ZOBECNĚNÝ TELLEGENŮV PRINCIP A JEHO APLIKACE V LINEÁRNÍCH, NELINEÁRNÍCH A CHAOTICKÝCH SYSTÉMECH

Transkript

1 říje 07 (ročík 7) M. Šork, D. Mayer: Zobecěý Tellegeův prcp a jeho aplkace ZOBENĚNÝ TELLEGENŮV PRINIP A JEHO APLIKAE V LINEÁRNÍH, NELINEÁRNÍH A HAOTIKÝH SYSTÉMEH Mla Šork, Dael Mayer Kaedra aplkovaé elekroky a elekomukací, Fakula elekroechcká ZČU/RIE, Plzeň, sork@kae.zcu.cz Kaedra eorecké elekroechky, Fakula elekroechcká ZČU, Plzeň, mayer@ke.zcu.cz Absrak Čláek se zabývá ovým přísupem k řešeí sysémů z oblas srkě kauzálích reprezeací, založeém a fyzkálí korekos. Popsaé řešeí problému je založeo a zobecěí Tellegeova přísupu, dobře zámého z elekroechky. Novkou ohoo přísupu je, že je založe a absrakí savové eerg. Lze jej použí pro reálé leárí, eleárí a chaocké sysémy, apř. elekrcké obvody, ale aké všechy sysémy, keré lze popsa savovým rovcem. Výsledkem jsou maemacky fyzcky korekí výsledky. V čláku jsou řešey růzé ypy základích sysémů. Vše je doplěo řešeým příklady. Klíčová slova: haocké sysémy, eleárí sysémy, smulace, savová eerge, Tellege Absrac The paper deals wh a ew soluo of sysems from he area of srcly causal represeaos, based o physcal correcess. The proposed approach s based o he geeralzao of Tellege s heorem, whch s well-kow from elecrcal egeerg. The ovely of hs approach s ha s based o he absrac sae-space eergy. I ca be used for esg lear, olear, ad chaoc sysems of o oly elecrcal aure bu for ay sysems ha ca be descrbed by sae equaos. osequely, mahemacally as well as physcally correc resuls are obaed. Varous basc sysems are aalyzed he paper. The solved eamples are also cluded. Keywords: haoc sysems, olear sysems, Smulao, sae space eergy, Tellege Úvod Esují dva základí přísupy př modelováí sysémů. Prví z ch spočívá v použí maemackého přísupu a fyzkálích ásrojů, apř. vzahy eergecké rovováhy ad., ak aby bylo správě popsáo chováí sysému. To se úspěšě používá v moha vědích a žeýrských oborech. Esují však suace, kdy fyzkálí zákoy ejsou zámy ebo emohou bý vyjádřey ve správé maemacky přesé podobě. V akovém případě může bý použ jý přísup k modelováí sysému. Je založe a defkačích meodách, keré jsou odvozey a základě epermeálě získaých da [, ]. Meody lze rozděl a dvě skupy: paramercké a eparamercké. Pokud se epředpokládají žádé předchozí formace o srukuře sysému, použjí se pro defkac sysému eparamercké meody. Na druhou srau, v případě, že je záma fyzcká srukura vyšeřovaého sysému, lze použí paramercké meody a ásledě by se měly očekáva přesější výsledky []. Hlavím cílem příspěvku je formulova základí problém fyzkálí správos sysémových reprezeací problému a avrhou možé řešeí. Hlavím předpokladem použé meody je o, že jakákolv fyzkálě správé modelováí sysému by emělo bý v rozporu eje s aměřeým day, ale aké se zásadou zachováí eerge. Ukazuje se, že zavedeí prcpu kauzálího sysému a eergeckého přísupu jako jedím z hlavích arbuů reprezeace se zdá bý ejpřrozeějším způsobem [4, 5]. V čláku jsou uvedey příklady