5. ÚVOD DO TEORIE MATEMATICKÉ PRUŽNOSTI

Transkript

1 5. ÚVOD DO TOR MATMATCKÉ PRUŽNOST 5..Základní předpoklad a pojm. Látka která táří přílušné těleo je dokonale lineárně pružné mei napětím a přetořením je lineární áilot.. Látka hmotného tělea je homogenní a iotropní. Homogenita každém mikroobjemu je tejná látka která kauje tejné fikální a chemické latnoti. otropie jadřuje kutečnot že kterémkoli měru cháejícího daného bodu jou tejné fikálně mechanické latnoti.. Poun a deformace tělea od nějšího atížení uažujeme elmi malé tj. matematickém přepiu je le pokládat a infiniteimální eličin. Základní úloha určit množinu pounů šech bodů tělea tj. určit ektoroé pole pounutí. Na teorii pružnoti naauje a ouií ní: Teorie penoti šímá i příputných meí napětí které předepiuje růným druhům materiálů hledika jejich kalit. Teorie platicit šetřuje tělea která po ém odlehčení ůtáají trale deformoaná. Reologie leduje rooj iloých a deformačních faktorů áiloti na čae. Přihlíží k liu čau na měnu fikálně mechanických latnotí látek. 5..Sta deformace Vnější atížení odí poddajném tělee poun pootočení a deformace. Deformace elementu e obecném případě ukutečňuje relatiními měnami délek jeho hran a měnami praých úhlů mei jeho těnami které můžeme koumat e třech ájemně kolmých roinách. Poun a pootočení jou charakteritikami přetoření tělea. A A d O d O d B B C C Úhloá G obdobně pro Vektor pounutí deformace u u w repreentuje ektoroé pole pounutí daného tělea.

2 Složk tenoru deformace u u w w w u 6 geometrických ronic kde poměrné délkoé přetoření (prodloužení e měru ouřadnicoých o. měn praých úhlů roinách onačených přílušnými inde (poměrné úhloé přetoření Ronice pro přetoření tářejí outau 6 geometrických ronic. Tenoroé pole deformace {} { } T Geometrické ronice maticoém ápiu {} []{} u T Operátoroá matice [] Tenor deformace malých deformací A 5..Ronice kompatibilit (pojitoti deformací Toří outau 6 ronic kterým muí hooat pole deformace { }. Platí že pole deformace muí být každém bodě tělea pojité (kompatibilní.

3 V maticoém ápiu [ ] [ ] [ ] [ ] T A nuloá matice [ ]. pole operátoroé matice (kromě namének 5.4.Sta napjatoti V tělee nikají nitřní íl jako odea na půobení il nějších. Vnější íl:. Objemoé íl atížení které půobí na objem určité hmot např. íl graitační etračné [ ] m N. Porchoé íl atížení které půobí na plochách porchu tělea [ ] m N Vnější oamělou ílu definujeme jako ýlednici il půobících na elementární plochu A. Vnitřní íl půobí na elementárních ploškách tělea A F A lim [ ] m N ektor napětí bodě P n kde n normáloá ložka ektoru napětí - tečná ložka ektoru napětí (tangenciální P F n A

4 Výledné napětí υ β α B A C A A A ν A liboolně olená plocha ν ν ν - ýledné napětí na liboolně orientoané ploše A Poměr ploch na čtřtěnu A A A coα lν co β lν co lν A A A K určení ýledného napětí e etaí oučtoé podmínk ronoáh ν A A A A ν A A A A ν A A A A po úpraě l l l ν ν ν ν ν lν lν lν ν lν lν lν Známe-li tenor napětí [ A ] na naájem kolmých ploškách le počítat napětí na liboolné jiné plošce Α. D ν - normála k plošce BCD írá e ouřadnicoými oami úhl α β { ν } [ A ] T { lν } kde { ν } { ν ν ν } T { lν } { lν lν lν } T Tenor napětí [ A ] popiuje ta napjatoti daném bodě. [ A ]

5 5.5.Cauchho tatické ronice d d d d d d d d d d d d Statické ronice cháejí podmínek pojitoti (kompatibilit měn e ložkách napětí. Součtoé podmínk ronoáh elementárního kádru X nebo [ ] { } { X } { } Y kde { } Z kde N m X Y Z jou objemoé íl [ ] d d d d Věta o ájemnoti tečných napětí Z momentoé podmínk k těžišti elementárního kádru le ododit podmínk jadřující ětu o ájemnoti tečných napětí.

