KMITÁNÍ. . (3) Zřejmě z obrázku je patrno, že

Transkript

1 KMITÁNÍ Přojí-l hou k lnární (o válcové loš vnué) ružně o uhos k s svslou osou, dosává ř ohyu honos vznklé ůsoní nnulových očáčních odínk ř kóování výchylky od volné délky l ružny ohyovou rovnc v varu & k g () Tao rovnc vznklá odou uvolňování vyjadřuj dynackou rovnováhu sl na solčné svslé noslc Síla & j srvačná (osuvný ohy ělsa o svslc), síla k j lascká (vraná) síla v ružně a g j íha (krá jako jdná z sl ř kóování výchylky sěr dolů íří ro osaní slá) Bud-l osu ružny suova vodorovně (vz or) dosává ř zandané řní hoy na ráu ohyovou rovnc v varu & k () Tíha, jakožo svslá síla, s nyní do sěru ohyu nroíá Proož oě ohyové rovnc osují fyzkálně sjný děj (zv volné ky vznkající z ůsoní udcích sl), j v rovnc () konsanní čln g navíc Suac s uvd do souladu kóování výchylky y (v říadě svslé osy ružny) až od zv sacké rovnovážné olohy dané arar s (vz or) Přvěsí-l k ružně volné délky a nchá usál, dojd k jjíu kldovéu roažní rávě o hodnou v rovnováz vraná síla ako dforované ružny s íhou, dy l uhos k hou s, kdy j g k s (3) Zřjě z orázku j arno, ž s y Proož s odl (3) j konsana, laí & & y osazní ěcho výrazů do () za & & a získá Podl (3) však & y k ky g s k s g Přdchozí rovnc s í dosává do varu () ro výchylku y J-l dy osa ružny jná nž vodorovná, kóuj výchylku od sacké rovnovážné olohy a říslušnou složku íhy do rovnováhy sl nzahrnuj Pohyová rovnc j varu () a říká jí ohyová rovnc volných nluných odélných ků Podélně kající (osouvající s o říc) hoa j základní odl kající sousavy s jdní suně volnos Volné ky vznkají z říonos udcí síly Vznkají z nnulových očáčních odínk Buď dy ružnu dforuj a usí z kldu (nnulová olohová očáční odínka) no hou z sacké rovnovážné olohy osrčí (nnulová rychlosní očáční odínka) oříadě

2 rovdu konac oojího Půsoí-l na hou navíc udcí síla ( ) F dolů ro říad svslé osy ružny a vravo ro říad vodorovné osy ružny, á ao v ohyové rovnc záorné znaénko Z kladný znaénk j ovykl řvádí na ravou sranu Pohyová rovnc á ak var ( ) & k F Jslž j k ružně arallně řazn lnární (zv vskózní) luč, ůsoí v ně ro ohyu lucí síla úěrná rychlos Pohyová rovnc odélných luných (ocně uzných) ků á ak var Konsanu udává v [ s ] ( ) & & k F (4) N / a nazývá j konsanou vazkého luní Vlv luní s dsuj chancká nrg řěnou na nrg lnou Tluč ůž ý PŘÍPAY PŘEVEITELNÉ NA ZÁKLANÍ MOEL skučně funkční arallně řojný k ružně jako na knacké schéau na orázku Můž al aké znázorňova arálové luní dráu, z krého j ružna vyrona Modl z luní j vždy asrakc, víc no éně odlšná od skučnos V říadě arálového luní ývá v ra rolé číslně vyjádř konsanu a) Příad hoy na orcky nhoné laně (yč) Vlasnos lnární odélné ružny á rzacká yčka (lano) ř naáhání na ah Z Hookova zákona lyn (Pružnos I) ro dforac yč od ůsoní osové síly F výraz Fl, (5) AE E j odul ružnos arálu v ahu Srovnání (5) s výraz lnární závslos vrané síly v ružně na dforac F k zjšťuj, ž uhos yč j kd l j délka a A locha růřzu nzaížné yč, [ Pa] AE k (6) l Poznáka: Pohyová rovnc kání yč (lana) s honosí na konc j varu () no (4) ro uhos danou v (6) jn v o říadě, kdy honos yč (sjně jako ružny) zandá Zahrn-l honos ružny (yč) do výoču, nuno ro říad řdokládané říé úěrnos dforac řzu na oloz řzu k honos řoj řnu Al honos ružny (yč) Honos na honé yč ak nahrazuj honosí ρ 3 na nhoné yč o uhos (6) Syol ρ j husoa arálu

