2.3.2 Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMUN)
|
|
- Ivo Vlček
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 3 Modifikovná metod uzlových npětí (MMN) Výhodou metody uzlových npětí je její sndná lgoritmizce: lgoritmus pro sestvení soustvy rovnic přímo ze sché mtu je velmi jednoduchý lze jej tedy implementovt do počítčových progrmů pro nlýzu či simulci Nevýhodou metody ovšem je, že neumožňuje nlyzovt ovody se zdroji npětí součástkmi, které nemjí dmitnční mtici Bohužel k těmto součástká m ptří nejen npříkld tkové prvky jko je oyčejný trnsformá tor, le i různé operční zesilovče, konvejory dlší dnes moderní nlogové prvky Proto klsická MN musí ýt podroen určité modifikci, která jednk zchová její výhodu sndnou lgoritmizovtelnost jednk umožní nlyzovt lineá rní ovody ez výše uvedených omezení kážeme 3 metody modifikce od nejuniverzá lnější, le poměrněnáročné n konečné výpočty, ž po modifikci umožňující řešit reltivně omezenou třídu ovodů, le zto velmi efektivně 3 Metod rzítek Kždý prolé mový prvek je popsá n minimá lnějednou přídvnou rovnicí o stejný počet oohtí množinu nezná mých Součsnědojde k modifikci některých původních rovnic KZ Mticová rovnice pk získá zvláštní strukturu: k pů vodní dmitnční mtici MN přiudou řá dky sloupce, jejichž prvky nemjí rozměr dmitncí Jsou to tzv rzítk přídvných elektrických prvků Celá mtice se pk nzývá pseudodmitnční Zvětšení rozměru soustvy rovnic ovykle při počítčové nlýze nemusí ýt n zá vdu Při ručním řešení jde všk prkticky vždy o prolé m vžujme ovod popsný rovnicemi klsické MN Mezi uzly ovodu dodtečněpřipojíme oecný dvojpó l, který je popsá n svým Thé veninovým modelem podle or 48 Včleněním dvojpó lu dojde k změněnpěťových proudových poměrů v ovodu Dvojpó lem ude proté kt proud x, který modifikuje proudové poměry v uzlech Dojde i k změněpů vodních uzlových npětí Or 48 i Zi x Pů vodní rovnice popisující rovnová hu proudu v uzlu musí ýt n prvé strnědoplněn o proud x, vyté kjící ven z uzlu, v uzlu o proud x se zá porným znmé nkem, protože vté ká dovnitř uzlu Nvíc uzlová npětí jsou nyní spolu vá zá n podmínkou Z i x + i +, neoli i Zi x + Všechny tyto modifikce lze zhrnout do nové soustvy rovnic MMN: x + - i - Z i x rzítko Vektor nezná mých uzlových npětí je rozšířen o dlší nezná mou, proud x Počet rovnic je rovněž zvětšen o jedničku, to o výše uvedenou podmínku mezi uzlovými npětími Přitom npětí PDF yl vytvořen zkušeníverzífineprint pdffctory 43
2 i je zčleněno do vektoru zná mých udicích veličin n levé strně Modifikce rovnic KZ pro uzly je proveden zá pisem čísel + do sloupce x Prá věprovedený zápis je návodem, jk pomocí MMN nlyzovt npříkld ovody oshující zdroje npětí mpednce Zi může ýt i nulová, pk se ude jednt o ideá lní zdroj npětí Při i součsnězi lze modelovt zkrt mezi uzly počítt proud, tekoucí tímto zkrtem Toho lze využít npříkld při nlýze ovodů s proudem řízenými zdroji V přípdě, že v ovodu se nchá zí více prvků ez dmitnčního popisu, odpovídá kždé mu z nich smosttné rzítko Pseudodmitnční mtice pk nývá n rozměrech Metodu udeme líže konkretizovt n několik příkldech Psivní ovody oshující zdroje npětí i proudu Pomocí MMN vyřešme zdá ní z or Ú loh je zopková n n or 49 Je hledá n proud x vyté kjící ze zdroje npětí Heuristickými postupy v části jsme dospěli k výsledku,5 ma ma R R3 R 6k k R4 k k x? 3V Or 49 V ovodu jsou 3 nezá vislé uzly referenční uzel Pro kždý z tří uzlů sestvíme rovnice klsické MN Poté přidá me rovnici respektující npěťovou vzení podmínku pro uzlová npětí, vyvolnou zčleněním zdroje npětí, totiž že uzlové npětí 3 je npětím zdroje, modifikujeme pů vodní rovnice o vliv proudu x, konkré tněrovnici pro uzel 3 Výsledek je zde: 3 x G +G -G -G G +G 3 +G 4 -G 3 - -G 3 G 3 3 x Dosdíme číselné hodnoty pro jednoduchost vodivosti v [ms] proudy v [ma]: 3 x /3 -,5 -,5,5 -,5 - -,5,5 3 3 x Po vyřešení soustvy dostneme výsledek x,5 ma Ovody s ideálním operčním zesilovčem typu VFA PDF yl vytvořen zkušeníverzífineprint pdffctory 44
3 oz c c Or 5 deá lní operční zesilovč n or 5 po vložení do ovodu způ soí jednk ztotožnění uzlových npětí, jednk modifikci proudových poměrů v uzlu c: c OZ c c c - OZ V spodní přídvné rovnici je zpsá n rovnice Výsledek řešení se pochopitelněnezmění, jestliže oěstrny této rovnice vyná soíme liovolným nenulovým číslem Ve spodním řá dku tedy může ýt nmísto [ ] npříkld [- ] neo tře [5 5] Je-li jeden ze vstupů OZ spojený s referenčním uzlem, neojeví se příslušné uzlové npětí v rovnicích proto v posledním řá dku ude figurovt jen jedn jedničk místo uvedené dvojice Tto situce ude uká zá n v ná sledujícím příkldu Jedničk v řá dku c sloupci OZ reprezentuje připočtení proudu OZ do celkové ilnce proudů, vyté kjících z uzlu c Jko příkld uveďme zpojení invertujícího zesilovče s T-člá nkem n or 5 Je tře určit jeho npěťové zesílení 4/ R R3 R 5k Or 5 5k R4 5k oz 5k vžujme tedy, že zesilovč je uzen ze zdroje signá lu do uzlu Pro jednoduchost předpoklá dejme zdroj proudu V přípdě zdroje npětí y to totiž znmenlo dlší přídvnou rovnici Rovnice MMN udou vypdt tkto: 3 4 OZ G -G -G G +G -G -G G +G 3 +G 4 -G 3 3 -G 3 G 3 4 OZ PDF yl vytvořen zkušeníverzífineprint pdffctory 45
