Náhoda. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu: p = 18/37 = 0,486 Průměrný zisk při n sázkách částky č: - n.č + 2.č.n.p = n.č.
|
|
- Karolína Burešová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Náhoda při i hřeh Martigale: Vsadíšřeěme dolar a barvu, terou si vybereš (červeáči čerá) a budeš stále sázet je a i. Roztočíš ruletu a čeáš Poud prohraješ, zdvojásobíš sázu, taže vsadíš příště dolary. Pa řeěme, že zova prohraješ, ta příště vsadíš 4 dolary. A dyž zas prohraješ, ta příště vsadíš 8 dolarů. Řeěme, že už oečě padla barva, terou jsi vsadil. Casio ti dá e tvým vsazeým 8 dolarům svých 8, taže máš teď 6 dolarů. Spočítej si, oli jsi vsadil: dolarů, taže - vydělal jsi dolar! Pa začeš sázet zova dolar Náhoda při i hřeh Pravděpodobost výhry při sázce a barvu: p 8/37 0,486 Průměrý zis při sázách částy č: -.č +.č..p.č.(-0,07) Dlouhodobý zis asia je,7% ze vsazeýchčáste.
2 Co to je pravděpodobost? podobost? je matematicá disciplía, popisující záoitosti týající se jevů, teré (přiejmeším z hledisa pozorovatele) mohou a emusí astat, resp. jejichž výsledá hodota eí předem jistá. Příladem může být výslede hodu ostou ještě předtím, ež hodíme, aebo veoví teplota zítra v polede. Laplaceova def. pravděpodobosti Může-li áhodý pous vyázat oečý počet růzých, vzájemě se vylučujících, stejě možých výsledů a jestli m z těchto výsledů má za áslede událost A, pa pravděpodobost události A položíme rovou číslu m/ P ( A) m Pravděpodobost Subjetiví pravděpodobost (teorie her schéma sázaí je založeé a tom, že odhadujeme pst výsledu) Náhoda při hře Matematicá teorie pravděpodobosti - relativíčetost dlouhodobá pravidelost v áhodých událostech Bayesovsý přístup měří věrohodost určitého výsledu v podmíách eúplé iformovaosti o daém jevu. Existující doměy jsou modifiováy ovými iformacemi
3 Losovací zaříze zeí 0 pousů oli je možých výsledů? Výsl Kód čet absol relat A ABC I I I 3 0, B ACB I I 0,0 C BAC BCA 3 4 I I I I I I I I 4 4 0,0 0,0 CAB I I I I I 0, CBA 6 I I 0,0 cel 0,00 Záladí pojmy Náhodý pous -výsledy závisí eje a předepsaých podmíách, ale taé a áhodě. Náhodý jev - aždý výslede (elemetárí jev) ebo supia výsledů áhodého pousu. Jaéoliv tvrzeí o výsledu áhodého pousu, o terém lze (po provedeí pousu) rozhodout, zda je pravdivé. Prostor elemetárích jevů S - možia všech možých výsledů pousů jsme schopi je všechy předem vyjmeovat (ve sš matematice oečá), jsou vzájemě eslučitelé (žáeé dva emohou astat současě), jede z ich astae vždy (emůže astat žádý jiý ež jede z jmeovaých), 3
4 Přílad Odlište áhodé pousy (NP) od áhodých jevů (NJ) vylosováíčísla vypěstováí rostliy vybráí losu s číslem hod ostou vyrobeí výrobu. jaosti padutí šesty při hodu ostou arozeí chlapce (NP) (NP) (NJ) (NP) (NJ) (NJ) (NJ) Axiomaticá defiice pravděpodobosti podobosti Je dá eprázdý prostor elemetárích jevů S. Možia áhodých jevů Π(S) musí splňovat ásledující vlastosti: S Π( S) A Π( S) A Π( S) A, A,..., A Π( S) Ai Π( S) U i Např. všechy podmožiy S Každému jevu A Π(S) je přiřazea pravděpodobost P(A), taová že: P( θ ) 0 A B P( A) P( B) A B P( B A) P( B) P( A) 4
5 Vytvořte te doplňy áhodých jevů A: Vybraé lísty ebudou mít stejou barvu. A : Vybraé lísty budou mít stejou barvu. B: Ve supiě ebudou pouze dívy. B : Ve supiě budou pouze dívy. C:... budou alespoň tři uličy červeé. C :... budou ejvýše dvě uličy červeé. D:... budou maximálěčtyři dívy. D :... bude miimálě pět díve. Hra dvěma ostami Při hře dvěma ostami vyhrajeme, pade-li šesta alespoň a jedé z ich. S NJ: A