3 ) Příad srálové ružny naáhané slovou dvojcí Měj srálovou (hodnářskou) ružnu jdní konc vknuou do ráu Naáhá-l slovou dvojcí s vkor onu M v os ružny jjí volný konc, naočí s o úhl ϕ Jl ružna lnární, vzah z on M a úhl ϕ j říá úěrnos M ϕ Konsanu N / rad nazývá orzní uhos ružny Jslž od olohy v nzaížné savu kóuj úhl naoční koouč o osové onu srvačnos I řojného k srálové ružně o orzní uhos k s í, ž koouč lz oáč ouz kol osy ružny, j ohyová rovnc ohoo ohyu varu k v [ ] I ϕ& k ϕ (7) Tao rovnc vyjadřuj dynackou rovnováhu slových dvojc k os ružny vojc I ϕ& & j srvačná (koouč s oáčí) a dvojc k ϕ j lascká dvojc Přojí-l slovou dvojc lucí odlující arálové luní ružny a udcí dvojc o onu M ( ) ohyová rovnc varu ( ) k, j Iϕ & ϕ& k ϕ M (8) Konsanu Ns / rad a nazývá j konsanou orzního luní Srovnání (8) s (4) zjšťuj aacky sjné dfrncální rovnc s násldující analogí vlčn udává v [ ] Podélné ky k F ( ) Torzní ky I k ( ) M ϕ Rovnc (7) osuj nluné volné orzní ky, rovnc (8) ocně luné, uzné orzní ky c) Příad koouč na orcky nhoné hřídl Vlasnos lnární orzní ružny á hřídl kruhového (zkruhového) růřzu ř naáhání na kru Z Hookova zákona ro rosý kru (Pružnos I) ro dforac (nakroucní) hřídl ϕ od ůsoní orzního onu M lyn výraz Ml ϕ, G J kd l j délka, G odul ružnos arálu v syku a J olární kvadracký on 4 lochy růřzu v [ ] Srovnání s vzah ro úěrnos lasckého onu s úhl naoční Vlčna M ϕ odud dosan ro orzní uhos hřídl k J j dfnována jako ( A) G J k (9) l J ρ da, kd ρ j rvní olární souřadnc s očák v ěžš růřzu Pro zkruhový růřz o vnější oloěru R a vnřní oloěru r laí J 4 4 ( R r ) π ()

4 Pohyová rovnc kání hřídl s koouč na konc á var (7) no (8), kd orzní uhos j dána v (9) a olární on v () ro říad zandané honos hřídl Nlz-l j zanda nahrazuj osový on srvačnos I na honé hřídl osový on I h srvačnos I na nhoné hřídl Osový on srvačnos hřídl I h vzhld 3 k jho varu válc zkruhového růřzu j I h 4 4 ( R r ) řčž syol ρ j nyní značna husoa arálu hřídl π ρ l, () d) Příad rlavních ků dvou zolovaných ho na ružně Měj dvě hoy, (vz or) sojny ružnou uhos k Zřjě s jdná o sousavu s dvěa sun volnos osanou zocněný souřadnc a Pohyové rovnc získá odou uvolňování (odojní ho od ružny) za nodsaného řdokladu nař >, kdy v rovnováz j vždy srvačná síla od vodorovného osuvu s lasckou slou (vz or) v varu ( ) &, k ( ) & k Tyo ohyové rovnc zůsávají v lanos ro Pak jn druhé sčíanc zění znaénko (číslně, kvůl rlac ) Přnásoní rvní rovnc konsanou, druhé rovnc a odční (vznklé) rvní rovnc od druhé získá ( & & ) k( )( ) & Označí-l, což j rlavní výchylka hoy vůč ozoroval nacházjícíu s na hoě, j & && & a řdchozí rovnc á var Označí-l honos, ro krou ( ) & & k, () říš (o řnásoní ) řdchozí rovnc na var & k, což j rovnc (nluného) volného odélného kání sousavy s suně volnos Poznáka: Analogcká suac vznkn u dvou kooučů, o osových onch srvačnos I, I vázaných (orcky) nhoný hřídl (vz or) o orzní uhos k Zavd-l úhl nakroucní hřídl ϕ ϕ ϕ a on srvačnos I vzah