4 Jedničk v přídvné m řá dku reprezentuje jednoduchou rovnici Tento příkld ukzuje n neefektivnost dné metody pro ruční řešení Řešený ovod je poměrně jednoduchý, přesto jsme získli soustvu 5 rovnic o 5 nezná mých Přitom přídvná rovnice vlstněříká, že nezná mou lze vyloučit, protože je nulová V podsttěná s nezjímá ni nezná má OZ, přesto v soustvěfiguruje Po prcné m výpočtu vyjde výsledek RR3 R + R3 + 4 R4 K R Ovody s ideálním zesilovčem npětí (ZN) deá lní zesilovč npětí n or 5 má tyto vlstnosti: - nekonečný vstupní odpor, v jehož dů sledku netečou do vstupů proudy, - nulový výstupní odpor, tkže z hledisk výstupu se ZN chová jko ideá lní zdroj npětí, - výstupní npětí je rovno součinu zesílení A diferenčního npětí mezi vstupy deá lní operční zesilovč VFA je tedy speciá lním přípdem ZN pro zesílení rostoucí nde všechny meze Dlším speciá lním přípdem je jednotkový zesilovč (oddělovcí zesilovč, uffer), který lze modelovt pomocí ZN z předpokldu uzemněné ho invertujícího vstupu jednotkové ho zesílení A A z c c c A(-) Or 5 Zčlenění rovnic ZN do soustvy MMN ude odoné jko u ideá lního OZ Rozdíl ude v rzítku, protože nyní je jiná npěťová vzení podmínk: c A+A c Z c c c -A A Z Pokusme se určit npěťové zesílení ovodu n or 53 MMN vede n 4 rovnice: PDF yl vytvořen zkušeníverzífineprint pdffctory 46
5 A z R5k R5k Or 53 3 Z G -G -G G +G 3 -A A Z Pomocí lgerických doplňků určíme poždovné zesílení: G : A A A( G + G ) &,4 G G : G + G AG G G + G G + G A Poznmenejme, že v přípděideá lního operčního zesilovče (A ) y ylo zesílení přesně Ovody s proudovým konvejorem typu CC N or 54 je model pozitivního (negtivního) ideá lního proudové ho konvejoru CC+(-) Přídvnou nezná mou v soustvěrovnic MMN ude proud Po vložení konvejoru do ovodu dojde k ztotožnění uzlových npětí X Y (mezi svorkmi X Y je jednotkový zesilovč) k modifikci proudových poměrů v uzlech X Z y CC+(-) CC+ z Y X Z CC- x Or 54 Rzítko proudové ho konvejoru ude proto vypdt ná sledovně: X Y Z X X - X Y Y Y Z Z -(+) Z - PDF yl vytvořen zkušeníverzífineprint pdffctory 47
6 Jedničk v řá dku Z sloupci má znmé nko pro pozitivní + pro negtivní proudový konvejor Vyřešme proudový přenos out/in filtru Sllen-Key v proudové m mó du n or 55 C out R R C CC- z - x y in Or 55 Sestvíme soustvu rovnic MMN: 3 G +G +pc -pc -G in -pc pc - -G G +pc 3 Ze soustvy rovnic vypočteme z něj out : pc G G + pc : out : in, out G G G in GG p CC + pc( G + G ) + GG p RRCC + pc( R + R ) + Z výsledku vyplývá, že se jedná o filtr řá du typu dolní propust Z vzorce lze odvodit, jk závisí kmitočet ω činitel jkosti filtru n součástká ch ovodu Ovody s proudovým operčním zesilovčem CFA Protože proudový operční zesilovč sestá vá z pozitivního proudové ho konvejoru CC+ oddělovcího zesilovče, zdá lo y se, že udou i odoné rovnice pro oěsoučástky Využijeme všk toho, že interní proud proudové ho konvejoru je u ideá lního prvku CFA nulový (trnsimpednce je nekonečná, proud se nemá km uzvírt, do vstupu oddělovcího zesilovče nemůže téci) Tuto nezná mou tedy nemusíme uvžovt Nmísto ní všk je tře počítt s výstupním proudem oddělovcího zesilovče PDF yl vytvořen zkušeníverzífineprint pdffctory 48
7 + - CFA out c c Or 56 Rovnice MMN pro prvek CFA tedy udou: c out c c c - out Jko příkld uveďme nlýzu invertujícího zesilovče s prvkem CFA n or 57 R R 5k 5k Or 57 out CFA Rovnice MMN jsou 3 out G -G -G G +G -G -G G 3 out Npěťové zesílení vyjde stejnějko u ovodu s klsickým operčním zesilovčem: G G + G G + G G 3 :3 : G R G G G G R PDF yl vytvořen zkušeníverzífineprint pdffctory 49
8 Pozorný čtenář si mohl povšimnout, že rzítko prvku CFA je shodné s rzítkem klsické ho operčního zesilovče VFA Skutečně, ideá lní prvky VFA CFA se v lineá rním režimu chovjí stejně, protože je spojují stejné vlstnosti nulové diferenční npětí, nulové vstupní proudy nulový výstupní odpor Proto změníme-li v lineá rních plikcích jeden typ ideá lního zesilovče z druhý, princip funkce není nrušen Rozdíly spočívjí v projevech reá lných vlstností, které mohou ýt mnohdy mrkntní Tento pozntek je uveden již v části 9 Z předchozích uká zek je zřejmé, že metod rzítek je velmi oecná možňuje nlyzovt lineá rní ovody oshující liovolné ovodové prvky ez jké hokoliv principiá lního omezení S přihlé dnutím k sndné lgoritmizci při sestvová ní rovnic je tento přístup využívá n zejmé n při počítčové simulci N druhou strnu je tře vidět i nevýhody Růst počtu rovnic je nepříjemný zejmé n při ruční nlýze Čsto je toto rozšiřová ní počtu rovnic zytečné : npříkld u operčního zesilovče se přidá vá mezi nezná mé veličiny výstupní