leárího, eleárích a chaockého sysému. Tellegeův eorém Abychom vysvěll základí rysy Tellegeova eorému [6], předpokládá se lbovolě propojeá elekrcká síť s kompoey, kde jsou zvoley směry pro věvová apěí v k a proudy k. Krchhoffovy zákoy jsou dáy ásledujícím rovcem: A() = 0; Bv() = 0, () kde A je uzlová cdečí marce a B je smyčková cdečí mace a proudy () a apěí v() jsou defováy dle vzahu ( ) = [ ( ),,..., ( )] T ; v [ v v v ] () = (), (),... () T. () Nechť vekory (), v() jsou prvky Eukldovského prosoru E. Pak vří souč je dá vzahem b (), v () () v() =. () k k = Nechť I je řada vekorů () a V řada vekorů v() splňujících podmíku rovce (). Teorém : (Tellegeův eorém pro elekrcké obvody) Jeslže () I a v() V, pak plaí k (), v () = 0. (4) Je řeba s uvědom blízký vzah mez fyzkálí korekosí a Tellegeovou věou. Důležé je přpomeou, že věve proudů I a apěí V jsou lbovolě zvoley v souladu s Krchhoffovým zákoy. Zameá o, že je možé zvol růzé sousavy proudů a věvových apěí vyhovujících vzahům (), v () = 0, () I, v () V. (5) Too je důležé pro zavedeí ekvvaleích rasformací sysémů, a kerých je zobecěý Tellegeův přísup založe [7, 8].. Zobecěý Tellegeův eorém Předpokládejme reprezeac R(S) sysému S ve varu dz() RS ( ): = f[ z (), u ()], (6)

2 M. Šork, D. Mayer: Zobecěý Tellegeův prcp a jeho aplkace říje 07 (ročík 7) kde z() Z je sav, Z R je hladká moža a f: Z R je hladké vekorové pole paramerzovaé vsupem u(). Nechť E: Z R je hladké skalárí pole. Je dobře zámo, že Leovy dervace skalárího pole E vzhledem k vekorovému pol f jsou defováy dle [9, 0] f { [ ()]} = [ (), ] [ (), ()] E[ z ()] f [ z (), u ()] L E z de z f z u = = z () Teorém : Zobecěý Tellegeův přísup [ ] [ ]. (7) E, f, E z () = E z(), =. (8) dz() = f[ z (), u ()]: Lf { E[ z ()]} = 0 Esuje rasformace sysému z() () (ekvvaleí savová rasformace) Obr.. [ ] ϕ[ ], TT,, () T z (); u () v (), () ϕ = =. (9) () 0 v () () B () y () + A Blokové schéma sysému s oevřeou smyčkou (bez savové ebo výsupí zpěé vazby) se vsupem v(), výsupem y(), savem (), počáečím podmíkam 0() ad macem A, B,. Nechť je dáa řída ekvvaleích reprezeací sysémů (vz blokové schéma dle obr. ) popsaá vzahy (0) - () a srukurou dle obr. [] α α α α α α α α4 0 0 A =, () α α α α α [ β β β ] T ; [ γ γ γ ] B= =. () Pro sysém popsaý rovcem (0) - () a srukurou dle obr. je zobecěý Tellegeův eorém dá skalárím součem Leárí sysém T d() ( ), = 0. () V éo čás je uvede příklad leárího sysému. řádu, kerý je realzová RL obvodem dle obr.. Obr.. R L v E R v Schéma RL obvodu, leárího sysému. řádu. Obvod dle obr. lze popsa rovcem Po úpravě (4) jsou rovce ve varu d R + L + v = E. (4) dv v + = R Obr.. v( ) y( ) v( ) α β γ β -α -α α α 4 -α -α -α -α 4 γ y () β γ v () y( ) Blokové schéma sysému pro zobecěý Tellegeův eorém (α mohou bý fukcem savových proměých ebo času). d() = A () + B v (); y () = (), (0) dv 0 = + E, (5) L L L R v d R případě dferecálí rovce. řádu d R d R L R L LR. (6) de E = + L LR Tellegeův vzah pro výko je ( ) E v + v + v + v = (7) R L L R R 0 a po úpravě d dv v E R + L + v + = 0. (8) R Ze vzahu (8) lze odvod aké rovc pro výpoče eerge