5 I, I I dosává ohyovou rovnc rlavních ků koouč I vůč koouč I v varu I ϕ& k ϕ Pro uvažování honos hřídl ční kvvalnní sousavu s honý hřídl s sousavou s koouč o onch srvačnos I a I sojný 6 6 nhoný hřídl I h j osový on srvačnos hřídl, ro krý v říadě válc zkruhového růřzu laí vzah () ) Osaní fyzkální odly kavých sousav s suně volnos s řvádějí na základní odélně kající o ohyové rovnc r & k Přo délková souřadnc j vhodně zvolná souřadnc, jíž najd na fyzkální odlu Rdukovaný hoový arar získá z lanc kncké nrg r ( Ek ) r r k I h & E, (3) kd E k j kncká nrg všch ohyujících s člnů sousavy Rdukovaný uhosní arar k r získá z lanc oncální nrg kuulované ouz v dforovaných ružnách (ružných člnch) kd ( Ek ) kr j E j I h, (4) E j j oncální nrg všch dforovaných ružných člnů sousavy Poznáka: ) Lz rovněž fyzkální odl řvés na orzně kající základní odl s ohyovou rovncí I r ϕ& k ϕ, kd úhlovou souřadnc ϕ nuno nají na ůvodní fyzkální odlu Pro I r ak laí a ro k r laí ( Ek ) Irϕ& ( E ) kr r j E k ϕ E Součy na ravých sranách jsou sjné jako v rovncích (3) a (4) j

6 ) Jslž fyzkální odl osahuj kroě ružných člnů arallně řazné lucí člny, řývá k ohyový rovncí jšě lucí čln varu r & (rs r ϕ& ), řčž rdukované lucí arary určí z sjných vzorců jako rdukované uhosní arary, když íso uhosí íš říslušné lucí konsany VOLNÉ KMITÁNÍ Řšní ohyové rovnc vysvělí na odélné kání Pro orzní ky zaění vlčny výš osanou analogí a) Nluná sousava Rovnc (), o rodělní honosí a zavdní zv vlasní frkvnc nluné sousavy řvd do varu k, (5) & (6) Jdná s o lnární dfrncální rovnc II řádu s konsanní kofcny ro nznáou (olohová) a funkc ( ) Řší j ř zadaných očáčních odínkách ( ) ( ) v & (rychlosní) Příslušná charakrscká rovnc (vz Maaka II) á var λ, akž á dvojc ryz agnárních kořnů λ, ±, kd j agnární jdnoka Ocné řšní dfrncální rovnc (6) j lnární konací onncálních funkcí (času) s onny, jž jsou kořny charakrscké rovnc Too řšní á var Proož odl Eulrových vzahů řšní a zavdní nových konsan řsa ocné řšní na var ( ) C C ± A C ; cos ± sn, lz dosazní do ocného ( C ) C B C ( ) Acos B sn (7) A, B jsou ngrační konsany, kré vyčíslí zohldnění očáčních odínk Časovou drvací (7) získá ( ) ( Asn B cos ) & (8) osazní času do (7) a (8) a zohldnění očáčních odínk vyjd ( ) A, v &( ) v B B osazní zě do (7) získá konkréní řšní ohyové rovnc, slňující zadané očáční odínky, v forě

7 v (9) () cos sn Jdná s o lnární konac haronckých funkcí s vlasní frkvncí v (5) Tao frkvnc j určna v rad/s Říká jí úhlová frkvnc K ní říslušná frkvnc f v Hrzch ( kch za skundu) j f oa ku T (doa rody) v skundách j π ak řvrácnou hodnoou frkvnc f Tdy Graf (9) j osunuá snusoda (vz or) s aludou π T π () f k C A B Pro úhl β z orázku řo laí g β v, noť sěrnc čny k křvc v nulové čas j rychlosní očáční odínkou v Poznáka: Pro v (naoční ružny a ušění z kldu) j ) Tluná sousava ( ) cos Pro (osrční honos rychlosí v ) z sacké rovnovážné olohy j v sn () Rovnc (4) s nulovou ravou sranou o rodělní honosí a zavdní vlasní frkvnc řdružné nluné sousavy výraz (5) a oěrného úluu vzah řvd do varu () k & & () Jdná s oě o lnární dfrncální rovnc II řádu s konsanní kofcny, kd nchyí (olohová) a čln s rvní drvací Řší j ocně ř očáčních odínkách ( ) &( ) v (rychlosní) Charakrscká rovnc j λ λ

8 Jjí dskrnan á hodnou Pro další řšní á význa rlac oěrného úluu vůč jdnčc: ) Pro < (saozřjě, roož, j o nzáorná hodnoa) říká, ž k sousava j s odkrcký luní Pak odocnna v dskrnanu j z záorného čísla, a dy ryz agnární Řšní charakrscké rovnc jsou Označ λ, ± (3) a nazv uo vlčnu vlasní frkvncí (luné sousavy) Zřjě a ro j a ro j Kořny charakrscké rovnc jsou kolně sdružné a ají var λ ±, Podoně jako v nluné říadě ocné řšní ohyové rovnc j ( ) ( ) ( ) C C ( C C ) Zavd-l, sjně jako ro nlunou sousavu, konsany A C C održí ( ) ( Acos Bsn ) a B ( ) C C, (4) Ingrační konsany A, B oě určí z očáčních odínk Pro alkac rychlosní odínky drvuj (4) & ( ) ( Acos Bsn ) ( Asn Bcos ) osazní do osldních dvou rovnc a zohldnění očáčních odínk vychází Z druhé rovnc odl (3) lyn B A, v A B v v (5) osazní do (4) á konkréní řšní, kré slňuj řdsané očáční odínky, v varu () v cos sn (6) Jdná s o lnární konac haronckých funkcí s frkvncí (jíž řísluší roda π T d ) grafcky vsanou z onncálně uývající křvky varu ± L Graf

