SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU"

Transkript

1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS

2 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii viz literatura, jedá se o matematický model z oblasti biologie. Teoretický pohled a model vypadá obecě ásledově. Model vychází z áhodého pohybu mraveců v okolí mraveiště. Mraveec se áhodě pohybuje v okolí mraveiště dokud eajde větší zdroj potravy a svou cestu si přitom začkuje. V případě, že ajde větší zdroj potravy, vrací se podle svých feromoových začek zpět do mraveiště kde vyšle sigál ostatím mravecům. Mraveci ho poté jede po druhém ásledují, přitom po ějaké době vytvoří řada mraveců přímou cestu spojující mraveiště s místem, kde se zdroj potravy achází. V semestrálí práci ukážeme, že i bez předpokladu hlubší itelektuálí schoposti, pouhým sledováím pohybu předchozího mravece, vyřeší mraveci tímto kolektivím úsilím časem optimalizačí úlohu alezeí ejkratší spojice dvou bodů, tj. vytvoří optimálí cestu k cíli (potravě, kterou lze často v přírodě pozorovat. /17

3 . SESTAVENÍ MODELU Začeí a zavedeí soustavy souřadé a časové osy Nejprve je uto zavést soustavu souřadou a to tak, že mraveiště umístíme do počátku soustavy souřadé tj. [,]. Cíl (kořist, potravu pak umístíme do bodu [L,]. Dále zavedeme předpoklad kostatí stejé rychlosti pohybu v u všech mraveců. Nechť prví mraveec průzkumík, ozačeý jako M, se pohybuje po své ozačkovaé cestě ásledově. V čase τ je v bodě [,], poté vyráží a cestu. V čase t se achází kdesi v bodě [x (t, y (t] (tj. kdesi a křivce kopírující průběh jeho cesty V čase T se dostává koečě k potravě do cíle, který se achází v bodě [L,]. Nákres je zobraze v ásledujícím obrázku 1. Pro ostatí mravece poté platí: Obrázek 1 pohyb mraveců v zavedeé souřadé soustavě V čase τ > δ (kde δ >, vyráží z mraveiště druhý mraveec M 1 a zamíří přímo k mraveci M. 3/17

4 V čase τ τ1+ δ vyráží z mraveiště třetí mraveec M a míří přímo k mraveci M 1. A takto ásledují i ostatí mraveci. Odvozeí modelu pohybu mraveců : Polohový vektor uur p každého z mraveců M, pro =,1,, v čase t uur uur p p. (1 = ( t = ( x ( t, y ( t Vektor rychlosti p ( t mravece M je poté vyjádře ásledově: ( d ( ( t p t = p. dt Vzhledem k předpokladu kostatí stejé rychlosti v u všech mraveců, platí dále: (3 p = v, pro všecha =1,,3,.., kde x začí velikost vektoru x (tj. eukleidovskou ormu x = x + K+ x. 1 Poěvadž mraveec M míří přímo k mraveci M -1 platí dále: (4 p = c ( p 1 p, kde c je kladá kostata. Z výrazu (3 a (4 plye ovšem rovost (5 p = c ( p 1 p = c p 1 p = v. / Po vyjádřeí kostaty c= v p 1 p z předchozího výrazu (5 a její dosazeí do výrazu (4 dostáváme model pohybu mraveců ve tvaru ekoečého systému difereciálích vektorových rovostí: (6 ( p ( p ( v 1 t t p ( t = p ( t p ( t 1, =1,,3, 4/17