6 Záleží a pořadí příslušého hodu, proto jsou osty rozlišey barevě: [Modrá; Žlutá]. Ω [ ; ] [ ;] [ ;3 ] [ ;4 ] [ ; ] [ ;6 ] [ ; ] [ ;] [ ;3] [ ;4] [ ;] [ ;6] [ 3; ] [ 3;] [ 3;3] [ 3;4] [ 3;] [ 3;6] [ 4; ] [ 4;] [ 4;3] [ 4;4] [ 4;] [ 4;6] [ ; ] [ ;] [ ;3] [ ;4] [ ;] [ ;6] [ 6; ] [ 6;] [ 6;3] [ 6;4] [ 6;] [ 6;6] E Pravděpodobost výhry /36 Chevalier de Mere Hod jedou ostou Chevalier de Mere příjimal sázy a to, že hodí miimálě jedu šestu večtyřech po sobě ásledujících hodech. Pravděpodobost padutí šesty je v aždém hodu /6. Domíval se, že jeho šace a padutí šesty večtyřech hodech je tedy (/6) 4 /3. Správě: Vypočítáme pravděpodobost doplňového jevu počtu epřízivých možostí: P(A) (/6) 4 0, Hod dvěma ostami. Vyhrajeme, poud se ám alespoň jederát podaří hodit šesty ve 4 hodech. Pravděpodobost vrhutí dvou šeste v jedom hodu je /36. De Mere předpoládal, že jeho šace je tedy (/36) 4 a tedy opět /3. Správě: Pravděpodobost výhry bude: P(A) (3/36) 4 0,
7 Na pořadí prvů ve supiě záleží ezáleží VARIACE! V ( ) ( )! V ( ) PERMUTACE P ( )! P (,..., ) ( )! KOMBINACE C! ( )!( )! + C ( )!...!! V sérii 8 výrobů jsou 3 zmety. Jaá je pravděpodobost, že mezi 4 áhodě vybraými výroby bude ejvýše jede zmete? [0,948 ] Při hře 3 artami bylo rozdáo 6 aret. Jaá je pravděpodobost, že mezi imi budou alespoň dvě esa? [0,04] 7
8 Zálady teorie pravděpodobosti podobosti Prostor elemetárích jevů S možia všech možých jevů Náhodý jev A,B,... podmožia výběrového prostoru S aždý jev A je svázá s mírou možosti (pravděpodobosti) P(A) jeho výsytu při opaováí N( A) P( A) lim N N Vlastosti pravděpodobosti: 0 P( A) P( A B) P( A) + P( B) P( A B) P( A ) P( A) A B P( A) P( B) Závislé a ezávisl vislé jevy Jevy A, B jsou ezávislé P( A B) P( A). P( B) Přílady závislých jevů: A žá má výborý prospěch během studia B žá je úspěšý u SZZ A havaruje vozidlo starší let B při havárii dojde e smrtelému úrazu A příchozí záazí odejde z froty eobslouže (reziguje a frotu) B déla froty je záazíů 8
9 Podmíěá pravděpodobost podobost Pravděpodobost, že astal jev A za podmíy, že astal jev B, se azývá podmíěá pravděpodobost. Ozačujeme P(A/B) Házíme ostou. Náhodý jev A pade číslo B pade lichéčíslo Pravděpodobost, že pade číslo za podmíy, že padlo liché číslo P(A/B)/3 Podmíěá pravděpodobost podobost Pravděpodobost jevu A podmíěá výsytem jevu B P( A B) P( A/ B) P( B) Př: P( A) P( B) P( A/ B) P( B / A) P( A B) B(x) A (4 x 4) S (8 x 8) 9
10 Záo úplé pravděpodobosti, podobosti, Bayesův vztah Uvažujme jevy {B,B,...B } jao úplý systém eslučitelých jevů výběrového prostoru S. Pa U i ( ) A A B i P( A) P( A B ) P( A / B ) P( B ) i i i i i Aposteriorí psti P( A Bi ) P( A/ Bi ) P( Bi ) P( Bi / A) P( A) P( A/ B ) P( B ) i i i Apriorí psti Přílad M/M/ A příchozí záazí reziguje a obsluhu B systém je v oamžiu příchodu záazía obsaze záazíy 0,9 ( ) ( ) P B ρ ρ ; ρ < P ( A / B ) 8 pst 0,8 0,7 0,6 0, 0,4 0,3 0, 0, B P(A/B) počet záazíů. Určete pravděpodobost, že áhodě příchozí záazí reziguje a obsluhu. ρ ρ 7ρ P( A) P( A/ Bi ) P( Bi ) ( ρ ) ρ ( ρ ) ( ρ ) i ρ ρ 8 8. Určete pst, že je v systému záazíů, víme-li, že záazí rezigoval a obsluhu. P B ( ρ ) ρ P( A / B ) P( B ) P( A) 7ρ 3768 ρ 8 4 ( ρ ) ρ ( ρ ) ( / A) 8 0
1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );
1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1
VíceDigitální učební materiál
Dgtálí učebí materál Číslo projetu CZ..07/.5.00/34.080 Název projetu Zvaltěí výuy prostředctvím ICT Číslo a ázev šabloy líčové atvty III/ Iovace a zvaltěí výuy prostředctvím ICT Příjemce podpory Gymázum,
Více2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI
. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme
VíceNáhoda při hře. Náhoda při hře
Náhoda při hře Martingale: Vsadíš řekněme 1 dolar na barvu, kterou si vybereš (červená či černá) a budeš stále sázet jen na ni. Roztočíš ruletu a čekáš Pokud prohraješ, zdvojnásobíš sázku, takže vsadíš
Více6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.
Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh
VíceCvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.
Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu
Více2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.
0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
VícePRACOVNÍ SEŠIT KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. 9. tematický okruh:
