Časové řady typu I(0) a I(1)

Transkript

1 Aca oconomca pragnsa 6: (2), sr. 7-, VŠE Praha, 998. ISSN (Rukops) Časové řady ypu I() a I() Josf Arl Úvod Př analýz konomckých časových řad má smysl rozlšova saconární a nsaconární časové řady. Saconární časové řady s označují aké jako časové řady s krákou paměí, nsaconární časové řady s označují jako řady s dlouhou paměí. Zaímco u řad s krákou paměí s vlv šoku z mnulého období časm posupně vyrácí, u řad s dlouhou paměí s projvuj nusál. Odlšnos v charakru ěcho časových řad jsou dány zásadním rozdíly v jjch gnrujících procsch. Př zkoumání vzahů mz časovým řadam j v prax snaha používa klasckou rgrsní analýzu. Vlm důlžým přdpokladm konvnční asympocké or pro odhady modou njmnších čvrců j saconara vysvělujících proměnných. Př prakckých aplkacích s časo na posouzní ohoo přdpokladu zapomíná. Někdy s však analyc uvědomují, ž jjch časové řady njsou saconární, provdou dy nějakou ransformac (obvykl odsraní lnární drmnscký rnd) bz ohldu na charakr gnrujícího procsu a s ako ransformovaným časovým řadam pracují jako by byly saconární. V obou případch můž vznknou problém, krý s označuj jako zdánlvá rgrs. Zdrojm zdánlvé rgrs jsou rozdílné sochascké rndy vysvělované a vysvělující proměnné. Hlavním cílm ohoo článku j vysvěl základní rozdílnos v saconárních gnrujících procsch I() a nsaconárních gnrujících procsch I(). V éo souvslos jsou uvdny základní problémy vznkající př modlování časové řady obsahující sochascký pomocí funkc s časovou proměnnou.. Časové řady ypu I() Uvažujm njprv auorgrsvní procs prvního řádu (označuj s jako AR()) Y = ρy - +, () kd { } j procs bílého šumu, j. procs s nulovou auokorlační funkcí, nulovým sřdním hodnoam a konsanním rozpyly σ 2. Sručně lz yo vlasnos zapsa jako { } IID(, σ 2 ) ( IID znamná Idncaly Indpndnly Dsrbud ) (2) Přdpokládjm dál ž ρ <. Přdpokládjm, ž procs má počák v čas = a ž Y j drmnscká počáční podmínka. Obcné řšní dfrnční rovnc má poom formu Sřdní hodnoa ohoo procsu j Y = ρ Y + ρ Budm-l uvažova čas +s, bud mí sřdní hodnoa formu. (3) E(Y ) = ρ Y. (4) E(Y +s ) = ρ +s Y. (5)

2 Porovnám-l sřdní hodnoy (4) a (5), j zřjmé, ž s s časm mění, akž procs () nmůž bý saconární. Avšak s růsm do nkončna výraz ρ Y konvrguj k nul, akž ρ lm Y =. (6) Pro =, prakcky pro dosačně vysoké plaí, ž procs () má násldující vlasnos: (AI) E(Y ) =, j. npodmíněná sřdní hodnoa j nulová, (AII) D(Y ) = E(Y -µ) 2 = E[( + ρ - + ρ ) 2 ] = σ 2 [+ρ 2 +ρ ] = σ 2 /(-ρ 2 ), j. npodmíněný rozpyl j konsanní a nzávslý na čas, (AIII) E[(Y -µ)(y -s -µ)] = E[( + ρ - + ρ )( -s + ρ -s- + ρ 2 -s )] = σ 2 ρ s [+ρ 2 +ρ ] = σ 2 ρ s /(-ρ 2 ), j. auokorlační funkc nzávsí na čas a s rosoucím posunuím s jjí hodnoy klsají, procs má dočasnou paměť, Budm-l uvažova v procsu (), krý má počák v = jšě konsanu, j. obcným řšním j vzah Př Y = a + ρy - +, (7) Y = a ρ + ρ Y + ρ. (8) lm Y = a /( ρ) + ρ, (9) akž npodmíněná sřdní hodnoa procsu j rovna výrazu a/(-ρ) a j dy rovněž nzávslá na čas. Rozpyl a auokorlační funkc s nmění. J dy zřjmé, ž pro dané drmnscké Y a ρ < j řba aby bylo dosačně vysoké, jnak časová řada gnrovaná procsm () nmusí bý saconární. Příčnou nsaconary j dy v omo případě drmnscká počáční podmínka. Př prakcké čnnos j vhodné př nbzpčí ohoo případu vyncha několk počáčních pozorování. Pokud nxsuj drmnscká počáční podmínka Y, obcné řšní jako souč homognního a parkulárního řšní má var Y = a /( ρ) + ρ + Aρ, () kd A j lbovolná konsana. Procs () j saconární když j výraz Aρ rovn nul. Taková suac nasan v případě, ž = nbo konsana A =. Tuo konsanu lz nrprova jako odchylku od rovnovážného savu rsp. kvlbra. Pokud j konsana A nulová, procs j v kvlbru. Sjné podmínky saconary plaí pokud j počáční podmínkou náhodná vlčna s sřdní hodnoou rovnou nul rsp. a/(-ρ) a rozpylm σ 2 /(-ρ 2 ). Výš uvdné podmínky saconary lz zobcn na procsy ARMA(p, q). Saconární procsy s nazývají ngrovaným procsy řádu nula a označují s jako I(). Jm gnrované časové řady s označují jako řady ypu I(). 8