proud, i když mnohdy není cílem nlýzy Přidá vá se dlší rovnice, která konsttuje, že dvěuzlová npětí n vstupech zesilovče jsou shodná Přitom tto npětí oě figurují v seznmu nezná mých ovodových veličin Je tedy zřejmé, že z hledisk ekonomičnosti v sestvová ní rovnic má dný postup rezervy Z uvedených dů vodů vznikly dlší, níže popisovné postupy, které mohou ýt vhodnější pro ruční nlýzu 3 Metod zká zné ho řá dku Tto metod n rozdíl od předchozí metody rzítek zchová vá počet rovnic originá lní metody uzlových npětí Je vhodná pro nlýzu ovodů zejmé n s ideá lními operčními zesilovči ideá lními zesilovči npětí V části 34 ukážeme, že ji lze s úspěchem použít i pro nlýzu ovodů s proudovými konvejory vžujme opět ideá lní operční zesilovč n or 58 Nyní již víme, že dlší úvhy spojené s tímto modelem udou pltné pro typy VFA i CFA Or 58 oz c c V kpitole 3 yl odvozen mticový popis pomocí metody rzítek v tvru: c OZ c c c - OZ PDF yl vytvořen zkušeníverzífineprint pdffctory 5
9 Všimněme si, že v sloupci OZ je jediný nenulový prvek jedničk v řá dku c Znmená to, že tto nezná má je využívá n pouze v rovnici pro uzel c Jinými slovy, z této rovnice můžeme nezná mou OZ vypočítt s tím, že v osttních rovnicích ji k výpočtů m není tře Pokud není cílem nlýzy výpočet proudu OZ, nepotřeujeme tedy rovnici v řá dku c, nepotřeujeme ni nezná mou OZ Vše vyřešíme tk, že v mtici nmísto řá dku c zpíšeme přídvný řá dek rzítk ze seznmu nezná mých vypustíme proměnnou OZ Výsledek je zde: c c - c Řá dek c mtice oznčíme domluvenou znčkou, npříkld tmvým kolečkem, jko tzv zká zný řá dek N rozdíl od osttních řá dků mtice totiž do tohoto prostoru není dovoleno zpisovt dmitnce podle lgoritmu klsické MN Tím ychom porušili npěťovou vzení podmínku v nšem konkré tním přípdě -, která jko jediná může ýt v tomto řá dku npsá n Stejný princip lze upltnit při tvorěrovnic pro ideá lní zesilovč npětí, které se liší pouze vzení podmínkou Podoněpostupujeme i v přípděnezá vislých zdrojů npětí Můžeme tedy formulovt ná sledující prktický postup sestvová ní rovnic metody zká zné ho řá dku pro ovody s operčními zesilovči, ZN ideá lními zdroji npětí: Ve sché mtu vyznčíme čísl uzlů Referenčnímu uzlu přiřdíme číslo Zjistíme počet nezá vislých uzlů, tj počet uzlů mínus (referenční uzel) Nčrtneme kostru mticové rovnice, vyplníme vektor n prvé strněnezná mými uzlovými npětími, vektor udicích proudů n levé strně, vyplníme zá hlví řá dků sloupců 3 Zjistíme číslo uzlu, k němuž je připojen výstup OZ, resp ZN, resp uzemněný ideá lní zdroj npětí Příslušný řá dek oznčíme symolem zká zné ho řá dku Pokud je dných prvků v ovodu více, kždý ude reprezentová n svým zká zným řá dkem v mtici Vylučujeme přípd spojení výstupů ideá lních zesilovčů zdrojů 4 Do zká zné ho řá dku zpíšeme npěťovou vzení podmínku, která přísluší dné mu zesilovči neo zdroji 5 V poslední fázi doplníme osttní prvky mtice dmitncemi podle lgoritmu klsické MN Vyhýá me se všk prvků m v zká zných řá dcích Jko příkld uveďme nlýzu vstupní impednce Antoniov mutá toru n or 59 OZ Zin? Z Z Z3 Z4 Z5 OZ Or 59 PDF yl vytvořen zkušeníverzífineprint pdffctory 5
10 3 4 5 Y -Y - OZ -Y Y +Y 3 -Y 3 - OZ -Y 4 Y 4 +Y 5 Zká zný řá dek č ptří k OZ, zká zný řá dek č4 k OZ Z mtice určíme vzorec pro vstupní impednci: Y Y + Y 3 Y : Y4 Y4 + Y5 ZZ3 Z 5 Z Z 4 Z in 3 Vidíme, že metod zká zné ho řá dku může přispět k urychlení výpočtů v ovodech se zesilovči Nyní se nučíme zvlášť úspornou metodu, vhodnou zejmé n pro ovody s ideá lními operčními zesilovči 33 Metod / Tto metod vychá zí z tzv metody npěťových proudových grfů [ ], resp metody npěťových proudových koeficientů [ ] Zde uvá díme její vrintu, optimlizovnou pro prktické výpočty Použití té to metody má z ná sledek, že přítomnost kždé ho ideá lního OZ v ovodu snižuje celkový počet rovnic o jedničku To může význmněpřispět k urychlení ručních výpočtů Princip je nznčen n or 6 Do nezná mých uzlových npětí se zhrne vždy jen jedno z dvojic npětí, které odpovídjí vstupů m OZ, přípdněžá dné, pokud je jeden ze vstupů uzemněn (pk je toto npětí stejněnulové ) Redukci nezná mých musí odpovídt i stejná redukce rovnic: nezpisují se rovnice KZ pro uzly, k nimž jsou připojeny výstupy operčních zesilovčů Vysvětlení je jednoduché : tyto rovnice se vypouštějí nenhrzují se ni zká znými řá dky Zká zné řá dky totiž oshovly rovnice typu rozdíl npětí n vstupech OZ je nul Nyní jsou tyto rovnice nhrzeny redukcí stejných npětí postupem, který shrneme do tří odů : z c c c Or 6 Postup při sestvová ní rovnic: Ve sché mtu vyznčíme referenční uzel osttní uzly očíslujeme Zjistíme celkový počet rovnic, který se rovná počtu nezá vislých (očíslovných) uzlů mínus počet operčních zesilovčů Nčrtneme kostru mticové rovnice neo pouze kostru čtvercové pseudodmitnční mtice Řá dky optříme vzestupněčísly uzlů Vynechá me všk čísl uzlů, k nimž jsou připojeny výstupy operčních zesilovčů Do záhlví sloupců zpíšeme uzlová npětí Jsou-li dvě uzlová npětí PDF yl vytvořen zkušeníverzífineprint pdffctory 5
