Základy teorie chyb a zpracování fyzikálních měření Jiří Novák
|
|
- Antonín Slavík
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Zálad eore chb a zpracováí zálích měřeí Jří ová Teo e je zamýšle jao pomůca pro vpracováí laboraorích úloh z z Je urče pouze pro sudjí účel a jeho účelem je objas meod zpracováí měřeí
2 Chb měřeí Druh chb Jeslže provádíme měřeí éže zálí velč za sejých podmíe ěolrá za sebou obdržíme zpravdla odlšé hodo Měřeé velčě vša áleží pouze jeda správá hodoa Každou odchlu aměřeé hodo X od správé hodo X azýváme obecě chbou měřeí j deujeme ed chbu měřeí X jao X X X Chb mohou bý ja ladé a záporé Udáváme-l chbu rozdílem správé velč a aměřeé velč poom mluvíme o chbě absoluí Absoluí chba je velča erá má rozměr měřeé velč j má sejé jedo Jeslže vjádříme chbu relavě vůč měřeé hodoě poom jde o relaví chbu měřeé velč Relaví chbou δ měřeé velč se rozumí poměr absoluí chb X a správé hodo X éo velč Pro dec relaví chb plaí ed X X X δ X X X Relaví chba je bezrozměrá velča a časo se uvádí v proceech Může sejě jao absoluí chba abýva ladých ebo záporých hodo Pomocí relavích chb můžeme porova přesos měřeí zálích velč s růzým rozměrem Te do provádí daé měřeí b se měl především saž provádě a zpracováva oo měřeí s co ejmeším chbam Ovšem elze d dosáhou výpočem všší přesos ežl zaručuje daá meoda měřeí Hlaví příč dí erým chbám dochází jsou edooalos a epřesos měřících přísrojů použá meoda měřeí edooalos a espolehlvos ldsých smslů poud a ch měřeí závsí a přehlížeí oolích vlvů působících a měřeí Chb měřeí lze v zásadě děl a ssemacé a áhodé Ssemacé chb - zreslují výslede měřeí zcela určým způsobem a s jsou pravdelosí což se projevuje zejméa ím že vedou hodoám eré jsou buď rvale všší ebo rvale žší ež je hodoa správá Jejch příčou časo bývá použá meoda měřeí použé měřící přísroje a e do měřeí provádí zv chb osobí Chb jejchž příčou je použá meoda vzají edooalosí epřesosí eúplosí ebo evhodosí použého způsobu měřeí Časo se sává že použá meoda odpovídá určé dec měřeé velč erou vša př měřeí elze plě respeova apřílad vážeím a vzduchu vzá ssemacá chba v důsledu euvažováí růzého vzlau láe růzé huso ebo elze apř použí př měřeí če dél m mromercého šroubu ačolv sám o sobě je velm přesý měřící ásroj a pro oo měřeí se absoluě ehodí o je sejé jao sříle a vrabce aóem To chb lze odsra buď použím jé meod ebo vloučeím chb výpočem Chb jejchž příčou jsou použé přísroje vzají edooalosí a epřesosí provedeí měřících přísrojů Tpcým případem je edooalos a epřesos supc měřících přísrojů a pomůce epřesos sad závaží aj Chb ohoo pu lze u aždého přísroje čásečě odsra zavedeím příslušých orečích čelů eré upravují měřeé hodo
3 Osobí chb jsou ssemacé chb způsobeé ím do měřeí provádí pozorovael To chb se projevují zejméa př měřeí časových oamžů a déle a jsou slě závslé a použém pozorovael To chb se dají vlouč ím že vloučíme subjeví pozorováí objevím meodam j epoužjeme pozorovaele ebo j éž můžeme vlouč použím věšího poču pozorovaelů Dále př měřeí můžeme araz a zvhrubé chb jež jsou způsobe úavou č epozorosí př měřeí Velé hrubé chb se věšou lehce pozají proože výrazě vbočují z charaeru měřeých hodo sejé velč Hrubé chb zásadě z měřeí vlučujeme jelož b ovlvl výsled měřeí epřípusým způsobem áhodé chb jsou jého pu ežl chb ssemacévloučíme-l ssemacé chb z měřícího procesu a opaujeme-l měřeí ějaé velč za sejých podmíe zjsíme že výsledé hodo jedolvých opaovaých měřeí éže velč se avzájem poěud lší j edosaeme vžd sejou hodou Příču ěcho chb edovedeme urč mohou bý způsobe apř malým časovým změam oolích podmíe v průběhu měřeí j eplo lau vlhos eleromagecých velč ad Těcho avzájem ezávslých vlvů může spolupůsob v ěerých případech opravdu moho přčemž jejch jedolvý vlv je ěžo posželý Proo původ áhodých chb lze vdě suečě v áhodě a rozdíl od chb ssemacých jež se vzačují určou pravdelosí se áhodé chb chovají aproso epravdelě áhodě Chb zavěé jedolvým ezávsle působícím vlv se azývají elemeárím chbam Výsledou áhodou chbu měřeí je pa možo vjádř jao souče elemeárích chb a můžeme ed psá de ozačuje elemeárí chb Dále předpoládáme že áhodé chb se vsují ja záporé a ladé a že pravděpodobos výsu ladých záporých chb je sejá