6 obdobně d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d áměnou indeů e elikot tečného napětí nemění. 5.6.Fikální ronice Do počtu ronic e muí přidat podmínk které jadřují áilot mei napětím a přetořeními a jou áán na konkrétní fikálně-mechanické latnoti reálných těle. Vjadřují tah mei ložkami tenoru napětí a tenoru deformace [ ( ] G [ ( ] G [ ( ] G kde modul pružnoti (Youngů modul [N m - ] G modul pružnoti e mku m G m G ( ( - Poionů oučinitel m - Poionoa kontanta }oučinitel příčné kontrukce l l l a a a l l l a p a p l p l

7 pro iotropní materiál 5 <! Objemoý modul pružnoti při relatiní měně objemu Fikální ronice le apat maticoém taru {} [ ] { } D nebo { } [ ] { } D [ ] D - matice tuhoti materiálu [ ] D - matice poddajnoti materiálu (inerní k matici D Pro lineárně pružný materiál: [ ] ( ( ( D [ ] ( ( D 5.7.Řešení obecného problému Stém ákladních ronic je tořen 5 ronicemi pro analýu tau napětí a deformace. Řešení počíá určení 5 funkcí proměnných jako funkce ( :. ložk ektoru pounutí { } { } T w u u. 6 ložek tenoroého pole napětí { } { } T. 6 ložek tenoroého pole deformace { } { } T 5 ronic pro řešení obecného problému ted obahuje:. 6 geometrických ronic. tatické ronice. 6 ronic fikálních Dále jou doplněn ronicemi kompatibilit požadaek pojitoti deformace.

8 Řešení obecného problému má ariant:. Deformační arianta Doaením ložek tenoroého pole deformace do ronic fikálních a pak doaení parametrů napětí e fikálních ronicích do tatických diferenciálních ronic a jejich integroáním íkáme nenámé poun u w. V tomto případě toří tatické ronice po doaení Laméo tatické ronice pro tři nenámé poun.. Siloá arianta Nenámými jou ložk tenoroého pole napětí {}. Potupujeme tak že ronice kompatibilit jádříme pomocí fikálních ronic napětích. Těchto ronic je 6 a mají 6 nenámých funkcí napětí. Protože jadřují poue podmínku pojitoti je nutno přičít upraené Cauchho ronice ronoáh. Po úpraách dotaneme outau 6 Beltramiho ronic a 6 hledaných funkcí napětí. Volba ariant pro řešení áií na ložitoti problému. Máme-li adán kinematické okrajoé podmínk (ektor pounutí je hodné aplikoat deformační ariantu. Jou-li adán tatické okrajoé podmínk (např. atížení je na porchu je hodné použít iloou metodu. V prai e obkle ktují kombinoané případ okrajoých podmínek. 5.8.Hlaní napětí V obecném bodě atíženého tělea eitují žd tři k obě kolmé ploch na nichž jou tečná (mkoá napětí nuloá a normáloá napětí nenuloá. Budeme je naýat hlaní napětí a roin na které půobí hlaní roin. Vhledem k tomu že na hlaní roině půobí hlaní napětí totožné ýledným napětím le pro jeho ložk pát: ν coα ν co β ν co Doaením do ronic ronoáh na čtřtěnu mají ronice ronoáh po úpraě tar: co α co β co ( ( co β co co α ( co co α co β Tto ronice mají řešení triiální: co α co β co které nehouje námému tahu co α co β co χ Netriiální řešení mají a předpokladu nuloého determinantu: Pomocí inariantů le poté ronici íkanou roojem determinantu uprait takto:

