SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

Save this PDF as:
Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU"

Transkript

1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS

2 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii viz literatura, jedá se o matematický model z oblasti biologie. Teoretický pohled a model vypadá obecě ásledově. Model vychází z áhodého pohybu mraveců v okolí mraveiště. Mraveec se áhodě pohybuje v okolí mraveiště dokud eajde větší zdroj potravy a svou cestu si přitom začkuje. V případě, že ajde větší zdroj potravy, vrací se podle svých feromoových začek zpět do mraveiště kde vyšle sigál ostatím mravecům. Mraveci ho poté jede po druhém ásledují, přitom po ějaké době vytvoří řada mraveců přímou cestu spojující mraveiště s místem, kde se zdroj potravy achází. V semestrálí práci ukážeme, že i bez předpokladu hlubší itelektuálí schoposti, pouhým sledováím pohybu předchozího mravece, vyřeší mraveci tímto kolektivím úsilím časem optimalizačí úlohu alezeí ejkratší spojice dvou bodů, tj. vytvoří optimálí cestu k cíli (potravě, kterou lze často v přírodě pozorovat. /17

3 . SESTAVENÍ MODELU Začeí a zavedeí soustavy souřadé a časové osy Nejprve je uto zavést soustavu souřadou a to tak, že mraveiště umístíme do počátku soustavy souřadé tj. [,]. Cíl (kořist, potravu pak umístíme do bodu [L,]. Dále zavedeme předpoklad kostatí stejé rychlosti pohybu v u všech mraveců. Nechť prví mraveec průzkumík, ozačeý jako M, se pohybuje po své ozačkovaé cestě ásledově. V čase τ je v bodě [,], poté vyráží a cestu. V čase t se achází kdesi v bodě [x (t, y (t] (tj. kdesi a křivce kopírující průběh jeho cesty V čase T se dostává koečě k potravě do cíle, který se achází v bodě [L,]. Nákres je zobraze v ásledujícím obrázku 1. Pro ostatí mravece poté platí: Obrázek 1 pohyb mraveců v zavedeé souřadé soustavě V čase τ > δ (kde δ >, vyráží z mraveiště druhý mraveec M 1 a zamíří přímo k mraveci M. 3/17

4 V čase τ τ1+ δ vyráží z mraveiště třetí mraveec M a míří přímo k mraveci M 1. A takto ásledují i ostatí mraveci. Odvozeí modelu pohybu mraveců : Polohový vektor uur p každého z mraveců M, pro =,1,, v čase t uur uur p p. (1 = ( t = ( x ( t, y ( t Vektor rychlosti p ( t mravece M je poté vyjádře ásledově: ( d ( ( t p t = p. dt Vzhledem k předpokladu kostatí stejé rychlosti v u všech mraveců, platí dále: (3 p = v, pro všecha =1,,3,.., kde x začí velikost vektoru x (tj. eukleidovskou ormu x = x + K+ x. 1 Poěvadž mraveec M míří přímo k mraveci M -1 platí dále: (4 p = c ( p 1 p, kde c je kladá kostata. Z výrazu (3 a (4 plye ovšem rovost (5 p = c ( p 1 p = c p 1 p = v. / Po vyjádřeí kostaty c= v p 1 p z předchozího výrazu (5 a její dosazeí do výrazu (4 dostáváme model pohybu mraveců ve tvaru ekoečého systému difereciálích vektorových rovostí: (6 ( p ( p ( v 1 t t p ( t = p ( t p ( t 1, =1,,3, 4/17

5 Pro řešeí tohoto systému rovic (řešeím jsou fce p (t při platosti rovosti (6 při zámém v a p (t je však uto dodat, že musí splňovat ještě počátečí podmíky a to kokrétě: (7 ( τ = (, kde { τ } 1 kde { ε } = 1 p, =1,,3, je rostoucí posloupost kladých reálých čísel splňující τ = τ 1= δ + ε, je ohraičeá posloupost ezáporých čísel. O vektorové fukci p ( = p t předpokládáme, že je defiovaá a itervalu,, je spojitá (mraveec edělá skoky, což odpovídá realitě, je diferecovatelá a itervalu ( v p = a pro,t (mraveec se pohybuje kostatí rychlostí v, tj. p existuje a t T je p t = ( L (,. Tuto fukci považujeme za zámou. Lze tedy umericky vyřešit počátečí úlohu (6, (7 s =1 a ajít vektorovou fukci p = p ( t, pak lze umericky ajít fukci p = p ( t, atd. 1 1 Problém může astat v případě, že pro ějaké ˆ τ τ platí p ( ˆ ˆ τ = p 1( τ. V takovém případě eí pravá straa rovosti (6 pro t = ˆ τ defiováa, a tedy řešeí výše staoveé rovice p elze prodloužit za ˆ τ. V tomto případě klademe pro p ( t = p ( t. Tímto způsobem lze adefiovat všechy vektorové fukce p t>τ ˆ 1 pro =1,,3,.. a itervalu τ,. 5/17