3 říje 07 (ročík 7) M. Šork, D. Mayer: Zobecěý Tellegeův prcp a jeho aplkace v E R + L + v + = 0 R (9) V obvodu dle obr. jsou zvoley ásledující paramery součásek: R = 0,5 Ω; L =,5 H; = 0, F; R = 0 Ω. Vzah (5) poom je savové eerge v absrakím sysému popsaém vzahem () je a obr. 4, kde jsou odezvy obou sysémů a počáečí podmíky. Na obr. 5 jsou pak odezvy a vsupí sgál ve varu jedokového skoku (počáečí podmíky jsou ulové). Proože časové průběhy eergí obou sysémů jsou oožé, je v obr. 4 a 5 zobrazea vždy pouze jeda křvka. dv 0, 5 0 v 0 = E d 0, 4 0, + 0, 4. (0) Nyí je ué provés savovou rasformac sysému dle (5) a var sysému dle obr., popsaý vzahy (0) - (). Výsledkem jsou vzahy () a (): d 0 R L = v d R +, () L L L R α = ; α = ; α = ; β = ; γ =. () R L L L Ze vzahů () a () lze odvod zobecěou Tellegeovu rovc Obr. 4. Časový průběh eerge v RL obvodu dle obr. a časový průběh savové eerge v absrakím sysému popsaém vzahem () jako odezva obou sysémů a počáečí podmíku v (0) = v RL obvodu a počáečí podmíku (0) = [ (0) (0)] = [ 0] T v absrakím sysému. Oba průběhy jsou oožé, akže se zobrazují jako jede. T d() (), = α () α () + β () v (), () = P () + P () = 0 D I PD kde P D je dspovaý výko (vyzářeý jako epelá eerge a rezsorech R a R ) a P I je vsupí výko. Důkaz je provede pomocí vzahů (4) až (6). Vzah (4) popsuje závslos mez savovým proměým a skuečým paramery, apěím a proudy v obvodu dle obr.. Vzahy (5) a (6) vyjadřují vsupí, respekve výsupí výko vyjádřeý pomocí savových proměých a obvodovým velčam. () = v () ; () = () L; v () = E, (4) PI () = β() v () = () L E () = E () (), (5) L P () = α α = PI D R v ( v ) ( L) R R L R =. (6) Zobecěý Tellegeův prcp popsaý vzahem () lze použí pro sysém, kerý obsahuje pouze počáečí podmíky (sysém má pouze počáečí eerg, j. E = 0) a aké plaí pro eleárí sysémy. Sysém může bý popsá výkoovou fukcí ebo eergí. Důležé je, že savová eerge V může bý odvozea z výkou vzahem T V =, ( ) = + + =. (7) 0 0 Vzah pro savovou eerg (7) lze použí éž jako Ljapuovovu fukc pro ověřeí sably sysému. Časový průběh eerge v RL obvodu dle obr. a časový průběh = Obr. 5. Časový průběh eerge v RL obvodu dle obr. a časový průběh savové eerge v absrakím sysému popsaém vzahem () jako odezva obou sysémů a jedokový skok. Počáečí podmíky jsou ulové. Eerge v dukoru + eerge v kapacoru pro je E +E L = 0,05056 J. Oba průběhy jsou oožé, akže se zobrazují jako jede. 4 Neleárí sysém V éo čás je příklad použí zobecěého Tellegeova prcpu u eleárího sysému. Sysém je popsá savovým rovcem (8) a blokovým schémaem dle obr. 6. ( ( )) = kα w f + α, (8) = α α kde požadovaá hodoa je ozačea jako w a k je zesíleí. V příkladu byly použy dva ypy eleárí fukce f( ):. f( )=( ). f( )=abs( ) Osaí paramery byly pro obě fukce sejé: α = 0,5; α = ; α = 0,; w = ; k = 0; počáečí podmíky (0) = 0; (0) =. Fukc sysému dle (8) lze jedoduše popsa ak, že čle kα (w - f( )) řídí dspac/adspac. Pokud je hodoa f( ) > w, je sysém dspaví (eerge sysému klesá), aopak pro f( ) < w je sysém adspaví (eerge sysému rose). Tao jedoduchá regulace udržuje v sysému

