. Je-li fukce f ( x; y) spoitá, sou spoité i eí vrstevice. Na výstupí zařízeí počítače ůžee tyto křivky sestroit ásleduící způsobe - všiee si edříve křivky f ( x; y) = 0: Výstupí zařízeí e fyzická rovia F, eí rozlišeí echť e ( w ; h). Tuto fyzickou roviu opatříe uživatelskou souřadou soustavou O;i; s uživatelskou plochou ; x ) y y ) x. Rozěry fyzických pixelů fyzické roviy v uživatelských souřadicích sou = ; =. Dále sestroíe logickou ; p x w x x p y h y y roviu L a vrcholové apováí. V grafické roviě G e pak uzavřeý fyzický pixel F obecě obdélík L Li+, Li+, + L +. Fukce f ( x; y) e podle f i+, <, pak existue bod X L i, Li+, takový, že f ( X ) = 0. Fyzickou roviu F usíe tedy proít po edotlivých pixelech. Fyzický pixel bude sestroe tehdy a e tehdy, existue-li alespoň eda dvoici eho vrcholů, ve kterých á fukce z = f ( x; y) růzá zaéka. Chcee-li sestroit vrstevic více, usíe pracovat s rovicí f ( x; y) = kost, t sestroovat křivky f ( x; y) C = 0. K cyklů přes fyzickou roviu tedy přibývá cyklus pro předpokladu spoitá. Jestliže tedy ( L ) f ( L ) 0 C c ;c kroke hc.

13 3.3. roítací etody. Defiice: Nechť E 3 e rozšířeý Euklidovský prostor, π E 3 eho vlastí rovia, S π eho bod. Zobrazeí ρ : E 3 π azvee středový proítáí právě tehdy, když pro každé X E 3 platí: ρ( X ) = X ' X ' SX p X ' π. Bod S azýváe střede proítáí, příku p proítací příkou. Je-li střed proítáí vlastí, azýváe proítáí lieárí perspektivou. Je-li evlastí, azýváe proítáí axooetrií. řito e-li p π luvíe o axooetrii kolé, v opačé případě o axooetrii kosoúhlé.. Věta: Nechť E 3 Euklidovský prostor, E rovia v toto prostoru, x', y', z' E avzáe růzé příky v této roviě takové, že x ' y' z' = { O' }. ak existue souřadá soustava O, i,, k prostoru E 3 s osai x, y, z a axooetrie Z taková, že Z : O O', x x', y y', z z'. V toto zobrazeí se osy x, y, z souřadé soustavy O, i,, k zobrazí a troici příek x ', y', z' v roviě π, edotkové vektory i,, k E3 a vektory i ', ', k' π, bod O a bod O '. růětu π tedy ztotožíe s ákresou (obrazovkou počítače), a opatříe i souřadou soustavou O' =' O' ', i'', ' ', kde O '' = O'. Vektory i', ', k' = i '; i ' = echť aí v této souřadé soustavě souřadice i ' ( ) ; ( ) O' ' k ' = ( k '; k' ) O' '. Nechť Z : X X ', X = [ x ; x; x3] E3, X ' = [ x ''; ''] x O' ' π '' platí: x = i x + x + kx3 '' ' ' ' x = i x + x + k ( ' x3 ' ' ' '; ' '' O ;. ak rostorové vztahy lépe odráží axooetrie kolá, která lépe odpovídá reáléu zrakovéu veu. Je to axooetrie, eíž proítací příky sou kolé a průětu. Je určea soustavou ( pro speciálí hodoty i ' ; ' i ; ' ; ' ; k ' ' ;k. Lieárí perspektiva: e středové proítáí a roviu. Kolici spuštěou ze středu S π proítáí a průětu π azýváe hlaví paprsek. Opět určíe sěr pohledu do souřadé soustavy O, i,, k. Zvoleý horizotálí a vertikálí úhel bude yí určovat sěr hlavího paprsku. Toto proítáí e vhodé a realistické zázorňováí prostorových obektů pozorovaých ve větších zorých úhlech. Odvozeí zobrazovacích rovic kolé axooetrie a lieárí perspektivy, akož i řešeí viditelost stíováí a odelováí průhledých a průsvitých obektů se vyyká rozsahu těchto tezí, tuto probleatiku autor publikoval v [0], []. 3

14 4. KONVENČNÍ MIKROSKO Kovečí ikroskop e cetrovaá soustava dvou spoých čoček. Čočka přivráceá k předětu - obektiv - á veli alou ohiskovou vzdáleost f (ěkolik ), čočka přivráceá k oku či síacíu zařízeí - okulár - á ohiskovou vzdáleost f řádově desetkrát větší (ěkolik c). V reálých optických zařízeích ohou být ovše obektiv i okulár složité optické soustavy. Vzdáleost ezi obrazovou ohiskovou roviou obektivu ϕ ' a předětovou ohiskovou roviou okuláru ϕ azýváe optický iterval a začíe. Zobrazovaý předět ůžee pozorovat buď prostý oke, ebo zazaeávat a síací zařízeí. Neí-li ikroskop urče k pozorováí prostý oke, lze celé zařízeí pricipiálě zedodušit. Síací zařízeí ůže ahradit celý okulár a síat obekt přío z předětové ohiskové roviy. Geoetrická optika používá teríy předětový resp. obrazový prostor (oz. 3 ' ' resp. 3). V prostoru 3 se zavádí pravoúhlá souřadá soustava O, x, y, z, v 3 pak pravoúhlá soustava O ', x', y', z'. Osy x,x' se azývaí hlaví osy, leží-li v téže příce, azývá se zobrazeí cetrovaé. V další se budee zabývat e cetrovaý zobrazeí. Zobrazeí se uskutečňue příýi paprsky procházeící v předětové prostoru zobrazovaý bode, které optická soustava zěí v kougovaé paprsky procházeící obrazový prostore a protíaících se v obrazu ' bodu..defiice: roektiví zobrazeí G : 3 3 předětového prostoru 3 do obrazového prostoru azvee geoetrickou proekcí právě tehdy, když: ' 3 a) Existuí body H x ; H ' x' (předětový resp. obrazový hlaví bod). takové, že G( H ) = H ' a pro každou příku p ; H p e p G (p). Roviy χ ;χ' proložeé předětový resp. obrazový hlaví bode kolo k hlaví ose sou předětová resp. obrazová hlaví rovia. b) Existue rovia ϕ : ϕ 3 ϕ x (předětová ohisková rovia) taková, že ' G( ϕ) 3 e evlastí rovia obrazového prostoru. Bod F ϕ x azýváe předětové ohisko. Délka FH = f e předětová ohisková vzdáleost. c) Existue rovia ϕ ': ϕ' 3 ' ϕ' x' (obrazová ohisková rovia) taková, že - G (ϕ' ) 3 e evlastí rovia předětového prostoru. Bod F' ϕ' x' azýváe předětové ohisko. Délka F ' H ' = f ' e obrazová ohisková vzdáleost. ' 4

