Matematika IV, Numerické metody

Transkript

1 Interaktvní sbírka příkladů pro předmět Matematka IV, Numercké metody Josef Dalík, Veronka Chrastnová, Oto Přbyl, Hana Šafářová, Pavel Špaček Vysoké učení techncké v Brně, Fakulta stavební Ústav matematky a deskrptvní geometre Žžkova 7, Brno Podpořeno projektem FRVŠ 55/22/F/d Obsah Jedna rovnce pro jednu reálnou neznámou 2 2 Soustavy lneárních algebrackých rovnc 8 2. Gaussova elmnační metoda a Gaussova elmnační metoda s částečným výběrem hlavních prvků Symetrcké poztvně defntní matce, Choleského rozklad, Choleského metoda Číslo podmíněnost matce Iterační Jacobova, Gaussova-Sedelova a relaxační metoda.. 3 Systémy nelneárních rovnc 4 4 Aproxmace funkce 2 4. Lagrangeova a Hermteova nterpolace Dskrétní metoda nejmenších čtverců Počáteční úlohy pro obyčejné dferencální rovnce (ODR) 28 6 Řešení okrajové úlohy pro ODR 2. řádu metodou sítí 3 7 Numercká ntegrace 38 8 Řešení okrajové úlohy pro ODR 2. řádu metodou konečných prvků 44 9 Výsledky řešení příkladů 49 Indvduální úlohy 8

2 Úvod Tato sbírka obsahuje motvační úlohy a především rozsáhlé soubory příkladů, jejchž řešením se student mohou blíže seznamovat se základním algortmy numercké analýzy, tj. s postupy pro přblžné řešení standardních elementárních úloh, které jsou v oblast technckých aplkací matematky velm často používány a jsou odvozeny a vysvětleny ve studjní opoře [5] Numercká analýza. Vytvořením této sbírky se autoř snažl zlepšt podmínky pro výuku předmětu Matematka IV v navazujícím magsterském studjním programu Stavební nženýrství na Fakultě stavební Vysokého učení technckého v Brně. Sbírka a) poskytne studentům předmětu Matematka IV velký počet příkladů pro procvčení schopnost řešt jednoduché problémy užtím těchto standardních postupů a pro přípravu na zkoušku, b) př velkém počtu studentů předmětu umožní vedoucím cvčení ndvduální přístup tím, že zadání příkladů, vyznačených ve sbírce hvězdou, jsou závslá na parametrech, takže každý student obdrží jné zadání, než ostatní. Metodka pro volbu hodnot těchto parametrů pro hodnocení studentských řešení je zpracována tak, že od vedoucích cvčení vyžadovala mnmální úslí a c) vytváří podmínky pro zadávání úloh, požadujících od studentů nejen,,ruční výpočet řešení daných úloh, ale mplementace postupu jejch řešení ve formě počítačového programu. Vzhledem k dostupnost a k předpokládaným znalostem studentů jsme za tímto účelem zvoll tabulkový procesor programového systému MS Excel. Pro lustrac možností využtí tohoto prostředku jsou v kaptole možná zadání úloh, vyžadujících užtí tabulkového procesoru Excel. Na stránkách Ústavu matematky a deskrptvní geometre lze najít soubor mplementací základních algortmů v Excelu odkaz na parametrzované úlohy. Přejeme studentům, aby jm sbírka pomohla předmět Matematka IV lépe zvládnout a snad povzbudt jejch zájem o tyto účnné a šroce praktcky používané prostředky. Přejeme učtelům, aby sbírka z výuky předmětu odstranla většnu rutnních čnností a přspěla ke zlepšení její kvalty. Autoř V Brně dne 28. lstopadu 22 2

3 Jedna rovnce pro jednu reálnou neznámou Za účelem přpomenutí numerckých metod pro řešení jedné rovnce pro jednu reálnou neznámou se zabývejme řešením této vzorové úlohy: Csterna ve tvaru ležícího válce o poloměru m je zaplněna naftou z jedné čtvrtny. Určete hloubku h [m] nafty v nádrž z Obr.. Na Obr. je znázorněn příčný průřez nádrží. Odtud je zřejmé, že obsah průřezu, vyplněného naftou je obsah výseče pod úsečkam AS a SC svírajícím úhel x = ASC o velkost π x/(2π) = x/2, zmenšený o obsah trojúhelníka ACS o velkost (sn x)/2. Tedy obsah průřezu, vyplněný naftou a také podíl objemu nafty v csterně k objemu celé csterny je x 2 sn x 2 a našm úkolem je najít úhel x takový, že = x sn x 2 x sn x 2 = π/4. To je ekvvalentní s vyřešením rovnce f(x) x sn x π/2 =. A S x h C Obrázek. Příčný řez csternou Pohledem na Obr. zjstíme, že po vyřešení této rovnce najdeme výšku h ve tvaru h = cos(x/2). 3

4 y π/2 y = x π/2 y = sn x π x π/2 Obrázek 2. Ilustrace použtí grafcké metody Protože f(x) = x π 2 = sn x a grafy funkcí x π/2 sn x lze snadno schematcky nakreslt, vz Obr. 2, můžeme kořen rovnce f(x) = odhadnout hodnotou x = 2. Vypočtená hodnota f(2) =,4894 říká, že pro x = 2 je x π/2 < sn x a to znamená, že číslo 2 je menší, než hledaná hodnota úhlu x. Proto jsme spočítal ještě hodnotu f(2,5) =,33732 pro větší úhel x = 2,5. Protože funkce f je spojtá a f(2) f(2,5) <, má funkce f v ntervalu (2; 2,5) alespoň jeden kořen. Pro lustrac postupů, které budou procvčovány v níže uvedených cvčeních budeme úlohu,,najít x (2; 2,5) tak, aby f(x) = řešt postupně metodou a) půlení ntervalu b) regula fals c) prosté terace d) Newtonovou a) Půlení ntervalu: Metoda pro vstupní data a < b, ε > a f C a, b s vlastností f(a ) f(b ) < postupně pro =, 2,... počítá střed s = (a + b )/2. Je-l s a ε, určí nový nterval a, b, kde { a = a, b = s, když f(a ) f(s ) < a = s, b = b, když f(s ) f(b ) <. Je-l s a < ε, výpočet skončí s výsledkem x. = s a s chybou aproxmace menší, než s a. Průběh řešení úlohy metodou půlení s chybou, menší neí ε =, je 4

5 zaznamenán v Tabulce. a sgnf(a ) b sgnf(b ) s sgnf(s ) 2-2,5 + 2,25-2 2,25-2,5 + 2, ,25-2, , ,25-2, , ,2825-2, , , , , Tabulka Výsledek: x. = 2,34687 ±,7825 a tedy h. =, b) Regula fals: Tato metoda se od metody půlení lší právě v tom, že bod s (a, b ) se počítá předpsem s = a f(b ) b f(a ) f(b ) f(a ) a výpočet skončí, jakmle f(s ) < ε. Pak x. = s. Na rozdíl od metody půlení není známý pravdvý odhad chyby vypočtené aproxmace. Průběh řešení úlohy metodou regula fals s chybou, menší než ε =, je zaznamenán v Tabulce 2. Podmínka f(s ) < ε je v tomto příkladu splněna jž po dvou krocích. a f(a ) b f(b ) s f(s ) 2 -,4894 2, , , , ,2373 2,5, , ,84e-4 Tabulka 2 Výsledek: x. = 2,39353 a tedy h. =, c) Prostá terace: Rovnce f(x) = se nejprve převede na ekvvalentní tvar x = F (x) tak, aby F (x) α pro koefcent kontrakce α < a pro všechna x z některého ntervalu obsahujícího řešení. Pak se zvolí nultá aproxmace x co nejblíže k řešení a počítají se aproxmace x, x 2,... předpsem x + = F (x ) pro =,,.... Výpočet skončí, jakmle x + x < ε a výsledkem je aproxmace x + řešení úlohy. Protože řešení vzorové úlohy leží v ntervalu (2; 2,5), převedeme rovnc f(x) = na tvar x = sn x + π/2 F (x). Platí totž F (x) = cos x a cos x <,844 < pro x 2; 2,5. 5

