Základy teorie chyb a zpracování fyzikálních měření Jiří Novák

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Základy teorie chyb a zpracování fyzikálních měření Jiří Novák"

Transkript

1 Zálad eore chb a zpracováí zálích měřeí Jří ová Teo e je zamýšle jao pomůca pro vpracováí laboraorích úloh z z Je urče pouze pro sudjí účel a jeho účelem je objas meod zpracováí měřeí

2 Chb měřeí Druh chb Jeslže provádíme měřeí éže zálí velč za sejých podmíe ěolrá za sebou obdržíme zpravdla odlšé hodo Měřeé velčě vša áleží pouze jeda správá hodoa Každou odchlu aměřeé hodo X od správé hodo X azýváme obecě chbou měřeí j deujeme ed chbu měřeí X jao X X X Chb mohou bý ja ladé a záporé Udáváme-l chbu rozdílem správé velč a aměřeé velč poom mluvíme o chbě absoluí Absoluí chba je velča erá má rozměr měřeé velč j má sejé jedo Jeslže vjádříme chbu relavě vůč měřeé hodoě poom jde o relaví chbu měřeé velč Relaví chbou δ měřeé velč se rozumí poměr absoluí chb X a správé hodo X éo velč Pro dec relaví chb plaí ed X X X δ X X X Relaví chba je bezrozměrá velča a časo se uvádí v proceech Může sejě jao absoluí chba abýva ladých ebo záporých hodo Pomocí relavích chb můžeme porova přesos měřeí zálích velč s růzým rozměrem Te do provádí daé měřeí b se měl především saž provádě a zpracováva oo měřeí s co ejmeším chbam Ovšem elze d dosáhou výpočem všší přesos ežl zaručuje daá meoda měřeí Hlaví příč dí erým chbám dochází jsou edooalos a epřesos měřících přísrojů použá meoda měřeí edooalos a espolehlvos ldsých smslů poud a ch měřeí závsí a přehlížeí oolích vlvů působících a měřeí Chb měřeí lze v zásadě děl a ssemacé a áhodé Ssemacé chb - zreslují výslede měřeí zcela určým způsobem a s jsou pravdelosí což se projevuje zejméa ím že vedou hodoám eré jsou buď rvale všší ebo rvale žší ež je hodoa správá Jejch příčou časo bývá použá meoda měřeí použé měřící přísroje a e do měřeí provádí zv chb osobí Chb jejchž příčou je použá meoda vzají edooalosí epřesosí eúplosí ebo evhodosí použého způsobu měřeí Časo se sává že použá meoda odpovídá určé dec měřeé velč erou vša př měřeí elze plě respeova apřílad vážeím a vzduchu vzá ssemacá chba v důsledu euvažováí růzého vzlau láe růzé huso ebo elze apř použí př měřeí če dél m mromercého šroubu ačolv sám o sobě je velm přesý měřící ásroj a pro oo měřeí se absoluě ehodí o je sejé jao sříle a vrabce aóem To chb lze odsra buď použím jé meod ebo vloučeím chb výpočem Chb jejchž příčou jsou použé přísroje vzají edooalosí a epřesosí provedeí měřících přísrojů Tpcým případem je edooalos a epřesos supc měřících přísrojů a pomůce epřesos sad závaží aj Chb ohoo pu lze u aždého přísroje čásečě odsra zavedeím příslušých orečích čelů eré upravují měřeé hodo

3 Osobí chb jsou ssemacé chb způsobeé ím do měřeí provádí pozorovael To chb se projevují zejméa př měřeí časových oamžů a déle a jsou slě závslé a použém pozorovael To chb se dají vlouč ím že vloučíme subjeví pozorováí objevím meodam j epoužjeme pozorovaele ebo j éž můžeme vlouč použím věšího poču pozorovaelů Dále př měřeí můžeme araz a zvhrubé chb jež jsou způsobe úavou č epozorosí př měřeí Velé hrubé chb se věšou lehce pozají proože výrazě vbočují z charaeru měřeých hodo sejé velč Hrubé chb zásadě z měřeí vlučujeme jelož b ovlvl výsled měřeí epřípusým způsobem áhodé chb jsou jého pu ežl chb ssemacévloučíme-l ssemacé chb z měřícího procesu a opaujeme-l měřeí ějaé velč za sejých podmíe zjsíme že výsledé hodo jedolvých opaovaých měřeí éže velč se avzájem poěud lší j edosaeme vžd sejou hodou Příču ěcho chb edovedeme urč mohou bý způsobe apř malým časovým změam oolích podmíe v průběhu měřeí j eplo lau vlhos eleromagecých velč ad Těcho avzájem ezávslých vlvů může spolupůsob v ěerých případech opravdu moho přčemž jejch jedolvý vlv je ěžo posželý Proo původ áhodých chb lze vdě suečě v áhodě a rozdíl od chb ssemacých jež se vzačují určou pravdelosí se áhodé chb chovají aproso epravdelě áhodě Chb zavěé jedolvým ezávsle působícím vlv se azývají elemeárím chbam Výsledou áhodou chbu měřeí je pa možo vjádř jao souče elemeárích chb a můžeme ed psá de ozačuje elemeárí chb Dále předpoládáme že áhodé chb se vsují ja záporé a ladé a že pravděpodobos výsu ladých záporých chb je sejá Výslede měřeí předsavuje v důsledu působeí áhodých chb áhodou velču a udíž všeřováí áhodých chb měřeí je ué použí sascých záoosí Lze pozamea že sascé záoos se přesě uplaňují v případech d máme velý poče měřeí V případě mešího poču měřeých hodo je uo ahrad ěeré charaers áhodých velč zv výběrovým charaersam a záladě poču pravděpodobos lze pro aždou áhodou velču jpro aždou měřeou velču zjs její zv ejpravděpodobější hodou Spojá uce p jež udává rozděleí pravděpodobos výsu áhodé velč v celém ervalu přípusých hodo se azývá husoa pravděpodobos Pravděpodobos že áhodá velča bude leže v ervalu αβ je β α P α β p Z eore pravděpodobos je zámo že husoa pravděpodobos áhodé velč jež je vjádřea jao souče moha avzájem ezávslých ale ja lbovolých velč je dáa ásledující ucí µ p e π