15 '. Defiice: Nechť G : 3 3 e geoetrická proekce, ϕ předětová ohisková rovia síacího zařízeí. Roviu ω, pro kterou e G - : ϕ ω azýváe roviou ostrosti. Zobrazeí reálý kovečí ikroskope esplňue postuláty geoetrické optiky ikdy zcela přesě, a to z ěkolika důvodů: a) Oezeá šířka svazku paprsků. Je-li O, x, y, z souřadá soustava předětového prostoru a u = [ u ; u; u3] sěrový vektor optického paprsku, pak geoetrické zobrazováí bodu se uskutečňue svazke paprsků S = { p 3 ; p; u, u < 0}. Ozačíe-li A ožiu velikostí všech úhlů, které avzáe svíraí paprsky tohoto svazku, pak sup A = π. Reálý ikroskop á vždy sup A < π. Nadále budee tedy písee S začit svazek paprsků, který prochází reálý optický ikroskope. b) Vlová podstata světla á za ásledek eho ohyb. Obraze bodu eí bod, ale ožia bodů vlová stopa c) Nekoplaárost preparátu způsobí, že svazek S prote předětovou ohiskovou roviu ϕ síacího zařízeí opět v ožiě bodů Euklidovské stopě. d) Rozlišovací schopost síacího zařízeí á za ásledek, že se bod zobrazí a fyzický pixel F, o rozěrech p x = w ; = h i. Defiice: Nechť M V ω ϕ e relace taková, že λ0 [ ; Q] M V Q SV = X ϕ X' ' = G( ) 4Α Relaci M V azýváe vlový ikroskopováí. Možiu S V azýváe vlovou λ0 stopou bodu, číslo d( S V ) = sup { a R a = X ; Y } = azýváe eí X, Y S Α V průěre (zde e λ 0 vlová délka světla, A uerická apertura ikroskopu).. Defiice: Nechť 3 e předětový prostor ikroskopu, G : 3 3 geoetrická proekce. Dále echť 3 ; G : ' ; S e hoocetrický svazek procházeící bode a : S S' M ϕ = ; ' p ': ' p ϕ p y G. Relaci E 3 {[ ] S } S = { ' ϕ ; ' M } azýváe Euklidovský ikroskopováí. Možiu [ ] azýváe Euklidovskou stopou bodu, číslo d( S ) = sup{ X ; Y ; X, Y S } azýváe eí průěre. E E ' E E 5

16 5. REKONSTRUKCE SNÍMKU Z KONVENČNÍHO MIKROSKOU 5.. áso ostrost ultifokálí obraz Zaveďe tyto zedodušuící předpoklady: V a) ro každou vlovou stopu S existue fyzický pixel F i, síacího zařízeí, pro který e SV F i, b) Nechť ( ; () ω sou dva růzé body roviy ostrost G : ' geoetrická proekce, G (( ) = ( ' ; G (( ) ) = () ' ; F i, ; F k, l dva fyzické pixely síacího zařízeí takové, že ( ' F i, ; ( ) ' F k, l. Je-li ( () ; pak F Fk, l. c) Eukidovská stopa S bodu ω e Euklidovský kruh. E okud by bylo ožo v roviě zobrazovat Euklidovské body, zaeal by každý eulový průěr Euklidovské stopy rozostřeý obraz. Je-li však fyzickou roviou s fyzickýi pixely, pak se eostrost proeví pouze tehdy, e-li d( S E ) > p, kde p = i{ p x ; p y }. Jestliže d( S E ) p, ůžee považovat obraz za ostrý.. Defiice: Nechť 3 e bod předětového prostoru, M E 3 ϕ Euklidovské ikroskopováí, F e fyzická rovia ohiskové roviy ϕ, p x ; p y d S průěr Euklidovské stopy bodu. rozěry eích fyzických pixelů, ( E ) Možiu d( ) < p; p i{ p ; p } { } ( O) 3 = 3 S E = x y azýváe otevřeý páse ostrosti ikroskopu.. Defiice: Nechť = [ p ; p p ]; [ q ; q q ] ostrosti ( O ) 3.Číslo ( ) = ( ) 3 ; 3 Q = sou body otevřeého pása ; { Q } v O sup p q ; = [ p ; p ; p ]; Q = [ q ; q ; q ]; azýváe výškou pása ostrosti 3 3 3, ( O ). Části preparátu, které se acházeí v pásu ostrost budou zobrazey ostře, části io pás ostrosti budou rozostřey. Možiu všech bodů preparátu, které se acházeí v pásu ostrosti ikroskopu, budee azývat optický řeze: 3. Defiice: Nechť e pozorovaý preparát, ( O ) 3 páso ostrosti ikroskopu. Možiu R = ( O) 3 azvee optický řeze preparátu. 3 ( O ) 3 6