11 totožná, npř 3, protože jsou k nim připojeny plovoucí vstupy OZ, zpíše se do záhlví 3 Jestliže je uzlové npětí nulové v důsledku virtuá lní nuly operčního zesilovče, dné npětí se v rovnicích vů ec neuvžuje 3 Prvky mtice se vyplní pomocí klsické ho lgoritmu MN s tím rozdílem, že se nyní musí rá t v úvhu všechny komince indexů v řá dcích sloupcích mtice vžujme opět ovod n or 59 Ovod má 5 nezá vislých uzlů, le oshuje operční zesilovče Sestvíme tedy pouze 5-3 rovnice pro uzly č, 3 5 (k uzlů m 4 jsou připojeny výstupy zesilovčů) Nezná mé veličiny udou tké 3: 35,, 4 Budeme-li se držet uvedené ho postupu, dostneme výsledné rovnice: Y -Y Y +Y 3 -Y -Y 3 Y 4 +Y 5 -Y 4 Vstupní impednce se nyní počítá o pozná ní rdostněji než z rovnic metody zká zné ho řá dku: Y Y Y Z in : 4 3 Z5 Y Y Z Z 4 Y + Y 3 Y 3 Y 3 Z Z Y4 + Y5 Y4 Tuto efektivní metodu si ještěprocvičíme n ovodu z or 5 (invertující zesilovč s T-člá nkem) Nezná má uzlová npětí udou, 3 4 ( se vynechá vá, je nulové ) Sestvují se rovnice pro uzly č, 3 (k uzlu 4 je připojen výstup OZ) Výsledek je ve tvru 3 4 G -G -G G +G 3 +G 4 -G 3 rčíme přenos npětí z uzlu do uzlu 4 Zde může nstt formá lní prolé m při prá ci s lgerickými doplňky: čísl vynechá vných řá dků sloupců nyní korespondují s čísly uzlů, nikoliv s pořdovými čísly řá dů sloupců N to je tře dá vt pozor jk při výěru vynechá vných řá dků sloupců, tk i při určová ní znmé nek lgerických doplňků G G RR3 R + R3 + 4 :4 G + G3 + G4 G ( G + G3 + G4 ) R4 G : GG3 R G + G + G G Podroněji o nlýze ovodů s proudovými konvejory CC Proudové konvejory dnes ptří k znovu ojeveným moderním součástká m jejich plikce zejmé n v ktivních filtrech je skloňová n ve všech pádech Bylo y smutné, kdyychom yli při nlýze loků s těmito součástkmi odká zá ni jen n vzá cněse vyskytující progrmy pro symolickou nlýzu neo n metodu rzítek Pro zá jemce o rychlou nlýzu ovodů se součástkmi typu CC jsou určeny následující řá dky Ojsníme zde dosud nepulikovné postupy, zložené n filozofii metody zká zné ho řá dku metody / Připomeňme rzítko, které jsme odvodili pro pozitivní negtivní proudový konvejor n str : PDF yl vytvořen zkušeníverzífineprint pdffctory 53
12 X Y Z X X - X Y Y Y Z Z -(+) Z - Před jedničkou v řá dku Z sloupci je znmé nko mínus pro pozitivní plus pro negtivní konvejor Metod zká zné ho řá dku spočívl v tom, že jsme ze soustvy rovnic vypustili rovnici pro výstupní uzel zesilovče, v které figurovl pomocný proud, tuto rovnici jsme nhrdili přídvnou rovnicí pro npěťovou vzení podmínku Zde je ovšem prolé m jk principiá lní, tk i technický Principiá lním prolé mem je, že je tře z rovnic vypustit výstupní proud konvejoru, což všk ývá zejmé n u ovodů prcujících v proudové m módu edlivěhlídná veličin N druhou strnu je prvd, že tento proud lze dodtečněvelmi doře určit z npěťových poměrů Technickým prolé mem je, že proud se nyní vyskytuje ve dvou rovnicích, nejen v rovnici pro výstupní uzel Z, le rovněž v rovnici pro uzel X Tento prolé m překoná me odečtením, resp sečtením rovnic pro uzly Z X tk, ychom vyrušili číslo v řá dku X sloupci Rovnici pro uzel Z odečteme od rovnice pro uzel X pro CC+, pro CC- oěrovnice sečteme Dostneme tento mezivýsledek: X Y Z X, -(+)Z X -(+) Z X Y Y Y Z Z -(+) Z - Nyní můžeme rovnici pro uzel Z vypustit spolu s nezná mou n její místo umístit pomocnou rovnici Dný řá dek ude mít sttus zká zné ho řá dku: X Y Z X, -(+)Z X -(+) Z X Y Y Y Z - Z Z uvedené ho odvození vyplývá prktický postup při nlýze ovodů s proudovými konvejory metodou zká zné ho řá dku: Proudový konvejor nemění počet rovnic ni nezná mých oproti klsické MN Nčrtneme tedy kostru mticové rovnice, vyplníme sloupec nezná mých uzlových npětí udicích proudů, do zá hlví řá dků sloupců vepíšeme čísl uzlů uzlová npětí Řá dek, jehož číslo je číslem uzlu, k němuž je připojen výstup CC, oznčíme symolem zká zné ho řá dku Do tohoto řá dku zpíšeme pomocí jedniček vzení podmínku, že npětí n oou vstupech CC jsou shodná 3 Do zá hlví řá dku X připíšeme s příslušným znmé nkem (podle toho, jedná -li se o negtivní neo pozitivní konvejor) číslo uzlu, k němuž je připojen výstup konvejoru Pokud je tento výstupní uzel PDF yl vytvořen zkušeníverzífineprint pdffctory 54
