Řešení přechodných jevů pomocí Laplaceovy transformace. přímá transformace f(t) F(p) obrazy F(p)

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Řešení přechodných jevů pomocí Laplaceovy transformace. přímá transformace f(t) F(p) obrazy F(p)"

Kamila Naděžda Pavlíková
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Řšní řchodných jvů omocí lcovy rnsformc Anlýzu řchodných jvů j. vyšřní dynmického chování lkrického ovodu osného sousvou difrnciálních rs. inrodifrnciálních rovnic lz s výhodou rovés omocí oráorového oču, j. omocí ingrálních rnsformcí lcov, Fourirov Princi: Pro dnou funkci čsu f nzývám ji řdmě no originál nlznm římou lcovou rnsformcí jjí orz F. Míso difrnciálních rovnic ro f k dosnm lgrické rovnic ro F. Jjich řšním nlznm orzy hldných vličin oé rovdm zěnou invrzní lcovu rnsformci - viz schm římá rnsformc f F řdmě f d f, f orzy F lgrické rovnic ro F ingrodifrnciální rovnic řšní lg. rovnic ro F řšní f zěná rnsformc F f řšní f řšní v čsové olsi řšní v frkvnční olsi Zákldní ingrální rnsformc oužívné v lkrických ovodch jsou: lcov rnsformc F Fourirov rnsformc F komlxní roměnná σ jω komlxní roměnná jω Poznámk: Při řšní řchodných dějů omocí lcovy rnsformc čso nmusím formulov difrnciální rovnic ro okmžié hodnoy něí roudů, l můžm sá římo lgrické rovnic ro orzové vličiny, ssvní rovnic j k nlogické jko ři užií SKM ro nlýzu hrmonických usálných svů, míso jω všk oužívám oráor. Někdy nní nuno ni rovádě zěnou lcovu rnsformci, roož někré vlsnosi ovodu lz osoudi římo z chrkru lcových orzů.

2 Výhody oužií lcovy rnsformc: jdnodušší mmický modl lgrické rovnic názorné vyjádřní vlsnosí ovodu jho chování nlogi s modou SKM ro řšní hrmonického usálného svu Nvýhod: nunos rovádě římou zěnou lcovu rnsformci, v mnoh řídch ji lz sndno rovés omocí slovníků lcovy rnsformc, kd jsou uvdny vzorc ro ěžně oužívné funkc zěnou lcovu rnsformci lz rovés i numricky Poznámk: S rnsformcí ingrodifrnciálních rovnic n lgrické jsm s již skli ři řšní hrmonických usálných svů, omocí zorzní hrmonické funkc čsu do komlxní roviny SKM lz orci drivování ingrování nhrdi násoním či dělním komlxoru rs. fázoru činilm jω: A f sin ω ϕ A A j ω ϕ cos ω ϕ df d j ω ϕ j ω ϕ f A jω A j ω ϕ j ω ϕ jω A Ingrální rnsformc řiřzují originálu f jho orz F omocí ingrálu f F f P ro lcovu rnsformci lí: P lcov rnsformc j dfinován ro funkc sndrdního yu f f f < funkc f můž ý v čs nsojiá, k j ř zná hodnou f lcův orz funkc f j dfinován vzhm F f rč lcův orz ro funkci f o kons. F lcův orz hodnoy o kons.j / -násokm éo hodnoy

3 Zěná lcov rnsformc j dfinován ingrálm f π πj σ j [ F ] F d ω F d Dohod: řdměy funkc čsu orzy funkc komlxní roměnné σ j udm znči mlými ísmny znčím vlkými ísmny K oznční římé zěné lcovy rnsformc s oužívjí symoly - římá lcov rnsformc [ f ] F zěná lcov rnsformc [ F ] f Důlžié vlsnosi lcovy rnsformc:. j linární n k k f k n k F. orz drivc ro sojiou funkci f ro > df F f orz drivc j -násokm orzu F 3. orz ingrálu f ξ dξ k k F orz ingrálu j / násokm orzu funkc F - rč lcův orz něí n dvojólu njrv formulujm rovnici ro okmžié hodnoy u i di C i ξ dξ zvdm lcovy orzy ro něí roud: rovnici řvdm n rovnici ro orzy I I [ I i ] [ u ] [ i ] I i C I C