17 4. Defiice: Nechť R e optický řez preparátu. Možiu S = { ϕ R} R azýváe Euklidovskou stopou optického řezu R E S E 5. Defiice: Nechť F e fyzická rovia ohiskové roviy ϕ, F eí fyzické pixely, M E Euklidovské ikroskopováí. Zobrazeí M D : 3 F : M D ( ) = Fi, ([, ' ] M E ' Fi, ) azýváe digitalizovaý ikroskopováí. 6. Defiice: Nechť { }; k =,.., (k) M e posloupost digitalizovaých ikroskopováí téhož preparátu,{ ( O } k = ;..; posloupost eich uzavřeých páse ostrosti takových, že D 3 ) ; U O 3 ( ) k= ( ϕ). ak posloupost { O} ; k =,.., eich výsledků azýváe - fokálí obraze. osloupost { }; k =,.., - fokálí digitalizovaý ikroskopováí. 5.. Složeí ostrého obrazu (k) D M azýváe D zpracováí - fokálího obrazu bude zřeě spočívat ve složeí ového obrazu tak, aby se teto ový obraz skládal pouze z obrazů optických řezů edotlivých digitalizovaých ikroskopováí (k) M. Naší úkole e yí staovit vhodá kriteria pro edotlivé fyzické pixely obrazů { O} ; k,.., elépe příslušost k řezu. Věta: Nechť K ( F r) (k ) R co elépe idikovala. D =, která by co i. = ; e kruh ve fyzické roviě F výstupího zařízeí ( k) v libovolé etrice dle odst..., v6, : K C podobraz obrazu O z =, - fokálího obrazu { O} ; k,.., K.. Dále echť i C = K r, s C r, s C r, s i i, S, = K i. i. e hodota fyzického pixelu součet těchto hodot přes kruh e ožia všech podoži kruhu K. v obrazu i F, obrazu r s O, O. Defiue zobrazeí : S R takto: Cr, s a) ( { Fr, s} ) = C b) A, B S A B = ( { A B} ) = ( { A} ) + ( { B} ) ak ( K ;S ; ) ; k =,.., sou pravděpodobostí prostory, zobrazeí ( k) Cr, s X : K R : X ({ Fr, s} ) = sou diskrétí itegrovatelé áhodé veličiy. C 7

18 X. Defiice: Zobrazeí : K R z předchozí věty azýváe zaostřeí fyzického pixelu F, a obrazu O i. Středí hodoty defiovaých zaostřeí pixelů E ( X ) = kde C r, s K i, Cr, s C a variačíi rozpětíi sou čísla F, obrazů ( X ) = ax { C } i { C } v r, s C Fr, s Ki, Fr, s K e hodota fyzického pixelu F, v obrazu r s ( k) Také ( X E( X ) K R : ( k) Y ( F ) = : diskrétí itegrovatelé áhodé veličiy a D i ( ) Cr s C, r, s X = C K C K i, C r, s O sou zřeě ( k) O, t. = O( F ) C r, s r, s ( C r, s Cr, s Y r, s = ( ) sou k C K i, C () sou rozptyly áhodých veliči roviě F výstupího zařízeí. (k ) X defiovaých a kruhu K, ve fyzické i 3. Defiice: Výraz ( azýváe variačí kriteriu, výraz () rozptylové kriteriu. Ke kostrukci posledího kriteria použiee dvorozěré diskrétí Fourierovy D : X diskrétí Fourierova trasforace, trasforace. Je-li { } { } C r, s, k k, X, = U, + i V, ;, = 0,,..., ε, pak výrazy ( ) X ( ) ( ) = U, + V, představuí hodoty aplitud prostorových frekvecí přítoých v okolí fyzického pixelu F, a edotlivých obrazech i k K O. Vzhlede k vlastoste těchto frekvecí stačí uvažovat pouze hodoty ( ) U ( ), ; V, ;, = 0,,..., ε. Vyšší hodoty idexů, zaeaí vyšší prostorové frekvece, které idikuí vyšší kotrast drobých detailů a zkouaé okolí a tí i lepší zaostřeí. Jako kriteriu zaostřeí obrazu tedy ůže sloužit výraz obsahuící frekvece X,, který vyšší idexů, přisuzue vyšší váhu. K idetifikaci pása ostrosti se použil výraz ( ) T X H H k, ( + ) U, + V, ; H ε (3) = = 0= 0 k 8