13 uzen z vnějšího zdroje proudu, přidá me s příslušným znmé nkem tento proud do vektoru udicích proudů Zylou část pseudodmitnční mtice (vyjm zká zné ho řá dku) vyplníme podle klsické ho lgoritmu z MN dmitncí v řá dku X všk nyní musíme uvžovt všechny komince indexů tm, kde je u indexu přípdné znmé nko mínus, je nutné zpst příslušnou dmitnci s opčným znmé nkem Celý postup ukážeme n již dříve řešené m příkldu filtru v proudové m mó du z or 55, u něhož jsme v části 3 počítli proudový přenos out / in G / in Výsledná soustv rovnic je v ná sledujícím tvru: 3 G +G +pc -pc -G, in -pc -G pc G +pc 3 Vstupní svork X negtivního proudové ho konvejoru je připojen k uzlu, výstupní svork k uzlu 3 Proto do záhlví řá dku přidá me číslo uzlu 3 Řá dek 3 je zká zný Vepíšeme do něj rovnici npětí uzlu je nul Osttní prvky mtice vyplníme podle lgoritmu Prvky v řá dku vyplňujeme podle tohoto vzoru: Prvek v sloupci je roven: - dmitnce mezi uzly - - dmitnce mezi uzly 3- Prvek v sloupci : + dmitnce připojená k uzlu dmitnce mezi uzly 3-, td Ze soustvy rovnic vypočteme hledný proudový přenos: pc G : out : in, out G G G p R R C C + pc ( R + R ) + in Z celé ho postupu je zřejmé, že ovody s proudovými konvejory y ylo možné řešit i metodou / V posledním příkldu je npříkld zytečné počítt s nezná mou, když dopředu víme, že je nulová šetříme jednu nezná mou vypustíme přídvnou rovnici V konečné m efektu kždý proudový konvejor sníží počet rovnic o jedničku Prktický postup při nlýze metodou /: Ve sché mtu vyznčíme referenční uzel osttní uzly očíslujeme Zjistíme celkový počet rovnic, který se rovná počtu nezá vislých (očíslovných) uzlů mínus počet proudových konvejorů Nčrtneme kostru mticové rovnice neo pouze kostru čtvercové dmitnční mtice Řá dky optříme vzestupněčísly uzlů Vynechá me všk čísl uzlů, k nimž jsou připojeny výstupy CC Do zá hlví sloupců zpíšeme uzlová npětí Jsou-li dvěuzlová npětí totožná, npř 3, protože jsou k nim připojeny plovoucí vstupy CC, zpíše se do záhlví 3 Jestliže je uzlové npětí nulové v důsledku připojení svorky Y k referenčnímu uzlu, dné npětí se v rovnicích vůec neuvžuje 3 Do zá hlví řá dku X připíšeme s příslušným znmé nkem (podle toho, jedná -li se o negtivní neo pozitivní konvejor) číslo uzlu, k němuž je připojen výstup konvejoru Pokud je tento výstupní uzel uzen z vnějšího zdroje proudu, přidá me s příslušným znmé nkem tento proud do vektoru udicích proudů 4 Prvky mtice se vyplní pomocí klsické ho lgoritmu MN s tím rozdílem, že se nyní musí rá t v úvhu všechny komince indexů v řá dcích sloupcích mtice Tm, kde je u indexu přípdné znmé nko mínus, je nutné zpst příslušnou dmitnci s opčným znmé nkem oproti klsické mu lgoritmu Rovnice ovodu z or 55 y nyní vypdly tkto: PDF yl vytvořen zkušeníverzífineprint pdffctory 55
14 3 G +G +pc -G, in -pc -G G +pc 3 Výpočet proudové ho přenosu je nyní velmi jednoduchý neudeme jej již uvá dět Metodu ukážeme n komplikovnějším zpojení gyrá toru n or 6 Je tře ověřit, že vstupní impednce Z je nepřímo úměrná ztěž ovcí impednci Z CC+ z x y R Z R CC- y x z Z Or 6 Podle výše uvedené ho postupu sestvíme dmitnční mtici: 3 4, - -G, G Y Z ní vypočteme vstupní impednci: : Y RR Z G G Z vědomme si, že se jedná o ovod se dvěm rů znými proudovými konvejory se 4 uzly Metod rzítek y vedl n soustvu 6 rovnic metod zká zné ho řá dku n 4 rovnice 33 Zá věrečná shrnutí doporučení Ruční řešení použijeme zejmé n pro kontrolní výpočty v ovodech s uvžová ním jednoduchých idelizovných modelů součástek Ve všech osttních přípdech je rozumné prové st nlýzu prostřednictvím počítče Rozhodnutí o tom, zd k ruční nlýze použít heuristické neo lgoritmické postupy, je do jisté míry sujektivní zá ležitost Někomu vyhovuje řešit i poměrněsložité ovody tvů rčím způ soem z použití mnohdy originá lních netrdičních postupů, jiný dá přednost osvědčeným metodá m, které vedou vždy k cíli, ovykle všk z cenu nepříjemných rutinních výpočtů Třetí lterntivou je smozřejmě vyřešit jkoukoliv nlyzční úlohu pomocí vhodné ho počítčové ho progrmu soudíme-li, že heuristické postupy jsou nd nše síly neo jejich použití nepreferujeme z jiných dů vodů, pk je n místěuvžovt uď o počítčové nlýze, neo o ručním řešení některou z lgoritmických metod Počítčové řešení se si stne nutností při nlýze rozsá hlejších ovodů neo ovodů, oshujících ktivní prvky, jejichž modelová ní vede n rozsá hlé soustvy rovnic Typickou plikcí počítčových progrmů je nlýz ovodů s uvžová ním vlivů reá lných PDF yl vytvořen zkušeníverzífineprint pdffctory 56
15 prmetrů součástek Pro nlýzu ovodových funkcí v operá torové m tvru se pk nízí progrm SNAP jko výorná lterntiv s nvzující numerickou nlýzou Vol lgoritmické metody je ovykle věcí kompromisu Metod rzítek je výhodná v tom, že si lze sndno zpmtovt lgoritmus sestvová ní rovnic Celkový poč et rovnic všk vychá zí nepříjemně velký Metod / sice poskytuje minimá lní počet rovnic, všk způ so jejich sestvení je již mírně komplikovnější Z tohoto pohledu vychá zí kompromisněmetod zká zné ho řá dku Tuto metodu ychom měli rozhodněpoužít při nlýze ovodů se zesilovči s konečným zesílením Smozřejmě že zvlá dne i ovody s ideá lními operčními zesilovči proudovými konvejory Pro elegntní ruční nlýzu jednodušších ovodů máme ještědlší možnost nučit se metody grfů signá lových toků O těchto úč inných nlyzčních metodá ch ude pojedná no v dlší kpitole PDF yl vytvořen zkušeníverzífineprint pdffctory 57