Výslede měřeí předsavuje v důsledu působeí áhodých chb áhodou velču a udíž všeřováí áhodých chb měřeí je ué použí sascých záoosí Lze pozamea že sascé záoos se přesě uplaňují v případech d máme velý poče měřeí V případě mešího poču měřeých hodo je uo ahrad ěeré charaers áhodých velč zv výběrovým charaersam a záladě poču pravděpodobos lze pro aždou áhodou velču jpro aždou měřeou velču zjs její zv ejpravděpodobější hodou Spojá uce p jež udává rozděleí pravděpodobos výsu áhodé velč v celém ervalu přípusých hodo se azývá husoa pravděpodobos Pravděpodobos že áhodá velča bude leže v ervalu αβ je β α P α β p Z eore pravděpodobos je zámo že husoa pravděpodobos áhodé velč jež je vjádřea jao souče moha avzájem ezávslých ale ja lbovolých velč je dáa ásledující ucí µ p e π
4 jež se azývá ormálí záo rozděleí áhodé velč Velča µ se azývá sředí hodoa je směrodaá odchla a je rozpl áhodé velč a ásledujícím obrázu je zázorěo ěol ormálích rozděleí s růzým rozpl a sejou sředí hodoou µ 4 03 µ 0 Čeos výsu Měřeá hodoa Obr Ja je vdě z obrázu rozpl vjadřuje míru rozpýleos jedolvých měřeí a sředí hodoa ejpravděpodobější hodou daého měřeí Uvažujeme-l ed áhodou chbu ějaé měřeé zálí velč za áhodou velču poom můžeme za plaos předchozích předpoladů psá pro husou rozděleí áhodých chb p e π což je zv Gaussův ormálí záo chb Ple z ěho o že čeos chb lesá s rosoucí velosí chb Tudíž velé chb jsou méě čeé ež malé chb což odpovídá suečos Ja lze pozorova z obr sředí hodoa áhodých chb je rova ule jelož se vsují ladé záporé chb sejé velos se sejou čeosí Proo je ué jao měřío chb vzí ějaou jou velču a o směrodaou odchlu daého rozděleí erá se éž azývá sředí vadracá chba a plaí pro
5 4 03 Čeos výsu Chb měřeí Obr Chb měřeí se věšou uvádějí jao zv pravděpodobé chb eré obsahují ormac o om jaé proceo chb se achází ve spolehlvosím ervalu - Chceme-l ed ají aovou hodou chb d do uvedeého ervalu zahreme ξ % všech chb poom musíme řeš ásledující rovc e d ξ /00 π Pravděpodobou chbu ξ erá porývá erval spolehlvos chb s pravděpodobosí výsu ξ % lze zapsa ásledově ξ ν ξ de ν ξ je příslušý oece vjadřující daý spolehlvosí erval Ja lze pozorova z obr3 je př požadavu ξ 95 % oece a udíž do ervalu ξ ξ pade přblžě 95% všech chb Chba rová rojásobé sředí chbě se azývá rají chbou a pravděpodobos že ebude př měřeí přeročea se rová přblžě 9973 % Je éž možé chbu vjádř jao zv průměrou chbu λ erá je deováa ásledově λ
6 09 08 Č eos výsu ξ 687% ν ξ 95% ν Velos chb Obr3 a ásledujícím obrázu je vdě hsogram čeosí výsu jedolvých měřících chb př suečém měřeí přčemž je graem proložea odpovídající řva ormálí rozděleí apromace ormálím rozděleím hsogram chb měřeí 400 Čeos výsu Chb měřeí Obr4
7 V ásledující abulce jsou uvede ěeré ejpoužívaější erval spolehlvos a jm odpovídající oece ν ξ Tab ξ [%] ν ξ ejpravděpodobější hodoa měřeé velč a její přesos Ja jž blo řečeo výslede zálího měřeí lze poláda za áhodou velču erá se řídí ormálím rozděleím a výsled plaí pro velý poče měřeí Těcho vlasosí áhodých chb můžeme vuží př hledáí ejpravděpodobější hodo měřeé velč a př hodoceí přesos prováděého měřeí Ozačíme-l výslede -ého měřeí jao chbu -ého měřeí jao správou hodou měřeé velč a předpoládáme poom dosaeme 0 Upravíme-l předchozí vzah poom můžeme vpočía správou hodou výsledu měřeí jao V mezím případě eoečého poču měřeí lze za předchozích předpoladů správou hodou výsledu měřeí vpočía jao armecý průměr aměřeých hodo Př reálém měřeí vša eí d eoečý a ěd a dosaečě velý Abchom v omo důležém případu alezl ejpravděpodobější hodou výsledu musíme posupova ásledově Je ué zjs jaé rozložeí chb bude ejpravděpodobější př oečém poču měřeí Pravděpodobos že chba áhodě vbraého měřeí leží v ervalu d + d je v důsledu plaos ormálího záoa rozděleí áhodých chb dp e d π Obdobě můžeme vjádř pravděpodobos rozložeí áhodých chb olem jých hodo chb Pravděpodobos že ěol ezávslých jevů asae současě je rova souču jejch pravděpodobosí j pro rozložeí chb olem hodo! bude