6 Odvozeí vlastostí systému: Aiž bychom řešili samotý systém (6,(7 lze odvodit ěkolik zásadích vlastostí. 1. Nerostoucí vzdáleost dvou mraveců a koečý čas dosažeí potravy Prví vlastostí je, že žádý z mraveců euteče svému ásledovíku, tj. vzdáleost mezi mraveci M -1 a M se s časem ezvětšuje. Je tedy uto ukázat, že fukce (8 = ( t = p 1( t p ( t, začící ou vzdáleost mezi mraveci, je erostoucí v čase, tedy platí: d d = ( p 1 p.( p 1 p = dt dt ( p p.( p p + ( p p.( p p = = ( p p.( p p 1 ( p 1 p.. p 1 p = p 1 1 p Využijeme-li rovosti (6 dostáváme d p p 1 1 = ( p p. = p p. p = p. p p dt v v ( ( p 1 p Připomeeme-li si, že pro každé dva vektory q, r platí Cauchyova-Bujakovského erovost zapsaá ásledově: q. r q r, kde q.r je skalárí souči těchto dvou vektorů. Použitím této erovosti, rovosti (3 a kostatí rychlosti mravece v dostáváme ( p 1 p p ( p 1 p v d =. = ( v v =. dt v v v Dokázali jsme tedy, že vzdáleost mezi za sebou jdoucími mraveci se s časem ezvětšuje v ámi defiovaém modelu. 6/17

7 Dále lze ukázat, že se každý mraveec dostae do k potravě, tj. do bodu [L,] v koečém čase. Vycházíme ze skutečosti, že z výchozí pozice mravece M -1 eboli z bodu [,] se mraveec M -1 dostae ejdále při přímočarém pohybu. To však zameá, že =, (9 ( τ v ( τ τ 1 v ( δ + ε tj. vzdáleost mravece M -1 od mravece M, který za ím vyráží z mraveiště v čase τ je rova ejvýše vzdáleosti, kterou urazil mraveec M -1 při přímočarém pohybu mezi časy τ 1 a τ. Zavedeme-li dále vzdáleost D, jakožto vzdáleost uražeou při přímočarém pohybu v ejdelším časovém rozdílu dvou po sobě vycházejících mraveců, tj. (1 D v ( δ sup { ε : } = +, pak při platosti již dokázaé erostoucí vzdáleosti mezi mraveci v čase lze psát (11 ( t D pro t τ, =1,,3,.. Z erovosti (11 tedy vyplývá, že každý mraveec se v koečém čase dostae k místu potravy do bodu [L,] eboť v čase T, kdy se do tohoto bodu dostal mraveec M, je vzdáleost mravece M 1 od ěho 1( T D. Mraveec M 1 tedy do bodu [L,] směřuje již přímočaře, takže bodu [L,] dosáhe v čase 1( T D T1 = T + T +. v v Aalogicky se pak -tý mraveec dostae do bodu [L,] v čase ( T 1 D D D D D T = T 1+ T 1+ T + + = T +... T +. v v v v v v 7/17

