11. SEMINÁŘ Z MECHANIKY sin α 1 cos. což je vzhledem k veličinám, které známe, kvadratická rovnice vzhledem k tg α. Její diskriminant je

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "11. SEMINÁŘ Z MECHANIKY sin α 1 cos. což je vzhledem k veličinám, které známe, kvadratická rovnice vzhledem k tg α. Její diskriminant je"

Eva Sedláková
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 - 9 - SEMINÁŘ Z MECHANIKY Dělo rá třel počáteční rclotí = m Je nutno zaánout cíl, který je orizontální zálenoti = m o ěla a e ýši = m na ním Jaký je minimální eleační úel ěla? = m ; = m ; = m ; = 9,8 m ;,min =? ( ) čau t z přecozíc (parametrickýc) ronic t = co Vjáříme nní funkci C = + in co co Střela e pobuje šikmým rem a ložk jejío polooéo ektoru jou = tco, = + in t t Analtický tar trajektorie (parabol) zíkáme loučením co pomocí funkce t náleující úpraou in co co co t t a oaíme jej o ronice parabol Dotááme = + t co = + t = ( + t ) + t t t + + =, což je zleem k eličinám, které známe, karatická ronice zleem k t Její ikriminant je ( ) ( ) D = + Menší z kořenů řešené karatické ronice má onotu D = t = t min = ( ) t min = ( ) min = arct, min = 8,

2 - 7 - Dělo e nacází na kalním úteu e ýšce na ooronou krajinou Z ěla je třelena třela po eleačním úlem počáteční rclotí Najěte zálenot (měřenou o ěla e ooroném měru), e které třela opane ( ) e taru ; ; ; =? = + t + co Střela e pobuje šikmým rem a ložk jejío polooéo ektoru jou = tco, = t + tin + Vloučením čau t z těcto ronic otaneme analtickou ronici parabol, po níž e třela pobuje, Bo opau třel o ouřanicíc [ ;] muí této ronici ooat muí te platit + t + = co Řešením této karatické ronice, jejíž neznámou je leaná zálenot, je po nalezení ikriminantu D e taru jou kořen, D = + > = t t co t ± + co co Vzleem k tomu, že ýraz po omocninou je při zaání úlo ětší než ouje tomuto zaání jen onota t + t + co co + + co in in co co co = + + in co in co 8 co = + + in in = t,

3 - 7 - Dě kapalin o utotác ρ = k m, ρ =, 8 k m jou ronoáze uzařenýc álcoýc náobác o průřezec S =, m, S =, m, pojenýc krátkou trubicí o průřezu p p S = m pole obrázku Na lainou kapalin je zuc, který má prní náobě tlak p = Pa, e rué náobě tlak Z p =, Pa Výška lain prní náobě je = m Ve pojoací trubici je olně pobliá zátka Z, zabraňující promíení kapalin Určete a) tlakoou ílu půobící na zátku zlea, b) objem kapalin = m e rué náobě ρ = k m ; ρ =, 8 k m ; S =, m ; S =, m ; S = m; p = Pa ; p =, Pa ; = m F, V =? Pomínkou ronoá kapalin náobác je nuloá ýlenice il F, F půobícíc zlea a zpraa na zátku Z : F+ F = F = F Velikot F tlakoé íl F (půobící na zátku zlea) je úměrná celkoému tlaku kapalin úroni zátk; platí te Z pomínk F F = p+ ρ S, F = 88 N = F otaneme F = p + ρ S = p + ρ S p + ρ = p + ρ ρ = ( p p + ) S V = p p + ρ (, ρ ) V ρ ; V = S =, 7 m Na ně oojemu tojí betonoá kontrukce taru ou ouoýc álců (iz obrázek) Určete elikot íl, kterou kontrukce půobí na no oojemu Hutota o je ρ, utota betonu je ρ D F H Tía F G ; ; H ; ; D ; ρ ; ρ ; F =? kontrukce (měřující ile olů): F V V + V ρ = G = ρ = D = π +π ( ) ρ F π = ( D ρ + ρ ρ) G Plošná tlakoá íla F na celou orní potau ětšío álce (měřující ile olů) D F S p H π ( ) ρ F ( D H D ) π = ρ ρ