6 úlohu tedy řešíme metodou prosté terace s chybou, menší než ε =, tak, že za nultou aproxmac zvolíme například střed ntervalu x = 2,25 a pro =,,... počítáme x + = sn x + π/2. Pak položíme x. = x +, jakmle x + x < ε. Vypočtené aproxmace x jsou zaznamenány ve druhém sloupc Tabulky 3. Požadované přesnost bylo dosaženo po 7 krocích. x x S 2,25 2,25 2, , ,2836 2, , , , , ,3798 2, , ,3356 Tabulka 3 Výsledkem je aproxmace řešení 2,3356 a tedy hloubka h. =,5977. Protože v tomto případě nelze koefcent kontrakce α na ntervalu 2; 2,5 volt menší, než,844, je konvergence vypočtené terační posloupnost pomalá. Konvergenc terační posloupnost lze zrychlt Steffensenovou metodou: Pro danou nultou aproxmac x S se spočítá x S = F (x S ), x S 2 = F (x S ), x S 3 = x S 2 (xs 2 x S ) 2, x S x S 2 2x S + x S 4 = F (x S 3 ), x S 5 = F (x S 4 ) a každá další trojce x S 3, x S 3+, x S 3+2 se počítá stejným postupem. Vz [5], odst. 4.2, Poznámka. Prvky x S rychlej konvergující posloupnost, získané Steffensenovou metodou jsou uvedeny ve třetím sloupc Tabulky 3. Pro dosažení přesnost, stačlo 5 kroků Steffensenovy metody. Výsledek je x =. 2,3965 a h =., d) Newtonova metoda pro danou nultou aproxmac x počítá aproxmace x + = x f(x ) f (x ) pro =,,... V Tabulce 4 jsou uvedeny terace pro řešení vzorové úlohy s chybou, menší než ε = e-6 pro počáteční terac x = 2,25. x 2,25 2, , , ,39885 Tabulka 4 6

7 Tato přesná hodnota vznkne po 4 krocích metody prosté terace a po 9 krocích Steffensenovy metody. Tedy úhel x = 2,39885 a výška h =, Příklady k procvčení Rovnce f(x) = pro funkce uvedené v příkladech - 5 řešte metodou půlení a metodou regula fals vždy s chybou, menší než dané číslo ε >. Interval, v němž leží řešení rovnce najděte grafckou metodou.. f(x) = (x ) arctg x, ε = e-2, určete všechny kořeny. 2. f(x) = sn x,2(x ) 2 +, ε = e-2, určete všechny kořeny. 3. f(x) = x 4 + x 2 6x + 3, ε = 5e-3, určete všechny kořeny. 4. f(x) = e x 2x 2, ε = 5e-3, určete všechny kořeny. 5. f(x) = log x 2x + 7, určete nterval, v němž leží největší kořen, potom počet kroků metody půlení, které poskytnou aproxmac s chybou, menší než ε = e-3 a nakonec výpočet proved te. Rovnce f(x) = pro funkce v příkladech 6 až 8 řešte metodou prosté terace s chybou, menší než dané číslo ε. Intervaly, v nchž kořeny leží najděte grafckou metodou a vždy nejprve ověřte, zda na nch je splněna podmínka F (x) α <. 6. f(x) = x ln x, ε = e-2, všechny kořeny. 7. f(x) = 3 ln x x + 4, ε = e-3, všechny kořeny. 8. f(x) = e x x/2 2, ε = e-4, všechny kořeny. 9. f(x) = 2,2x 2 x, ε = e-3, všechny kořeny.. f(x) = 5x 8 ln x 8, ε = e-3, největší kořen.. f(x) = x sn x,25, ε = e-5, všechny kořeny. 2. f(x) = x 3 x 5, ε = e-3, všechny kořeny. 3. f(x) = x ln(x + 2), ε = e-4, kladný kořen. 4. f(x) = arccos x x +, ε = e-3, všechny kořeny. 7

8 5. f(x) = (x 2 + ) ln x, ε = e-3, všechny kořeny. 6. f(x) = ln x + x/24, ε = e-4, všechny kořeny. 7. f(x) = x 2 arctg x, ε = e-3, všechny kořeny. 8. f(x) = arctg x + 2x, ε = e-4, všechny kořeny. Rovnce v příkladech 9 až 25 řešte Newtonovou metodou s chybou, menší než dané číslo ε. Co nejpřesnější nultou aproxmac kořene najděte grafckou metodou. 9. arctg x.4x,2 =, ε = e-5, největší kořen. 2. e x + x 2 4 =, ε = e-6, největší kořen. 2. x 2 arctg x =, ε = e-3, největší kořen x log x 7 =, ε = e-5, největší kořen. 23. x 3 3x 2 4x =, ε = e-6, kořen z ntervalu (4,2; 4,6). 24. x 3 x 5 =, ε = e-3, všechny kořeny. 25. sn x ln x =, ε = e-6, kořen z ntervalu (3; 3,). Rovnce v příkladech 26 až 29 řešte Newtonovou metodou s chybou, menší než dané číslo ε. Pro každý kořen najděte nterval, v němž jsou splněny Fourerovy podmínky (vz [5], odst ) a zvolte aproxmac x tak, aby konvergence metody byla zaručena. 26. x sn x,25 =, ε = e-5, všechny kořeny. 27. x 2 e x =, ε = e-6, všechny kořeny ln x x + 4 =, ε = e-4, největší kladný kořen. 29. e x x =, ε = e-6, největší kořen. 2 Soustavy lneárních algebrackých rovnc Většna úloh pro přblžné řešení,,matematckých modelů vede na řešení soustav lneárních algebrackých rovnc. Například v této sbírce je řešení soustav lneárních rovnc součástí řešení úloh z kaptol 3, 4, 6 a 8. Příklady k procvčení 8

9 2. Gaussova elmnační metoda a Gaussova elmnační metoda s částečným výběrem hlavních prvků. Ukažte, že systém rovnc Ax = b v případě a) nemá řešení a v případě b) má nekonečně mnoho řešení. Popšte všechna řešení tohoto systému. Formulujte obecné podmínky, za nchž systém n rovnc pro n neznámých Ax = b má jedné řešení, má nekonečně mnoho řešení a nemá žádné řešení. a) 3x + x 2 + 2x 3 = x 2 + x 3 = 3 3x + 4x 2 + 5x 3 = 2 b) 3x + x 2 + 2x 3 = x 2 + x 3 = 3 3x + 4x 2 + 5x 3 = 2. Ukažte, že systém rovnc x + 2x 2 3x 3 = 2 2x 4x 2 + x 3 = x 3x 3 = není řeštelný Gaussovou elmnační metodou a je řeštelný Gaussovou elmnační metodou s částečným výběrem hlavních prvků. Formulujte obecné podmínky, za nchž je daný systém n rovnc pro n neznámých řeštelný a) Gaussovou elmnační metodou a b) Gaussovou elmnační metodou s částečným výběrem hlavních prvků. 3. Gaussovou elmnační metodou řešte soustavu rovnc,3x +,2x 2 + 2,x 3 = 2,7,x + 5,x ,x 3 =,4 4,6x 7,2x 2 +,x 3 = 5,9 a sestavte LU-rozklad její matce. Zaokrouhlujte na 4 desetnná místa. 4. Systémy rovnc a) - d) řešte Gaussovou elmnační metodou s částečným výběrem hlavních prvků. Zaokrouhlujte postupně na, 5, 4 a 6 desetnných míst. a) 2x + x 2 + 5x 3 = 5 4x x 2 + x 3 = 7 4x 8x 2 + x 3 = 2 b) x + 9x 2 + 4x 3 = 29 4x 4x 2 + 5x 3 = 33 33x 3x 2 x 3 = 24 c) x + 3x 2 + 2x 4 = 5x x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 8 x x 2 + 2x 3 2x 4 = 4 4x 2 + x 3 2x 4 = 4 d),459x 2,6535y 8,9793z = 35,4738 2,3846x + 2,6435y 8,3279z = 3,745 5,288x 4,97y 6,92399z = 49,957 9

10 5. Systémy rovnc a) - d) řešte Gaussovou elmnační metodou Gaussovou elmnační metodou s částečným výběrem hlavních prvků. Sestavte LU-rozklad matce každé soustavy a zaokrouhlujte na 4 desetnná místa. c) a) x + 2x 2 + 3x 3 = 6 2x + 4x 2 + 5x 3 = 7x + 8x 2 + 9x 3 = 24 x +,25x 2 =,25 3,96x +,x 2 = 5,3 6. Pro matc A = d) 3,,3 2,7, 3,2,8 2,,6 3,3 b),x + x 2 = x + x 2 = 2 2,75x,6y,32z =,24,6x + 2,22y,48z =,432,32x,48y + 2,26z = 5,296 a vektory b = 7 5, c = řešte systémy rovnc Ax = b a Ay = c Gaussovou elmnací tak, že přímý chod budete počítat jednou s oběma pravým stranam současně. 7. Jordanovou metodou najděte matce nverzní k níže uvedeným matcím a) - e). Zaokrouhlujte na 3 desetnná místa. 3 2,2,3 2,7,4 a) 3 b),2,3,4 c) 3,5 2, 2 3,3,4,5,4 2, 4, d) 2,,3,3 2,,7,7 2,,, 2, e) Symetrcké poztvně defntní matce, Choleského rozklad, Choleského metoda 6 9. Ověřte že matce a) - ) jsou symetrcké poztvně defntní a najděte jejch Choleského rozklady. 3 2 /2 /3 a) 3 b) /2 /3 /4 2 3 /3 /4 /5 d) e) c) f) 4 2,5,5 5