8 . Délka cesty mraveců Dále lze dokázat, že celková dráha, uražeá mraveci při cestě k potravě, se s časem a počtem mraveců ezvyšuje. V modelu je rozumé předpokládat, že cíl [L,] je dostatečě daleko od mraveiště [,] a to tak daleko, že -tý mraveec k ěmu dorazí později, ež jeho ásledovík (+1-í mraveec vyrazí z mraveiště (předchůdce edorazí k cíli dřív ež ásledovík vyrazí z mraveiště tj. (1 T > τ + 1, pro všecha =,1,,. Ozačme l jako celkovou délku dráhy, kterou urazí mraveec M, tj. (13 T = x ( s + y ( s ds= v ( T τ τ l Poěvadž předpokládáme T > τ a eulovou v platí l > pro každé. Vzhledem k tomu, že v okamžiku T, kdy předchozí mraveec M dorazí k cíli [L,], zamíří ásledující mraveec M +1 přímočaře k ěmu je celková délka l + 1 dráhy, kterou urazí mraveec M +1 vyjádřea ásledově (rekuretě: (14 l+ 1= v T τ T = v T τ v τ+ 1 τ + + 1T = l v δ+ ε T ( ( ( ( ( ( ( Z rovostí (13,(14 a z erovosti (1 a současě z faktu, že + 1 je erostoucí fukce času (viz výše dále plye l l = ( T v( δ + ε = ( T ( τ ( τ ( τ =, a je tedy dokázáo, že posloupost { l } = je erostoucí, což rověž zameá, že l l pro všecha =1,,3,.. 8/17

9 Dále dokážeme existeci rostoucí poslouposti { k} k= 1 přirozeých čísel takové, že δv (15 ( T 1 k k. Důkaz provedeme sporem. Tedy připustíme existeci takového, že δv (16 ( T 1 < pro všecha. Z rovosti (14 a z předpokladu (16 plye, že pro je splěa erovost l l = v( δ + ε + ( T Z í dále úplou idukcí plye, že pro platí vδ vδ vδ + + 1( T < vδ + = vδ l < l (, zejméa tedy pro + je vδ l vδ vδ l < l ( l + l =. vδ Zde arážíme a spor s předpokladem l >, čímž jsme dokázali erovost (15. 9/17

10 3. Optimalizace dráhy mravece Nakoec dokážeme, že při dostatečě velkém počtu mraveců, se po jisté době všichi mraveci pohybují v úzkém pásu kolem ejkratší spojice mraveiště a cíle. V limitě by se pak pohybovali po této spojici. Neboli vzdáleost mravece M od úsečky spojující mraveiště a potravu bude po celou dobu jeho pohybu meší ež libovolé, předem daé kladé číslo. Fukce y,druhá složka polohového vektoru p, je řešeím výše zmíěé počátečí úlohy v y = y y, y ( τ =. (17 ( 1 p 1 p Jedá se o spojitou fukci a itervalu τ, T a dle 1. Weierstrassovy věty lze tedy tvrdit, že je to fukce omezeá. Dále ozačme (18 Dokažme tedy, že platí { τ } { τ } Y = y ( t : t, T Y = mi y ( t : t, T mi = y ( τ Y Y, tj. že žádý mraveec se od úsečky 1 spojující mraveiště a potravu evzdálí více, ež jeho bezprostředí předchůdce. Kdyby toto tvrzeí eplatilo, tj. kdyby existovalo ějaké s τ, T takové, že y s = Y > Y y s, ( 1 1( utě by pak ( což by byl evidetě spor. v ( = ( ( <, y s = a současě dle (17 y s ( y s y s -1 p 1( s p ( s Posloupost { Y } = 1 je tedy erostoucí a zdola ohraičeá ulou, což zameá, že je kovergetí. 1/17

11 Buď yí k libovolé přirozeé číslo. S využitím erovosti (15 a faktu, že k je erostoucí fukce času, dostaeme, že pro každé t ( τ, T 1 k k platí v v ( ( ( ( (. k k k k k k k ( t δv δ (19 y t = ( y 1 t y t ( Y 1 y t = ( Y 1 y t k Řešeí počátečí úlohy pro lieárí difereciálí rovici = Y η, η( τ k = k δ ( η ( 1 pak vypadá ásledově ( t τ / (1 t Y 1( k δ η = e k ( 1. S přihlédutím k erovosti (19 dostaeme s použitím srovávací věty erovost ( t τ / ( ( 1( 1 k δ y t Y k e k, platou pro všecha t τ, T 1 k k. Dále tedy platí 1 (3 ( ( t τ / δ ( ( T / 1 1 k k τ δ Y Y k k e Y k e k 1 1. S využitím (13 tj. l v ( T τ = a skutečosti, že { l } = je erostoucí dostáváme erovost (viz expoet a pravé straě předchozího vztahu (3 (4 T l k 1 l τ T τ =. v v k 1 k k 1 k 1 Po dosazeí vztahu (4 do erovosti (3 tedy dostáváme (5 ( 1 l /( δv Y Y 1 e eboli při úplé idukci k, l δv (6 τ ( k Y = y ( Y Y 1 e = 1 e 1 /( k 1 /( k k k 1 1 l /( δv Poěvadž 1 e < 1 a současě lim k =, platí k l /( δv ( 1 e l δv ( k. 11/17