4 - 7 - Plošná tlakoá íla F na (oě přítupnou) čát olní pota ětšío álce (měřující ile naoru) D F = Sp = π π H ( ) ρ π F = ( D ) H ( ) ρ π F = ( D Hρ D ρ + D ρ Hρ + ρ ρ) Výlenice il F G, F a F je íla F = FG + F+ F elikot F íl F Pro F F F G F = FG + F F π F = ( D ρ+ ρ ρ+ D Hρ D ρ DHρ + Dρ Dρ + Hρ ρ + ρ π F = ( D ) ( ρ ρ ) + ( H ) ρ + ρ ) V citerně taru komoléo kužele (iz obrázek) je oa Určete objem V o a její motnot m Určete tlak p o u na citern a tlakoou ílu F půobící na její no Určete ýlenou tlakoou ílu F S o půobící na kuželoou těnu citern 7,9 N, m ;, k;, Pa;,7 N; p =, MPa ; = m ; r =, m ; = ; Vm,, p, FF=,? S platí r p =, MPa m r, m - Objem V o citerně určíme jako rozíl objemů VV, ou kuželů: V = π r ; V = πr r = + ; = + t t r r ; V = V V V = π r r ( ) V π = ( + t ) ( + r t ) r t r t t, = π ( +, +, ) =, m V =π + r + r V

5 - 7 - Hmotnot o: m =ρv Tlak (kliné) o úroni na citern: m =πρ t + rt + r, m =, k m = + ρ, p p Tlakoá íla (kliné) o na no citern: F = ps F = ( p + ρ ) πr, F F na no citern: Velikot je F = F F F F F + F = F F k G F = m F p = +, Pa =, Pa F =π,, N =,7 N F Tlakoou ílu k půobící kolmo na element S (nitřnío) porcu kuželoé těn lze rozložit na ooronou ložku F a na ilou ložku F Výlenice ooronýc ložek F je nuloá Velikot F ýlenice F ilýc ložek můžeme určit jako rozíl elikoti tí F o a elikotí F tlakoé íl F, kterou oa půobí, F =,,7 N = 7,9 N F k celkoé tlakoé íl, kterou půobí oa kolmo na šikmou těnu citern, Fk = F in Přeraní zeď má tar ronoramennéo licoběžníka orní záklanou m, olní záklanou m a ýškou m () Vpočtěte elikot tlakoé íl, kterou [;] na ni půobí oa z = m ; z = m ; = m ; F =? V loubce po olnou lainou o je rotatický tlak p = ρ Vberme element S přeraní zi, [;] () jeož šecn bo jou mítě tejnéo rotatickéo tlaku (iz obr) Celý element S je (náoně zolené) loubce po olnou lainou o a je možno jej poažoat za obélník, jeož tran jou a S = Na element S půobí elementární tlakoá íla F o elikoti F = ps =ρ S F = ρ ( )

6 - 7 - Vjářeme nní záilot (poloin élk elementu S ) na ouřanici Napišme nejříe ronici přímk procázející praými rcol licoběžníka bo o ouřanicíc [ ; ], [;] Obecný tar ronice přímk procázející ěma různými bo o známýc ouřanicíc je = ( = ) a otu ( ) = + Doaíme-li toto jáření záiloti ouřanice praéo okraje zi na o jáření elikoti F elementární íl a použijeme-li zaané onot = otaneme F = ρ ( ) + F = ρ ( ) Celkoou tlakoou ílu o na zeď počteme určitou interací: F = ρ ( ) = ρ F [ ] F =, N =, MN Určeme nní celkoou tlakoou ílu o přípaě, že bcom přeraní zeď otočili tak, že b tála na é ětší záklaně Její praé rcol b pak měl ouřanice [ ; ] a [ ;] ; ronice přímk procázející těmito bo b bla = + = + Pro elikot F elementární tlakoé íl půobící na plošný element S = porcu zi bue nní platit F = ρ ( ) + F = ρ + Celkoá tlakoá íla o půobící na přeraní zeď je pak F = ρ + F = ρ + 8 F = N = MN 7 Dě tejné kuličk jou pojen neroztažitelnou a okonale oebnou nití élk l zanebatelné motnoti Prní z nic ržíme na ece tolu, jeož ýška na polaou je l, ruá ií pře ranu tolu a její ýška na polaou je l Po uolnění začne prní kulička klouzat bez tření po ece tolu a okamžiku, k ruá kulička oáne A pola, e oělí o tolní ek Určete ýšku rué kuličk na polaou, níž oje k opětnému napnutí niti B l Rclot kuličk A okamžiku t = jejío oělení o tolní ek určíme ze zákona zacoání C mecanické enerie