8 +! + dp dp e dd π! d přčemž předpoládáme že jedolvá měřeí jsou prováděa sejě přesě j 0 ejpravděpodobější bude aové rozložeí chb eré má ejvěší pravděpodobos j pro eré je předchozí výraz mamálí To vša asae pro ejmeší hodou výrazu + +! + m + +! + m Mmalzací uvedeého výrazu zísáme jao ejpravděpodobější hodou výsledu měřeí armecý průměr aměřeých hodo Suečou absoluě přesou hodou měřeé velč d ezjsíme ale ze všech vzahů mez správou hodoou a aměřeým hodoam je ejpravděpodobější vžd armecý průměr Že armecý průměr edává přesě správou hodou aměřeé velč je možé odvod z ásledujícího vzahu ze erého je vdě že armecý průměr se lší od správé hodo měřeé velč o čle / Další důležým problémem je zjšěí s jaou přesosí blo měřeí provedeo Musíme ed urč hodou sředí vadracé chb počíaé z ejpravděpodobější hodo a olv ze správé hodo ozačíme-l odchlu -ého měřeí od armecého průměru poom se zřeelem a předchozí vzah plaí Umocěím předcházejícího vzahu a sečeím pro všech aměřeé velč zísáme + Druhý čle v uvedeém výrazu obsahuje součů ladých záporých jejchž poče je přblžě sejý Proo je možé eo druhý čle zaedba přčemž se dopoušíme zaedbaelé chb Zísám a výraz
9 ze erého pro sředí chbu jedoho měřeí lehce zísáme * Tao velča se aé obzvlášě ve sasce ozačuje smbolem s a azývá se výběrová směrodaá odchla Zaím jsme vžd uvažoval že přesos všech měřeí bla sejá Poud vša budeme měř přímých a ezávslých měřeí éže velč erá jsou zjšěa s růzou přesosí musíme použí modovaé vzah pro ejpravděpodobější hodou a sředí chbu jedoho měřeí Př odvozováí ěcho vzahů posupujeme aproso sejým způsobem jao u sejě přesých dílčích měřeí Jedá změa je v om že uvažujeme! j růzou přesos měřeí ejpravděpodobější hodoou ao prováděého měřeí je poom zvvážeý armecý průměr w w de w Sředí vadracou chbou provedeého měřeí př růzé přesos dílčích měřeí je poom ásledující výraz * w w 3 Chb přímých měřeí Velm časo měříme ějaou zálí velču X přímo j apřílad vážeí měřeí dél aj Tao měřeí opaujeme -rá za mslelě sejých podmíe abchom mohl zísa ejpravděpodobější hodou éo velč a její sředí chbu Z aměřeých hodo určíme ejpravděpodobější hodou jao armecý průměr j a dále spočíáme sředí vadracou chbu daého měřeí jao
10 pomocí eré můžeme jedoduše urč zvoleou pravděpodobou chbu erá zajšťuje určý erval spolehlvos daého výsledu Pravděpodobá chba bude poé ξ ν ξ ± ξ Výslede celého měřeí poé zapsujeme ve varu: 4 Chb epřímých měřeí Řada zálích velč se zísává výpočem podle ějaého zálího záoa erý vjadřuje souvslos mez daou velčou a ěola jým velčam a chž je závslá a eré jsou zísává měřeím apřílad husou pevých láe můžeme urč z aměřeé hmoos a objemu ělesa Hledaou velču ed přímo eměříme ale pouze j počíáme podle ějaého vzorce zálího záoa z jých měřeých ebo vpočeých velč u erých záme jejch pravděpodobou ebo sředí chbu echť ed je ějaá velča jež je ucí dalších velč a echť dále je ao uce spojě derecovaelá a svém dečím oboru Lze ed pro uo závslos psá! ejpravděpodobější hodou daé velč zísáme dosazeím ejpravděpodobějších hodo velč j! Absoluí chb velč ozačíme a ásledě můžeme vjádř derecál uvedeé uce j její derecálí změu v důsledu velm malých změ v jejích proměých jao d d í Jsou-l chb j erých jsme se dopusl př j-ém měřeí velč dosaečě malé poom můžeme pro příslušé chb j výsledé velč př j-ém měřeí psá sejé vzah jao pro derecálí přírůse uvedeé uce j j í j j! Umocěím předchozího vzahu zísáme jj í j+ j j +
11 Abchom alezl vzah mez sředím chbam velč a sředí chbou výsledé velč zavedeme předpolad že pro sředí chb bl urče a záladě velého poču měřeí a sečeme předchozí rovce pro všecha provedeá měřeí j! Poom plaí + + j j j j j í j j j a po dosazeí sředích vadracých chb dosaeme + + j j j j í Vzhledem omu že jsme předpoládal ezávslos sředích chb jedolvých velč a velý poče provedeých měřeí plaí j j j 0 cov a ed í což je hledaý záo přeášeí sředích chb Teo obecý vzorec určuje sředí chbu uce lbovolého poču měřeých velč jejchž sředí chb jsou Poěvadž v ejepřízvějším případě se mohou vešeré chb sčía zísáme mamálí možou chbu výsledu z derecálu zoumaé uce ím že j zvolíme jao mamálí možou velos ohoo derecálu j MAX Z předchozích vzorců je vdě že rol chb mohou hrá ja chb sředí a pravděpodobé ebo chb měřeých velč odhadué před měřeím Velm časo lze posuzováí přesos prováděého měřeí použí popsu pomocí relavích chb měřeých velč Pro relaví mamálí chbu a pro sředí relaví chbu poé zísáme jedoduše z předchozích vzorců MAX! í!