4 jež se azývá ormálí záo rozděleí áhodé velč Velča µ se azývá sředí hodoa je směrodaá odchla a je rozpl áhodé velč a ásledujícím obrázu je zázorěo ěol ormálích rozděleí s růzým rozpl a sejou sředí hodoou µ 4 03 µ 0 Čeos výsu Měřeá hodoa Obr Ja je vdě z obrázu rozpl vjadřuje míru rozpýleos jedolvých měřeí a sředí hodoa ejpravděpodobější hodou daého měřeí Uvažujeme-l ed áhodou chbu ějaé měřeé zálí velč za áhodou velču poom můžeme za plaos předchozích předpoladů psá pro husou rozděleí áhodých chb p e π což je zv Gaussův ormálí záo chb Ple z ěho o že čeos chb lesá s rosoucí velosí chb Tudíž velé chb jsou méě čeé ež malé chb což odpovídá suečos Ja lze pozorova z obr sředí hodoa áhodých chb je rova ule jelož se vsují ladé záporé chb sejé velos se sejou čeosí Proo je ué jao měřío chb vzí ějaou jou velču a o směrodaou odchlu daého rozděleí erá se éž azývá sředí vadracá chba a plaí pro

5 4 03 Čeos výsu Chb měřeí Obr Chb měřeí se věšou uvádějí jao zv pravděpodobé chb eré obsahují ormac o om jaé proceo chb se achází ve spolehlvosím ervalu - Chceme-l ed ají aovou hodou chb d do uvedeého ervalu zahreme ξ % všech chb poom musíme řeš ásledující rovc e d ξ /00 π Pravděpodobou chbu ξ erá porývá erval spolehlvos chb s pravděpodobosí výsu ξ % lze zapsa ásledově ξ ν ξ de ν ξ je příslušý oece vjadřující daý spolehlvosí erval Ja lze pozorova z obr3 je př požadavu ξ 95 % oece a udíž do ervalu ξ ξ pade přblžě 95% všech chb Chba rová rojásobé sředí chbě se azývá rají chbou a pravděpodobos že ebude př měřeí přeročea se rová přblžě 9973 % Je éž možé chbu vjádř jao zv průměrou chbu λ erá je deováa ásledově λ

6 09 08 Č eos výsu ξ 687% ν ξ 95% ν Velos chb Obr3 a ásledujícím obrázu je vdě hsogram čeosí výsu jedolvých měřících chb př suečém měřeí přčemž je graem proložea odpovídající řva ormálí rozděleí apromace ormálím rozděleím hsogram chb měřeí 400 Čeos výsu Chb měřeí Obr4

7 V ásledující abulce jsou uvede ěeré ejpoužívaější erval spolehlvos a jm odpovídající oece ν ξ Tab ξ [%] ν ξ ejpravděpodobější hodoa měřeé velč a její přesos Ja jž blo řečeo výslede zálího měřeí lze poláda za áhodou velču erá se řídí ormálím rozděleím a výsled plaí pro velý poče měřeí Těcho vlasosí áhodých chb můžeme vuží př hledáí ejpravděpodobější hodo měřeé velč a př hodoceí přesos prováděého měřeí Ozačíme-l výslede -ého měřeí jao chbu -ého měřeí jao správou hodou měřeé velč a předpoládáme poom dosaeme 0 Upravíme-l předchozí vzah poom můžeme vpočía správou hodou výsledu měřeí jao V mezím případě eoečého poču měřeí lze za předchozích předpoladů správou hodou výsledu měřeí vpočía jao armecý průměr aměřeých hodo Př reálém měřeí vša eí d eoečý a ěd a dosaečě velý Abchom v omo důležém případu alezl ejpravděpodobější hodou výsledu musíme posupova ásledově Je ué zjs jaé rozložeí chb bude ejpravděpodobější př oečém poču měřeí Pravděpodobos že chba áhodě vbraého měřeí leží v ervalu d + d je v důsledu plaos ormálího záoa rozděleí áhodých chb dp e d π Obdobě můžeme vjádř pravděpodobos rozložeí áhodých chb olem jých hodo chb Pravděpodobos že ěol ezávslých jevů asae současě je rova souču jejch pravděpodobosí j pro rozložeí chb olem hodo! bude

8 +! + dp dp e dd π! d přčemž předpoládáme že jedolvá měřeí jsou prováděa sejě přesě j 0 ejpravděpodobější bude aové rozložeí chb eré má ejvěší pravděpodobos j pro eré je předchozí výraz mamálí To vša asae pro ejmeší hodou výrazu + +! + m + +! + m Mmalzací uvedeého výrazu zísáme jao ejpravděpodobější hodou výsledu měřeí armecý průměr aměřeých hodo Suečou absoluě přesou hodou měřeé velč d ezjsíme ale ze všech vzahů mez správou hodoou a aměřeým hodoam je ejpravděpodobější vžd armecý průměr Že armecý průměr edává přesě správou hodou aměřeé velč je možé odvod z ásledujícího vzahu ze erého je vdě že armecý průměr se lší od správé hodo měřeé velč o čle / Další důležým problémem je zjšěí s jaou přesosí blo měřeí provedeo Musíme ed urč hodou sředí vadracé chb počíaé z ejpravděpodobější hodo a olv ze správé hodo ozačíme-l odchlu -ého měřeí od armecého průměru poom se zřeelem a předchozí vzah plaí Umocěím předcházejícího vzahu a sečeím pro všech aměřeé velč zísáme + Druhý čle v uvedeém výrazu obsahuje součů ladých záporých jejchž poče je přblžě sejý Proo je možé eo druhý čle zaedba přčemž se dopoušíme zaedbaelé chb Zísám a výraz