Připrav se a státí maturití zoušu z MATEMATIKY důladě, z pohodlí domova a olie PRACOVNÍ SEŠIT 9. tematicý oruh: KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA vytvořila: RNDr. Věra Effeberger eperta a olie
VíceNáhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.
Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího
VícePřednáška č. 2 náhodné veličiny
Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující
VíceNáhodné jevy a pravděpodobnost
Lekce Náhodé jevy a pravděpodobost Výklad pravděpodobosti musí začít evyhutelě od základích pojmů Pravděpodobost, velmi zjedodušeě řečeo, pojedává o áhodých jevech (slově vyjádřeých výsledcích áhodých
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru
Více1. K o m b i n a t o r i k a
. K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují
Více3. část: Teorie hromadné obsluhy. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
3. část: Teorie hromadé obsluhy Ig. Michal Dorda, h.d. Zálady teorie pravděpodobosti Náhodý pous je děj, jehož výslede eí ai při dodržeí všech předepsaých podmíe předem zám. Náhodý jev je výsledem áhodého
VíceStatistika pro metrologii
Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých
Více!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.
Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru
Více( )! ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Variace, permutace, kombiace, kombiačí čísla, vlastosti, užití faktoriál, počítáí s faktoriály, variace s opakováím.. Upravte a urči podmíky: a)!! 6! b)!! 6! 9! c)!!!!. Řešte rovici: a) 4 b) 0 c) emá řešeí
VíceNáhoda při hře. Náhoda při hře
áhoda při hře Martingale: Vsadíš řekněme 1 dolar na barvu, kterou si vybereš (červená či černá) a budeš stále sázet jen na ni. Roztočíš ruletu a čekáš Pokud prohraješ, zdvojnásobíš sázku, takže vsadíš
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
VíceP(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál:
PERMUTACE a VARIACE 2.1 Permutace P() = * ( - 1) * ( - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: ( )! P = Jedá se o vzorec pro počet permutací z prvků bez opakováí. 2.2 Variace bez
Více5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá
Více8.1.2 Vzorec pro n-tý člen
8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým
VíceNárodní informační středisko pro podporu kvality
Národí iformačí střediso pro podporu vality Problémy s uazateli způsobilosti a výoosti v praxi Dr.Jiří Michále, CSc. Ústav teorie iformace a automatizace AVČR Uazatel způsobilosti C p Předpolady: ormálí
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
Více8.1.2 Vzorec pro n-tý člen
8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr
VíceNázev školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace
Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
VíceSTATISTIKA. Základní pojmy
Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci
Více7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl
7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA Čas ke studiu: hodiy Cíl Po prostudováí této kapitoly budete schopi řešit řadu zajímavých úloh z praxe, týkajících se počtu skupi, které lze sestavit ( vybrat ) z daé možiy
VíceNáhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost
S Náhodé jevy pravděpodobost Náhodé jevy jevové pole pravděpodobost Lbor Žák S Náhodé jevy pravděpodobost Lbor Žák Základí pojmy Expermet česky též vědecký pokus je soubor jedáí a pozorováí jehož účelem
Vícek(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln
Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
Více6 5 = 0, = 0, = 0, = 0, 0032
III. Opaované pousy, Bernoulliho nerovnost. Házíme pětrát hrací ostou a sledujeme výsyt šesty. Spočtěte pravděpodobnosti možných výsledů a určete, terý má největší pravděpodobnost. Řešení: Jedná se o serii
Více2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT
2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic
Více(iv) D - vybíráme 2 koule a ty mají různou barvu.