12 í uvedeme ěol jedoduchých výsledů eré plou ze záoa o přeášeí chb měřeí ejprve s uážeme ejdůležější z ploucích důsledů přeosu chb a o sce sředí chbu armecého průměru echť velča bla -rá změřea čímž blo zísáo a hodo Jao výslede bl vza armecý průměr jedolvých měřeí jež poládáme za sejě přesé a přsuzujeme jm sejou hodou sředí chb vpočeou podle vzahu pro sředí chbu jedoho měřeí Armecý průměr můžeme ed v omo případě považova za uc velč měřeých se sejou chbou a plaí! pro! Podle záoa o přeášeí sředích chb poé dosaeme pro výsledou sředí chbu í Z předchozího vzahu ple velm důležý závěr že sředí chba armecého průměru sejě přesých měřeí je meší ežl sředí chba jedoho měřeí Toéž ovšem plaí éž pro chb pravděpodobé jež jsou úměré chbám sředím Tudíž aměříme-l více hodo zísáme všší přesos výsledu což je ázorě vdě z ásledujícího obrázu Velos chb Poče provedeých měřeí Obr5
13 Z obrázu vplývá že př provedeí 0 měřeí sížíme chbu měřeí opro měřeí přblžě řrá Př prováděí dalších měřeí eí jž eo poles zdalea a výzamý Je vhodé př přímém měřeí ějaé velč ed uo velču změř alespoň deserá í provedeme ěol jedoduchých příladů záoa přeosu pravděpodobých chb měřeí Máme-l urč chbu uce jedé měřeé velč máme d d a udíž d d ] [ a ásobeí osaou c: ] [ c c b mocá uce: a udíž ] [ což lze psá aé ve varu pro relaví chbu r jao r ] [ c logarmcá uce: l a udíž ] [l r Máme-l uc dvou proměých : a souče dvou velč: ± a udíž ] [ + ± b souč a podíl dvou mocých ucí měřeých velč: s s s s ] [ s r r s + Jao specálí případ předchozího vzahu ple vzorec pro pravděpodobou chbu souču ebo podílu dvou velč ] / [ ] [ r r + Je ué s povšmou oho že velos chb výsledu ovlvňuje věší z uvažovaých chb jedolvých velč eré vsupují do výpoču j ím že máme jedu velču změřeu velm přesě a jou daleo méě přesě ja eovlvíme výsledou přesos erá bude vžd závse a ejepřesěj aměřeé velčě Je proo vhodé měř velč přblžě se sejou přesosí
14 5 Shruí ejdůležějších výsledů eore chb ejpravděpodobější hodoou výsledu měřeí je armecý průměr aměřeých hodo Sředí chba jedoho měřeí je * ejpravděpodobější hodoou prováděého měřeí s růzým dílčím váham přesosm jedolvých měřeí je vážeý armecý průměr w w de w Sředí vadracou chbou provedeého měřeí př růzé přesos dílčích měřeí je w w * Sředí chba armecého průměru je Pravděpodobá chba je poé ν ξ ξ přčemž oece ξ ν odpovídá požadovaému ervalu spolehlvos měřeí Záo přeášeí chb í Teo obecý vzorec určuje sředí chbu uce lbovolého poču měřeých velč jejchž chb sředí pravděpodobé ebo určeé odhadem jsou
15 Mamálí možá chba výsledu MAX Relaví mamálí chba měřeí je MAX! Sředí relaví chba měřeí je í!
16 Zpracováí měřeí Každé měřeí ějaé zálí velč b mělo bý zpracováo co ejpřehleděj ejázorěj s cílem dosáhou co ejvěší přesos j dosáhou co ejmeších chb měřeí O om jaým způsobem zpracováva měřeí a zjšťova chb měřeí blo dosaečě apsáo v apole o chbách Zde je pouze uvede způsob jaým se zapsují vešeré výsled měřeí Jeslže měříme ějaou velču X s určou absoluí chbou X ebo uo velču vpočeme z aměřeých hodo poom výslede uvádíme ve varu X ± X [jedoa] de X je ejpravděpodobější hodoa měřeé velč a X je absoluí chba éo velč Samozřejmě je ué uvéz jedo měřeé velč Výsledé hodo chb se zaorouhlují a resp plaé číslce plaá číslce je a erá je v daém čísle prví eulová zleva Výsledá hodoa měřeé velč se poé zaorouhlí a sejý poče deseých mís jao má výsledá zaorouhleá chba Teo prcp zaorouhlováí se provádí z důvodu oho že více cer ve výsledu epořebujeme Předsavme s že měříme ějaou zálí velču apř modul pružos E jaés če spočíáme ejpravděpodobější hodou a dále spočeme výsledou chbu měřeé velč E Předpoládejme že jsme počíal a alulačce ebo počíač a e a ás vchrll ásledující: E e Pa E e0 Pa Poom provedeme ásledující zaorouhlíme chbu a plaé cr a a sejý poče deseých mís výslede j dosaeme E 4 ± 6 GPa Koho b sad láalo apsa výslede ve apř varu E ± e0 Pa z důvodu oho že dosáhe všší přesos měřeí dž uvede všech cr eré se mu objevl a alulačce ebo a počíač oho bohužel musím zlama jelož žádé přesos eprospěl ale aopa výslede udělal velm epřehledým Problém je v om že chba měřeí je jž v řádu e0 Pa a udíž emá vůbec žádý smsl uvádě žší řád Přdáme-l ož apřílad jedu další hodou modulu pružos erá se eparě lší od osaích apř v řádu Pa poom zísáme v řádu e0 Pa sejou hodou ale v řádu Pa a žších obdržíme úplě já čísla ež jsme měl v původím výsledu Sejě a u výsledé hodo modulu pružos uvádíme pouze hodou do řádu ve erém se vsuje chba Uváděí dalších deseých mís ve výsledu je aproso zbečé a čeho se ím edosáhe