9 ze erého pro sředí chbu jedoho měřeí lehce zísáme * Tao velča se aé obzvlášě ve sasce ozačuje smbolem s a azývá se výběrová směrodaá odchla Zaím jsme vžd uvažoval že přesos všech měřeí bla sejá Poud vša budeme měř přímých a ezávslých měřeí éže velč erá jsou zjšěa s růzou přesosí musíme použí modovaé vzah pro ejpravděpodobější hodou a sředí chbu jedoho měřeí Př odvozováí ěcho vzahů posupujeme aproso sejým způsobem jao u sejě přesých dílčích měřeí Jedá změa je v om že uvažujeme! j růzou přesos měřeí ejpravděpodobější hodoou ao prováděého měřeí je poom zvvážeý armecý průměr w w de w Sředí vadracou chbou provedeého měřeí př růzé přesos dílčích měřeí je poom ásledující výraz * w w 3 Chb přímých měřeí Velm časo měříme ějaou zálí velču X přímo j apřílad vážeí měřeí dél aj Tao měřeí opaujeme -rá za mslelě sejých podmíe abchom mohl zísa ejpravděpodobější hodou éo velč a její sředí chbu Z aměřeých hodo určíme ejpravděpodobější hodou jao armecý průměr j a dále spočíáme sředí vadracou chbu daého měřeí jao

10 pomocí eré můžeme jedoduše urč zvoleou pravděpodobou chbu erá zajšťuje určý erval spolehlvos daého výsledu Pravděpodobá chba bude poé ξ ν ξ ± ξ Výslede celého měřeí poé zapsujeme ve varu: 4 Chb epřímých měřeí Řada zálích velč se zísává výpočem podle ějaého zálího záoa erý vjadřuje souvslos mez daou velčou a ěola jým velčam a chž je závslá a eré jsou zísává měřeím apřílad husou pevých láe můžeme urč z aměřeé hmoos a objemu ělesa Hledaou velču ed přímo eměříme ale pouze j počíáme podle ějaého vzorce zálího záoa z jých měřeých ebo vpočeých velč u erých záme jejch pravděpodobou ebo sředí chbu echť ed je ějaá velča jež je ucí dalších velč a echť dále je ao uce spojě derecovaelá a svém dečím oboru Lze ed pro uo závslos psá! ejpravděpodobější hodou daé velč zísáme dosazeím ejpravděpodobějších hodo velč j! Absoluí chb velč ozačíme a ásledě můžeme vjádř derecál uvedeé uce j její derecálí změu v důsledu velm malých změ v jejích proměých jao d d í Jsou-l chb j erých jsme se dopusl př j-ém měřeí velč dosaečě malé poom můžeme pro příslušé chb j výsledé velč př j-ém měřeí psá sejé vzah jao pro derecálí přírůse uvedeé uce j j í j j! Umocěím předchozího vzahu zísáme jj í j+ j j +

11 Abchom alezl vzah mez sředím chbam velč a sředí chbou výsledé velč zavedeme předpolad že pro sředí chb bl urče a záladě velého poču měřeí a sečeme předchozí rovce pro všecha provedeá měřeí j! Poom plaí + + j j j j j í j j j a po dosazeí sředích vadracých chb dosaeme + + j j j j í Vzhledem omu že jsme předpoládal ezávslos sředích chb jedolvých velč a velý poče provedeých měřeí plaí j j j 0 cov a ed í což je hledaý záo přeášeí sředích chb Teo obecý vzorec určuje sředí chbu uce lbovolého poču měřeých velč jejchž sředí chb jsou Poěvadž v ejepřízvějším případě se mohou vešeré chb sčía zísáme mamálí možou chbu výsledu z derecálu zoumaé uce ím že j zvolíme jao mamálí možou velos ohoo derecálu j MAX Z předchozích vzorců je vdě že rol chb mohou hrá ja chb sředí a pravděpodobé ebo chb měřeých velč odhadué před měřeím Velm časo lze posuzováí přesos prováděého měřeí použí popsu pomocí relavích chb měřeých velč Pro relaví mamálí chbu a pro sředí relaví chbu poé zísáme jedoduše z předchozích vzorců MAX! í!

12 í uvedeme ěol jedoduchých výsledů eré plou ze záoa o přeášeí chb měřeí ejprve s uážeme ejdůležější z ploucích důsledů přeosu chb a o sce sředí chbu armecého průměru echť velča bla -rá změřea čímž blo zísáo a hodo Jao výslede bl vza armecý průměr jedolvých měřeí jež poládáme za sejě přesé a přsuzujeme jm sejou hodou sředí chb vpočeou podle vzahu pro sředí chbu jedoho měřeí Armecý průměr můžeme ed v omo případě považova za uc velč měřeých se sejou chbou a plaí! pro! Podle záoa o přeášeí sředích chb poé dosaeme pro výsledou sředí chbu í Z předchozího vzahu ple velm důležý závěr že sředí chba armecého průměru sejě přesých měřeí je meší ežl sředí chba jedoho měřeí Toéž ovšem plaí éž pro chb pravděpodobé jež jsou úměré chbám sředím Tudíž aměříme-l více hodo zísáme všší přesos výsledu což je ázorě vdě z ásledujícího obrázu Velos chb Poče provedeých měřeí Obr5

13 Z obrázu vplývá že př provedeí 0 měřeí sížíme chbu měřeí opro měřeí přblžě řrá Př prováděí dalších měřeí eí jž eo poles zdalea a výzamý Je vhodé př přímém měřeí ějaé velč ed uo velču změř alespoň deserá í provedeme ěol jedoduchých příladů záoa přeosu pravděpodobých chb měřeí Máme-l urč chbu uce jedé měřeé velč máme d d a udíž d d ] [ a ásobeí osaou c: ] [ c c b mocá uce: a udíž ] [ což lze psá aé ve varu pro relaví chbu r jao r ] [ c logarmcá uce: l a udíž ] [l r Máme-l uc dvou proměých : a souče dvou velč: ± a udíž ] [ + ± b souč a podíl dvou mocých ucí měřeých velč: s s s s ] [ s r r s + Jao specálí případ předchozího vzahu ple vzorec pro pravděpodobou chbu souču ebo podílu dvou velč ] / [ ] [ r r + Je ué s povšmou oho že velos chb výsledu ovlvňuje věší z uvažovaých chb jedolvých velč eré vsupují do výpoču j ím že máme jedu velču změřeu velm přesě a jou daleo méě přesě ja eovlvíme výsledou přesos erá bude vžd závse a ejepřesěj aměřeé velčě Je proo vhodé měř velč přblžě se sejou přesosí