11 g) h) , ) ,5 2. Ověřte že matce systémů rovnc a) - d) jsou symetrcké poztvně defntní a tyto systémy vyřešte Choleského metodou. a) c) x + x 2 + x 3 = 3 x + 5x 2 + 5x 3 = x + 5x 2 + 4x 3 = 2 5x + 3x 3 = 5 2x 2 x 3 = 4 3x x 2 + 4x 3 = 5 b) d) x + x 2 + x 3 = 2 x + 5x 2 + 5x 3 = 5 x + 5x 2 + 4x 3 = 8 5x + x 2 + 2x 3 = x + 7x 2 + 3x 3 = 2 2x + 3x 2 + 6x 3 = 3 3. Ověřte, že matce A A je symetrcká poztvně defntní pro každou regulární matc A. 2.3 Číslo podmíněnost matce. Defnujte číslo podmíněnost regulární matce A a uved te nerovnost, vymezující jeho význam. Určete číslo podmíněnost matc B a D užtím normy, když B = [ ], D = 2. Najděte číslo podmíněnost matce A = a , pomocí norem 3. V případě a) b) ověřte, že B = A a určete číslo podmíněnost matce A užtím normy a matce B užtím. 4,8 2 /4 / 2/35 a) B = 8,4 5, A = 9/28 /2 9/4 2,4 6 /4 /7 b) B = 4 /3 8 27, /3, A =,5,25,4,4,4,3,6,9

12 [ ] 2 4. Pro matc A = vypočtěte číslo podmíněnost užtím, 2 [ ] [ ],24,2 normy a pro vektory b =, c = řešte systémy 2,47 2,5 rovnc Ax () = b, Ax (2) = c. 2.4 Iterační Jacobova, Gaussova-Sedelova a relaxační metoda x + 5x 2 8x 3 = 6,5. Systém rovnc x + 4x 2 5x 3 =,5 x + 2x 2 x 3 = 2,5 a) vyřešte přímou metodou. b) Po modfkac systému vhodnou změnou pořadí rovnc zdůvodněte, že řešení Jacobovou Gaussovou-Sedelovou metodou konvergují. c) Položte x () = [,, ] a vypočtěte terace x (), x (2) řešení modfkace z b) Jacobovou Gaussovou-Sedelovou metodou. 2. Příklad vyřešte pro tyto systémy rovnc a), b): a) 3x + x 2 5x 3 = 8 2x + 4x 2 + 6x 3 = 3 x x 2 + 4x 3 = 4 b) 3x + 4x 2 8x 3 =,75 4x + 8x 2 + 3x 3 = 3,25 8x + 4x 2 3x 3 = 7,75 3. Ověřte, že řešení systému 4x + 2x 2 + x 3 = x + 5x 2 + 3x 3 = 2 2x x 2 + 8x 3 = 4 Jacobovou Gaussovou-Sedelovou metodou konverguje. Soustavu potom řešte pro počáteční terac x () = [,4; ; ] výpočtem a) pět terací Jacobovou metodou a b) tří terací Gaussovou-Sedelovou metodou. Určete normu x (3) x (2). Zaokrouhlujte na 4 desetnná místa. 4. Gaussovou-Sedelovou metodou řešte následující soustavu rovnc s chybou, menší než ε =,. Zvolte x () = [,,, ] a zaokrouhlujte na 3 2

13 desetnná místa. 2x + x 2 = x 2x 2 + x 3 = x 2 2x 3 + x 4 = x 3 2x 4 = 5. Rozhodněte, zda řešení soustavy rovnc 4x + x 2 + x 3 = x + 6x 2 + 2x 3 = x + 2x 2 + 3x 3 = Gaussovou-Sedelovou metodou konverguje. Pro x () = [,, ] vypočtěte terace x (), x (2), x (3) a normu x (3) x (2). Zaokrouhlujte na 4 desetnní místa. 6. Soustavu rovnc x x 2 + 2x 3 3x 4 = x + x 2 x 3 + 2x 4 = 5 2x + 3x 2 + 2x 3 x 4 = 3x + 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 5 řešte s nultou aproxmací x () = [,,, ] a) Jacobovou metodou. Najděte řešení s chybou, menší než ε =,. b) Gaussovou-Sedelovou metodou. Spočítejte terac x (3). 7. Výpočtem první až čtvrté aproxmace řešení systému rovnc x + 2x 2 2x 3 = x + x 2 + x 3 = 3 2x + 2x 2 + x 3 = 5 Jacobovou Gaussovou-Sedelovou metodou pro nultou aproxmac x () = [,, ] lustrujte skutečnost, že Jacobova metoda konverguje a Gaussova- Sedelova metoda dverguje. Užtím řešení Př. 3 z odstavce 2.2 změňte daný systém rovnc tak, aby Gaussova-Sedelova metoda konvergovala a tuto konvergenc opět lustrujte výpočtem první až čtvrté terace pro x () = [,, ]. Zaokrouhlujte na 4 desetnná místa. 3

14 8. Pro matc A = a vektor b = řešte soustavu rovnc Ax = b Jacobovou a Gaussovou-Sedelovou metodou s chybou, menší než,2. Položte vždy x () = [,25;,3;,6; ]. 9. Soustavu lneárních rovnc Ax = b s matcí 4,5 A = 4 2, a vektorem b = řešte Jacobovou a Gaussovou-Sedelovou metodou s chybou, menší než,5. Položte x () = [;,25; ;,5] a zaokrouhlujte na 3 desetnná místa.. Soustavu lneárních rovnc Ax = b s matcí 4,5 A =,5 4 2,5 4 a vektorem b = řešte Jacobovou a Gaussovou-Sedelovou metodou s chybou, menší než,5. Položte x () = [; ;,5;,5] a zaokrouhlujte na 3 desetnná místa.. Soustavu lneárních rovnc Ax = b s matcí 4 A = 4 a vektorem b = 4 řešte Jacobovou, Gaussovou-Sedelovou a relaxační Gaussovou-Sedelovou metodou s parametrem ω =,8 s chybou, menší než,. Položte vždy x () = [,, ] a zaokrouhlujte na 4 desetnná místa. 3 Systémy nelneárních rovnc Zabývejme se úlohou najít tlak, nutný ke vnoření velkých hmotných objektů do dané hloubky d měkké homogenní zemny, podložené tvrdým podložím

15 Za těchto podmínek je velkost tlaku p, nutného ke vnoření kruhové desky o poloměru r do hloubky d dána vztahem p = k e k 2r + k 3 r, kde k, k 2 >, k 3 jsou konstanty, které závsí na hloubce vnoření d a na hustotě měkké zemny, ale nezávsí na poloměru základny r. Abychom určl konstanty k, k 2, k 3, provedeme experment, př němž kruhové desky s malým poloměry r, r 2, r 3 vnoříme do hloubky d a změříme příslušné tlaky p = p (r ), p 2 = p 2 (r 2 ), p 3 = p 3 (r 3 ). Dostaneme tak rovnce p = k e k 2r + k 3 r, p 2 = k e k 2r 2 + k 3 r 2, p 3 = k e k 2r 3 + k 3 r 3. pro neznámé k, k 2, k 3. Protože tyto hodnoty obecně nelze spočítat přesně, používají se přblžné terační metody, které jsou zobecněním metody prosté terace a metody Newtonovy pro jednu nelneární rovnc s jednou neznámou na systémy obecně n nelneárních rovnc s n neznámým. V této úloze je n = 3. Ve všech ostatních příkladech této kaptoly je n = 2. Uvažme konkrétní případ naší úlohy: Najděte hodnoty k, k 2, k 3, jestlže se do hloubky,3 m měkké zemny vnoří kruhová deska o poloměru,25 m př tlaku 68,948 kp a, o poloměru,5 m př tlaku 37,895 kp a a o poloměru,75 m př tlaku 26,843 kp a. Předpokládáme, že měkká zemna sahá do hloubky m. V tomto případě má výsledný systém nelneárních rovnc tvar 68,948 = k e,25k 2 +,25k 3, 37,895 = k e,5k 2 +,5k 3, 26,843 = k e,75k 2 +,75k 3, hloubka podloží je m, k R, k 2 >, k 3 R. Jeho přblžným řešením jsou k =,68e-3, k 2 = 9,248473, k 3 = 2757,85279, a tedy tlak p, nutný ke vnoření kruhové plochy o poloměru r do hloubky,3 m měkké zemny je p =,678e 9,248473r ,85279r. V níže uvedeném příkladu lustrujeme použtí metody prosté terace a metody Newtonovy pro řešení systémů nelneárních rovnc. 5