12 ( l /( δv e k lim 1 =. k Z erovosti (6 a z věty o třech posloupostech dostáváme limy k k =. Jelikož jsme vybrali posloupost { Y } k k= 1 z kovergetí poslouposti { Y } 1 =, platí limy =. Podobě by se dalo dokázat mi limy =. 1/17

13 3. SESTAVENÍ UPRAVENÉHO MODELU V předchozí kapitole jsem se zabývali modelem pohybu řady mraveců, vycházející z předpokladu, že každý mraveec sleduje svého předchůdce a míří přímo k ěmu. Nyí se budeme zabývat otázkou, akolik je teto předpoklad realistický. Budeme přitom předpokládat pouze to, že mraveec umí vímat každým z tykadel kocetraci ějakého feromou a podle rozdílu kocetrací feromou přijímaých jedotlivými tykadly měí směr svého pohybu. Zpřesěí v soustavě souřadé Nadefiujeme si souřadice hlavy mravece jako x= xt ( a y= yt (, a dále směrový úhel osy těla mravece ϑ= ϑ( t, viz ásledující obrázek. Obrázek mraveec v souřadé soustavě Stále budeme předpokládat pro jedoduchost kostatí rychlost pohybu mravece v, tj. vektor rychlosti vypadá ásledově v=(v cosϑ,v siϑ. Za krátký časový iterval t se poloha mravecovy hlavy změí o x= ( v cos ϑ t, y= ( vsi ϑ t. Dále budeme předpokládat, že mraveec měí směrový úhel osy těla v časovém itervalu t v závislosti a kocetracích feromou ClaCr přijatých levým a pravým tykadlem, tedy změa směrového úhlu osy těla je fukcí dvou proměých C l a C r tj. 13/17

14 (7 ϑ (, = F C C t, Limitím přechodem při t dostaeme model pohybu jedoho mravece ve tvaru l r (8 x v cos ϑ, y vsi ϑ, ϑ F( C, C = = =. l r Pro získáí kokrétího modelu, je zapotřebí blíže specifikovat fukci F. Budeme tedy předpokládat existeci ějaké imálí změy směru pohybu θ >, jíž je mraveec schope, tj. ϑ θ. Změa směru pohybu je přitom tím větší, čím je větší rozdíl C= Cl + Cr kocetrací feromou a kocích tykadel. V případě ulového rozdílu kocetrací se směr pohybu eměí, je-li a levém tykadle větší kocetrace feromou ež a pravém, tj. když C>, mraveec se otáčí v kladém smyslu, v opačém případě v záporém smyslu. Příklad fukce F, která splňuje uvedeé předpoklady je (9 F( Cl, Cr θ sg ( C f ( C =, přičemž fukce f :,, je eklesající, spojitá a splňuje podmíky (3 f ( =, lim f ( ξ = 1. Nejjedodušší fukce s těmito vlastostmi je ξ ξ (31 f ( ξ =, ξ + ρ kdeρ je kladá kostata. Pro staoveí F( C, C ϑ= tedy zbývá vyjádřit C l a C r. l r 14/17

15 Budiž se že zdroj feromou achází v bodě Z = [ x, y ] odkud se šíří do prostoru všemi směry, přičemž jeho kocetrace v bodě A bude epřímo úměrá druhé mociě vzdáleostí bodů A a Z. Kladou kostatu úměrosti závisející a kocetraci feromou ve zdroji a a vlastostech prostředí, ozačme jako c. Dále ozačme R l, resp. R r, vzdáleost bodu Z od koce levého, resp. pravého, tykadla. Platí tedy z Z c c c = = =. R R R R (3 Cl, Cr, C ( Rr Rl Dosazeím do (31 dostáváme: (33 f ( C l r l r crr Rl = cr R + ρr R r l l r Nechť δ ozačuje vzdáleost koce tykadla od středu hlavy (tj. délku tykadel a α π úhel svírající tykadlo s osou těla (viz obrázek ; patrě je δ >, < α <. Souřadice koce levého tykadla jsou potom ásledující (34 x + δ cos ( ϑ + α, y + δ si( ϑ + α, resp. souřadice koce pravého tykadla jsou (35 x+ δ cos ( ϑ α, y+ δ si( ϑ α Dále je uto vyjádřit vzdáleost R l, resp. R r, bodu Z [ x, y ] pravého, tykadla (36 R x x cos( resp.. = od levého, resp. Z z ( δ ϑ α ( y y δ si( ϑ α l Z Z (37 R x x cos( Odtud plye = + + +, ( δ ϑ α ( y y δ si( ϑ α r Z Z = +. 15/17