4 J-li i j. řším řchodný děj s nulovými očáčními odmínkmi k lí: I C Tuo rovnici můžm zs v ocném vru I Z rs. I Y kd j orzová imdnc Y j orzová dminc orzové iminc Vzhy mzi lcovými orzy něí roudů n sivních rvcích ři nulových očáčních odmínkách u i I orzová imdnc Z u u C C di I i d C ξ ξ I C i Z Z C C Orzová imdnc j formálně shodná s komlxní imdncí, nhrdím-li jω Pozor! Komlxní imdnc Z jω j oměr fázorů něí roudu Orzová imdnc j oráor Pro orzovou imdnci lí ro sriorllní sojní sjná rvidl jko ro komlxní imdnci Z jω

5 rč orzovou imdnci dvojólu C C Z linriy lcovy rsnsformc vylývá, ž m i ± I i ± i Posu ři nlýz řchodných dějů omocí lcovy rnsformc ro nulové očáční odmínky, nní nuno formulov difrnciální rovnic určím lcův orz udících vličin něí rs. roudu formulujm rovnic ro výoč orzů věvových vličin někrou z známých mod ro nlýzu ovodů 3 vyočm lcovy orzy hldných vličin 4 rovdm zěnou lcovu rnsformci okud chcm zná čsové růěhy hldných vličin Poznámk: Pro lcovy orzy něí roudů lí Kirchhoffovy zákony ři řšní řchodného děj s nnulovými očáčními odmínkmi formulujm njrv ingrodifrnciální rovnic ro čsové funkc y k omocí římé lcovy rnsformc řvdm n lgrické rovnic ro. orzy nuné ro srávné rskování očáčních odmínk jinou možnosí, jk rskov nnulové očáční odmínky, j náhrd indukoru rs. kcioru sriovým no rllním sojním ěcho rvků řízného zdroj něí rs. roudu závisjícího n očáční odmínc viz říkld dál ro vyšřní někrých vlsnosí lkrického ovodu jho dynmického chování sčí nlyzov ouz lcovy orzy nř. řnosové funkc, kmiočové chrkrisiky., k nmusím rovádě krok 4 zěnou lcovu rnsformci n i Snov čsový růěh roudu v ovodu Jlikož lí i, určím římo. orzy [ ] I

6 Pro zěnou rnsformci oužijm slovník lcovy rnsformc, nlznm vzorc [ ] * v nšm řídě j, Okmžié hodnoy něí roudu jsou i di u vidím, ž čsová konsn růěhu roudu něí závisí n kořnu jmnovl lcov orzu, oho využívám ři osuzování chrkru řchodného děj, k omu j nuno urči kořny olynomu v jmnovli zv. óly funkc F Odvozní vzhu * ro zěnou rnsformci v slovníku.r. nlznm, ž lí výrz / rozložím n rciální zlomky vyočm konsny A B B A B A Porovnání výrzů dosnm B A B A B B A B A oud održím

7 rč roudovou odzvu v ovodu C osuď chrkr řchodného děj v čs j ovod řiojn k zdroji sjnosměrného něí o Přchodný děj s nulovými očáčními odmínkmi, vyočm orzovou imdnci ovodu lcův orz roudu I C C C C Polynom v jmnovli Q urvím do normovného vru vyočm jho kořny I Q C Q C vzh ro I říšm do vru I, ± C orovnáním s rov. * dosnm, ž Okmžiá hodno roudu k ud [ I ] i oznčím-li lz kořny jmnovl zs v vru β α β β α C lí Okmžiou hodnou roudu k zíšm v urvném vru i α β Diskuz řšní rov. α α kořny rálné různé, z lyn, ž i j dáno surozicí dvou xonnciál řchodný děj riodický β α α kořny komlxně sdružné α β jωv C kořny zíšm v vru kd ωv β C β j ωv β jω v

8 o doszní do rov. dosnm i β sinωv řchodný děj kmivý ω v Závěr: Póly funkc I jsou sjné jko kořny chrkrisické rovnic rs. vlsní čísl svové mic A, kré jsm určili ři řšní řchodného děj v čsové olsi, odl yu ólů funkc I lz snovi chrkr řchodného děj óly jsou rálné různé řchodný děj j riodický óly jsou násoné řchodný děj j n mzi riodiciy c óly jsou komlxně sdružné - řchodný děj j kmivý Vyšř chrkr řchodného děj v ovodu dl orázku, j-li dáno H, C, F, Ω, o 5V H, C, F, 5 Ω, o 5V Přchodný děj s nulovými očáčním odmínkmi i, uc vyočm římo lcův orz roudu omocí orzové imdnc ovodu Přvdm n solčný jmnovl vyjádřím I C C C I C C I vyočm kořny olynomu v jmnovli óly funkc I C C C C Q C C, C ± C C Výsldky, 5 ± 5, 3 8,87 řchodný děj riodický čsové konsny jsou,885 s τ τ,3 s