16 Grafckou metodou určete počet kořenů systému rovnc f (x, y) x 2 x + y 2 = f 2 (x, y) x 2 y 2 y = () a nultou aproxmac [x (), y () ] kořene, ležícího uvntř. kvadrantu. Tuto aproxmac zpřesněte třem kroky metody prosté terace a dále Newtonovou metodou tak, aby chyba výsledné aproxmace byla menší, než ε = 5e-6. Užjte normu. a) Grafcká metoda: Doplněním x 2 x v první rovnc na úplný čtverec získáme ( x 2 x + y 2 = x ) 2 + y 2 = 2 4, což je rovnce kružnce se středem S = [, ] a poloměrem. Analogcky je 2 2 ( x 2 y 2 y = x 2 y + ) 2 = 2 4 rovnce hyperboly se středem S 2 = [, ] a průsečíky s osam v bodech [, ], 2 [, ]. Řešením soustavy rovnc jsou všechny průsečíky těchto kuželoseček. Na Obr. 3 jsou znázorněny kružnce, horní větev hyperboly a osy hyperboly. y L x 2 K S S 2 Obrázek 3. Ilustrace grafcké metody Vdíme, že systém rovnc má kořeny K, L, kde zřejmě K = [, ]. Za nultou aproxmac kořene L zvolíme bod [,7;,4]. b) Metoda prosté terace: Daný systém rovnc převedeme na ekvvalentní systém tvaru x = F (x, y), y = F 2 (x, y) a požadujeme, aby vektorová funkce F = (F, F 2 ) byla v okolí kořene L. = [,7;,4] kontrakcí. F vyberme takto: x 2 x + y 2 = = x = ± x y 2 = F (x, y) = x y 2, 6

17 x 2 y 2 y = = y = ± + 4x 2 = F 2 (x, y) = + 4x Namísto ± byla znaménka zvolena tak, aby F (x, y) > F 2 (x, y) >. Pak F F y F x y 2 x y (x, y) = 2 x y 2 =. Odtud však plyne F 2 x F 2 y F (,7;,4). =,68,54,8 2x +4x 2 =,22, takže F není kontrakcí v žádném okolí bodu [,7;,4] a předpokládáme, že F není kontrakcí an v žádném okolí kořene L. Kontrakc F najdeme tímto umělým způsobem: K první rovnc z () přčteme rovnc druhou s výsledkem a potom 2x 2 x y =, x 2 y 2 y = 2x 2 x y = = x = ± + 8y 4 = F (x, y) = + + 8y, 4 x 2 y 2 y = = y = ± + 4x 2 Odtud 2 F (x, y) = = F 2 (x, y) = + 4x y 2x +4x 2 a protože F. (,7;,4) = max{,49;,8} =,8 <, je F kontrakce v okolí bodu [,7;,4] a předpokládáme, že v okolí bodu L. Iterační posloupnost je tedy určena předpsem x () =,7, y () =,4 a x (+) = + + 8y (), y (+) = + 4(x () ) První 3 takto vypočtené terace jsou uvedeny v tabulce. pro =,, x (),7,762348,74256,7688 y (),4,36233,4688,

18 c) Newtonova metoda: Pro zpřesnění aproxmace z kroku b) položíme x () =,7688, y () =, Jacobova matce levých stran rovnc () je f / x f / y 2x 2y f (x, y) = =, f 2 / x f 2 / y 2x 2y takže pro =,,... postupně řešíme systém rovnc [ ] [ ] 2x () 2y () d () [ x () 2y () f (x d () = (), y () ) f 2 2 (x (), y () ) ] (2) pro neznámé dference d (), d () 2 a počítáme ( + )-tou aproxmac jako součet x (+) = x () + d (), y (+) = y () + d () 2. Pro = tedy z (2) vznkne systém rovnc [,53636,7946,53636,7946 ] [ d () d () 2 ] = [,2977,38454 který má řešení d () =,49, d () 2 =,25 a tedy x () = x () + d () =,77237, y () = y () + d () 2 =,4229. ], Pro = nabude systém (2) tvaru [,544273,84438,544273,84438 ] [ d () d () 2 ] = [,643,69 ] a jeho řešení je d () =,292, d () 2 =,576, takže x (2) = x () + d () =,77845, y (2) = y () + d () 2 =, Pro = 2 má systém rovnc (2) řešení d (2) = 2,437e-7, d (2) 2 = 3,383e-7 a tedy př zápsu na 6 desetnných míst je x (3) = x (2), y (3) = y (2). Protože zřejmě x (+) x (), y (+) y () = d () a d () =,25 > ε, d () =,576 > ε, d (2) = 3,383e-7 < ε, 8

19 je bod [x (2), y (2) ] = [,77845;,49644] hledaná aproxmace kořene L. Příklady k procvčení. Grafckou metodou odhadněte počet a přblžnou polohu všech kořenů daného systému nelneárních rovnc f(x, y) =, g(x, y) = a pro vhodně zvolenou nultou aproxmac [x (), y () ] spočítejte kořen užtím Newtonovy metody s přesností ε =,. V průběhu výpočtu zaokrouhlujte na 4 desetnná místa a v každém kroku spočítejte normu [x (+), y (+) ] [x (), y () ]. a) x 2 y,2 =, y 2 x,3 =, pouze kořen v. kvadrantu b) x y 2 =, (x 2)2 + 4 (y + 2)2 =, kořen s větší souřadncí na ose x c) 2x + 3y 2 2 =, x 2 3y =, kořen v. kvadrantu d) x 2 2x y +,5 =, x 2 + 4y 2 4 =, kořen v. kvadrantu e) xy y =, x 2 y 2 =, kořen v. kvadrantu f) x 2 x y =, x 2 y 2 2y =, aproxmujte kořen uvntř. kvadrantu, druhý uhádněte. 2. Pro zadanou nultou aproxmac [x (), y () ] určete Newtonovou metodou kořen nelneárního systému f(x, y) =, g(x, y) = s přesností ε =,. Ve vyznačených případech, kdy funkce f, g lze snadno nakreslt, určete také počet a přblžnou polohu všech kořenů systému. Počítejte s přesností na 4 desetnná místa, použjte normu. a) 3y 4x 2 + =, 2x y 2 + =, [x (), y () ] = [,3;,8], nakreslete, druhý z kořenů určete přímo z obrázku b) xy x =, 9(x 2 )2 +y 2 9 =, [x (), y () ] = [,3; 2], nakreslete c) 2 cos(xy) =, 2 sn(x + y) =, [x (), y () ] = [2,5;,25] d) 2 cos(xy) sn x =, 2x sn y 3y sn x + =, [x (), y () ] = [; ] e) 4x 2 +y 2 +2xy y 2 =, 2x 2 +y 2 +3xy 3 =, [x (), y () ] = [,4;,9] f) 2x 3 y 2 =, xy 3 y 4 =, [x (), y () ] = [,2;,7]. 9

20 3. Užtím Newtonovy metody spočítejte druhou aproxmac [x (2), y (2) ] řešení nelneárního systému f(x, y) =, g(x, y) = pro zadanou počáteční aproxmac [x (), y () ]. V průběhu výpočtu zaokrouhlujte na 6 desetnných míst. V případě jednodušších funkcí f, g určete z obrázku také počet a přblžnou polohu všech kořenů systému. a) 2x e y + 2 =, e x + y =, [x (), y () ] = [; ], nakreslete b) e x y =, x + sn y =, [x (), y () ] = [,5;,5], nakreslete c) ln x y + =, x y 2 + =, [x (), y () ] = [2;,5], nakreslete d) x 2 4x + y 2 =, xy =, [x (), y () ] = [;,5], nakreslete e) x 2 2y 2 =, xy =, [x (), y () ] = [,8;,5], nakreslete f) 4(x ) y2 =, y x,5 =, [x(), y () ] = [,6; ], nakreslete g) y 2 x 2 =, (x 2) 2 + (y 2) 2 =, [x (), y () ] = [,2;,6], nakreslete h) x 2 y 2 =, (x ) 2 + (y + ) 2 =, [x (), y () ] = [,2;,2], nakreslete ) (x ) (y 2)2 4 =, y cos x =, [x (), y () ] = [,4;,2], nakreslete j) y e 2x =, x y =, [x (), y () ] = [ 4;,8], další kořen pro počáteční aproxmac [x (), y () ] = [,4; 4], nakreslete k) x 2 y 2 + =, x 2 + y2 4 =, [x(), y () ] = [,9; ], nakreslete l) x 2 2y 2 =, x 3 y =, [x (), y () ] = [,6;,5], nakreslete m) e x + xy 2y + 2, 4 =, x + y, 2 = [x (), y () ] = [,4;,5], n) x + 3 ln x y 2 =, 2x 2 xy 5y + = [x (), y () ] = [,8;,4], o) 2 cos x + y 2 4x =, x 2 + 2xy 5y = [x (), y () ] = [,5; ], p) x 2 + 4x y 2 2y =, x 2 + 5y 4 =, [x (), y () ] = [,5;,5], nakreslete q) 2x 2 + y 2 =, x 3 + 6x 2 y =, [x (), y () ] = [,7;,3]. 4. Metodou prosté terace spočítejte aproxmac kořene [ˆx, ŷ] zadaného nelneárního systému. V průběhu výpočtu zaokrouhlujte na 6 desetnných míst. 2