Lineární nerovnice a jejich soustavy
teorie řešené úlohy cvičení tipy k mturitě výsledky Lineární nerovnice jejich soustvy Víš, že pojem nerovnice není opkem pojmu rovnice? lineární rovnice má většinou jediné řešení, kdežto lineární nerovnice
VícePůjdu do kina Bude pršet Zajímavý film. Jedině poslední řádek tabulky vyhovuje splnění podmínky úvodního tvrzení.
4. Booleov lger Booleov lger yl nvržen v polovině 9. století mtemtikem Georgem Boolem, tehdy nikoliv k návrhu digitálníh ovodů, nýrž jko mtemtikou disiplínu k formuli logikého myšlení. Jko příkld použijeme
VíceMatice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra
Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
VíceVětu o spojitosti a jejich užití
0..7 Větu o spojitosti jejich užití Předpokldy: 706, 78, 006 Pedgogická poznámk: Při proírání této hodiny je tře mít n pměti, že všechny věty, které studentům sdělujete z jejich pohledu neuvěřitelně složitě
VíceSouhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A
Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty
VíceHyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná
Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem
Více3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru
Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém
Více( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306
7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
Více2.8.5 Lineární nerovnice s parametrem
2.8.5 Lineární nerovnice s prmetrem Předpokldy: 2208, 2802 Pedgogická poznámk: Pokud v tom necháte studenty vykoupt (což je, zdá se, jediné rozumné řešení) zere tto látk tk jednu půl vyučovcí hodiny (první
Více13. Soustava lineárních rovnic a matice
@9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky
Více56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25
56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou
Více4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:
443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější
Více{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507
58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní
Více2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic
..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
Více2.7.7 Obsah rovnoběžníku
77 Osh rovnoěžníku Předpokldy: 00707 Osh (znčk S): kolik míst útvr zujímá, počet čtverečků 1 x 1, které se do něj vejdou, kolik koerce udeme muset koupit, ychom pokryli podlhu, Př 1: Urči osh čtverce o
VíceKonstrukce na základě výpočtu I
..11 Konstrukce n zákldě výpočtu I Předpokldy: Pedgogická poznámk: Původně yl látk rozepsnou do dvou hodin, v první ylo kromě dělení úseček zřzen i čtvrtá geometrická úměrná. Právě její prorání se nestíhlo,
VíceIntegrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.
Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,
VíceŘíkáme, že přímka je tečnou elipsy. p T Přímka se protíná s elipsou právě v jednom bodě.
7.5. Elips přímk Předpokldy: 7504, 7505, 7508 Př. : epiš všechny možné vzájemné polohy elipsy přímky. Ke kždému přípdu nkresli obrázek. Z obrázků je zřejmé, že existují tři přípdy vzájemné polohy kružnice
VíceÚlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C
52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.
Vícea i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11
Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
Více3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90
ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy
Více1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice
Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme
VíceVýpočet obsahu rovinného obrazce
Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh
Více2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909
.9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).
VíceM - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně
VíceDERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
Vícem n. Matice typu m n má
MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme
VícePříklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem
Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je
Více( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?
1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno
VíceSpojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu
10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí
VíceURČITÝ INTEGRÁL FUNKCE
URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()
VíceUniverzita Tomáše Bati ve Zlíně
nvert Tomáše Bt ve Zlíně LBOTONÍ CČENÍ ELEKTOTECHNKY PŮMYSLOÉ ELEKTONKY Náev úlohy: Metody řešení stejnosměrných elektrckých ovodů v ustáleném stvu Zprcovl: Petr Lur, Josef Morvčík Skupn: T / Dtum měření:
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.
.. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).