19 4. Defiice: Výraz (3) azýváe frekvečí kriteriu. Dosavadí výsledky ukazuí, že axia výrazů (, (), (3) veli dobře detekuí axiálí zaostřeí pixelu a ohou být použity ke složeí ostrého obrazu D rekostrukce Metoda řezů kostatí výšky: Z fyzikálí podstaty vziku ultifokálího (0) obrazu e zřeé, že e-li O( F i, ) = k, pak fyzický pixel F i, ese iforaci o bodu preparátu, pro který e (k ). Jsou-li otevřeá pása po dvou (k ) disuktí, lze bodů v pásu přiřadit steou výšku a obržet tak fukci dvou proěých, eíž graf přibližě odpovídá pozorovaého preparátu. Ozačíe-li v celkovou výšku preparátu, pak výška pása ostrosti fokálího obrazu e v a fukci f ( ), která přibližě popisue pozorovaý preparát e ( ) f ) (0) O F i, ( =. Tato operace e podstatou etody řezů kostatí výšky Metoda filtrovaých řezů: Měe ultifokálí obraz { O} ; k ;..; f ( ) sestroeou z tohoto obrazu etodou řezů kostatí výšky. = a fukci. Defiice: Nechť A e reálá atice typu (, ),, > ε; ε Ν, a i, R eí libovolý prvek, O ε ( a ) ε -ové okolí prvku a i,, ε i ε;ε ε, a i, středí hodota prvků a k, l Oε ( a ). Matici (ε) A azvee ε -ový průěre (ε) atice A právě tehdy, když pro každý eí prvek a i, platí: a, < ε > ε > ε ( ε) i i a = a iak Fukci f ůžee vyádřit ako atici typu ( w; h) s reálýi koeficiety. Můžee (ε) tedy sestroit fukci f, která e ε - ový průěre fukce f. Tato fukce podstatě lépe aproxiue pozorovaý preparát. Tato operace e podstatou etody filtrovaých řezů. Metoda příého určeí výšky: Uvažuee-li geoetrickou proekci ' G : 3 3, pak e ω G ( ) = ' ϕ ; Q ω G ( Q) = Q' ϕ. ro Q Euklidovské stopy S E ; S E bodů ω; Q ω pak e S E = { ' }, tedy d( S E ) = 0 ; Q d S >. Je-li X : F R zaostřeí obrazu O ultifokálího obrazu O, ( E ) 0 i ( ( X ) resp. D ( X ) resp. T X ) v k ) ( hodoty variačího resp. rozptylového popř. 9

20 frekvečího kriteria a totéž obrazu O, polože: v ( ax X )= ax ( k) ax { v( X ); ; D( X ) = { D( X ); O O} ax { T ( X ); O O} k Q hodoty kriterií zaostřeí závisí a průěru Euklidovské stopy d( ) S ) ax ; T( ax X )=. Metoda příého určeí výšky vychází z předpokladu, že ( E bodu Q při digitalizovaé ikroskopováí M D resp. a úsečce délky (k ) l, která e ahrazue při totéž ikroskopováí, t, že existuí fukce v ( X ) = f v ( l) resp. D ( X ) = f D ( l) resp. T ( X ) = ft ( l). Ukázal se, že k těto fukcí existuí fukce iverzí k = f v ; k = f D ; k = f T, které dovoluí určit průěr stopy a základě hodot kriterií zaostřeí: ax v( X ) = f ax D( X ) l v = c ; = f D c X ) ax ( k) T ( X ) l = ; l = ft c X ) = ( T ( X ) Q Zároveň se odvodil závislost průěru d Euklidovské stopy S E bodu Q ω a df ( + f ) eho vzdáleosti h od roviy ostrosti ω : h =. Teto výraz spolu ( s' + d ) s rovicei ( uožňue přío určit vzdáleost daého pixelu od roviy ostrost a tí i prostorovou rekostrukci preparátu. 6. KONFOKÁLNÍ MIKROSKO Kofokálí ikroskop á páso ostrosti ve srováí s ikroskope kovečí veli úzké a body preparátu, ležící v ožiě eostrosti prakticky ezobrazue. Odpadá zde detekce řezů a ke složeí ostrého obrazu lze použít ěkolik oprací, záých z obrazové aalýzy. Multiohiskový obraz se ůže skládat až z ěkolika desítek obrazů, přičež Euklidovské stopy optických řezů ohou ít eprázdý průik. Zaeá to, že síaý preparát e průhledý, t. a eho edotlivých vrstvách e světelý paprsek částečě odraže a částečě prochází preparáte, aby byl odraže iou eho vrstvou. Je-li tou tak, dochází k ícháí barev v odražeé a prošlé světle. Operace s obrazy se tedy zobecil pro libovolý počet složek a přidal eich vážeí. Aby toto vážeí ělo fyzikálí opodstatěí, usí váha zřeě záviset a pořadí vrstev dle průchodu světla, zobecěí tedy tyto operace ztratí koutativitu. Jako evýhoděší se eví operace defiovat idukcí, přičež váhy, které ohou ít výza poěru prošlého a odražeého světla by ěly ít v každé kroku součet eda, eboť epředpokládáe pohlcováí světla preparáte. 0

21 6.. Složeí optických řezů V další textu e O = { O}; k = ;...; ultifokálí obraz v systéu RGB, t. ( k) ( k) posloupost obrazů O : C 3 F = c + 56 c + 56 c i, barvu fyzického pixelu c i, c, F. Ozače O ( ) 56 0 F i, a obrazu ( O (koeficiety k ) c i, 0 resp. resp. i začí tedy hodotu barevé složky R resp. G resp. B pixelu i a obrazu O ). Dále echť e dá obraz O : F C 3 v systéu RGB, kde ( Fi, ) 0 c + 56c + 56 ci O, =.. Defiice: Obraz O azvee kopresí vážeý součte ultifokálího obrazu O právě tehdy, když pro hodoty c i, ; = 0,, barevých složek F i, obrazu k = ( = c ; = 0,, pro = každého pixelu a) c b) sou-li c i, pro hodoty ( ) c ( + c O = O platí: hodoty barevých složek obrazu O F ) = O( F ), pak + = Truc p + 56 ( k= + ( Fi, ) O( Fi, k = barevých složek obrazu ( ) O = ) platí c ( + + ( p) c k = ; p (0;. Defiice: Obraz O = O azvee vážeý kopresí součie ultifokálího obrazu O právě tehdy, když pro hodoty c i, ; = 0,, barevých složek každého eho pixelu F, platí: i ( = c ; = 0,, pro = a) c k = + ( Fi, ) O( Fi, k = b) sou-li c hodoty barevých složek obrazu O( Fi, ) = O( Fi, ), pak pro hodoty ( + c ( + c c pro Truc 56 barevých složek obrazu O = ) platí ( + c = 0 ( + = ( + ( + p p c c pro c > ; 0 p (0; Z defiičího vztahu kopresího součiu e zřeé, že každý ásobeí klesá hodota zpracovávaého pixelu. Má-li v daé fyzické pixelu F, větší počet i F,