21 a) Grafckou metodou ověřte, že systém x 2 +y 2 =, y x 3 = má dva kořeny v. a 3. kvadrantu symetrcké vzhledem k bodu [, ]. Kořen v. kvadrantu aproxmujte terací [x (4), y (4) ] užtím nulté aproxmace [x (), y () ] = [,7;,5]. Ověřte konvergenc terační posloupnost. b) Ukažte, že nelneární systém rovnc f(x, y) =, g(x, y) = ve tvaru y = x 2, lze upravt na terační tvar (x ) y2 4 = x = 2x x2 + y 2 = F (x, y), y = 2x x y y2 4 = F 2 (x, y), aproxmac [x (4), y (4) ] kořene počítejte pro volbu [x (), y () ] = [,4; 2]. Znázorněte grafcky množny bodů [x, y], splňujících každou z daných rovnc a určete počet a polohu všech kořenů. c) Pro zadaný nelneární systém x 2 x + y =, xy 2 + x y + 8 = najděte ekvvalentní systém x = F (x, y), y = F 2 (x, y), ukažte, že v okolí bodu [x (), y () ] = [,75;,75], je funkce (F (x, y), F 2 (x, y)) kontrakce a vypočtěte čtvrtou terac. d) Ukažte, že funkce (F (x, y), F 2 (x, y)), kde F (x, y) =,2 +,( xy 2 + 3x), F 2 (x, y) =,6 +,( x 2 y 3 2y) je kontrakcí v okolí bodu [x (), y () ] = [,5;,5] a spočítejte čtvrtou terac [x (4), y (4) ]. Dále ověřte, že výše uvedené rovnce kontrakce F tvaru x =,2 +,( xy 2 + 3x), y =,6 +,( x 2 y 3 2y) jsou ekvvalentní nelneárnímu systému,xy 2 +,7x,2 =,,x 2 y 3 +,2y,6 =. 4 Aproxmace funkce Tato kaptola je věnovaná procvčení řešení úlohy aproxmace funkce f(x), jejíž hodnoty jsou známé jen v uzlech x,..., x n jednoduchou funkcí F (x) Lagrangeovou nterpolací, kdy funkce F (x) splňuje podmínku F (x ) = f(x ) pro =,..., n, 2

22 Hermteovou nterpolací, kdy F (x ) = f(x ) a také F (x ) = f (x ) pro =,..., n a nakonec dskrétní metodou nejmenších čtverců, kdy funkce F mnmalzuje hodnotu součtu (F (x ) f(x )) (F (x n ) f(x n )) 2. Níže uvedená řešená úloha naznačuje, že dskrétní metoda nejmenších čtverců, prezentovaná v [5], odstavec 9.3, je použtelná na řešení šrší třídy úloh. Za účelem zjštění nadmořské výšky bodů A, B, C bylo změřeno šest výškových rozdílů, znázorněných na Obr. 4, kde nadmořské výšky bodů D, E, F jsou nulové. Najděte co nejlepší aproxmace výšek bodů A, B a C. E 2 B 2 C A D 3 F Obrázek 4. Naměřené výškové rozdíly Každý naměřený výškový rozdíl poskytuje jednu lneární rovnc mez nadmořským výškam x A, x B, x C bodů A, B, C: x A 2 x B = 3 x C 2 Označíme-l sloupcové vektory matce této soustavy postupně a (), a (2), a (3) a vektor pravých stran b, pak jsou hodnoty jejch skalárních součnů a (), a () = 3, a (2), a () =, a (3), a () =, b, a () = atd., takže normální rovnce mají tvar x A x B x C = 6

23 a jejch řešením obdržíme výšky x A =,25, x B =,75, x C = 3. Pro stanovení hodnot x A, x B, x C z předchozího příkladu zřejmě stačí provést tř měření; například ta, která přísluší prvním třem uvedeným rovncím. Je však ověřeno, že větší množství měření a řešení přeurčeného systému rovnc metodou nejmenších čtverců poskytuje výsledek zpravdla méně závslý na chybách měření. 4. Lagrangeova a Hermteova nterpolace Příklad. Pro níže uvedenou úlohu nterpolace a) b) najděte nterpolační polynom P (x) v Lagrangeově Newtonově tvaru. a) P () = 4, P (3) = 2. b) P (x ) = y, P (x ) = y pro lbovolná x x. (bez zaokrouhlování) Příklad 2. V případě a) a b) najděte Lagrangeův Newtonův nterpolační polynom funkce s hodnotam y v uzlech x z tabulky. a) x y b) x y (bez zaokrouhlování) Příklad 3. Najděte Newtonův nterpolační polynom funkce f(x) = cos x v uzlech a) x =, x =, b) x =, x =, x 2 = 2, c) x =, x =, x 2 = 2, x 3 = 3, d) x =, x =, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 4. Jaké jsou absolutní chyby aproxmací a) - d) v bodě x =,5? (4 desetnná místa) Příklad 4. V případě a) b) najděte Newtonův nterpolační polynom funkce f užtím hodnot y = f(x ) v uzlech x z tabulky. 23

24 a) x 2 5 y b) x,5 2 5 y (bez zaokrouhlování) Příklad 5. Sestrojte Newtonův nterpolační polynom funkce f(x) = x v uzlech x =, x = 2, x 2 = 44 a s jeho pomocí aproxmujte hodnotu 5. Jaká je absolutní chyba této aproxmace? (4 desetnná místa) Příklad 6. Najděte Newtonův nterpolační polynom N(x) funkce f(x) = log x x v uzlech 4, 8, a pomocí hodnoty N(5,25) aproxmujte log(5,25). x Jaká je absolutní chyba této aproxmace? (log = log, počítejte s přesností na 5 desetnných míst) Příklad 7. Newtonovým nterpolačním polynomem funkce f(x) = 3 x v uzlech x = 4, x = 5, x 2 = 6 aproxmujte hodnotu 3 4,8 a určete absolutní chybu této aproxmace. (5 desetnných míst) Příklad 8. Newtonovým nterpolačním polynomem funkce f(x) = cos (πx) v uzlech x =, x =,25, x 2 =,5 aproxmujte hodnotu cos π a určete 6 absolutní chybu této aproxmace. (6 desetnných míst) Příklad 9. V případě a) b) rozhodněte, zda je funkce s(x) kubcký splajn případně přrozený kubcký splajn. a) s(x) = 7 8 x x2 + 6 x3, x,, 7 8 x x2 + 6 x3, x, 2, x x2 5 6 x3, x 2, 3. 24

25 b) s(x) = x x x3, x 2,, x x2 4 3 x3, x,, x 32 5 x x3, x, 3. Příklad. Najděte Hermteův nterpolační polynom funkce f, jejíž hodnoty v uzlech nterpolace jsou uvedeny v tabulce. x 2 f(x ) 4 f (x ) 3 Ověřte všechny defnční podmínky Hermteova polynomu. Jaká je přblžná hodnota f()? (bez zaokrouhlování) Příklad. Najděte a) Hermteův nterpolační polynom a b) Hermteův nterpolační kubcký splajn funkce f v uzlech z tabulky. x 2 f(x ) 2 f (x ) 4 (bez zaokrouhlování) Příklad 2. Najděte Hermteův nterpolační kubcký splajn pro uzly x a hodnoty y, y uvedené v tabulce. x 4 y 2 5 y 2 Ověřte všechny defnční podmínky Hermteova kubckého splajnu. (6 desetnných míst) Příklad 3. Funkc f, jejíž hodnoty a první dervace v uzlech,, jsou uvedeny v tabulce aproxmujte a) Hermteovým nterpolačním polynomem a b) Hermteovým nterpolačním kubckým splajnem. x f(x ) f (x ) 25