9 volných ků (6) j na orázku znázorněná slně vyažná křvka Vychází z olohové a sěrnc čny v oo odě j rychlosní očáční odínky ( ) očáční odínka, dy Křvka á nkončné nožsví nulových odů vzdálných o T d / Prosor, do něhož j křvka vsána j ozn křvka ± L, kd ro konsanu L laí vzah L v Jdná s o yagorjský souč kofcnů v lnární konac haronckých funkcí v (6) Křvka á nkončně noho lokálních réů, řčž s sřídají aa (ody, 3, 5, ) s ny (ody, 4, 6, ) Nunou odínkou réu j nulovos drvac Označí-l kofcny lnární konac oě A a B j drvac vyčíslna v (5) Proož onncální funkc nní nulová ro žádný argun j & ( ) ( B A) cos ( A B) sn Body lokálních réů (,, 3, 4, ) Odud roo slňují odínku g B A A B B A arcg π A B ( ), roož funkc angns j π - rodcká Proož zřjě réy ají oěr asoluních hodno ( ) ( ) Acos a snus souču), j ( π / ) [ Acos( π) Bsn( π) ] ( Acos Bsn ) Poněvadž ( ) ( ) Vzhld k (3) j π / dva o soě jdoucí π Bsn π Acos Bsn (vzahy ro cosnus ( ) ( ) π

10 ( ) ( ) π (7) Tao vlčna rozhoduj o vlkos oěrného úluu Zjsí-l rnálně hodnou ohoo oěru, dosává z (7) π ln, odud 4 ln ln π Proož výraz (7) laí ro každé řrozné, js ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j π Pro j j řvrácná hodnoa ( ) ( ) π Jjí logarus (řrozný) nazývá logarcký dkrn luní ( ) ( ) π λ ln ) Pro > říká, ž sousava j s nadkrcký luní skrnan charakrscké rovnc j rálný a ao á dvě různá rálná řšní ± λ, Ocné řšní (4) ř označní ak íš jako ( ) ( ) ( ) ( ) C C C C (8) rvací ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C C & osazní času do osldních dvou rovnc a zohldnění očáčních odínk odud dosan ( ) C C, ( ) ( ) ( ) C C v & Řšní éo sousavy lnárních algrackých rovnc získá v C v C ;

11 a dosazní ngračních konsan do (8) dosan ro konkréní řšní, slňující řdsané očáční odínky, výraz () v v (9) Jdná s o časový růěh nkavý Graf éo funkc á (odl vlkos očáční rychlos) njvýš jdn lokální ré a njvýš jdn nulový od Pro v > vyadá odl násldujícího orázku Graf oě slňuj očáční odínky Vychází dy z odu [, ] a sěrnc čny v odě j v, dy g β v Vzhld k charakru ohyu luví éž o řluné sousavě 3) Pro ra álo význaný říad nazývá sousavou s krcký luní skrnan charakrscké rovnc j nulový a ao á dvojnásoný kořn λ Ocné řšní ohyové rovnc íš ak jako rvací ( ) ( C C ), (3) ( ) [ ( C C ) ] & C osazní času do osldních dvou rovnc a zohldnění očáčních odínk dosan ( ) C, ( ) v C C & Řšní éo sousavy vychází C, C v, akž o dosazní do (633) konkréní řšní, slňující zadané očáční odínky, j ( ) [ ( v ) ] (3) Časový růěh výchylky j oě nkavý Grafy funkcí (3) jsou kvalavně sjné jako ro říad > Pro >, v j sav znázorněn na orázku výš > 3 VYNUCENÉ KMITÁNÍ Vynucné kání vznká ř nulových očáčních odínkách vlv uzní kavé sousavy Buzní s v ohyové rovnc rojví nnulovou ravou sranou Vysvělí-l suac na odélně kající luné sousavě, ud ohyová rovnc varu ( ) & & k F,