5 Pro řešeí tohoto systému rovic (řešeím jsou fce p (t při platosti rovosti (6 při zámém v a p (t je však uto dodat, že musí splňovat ještě počátečí podmíky a to kokrétě: (7 ( τ = (, kde { τ } 1 kde { ε } = 1 p, =1,,3, je rostoucí posloupost kladých reálých čísel splňující τ = τ 1= δ + ε, je ohraičeá posloupost ezáporých čísel. O vektorové fukci p ( = p t předpokládáme, že je defiovaá a itervalu,, je spojitá (mraveec edělá skoky, což odpovídá realitě, je diferecovatelá a itervalu ( v p = a pro,t (mraveec se pohybuje kostatí rychlostí v, tj. p existuje a t T je p t = ( L (,. Tuto fukci považujeme za zámou. Lze tedy umericky vyřešit počátečí úlohu (6, (7 s =1 a ajít vektorovou fukci p = p ( t, pak lze umericky ajít fukci p = p ( t, atd. 1 1 Problém může astat v případě, že pro ějaké ˆ τ τ platí p ( ˆ ˆ τ = p 1( τ. V takovém případě eí pravá straa rovosti (6 pro t = ˆ τ defiováa, a tedy řešeí výše staoveé rovice p elze prodloužit za ˆ τ. V tomto případě klademe pro p ( t = p ( t. Tímto způsobem lze adefiovat všechy vektorové fukce p t>τ ˆ 1 pro =1,,3,.. a itervalu τ,. 5/17

6 Odvozeí vlastostí systému: Aiž bychom řešili samotý systém (6,(7 lze odvodit ěkolik zásadích vlastostí. 1. Nerostoucí vzdáleost dvou mraveců a koečý čas dosažeí potravy Prví vlastostí je, že žádý z mraveců euteče svému ásledovíku, tj. vzdáleost mezi mraveci M -1 a M se s časem ezvětšuje. Je tedy uto ukázat, že fukce (8 = ( t = p 1( t p ( t, začící ou vzdáleost mezi mraveci, je erostoucí v čase, tedy platí: d d = ( p 1 p.( p 1 p = dt dt ( p p.( p p + ( p p.( p p = = ( p p.( p p 1 ( p 1 p.. p 1 p = p 1 1 p Využijeme-li rovosti (6 dostáváme d p p 1 1 = ( p p. = p p. p = p. p p dt v v ( ( p 1 p Připomeeme-li si, že pro každé dva vektory q, r platí Cauchyova-Bujakovského erovost zapsaá ásledově: q. r q r, kde q.r je skalárí souči těchto dvou vektorů. Použitím této erovosti, rovosti (3 a kostatí rychlosti mravece v dostáváme ( p 1 p p ( p 1 p v d =. = ( v v =. dt v v v Dokázali jsme tedy, že vzdáleost mezi za sebou jdoucími mraveci se s časem ezvětšuje v ámi defiovaém modelu. 6/17

7 Dále lze ukázat, že se každý mraveec dostae do k potravě, tj. do bodu [L,] v koečém čase. Vycházíme ze skutečosti, že z výchozí pozice mravece M -1 eboli z bodu [,] se mraveec M -1 dostae ejdále při přímočarém pohybu. To však zameá, že =, (9 ( τ v ( τ τ 1 v ( δ + ε tj. vzdáleost mravece M -1 od mravece M, který za ím vyráží z mraveiště v čase τ je rova ejvýše vzdáleosti, kterou urazil mraveec M -1 při přímočarém pohybu mezi časy τ 1 a τ. Zavedeme-li dále vzdáleost D, jakožto vzdáleost uražeou při přímočarém pohybu v ejdelším časovém rozdílu dvou po sobě vycházejících mraveců, tj. (1 D v ( δ sup { ε : } = +, pak při platosti již dokázaé erostoucí vzdáleosti mezi mraveci v čase lze psát (11 ( t D pro t τ, =1,,3,.. Z erovosti (11 tedy vyplývá, že každý mraveec se v koečém čase dostae k místu potravy do bodu [L,] eboť v čase T, kdy se do tohoto bodu dostal mraveec M, je vzdáleost mravece M 1 od ěho 1( T D. Mraveec M 1 tedy do bodu [L,] směřuje již přímočaře, takže bodu [L,] dosáhe v čase 1( T D T1 = T + T +. v v Aalogicky se pak -tý mraveec dostae do bodu [L,] v čase ( T 1 D D D D D T = T 1+ T 1+ T + + = T +... T +. v v v v v v 7/17