17 3 Meoda posupých měřeí Podsaa éo měřící meod záleží a počeím zpracováváí prováděého měřeí Je vhodě použelá pro měřeí ějaé zálí velč eré se ěolrá opauje a o aovým způsobem že jedolvé měřící ro a sebe avazují j další měřeí začíáme pro sejé hodo erým sočlo předchozí měřeí Téo meod se dá s výhodou použí apř př opaovaém měřeí dob perodcých dějů dob vu oáče ad př měřeí ploch plamerem apod Způsob měřeí s můžeme osvěl a ázorém příladě měřeí dob vu vadla Počáečí čas saovíme a a měříme dobu apř vžd po 0 vech vadla erval po erém měříme dobu vu b měl bý vžd daleo věší ežl chba měřeí času δ ja bchom mohl dosa aproso zehodoceé výsled Provedeme-l oo měřeí posupě -rá poom rozdíl mez jedolvým po sobě jdoucím hodoam měřeého času 0 dávají celem hodo Kdbchom jao ejpravděpodobější hodou ohoo času vzal armecý průměr měřeých rozdílů dosal bchom 0 [ 0 + +! + ] Výslede je ed rove -ě rozdílu posledího a prvího časového oamžu a a všech osaích měřeích je zcela ezávslý Pro dosažeí sejého výsledu b ám ed sačlo pouze urč počáečí časový oamž a poé změř 0 vů vadla Jeslže ed budeme posupova př měřeí podle předchozího vzahu poom všech mezhodo budou aproso zbečé Opro právě popsaému posupu měřeí d evužjeme věšu aměřeých hodo meoda posupých měřeí aopa o hodo použje pro zísáí výsledu V meodě posupých měřeí je ué ab celový poče rozdílů posupě měřeých hodo bl sudý j b mělo bý lché poud počáečí měřeí má de 0 Tao měřeí pa rozdělíme a dvě polov sejého poču a uvoříme rozdíl vžd odpovídajících měřeí v obou supách Obsahuje-l aždá supa + měřeých hodo poom aždý z ásledujících rozdílů! 0 + -ásobou hodou měřeých 0 vů vadla V armecém průměru ao vvořeých rozdílů je rovoměrě vužo všech aměřeých hodo ale žádá z ch se eopauje Děleím průměru všech rozdílů jejch počem dosaeme hledaou sředí hodou měřeé velč jčasu dese vů jež je odvozea ze všech + hodo a plaí [ 0 ] + + +! + Rozpl měřeých hodo se vpoče z rozplu průměru děleím číslem j plaí
18 [ ] 0 +! V ásledující abulce je přehledě zázorěo schéma zpracováí výsledů měřeí meodou posupých měřeí Celem provedeo měřeí je lché Pořadí supa supa 0 + Rozdíl 0 Rozdíl Předchozí výsled pro sředí hodou a rozpl měřeé velč a můžeme psá přehleděj v ásledující ormě
19 4 Apromace aměřeých da pomocí meod ejmeších čverců ejprve bude podáa obecá eore leárí meod ejmeších čverců jež bude posupě zjedodušea a ěeré jedoduché a výzamé případ Jeslže měříme ějaou velču jež je ucí více proměých! zísáme dsréí aměřeé dvojce hodo Tao daa je časo pořebé apromova ějaou aalcou učí závslosí V obecém případě leárí meod ejmeších čverců lze uo závslos zapsa jao leárí ombac M lbovolě zvoleých ucí g j můžeme psá obecý model ásledově M am ag ˆ a! Fucí g se éž ěd azývají bázové uce a mohou bý ldě eleárí avša leara modelu vplývá ze závslos modelu v paramerech a Ke zjšěí paramerů a avržeého apromačího modelu pro daá daa a zjšťováí jeho val se používá ásledující uce azývaá éž chí vadrá χ ˆ a! a M de jsou aměřeé hodo zoumaé velč v bodě je poče měřeí a je směrodaá odchla respchba měřeí v -ém daovém bodě O éo odchlce se předpoládá že je předem záma a poud eí záma a může bý pro všecha daa položea Z eore meod ejmeších čverců je zámo že jao paramer jež ejvhoděj apromují zadaá daa musíme zvol paramer a eré mmalzují uvedeou uc χ Provedeme-l dervac uce χ podle jedolvých paramerů a poom dosaeme zvormálí rovce ve varu M 0 ajg j g! M j echť A je mace o rozměrech M erá je vvořea z aměřeých da ásledujícím způsobem Pro jedolvé prv mace plaí A j g j Podobě deujme veor b jež má délu a veor paramerů a ozačme jao a Pro prv veoru b plaí b ormálí rovce jež bl odvoze můžeme velm elegaě přepsa pomocí zavedeých mac a veorů do varu T T A A a A b
20 T Lze doáza že verzí mace mac sousav ormálích rovc C A A úzce souvsí s ejsoou odhadu paramerů modelu a Rozpl odhaduých paramerů daého modelu je poé a j C jj de C jj je prve mace C ormálí rovce se obvle řeší ěerou z umercých meod leárí algebr V ěerých případech se může sá že mace sousav ormálích rovc je špaě podmíěá poom pro řešeí musíme použí jé umercé meod Jao velm zjedodušeý leárí apromačí model zde bude uvedeo proložeí aměřeých da přímou Dále předpoládejme že pro všech bod měřeí plaí j u všech aměřeých hodo předpoládáme sejé rozděleí chb měřeí Měříme-l ed ějaou velču jež je ucí jedé proměé poom dosaeme možu aměřeých dvojc aměřeou závslos chceme apromova leárím modelem přímou ve varu ˆ ˆ a b a + b de a a b jsou ezámé paramer éo uce Teo problém se aé časo azývá leárí regrese Abchom mohl ají ejlepší odhad paramerů a a b musíme mmalzova ásledující uc χ vzhledem hledaým paramerům χ ˆ a b Jeslže ed provedeme dervace éo uce podle paramerů poom dosaeme ásledující dvě ormálí rovce χ 0 [ a + b ] a [ a + b ] a χ 0 b Poud s í ozačíme ěeré souč v ěcho rovcích jao S S S S poom lze ormálí rovce jedoduchým způsobem zapsa as a + bs + bs S S Z éo sousav jž velm sado spočíáme apř pomocí Cramerova pravdla ezámé paramer a a b Dosáváme D S S SS SS a D S SS b D
21 Uvedeá meoda leárí regrese je éž vhodá pro apromac da jým model ež pouze přímou Obecě lze vuží předcházející rovce apromac da ve varu ˆ ˆ α β α + β de je zámá uce ezávslé proměé Položíme-l v předcházejícím případu leárí regrese poom je úloha převedea a apromac regresí přímou ejčasějším případ apromujících závslosí jsou: ˆ α + β log > 0 r ˆ α + β ˆ α + β ep