22 obrazů O eulovou hodotu (t. v případě, že se zde achází silá vrstva preparátu), klese hodota součiu v toto pixelu pod přede určeou ez. Jestliže v to případě obarvíe pixel barvou pozadí, dostaee ako výsledek obraz, který obsahue e teké vrstvy preparátu a eobsahue vrstvy silé. Síla zobrazeých vrstev závisí a volbě paraetru p. k = 3. Defiice: Obraz O = O azvee kopresí vážeý iverzí součie ultifokálího obrazu O právě tehdy, když pro hodoty ; 0,, barevých složek každého eho pixelu ( = a) c = c ; = 0,, pro F, platí: i c i, = k = + ( Fi, ) O( Fi, k = b) sou-li c i, hodoty barevých složek obrazu O( Fi, ) = O( Fi, ), pak pro hodoty ( + c ( + c barevých složek obrazu O = ) platí ( + = 0 = 56 ( + Truc pro ( + p p c c c pro c ( + c > ; 0 p (0; Z defiičího vztahu kopresího iverzího součiu e opět zřeé, že každý děleí hodota zpracovávaého pixelu roste. Má-li v daé fyzické pixelu eulovou hodotu alý počet obrazů O (t. v případě, že se zde achází teká vrstva preparátu), estoupe hodota iverzího součiu v toto pixelu ad přede určeou ez. Jestliže v to případě obarvíe pixel barvou pozadí, dostaee ako výsledek obraz, který obsahue e silé vrstvy preparátu a eobsahue vrstvy teké. Síla zobrazeých vrstev opět závisí a volbě paraetru p. k = c i, ; = 4. Defiice: Obraz O = O azvee disukcí ultifokálího obrazu O právě tehdy, když pro hodoty 0,, barevých složek každého eho pixelu F, platí: i ( = a) c = c ; = 0,, pro b) sou-li c pro hodoty F i, hodoty barevých složek obrazu O F ) = O( F ), pak ( + c ( k= + ( + ( Fi, ) O( Fi, k = barevých složek obrazu O = ) platí ( + ( + { c ; c i } ( + c = Max,

23 Vzhlede k tou, že pro disukci ako ediou uvedeou operaci postrádá fyzikálí sysl vážeí a koprese, edá se vpodstatě o disukci ve syslu vícehodotové Lukaszewiczově logiky. V této logice ůže pravdivostí ohodoceí výroků všech hodot z itervalu 0 ;. Je-li c i, ; = 0,, hodota červeé ( = 0), zeleé ( =, resp. odré ( = ) složky barvy pixelu F i,, pak za pravdi-vostí ohodoceí daého pixelu v edotlivých barevých složkách c i, ůžee považovat čísla ; = 0,,. Disukci těchto ohodoceí 56 c c c v Lukaszewiczově syslu lze pak psát ako = = Max. ro = 56 k hodoty barevých složek disukce ultifokálího obrazu pak zřeě dostaee ( ), c k i O( Fi, ) = O( Fi, ) = 56. Max = Max{ c }; Fi, F. Tato operace k = 56 sestavue obrazy axiálě kotrastí za ceu ztráty ožosti odelovat průhledost D rekostrukce. Defiice obálka 3D obektu: Nechť F3 e 3D obekt, F 3 e fyzický grafický prostor prostoru G 3 s rozlišeí (,, p). Dále echť F e fyzická grafická rovia roviy G s rozlišeí (, ) a koečě fukce f : F R, pro kterou platí: Jestliže pro fyzický pixel F F o souřadicích [ ] existue fyzický voxel F i,, k o souřadicích [ i,, k], pak f ( Fi, ) = ax{ k N Fi,, k }, iak f ( ) 0. Fukci f azýváe obálkou obektu ad roviou G. F i, =. Defiice voxelová rekostrukce: Měe grafický prostor G 3, eho fyzický prostor F 3 s fyzickýi voxely F i,, k o rozěrech p x, py, pz a F3 3D obekt. Jestliže každý fyzický voxel F i,, k sestroíe ako kvádr K G3 s edí vrchole A = [, k] s hraai o velikostech p x, py, pz rovoběžýi se souřadýi osa řekee, že se provedli voxelovou rekostrukci 3D obektu. Voxelová rekostrukce dává při dostatečé rozlišeí optických řezů (zhruba od 00 00) a eich dostatečé počtu (cca 0 a výše) poěrě dobrou představu o 3D obektu. Nicéě při stíováí působí poěkud epřirozeě. Obekt e totiž podobě ako v kpt sestroe poocí stě rovoběžých se souřadýi rovia a proto existuí pouze tři růzé orály, které aí vliv a vlastí stí. Situaci lze zlepšit prostorový průěrováí. 3