8 . Délka cesty mraveců Dále lze dokázat, že celková dráha, uražeá mraveci při cestě k potravě, se s časem a počtem mraveců ezvyšuje. V modelu je rozumé předpokládat, že cíl [L,] je dostatečě daleko od mraveiště [,] a to tak daleko, že -tý mraveec k ěmu dorazí později, ež jeho ásledovík (+1-í mraveec vyrazí z mraveiště (předchůdce edorazí k cíli dřív ež ásledovík vyrazí z mraveiště tj. (1 T > τ + 1, pro všecha =,1,,. Ozačme l jako celkovou délku dráhy, kterou urazí mraveec M, tj. (13 T = x ( s + y ( s ds= v ( T τ τ l Poěvadž předpokládáme T > τ a eulovou v platí l > pro každé. Vzhledem k tomu, že v okamžiku T, kdy předchozí mraveec M dorazí k cíli [L,], zamíří ásledující mraveec M +1 přímočaře k ěmu je celková délka l + 1 dráhy, kterou urazí mraveec M +1 vyjádřea ásledově (rekuretě: (14 l+ 1= v T τ T = v T τ v τ+ 1 τ + + 1T = l v δ+ ε T ( ( ( ( ( ( ( Z rovostí (13,(14 a z erovosti (1 a současě z faktu, že + 1 je erostoucí fukce času (viz výše dále plye l l = ( T v( δ + ε = ( T ( τ ( τ ( τ =, a je tedy dokázáo, že posloupost { l } = je erostoucí, což rověž zameá, že l l pro všecha =1,,3,.. 8/17

9 Dále dokážeme existeci rostoucí poslouposti { k} k= 1 přirozeých čísel takové, že δv (15 ( T 1 k k. Důkaz provedeme sporem. Tedy připustíme existeci takového, že δv (16 ( T 1 < pro všecha. Z rovosti (14 a z předpokladu (16 plye, že pro je splěa erovost l l = v( δ + ε + ( T Z í dále úplou idukcí plye, že pro platí vδ vδ vδ + + 1( T < vδ + = vδ l < l (, zejméa tedy pro + je vδ l vδ vδ l < l ( l + l =. vδ Zde arážíme a spor s předpokladem l >, čímž jsme dokázali erovost (15. 9/17

10 3. Optimalizace dráhy mravece Nakoec dokážeme, že při dostatečě velkém počtu mraveců, se po jisté době všichi mraveci pohybují v úzkém pásu kolem ejkratší spojice mraveiště a cíle. V limitě by se pak pohybovali po této spojici. Neboli vzdáleost mravece M od úsečky spojující mraveiště a potravu bude po celou dobu jeho pohybu meší ež libovolé, předem daé kladé číslo. Fukce y,druhá složka polohového vektoru p, je řešeím výše zmíěé počátečí úlohy v y = y y, y ( τ =. (17 ( 1 p 1 p Jedá se o spojitou fukci a itervalu τ, T a dle 1. Weierstrassovy věty lze tedy tvrdit, že je to fukce omezeá. Dále ozačme (18 Dokažme tedy, že platí { τ } { τ } Y = y ( t : t, T Y = mi y ( t : t, T mi = y ( τ Y Y, tj. že žádý mraveec se od úsečky 1 spojující mraveiště a potravu evzdálí více, ež jeho bezprostředí předchůdce. Kdyby toto tvrzeí eplatilo, tj. kdyby existovalo ějaké s τ, T takové, že y s = Y > Y y s, ( 1 1( utě by pak ( což by byl evidetě spor. v ( = ( ( <, y s = a současě dle (17 y s ( y s y s -1 p 1( s p ( s Posloupost { Y } = 1 je tedy erostoucí a zdola ohraičeá ulou, což zameá, že je kovergetí. 1/17