7 - 7 - l = m l = m Ve elmi krátkém náleném čaoém interalu e napnutí niti poruší, neboť etračná otřeiá íla m Fo m, l půobící na kuličku A okamžiku t =, je menší než tía m kuličk O okamžiku t = e kulička A bue poboat ooroným rem; ložk jejío polooéo ektoru outaě počátkem boě C jou = t; l t Opětné napnutí niti natane okamžiku t, k = l + = l t + l lt + t = l t = l = l t = l = l 8 Dělo rá třel počáteční rclotí Najěte maimální zálenot, o které může ělo otřelit na šikmé roině írající ooroným měrem úel β Jaký muí být eleační úel? ( ) inβ β ; β ; ma, =? coβ = + t = co ( ) Střela e pobuje šikmým rem a ložk jejío polooéo ektoru jou = tco, = t + tin + Vloučením čau t z těcto ronic otaneme analtickou ronici parabol, po níž e třela pobuje, e taru + + t t Doaíme-li to této ronice ouřanice míta opau třel, otaneme co β tcoβ inβ inβ= ( + t ) + coβt = co β + t ( β) t t = coβ + t

8 - 7 - Další řešení je leáním lokálnío maima funkce etrému je nuloot prní eriace této funkce pole proměnné a te + t t tβ t t coβ + t co co t t t t + β = Dikriminant této karatické ronice je otááme t t t = Nutnou pomínkou t ttβ = t D = β+, takže pro kořen ronice, = β± + β Druý kořen neouje zaání úlo (eleační úel šikméo ru b měl být otrý) Dotááme te = β+ + β = arct( tβ+ + t ) β t t t Tento ýleek lze uprait také náleujícím způobem + inβ + inβ t = tβ+ + t β= tβ+ = coβ coβ coβ + coβ+ inβ+ inβ+ coβ + coβ + coβ co co co co + β+ β + β + β ( + coβ coβ )( + coβ + coβ) co co co + β+ β + β ( + coβ coβ )( + coβ + coβ) ( + coβ + coβ) ( + coβ coβ )( + coβ + coβ) coβ + β + coβ + coβ + coβ + t = = + coβ coβ coβ β t + coβ π β t + t π β t t t π + = + β π β t t π = +β 9 Těleo je rženo tak, že opane na ooronou roinu procázející mítem ru e zálenoti a nejšší bo rá je e ýšce na touto roinou V jaké maimální zálenoti b molo těleo opanout, kb blo rženo po oným eleačním úlem toutéž počáteční rclotí? ; ; ma =? Střela e pobuje šikmým rem a ložk jejío polooéo ektoru jou

9 = tco, = t + tin Okamžik t opau šikméo ru na ooronou roinu procázející mítem ru určíme z pomínk = t+ in t = in t + = in t = Doaíme-li tuto onotu čau o jáření prní ložk polooéo ektoru čátice, otaneme élku ru in co = = inco = Okamžik t oažení maimální ýšk ru určíme z pomínk in = in t = t = Doaíme-li tuto onotu čau o jáření rué ložk polooéo ektoru čátice, otaneme ýšku ru in in = = in Použijeme-li z tooto ztau k jáření in a co jako in =, in = co = in co = a oaíme-li tato jáření o ztau pro élku ru, otaneme 8 = = = + 8 Deriujeme-li zta pro élku ru pole a položíme-li tuto eriaci ronu nule, otaneme nutnou pomínku pro určení eleačnío úlu, při němž je při ané počáteční rcloti élka ru maimální Platí te in co in = = ; co co= = ma = 8 ma = + Dělo třelí ě třel toutéž počáteční rclotí Prní třela je třelena po eleačním úlem, ruá po menším eleačním úlem Jak elký muí být čaoý interal t mezi oběma ýtřel, ab e třel ještě pře opaem razil?, =, = ; ; ; < ; t =?

10 ( ) b, [ ab, ], oběma ronicím, muí te platit a Ronice trajektorie prní třel je = + ( t ) + t Ronice trajektorie rué třel je = + ( t ) + t Souřanice ab, bou, něm oje ke rážce třel, muí ooat ( + t ) a + at = ( + t ) a + at a t t = ( + t ) ( + t ) a t t = t t a = ( t + t ) Pro ouřanici a kromě too platí a = t a= t t t = t co co ; t =, t = co co a a a t t = co co ( t = ) co co t + t co co t = in ( + )

Podobné dokumenty

Vzorové příklady - 5.cvičení

Vzorové příklady - 5.cvičení Vzoroé příklady - 5.cičení Vzoroý příklad 5.. Voda teplá je ypouštěna z elké nádrže outaou potrubí ýtokem do olna B. Určete délku potrubí =? průměru ( = 0,6 mm, oceloé, ařoané po použití), při níž bude