12 F j udcí síla Tao udcí síla ůž řío slově ůso v sěru kóování výchylky kavé sousavy, no s ůž jdna nař o složku odsřdvé síly na nvyvážnou roující honos (nacházjící s v rác hoy ) V rvní říadě hovoří o slové uzní, v druhé o uzní nvyvážnou roující honosí K uzní ůž kd ( ) dojí rovněž í, ž konc ružny, jnž j rá, koná řdsaný ohy y ( ) Touo savu říká knacké uzní Kroě výš osaného rozdělní uzní odl fyzkální odsay jho vznku, ůž j rozděl odl aackého varu udcí funkc (ravé srany ohyové rovnc) Tchncky njvýznanější j haroncké uzní, kdy ravá srana j lnární konací gonorckých funkcí ůlžé j uzní skok ro konsanní ravou sranu a ulsní uzní, kdy časový růěh síly j krákou dou rvající vysoká hodnoa (s rychlý náěh z nuly) a oé rychlý okls k nul Těo druhy uzní s ud v další výkladu zaýva Poznáka: ) V říadě orzně kající sousavy á ohyová rovnc var kd ( ) ( ) Iϕ & ϕ& k ϕ M, M j udcí slová dvojc (on) Všchny oznaky jsou ransforovalné na no říad ř výš osané analog vlčn ) Tchncký význa ají rovněž uzní olynoálního charakru, kdy udcí funkc j olyno druhého suně, a uzní rodckou funkcí HARMONICKÉ BUZENÍ (SILOVÉ) Budcí funkc á var F ( ) F sn( ω ϕ ), (3) kd F j aluda uzní, ω udcí frkvnc a ϕ fáz uzní Pohyová rovnc o rodělní honosí a zavdní ararů a á var kd f F Pro řšní éo rovnc laí ( ω ϕ ) & & f sn, (33) ( ) ( ) ( ) H, (34) kd h ( ) j ocné řšní hoognní rovnc s nulovou ravou sranou a ( ) j jdné jdno odhadnué zv arkulární řšní rovnc (33) Parkulární řšní s ovykl odhaduj v kvalavně sjné varu jako j ravá srana Pro < j odl odkaoly H ( ) dáno v (4) Parkulární řšní j za uzní fázově zožděno Odhaduj jj v varu ( ) X ( ω ϕ ϕ ) sn (35) Za účl vyjádřní aludy X a fázového zoždění ϕ řš rovnc (33) jjí arkulární řšní (35) v nové nzávsl roěnné τ, ro krou ωτ ϕ ω ϕ τ (36) ω

13 dτ Zřjě, akž ro lovolnou funkc f j d Pohyová rovnc (33) vzhld k (36) á var a jjí arkulární řšní (35) df d df dτ df dτ d dτ Tdy d f d f d dτ d d f sn( ωτ ϕ ϕ) (37) dτ dτ ( τ ) X ( ωτ ϕ ) sn (38) Parkulární řšní (38) usí ý řšní (37) rvac získá d d dτ dτ ( ωτ ϕ ) Xω cos, Xω sn ( ωτ ϕ ) osazní do (37) ř ouží součového vzorc ro sn ωτ ϕ ϕ dosan 443 ψ Xω sn ( ωτ ϕ ) ω X cos( ωτ ϕ ) X sn( ωτ ϕ ) f cosϕ sn( ωτ ϕ ) f sn ϕ cos( ωτ ϕ ) Tno vzah usí ý slněn ro lovolné τ Musí s roo rovna kofcny u sn ( ωτ ϕ ) u cos ( ωτ ϕ ) osává ak rovnc ( ω ) f cosϕ X, (39) X ω f sn ϕ (4) Uocnění a sční s zaví fázového ooždění a dosan odkud [( ω ) 4 ω ] f X X, f (4) ( ω ) 4 ω Aluda X haronckého arkulárního řšní závsí na vzdálnos (lízkos) udcí frkvnc ω k vlasní frkvnc Graf závslos X ( ω ) j zv aludová (odl saré nory aludo-frkvnční) charakrska Proož v (4) jsou všchny vlčny kladné, j sn ϕ a dy ϕ, π Z (39) jdnoznačně dosává ω ϕ arccos (4) ( ω ) 4 ω