4 4 M. Šork, D. Mayer: Zobecěý Tellegeův prcp a jeho aplkace říje 07 (ročík 7) perodcké kmy. Výsledky smulací jsou a obr. 7 až 0, elekrocká verze sysému a obr.. w k -α α -α -α Obr. 6. f( ) Blokové schéma eleárího sysému. řádu s eleárí fukcí f( ), α = 0,5; α = ; α = 0,; w = ; k = 0; počáečí podmíky (0) = 0; (0) =. Obr. 0. Časový průběh savové eerge pro eleárí sysém s elearou: f( ) = abs( ). Sředí hodoa savové eerge je,79 J. f (.) L w + k + R k = A R v A Obr. 7. Průběh savových proměých a ve fázové rově pro eleárí sysém s elearou ypu f( ) = ( ). Obr.. Elekrocká verze eleárího sysému dle obr. 6. A, A jsou rozdílové zeslovače, R je rezsor, u ěhož lze říd kladou/záporou rezsac. Jak jž bylo uvedeo, savová eerge dle (7) může bý použa jako Ljapuovova fukce pro určeí sably, j. plaí Dervováím (9) vychází V =. (9) = V = + = α ( ( )) + α + ( ) ( ( )) k w f α α = kα w f α S (0) Obr. 8. Obr. 9. Průběh savových proměých a ve fázové rově pro eleárí sysém s elearou ypu f( ) = abs( ). Časový průběh savové eerge pro eleárí sysém s elearou: f( ) = ( ). Sředí hodoa savové eerge je,7 J. Pro sablí sysém plaí, že V < 0 (pro V = 0 je sysém kozervaví a evydává a epřjímá eerg). Z výsledku (0) je zřejmé, že o sablě rozhoduje hodoa čleu S, ale éž paramery k, α a α (kde k > 0, α > 0; α > 0). Pokud je S < 0, je sysém dspaví. Sysém je adspaví v případě, že plaí ( ( )) α kα w f >, () proože dspace se musí kompezova čleemα. 5 Řízeý chaocký sysém Aby u sysému asalo chaocké chováí, musí bý sysém mmálě řeího řádu a musí obsahova elearu. Pak př určém vhodém asaveí paramerů může asa chaocké chováí. Zde je jako příklad zvole chaocký sysém popsaý savovým rovcem () a blokovým schémaem dle obr.. Je uo pozamea, že chaocké/echaocké chováí lze říd především volbou paramerů k a k, ale aké pomocí α, α a α. Výsledky smulací jsou a obr. až 7.

5 říje 07 (ročík 7) M. Šork, D. Mayer: Zobecěý Tellegeův prcp a jeho aplkace 5 ( ) = w k k α = α α = α α. () (.) k (.) w k + X α -α Obr. 5. Průběh savových proměých a chaockého sysému ve fázové rově. α -α -α Obr.. Blokové schéma chaockého sysému. Hodoy paramerů sysému pro ásledující smulace jsou w =,6; α = ; α = 0,89; α = 0,; k = 0,; k = ; počáečí podmíky [0 0, 0] T. Obr. 6. Průběh savových proměých a chaockého sysému ve fázové rově. Obr.. Průběh savových proměých, a chaockého sysému ve fázovém prosoru. Obr. 7. Časový průběh savové eerge chaockého sysému. Ljapuovova fukce pro chaocký sysém je opě dáa vzahem (9). Po dervac a úpravě vyjde Obr. 4. Časové průběhy savových proměých. V = + + =. () w k k α ( ) Opě plaí, že pokud je w věší ež dspačí čley, je sysém adspaví a aopak. hováí chaockého sysému lze ovlvňova změou všech paramerů w; α ; α ; α ; k ; k a počáečích podmíek. Dále je uvede přechod z chaockého do echaockého chováí změou hodo k a k.