16 r l Z ( Z ( ( cos ( cos ( ( si ( si ( ( ( xz x ( yz y ( ( yz y ( xz x ( x x ( ( ( y y ( ( R R = δ cos ϑ α cos ϑ+ α δ si ϑ α si ϑ+ α + δ ϑ α ϑ α δ ϑ α ϑ α + + = = δ siϑ siα cosϑ siα = = 4δ siα cosϑ siϑ Při dosazeí předchozího rozdílu spolu s R l a R r tj. (36 a (37 do (33 dostáváme výsledý tvar fukce f. Spolu s fukcí f dosadíme do (9 i vztah ( Z Z ϑ (38 ( C = ( y y ϑ ( x x sg sg cos si Dostaeme vyjádřeí fukce F, které dosadíme do (8 a tím obdržíme výsledý model pohybu jedoho mravece. Teto model poměrě složitý, takže z ěho lze je obtížě získat ějaké aalytické výsledky. Lze ho ovšem řešit umericky a tím dostat tvar mravecovy cesty. To lze udělat v případě, že se bod Z epohybuje, tedy když x Z, y Z jsou kostaty a řešeý systém je autoomí, i v opačém případě, když x = x ( t, y = y ( t a systém eí autoomí. Je-li vzdáleost zdroje feromou a mravecovi hlavy příliš velká, přesěji řečeo, Z Z Z Z když cr R ρr R, pak porováím s (33 je vidět že f C. V takovém r l l r případě tedy můžeme model (8 ahradit jedoduchým systémem rovic (39 x = v cos ϑ, y = v si ϑ, ϑ =. Řešeím s počátečí podmíkou x( = x, y( = y, ϑ( = ϑ je ( = + cos ϑ, ( = si ϑ, ϑ( = ϑ. (4 xt x vt yt y t 16/17

17 Mraveec tedy a feromo ereaguje, ezměí směr a pohybuje se po přímce. To samo o sobě eí ějak překvapivý závěr. Upozorňuje ale a skutečost, že může být obtížé experimetálě rozhodout, zda vzdáleý mraveec ereaguje proto, že podět je atolik slabý, že ho ezachytil, ebo proto, že rozdíl podětů a kocích jedotlivých tykadel je příliš malý. LITERATURA [1] Spojité modely v biologii Josef Kalas, Zdeěk Pospíšil 17/17

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem) Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Kapitola 4 Euklidovské prostory

Kapitola 4 Euklidovské prostory Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci ... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí registračí číslo projektu: CZ07/500/098 IV- Iovace a zkvalitěí výuky směřující k rozvoji matematické gramotosti žáků středích škol ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.

( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N. .. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti

1 Základní pojmy a vlastnosti Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

1 Nekonečné řady s nezápornými členy

1 Nekonečné řady s nezápornými členy Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) = NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1 3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.

Více

O Jensenově nerovnosti

O Jensenově nerovnosti O Jeseově erovosti Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikovaé matematiky, Fakulta elektrotechiky a iformatiky, Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava Ostrava, 28.1. 2019 (ŠKOMAM 2019)

Více

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená. .7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) = Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův

Více

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n Jméo: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 8 0 30 Získáo [8 Uvažujte posloupost distribucí f } D R defiovaou jako f [δ kde δ a začí Diracovu distribuci v bodě a Najděte itu δ 0 + δ + této poslouposti aeb spočtěte

Více

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),

c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x), a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

3. cvičení - LS 2017

3. cvičení - LS 2017 3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a) fx) x 5x+4 4 x b) fx) x x +4x+ c) fx) 3x 9x+ x +6x 0 d) fx) x 7x+0 4 x. Řešeí a) Nulové body čitatele a jmeovatele

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

3. cvičení - LS 2017

3. cvičení - LS 2017 3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a fx x 5x+4 4 x b fx x x +4x+ c fx 3x 9x+ x +6x 0. Řešeí a Nulové body čitatele a jmeovatele jsou { 4}. Aby vše bylo

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

7. Analytická geometrie

7. Analytická geometrie 7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1 I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f

Více