14 5 Shruí ejdůležějších výsledů eore chb ejpravděpodobější hodoou výsledu měřeí je armecý průměr aměřeých hodo Sředí chba jedoho měřeí je * ejpravděpodobější hodoou prováděého měřeí s růzým dílčím váham přesosm jedolvých měřeí je vážeý armecý průměr w w de w Sředí vadracou chbou provedeého měřeí př růzé přesos dílčích měřeí je w w * Sředí chba armecého průměru je Pravděpodobá chba je poé ν ξ ξ přčemž oece ξ ν odpovídá požadovaému ervalu spolehlvos měřeí Záo přeášeí chb í Teo obecý vzorec určuje sředí chbu uce lbovolého poču měřeých velč jejchž chb sředí pravděpodobé ebo určeé odhadem jsou

15 Mamálí možá chba výsledu MAX Relaví mamálí chba měřeí je MAX! Sředí relaví chba měřeí je í!

16 Zpracováí měřeí Každé měřeí ějaé zálí velč b mělo bý zpracováo co ejpřehleděj ejázorěj s cílem dosáhou co ejvěší přesos j dosáhou co ejmeších chb měřeí O om jaým způsobem zpracováva měřeí a zjšťova chb měřeí blo dosaečě apsáo v apole o chbách Zde je pouze uvede způsob jaým se zapsují vešeré výsled měřeí Jeslže měříme ějaou velču X s určou absoluí chbou X ebo uo velču vpočeme z aměřeých hodo poom výslede uvádíme ve varu X ± X [jedoa] de X je ejpravděpodobější hodoa měřeé velč a X je absoluí chba éo velč Samozřejmě je ué uvéz jedo měřeé velč Výsledé hodo chb se zaorouhlují a resp plaé číslce plaá číslce je a erá je v daém čísle prví eulová zleva Výsledá hodoa měřeé velč se poé zaorouhlí a sejý poče deseých mís jao má výsledá zaorouhleá chba Teo prcp zaorouhlováí se provádí z důvodu oho že více cer ve výsledu epořebujeme Předsavme s že měříme ějaou zálí velču apř modul pružos E jaés če spočíáme ejpravděpodobější hodou a dále spočeme výsledou chbu měřeé velč E Předpoládejme že jsme počíal a alulačce ebo počíač a e a ás vchrll ásledující: E e Pa E e0 Pa Poom provedeme ásledující zaorouhlíme chbu a plaé cr a a sejý poče deseých mís výslede j dosaeme E 4 ± 6 GPa Koho b sad láalo apsa výslede ve apř varu E ± e0 Pa z důvodu oho že dosáhe všší přesos měřeí dž uvede všech cr eré se mu objevl a alulačce ebo a počíač oho bohužel musím zlama jelož žádé přesos eprospěl ale aopa výslede udělal velm epřehledým Problém je v om že chba měřeí je jž v řádu e0 Pa a udíž emá vůbec žádý smsl uvádě žší řád Přdáme-l ož apřílad jedu další hodou modulu pružos erá se eparě lší od osaích apř v řádu Pa poom zísáme v řádu e0 Pa sejou hodou ale v řádu Pa a žších obdržíme úplě já čísla ež jsme měl v původím výsledu Sejě a u výsledé hodo modulu pružos uvádíme pouze hodou do řádu ve erém se vsuje chba Uváděí dalších deseých mís ve výsledu je aproso zbečé a čeho se ím edosáhe

17 3 Meoda posupých měřeí Podsaa éo měřící meod záleží a počeím zpracováváí prováděého měřeí Je vhodě použelá pro měřeí ějaé zálí velč eré se ěolrá opauje a o aovým způsobem že jedolvé měřící ro a sebe avazují j další měřeí začíáme pro sejé hodo erým sočlo předchozí měřeí Téo meod se dá s výhodou použí apř př opaovaém měřeí dob perodcých dějů dob vu oáče ad př měřeí ploch plamerem apod Způsob měřeí s můžeme osvěl a ázorém příladě měřeí dob vu vadla Počáečí čas saovíme a a měříme dobu apř vžd po 0 vech vadla erval po erém měříme dobu vu b měl bý vžd daleo věší ežl chba měřeí času δ ja bchom mohl dosa aproso zehodoceé výsled Provedeme-l oo měřeí posupě -rá poom rozdíl mez jedolvým po sobě jdoucím hodoam měřeého času 0 dávají celem hodo Kdbchom jao ejpravděpodobější hodou ohoo času vzal armecý průměr měřeých rozdílů dosal bchom 0 [ 0 + +! + ] Výslede je ed rove -ě rozdílu posledího a prvího časového oamžu a a všech osaích měřeích je zcela ezávslý Pro dosažeí sejého výsledu b ám ed sačlo pouze urč počáečí časový oamž a poé změř 0 vů vadla Jeslže ed budeme posupova př měřeí podle předchozího vzahu poom všech mezhodo budou aproso zbečé Opro právě popsaému posupu měřeí d evužjeme věšu aměřeých hodo meoda posupých měřeí aopa o hodo použje pro zísáí výsledu V meodě posupých měřeí je ué ab celový poče rozdílů posupě měřeých hodo bl sudý j b mělo bý lché poud počáečí měřeí má de 0 Tao měřeí pa rozdělíme a dvě polov sejého poču a uvoříme rozdíl vžd odpovídajících měřeí v obou supách Obsahuje-l aždá supa + měřeých hodo poom aždý z ásledujících rozdílů! 0 + -ásobou hodou měřeých 0 vů vadla V armecém průměru ao vvořeých rozdílů je rovoměrě vužo všech aměřeých hodo ale žádá z ch se eopauje Děleím průměru všech rozdílů jejch počem dosaeme hledaou sředí hodou měřeé velč jčasu dese vů jež je odvozea ze všech + hodo a plaí [ 0 ] + + +! + Rozpl měřeých hodo se vpoče z rozplu průměru děleím číslem j plaí