11 Buď yí k libovolé přirozeé číslo. S využitím erovosti (15 a faktu, že k je erostoucí fukce času, dostaeme, že pro každé t ( τ, T 1 k k platí v v ( ( ( ( (. k k k k k k k ( t δv δ (19 y t = ( y 1 t y t ( Y 1 y t = ( Y 1 y t k Řešeí počátečí úlohy pro lieárí difereciálí rovici = Y η, η( τ k = k δ ( η ( 1 pak vypadá ásledově ( t τ / (1 t Y 1( k δ η = e k ( 1. S přihlédutím k erovosti (19 dostaeme s použitím srovávací věty erovost ( t τ / ( ( 1( 1 k δ y t Y k e k, platou pro všecha t τ, T 1 k k. Dále tedy platí 1 (3 ( ( t τ / δ ( ( T / 1 1 k k τ δ Y Y k k e Y k e k 1 1. S využitím (13 tj. l v ( T τ = a skutečosti, že { l } = je erostoucí dostáváme erovost (viz expoet a pravé straě předchozího vztahu (3 (4 T l k 1 l τ T τ =. v v k 1 k k 1 k 1 Po dosazeí vztahu (4 do erovosti (3 tedy dostáváme (5 ( 1 l /( δv Y Y 1 e eboli při úplé idukci k, l δv (6 τ ( k Y = y ( Y Y 1 e = 1 e 1 /( k 1 /( k k k 1 1 l /( δv Poěvadž 1 e < 1 a současě lim k =, platí k l /( δv ( 1 e l δv ( k. 11/17

12 ( l /( δv e k lim 1 =. k Z erovosti (6 a z věty o třech posloupostech dostáváme limy k k =. Jelikož jsme vybrali posloupost { Y } k k= 1 z kovergetí poslouposti { Y } 1 =, platí limy =. Podobě by se dalo dokázat mi limy =. 1/17

13 3. SESTAVENÍ UPRAVENÉHO MODELU V předchozí kapitole jsem se zabývali modelem pohybu řady mraveců, vycházející z předpokladu, že každý mraveec sleduje svého předchůdce a míří přímo k ěmu. Nyí se budeme zabývat otázkou, akolik je teto předpoklad realistický. Budeme přitom předpokládat pouze to, že mraveec umí vímat každým z tykadel kocetraci ějakého feromou a podle rozdílu kocetrací feromou přijímaých jedotlivými tykadly měí směr svého pohybu. Zpřesěí v soustavě souřadé Nadefiujeme si souřadice hlavy mravece jako x= xt ( a y= yt (, a dále směrový úhel osy těla mravece ϑ= ϑ( t, viz ásledující obrázek. Obrázek mraveec v souřadé soustavě Stále budeme předpokládat pro jedoduchost kostatí rychlost pohybu mravece v, tj. vektor rychlosti vypadá ásledově v=(v cosϑ,v siϑ. Za krátký časový iterval t se poloha mravecovy hlavy změí o x= ( v cos ϑ t, y= ( vsi ϑ t. Dále budeme předpokládat, že mraveec měí směrový úhel osy těla v časovém itervalu t v závislosti a kocetracích feromou ClaCr přijatých levým a pravým tykadlem, tedy změa směrového úhlu osy těla je fukcí dvou proměých C l a C r tj. 13/17