22 Leraura: [] Horá ZKrupa F Šdelář V: Techcá za STL Praha 96 [] Horá Z: Pracá za STL Praha 958 [3] Brož J a ol: Zálad zálích měřeí I SP Praha 967 [4] Press WH Teuols SA Veerlg WTFlaer BP: umercal Recpes C The Ar o Scec Compug Cambrdge Uvers Press Cambrdge 99 [5] Reors K a ol: Přehled užé maema Promeheus Praha 995
Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n
Regrese Aproxmace metodou ejmeších čtverců v v ( ) = f x v v x x x x Je dáo bodů [x, ], =,,, předpoládáme závslost a x a chceme ajít fuc, terá vsthuje teto tred - Sažíme se proložt fuc = f x ta, ab v =
VíceLineární regrese ( ) 2
Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující
Více2. Vícekriteriální a cílové programování
2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Testy hypotéz
SP3 Tey hypoéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Tey hypoéz Lbor Žá SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Tey hypoéz- úvod Nechť X X e áhodý výběr T X X X áhodý veor ezávlé ložy erý má rozděleí závlé a parameru θ Θ Θ R Ozačme:
Více2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT
2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP esty dobré shody PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Lbor Žá SP esty dobré shody Lbor Žá Přpomeutí - estováí hypotéz o rozděleí Ch-vadrát test Chí-vadrát testem terý e založe a tříděém statstcém souboru. SP esty
VíceVYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA. VZORCE PRO 4ST201 a 4ST210
VYOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V RAZE FAKULA INFORMAIKY A AIIKY Kaedra sas a pravděpodobos AIIKA VZORCE RO 4 a 4 verze 8 posledí aualzace:. 9. 8 K 8 opsá sasa p p =,,...,... () () ( ),, z, ( z ) ( z ) ( z), z
VíceNejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A
Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota
Vícek(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln
Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =
VícePřednáška č. 2 náhodné veličiny
Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující
Více1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor
1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců
Více, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle
Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,
VíceÚLOHA VÍCE TĚLES V NEBESKÉ MECHANICE
ÚLOHA VÍCE TĚLES V NEBESKÉ ECHANICE SPECIFIKACE PROBLÉU Řeš úlohu ěles zaeá aléz pohyby ( foulova pohybové ovce a aléz ech řešeí) hoých bodů (esp ěles př zaedbáí duhoé oace) a eé působí pouze vzáeé gavačí
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
VíceKřivky 2D. Klasifikace křivek (1) Klasifikace křivek (2) Navazování a spojitost křivek. Přednáška 8
Předáš 8 Křv D Žár, J., Beeš, B., Felel, P. Moderí počíčová grf. Compuer Press, Bro, 998. ISBN 8-76-49-9. Cee, P. Počíčová grf. Srp Uverz Prdubce, 999. ISBN 8-794-9-4. Klsfce řve ( Podle prosoru D D Podle
VíceS k l á d á n í s i l
S l á d á í s i l Ú o l : Všetřovat rovováhu tří sil, působících a tuhé těleso v jedom bodě. P o t ř e b : Viz sezam v desách u úloh a pracovím stole. Obecá část: Při sládáí soustav ěolia sil působících
Více3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.
3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchylky a tolerace ve výstavbě. 3.1 Úvod o měřeí obecě 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí 3.2.1 Omyly a hrubé chyby 3.2.2 Systematcké chyby 3.2.3 Náhodé chyby 3.3 Výpočet
Více8.1.2 Vzorec pro n-tý člen
8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají
Více8.1.2 Vzorec pro n-tý člen
8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým
VíceLABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
VíceMetody zkoumání závislosti numerických proměnných
Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy
Více[ jednotky ] Chyby měření
Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá
Více5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC
5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém
VíceMendelova univerzita v Brně Statistika projekt
Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4
VíceFINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ
Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ
Více1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru
Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VíceSTATISTIKA. Základní pojmy
Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci
VíceDoc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
VíceOVMT Přesnost měření a teorie chyb
Přesost měřeí a teorie chyb Základí pojmy Naměřeé údaje ejsou ikdy absolutě přesé, protože skutečé podmíky pro měřeí se odlišují od ideálích. Při každém měřeí vzikají odchylky od správých hodot chyby.