18 [ ] 0 +! V ásledující abulce je přehledě zázorěo schéma zpracováí výsledů měřeí meodou posupých měřeí Celem provedeo měřeí je lché Pořadí supa supa 0 + Rozdíl 0 Rozdíl Předchozí výsled pro sředí hodou a rozpl měřeé velč a můžeme psá přehleděj v ásledující ormě

19 4 Apromace aměřeých da pomocí meod ejmeších čverců ejprve bude podáa obecá eore leárí meod ejmeších čverců jež bude posupě zjedodušea a ěeré jedoduché a výzamé případ Jeslže měříme ějaou velču jež je ucí více proměých! zísáme dsréí aměřeé dvojce hodo Tao daa je časo pořebé apromova ějaou aalcou učí závslosí V obecém případě leárí meod ejmeších čverců lze uo závslos zapsa jao leárí ombac M lbovolě zvoleých ucí g j můžeme psá obecý model ásledově M am ag ˆ a! Fucí g se éž ěd azývají bázové uce a mohou bý ldě eleárí avša leara modelu vplývá ze závslos modelu v paramerech a Ke zjšěí paramerů a avržeého apromačího modelu pro daá daa a zjšťováí jeho val se používá ásledující uce azývaá éž chí vadrá χ ˆ a! a M de jsou aměřeé hodo zoumaé velč v bodě je poče měřeí a je směrodaá odchla respchba měřeí v -ém daovém bodě O éo odchlce se předpoládá že je předem záma a poud eí záma a může bý pro všecha daa položea Z eore meod ejmeších čverců je zámo že jao paramer jež ejvhoděj apromují zadaá daa musíme zvol paramer a eré mmalzují uvedeou uc χ Provedeme-l dervac uce χ podle jedolvých paramerů a poom dosaeme zvormálí rovce ve varu M 0 ajg j g! M j echť A je mace o rozměrech M erá je vvořea z aměřeých da ásledujícím způsobem Pro jedolvé prv mace plaí A j g j Podobě deujme veor b jež má délu a veor paramerů a ozačme jao a Pro prv veoru b plaí b ormálí rovce jež bl odvoze můžeme velm elegaě přepsa pomocí zavedeých mac a veorů do varu T T A A a A b

20 T Lze doáza že verzí mace mac sousav ormálích rovc C A A úzce souvsí s ejsoou odhadu paramerů modelu a Rozpl odhaduých paramerů daého modelu je poé a j C jj de C jj je prve mace C ormálí rovce se obvle řeší ěerou z umercých meod leárí algebr V ěerých případech se může sá že mace sousav ormálích rovc je špaě podmíěá poom pro řešeí musíme použí jé umercé meod Jao velm zjedodušeý leárí apromačí model zde bude uvedeo proložeí aměřeých da přímou Dále předpoládejme že pro všech bod měřeí plaí j u všech aměřeých hodo předpoládáme sejé rozděleí chb měřeí Měříme-l ed ějaou velču jež je ucí jedé proměé poom dosaeme možu aměřeých dvojc aměřeou závslos chceme apromova leárím modelem přímou ve varu ˆ ˆ a b a + b de a a b jsou ezámé paramer éo uce Teo problém se aé časo azývá leárí regrese Abchom mohl ají ejlepší odhad paramerů a a b musíme mmalzova ásledující uc χ vzhledem hledaým paramerům χ ˆ a b Jeslže ed provedeme dervace éo uce podle paramerů poom dosaeme ásledující dvě ormálí rovce χ 0 [ a + b ] a [ a + b ] a χ 0 b Poud s í ozačíme ěeré souč v ěcho rovcích jao S S S S poom lze ormálí rovce jedoduchým způsobem zapsa as a + bs + bs S S Z éo sousav jž velm sado spočíáme apř pomocí Cramerova pravdla ezámé paramer a a b Dosáváme D S S SS SS a D S SS b D

21 Uvedeá meoda leárí regrese je éž vhodá pro apromac da jým model ež pouze přímou Obecě lze vuží předcházející rovce apromac da ve varu ˆ ˆ α β α + β de je zámá uce ezávslé proměé Položíme-l v předcházejícím případu leárí regrese poom je úloha převedea a apromac regresí přímou ejčasějším případ apromujících závslosí jsou: ˆ α + β log > 0 r ˆ α + β ˆ α + β ep

22 Leraura: [] Horá ZKrupa F Šdelář V: Techcá za STL Praha 96 [] Horá Z: Pracá za STL Praha 958 [3] Brož J a ol: Zálad zálích měřeí I SP Praha 967 [4] Press WH Teuols SA Veerlg WTFlaer BP: umercal Recpes C The Ar o Scec Compug Cambrdge Uvers Press Cambrdge 99 [5] Reors K a ol: Přehled užé maema Promeheus Praha 995

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Téma 5: Analýza závislostí

Téma 5: Analýza závislostí Aalýza závlotí Téma 5: Aalýza závlotí Předáša 5 Závlot mez ev Záladí pom Předmětem této aptol ude zoumáí závlotí ouvlotí mez dvěma a více ev. Jedá e o proutí do vztahů mez ledovaým ev a tím přlížeí tzv.