6 6 M. Šork, D. Mayer: Zobecěý Tellegeův prcp a jeho aplkace říje 07 (ročík 7) Poděkováí Teo příspěvek vzkl s podporou Msersva školsví, mládeže a ělovýchovy ČR v rámc projeku RIE Nové echologe a kocepce pro elgeí sysémy, číslo projeku LO607, projekem SGS a GA5-7S. Obr. 8. Časový průběh savových proměých. Příklad přepuí sysému z chaockého režmu do echaockého v čase > 00 s. Paramery k a k jsou změěy a hodou 0,. Sysém je echaocký pro > 00 s. Obr. 9. Časový průběh savové eerge v případě chaockého (pro 00 s) a echaockého chováí sysému (pro > 00 s). Na obr. 8 a 9 je příklad přepuí sysému z chaockého režmu do echaockého režmu změou hodoy paramerů k a k, keré jsou v čase > 00 s asavey a hodou 0,. To se projeví změou původě eperodckých průběhů savových proměých průběhu savové eerge a perodcké průběhy. Sysém pak jž eí chaocký. 6 Závěr V omo čláku bylo uvedeo zobecěí Tellegeova eorému a sysémy popsaé savovým rovcem v určém varu. Výhodou je, že uvedeý přísup lze použí pro leárí, eleárí chaocké sysémy. Byl zavede pojem savové eerge, z jejíhož časového průběhu lze do jsé míry usoud a yp sysému. U eleárích sysémů je průběh savové eerge perodcký, u chaockých obvodů eperodcký, edy eperodcké sřídáí adspavy a dspavy. Savovou eerg lze aké použí pro saoveí Ljapuovovy fukce a pro určeí sably. Byly uvedey příklady a leárí, eleárí a chaocký obvod včeě přepuí chaockého režmu a echaocký. Leraura [] Wllems, J.. Paradgms ad puzzles he heory of dyamcal sysems. IEEE Trasacos o Auomac orol. 99, vol. 6, o., pp [] Khall, H. K. Nolear Sysems, Prece Hall, 996. [] Mayer, D., Hrusak, J. O correcess ad asympoc sably causal sysem heory, I: Proc. 7 h World Mulcof. Sysemcs, yberecs ad Iformacs, Vol. XIII, Orlado, USA, 00, pp [4] Kalma, R. E. Mahemacal descrpo of lear dyamcal sysems, Joural of he Socey for Idusral ad Appled Mahemacs, Seres A orol, 96, vol., o., pp [5] MacFarlae, A. G. J. Dyamcal sysem models. George G. Harrap & o. Ld., Lodo, Toroo, Grea Bra, 970, pp [6] Bosa, A., Lecerf, G., Schos, E. Tellege s Prcple Io Pracce. I: Proceedgs of he 00 eraoal symposum o Symbolc ad algebrac compuao, ISSA 0, 00, Augus - 6, Phladelpha, USA, pp [7] Mayer, D. The sae varable mehod of elecrcal ework aalyss, ATA TEHNIA SAV, 970, vol. 5, o. 6, pp [8] Ramachadra, R. P., Ramachadra, V. Tellege s Theorem Appled o Mechacal, Flud ad Thermal Sysems. I: Proceedgs of he 00 Amerca Socey for Egeerg Educao Aual oferece & Eposo, 00. [9] Hrusak, J., Mayer, D., Sork, M. O Sysem Srucure Recosruco Problem Ad Tellege-Lke Relao. I: Proc. of 8 h World Mulcof.,SI, 004, Vol. VIII, Florda, USA, pp [0] Hrusak, J., Mayer, D., Sork, M. New approach o olear sably ad chaos based o geeralzed Tellege's prcple. I: WMSI 006. Orlado, Florda, Ieraoal Isue of Iformacs ad Sysemc, pp , ISBN: [] Hrusak, J., Sork, M., Mayer, D. Geeralzed Tellege`s Prcple ad sae space eergy based causal sysems descrpo. I: Advaces Eergy Research: Dsrbued Geeraos Sysems Iegrag Reewable Eergy Resources, Par I, Basc heory ad advaced approaches, haper 4h, NOVA Scece Publ., USA, 0, pp