26 (bez zaokrouhlování) Příklad 4. Funkc f(x) = x + sn x aproxmujte a) Hermteovým nterpolačním polynomem a b) Hermteovým nterpolačním kubckým splajnem v uzlech x =,5, x = 2, x 2 = 3. Hodnotam nterpolantů a) a b) aproxmujte hodnotu f(2,5) a uved te absolutní chyby těchto aproxmací. (6 desetnných míst) Příklad 5. Funkc f(x) = ln x aproxmujte a) Hermteovým nterpolačním polynomem a b) Hermteovým nterpolačním kubckým splajnem v uzlech x =, x = 2, x 2 = 3 a x 3 = 4. Hodnotam nterpolantů a) a b) aproxmujte hodnotu f(2,5) a uved te absolutní chyby těchto aproxmací. (4, resp. 6 desetnných míst) Příklad 6. Hodnotu e,5 aproxmujte pomocí a) Newtonova a b) Hermteova nterpolačního polynomu funkce f(x) = e x v uzlech x =,, x =,2. V obou případech uved te absolutní chybu aproxmace. (6 desetnných míst) Příklad 7. Funkc f(x) = 2 x x aproxmujte užtím a) Newtonova nterpolačního polynomu, b) Hermteova nterpolačního polynomu a c) Hermteova nterpolačního kubckého splajnu v uzlech, 2, 4. Jaké jsou absolutní chyby těchto aproxmací v bodě x = 3,5? (4 desetnná místa) Příklad 8. Aproxmujte hodnotu sn ( ) 3π 4 Hermteovým nterpolačním polynomem funkce f(x) = sn (πx) v uzlech x =,5, x =,7, x 2 =. Jaká je absolutní chyba této aproxmace? (6 desetnných míst) 4.2 Dskrétní metoda nejmenších čtverců Příklad. Funkc f, jejíž hodnoty v uzlech x jsou uvedeny v tabulce, aproxmujte kvadratckým polynomem. x f(x ) Vektor chyb aproxmace v uzlech z tabulky znázorněte grafcky a vypočtěte jeho Eukldovskou normu (tuto normu budeme stručně nazývat chyba aproxmace). 26

27 (2 desetnná místa) Příklad 2. Funkc f(x) = e x aproxmujte polynomem. stupně v uzlech x = +,5 pro =,, 2, 3, 4. Vypočtěte chybu aproxmace absolutní chybu aproxmace hodnoty e,25. (5 desetnných míst) Příklad 3. Aproxmujte průměrnou spotřebu auta [l/ km] v obcích a mmo obce, jestlže př 3 cestách byly zjštěny tyto údaje: cesta počet km v obcích počet km mmo obce celková spotřeba 3 8 l l l (4 desetnná místa) Příklad 4. V případě a) b) aproxmujte funkc f, jejíž známé hodnoty y = f(x ) jsou uvedeny v tabulce, polynomem ve tvaru c + c x. a) b) x y x y (6 desetnných míst) Příklad 5. Funkc f, jejíž hodnoty y = f(x ) v uzlech x jsou uvedeny v tabulce, aproxmujte kvadratckým polynomem. x y ; (4 desetnná místa) Příklad 6. Funkc f, jejíž hodnoty y = f(x ) v uzlech x jsou uvedeny v tabulce, aproxmujte funkcí ve tvaru a x + b. 27

28 Vypočtěte chybu aproxmace. x 2 3 y 3 2,7 (3 desetnná místa) Příklad 7. Funkc, jejíž naměřené hodnoty jsou uvedeny v tabulce, aproxmujte funkcí ve tvaru a + b e x. x,5,5 y 3,57 2,99 2,62 2,33 (4 desetnná místa) Příklad 8. Funkc f(x) = x 2 aproxmujte lneární kombnací funkcí, sn x a cos x v uzlech x =, x 2 =, x 3 = a x 4 = 2. Vypočtěte chybu aproxmace. (3 desetnná místa) Příklad 9. Funkc f, jejíž naměřené hodnoty jsou uvedeny v tabulce, aproxmujte kvadratckým polynomem f. x 2 y,9 -,,2 3,9. Vypočtěte chybu aproxmace a porovnejte j s chybou aproxmace funkce y = x 2 polynomem f v uzlech z tabulky. (3 desetnná místa) Příklad. Funkc f(x) = x 2 aproxmujte lneární kombnac funkcí, e x, e x v uzlech x = 2 + pro =, 2, 3, 4. Vypočtěte chybu aproxmace. (3 desetnná místa) Příklad. Najděte přblžné řešení níže uvedených přeurčených soustav lneárních rovnc a), b), c) metodou nejmenších čtverců a vždy vypočtěte chybu aproxmace. a) b) x + x 2 = x x 2 = x + 2x 2 = 3 x + 2y = 6 2x + 4y = 7x + 8y = 24 28

29 c) a + b + c + d = 4 a b + c d = a b c d = 3 a + b c d = a b + c + d = 2 (počítejte bez zaokrouhlování) Příklad 2. Funkc f(x) = x aproxmujte kvadratckým polynomem v uzlech x = -,5, x 2 = -, x 3 = -,5, x 4 = a x 5 =,2. Jaká je chyba aproxmace? (4 desetnná místa) 5 Počáteční úlohy pro obyčejné dferencální rovnce (ODR) Podle Newtonova zákona je rychlost ochlazování tělesa ve studeném prostředí úměrná rozdílu mez teplotou tělesa a teplotou prostředí. Tedy pro funkce teploty y(x) tělesa a teploty a(x) okolního vzduchu v čase x exstuje kladná konstanta K tak, že y (x) = K(y(x) a(x)). Tato rovnce je využívána například v soudním lékařství. Pro lustrac vyřešíme tuto jednoduchou úlohu: Najděte dobu δt [hod] od okamžku vraždy do času, kdy byla naměřena teplota 24 C těla obět za předpokladu, že tělo se nacházelo v místnost o konstantní teplotě 2 C. Předpokládáme, že na začátku časového ntrevalu (, δt) je teplota těla y() = 37 C. Použjeme-l v soudním lékařství běžný koefcent K =,2234, vznkne počáteční úloha y (x) =,2234(y(x) 2), y() = 37, jejíž řešení lze snadno najít metodou separace proměnných ve tvaru y(x) = 2 + 6e,2234x. Našm úkolem je najít dobu δt s vlastností y(δt) = 24, tj e,2234δt = 24 δt = 7,596 hodn. 29

30 Tedy doba mez vraždou a měřením teploty těla je přblžně 7 hodn, 3 mnut a 7 sekund. Znalost řešení výše uvedené motvační úlohy využjeme pro expermentální porovnání přesnost těch numerckých metod, které budou v této kaptole procvčovány. Příklad. Řešení počáteční úlohy y (x) =,2234(y(x) 2) v (, ), y() = 37 aproxmujte a) Eulerovou metodou, b) modfkací Eulerovy metody (Heunovou metodou), c) klasckou čtyřbodovou Rungeovou-Kuttovou metodou, d) mplctní Eulerovou metodou, e) lchoběžníkovou metodou s krokem h =,25 a vypočtěte absolutní chyby těchto aproxmací v bodě x 4 = užtím hodnoty přesného řešení y() = 33,8. Zaokrouhlujte na 4 desetnná místa. Výsledky: x y Eul y Heun y RK y ImplEul y Lch ,25 36,74 36,323 36,38 36,74 36,37 2,5 35, ,37 35,38 35, ,35 3,75 34, , , , ,5339 4, 33,774 33,86 33,8 33,774 33,7994 y() y 4,826 -,6,,826,6 Příklady k procvčení: Řešení níže uvedených počátečních úloh - 25 aproxmujte s krokem h =,25 a) Eulerovou metodou, b) modfkací Eulerovy metody (Heunovou metodou), c) klasckou čtyřbodovou Rungeovou-Kuttovou metodou, d) mplctní Eulerovou metodou, e) lchoběžníkovou metodou.. y = xy 2 v (,), y() =, 3

31 2. y = x y, v (,), y() = 3. y = x ( + 2 y) v (,), y() = 2 4. y = x y v (,2), y() = 2 5. y = y + x 2 v (,), y() = 6. y = x 2 y v (,), y() = 2 7. y = x y x v (2,3), y(2) = 2 8. y = x + y v (,), y() = 9. y = 2 y v (,), y() =. y = y 2 sn (x) v (,), y() =. y = y + e x v (,), y() = 2. y = y + e x v (,), y() = 3. y = y 2 v (,), y() = 4. y = x y v (,), y() = 5. y = x + x 2 + y 2 v (,), y() = 6. y = y + 2, v (,), y() = 7. y = y e x v (,), y() =, 8. y = xy v (,), y() = 9. y = x 2 y 2 v (,), y() = 2. y = y 2 x y v (,), y() = 2. y = y 2 3 x 2 v (,), y() = 22. y = xy + v (,), y() = 23. y = y x v (,), y() = 24. y = x+y2 +,5 y+x 2 v (,), y() = 25. y = 2 y3 + 5 y x+5 v (,), y() = 3