24 3. Defiice reálé zobecěí fyzického prostoru: Nechť F 3 e fyzický prostor, F i,, k eho fyzické voxely, L 3 logický prostor téhož grafického prostoru, L i,, k eho logické pixely = ax{ i N L i,, k }, = { L i,, k } { k } F fyzická rovia s rozlišeí (, ) o = L i,, k R ax N, F 3 = F R azvee reálý zobecěí fyzického prostoru F 3. ax N,. Možiu 4. Defiice reálé zobecěí 3D obektu: Nechť F 3 e fyzický prostor, F3 eho R reálé zobecěí, F3 3D obekt, ρ : F 3 F3 e zobrazeí takové, že pro každý R fyzický voxel F i,, k = [, k] F3 a každý prvek F3 platí ( F ) = ( k ) R ρ. ak ožiu = ρ( ) i,, k =, R azvee reálý zobecěí 3D obektu. rvek F3 azvee bode reálého zobecěí, uspořádaou i k, = k,. troici (, ) azvee eho souřadicei. Zapisuee ( ) 5. Defiice ε ový průěr 3D obektu: Nechť e 3D obekt, R R eho reálé zobecěí. Dále echť O ( F i,, k ) F i, ε i ε;ε ε;ε k o ε. Ozače { w [ u v w] O ( F )} t i, k,, T, k,, ε, k T i,,. ak ožiu ε e ε -ové okolí pixelu k = N a, středí hodotu všech prvků ožiy k R {(,, p) p = } = F i 3 t i,, k azvee ε -ový průěre 3D obektu. oužiee-li ísto voxelové rekostrukce ε -ového průěru, dostáváe obekt s poěrě hladký povrche a přirozeě působícíi stíy. Vhodá volba průěru ε uožňue zázorit větší či eší detaily a avíc lze sado odelovat průhledost. 7. Softwarové zpracováí opis softwarového zpracováí by byl poěkud rozsáhleší, eí proto součástí těchto tezí. Jak e však patré z výstupů, sou výsledky přío použitelé v praxi. 4

25 Obr..: Vstupí data pro kovečí ikroskop Obr..: Výstup prograu Kovečí ikroskop.exe (seeo kaktusu Astrophytu Oratu) 5

26 Obr. 3.: Vstupí data pro kofokálí ikroskop (ukázka) Obr. 4.: Výstup prograu Kofokálí ikroskop.exe (orgaely prvoka z rodu araethyu) 6

27 ABSTRACT My dissertatio discusses the possibilities of iages recostructio, these iages are provided by optical icroscopes, which are cofocal ad covetioal too. rocessig these pictures by software tools ca greatly evaluate the outputs of these equipets (ad thereby the equipets theselves). How it is evidet fro the results, which are i this work preseted, it is possible to carry out relatively cofortable way such as two- as three-diesioal recostructio of observe obects. The first part suarises the fudaetal atheatical costructios, which are used i dissertatio (etric ad liear space, proective space, easure, itegral, Fourier trasforatio etc..) The secod part discuses the fudaetal costructios i a plae ad i a space. Fudaetal defied coceptios - pixel ad voxel - are ot satisfactorily atheatically defied. This part of the work builds these fudaetal costructios of coputer graphic o a atheatical basis, that has ot till bee this tie published ad which eables quite origial costructios. There is preseted a coceptio of a graphic plae as atheatical structure G = ( I J, D x, D y ), where I = i ;i ) R, J = ; ) R are itervals, ad Dx = { x } i i= 0, Dy = { y } i i= 0 their equidistat divisios. hysical pixel is defied as a box F = xi ; xi+ y ; y +, ad the logical pixel as its represetative. The set of all physical (logical) pixels is called the physical (logical) plae. The aalogous costructios are ipleetated for the graphic space G3 = ( I J K, Dx, Dy, Dz ) ad its eleets - physical ad logical voxels too. The iage is defied as the appig of a physical plae ito so-called colour set: O : F Cr ; = c N; 0 c < r; r >. The pallet is defied as a subset of the colour set. C r { } The third part geerally discusses the probles of a displayig of threediesioal obects o coputer output device. Soe costructios are agai quite origial, though the others are kow, but they are either ipleeted i professioal graphic systes, or they are described i available literature, but absolutely isufficiet ad uusable. I the dissertatio there is described the costructio of so-called colour ap of a surface ad cotour lies, further oblique ad vertical axooetry ad edia proectio. There is bee solvig the visibility, shadig, spreadig of texture ad costructio of trasparet obects. The fourth part describes the displayig of the obects by optical icroscope. Fudaetal priciples are aturally kow. These priciples are stadig o atheatical basis, which till this tie were ot published. The cetre of this part of 7

28 the work is a study of pheoeos, which are routiely ot discussed i literature. These are pheoea, which are usually uderstood as defects or bouds of a optical displayig, because they pass a frae of geoetrical optics. Just these pheoea deped o geoetry of a observed obect ad eable its threediesioal recostructio. The display by real covetioal icroscope does ot exactly cofor to postulates of the geoetrical optics, aely for several reasos: a) liited width of ray bea. Lets O, x, y, z is a co-ordiate syste of a obective space, u = [ u ; u; u3] is a directive vector of a optical ray. Geoetrical displayig of a poit is realised by bea of rays S = { p 3 ; p; u, u < 0}. If we ark A the set of all size agles, which utually clutch rays of this bea, the sup A = π. Real icroscope has always sup A < π. We shall also ea by letter S a bea of rays, which goes through a real optical icroscope. b) the wave substace of light results i its bed. Iage of the poit is ot a poit, but the set of poits the wave trace of a poit. There is defied a relatio called a wave icroscopig M V ω ϕ betwee the plae, o that the icroscope is focused, ad a obective plae scaer: λ0 [ ; Q] M V Q S V = X ϕ X' ' = G( ). The set S V is called a 4Α λ0 wave trace of the poit, uber d( S V ) = sup { a R a = X ; Y } = we call its X, Y S Α V average (here λ 0 is wave legth of usig lights, A uerical aperture of a icroscope). The ocoplaarity of the preparatio causes, that the bea S crosses the obective focal plae ϕ of the scaer agai i the set of poits - i Euclidea trace. I the dissertatio there is defied a relatio which is called Euclidea icroscopig M E 3 ϕ = {[ ; ' ] p S': ' p ϕ} betwee a obective space of a icroscope ad a obective plae of a scaer. The set E { ' ϕ [ ; ] M } S = ' we call Euclidea trace of a poit, the uber d ( S ) = { X ; Y ; X, Y S } E E sup we call its average. E The scaer resolutio results, that the poit is displayed o a physical pixel F i, with ozero diesios p x ; p y. The fifth part discuses the recostructio of the outputs fro a covetioal icroscope. There are presued these siplifyig postulates: 8