9 Přchodné děj - shrnuí: ± 3 j, řchodný děj kmivý čsová sdružných kořnů, ± konsn j dán rálnou čásí komlxně τ s β β ± jα β ± jω Pokud zíšm, v, k lz z imginární čási kořnů snovi i riodu kmiů π α ωv 3 T, 9 s T Dynmické chování ovodu, j. chrkr řchodného děj j dán konfigurcí ovodu očm kumulčních rvků v ovodu oč C, lz ho osoudi n zákldě: hodno kořnů chrkrisické rovnic řchodný děj j osán difrnciální rovnicí n-ého řádu vlsních čísl svové mic A řchodný děj j osán svovou rovnicí sousvou n difrnciálních rovnic. řádu 3 ólů lcov orzu F hldné vličiny j. nlznm kořny olynomu v jmnovli lcov orzu F, no olynom j n-ého řádu Při vyšřování řchodných dějů s řídím násldujícími rvidly: rovnic formulujm n zákldě známých mod ro nlýzu ovodu římá likc Kirchhoffových zákonů mod smyčkových roudů mod uzlových něí Thvninov rs. Noronov vě. jko nznámé zrvidl volím svové vličiny formulujm ro ně fyzikální očáční odmínky c svové vličiny něí n kcioru roud indukorm s vždy mění sojiě d v ovodch. řádu j odzv vždy xonnciální v ovodch. vyššího řádu můž ý odzv riodická no kmivá f vličiny duální k svovým, j. roud kciorm něí n indukoru, s v okmžiku změn v ovodu zrvidl v čs mění nsojiě, dy skokm jsliž něí n kcioru vzrůsá, roud i C > jsliž něí n kcioru klsá, roud i C < jsliž roud n indukoru vzrůsá, něí u > jsliž něí n indukoru klsá, něí u <

10 Použií lcovy rnsformc ro dlší yy úloh lcov rnsformc umožňuj rlivně sndné řšní i řchodných dějů v ovodch s ocně čsově roměnnými zdroji rč růěh něí n kciě, j-li v čs ovod C řiojn k zdroji něí α u lcův orz něí n kcioru o dszní ud C C C C C C C lcův orz něí zdroj [ ] α α Zěná lcov rnsformc omocí vzorc *, v nšm řídě j C α C α C C α C u α C α, C Pro dná zojní vyšř vzh mzi vsuním něím u výsuním něím u. c d Řšní rovdm omocí lcov orzu řnosová funkc F vyočm oměr orzů výsuního vsuního něí C C F j-li C >> k F C C C čili

11 vzhldm k oráoru v jmnovli, ud vzh mzi u u vyjádřn ingrálm, ři slnění odmínky C>> lz zojní dl or. ouží k ingrci vsuního signálu u u ξ dξ ingrční čln C ro zojní j řnosová funkc dán vzhm F C C C j-li C << k F C čili C násoní oráorm odovídá drivci, čili něí u j drivcí něí u, ři slnění odmínky C<< lz zojní dl or. ouží k drirci vsuního signálu du C drivční čln u c odoně dosnm ro zojní dl or. c F j-li << k du drivční čln u F čili d ro zojní d j F j-li >> k u u ξ dξ ingrční čln F čili

12 Důlžié chrkrisiky ro osouzní dynmického chování ovodu jsou imulsní chrkrisik řchodová chrkrisik Jjich chrkr určím řšním řchodného děj s nulovými očáčními odmínkmi. Imulsní chrkrisik j roudová odzv ovodu n řiojní n jdnokový imuls vyjádřný Dircovou funkcí δ [ δ ] [ δ ] I Y [ Y ] i imulsní chrkrisik Přchodová chrkrisik j roudová odzv ovodu n jdnokový skok u ro [ u ] I Y i Y řchodová chrkrisik Z uvdného j zřjmé, ž ro vyšřní imulsní rs. řchodové chrkrisiky osčí snovi orzovou dminci vyšřovného ovodu vdné chrkrisiky čso oužívám k zjišťování odzv ovodu n liovolný vsuní signál, zrvidl k omu oužívám věu o konvoluci.

Podobné dokumenty

IDENTIFIKACE SYSTÉMŮ

Vysoká škol báňská Tchnická univrzi Osrv IDENTIFIKACE SYSTÉMŮ učbní x Miln Vrožin, Zor Jnčíková, Jiří Dvid Osrv Rcnz: rof. Ing. F. Němc, CSc. RNDr. Miroslv išk, CSc. Názv: IDENTIFIKACE SYSTÉMŮ Auor: Miln