32 6 Řešení okrajové úlohy pro ODR 2. řádu metodou sítí V této kaptole budeme procvčovat řešení okrajové úlohy pro ODR a 2 y + py + qy = f na ntervalu (, l) () s Drchletovou, Neumannovou nebo Newtonovou okrajovou podmínkou v každém z hrančních bodů a l. Hodnota hledané funkce y(x) má nejčastěj význam teploty nebo koncentrace příměs v bodu x. Pak koefcent a 2 > p(x) q(x) f(x) druhé dervace y je tepelná vodvost nebo dfuzvta příměs, první dervace y je rychlost toku látky, funkce y je absorpce příp. reakce, na pravé straně je ntenzta zdrojů tepla nebo příměs. Význam Drchletovy okrajové podmínky je zřejmý. Význam dalších typů okrajových podmínek je odvozen od skutečnost, že a 2 y (x) udává ntenztu toku tepla nebo příměs přes bod x v kladném směru osy x. Pak Neumannova okrajová podmínka, kterou lze zapsat ve tvaru a 2 y () = c případně a 2 y (l) = c l, předepsuje ntenztu toku tepla nebo příměs přes hranční bod případně l ven z ntervalu, l. Newtonova přestupová okrajová podmínka a 2 y () = α (u() u ext ) případně a 2 y (l) = α l (u(l) u ext ) říká, že ntenzta toku tepla nebo příměs ven z ntervalu, l je úměrná rozdílu teploty nebo koncentrace příměs v hrančním bodu ntervalu a teploty nebo koncentrace příměs u ext vně ntervalu. Koefcent úměrnost α > případně α l > charakterzuje tepelnou,,prostupnost rozhraní mez ntervalem a jeho okolím. Řešení úlohy metodou sítí lustruje tento příklad: Metodou sítí s krokem h =,2 aproxmujte teplotu y(x) látky s tepelnou vodvostí,2 W m ( C), protékající ntervalem, rychlostí,5 m s a zahřívané s ntenztou x W m. Látka do ntervalu vtéká přes bod o teplotě C a přes bod teplo z ntervalu unká s ntenztou,4 W. Fyzkální představa: Částce látky protékají ntervalem délky m konstantní rychlostí,5 ms, takže v něm pobudou 2/3 s a po tuto dobu jsou zahřívány s ntenztou, lneárně klesající z hodnoty na, tj. o průměru 32

33 /2 W m. Jejch teplota by se proto měla zvýšt z C pro x = na 4/3 C pro x =. Vz tenký graf na Obr. 5. Navíc však teplo unká z ntervalu přes bod s ntenztou,4 W, což způsobuje pokles teploty v bodu a v jeho blízkém okolí. Tento odhad průběhu teploty (grafu funkce y(x)) je na Obr. 5 znázorněn tučně. y 4/3 Obrázek 5. Představa o grafu funkce y(x) x Řešení: Jde o úlohu (3) s koefcenty a 2 =,2, p(x) =,5, q(x) = a f(x) = x a s okrajovým podmínkam y() =,,2y () =,4, tj.,2y +,5y = x v (,), y() =,,2y () =,4. Řešení metodou sítí: S krokem h =,2 rozdělíme nterval, pomocí uzlů x =, x =,2, x 2 =,4, x 3 =,6, x 4 =,8, x 5 = na 5 podntervalů. Metoda sítí poskytne přblžné hodnoty y = y(x ) pro =,..., 5. Z D-. rchletovy podmínky y() = plyne y = a zbývající hodnoty y,..., y 5 jsou řešením systému lneárních rovnc, vznklého dskretzací rovnc, získaných z dané ODR pro x = x, =,..., 5 následujícím způsobem. V rovnc,2y (x ) +,5y (x ) = x, aproxmujeme y (x ) centrální dferencí (y + y )/,4 a y (x ) druhou centrální dferencí (y 2y + y + )/,4 s výsledkem,2 y 2y + y +,4 +,5 y + y,4 = x. Po vynásobení h 2 =,4 a po úpravě vznkne systém rovnc,35y +,4y,5y 2 =,32,35y +,4y 2,5y 3 =,24,35y 2 +,4y 3,5y 4 =,6,35y 3 +,4y 4,5y 5 =,8,35y 4 +,4y 5,5y 6 = 33.

34 Za y do. rovnce dosadíme hodnotu a za y 6 do 5. rovnce dosadíme vyjádření z dskretzace Neumannovy podmínky centrální dferencí:,2y () =,4 =,2 y 6 y 4,4 =,4 = y 6 = y 4,8. Vznkne systém rovnc,4,5,382,35,4,5,24,35,4,5,6,35,4,5,8,,4,4,4 který má řešení y =,28, y 2 =,7746, y 3 =,22437, y 4 =,23293, y 5 =,3293. V tabulce jsou uvedeny hodnoty y(x ) přesného řešení y(x) = x 3 x (e 2 x ) e 5 2, 675 aproxmace y a chyby e = y(x ) y pro =,..., 5: x,2,4,6,8 y(x ),73,759,242,927,98977 y,28,7746,22437,23293,3293 e,45,237,25,476,436 Níže uvedený příklad lustruje případy, pro něž,,standardní metoda sítí poskytuje tzv. nestablní aproxmace řešení. Je vyřešen metodou sítí a dvěma jejím jednoduchým modfkacem, které tuto nestabltu odstraňují. Aproxmujte řešení úlohy,2y + 4y =, y() = 5, y() = s krokem h =,2 metodou sítí, metodou umělé dfúze a upwndem. Porovnejte velkost chyb těchto aproxmací. Fyzkální představa: Úloha je mj. modelem tohoto procesu: Částce proudící látky protékají ntervalem délky m konstantní rychlostí 4 ms, takže v něm pobudou /4 s a po tuto dobu jsou zahřívány s ntenztou W m. Jejch 34

35 teplota by se proto měla zvýšt z 5 C pro x = na 5,25 C pro x =. Tomu odpovídá graf přesného řešení na Obr. 4 v celém ntervalu (, ) s výjmkou malého podntervalu, tzv. hranční vrstvy v okolí bodu. Z této vrstvy teplo unká ven přes bod s ntenztou, způsobující ochlazení proudící látky na teplotu C v bodu x =. Protože látka vtéká do bodu s velkou rychlostí 4 ms a koefcent tepelné vodvost,2 W m ( C) je relatvně malý, teplota látky se snžuje jen v malé hranční vrstvě okolo bodu. Interval, rozdělíme uzly x =, x =,2, x 2 =,4, x 3 =,6, x 4 =,8, x 5 = na 5 podntervalů délky h a hledáme aproxmace y hodnot y(x ) pro =,..., 5. Z Drchletových podmínek plyne y = 5 a y 5 =. Metoda sítí: Neznámé y,..., y 4 jsou řešením systému lneárních rovnc vznklých dskretzací dentt,2y (x ) + 4y (x ) = pro =,..., 4 užtím centrálních dferencí. Výsledkem je soustava,42y +,4y +,38y + =,4 pro =,..., 4. Po dosazení hodnot y = 5 a y 5 = vznkne systém rovnc,4,38 2,4,42,4,38,4,42,4,38,4,42,4,4 a jeho řešením jsou aproxmace y =,87828, y 2 = 5,5393, y 3 =,49292, y 4 = 6,7557. V tabulce jsou pro =,..., 4 uvedeny hodnoty y(x ) přesného řešení y(x) = ( e 2 ) e2x + 4 x, jejch aproxmace y a chyby e = y(x ) y x,2,4,6,8 y(x ) 5,5 5, 5,5 5,2 y, ,5393, ,7557 e 4,772,4393 4,6578,

36 Vdíme, že uzlové chyby aproxmace jsou obrovské a střídají znaménka, takže neposkytují o přesném řešení žádnou rozumnou nformac. Říkáme, že tato aproxmace je nestablní nebo že oscluje. Ve skrptech [5] je vysvětleno, že takto nestablní aproxmace vznkají, když matce systému lneárních rovnc není monotónní (tj. má mmo hlavní dagonálu kladné hodnoty) a tato skutečnost je ekvvalentní s podmínkou exstuje {,..., n} tak, že a 2 < h 2 p(x ). (2) Metoda umělé dfúze: Je-l řešení metodou sítí nestablní, tj. je-l splněna podmínka (2), pak v řešené okrajové úloze nahradíme koefcent a 2 nejmenším větším koefcentem a 2 tak, aby a 2 h 2 p(x ) pro =,..., n a takto modfkovaná úloha se řeší metodou sítí. V řešené úloze je a 2 =,2 a hp(x )/2 =,4 pro =,..., 5 a proto položíme a 2 =,4 a metodou sítí řešíme úlohu,4y + 4y =, y() = 5, y() =. Vznkne systém rovnc,8 4,4,8,8,4,8,8,4,8,8,4 s monotónní matcí a jeho řešením jsou aproxmace y = 5,5, y 2 = 5,, y 3 = 5,5, y 4 = 5,2. Ty jsou v režmu zaokrouhlování na 5 desetnných míst totožné s hodnotam přesného řešení. Upwnd: Tato metoda se lší od metody sítí tím, že dervac y (x ) místo centrální dferencí (y + y )/(2h) aproxmujeme { zpětnou dferencí (y y )/h pro p >, dferencí směrem dopředu (y + y )/h pro p <. Protože v řešené úloze p = 4 >, užjeme zpětné dference s výsledkem a po úpravě,2 y 2y + y +,4 + 4 y y,2 =,82y +,84y,2y + =,4 36