2 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv2tex Definice pojmů a záladní vzorce Vlastnosti pravděpodobnosti Pravděpodobnost P splňuje pro libovolné jevy A a B následující vlastnosti: 1 0, 1 2 P (0) = 0, P
VíceSekvenční logické obvody(lso)
Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách
Více8.2.6 Geometrická posloupnost
8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího
VíceRegrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n
Regrese Aproxmace metodou ejmeších čtverců v v ( ) = f x v v x x x x Je dáo bodů [x, ], =,,, předpoládáme závslost a x a chceme ajít fuc, terá vsthuje teto tred - Sažíme se proložt fuc = f x ta, ab v =
VíceTéma 1: Pravděpodobnost
ravděpodobot Téma : ravděpodobot ředáša - ravděpodobot áhodého evu Náhodý pou a áhodý ev Náhodý pou - aždá čot, eíž výlede eí edozačě urče podmíam, za terých probíhá apř hod otou, měřeí dély, běh a 00
VíceDIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1.
DIM PaS. Připomeutí pozatků ze středí školy Faktoriály a kombiačí čísla základí vzorce: ( )( 2 )...2.! =. 0! = =! ( k)! k! ( )...( k ). + = k! = k + + = k + k + 2 2 ( a + b) = a + a b+ a b +... + a b +...
Více1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti
. Úvod do základích pojmů teore pravděpodobost. Úvodí pojmy Větša exaktích věd zobrazuje své výsledky rgorózě tj. výsledky jsou získáváy a základě přesých formulí a jsou jejch terpretací. Příkladem je
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
VíceS k l á d á n í s i l
S l á d á í s i l Ú o l : Všetřovat rovováhu tří sil, působících a tuhé těleso v jedom bodě. P o t ř e b : Viz sezam v desách u úloh a pracovím stole. Obecá část: Při sládáí soustav ěolia sil působících
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP esty dobré shody PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Lbor Žá SP esty dobré shody Lbor Žá Přpomeutí - estováí hypotéz o rozděleí Ch-vadrát test Chí-vadrát testem terý e založe a tříděém statstcém souboru. SP esty
Více4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
Více14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
VíceP2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
VíceKombinace s opakováním
9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Časová náročnost této hodiny je podobná hodině předchozí. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou definici. Definice
Více4. Opakované pokusy a Bernoulliho schema
4 Opové pousy Beroulliho schem Pozám: V ěterých příldech v odstvcích 2 3 jsme počítli prvděpodobosti áhodých jevů, teré byly výsledem opoví áhodého pousu Npř házeí dvěm micemi je stejé jo dv hody jedou
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
VíceVzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN
Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha
VíceKombinace s opakováním
9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Tato hodina zabere opět minimálně 70 minut. Asi ji čeá rozšíření na dvě hodiny. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou
Více7 VYUŽITÍ METOD OPERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DOPRAVY
7 VYUŽITÍ METOD OERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DORAVY Operačí aalýza jao jeda z oblatí apliovaé matematiy achází vé široé uplatěí v průmylových a eoomicých apliacích. Jedím z oborů, ve teré hraje ezatupitelou
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
VíceLineární regrese ( ) 2
Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
VíceCvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015
Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva
Víceu, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,
Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou
VíceKombinatorika, pravděpodobnost, statistika
Kombiatoria, pravděpodobost, statistia Kombiatoria, pravděpodobost, statistia Obsah 9. Kombiatoria... 70 9.. Fatoriály... 70 9.. Variace bez opaováí... 75 9.. Permutace bez opaováí... 8 9.4. Kombiace bez
VícePříklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka
Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
Víceb c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d
Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
VíceTOKY V GRAFU MAXIMÁLNÍ TOK SÍTÍ, MINIMALIZACE NÁKLADŮ SPOJENÝCH S DANOU HODNOTOU TOKU, FIXNÍ NÁKLADY, PŘEPRAVNÍ (TRANSHIPMENT) PROBLÉM.