3 Příklad Na obr. j zachycna časová řada gnrovaná procsm Y = 5, +,6Y - +. Tno procs j saconární, j. I(), akž časová řada j ypu I(). Obrázk Časové řady ypu I() Uvažujm nyní procs Y = Y - + 2, () kd { 2 } IID(, σ 2 2 ). Tno procs s označuj jako náhodná procházka ( random walk ). Jd o zvlášní případ procsu AR(), kd ρ =. Přdpokládjm, ž má počák v čas = a Y j počáční drmnscká podmínka. Poom obcné řšní (dfrnční rovnc ()) j Y = Y + Náhodná procházka má násldující vlasnos: (BI). (2) E(Y ) = Y, j. npodmíněná sřdní hodnoa j konsanní a nzávslá na čas, (BII) D(Y ) = E[( )( )] = σ 2 2, j. npodmíněný rozpyl závsí na čas, (BIII) E[(Y -Y )(Y -s -Y )] =E[( )( 2-s + 2-s )] = j= 2 j =E[( 2-s ) 2 +( 2-s- ) ( 2 ) 2 ] = (-s)σ 2 2, npodmíněný rozpyl v čas (-s) j D(Y -s ) = (-s)σ 2 2, korlační kofcn má dy var ρ s = ( - s)/ ( s) = ( s)/ = s/, j. korlační kofcn závsí na čas a s př daném posunuí s konvrguj k jdné. Z výš uvdných vlasnosí vyplývá, ž náhodná procházka j nsaconární procs. Zdrojm jjí nsaconary j sochascký rnd. Za přdpokladu vlčn procsu {2} má podmíněná sřdní hodnoa Y + var Podmíněnou sřdní hodnou Y +s získám z vzahu j= 2 j E (Y + ) = E (Y + 2+ ) = Y. (3) 9

4 j. s Y +s = Y +, (4) 2+ s 2 + E (Y +s ) = Y + E = Y. (5) Podmíněné sřdní hodnoy Y +s pro všchna kladná s s rovnají Y. Avšak šoky 2 mají nklsající vlv. Zahrnm-l do procsu () konsanu, j. poom za přdpokladu počáční podmínky Y jj lz vyjádř jako Y = µ + Y - + 2, (6) Y = Y + µ +. (7) Kromě sochasckého rndu no procs obsahuj jšě lnární drmnscký rnd Y + µ. Npodmíněná sřdní hodnoa má formu Rozpyl a auokorlační funkc s nmění. j= 2 j E(Y ) = Y + µ. (8) Vzhldm k vlasnosm (nulová sřdní hodnoa, konsanní rozpyl, nulová auokorlační funkc) j procs bílého šumu procsm ypu I(). Jslž { 2 } bud nějaký saconární procs AR, nvrblní procs MA nbo saconární a nvrblní procs ARMA, poom procs () bud mí vzhldm k vlasnosm (AI) - (AIII) obdobné vlasnos jako náhodná procházka. J zřjmé, ž nsaconární procsy ohoo ypu lz saconarzova jjch první dfrncí. Tyo procsy s nazývají ngrované řádu jdna a označují s jako I(). Jm gnrované časové řady s označují jako řady ypu I(). Příklad 2 Na obr. 2 j zachycna časová řada gnrovaná procsm Y = Y Jdná s o ngrovaný procs řádu jdna, akž časová řada j ypu I(). Obrázk 2

5 3. Modlování časových řad ypu I() pomocí modlů s časovou proměnnou Řšní problémů spjaých s ngrovaným časovým řadam časo vychází z přdsavy, ž jjch nsaconara by mohla bý dobř zachycna pomocí nějaké drmnscké funkc časové proměnné. Kdyby ao přdsava byla rálná, sačlo by pomocí dané funkc odsran zdroj nsaconary a pracova dál pouz s rzdu. Bohužl jak analycké, ak smulační sud ukazují, ž no posup nlz vol. Přdpokládjm časovou řadu Y, krá j gnrována procsm náhodné procházky Y = Y (9) Úkolm j odsran rnd z éo nsaconární časové řady (yp gnrujícího procsu nznám) pomocí lnární funkc časové proměnné. Za ímo účlm s nabízí použí násldující rgrsní modl Y = α + β + u. (2) V sud Durlauf, Phllps (988) bylo dokázáno, ž za přdpokladu α = β = má odhad $β lmní rozdělní, kré dgnruj v nul (vz např. Lkš, Machk (98)) a α $ má dvrgnní rozdělní zn., ž rozpyl odhadu α $ ros s zvěšujícím s rozsahm výběru. Výsldky -su jsou nspolhlvé (ndkují významnos příomnos časové proměnné v modlu, v krém v skučnos ao proměnná nní), když odhad β $ konvrguj k své skučné nulové hodnoě, nboť -saska (aké F-saska) př planos hypoézy H: β = nkonvrguj k nul, al j s pravděpodobnosí jdna asympocky nohrančna (což j důsldk dgnrovaného lmního rozdělní β $ ). Lraura: Arl, J.: Rgrsní analýza nsaconárních konomckých časových řad, Polcká konom, 997, č. 2 Arl, J.: Kongrac v jdnorovncových modlch. Polcká konom, 997, č. 5 Durlauf, S.N. - Phllps, P. C. B.: Trnds vrsus Random Walks n Tm Srs Analyss, Economrca, 56, 988 Lkš, J. - Machk, J.: Poč pravděpodobnos, SNTL, Praha, 98