14 (7 ϑ (, = F C C t, Limitím přechodem při t dostaeme model pohybu jedoho mravece ve tvaru l r (8 x v cos ϑ, y vsi ϑ, ϑ F( C, C = = =. l r Pro získáí kokrétího modelu, je zapotřebí blíže specifikovat fukci F. Budeme tedy předpokládat existeci ějaké imálí změy směru pohybu θ >, jíž je mraveec schope, tj. ϑ θ. Změa směru pohybu je přitom tím větší, čím je větší rozdíl C= Cl + Cr kocetrací feromou a kocích tykadel. V případě ulového rozdílu kocetrací se směr pohybu eměí, je-li a levém tykadle větší kocetrace feromou ež a pravém, tj. když C>, mraveec se otáčí v kladém smyslu, v opačém případě v záporém smyslu. Příklad fukce F, která splňuje uvedeé předpoklady je (9 F( Cl, Cr θ sg ( C f ( C =, přičemž fukce f :,, je eklesající, spojitá a splňuje podmíky (3 f ( =, lim f ( ξ = 1. Nejjedodušší fukce s těmito vlastostmi je ξ ξ (31 f ( ξ =, ξ + ρ kdeρ je kladá kostata. Pro staoveí F( C, C ϑ= tedy zbývá vyjádřit C l a C r. l r 14/17

15 Budiž se že zdroj feromou achází v bodě Z = [ x, y ] odkud se šíří do prostoru všemi směry, přičemž jeho kocetrace v bodě A bude epřímo úměrá druhé mociě vzdáleostí bodů A a Z. Kladou kostatu úměrosti závisející a kocetraci feromou ve zdroji a a vlastostech prostředí, ozačme jako c. Dále ozačme R l, resp. R r, vzdáleost bodu Z od koce levého, resp. pravého, tykadla. Platí tedy z Z c c c = = =. R R R R (3 Cl, Cr, C ( Rr Rl Dosazeím do (31 dostáváme: (33 f ( C l r l r crr Rl = cr R + ρr R r l l r Nechť δ ozačuje vzdáleost koce tykadla od středu hlavy (tj. délku tykadel a α π úhel svírající tykadlo s osou těla (viz obrázek ; patrě je δ >, < α <. Souřadice koce levého tykadla jsou potom ásledující (34 x + δ cos ( ϑ + α, y + δ si( ϑ + α, resp. souřadice koce pravého tykadla jsou (35 x+ δ cos ( ϑ α, y+ δ si( ϑ α Dále je uto vyjádřit vzdáleost R l, resp. R r, bodu Z [ x, y ] pravého, tykadla (36 R x x cos( resp.. = od levého, resp. Z z ( δ ϑ α ( y y δ si( ϑ α l Z Z (37 R x x cos( Odtud plye = + + +, ( δ ϑ α ( y y δ si( ϑ α r Z Z = +. 15/17

16 r l Z ( Z ( ( cos ( cos ( ( si ( si ( ( ( xz x ( yz y ( ( yz y ( xz x ( x x ( ( ( y y ( ( R R = δ cos ϑ α cos ϑ+ α δ si ϑ α si ϑ+ α + δ ϑ α ϑ α δ ϑ α ϑ α + + = = δ siϑ siα cosϑ siα = = 4δ siα cosϑ siϑ Při dosazeí předchozího rozdílu spolu s R l a R r tj. (36 a (37 do (33 dostáváme výsledý tvar fukce f. Spolu s fukcí f dosadíme do (9 i vztah ( Z Z ϑ (38 ( C = ( y y ϑ ( x x sg sg cos si Dostaeme vyjádřeí fukce F, které dosadíme do (8 a tím obdržíme výsledý model pohybu jedoho mravece. Teto model poměrě složitý, takže z ěho lze je obtížě získat ějaké aalytické výsledky. Lze ho ovšem řešit umericky a tím dostat tvar mravecovy cesty. To lze udělat v případě, že se bod Z epohybuje, tedy když x Z, y Z jsou kostaty a řešeý systém je autoomí, i v opačém případě, když x = x ( t, y = y ( t a systém eí autoomí. Je-li vzdáleost zdroje feromou a mravecovi hlavy příliš velká, přesěji řečeo, Z Z Z Z když cr R ρr R, pak porováím s (33 je vidět že f C. V takovém r l l r případě tedy můžeme model (8 ahradit jedoduchým systémem rovic (39 x = v cos ϑ, y = v si ϑ, ϑ =. Řešeím s počátečí podmíkou x( = x, y( = y, ϑ( = ϑ je ( = + cos ϑ, ( = si ϑ, ϑ( = ϑ. (4 xt x vt yt y t 16/17