Více

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE. Tomáš Hanzák

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE. Tomáš Hanzák Uiverzia Karlova v Praze Maemaico-fziálí faula DIPLOMOVÁ PRÁCE omáš Hazá Deompozičí meod pro časové řad s epravidelě pozorovaými hodoami Kaedra pravděpodoosi a maemaicé saisi Vedoucí diplomové práce :

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Úvod do analýzy časových řad

Úvod do analýzy časových řad Úvod do aalýz časových řad Doc.Ig. Jaa Hačlová, CSc. Kaedra maemaických meod v ekoomice Ig. Lubor Tvrdý Kaedra regioálí ekoomik Ekoomická fakula, VŠB-TU Osrava Osrava, 003 - - Úvod do aalýz časových řad

Více

Investiční činnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic

Investiční činnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic Ivesičí čios Exisují růzá pojeí ivesičí čiosi: Z pohledu ekoomické eorie Podikové pojeí ivesic Klasifikace ivesic v podiku 1) Hmoé (věcé, fyzické, kapiálové) ivesice 2) Nehmoé (emaeriálí) ivesice 3) Fiačí

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/../.98 IV- Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- SLOŽENÉ ÚROOVÁNÍ

Více

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011 Evropský socálí fod Praha & EU: Ivesujee do vaší budoucos Ekooka podku aedra ekooky, aažersví a huaích věd Fakula elekroechcká ČVUT v Praze Ig. učerková Blaka, 20 Úrokový poče, základy fačí aeaky (BI-EP)

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Úvod do analýzy časových řad

Úvod do analýzy časových řad Úvod do aalýzy časových řad Obsah Úvod... Teoreické základy pro aalýzu časových řad.... Základí pojmy..... Druhy časových řad..... Grafická aalýza.....3 Popisé charakerisiky... 4. Základí úpravy časových

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

3. POJIŠTĚNÍ OSOB (ŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ)

3. POJIŠTĚNÍ OSOB (ŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ) 3. POJIŠTĚÍ OSOB (ŽIVOTÍ POJIŠTĚÍ) 3.. EMOELOVÝ PŘÍSTUP 3... ekremeí řád vymíráí populace Úmrosí abulky a) Smr je áhodým jevem, kerý se pojišťuje pro účely ŽP sačí pracova s průměrými hodoami záko velkých

Více

Úhrada za ústřední vytápění bytů V

Úhrada za ústřední vytápění bytů V Úhrada za úsřdí vyápěí byů V Aoa osldí z sér čláků o poměrovém měří pojdává o vzahu poměrového a zv. absoluího měří pla, a poukazuj a další, zaím méě zámou možos využí poměrovýh dkáorů VIA, krou j korola

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Obyčejné diferenciální rovnice. Cauchyova úloha Dirichletova úloha

Obyčejné diferenciální rovnice. Cauchyova úloha Dirichletova úloha Občejé erecálí rovce Caucova úloa Drcletova úloa Občejé erecálí rovce - Caucova úloa Úlo: I. = s omíou = jea rovce. řáu II. soustava rovc. řáu III. = - jea rovce -téo řáu = = = - = - Hleáme uc res. uce

Více

Souhrn vzorců z finanční matematiky

Souhrn vzorců z finanční matematiky ouh zoců z fčí ey Jedoduché úočeí polhůí předlhůí loí yádřeí Výpoče úou Výpoče úou poocí úooé szby Výpoče úou poocí úooých čísel úooých dělelů Výpoče úou součoý zoce oečý pál př edoduché polhůí úočeí oečý

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x)

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x) 9 REGRESE A KORELACE Slovo regrese oecě zmeá poh zpět ústup ávrt regresví = ustupující Opčým termíem je progrese pokrok postup šířeí růst Pojem regrese l do sttstk zvede kocem 9 století rtským učecem Frcsem

Více

stavební obzor 1 2/2014 11

stavební obzor 1 2/2014 11 tavebí obzor /04 Exploratorí aalýza výběrového ouboru dat pevoti drátobetou v tlau Ig. Daiel PIESZKA Ig. Iva KOLOŠ, Ph.D. doc. Ig. Karel KUBEČKA, Ph.D. VŠB-TU Otrava Faulta tavebí Věrohodé vyhodoceí experimetálích

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

DLUHOPISY. Třídění z hlediska doby splatnosti

DLUHOPISY. Třídění z hlediska doby splatnosti DLUHOISY - dlouhodobý obchodovatelý ceý papír - má staoveou dobu splatost - vyadřue závaze emteta oblgace (dlužía) vůč matel oblgace (věřtel) Tříděí z hledsa doby splatost - rátodobé : splatost do 1 rou

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

1 STATISTICKÁ ŠETŘENÍ

1 STATISTICKÁ ŠETŘENÍ STATISTICKÁ ŠETŘENÍ Záladem aždého tattcého zoumáí jou údaje (data). Lze je zíat v záadě dvěma způoby. Buď je převzít z ějaého zdroje ebo je am zjtt. Seudárí data údaje, teré převezmeme z růzých zdrojů;

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Dvourozměrná tabulka rozdělení četností

Dvourozměrná tabulka rozdělení četností ANALÝZA ZÁVILOTÍ - zouáí závlot dvou evet více poěých, ěřeí íl této závlot, atd - cíle je hlubší vutí do podtat ledovaých jevů a poceů, přblížeí tzv příčý ouvlote Dvouozěá tabula ozděleí četotí - je eleetáí

Více

Jednoduchá lineární závislost

Jednoduchá lineární závislost Jedoduchá leárí závlot Regreí fuce: ),...,, ( 0 m f Předpolad: Fuce je leárí v parametrech: ) (... ) 0 ( 0 f f m m f 0 ()... f m () regreor 0... m regreí parametr určujeme METODOU NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ Regreí

Více

ů Č Č Ú ě ě ě Ž ě ě š Č ě Č Č ě ě ť ě ú ě Ž ú ú ě ě ž ú ě ě ě ž ó ú ě š ě ě Ž ě ě ú ú ě ě ú ě ú ě ž ú ě ů ň ú ě ě ú ú š ú ě ě ě ě ú ě Ž ů Č ě Ž Ž ě ž ú ů ú ě ú ě ů ú ú ů ú ů ě ú ě ú ě ě ú ů ú Ž ú ě Ž Č