14 Také fázové zoždění závsí na oloz ω vůč Graf závslos ( ω) ϕ s nazývá fázová (odl saré nory fázo frkvnční) charakrska Fázovou charakrsku lz získa rovněž rodělní rovnc (4) rovncí (39) Získá ak Pro Pro ω < ( ω < ) ω g ϕ ω j zlok vravo kladný a ω > ( ω > ) ω ϕ arcg (43) ω j zlok vravo záorný a arkusangna y yla aké záorná ϕ,π Proo ro no říad Jak už ylo výš řčno, ( ) ω ω ϕ π arcg π arcg (43 ) ω ω F Jslž do (4) dosadí zě za f dosan rozšířní zloku na ravé sraně (4) výraz a zavdní zv čnl naladění ω η výraz F s X (4 ) ( η ) 4 η ( η ) 4 η k F osazní za vznká ož v čal, což js sacká dforac ružny o k uhos k ř rvalé ůsoní aludy F haroncké udcí síly Tuo vlčnu označuj s Rozšířní zloku (43) výraz a zavdní čnl naladění dosan η ϕ arcg ro η <, η η ϕ π arcg ro η > (43 ) η Výrazů (4 ) a (43 ) říká aké aludová rs fázová charakrska usálné výchylky Oě osané charakrsky závsjí na araru η a na oěrné úluu Příslušné grafy jsou ro různá znázorněny na orázku Vlvo j aludová a vravo fázová charakrska

15 Parkulární řšní á dy v okolí ( η ) ω vlkou aludu (ro alé oěrné úluy) Jdná s o nzčný sav rzonanc Pro asrakní sousavu z luní y ro η ω aluda rosla nad všchny z ( ) Poznáka: Parkulární řšní ro ω a X cos ω ϕ Aludy snu ak rosou lnárně s čas Proož no sav j chncky nravděodoný ( ), nud s jí zaýva á var ( ) Jslž < laí ro hoognní řšní vzah (4) (volné ky) osazní (4) a (35) do (34) získá ocné řšní ohyové rovnc jako ( ) ( A B sn ) X sn( ω ϕ ϕ ) cos (44) Trv v oo řšní (nkolv ouz v hoognní) ulaní znalos očáčních & v rvací (44) získá odínk ( ) a ( ) & ( ) [ ( Acos Bsn ) ( Asn B cos ) ] Xω cos( ω ϕ ϕ) osazní do osldních dvou rovnc a zohldnění zadaných očáčních odínk získá Odud ( ϕ ϕ ) A X sn, ( ϕ ϕ ) v A B Xω cos A X sn ( ϕ ϕ) ( ϕ ϕ ), v Xωcos B ( X sn( ϕ ϕ) ) (45) osazní do (44) ycho získal konkréní řšní ohyové rovnc slňující zadané očáční odínky Too řšní osuj zv řchodový děj, vznkající jako odzva sousavy na náhlé řojní haronckého uzní Tno řchodový děj s skládá z luného kání vlasní frkvncí (rvní sčíanc (44)) a nluného kání udcí frkvncí ω Poznanj, ž rvní sčíanc s nanuluj an ro nulové očáční odínky jak j vdě v (45) Náhlé řojní uzní (rakcky) vždy zůsoí kání vlasní frkvncí Too kání však vlv luní s o dosačně dlouhé čas ůsoní uzní uluí naolk, ž nud vůc ěřlné (aacky forulováno la rvního sčíanc v (44) ro j nulová) Po oo čas už sousava ká ouz s udcí

16 frkvncí Jdná s o zv usálný sav Usálný sav dy osuj arkulární řšní ohyové rovnc, zaíco řchodový děj osuj výsldné řšní Usálný sav j nzčnější, roož ůsoí rval Př naladění sousavy do rzonanc j jho aluda vlká s vš ngavní důsldky (vysoká hlučnos, vlké síly řnášné do ráu) Těo savů s v ra snaží vyhnou Lz o uděla naladění o rzonanční olas, no věší zaluní sousavy Zkouj jšě v usálné savu dynackou sílu řnášnou ružně vskózní čln do ráu Tao síla, s ohld na ohyovou rovnc a dfnc usálného savu, á časový růěh osazní z (35) získá Zavdní aludy F lz no vzah řsa na Pro fáz dynacké síly d F d ( ) k ( ) & ( ) ( ) X [ k ( ω ϕ ϕ ) ω cos( ω ϕ ϕ )] F d ϕ s laí sn X k ω F d (46) ( ) F sn( ω ϕ ϕ ϕ ) d s ω k sn ϕ s ; cosϕ F s d Fd ůlžá j aluda haroncké (s udcí frkvncí) dynacké síly, daná v (46) F osazní za X z (4), kd f získá F k ω F F d ( ω ) 4 ω ( ω ) 4 ω k ω Ovš k a Odud Závslos ( ω ) d 4 ω 4 F d F ( ω ) 4 ω F nazývá aludovou (odl saré nory aludo-frkvnční) charakrskou síly řnášné do ráu Rozšířní osldního zloku odocnnou ) a zavdní čnl naladění η dosan 4 F d F ( η ) 4 η (od 4 η (47)