29 d) For ay wave trace V F i, () V S exists a physical pixel F i, of a scaer, for that is S e) Lets ( ; ω are two differet poits of plae sharpess, G : ' is a geoetrical proectio, G (( ) = ( ', G (( ) ) = () ' ; F i, ; F k, l are two physical pixels of a scaer, that ( ' F i, ; ( ) ' F k, l. If ( () the F Fk, l. f) Euclidea trace S of a poit ω is a Euclidea circle. E Should was a possibility i a plae to display Euclidea poits, the every ozero average of Euclidea trace would be the defocusig iage. If there is a physical plae with physical pixels, the usharpess shows oly that tie, whe d( S E ) > p, where p = i{ p x ; p y }. If d( S E ) p, the we ca cosider the iage as sharp. The sharpess zoe is defied as ad its height ( ) = ( ) 3 { d( ) < p; p i{ p p } ( O) 3 = 3 SE = ; { Q } v O sup p q ; = [ p ; p ; p ]; Q = [ q ; q ; q ];. 3 3, arts of the preparatio, which are situated i a zoe of sharpess, will be displayed sharply, parts out of zoe of sharpess will be defocused. The set of all poits of the preparatio, which are situated i the sharpess zoe of icroscope, is called a optical cut. The the digitize icroscopig is defied as: M D ([, ' ] M F ) : 3 F : M D ( ) = Fi, E ' ad - focal iage is defied as a sequece { O} ; k =,.., of the digitize icroscopig results of the sae preparatio. For a observed preparatio is U O 3 ( ) k=.-d processig - focal iage will evidetly cosist i the copositio of a ew picture, so that this ew picture cosists of iages of optical cuts of the sigle digitized icroscopigs (k) M oly. I the dissertatio there are fixed ter criteria for sigle physical pixels of the iages { O} ; k,.., D x y ( O ) 3 =, which idicate the pertiece to cut (k ) R. Forally there is defied the focusig of a physical pixel. As the criteria of this focusig is take variatio spa resp. diffusio, resp. substitutio high spatial frequecy i the sese of Fourier trasforatio, aely o the certai surroudig of tested pixel. Results show, that axis of itroduced expressios, which I call variatio, resp. dispersal resp. frequecy criteria, detect very well the axiu focalized pixel ad they ay be used i a copositio of a sharp iage. Fro the physical priciple of a ultifocal (0) picture rise it is evidet, that if O( F i, ) = k, the physical pixel F i, bears the iforatio about a poit of the preparatio, for that is. If the 9

30 (k ) opeig zoes are by twos disoited, it is possible to assig to poits i the (k ) zoe the idetical hights ad obtai fuctio of two variables, whose graph atches with a observed preparatio approxiately. If we ark v a total height of the preparatio, the the zoe sharpess height of -focal picture is v. The fuctio f ( ), which approxiately describes a observe preparatio, is ( ) f ) (0) O F i, ( =. This ethod I call a ethod of costat high cuts.further I geeralise liear filters kow fro iage processig, so that there was a possibility to apply the to the above-cited fuctio. I that way filtered fuctio approaches a observed preparatio essetially better. This applicatio is a priciple of a ethod, which I call ethod of filtered cuts. The ethod of direct height diagosis : If we thik the geoetrical proectio ' G : 3 3, the it is ω G ( ) = ' ϕ ; Q ω G ( Q) = Q' ϕ. For Q Euclidea traces S E ; S E of the poits ω ; Q ω it is S E = { ' }, the Q d S = ; d( S ) > 0. If X : F R is a focusig of the iage O fro ( E ) 0 E i ultifocal iage O, v( X ) resp. D ( X ) resp. T X ) ( value of the variatio, resp. dispersal resp. frequecy criteria o the sae iage O, lets ax ( k) ax ( k) v X = v X ; O O D X = ax D X ; O O ; ( ) ax { ( ) }; ( ) { ( ) } ax T( X ) = ax { T ( X ); O O} k Q that values of focusig criteria deped o a average Euclidea trace d( ) S ). The ethod of direct height diagosis presues, ( E of the poit Q i the digitize icroscopig M D resp. o abscissae legth (k ) l, which substitutes this average at the sae icroscope. Fro that follows, that there are the fuctios v ( X ) = f ( l) resp. D ( X ) = f ( l) resp. ( X ) f ( l) v T = T. I show, that there exist fuctios k = f v, k = f D, k = f T, which are iverse to these fuctios. These iverse fuctios allow to deterie a trace average o fuds of focusig criteria values: ax v( X ) = f ax D( X ) l v = c = f D c X ) ax ( k) T ( X ) l = l = ft c X ) = ( T ( X ) Q At the sae tie I derive the depedece average d of Euclidea trace S E of the df ( + f ) poit Q ω o his distace h fro plae sharpess ω : h =. This ( s' + d ) expressio together with equatios ( akes it possible to directly deterie the give pixel distace fro sharpess plae, ad thereby 3D recostructio of the preparatio. D 30