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY Kaedra obecné elekroechniky Fakula elekroechniky a inormaiky, VŠB - T Osrava. TOJFÁZOVÉ OBVODY.1 Úvod. Trojázová sousava. Spojení ází do hvězdy. Spojení ází do rojúhelníka.5 Výkon v rojázových souměrných

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Í ÁŠ ž ž ř ž ř ž ř ř ť ň š ř ě Š š ř ě ě ř ť ě š ě ř Ť ě ž ř ě ž ý ů ě ě Ť ů ý ě ó ě ř ý ěř ř ě ž ý ěř ě ř ř ě ť ž ěř ř ř ě ž ý ěř ý ěř š ý ř ý ěř š ť ř ý š ě ř ť ř ž ě ř ř ž ě š ř Í ě ř ř ó ř ý ý ž ř

Více

Úvod do analýzy časových řad

Úvod do analýzy časových řad VŠB TU OSTRAVA, FEI, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY Úvod do lýz čsových řd [Zdeje podiul dokueu.] Mri Lischová Popis čsových řd Čsová řd je uerická proěá, jejíž hodo podsě závisí čse, v ěž bl získá (posloupos

Více

DIMENZOVÁNÍ KOMPOZITNÍCH PROFILŮ PREFEN

DIMENZOVÁNÍ KOMPOZITNÍCH PROFILŮ PREFEN DIMNZOVÁNÍ KOMPOZITNÍCH PROFILŮ PRFN 1 Kulkova 10/4231, 615 00 Bro el.: 541 583 208, 297, fa.: 549 254 556 e-mail: kompozi@prefa.cz hp://www.prefa-kompozi.cz DIMNZOVÁNÍ PROFILŮ Maeriálová srukura, základí

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na. Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8 ELEKTRCKÉ STROJE TOČVÉ říklad 8 Základí veličiy Určeo pro poluchače akalářkých tudijích programů FS Aychroí motory g Vítězlav Stýkala, hd, úor 006 Řešeé příklady 3 fázový aychroí motor kotvou akrátko

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

3.3 Soustavy sil a silových momentů. soustava sil a momentů = seskupení sil a momentů sil působících na těleso

3.3 Soustavy sil a silových momentů. soustava sil a momentů = seskupení sil a momentů sil působících na těleso 3.3 Soustav s a sových oetů soustava s a oetů sesupeí s a oetů s působících a těeso váští případ: svae s (paps všech s soustav se potíají v jedo bodě) soustava ovoběžých s (paps všech s soustav jsou aváje

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

Č É Ú č Ť É á Ú é ť á ť á ž á á á ť Ů ď Ř ó š é č Ů Ě ť Ě ť ý ď ď Ě á á ť É é á á Ě á á ů ť ý ť é á ťó ď á á ů Ť ó á š É É áó á ď ú á ů Š ť Ý Ž Ž Ý É ů É ú ď ů ď á ó á á Ž áó á Ň ť ďť ó Ť á ý áá é ú á

Více

ANALÝZA ZPOŽDĚNÍ PŘI MODELOVÁNÍ VZTAHŮ MEZI ČASOVÝMI ŘADAMI

ANALÝZA ZPOŽDĚNÍ PŘI MODELOVÁNÍ VZTAHŮ MEZI ČASOVÝMI ŘADAMI Polcká ekonome 49:, sr. 58-73, VŠE Praha,. ISSN 3-333 Rukops ANALÝZA ZPOŽDĚNÍ PŘI MODELOVÁNÍ VZAHŮ MEZI ČASOVÝMI ŘADAMI Josef ARL, Šěpán RADKOVSKÝ, Vsoká škola ekonomcká, Praha, Česká národní banka, Praha.

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

1.5.3 Výkon, účinnost

1.5.3 Výkon, účinnost 1.5. Výkon, účinnos ředpoklady: 151 ř. 1: ři výběru zahradního čerpadla mohl er vybíra ze ří čerpadel. rvní čerpadlo vyčerpá za 1 sekundu,5 l vody, druhé čerpadlo vyčerpá za minuu lirů vody a řeí vyčerpá

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY

FINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY Projek ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí regisrační číslo projeku: CZ.1.07/1.5.00/4.0948 IV- Inovace a zkvalinění výuky směřující k rozvoji maemaické gramonosi žáků sředních škol FINANČNÍ MATEMATIKA-

Více

Evakuace osob v objektech zdravotnických zařízení

Evakuace osob v objektech zdravotnických zařízení Evakuace osob v objekech zdravoických zařízeí Ig. Libor Folwarczy, Ph.D., Ig. Jiří Pokorý, Ph.D. Hasičský záchraý sbor Moravskoslezského kraje, Výškovická 40, 700 0 Osrava-Zábřeh E-mail: libor.folwarczy@hzsmsk.cz,

Více

Měření na D/A a A/D převodnících

Měření na D/A a A/D převodnících Měřeí a D/A a A/D převodících. Zadáí A. Na D/A převodíku ealizovaém pomocí MDAC 8: a) Změřte závislost výstupího apětí převodíku v ozsahu až V a zvoleé vstupí kombiaci sousedích kódových slov. Měřeí poveďte

Více

MIČKAL, Karel. Technická mechanika II: pro střední odborná učiliště. Vyd. 3., nezm. Praha: Informatorium, 1998c1990, 118 s. ISBN 80-860-7323-8.