17 Vlkos dynacké síly (aluda) závsí na aludě uzní F d, na oěrné úluu a na naladění sousavy vzhld k udcí frkvnc Charakrska j kvalavně odoná charakrsc výchylky znázorněné na sraně 8 Pro alé úluy lz oě vysldova sav rzonanc, kdy aluda dynacké síly vysoko řkračuj aludu uzní (j ož F ( ) F d ) Př rovozování sousavy v oo naladění hrozí nzčí dsrukc ružně vskózní vazy na rá HARMONICKÉ BUZENÍ NEVYVÁŽENOU ROTUJÍCÍ HMOTNOSTÍ Uvažuj sroj o honos ružně-vskózně uložn k ráu vazou o luní a uhos k (vz or) V sroj rouj úhlovou rychlosí ω nvyvážný (sacky) roor o honos s ěžšě vysřděný z osy roac o výsřdnos Rouj-l roor konsanní úhlovou rychlosí ω, ůsoí na něj odsřdvá síla O ω Jjí svslá složka O sn ϕ ůsoí na odélně kající sroj jako udcí síla Vodorovná složka j v rovnováz s rakcí v svslé vdní Př naznačné kóování výchylky z sacké rovnovážné olohy snadno odvodí ohyovou rovnc v varu & & & k O sn ϕ Proož ω kons, uvažuj-l čas v okažku, kdy ϕ, j ϕ ω Pohyová rovnc á roo var nol & & k ω sn ω, & & ω sn ω (48) Srovnání s rovncí (33) vdí, ž fáz uzní ϕ a aluda uzní f ω závsí na kvadráu udcí frkvnc V usálné savu (ěží-l sroj dosačně dlouhou dou) á arkulární řšní var ( ) X ( ω ϕ ) sn, kd ro aludu X (srovnání (33) s (48)s řhlédnuí k (4)) laí a zavdní čnl naladění ω X (49) ( ω ) 4 ω η X ( η ) 4 η Tyo závslos na ω (rs na η ) řdsavují aludové charakrsky výchylky Pro alé luní ají charakr znázorněný na orázku Jslž úhlová rychlos roac j nízká,

18 Pro aludu síly F d řnášné do ráu sroj laí odl (46) a (49) výchylka j zandalná Pro naladění η a (lízké jdnčc) dochází k rudkéu nárůsu Nasává nzčný sav rzonanc Pak aluda usálné výchylky oě klsá (v nadrzonanční olas η > ω > ) I ro vysoké rychlos ω však nklsá k nul, roož zřjě js l X ( η) η k ω 4 4 F d X k ω ω O ( ω ) 4 ω ( ω ) 4 ω roož aluda odsřdvé síly O ω Po zavdní čnl naladění získá sjnou charakrsku dynacké síly jako v (47) ř F O KINEMATICKÉ BUZENÍ Tno druh uzní vznká jslž s honosí nsojný konc ružny vykonává řdsaný ohy y ( ) (vz or) Síly ůsoící v sěru ohyu na uvolněnou houjsou znázorněny na orázku Elascká síla závsí na rlavní výchylc (dforac ružny) a lucí síla na drvac rlavní výchylky (rychlos dforac ružny) Pohyová rovnc á dy var ( & y& ) k( ) & y V asoluní výchylc (kdy ozoroval s nachází na ráu) á roo var nol & & k y& ky, & & y& y (5) V rlavní výchylc z y (kdy ozoroval s nachází na konc ružny nsojné s hoou ) á sjná rovnc zřjě var nol (& z && y) z& kz & z z& z & y (5) Časý říad knackého uzní j haroncké uzní, kdy řdsaný ohy á var ω,

19 ( ω ψ ) y Y sn (5) Zd Y j aluda uzní ψ fáz uzní a ω udcí frkvnc osazní do (5) získá ohyovou rovnc v asoluní výchylc jako [ ω cos( ω ψ ) ( ω ψ )] & & Y sn Haronckou ravou sranu (uzní) lz řsa na kd ro fáz ψ laí Pohyová rovnc á roo var kd aluda uzní j a fáz uzní Y ( ω ψ ψ) 4 4 ω sn, ω sn ψ ; cosψ ω 4 ω ( ω ϕ ) 4 & & Y 4 ω sn, (53) F 4 ω 4 Y (54) ϕ ψ ψ V usálné savu, juž odovídá arkulární řšní (53), á výchylka ( ) var ( ) X ( ω ϕ ϕ ) sn, kd ro aludu X (jak lyn srovnání (53) a (33)) odl (54) a (4) laí 4 4 ω 4 η X Y Y (55) ( ω ) 4 ω ( η ) 4 η To j sjný var aludové charakrsky výchylky jako v (47), ř volě F Y Pro různé oěrné úluy j charakrska znázorněna na orázku výš Oě lz vysldova sav rzonanc, kdy aluda výchylky hoy X j odsaně věší nž aluda výchylky uzní Y osazní (5) do (5) získá ohyovou rovnc v rlavní výchylc jako ( ω ψ ) & z z& z Yω sn (56) Aluda uzní j závslá na kvadráu udcí frkvnc jako u rovnc (48) Srovnání zíněných dvou rovnc dosan aludu Z rlavních výchylk v usálné savu, jakožo arkulární řšní Z ( ) Z sn ( ω ψ ϕ ) odl (49) v varu Y Yω Yη Z (57) ( ω ) 4 ω ( η ) 4 η