9 kde je. inariant napětí je.inariant napětí je. nariant napětí Výše uedené ronice jou inariant tenoru protoroé napjatoti. Řešením ronice íkáme elikoti hlaních napětí pro které platí : > >. V každém bodě tělea eitují práě tři hlaní napětí půobící na tři ájemně kolmé ploch. nariant neáiejí na olbě ouřadnicoého tému. Tenor napětí e měrech hlaních napětí má tar: [ A ] přílušné inariant daném ouřadnicoém tému a e měrech hlaních napětí jou poté: Hlaní tečná (mkoá napětí plnou ronic: ± ± ± ( ( ( o 45

10 a k nim korepondují normáloé napětí ronic: ( ( ( Z obráku je řejmé že hlaní tečná (mkoá napětí půobí roině procháející jednou oou ouřadnicoého tému a půlící úhel býajících dou o Hlaní deformace Hlaní poměrné délkoé deformace plnou kubické ronice taru: p p p kde je lineární inariant daný ronicí: je druhý (kadratický inariant: ( 4 je třetí (kubický inariant daný tahem: ( 4 4 kde kromě dříe uedených ýnamů jou hlaní poměrné délkoé deformace. Podobně pro hlaní úhloé deformace platí ronice: ( ( ( ± ± ± a pro korepondující poměrné délkoé přetoření platí: ( ( ( Ponámka: a předpokladu že > > je abolutně nejětší hlaní úhloá deformace dána tahem:

11 ma 5.. Oktaedrické napětí Při tudiu platických deformací je nutné nát mkoé napětí půobící na plošce e tejném klonu ke každé hlaní oe (obr.tato ploška e jmenuje oktaedrická. Normála k plošce BCD írá každou ouřadnicoou oou tejný úhel platí: α α α Protože: co α co α co α platí: co α Oktaedrické napětí je dáno tahem: okt B C A α α α ν ( α α α D Normáloá ložka oktaedrického napětí je: okt n a tečná ložka je okt ( ( ( 5.. Poměrná měna objemu objemoá deformace třední normálné napětí Uažujme praoúhlý hranol o délce tran e měru jednotliých o ddd atížený na protilehlých tranách tejným napětím. Účinkem těchto napětí e tran hranolu prodlouží e měru jednotliých o o přírůtk pounutí. Změna objemu e dá jádřit d d d d u d w d w w u u w dv d d dw d d d d d d d d d Při anedbání řádoě malých náobků eličin e dotane w u dv d d dw d d d d d d

12 Poměrná měna objemu je definoána rep. w u d d dw d d d d d d dv dv d d d Doadí e do tohoto tahu fikální ronice ( ν ν ( ν ν ( ν ν a potom ( ( ν Zaede-li e t. objemoý modul pružnoti který je definoán tahem K( ν rep. K ( ν dotaneme e poměrná měna objemu e taru ( K Zaede-li e pojem třední normálné napětí Le pát K rep. K 5.. Deiátor napětí Sta napjatoti na diferenciálu objemu i můžeme předtait jako ýledný účinek dou taů napjatoti (i obr.. V prním půobí na šechn těn objemu tejné napětí jedná e ted o hdrotatické napětí které oláá poue měnu objemu. Druhý napěťoý

13 ta be hdrotatické ložk ae oláá měnu taru. Obecný tenor napětí le takto rodělit na na čát hdrotatickou a t. deiátor napětí. Podobně jako tenor napětí má i deiátor napětí tři inariant. V deiátoru napětí [ D ] aedeme noá onačení a po doaení [ D ] nariant deiátoru napětí pak mají hodnot je. inariant deiátoru napětí je.inariant deiátoru napětí je. inariant deiátoru napětí 5.. Deiátor deformace Podobně aedeme-li třední deformaci a Mají inariant deiátoru deformace tar je. lineární inariant deiátoru deformace ( 4 je. (kadratický inariant deiátoru deformace ( 4 4 je. (kubický inariant deiátoru deformace. Deiátor napětí a deformace e použíají teorii platicit při torbě materiáloých modelů.