MIČKAL, Karel. Technická mechanika II: pro střední odborná učiliště. Vyd. 3., nezm. Praha: Informatorium, 1998c1990, 118 s. ISBN 80-860-7323-8. Idenifiáor maeriálu: ICT 1 9 Regisrační číslo rojeu Název rojeu Název říjemce odory název maeriálu (DUM) Anoace Auor Jazy Očeávaný výsu Klíčová slova Druh učebního maeriálu Druh ineraiviy Cílová suina

Více

š ě ě ú ď ě š Ů ú Ř ú Á Ě ÉÚ ú Č ú ě ů ů ě ě ě ů ě ů š ů ů ě ú ě ž ú ě Ý ú ě ú ú ž Á ú Ý Í Í Ú ž ú š š š ú ě ž ú Ě Á Ě Ů Ě Á Á ů Á Á Ý Ř ČÍ Ů Á Ů ú ě ú Éú Á ú ú Ů ě Ů Ů ž ň ě ě Ň Í Í Ú Ý Á ě ú ěž ě ň ů

Více

Í ž ě ě Á Á É Š ó Á ĚŘ Í Ý Í Á ě Č ú ě Ž Í ě Í ě š ú ě ě ú ě ě Ž ů Č ž ě ě Ž Ž ě Ž Ž ě Í ú ě š Š Ú ě ě Ž ě ě ě š ě Č š š ú Á ĚŘ Í Á Ý ě ě ú ů ě Í ě Č Ť š ú ě ě ě Í ě ů Č ž ě Ž Ú ě ě š ů ě ů ě ě ú ů ě Žš

Více

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá

Více

Statistická analýza dat

Statistická analýza dat INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Statstcká aalýza dat Učebí texty k semář Autor: Prof. RNDr. Mla Melou, DrSc. Datum: 5.. 011 Cetrum pro rozvoj výzkumu pokročlých řídcích a sezorckých techologí CZ.1.07/.3.00/09.0031

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

ů ř ň ř ř ě ř ě ů ě š šť ě é é ž ř é ž ř é ž ů ů ě šť ě ú ž šť ž šť ů ů é ů ů ů é ž é ů ú ř ě ů é é é é ů ř é ě Ť ě ů šť ě é šť š ě ů ě š ů š ř ů Šť ě é é ř š é é ř ě ů ů é ř ě š ř ě ů ů šť ů é ř ě š ř

Více

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika Nepředvídaé událost v rác kvatfkace rzka Jří Marek, ČVUT, Stavebí fakulta {r.arek}@rsk-aageet.cz Abstrakt Z hledska úspěchu vestce ohou být krtcké právě ty zdroe ebezpečí, které esou detfkováy. Vzhlede

Více

EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu

EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu Makroekonomické modely se zabývají modelováním a analýzou vzahů mezi agregáními ekonomickými veličinami jako je důchod, spořeba, invesice, vládní výdaje,

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

3.3.3 Rovinná soustava sil a momentů sil

3.3.3 Rovinná soustava sil a momentů sil 3.3.3 Rová soustava s a oetů s Předpoady Všechy síy soustavy eží v edé rově. Všechy oety sou oé a tuto rovu. *) Souřadý systé voíe ta, že rova - e totožá s rovou s. y O *) Po.: Sový oet ůžee ahradt dvocí

Více

Téma 3: Popisná statistika

Téma 3: Popisná statistika Popá tatta Téma : Popá tatta Předáša 7 Záladí tattcé pojmy Pojem a úoly tatty Statta je věda, teá e zabývá zíáváím, zpacováím a aalýzou dat po potřeby ozhodováí. Zoumá tav a vývoj homadých jevů a vztahů

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

ě č ř Š Č ř ě č ň ť Č Š ě ě óž ř ě ž č úč é ř é ě ě ě ž ř ý ř ú ř ě é ů ěř úď úč ě Š ě č é ú é é ř ň é ů č ů ě ě ů č ý Ť úč č ú ě ý ů ě úč é é é Ž ř é ú ý ů ě úč ě úč ú ů úč ů úč é ž ř úč é ěřó ú é úč

Více

Ý Ř É Á ý ď Ř Á É Á Á ě Ř É Á ě ě ó ý ř ě Ů ě ř ý ě ě š ř ů Á É Ř ý ř ý ů ž ž ý ěř ř ě ž ý š ě ř ě ř ý ý ě ě ď ř ó ů ď Ú ú ř ě ě ě ř ě ě ř ý ž ě ě ř ě ý ě ě Ř Ě Ř É ř ě ř ě ď Ž ř ď ý ď ř ý ě ř š ě ě š

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Obecná chemie. Jan Sedláček, Miroslav Štěpánek, Petr Šmejkal

Obecná chemie. Jan Sedláček, Miroslav Štěpánek, Petr Šmejkal Oecá chee J Sedláče rolv Šěpáe Per Šel Sechoercé výpoč Aoové ádro 3 Eleroový ol ou 4 Checá v 5 Opcé vlo láe 6 Speroope 7 Supeé v láe 8. vě erod: erochee 9. vě erod: rér rovováh 0 Checé rovováh Fáové rovováh

Více

Č š ř ý š ř ř š ď ř šš é é ě š ý ě ě š ř ů ě ě ě š ř ů ř é ě ě ě ě ý ů ě ě š ř ů é ď š Š ě Š Š ě Č ř ě ř š ě Š ě š Š ě Š Š ě é ř ě ž ř ů é ě š ý ž ř ž ř ů ý š š ý Ť Ť ý ý š é ě š é ř ý Č éš š š ě ž ř ů

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

KIV/PD. Sdělovací prostředí

KIV/PD. Sdělovací prostředí KIV/PD Sdělovací prosředí Přenos da Marin Šime Orienační přehled obsahu předměu 2 principy přenosu da mezi 2 propojenými zařízeními předměem sudia je přímá cesa, ne omuniační síť ja se přenáší signály

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

Á Á Á š ě ČŇ ŘÁ Ě Á Č ÍŘÁ Ř Ě š ě ť Č Ú ú Č ě Ú ů ů š ě Ň ř ž ěř ů ř ě ř ň ř ž ů ř Ů ě ř š ě ě ú ř ž Č Č ť Ň ě ř š ěú ř ď Ž šú ě ř ř ř Á ě ř ř ť Č ř ř ď ě ě ž ř ě Č ó ě Ň ě ě ě š š ů ě ž ú ž Č šš úě ů

Více