20 Aludová charakrska á var odl orázku výš Poznáka: Pro dynackou sílu ( ) k ohyové rovnc F d V usálné savu á ao síla var Podl (55) jjí aluda F d F d řnášnou ružně-vskózní vazou laí vzhld ( ) k[ ( ) y( ) ] [ & ( ) y& ( ) ] & ( ) ( ) & ( ) ω X sn( ω ϕ ϕ ) & 4 ω 4 F do ω Y k Proož k, dosává odud k ( ω ) 4 ω Vlčna ω 4 ω 4 η 4 F do Y k Ykη ( ω ) 4 ω ( η ) 4 η (58) F ky j síla v ružně dforované o aludu Y uzní Charakrsky ají var uvdný na orázku Až do,35 ají jdno lokální au Pro vyšší jsou sál rosoucí S výjkou j Přnášná síla dy ros s udcí frkvncí nad všchny z Nzčný sav j dy ro naladění sousavy vysoko v nadrzonanční olas Pro j l F d η F a naoak η η d ( ) ( η) l F Všchny charakrsky rocházjí od, F [ ] BUZENÍ SKOKEM (KONSTANTOU) Tno y uzní vznká, když na sousavu (zravdla v kldu v sacké rovnovážné oloz dy rvální očáční odínky) naráz (skok) v čas začn ůso konsanní udcí síla vlkos F Pohyová rovnc o zavdní ararů a á var F & & (59) Tuo dfrncální rovnc řší ř nulových očáčních odínkách ( ) ( ) Zřjě ro ocné řšní oě laí ( ) ( ) ( ) H &, (6)

21 kd hoognní řšní j dáno v (4) (ro < ) Parkulární řšní odhaduj jako (v sjné varu, jako j ravá srana) Vlkos konsany L získá konsanu ( ) L z odínky, ž ao konsana usí ý řšní (59) Musí dy la F F F F L L s, (6) k k kd s j dforac ružny ř sacké ůsoní síly F osazní (6) a (4) do (6) dosává rvací & ( ) ( Acos Bsn ) s (6) ( ) [ ( Acos Bsn ) ( Asn Bcos ) ] osazní času do osldních dvou rovnc a zohldnění očáčních odínk vyjd Odud osazní do (6) vznká () A s ( ) A s, ( ) A B & Zavdní v kulaé závorc aludy A ~ vzorc s A ; B s cos sn (63) ~ A a fáz γ ak, ž sn γ ~ ; cosγ A ~ A dosan konkréní (rvální očáční odínky slňující) řšní v varu () sn( γ) s (63 )

22 d odínkou réu j Odud odl (63) d d s cos d Proož, usí la s sn s nazývá řchodová charakrska a á var uvdný na orázku Tluná fázově osunuá snusoda (s Posaná závslos ( ) π rodou T d ) s řlžuj d s rosoucí čas k nové sacké rovnovážné oloz Určí s jšě njvěší ré ( ) sn Nunou cos nol cos sn sn cos, cos sn Proož kofcn u kosnu j dncky nulový a kofcn u snu nnulový (rovný ), j odínkou réu sn k kπ (k clé) Njvěší ré nasává ro k, akž odl (63) π d s cosπ sn π d π π a s, noť cos π, sn π a d Z určného oěru (zěří) lz urč oěrný úlu jakožo a s π ln π ( > ( ) ln ( ) )

23 BUZENÍ IRACOVÝM IMPULSEM Tno y zv rázového uzní vznká, když síla á růěh ulsu o vysoké hodnoě rvajícího krákou dou T (vz or), kdy řdaný T uls j I F() d Nwonskund Podl věy o zěně hynos ř řdání ulsu I hoě ao dosahuj sarovací rychlos v, ro krou v I Sarovací rychlos j očáční rychlosní odínkou ř řšní volných ků Příslušné řšní ř saru z sacké rovnovážné olohy á odl (6) ro < var v () sn d Téo závslos říká ulsní charakrska Jdná s o lunou snusodu s frkvncí π (rodou T d ) znázorněnou na osldní orázku d

24