31 The sixth part discusses the recostructios of outputs fro cofocal icroscope. This icroscope has the zoe sharpess very arrow ad practically does ot display the preparatio poits, which are situated i set of usharpess. The cut detectio is ot ecessary ad soe operatios, kow fro iage processig, ca be used for copositio of a sharp picture. Multifocal iage ca be cosist as far as of several tes iages, whereas preparatio ca be trasparet. The operatio with pictures I geeralize for arbitrary uber copoets ad add their weighig. Hereafter text is O = { O}; k = ;...; the ultifocal iage i syste RGB. I defied: copressio weighted su of iages as a iage, for whose coloured copoets is ( c = c ; = 0,, for =, ( ( + +, =, + ( ) ci Truc p ci p c ; p (0; (this operatio ake possible to odel trasparecy preparatio), weighted directio copressio of iages as a iage, for which coloured copoets are ( c = c ; = 0,, for = ( +,, 0 ( ci pro ci = + c = ( + ( ; (0; + p p p Truc c c, > 0 56 for ci (this operatio displays thi layers of preparatio), weighted iverse directio copressio of iages as a iage, for which coloured copoets are ( c = c ; = 0,, for = ( + c c for ( + = 0 = 56 ( + Truc for ( + p p c c c c > ; 0 p (0; (this operatio displays robust layers of preparatio), disuctio of iages as a iage, for which coloured copoets are ( ( + ( + ( + c = c ; = 0,, for =, c = Max{ c ; c i, } (this operatio builds up ost cotrasty iage) This part cotais ethod of 3D recostructio for cofocal icroscope, ost cosiderable is a voxel recostructio, which odels voxels preparatio as trasparet boxes ad cubic averagig, which apply geeralised low-pass filters o previous costructio ad preparatio is gettig soother. The seveth part describes a software processig of all probles. 3

32 oužitá literatura:. Kologorov, A.N., Fo S V.: Základy teorie fukcí a fukcioálí aalýzy, SNTL, raha 975. Mc Lae, S., Birkhoff, G.: Algebra, Mac Milla, New York Mc Lae, S., Birkhoff, G.: Survey of Moder Algebra, Mac Milla, New York Katriňák,T.: Algebra a teoretická aritetika, Alfa, Bratislava Nečas, J. a kol: Aplikovaá ateatika, SNTL, raha Žeíšek, A.: Lebesgueův itegrál a základy fukcioálí aalýzy, VUT Bro, Čižek, V.: Diskrétí Fourierova trasforace a eí použití, SNTL, raha, Laoš, F., otocký, R. : ravdepodobosť a ateatická štatistika, Alfa, Bratislava Hátle, J., Likeš,J.: Základy počtu pravděpodobosti a ateatické statistiky, SNTL Alfa, raha, Vitásek,L.: Nuerická ateatika, SNTL raha 987. Žára a kol.: očítačová grafika - pricipy a algority, Grada, raha 99. Žára a kol.: Moderí počítačová grafika, Coputer ress, raha, Sobota, B.: očítačová grafika a azyk C, Kopp, České buděovice Wirth, N.:Algority a štruktúry údaov, Alfa, Bratislava, Horák, Z., Krupka, F.: Fyzika, SNTL, raha Drucküller, M., Heriba,.:Digital Iage rocessig Syste for Widows, ver. 5.0., SOFO, Bro Duford, N.: Schwartz, J., T.: Liear Operators, art I: Geeral Theory, New York, Itersciece ublishers, Ic Murray, D.J., varyper,w.: Ecyclopedia of graphics file forats, Ic of Sebastopol,Califoria Murray, D.J., varyper,w.: Ecyklopedie grafických forátů, Coputer ress raha, 994 3

33 oužité publikace autora : 0. Martišek, D.: očítačová grafika pro ateatické ižeýry, ÚM FSI VUT Bro 999. Martišek, D.: očítačová geoetrie a grafika, VUTIUM Bro 000. Martišek, D.:Autoatic Detectio ad Correctio of Defective ixel Clusters by Meas of Noliear Regressio, Digital Iage rocessig, A Iteratioal Workshop, České Buděovice, Martišek, D.,Cápal, J.: Složeí víceohiskového obrazu užití statistických etod, i: Sborík 37. sezdu České aatoické společosti s eziárodí účastí, Bro Martišek, D.: Aiace ve výuce počítačové grafiky specializovaých oborů, i: Sborík koferece FS VUT, Bro Martišek, D., Martišek, I.: Softwarové zaostřováí síků z optických ikroskopů, i: edagogický software - sborík předášek a prograů, České Buděovice, Martišek, D.: 3D rekostrukce síků z optického ikroskopu, 38. zazd Sloveske aatoicke spoločosti s edziárodou účasťou, zborík abstaktov, Bratislava Martišek, D.: Fraktálí geoetrie a odelováí přírodích útvarů, i Sborík XVII eziárodího vědeckého kolokvia o řízeí osvoovacího procesu zaěřeého a probléy odelováí a siulace, Vyškov, Martišek, D., Martišek, I.: Vrstevice a systéy elieárích rovic, i: edagogický software - sborík předášek a prograů, České Buděovice, Martišek, D.: Měřeí fraktálů, i Sborík XVIII eziárodího vědeckého kolokvia o řízeí osvoovacího procesu zaěřeého a probléy odelováí a siulace, Vyškov, Ficker, T., Drucküller, M., Martišek, D.: Ucovecial Multifractal Foralis ad Iage Aalysis of Natural Fractals, Czechoslovac Joural of hysics, Vol 49 (999), No. 0 33