17 Mraveec tedy a feromo ereaguje, ezměí směr a pohybuje se po přímce. To samo o sobě eí ějak překvapivý závěr. Upozorňuje ale a skutečost, že může být obtížé experimetálě rozhodout, zda vzdáleý mraveec ereaguje proto, že podět je atolik slabý, že ho ezachytil, ebo proto, že rozdíl podětů a kocích jedotlivých tykadel je příliš malý. LITERATURA [1] Spojité modely v biologii Josef Kalas, Zdeěk Pospíšil 17/17

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techická uiverzita Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky ELEKTRICKÉ POHONY pro kombiovaé a distačí studium Ivo Neborák Václav Sládeček Ostrava 004 1 Doc. Ig. Ivo Neborák, CSc.,

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty)

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty) (variata s odděleým hodoceím ivestičích ákladů vyaložeých a jedotlivé privatizovaé objekty) Vypracoval: YBN CONSULT - Zalecký ústav s.r.o. Ig. Bedřich Malý Ig. Yvetta Fialová, CSc. Václavské áměstí 1 110

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss F. KOUTNÝ, Zlí (. 4. 777.. 855) Každé vyprávěí o ěkom, kdo žil dávo, je utě je kompilací prameů a odkazů, které v ejlepším případě pocházejí od jeho pamětíků. Rámec tohoto textu tvoří

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY Určováí věku a staoveí růstu ryb Ryby jsou poikilotermí obratlovci, u ichž jsou všechy biologické fukce zásadím způsobem ovlivňováy teplotou vody. To platí v plém rozsahu

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

Makroekonomie cvičení 1

Makroekonomie cvičení 1 Makroekoomie cvičeí 1 D = poptávka. S = Nabídka. Q = Možství. P = Cea. Q* = Rovovážé možství (Q E ). P* = Rovovážá caa (P E ). L = Práce. K = Kapitál. C = Spotřeba domácosti. LR = Dlouhé období. SR = Krátké

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Katedra softwarového inženýrství MFF UK Malostranské náměstí 25, 118 00 Praha 1 - Malá Strana

Katedra softwarového inženýrství MFF UK Malostranské náměstí 25, 118 00 Praha 1 - Malá Strana Katedra softwarového ižeýrství MFF UK Malostraské áměstí 25, 8 00 Praha - Malá Straa, v. 3.5 co jsou "techiky přeosu dat"? Katedra softwarového ižeýrství, Matematicko-fyzikálí fakulta, Uiverzita Karlova,

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 4. ročík šestiletého a. ročík čtyřletého studia Laboratorí práce č. 4: Úlohy z paprskoé optiky G Gymázium Hraice Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 3. ročík šestiletého

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

Jan Zahradník, Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích

Jan Zahradník, Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích Pohled do historie fiačí matematiky Ja Zahradík, Pedagogická fakulta Jihočeské uiverzity v Českých Budějovicích Úvod Častým tématem diskusí současých ekoomů je ízká úroveň fiačí gramotosti ašich občaů.

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

Klonování, embryonální kmenové buňky, aj. proč ano a proč ne

Klonování, embryonální kmenové buňky, aj. proč ano a proč ne Kloováí, embryoálí kmeové buňky, aj. proč ao a proč e Doc. MUDr. Petr Hach, Csc., Em. předosta ústavu pro histologii a embryologii 1. lékařské fakulty Uiversity Karlovy v Praze Neí určeo k dalšímu šířeí

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií Využití Markovových řetězců pro predikováí pohybu ce akcií Mila Svoboda Tredy v podikáí, 4(2) 63-70 The Author(s) 2014 ISSN 1805-0603 Publisher: UWB i Pilse http://www.fek.zcu.cz/tvp/ Úvod K vybudováí

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ

Více

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK)

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK) Systém itralaboratorí kotroly kvality v kliické laboratoři (SIKK) Doporučeí výboru České společosti kliické biochemie ČLS JEP Obsah: 1. Volba systému... 2 2. Prováděí kotroly... 3 3. Dokumetace výsledků

Více

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK 04 prof. Ig. Bohuml Mařík, CSc. STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH.