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP Teováí hypoéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Teováí hypoéz Teováí hypoéz Nechť je áhodá proměá, kerá má diribučí fukci Fx, ϑ. Předpokládejme, že záme var diribučí fukce víme jaké má rozděleí a ezáme
VíceGenerování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí
Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta
VíceVYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA. VZORCE PRO 4ST201 a 4ST210
VYOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V RAZE FAKULA INFORMAIKY A AIIKY Kaedra sas a ravděodobos AIIKA VZORCE RO 4 a 4 verze 8 osledí aualzace:. 9. 8 K 8 osá sasa,,...,... ( ( (,, z +, ( z ( z + ( z+, z H H H G... R ma
VíceŘešení soustav lineárních rovnic
Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
Více1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL
Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách
Více1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků
1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,
VíceSoustava momentů. k s. Je-li tedy ve vzorci obecného momentu s = 1, získáme vzorec aritmetického průměru.
Soutava mometů Momety (Obecé, cetrálí a ormovaé) Do ytému mometových charatert patří ty ejdůležtější artmetcý průměr (mometová míra úrově) a rozptyl (mometová úroveň varablty). Obecý momet -tého tupě:
VíceInterpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2
Iterpolace pomocí sple křvky dáo: bodů v rově úkol: alézt takovou křvku, která daým body prochází y f f 2 f 0 f x0 x... x 2 x x Iterpolace pomocí sple křvky evýhodou polyomálí terpolace změa ěkterého z
VíceOdhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt
Více1. Základy měření neelektrických veličin
. Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost
VíceUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE. Tomáš Hanzák
Uiverzia Karlova v Praze Maemaico-fziálí faula DIPLOMOVÁ PRÁCE omáš Hazá Deompozičí meod pro časové řad s epravidelě pozorovaými hodoami Kaedra pravděpodoosi a maemaicé saisi Vedoucí diplomové práce :
Více=, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Rozklad na parciální zlomky Parciální zlomky jsou speciální racionální lomené funkce. Rozlišujeme 2 typy:
3 předáš INTEGRAE RAIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKE Důležiou supiu fucí, eré můžeme (spoň eoreicy) iegrov v možiě elemeárích fucí, voří rcioálí lomeé fuce Kždou rcioálí lomeou fuci vru P( ) f ( ) =, de P() Q() jsou
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a
VíceL A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,
VíceTéma 5: Analýza závislostí
Aalýza závlotí Téma 5: Aalýza závlotí Předáša 5 Závlot mez ev Záladí pom Předmětem této aptol ude zoumáí závlotí ouvlotí mez dvěma a více ev. Jedá e o proutí do vztahů mez ledovaým ev a tím přlížeí tzv.
VíceChyby přímých měření. Úvod
Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,
VíceSP NV Normalita-vlastnosti
SP - - NV Normala-vlasos Přpomeuí vlasosí Normálího rozděleí Charakerscká fukce Lévyho-Ldebergova věa - cerálí lmí věa -rozměré ormálí rozděleí -rozměré ormálí rozděleí Přpomeuí vlasosí Normálího rozděleí
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2016
Přijímací zkouška a avazující magiserské sudium 2016 Sudijí program: Sudijí obor: Maemaika Fiačí a pojisá maemaika Variaa A Řešeí příkladů pečlivě odůvoděe. Věuje pozoros ověřeí předpokladů použiých maemaických
VíceOdhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme
Více6 Algoritmy ořezávání a testování polohy
6 lgorim ořezáváí a esováí poloh Sudijí íl Teo blok je věová problemaie vzájemé poloh grafikýh primiiv, zejméa poloze bodu vzhledem k mohoúhelíku včeě jedolivýh speifikýh varia jako jsou čřúhelík, jehož
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
VíceOdhady a testy hypotéz o regresních přímkách
Lekce 3 Odhad a tet hpotéz o regreích přímkách Ve druhé lekc jme kotruoval kofdečí terval a formuloval tet hpotéz o korelačím koefcetu Korelačí koefcet je metrckou charaktertkou tezt závlot, u které ezáleží
VíceChyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné
CHYBY MĚŘENÍ Opakovaé měřeí téže fyzkáí večy evede vždy k přesě stejým výsedkům. Této skutečost bychom se evyhu, kdybychom měřeí provádě s ejvětší důkadostí a precsostí aopak, čím ctvější a přesější jsou
VíceÚvod do korelační a regresní analýzy
Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou
Více1.6. Srovnání empirických a teoretických parametrů (4.-5.předn.)
.6. rováí empirických a eoreických paramerů (4.-5.před.) Cíle: - pravděpodobosí zkoumáí výběrového saisického souboru: kvaifikace eoreických paramerů, srováí eoreických a empirických paramerů (Probable
Více2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI
. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme
VícePřehled modelů viskoelastických těles a materiálů
Přehled modelů vskoelsckých ěles merálů Klscké reologcké modely Klscké reologcké modely vycházejí z předsvy, že chováí ěles lze hrd chováím sysému složeého z pruž písů, edy z ookeových ewoových ěles. ookeovo
Více5.16 Měření a analýza odběru elektrické energie svítidly a jejich rušivé vlivy na distribuční síť
Měřeí a aalýza odběru elekrcké eerge svídly a jejch rušvé vlvy a dsrbučí síť 73 5.6 Měřeí a aalýza odběru elekrcké eerge svídly a jejch rušvé vlvy a dsrbučí síť 5.6. Úvod roblemaka odběru elekrcké eerge
VíceVY_52_INOVACE_J 05 01
Název a adresa školy: Středí škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková orgazace, Praskova 399/8, Opava, 74601 Název operačího programu: OP Vzděláváí pro kokureceschopost, oblast podpory 1.5 Regstračí
VíceInvestiční činnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic
Ivesičí čios Exisují růzá pojeí ivesičí čiosi: Z pohledu ekoomické eorie Podikové pojeí ivesic Klasifikace ivesic v podiku 1) Hmoé (věcé, fyzické, kapiálové) ivesice 2) Nehmoé (emaeriálí) ivesice 3) Fiačí
VíceTento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i
: ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu
VíceEkonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011
Evropský socálí fod Praha & EU: Ivesujee do vaší budoucos Ekooka podku aedra ekooky, aažersví a huaích věd Fakula elekroechcká ČVUT v Praze Ig. učerková Blaka, 20 Úrokový poče, základy fačí aeaky (BI-EP)
VíceStatistická rozdělení
Úvod Statstcá rozděleí Václav Adamec vadamec@medelu.cz Náhodá proměá: matematcá velča, jejíž hodot osclují. Produt áhodého procesu lze charaterzovat fucí Hodot proměé v oboru přípustých hodot Rozděleí
Více6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.
Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh
VíceZákladní požadavky a pravidla měření
Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu
VíceSvětlo v izotropním látkovém prostředí a na rozhraní izotropní bezztrátové dielektrikum je charakterizováno skalární permitivitou ε = εε.
Učebí ex k předášce UFY2 Feselovy vzoce a jevy a ozhaí dvou posředí I Svělo v zoopím lákovém posředí a a ozhaí zoopí bezzáové delekkum je chaakezováo skaláí pemvou ε εε a pemeablou μ μμ (kde μ po emagecké
Více1. Čím se zabývá 4PP? zabývá se určováním deformace a porušováním celistvých těles v závislosti na vnějším zatížení
. Čím se zabývá 4PP? zabývá se určováím deformace a porušováím celstvých těles v závslost a vějším zatížeí. Defce obecého apětí + apjatost v bodě tělesa -apětí - je to apětí v určtém bodě určtého tělesa.
VícePravděpodobnostní modely
Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k
Více4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností
4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.
Více11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad
. Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé
VíceIlustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
VíceStatistické charakteristiky (míry)
Stattcé charaterty (míry) - hrují formac, obažeou v datech (vyjadřují j v ocetrovaé formě); - charaterzují záladí ryy zoumaého ouboru dat; - umožňují porováváí více ouborů. upy tattcých charatert :. charaterty
VíceÚvod do zpracování měření
Úvod do zpracováí měřeí Teore chb Opakujeme-l měřeí téže fzkálí velč za stejých podmíek ěkolkrát za sebou, dostáváme zpravdla růzé hodot. Měřeé velčě přísluší však jedá správá hodota. Každou odchlku aměřeé
Více1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.
Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.
VíceFINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ
Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/../.98 IV- Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- SLOŽENÉ ÚROOVÁNÍ
VíceUSTÁLENÉ PROUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KORYTECH
USTÁLENÉ POUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KOYTECH ovoměré prouděí Charakterstka:. Hloubka vod v kortě, průtočá plocha a průřezová rchlost jsou v každém příčém řezu kostatí.. Čára eerge, vodí hlada a do korta jsou
VíceTéma 1: Pravděpodobnost
ravděpodobot Téma : ravděpodobot ředáša - ravděpodobot áhodého evu Náhodý pou a áhodý ev Náhodý pou - aždá čot, eíž výlede eí edozačě urče podmíam, za terých probíhá apř hod otou, měřeí dély, běh a 00
Více5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá
VíceSP2 Korelační analýza. Korelační analýza. Libor Žák
Korelačí aalýza Přpomeutí pojmů áhodá proměá áhodý vetor áhodý vetor Náhodý výběr: pro áhodou proměou : pro áhodý vetor : pro áhodý vetor : Přpomeutí pojmů - ovarace Kovarace áhodých proměých ovaračí oefcet
VíceSpolehlivost a diagnostika
Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore
Více5. Funkce náhodných veličin a náhodných vektorů. 5.1 Spojité náhodné veličiny
5 Fc áhodých vliči a áhodých vorů 5 Spojié áhodé vliči V éo čási s bd zabýva problaio rasorac áhodé vliči a ja js již ěolirá zíili v přdchozí Njdřív vd dvě záladí vě o sbsici v igrálí poč Důaz ěcho vě
Vícejsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x
Výběr z eřeštelých příkladů ze zkouškových testů Jde o výběr z tpů příkladů, jejchž úspěšost řešeí u zkoušek se blíží ule. Itervalové versus bodové tříděí V tabulce je uvedeo rozděleí četostí a) př bodovém
VíceÚvod do analýzy časových řad
Úvod do aalýz časových řad Doc.Ig. Jaa Hačlová, CSc. Kaedra maemaických meod v ekoomice Ig. Lubor Tvrdý Kaedra regioálí ekoomik Ekoomická fakula, VŠB-TU Osrava Osrava, 003 - - Úvod do aalýz časových řad
Více3. cvičení 4ST201 - řešení
cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 - řešeí Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry
VíceVYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,
VíceNárodní informační středisko pro podporu kvality
Národí iformačí střediso pro podporu vality Problémy s uazateli způsobilosti a výoosti v praxi Dr.Jiří Michále, CSc. Ústav teorie iformace a automatizace AVČR Uazatel způsobilosti C p Předpolady: ormálí
VíceOdezva na obecnou periodickou budící funkci. Iva Petríková Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti
Odezva a obecou periodickou budící fukci Iva Períková Kaedra mechaiky, pružosi a pevosi Obsah Fourierovy řady Odezva a polyharmoickou fukci Odezva a obecou periodickou fukci Odezva a jedokový skok Příklad
Více9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost
Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,
VíceOptimalizace portfolia
Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí
Více