37 pro =,..., 4. Dosazením y = 5 a y 5 = vznkne systém rovnc s monotónní matcí,84,2 4,4,82,84,2,4,82,84,2,4.,82,84,4 Přesné hodnoty řešení dané úlohy, vypočtené aproxmace y, y 2, y 3, y 4 a jejch chyby jsou uvedeny v tabulce: x,2,4,6,8 y(x ) 5,5 5, 5,5 5,2 y 5,5 5,9992 5,4688 5,795 e,,8,32,285. Grafy přesného řešení úlohy a lneárních splajnů přřazených aproxmacím, vypočteným třem numerckým metodam, jsou znázorněné na Obr. 6. y 5 přesné řešení umělá dfúze Obrázek 6. Grafy řešení úlohy a jeho aproxmací x metoda sítí upwnd Příklady k procvčení: Řešení okrajových úloh z příkladů - 35 aproxmujte metodou sítí s daným krokem h.. y 2y + y =, y( ) = 8, y() =, h =,25 2. y + y = 2e x, y ( ) =, y() =, h =,2 37

38 3. y,5e x y = 2x, y () 2y() =, y() = 3, h =,25 4. y + x 2 y = x 3, y () =, y (,2) =, h =,4 5.,y + y = 3x +, y() = 2,,y () +,5y() = 2, 5, h =,25 6.,25y + y =, y() =,,25y () =,5y(), h =,25 7.,y (x 2 + )y =,5, y() =, y() =, h =,2 8. y + y = x, y() =, y() = 2, h =,2 9. y = 6x, y() + y () =, y() y () = 2, h =,2. y +,y =, y() =, y (2) = 5, h =,5. y +,3x 2 y = x, y () =, y() = 2, h =,25 2. y + x 2 y = 2x, y() =, y (,8) =, h =,2 3. y + (x + 2)y = e x, y() y () =, y() =, h =,25 4. y + x+ y = ln(x + ), 2y() y () =, y() =, h =,25 5.,5y + y =,,5y () =, y() =, h =,2 6.,2y + y = x 2, y() =,.2y () = 2y() 2, h =,2 7. y + 2y = x, y() =, y () = 4y() 2, h =,2 8.,2y + y = 2, y() =, y() =, h =,25 9. y +,5y =, y() =, y () =, h =,2 2. y 2y = x, y () =,5y(), y() =, h =,25 2.,y + y = x, y() =,,y () = y(), h =,2 22. y + 4y = x 2, y() =, y () = 2y(), h =,25 23.,4y + y =,5, y() =,,4y () = 2y(), h =,2 24.,y + y =, y() = 2,,y () =,5y(), h =,25 25.,5y + y = 2, y() =, y() =, h =, y + 5y =, y() =, y() =, h =,2 27. y + (x + 2)y = x, y () =, y (2) =, h =,2 38

39 28.,25y + y =, y() =,,25y () =,5y(), h =, y + xy = x, y() 2y () =, 2y() + y () =, h =,2 3. y + y = x, y() =, y () =, h =,2 3. y + y = x, y() + y () = 3, 2y() + y () = 2, h =,2 32. y + y = 4xe x, y() =, y() =, h =,2 33.,y + y = x, y() =, y() +,y () =, h =,2 34. y + ex x+ y = x2, 2y() y () =, y() + 2y () =, h =,2 35. y + xy = 3x, y() =, y(4) =, h =. Řešení okrajových úloh z příkladů 36 a 37 aproxmujte metodou sítí, metodou umělé dfúze a upwndem se zadaným krokem h. *36.,4y + 5y = x, y() =, y(2) =, h =,4 *37.,y + (x + 2)y =,5, y() = 2, y () = 2, h =,2. 7 Numercká ntegrace Numercká ntegrace se používá pro přblžný výpočet určtých ntegrálů všude tam, kde ntegrál nelze vypočítat přesně nebo tam, kde je na výpočet různých ntegrálů nutno použít jednoho postupu. První z uvedených případů může nastat z důvodu, že pro daný ntegrand neexstuje elementární prmtvní funkce nebo proto, že hodnoty ntegrované funkce jsou známy jen v konečném počtu bodů; tak je tomu v této úloze: Rychlost v(t) [m/s] rakety vypuštěné ze Země ve vertkálním směru byla naměřena 6 krát každých 5 s. Vz tabulka. Použjte (složené) Smpsonovo pravdlo pro aproxmac výšky rakety po 3 s letu. t [s] v(t) [m/s] 2,2 6, 3,9 76, 24,2 33,5 39

40 Řešení: V daném případě je výška rakety rovna dráze s(3), kterou urazla od startu (od času t = ). Tedy s(3) = 3 v(t)dt. = 5 ( + 4 2, , + 4 3, , ,2 + 33,5) 3 = 3794,8m Příklady k procvčení. Najděte aproxmace I O a I L ntegrálu I(f) = ( x 3 )dx obdélníkovým a lchoběžníkovým pravdlem pro počet podntervalů n = 2. Potom ntegrál vypočtěte přesně a určete chyby E O a E L. 2. Úlohu z příkladu vyřešte pro ntegrál I(f) = 2 e x2 dx a když víte, že I(f) =, Zaokrouhlujte na 5 desetnných míst. 3. Z příkladů a 2 je patrné, že E L. = 2EO a ekvvalentně E L +2E O. =. Potom pravdlo, které ntegrál I(f) aproxmuje hodnotou (I L + 2I O )/3 má chybu (E L + 2E O )/3 a mělo by tedy být velm přesné. Vyjádřete aproxmace (I L + 2I O )/3 pro hodnoty I O a I L z příkladů a 2 jako kombnace hodnot funkce f. Jaké známé pravdlo takto vznkne? 4. Najděte aproxmace I L pro n = a I L pro n = 2 ntegrálu I(f) = 4 x2 dx lchoběžníkovým pravdlem. Integrál vypočtěte přesně a určete chyby E L a E L. Na základě porovnání chyb najděte co nejpřesnější aproxmac ve tvaru kombnace hodnot I L a I L. Jaké pravdlo pro numerckou ntegrac vznkne? Zaokrouhlujte na šest desetnných míst. 4

41 5. Částce se pohybuje po přímce tak, že její rychlost v v čase t je v(t) = t 8 t 3. Použtím složeného Smpsonova pravdla pro n = 8 určete přblžně, jakou dráhu s částce urazí od t = do t = Integrál I(f) = 3,4 xe x dx a) vypočtěte přesně, b) vypočtěte přblžně obdélníkovým, lchoběžníkovým Smpsonovým pravdlem pro 6 podntervalů a určete chyby těchto aproxmací, c) najděte horní odhad chyb aproxmací z b) užtím obecných tvarů E O = lh2 24 f (ξ ), E L = lh2 2 f (ξ 2 ), E S = lh4 8 f (4) (ξ 3 ) pro délku l = b a a vhodná ξ, ξ 2, ξ 3 (a, b). Tyto odhady porovnejte s chybam z kroku b), d) Pro každé z použtých pravdel určete počet podntervalů, zaručující chybu, menší než ε =,. 7. Příklad 6 vyřešte pro ntegrál I(f) = 4 x ln xdx. Volte 4 podntervaly Určete počet podntervalů, který zaručí, že chyba aproxmace níže uvedených ntegrálů a) - f) obdélníkovým, lchoběžníkovým a Smpsonovým pravdlem bude menší, než ε. a) sn(πx)dx, ε =, b) c) d) e) f) 2 2 e 2x dx, ε =,5 sn(x 2 )dx, ε =, cos x e x dx, ε =, e x sn xdx, ε =,5 ( x 3 + e x) dx, ε =,5 4

42 9. Vzorce pro dvoubodovou a tříbodovou Gaussovu kvadraturu zjednodušte pro nterval,. Integrál I(f) = x + dx =,699 x 2 x +,25 aproxmujte a) dvoubodovou a tříbodovou Gaussovou kvadraturou, b) Smpsonovým pravdlem pro n = 2 a n = 4, vypočtěte jejch chyby E G2, E G3, E S2, E S4 a porovnejte je.. Integrály a) - c) aproxmujte dvoubodovou Gaussovou kvadraturou a jednoduchým Smpsonovým pravdlem a vypočtěte chyby těchto aproxmací. a) b) c) e 2,5 x( + ln 2 dx =, x) ln x dx =, x sn(e t/2 ) dt =, Integrály a) - d) aproxmujte tříbodovou Gaussovou kvadraturou a Smpsonovým pravdlem pro n = 4 a vypočtěte chyby těchto aproxmací. a) π x sn x dx = 2,84424 b) c) d) 2π 3 4 (cosx) 2 (snx) 2 dx =, dt =, t 2 + t4 + x dx = 6,