VíceLaboratorní práce č. 6 Úloha č. 5. Měření odporu, indukčnosti a vzájemné indukčnosti můstkovými metodami:
Truhlář Michl 3 005 Lbortorní práce č 6 Úloh č 5 p 99,8kP Měření odporu, indukčnosti vzájemné indukčnosti můstkovými metodmi: Úkol: Whetstoneovým mostem změřte hodnoty odporů dvou rezistorů, jejich sériového
Více( t) ( t) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky I. Předpoklady: 7308
731 Vzdálenost odu od římky I Předokldy: 7308 Pedgogiká oznámk: Pokud máte málo čsu, můžete odvodit vzore ez smosttné ráe studentů oužít některý z říkldů z dlší hodiny Tím jednu ze dvou hodin ro vzdálenost
Více1.1 Numerické integrování
1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme
Více( a) Okolí bodu
0..5 Okolí bodu Předpokldy: 40 Pedgogická poznámk: Hodin zjevně překrčuje možnosti většiny studentů v 45 minutách. Myslím, že nemá cenu přethovt do dlší hodiny, příkldy s redukovnými okolími nejsou nutné,
Více63. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Ostrava, března 2014
63. ročník mtemtické olympiády III. kolo ktegorie Ostrv, 23. 26. řezn 204 MO . Nechť n je celé kldné číslo. Oznčme všechny jeho kldné dělitele d, d 2,..., d k tk, y pltilo d < d 2
Více1.3.8 Množiny - shrnutí
1.3.8 Množiny - shrnutí Předpokldy: 010307 Pedgogická poznámk: Kpitol o množinách spolu s následujícími dvěm kpitolmi (výroky dělitelnost) slouží k nácviku učení. Součástí učení je tké příprv n písemky
VícePodobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce
1116 Podonosti trojúhelníků, goniometriké funke Předpokldy: 010104, úhel Pedgogiká poznámk: Zčátek zryhlit α γ β K α' l M γ' m k β' L Trojúhelníky KLM n nšem orázku mjí stejný tvr (vypdjí stejně), le liší
VíceP2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách
P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
VíceII. kolo kategorie Z5
II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem
VíceHyperbola a přímka
7.5.8 Hperol přímk Předpokld: 75, 75, 755, 756 N orázku je nkreslen hperol = se středem v počátku soustv souřdnic. Jká je vzájemná poloh této hperol přímk, která prochází počátkem soustv souřdnic? E B
VíceDigitální učební materiál
Digitální učení mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo název šlony klíčové ktivity III/ Inovce zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce
VíceV = gap E zdz. ( 4.1A.1 ) f (z, ξ)dξ = g(z),
4.1 Drátový dipól Zákldní teorie V této kpitole se seznámíme s výpočtem prmetrů drátového dipólu pomocí momentové metody. Veškeré informce se snžíme co nejsrozumitelněji vysvětlit ve vrstvě A. Vrstvu B
Více( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501
1.5. Mechnická práce II Předpokldy: 1501 Př. 1: Těleso o hmotnosti 10 kg bylo vytženo pomocí provzu do výšky m ; poprvé rovnoměrným přímočrým pohybem, podruhé pohybem rovnoměrně zrychleným se zrychlením
VíceLogické obvody. Logický obvod. Rozdělení logických obvodů - Kombinační logické obvody. - Sekvenční logické obvody
Logické ovody Cílem této kpitoly je sezn{mit se s logickými ovody, se z{kldním rozdělením logických ovodů, s jejich některými typy. Tké se nučíme nvrhovt logické ovody. Klíčové pojmy: Logický ovod,kominční
Více( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady:
4.4. Sinová vět II Předpokldy 44 Kde se stl hy? Námi nlezené řešení je správné, le nenšli jsme druhé hy ve hvíli, kdy jsme z hodnoty sin β určovli úhel β. β je úhel z intervlu ( ;π ). Jk je vidět z jednotkové
Více5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami
5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin
VícePři výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu
Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je
VíceOdraz na kulové ploše Duté zrcadlo
Odz n kulové ploše Duté zcdlo o.. os zcdl V.. vchol zcdl S.. střed zcdl (kul. ploch).. polomě zcdl (kul. ploch) Ppsek vchází z odu A n ose zcdl po odzu n zcdle dopdá do nějkého odu B n ose. Podle oázku
VíceKomplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
Více5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami
5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin
Vícevisual identity guidelines Česká verze
visul identity guidelines Česká verze Osh 01 Filosofie stylu 02 Logo 03 Firemní rvy 04 Firemní písmo 05 Vrice log 06 Komince rev Filosofie stylu Filozofie společnosti Sun Mrketing vychází ze síly Slunce,
VíceNávrh základních kombinačních obvodů: dekodér, enkodér, multiplexor, demultiplexor
Předmět Ústv Úloh č. 2 BDIO - Digitální obvody Ústv mikroelektroniky Návrh zákldních kombinčních obvodů: dekodér, enkodér, multiplexor, demultiplexor Student Cíle Porozumění logickým obvodům typu dekodér,
Více14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi
VíceZkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.
1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)
VíceDefinice. Necht M = (Q, T, δ, q 0, F ) je konečný automat. Dvojici (q, w) Q T nazveme konfigurací konečného automatu M.
BI-AAG (20/202) J. Holu: 2. Deterministické nedeterministické konečné utomty p. 2/3 Konfigurce konečného utomtu BI-AAG (20/202) J. Holu: 2. Deterministické nedeterministické konečné utomty p. 4/3 Automty
Více1. Vznik zkratů. Základní pojmy.
. znik zkrtů. ákldní pojmy. E k elektrizční soustv, zkrtový proud. krt: ptří do ktegorie příčných poruch, je prudká hvrijní změn v E, je nejrozšířenější poruchou v E, při zkrtu vznikjí přechodné jevy v
VíceM A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)
5.3 Řešené příkldy Příkld 1: U prutu kruhového průřezu o průměrech d d b, který je ztížen kroutícími momenty M k1 M k2 (M k2 = 2M k1 ), viz obr. 1, vypočítejte rekční účinek v uložení prutu, vyšetřete
VíceJsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.
Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce
VícePájený tepelný výměník XB
Popis Řd tepelných výměníků XB s mědí pájenou deskou je určen k použití v systémech dálkového vytápění (DH) neo chlzení (DC), npříkld pro výrou užitkové teplé vody, jko pomocné topné stnice k oddělení
Více3.2.1 Shodnost trojúhelníků I
3.2.1 hodnost trojúhelníků I Předpokldy: 3108 v útvry jsou shodné, pokud je možné je přemístěním ztotožnit. v prxi těžko proveditelné hledáme jinou možnost ověření shodnosti v útvry jsou shodné, pokud
VícePři výpočtu složitějších integrálů používáme i u určitých integrálů metodu per partes a substituční metodu.
Mtmtik II.. Mtod pr prts pro určité intgrály.. Mtod pr prts pro určité intgrály Cíl Sznámít s s použitím mtody pr prts při výpočtu určitých intgrálů. Zákldní typy intgrálů, ktré lz touto mtodou vypočítt
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceOdraz na kulové ploše
Odz n kulové ploše Duté zcdlo o.. os zcdl V.. vchol zcdl S.. střed zcdl (kul. ploch).. polomě zcdl (kul. ploch) Ppsek vchází z odu A n ose zcdl po odzu n zcdle dopdá do nějkého odu B n ose. tojúhelníků
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
Více(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a
Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:
VíceMETODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční
Více4. Determinanty. Výpočet: a11. a22. a21. a12. = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31. a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33
. Determinnty Determinnt, znčíme deta, je číslo přiřzené čtvercové mtici A. Je zveden tk, by pro invertibilní mtici byl nenulový pro neinvertibilní mtici byl roven nule. Výpočet: = + = + + - - - + + +
Více4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.
4.4. Sinová vět Předpokldy Trigonometrie řešení úloh o trojúhelnííh. Prktiké využití změřování měření vzdáleností, tringulční síť Tringulční síť je prolém měřit vzdálenosti dvou odů v krjině změříme velmi
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA
Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním
Více4.2.7 Zavedení funkcí sinus a cosinus pro orientovaný úhel I
4..7 Zvedení funkcí sinus cosinus pro orientovný úhel I Předpokldy: 40, 40, 404, 406 Prolém s definicí funkcí sin ( ) cos( ) : Definice pomocí prvoúhlého trojúhelníku je π možné použít pouze pro ( 0 ;90
VíceAž dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním
Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož
VíceHlavní body - magnetismus
Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického
Více2.3. DETERMINANTY MATIC
2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní
VíceKonstrukce na základě výpočtu I
.4.11 Konstruke n zákldě výpočtu I Předpokldy: Pedgogiká poznámk: Je důležité si uvědomit, že následujíí sled příkldů neslouží k tomu, y si žái upevnili mehniký postup n dělení úseček. Jediné, o y si měli
VíceLogaritmická funkce teorie
Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá
VíceVýfučtení: Goniometrické funkce
Výfučtení: Goniometriké funke Tentokrát se seriál ude zývt spíše mtemtikým než fyzikálním témtem. Pokud počítáte nějkou úlohu, ve které vystupují síly, tk je potřeujete dost čsto rozložit n součet dopočítt
Více3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I
3.4.3 Množiny odů dné vlstnosti I Předpoldy: 3401 Něteé z těchto množin už známe. J je definován užnice ( ; )? Množin všech odů oviny, teé mjí od středu vzdálenost. Předchozí vět znmená dvě věci: Vzdálenost
Více2.3. Maticové algoritmické metody se zaměřením na MMUN
3 Maticové algoritmické metody se zaměřením na MMN V té to kapitole se seznámíme jednak s klasickou metodou uzlových napětí (MN), jednak s třemi základními typy její modifikace, které se označují jako
VíceHodnost matice. Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen.
U stav matematiky a deskriptivnı geometrie Hodnost matice Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2014 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.
VíceObsah rovinného obrazce
Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce
VícePJS Přednáška číslo 4
PJS Přednášk číslo 4 esymetrie v S Řešení nesymetrií je problemtické zejmén u lternátorů, protože díky nesymetriím produkují kompletní spektrum vyšších hrmonických veličiny v souřdném systému d, q,, které
Víceteorie elektronických obvodů Jiří Petržela analýza obvodů s neregulárními prvky
Jiří Petržela za neregulární z hlediska metody uzlových napětí je považován prvek, který nelze popsat admitanční maticí degenerovaný dvojbran, jedná se především o různé typy imitančních konvertorů obecný
Víceteorie elektronických obvodů Jiří Petržela zpětná vazba, stabilita a oscilace
Jiří Petržel zpětná vzb, stbilit oscilce zpětná vzb, stbilit oscilce zpětnou vzbou (ZV) přivádíme záměrněčást výstupního signálu zpět n vstup ZV zásdně ovlivňuje prkticky všechny vlstnosti dného zpojení
Více2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice
59 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 57, 58 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin Příkld 8 9 zůstávjí n vičení nebo polovinu hodin při píseme + b + - zákldní
Více4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu
.. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α
Více2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice
59 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 57, 58 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin Příkld 8 9 zůstávjí n vičení nebo polovinu hodin při píseme + b + - zákldní
VíceTechnická dokumentace Ing. Lukáš Procházka
Tehniká dokumente ng Lukáš Proházk Tém: hlvní část dokumentu, orázky, tulky grfy 1) Osh hlvní části dokumentu ) Orázky, tulky grfy ) Vzore rovnie Hlvní část dokumentu Hlvní část dokumentu je řzen v následujíím
VíceKonstrukce na základě výpočtu II
3.3.1 Konstruke n zákldě výpočtu II Předpokldy: 030311 Př. 1: Jsou dány úsečky o délkáh,,. Sestroj úsečku o déle =. Njdi oený postup, jk sestrojit ez měřítk poždovnou úsečku pro liovolné konkrétní délky
Více( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t
7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách
VíceDIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17
DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník
Více