TOKY V GRAFU MAXIMÁLNÍ TOK SÍTÍ, MINIMALIZACE NÁKLADŮ SPOJENÝCH S DANOU HODNOTOU TOKU, FIXNÍ NÁKLADY, PŘEPRAVNÍ (TRANSHIPMENT) PROBLÉM. Graf je útvar, terý je možo zázorit obrázem v roviě pomocí bodů (uzly
VíceOd unimodálních posloupností k narozeninovému paradoxu
Od uimodálích posloupostí arozeiovému paradoxu Atoí Slaví, Praha Abstrat. Koečá posloupost reálých čísel se azývá uimodálí, poud ji lze rozdělit a elesající a erostoucí úse. V textu se zaměříme především
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
VíceKombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM
Kombiatorika- 3 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické iformatiky FIT České vysoké učeí techické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétí matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 8 Evropský sociálí
VíceKombinatorika a grafy I
Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey Kombiatoria a grafy I láta z II semestru iformatiy MFF UK podle předáše Odřeje
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
Více6.1 Systémy hromadné obsluhy
6. Systémy hromadé obsluhy Proces usoojováí áhodě i hromadě vziajících ožadavů a obsluhu se azývá roces hromadé obsluhy. Předmětem teorie hromadé obsluhy, ědy taé ozačovaé jao teorie frot (z aglicých slov
Více8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti
Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z
VícePravděpodobnostní modely
Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k
Více6 VYBRANÁ ROZDLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIINY
6 VYBRANÁ ROZDLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIINY Rozdleí áhodé veliiy je edis, terým defiujeme ravdodobost jev, jež lze touto áhodou veliiou osat. Záladím rozdleím oisujícím výbry bez vraceí je hyergeometricé
Více2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;
. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady
SP Bodové a tervalové odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a tervalové odhady Lbor Žák SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady Nechť je áhodá proměá, která má dstrbučí fukc
VíceZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která
Více3.4.7 Můžeme ušetřit práci?
3.4.7 Můžeme ušetřit práci? Předpolady: 030404 Pomůcy: Pedaoicá pozáma: Hodia je oraizováa jao supiová práce. Třída je rozdělea a čtyřčleé supiy, aždý ze čleů má jedu možost ozultovat se mou ebo mě předat
VíceOKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN
Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,
VíceIntervalové odhady parametrů
Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
Více0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p)
. Příklad Při průzkumu trhu projevilo 63 z dotázaých zákazíků zájem o iovovaý výrobek, který má být uvede a trh se zákazíky. Odvoďte a odhaděte proceto a počet zájemců v populaci s 95% spolehlivostí. Následě
VíceNUMP403 (Pravděpodobnost a Matematická statistika I)
NUMP0 (Pravděpodobnost a Matematicá statistia I Střední hodnota disrétního rozdělení. V apce máte jednu desetiorunu, dvě dvacetioruny a jednu padesátiorunu. Zloděj Vám z apsy náhodně vybere tři mince.
VíceKOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE
VíceV. Normální rozdělení
V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,
Více1.1. Primitivní funkce a neurčitý integrál
Mateatia II. NEURČITÝ INTEGRÁL.. Priitiví fuce a eurčitý itegrál Defiice... Říáe, že fuce F( ) je v itervalu ( ab, ) priitiví fucí fuci f ( ), platí-li pro všecha ( ab, ) vztah F = f. Defiice... Možia
VíceOdhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme
Vícen 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1
3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.
VíceKlasická pravděpodobnost
NMUMP403 (Pavděpodobost a matematická statistika I Klasická pavděpodobost 1. Házíme čtyřmi šestistěými hacími kostkami. Učete, jaká je pavděpodobost, že (a padou čtyři ůzá čísla, (b padou pouze lichá čísla,
VíceMotivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND.
Pravděpodobnostn podobnostní charateristiy diagnosticých testů, Bayesův vzorec Prof.RND RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Náhodný pous, náhodný n jev Náhodný pous: výslede není jednoznačně určen podmínami,
Více35! n! n k! = n k k! n k! k! = n k
Do školí jídely přišla skupia 35 žáků. Určete kolika způsoby se mohli seřadit do froty u výdeje obědů. Řešeí: Počet možostí je 1 2... 35=35! (Permutace bez opakováí) Permutací bez opakováí z -prvkové možiy
Více