Více

MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueing systems

MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueing systems MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueig systems Prof. RNDr. Ig. Miloš Šeda, Ph.D. Vysoé učeí techicé v Brě, Faulta strojího ižeýrství, Ústav automatizace a iformatiy e-mail: seda@fme.vutbr.cz Abstrat

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman ASYNCHRONNÍ STROJE Obsah. Pricip čiosti asychroího motoru. Náhradí schéma asychroího motoru. Výko a momet asychroího motoru 4. Spouštěí trojfázových asychroích motorů 5. Řízeí otáček asychroích motorů

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

Symptomatická léčba urgentní inkontinence a/nebo zvýšené frekvence močení a urgence u pacientů se syndromem hyperaktivního močového měchýře.

Symptomatická léčba urgentní inkontinence a/nebo zvýšené frekvence močení a urgence u pacientů se syndromem hyperaktivního močového měchýře. Sp.z.sukls118965/2013 a k sukls118966/2013 SOUHRN ÚDAJŮ O PŘÍPRAVKU 1. NÁZEV PŘÍPRAVKU Solifeaci Actavis 5 mg Solifeaci Actavis 10 mg potahovaé tablety 2. KVALITATIVNÍ A KVANTITATIVNÍ SLOŽENÍ Solifeaci

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Expertní Systémy. Tvorba aplikace

Expertní Systémy. Tvorba aplikace Tvorba aplikace Typ systému malý velký velmi velký Počet pravidel 50-350 500-3000 10000 Počet člověkoroků 0.3-0.5 1-2 3-5 Cea projektu (v tis.$) 40-60 500-1000 2000-5000 Harmo, Kig (1985) Vytvořeí expertího

Více

Fourierova transformace ve zpracování obrazů

Fourierova transformace ve zpracování obrazů Fourierova trasformace ve zpracováí obrazů Jea Baptiste Joseph Fourier 768-83 6. předáška předmětu Zpracováí obrazů Martia Mudrová 24 Motivace Proč používat Fourierovu trasformaci? základí matematický

Více

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na. Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího

Více

Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března 2002. Abstrakt

Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března 2002. Abstrakt Algoritmus RSA Vilém Vychodil 4. břza 2002 Abstrakt Násldující podpůrý txt stručě shruj základí problmatiky při šifrováí algoritmm RSA. Sm spadá j samotý pricip algoritmu, al i základí mtody grováí vlkých

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny.

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny. 1. Auto zrychlí rovnoměrně zrychleným pohybem z 0 km h -1 na 72 km h -1 za 10 sekund. 2. Auto zastaví z rychlosti 64,8 km h -1 rovnoměrně zrychleným (zpomaleným) pohybem za 9 sekund. V obou případech nakreslete

Více

Fázová charakteristika femtosekundových impulzov a jej vplyv na dvojfotónovú fluorescenciu

Fázová charakteristika femtosekundových impulzov a jej vplyv na dvojfotónovú fluorescenciu Attila GAÁL Fakulta matematiky fyziky a iformatiky UK Bratislava Igác BUGÁR Duša VELIČ Medziárodé laserové cetrum Bratislava Fratišek UHEREK Medziárodé laserové cetrum a Katedra mikroelektroiky FEI STU

Více

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Prof. Ig. Albert Bradáč, DrSc. STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Příspěvek vazuje publikovaý

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/../.98 IV- Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- SLOŽENÉ ÚROOVÁNÍ

Více