Kmitání vynucené. kmitání při působení konstantní síly, harmonicky buzené kmitání amplitudová a fázová charakteristika.

Transkript

1 Kiání vynucené Osh přednášy : iání při půsoení onsnní síly, hronicy uzené iání pliudová fázová chrerisi Do sudi : si,5 hodiny Cíl přednášy : seznái sudeny se záoniosi vynuceného iání

2 Kiání vynucené D = B = v v, pohyová rovnice = i = D B + = v + && + & + = O vynucené iání luvíe ehdy, jesliže n ěleso půsoí, roě direční síly D luící síly B (n eré pohlížíe jo n vniřní síly), ješě nějá jiná, vnější, zv. udící síl. Dlší řešení je p závislé n o, zd o síl je onsnní neo proěnná, poud je proěnná, já je její závislos n čse (neo n jiné veličině). V oo učení eriálu udou řešeny dv přípdy : Konsnní vnější síl : = ons, Vnější síl hronicého průěhu : = sin(ω ).

3 iání při půsoení onsnní síly l Δl s l - volná dél sicá deforce rovnovážná poloh G Ds y Nejprve proeree iání při půsoení onsnní síly =ons. Touo onsnní silou ývá nejčsěji íhová síl G, o vš jisě není podínou. Nejprve se seznáíe s dlší důležiý prere pružiny. Kroě uhosi je o dále zv. volná dél l. Je o dél nezížené pružiny. Vlive onsnní síly (npř. íhové) se pružin prodlouží o zv. sicou deforci (neo é sicé předpěí) : G Δl s = Sousv se usálí v zv. rovnovážné poloze, v níž je íhová síl v rovnováze s direční silou (nědy luvíe o sicé čási direční síly). G = D _ s = Δl s V rovnovážné poloze je počáe souřdného syséu (y=). Jesliže ěleso z rovnovážné polohy vychýlíe (y>), direční síl již není v rovnováze s íhovou silou. Můžee psá pohyovou rovnici : = i

4 iání při půsoení onsnní síly l Δl s l - volná dél sicá deforce rovnovážná poloh Ds Ddyn Δl s y Pohyová rovnice : = i = G Δl cel D _ cel = G Δl cel ( Δl y) = G + s = G Δl s y Ds & y + y = G Δl s Ddyn = G G

5 iání při půsoení onsnní síly l Δl s l - volná dél sicá deforce rovnovážná poloh G Ds Ddyn G Δl s y Pohyová rovnice : = i = G D _ cel = G Δl cel ( Δl y) = G + s = G Δl s y Ds Ddyn & y + y = G Δl s = Připoenee-li si řešení rovnovážné polohy : G D = Δl = _ s Sndno nhlédnee, že prvá srn pohyové rovnice je rovn nule : & y + y = Řešení éo pohyové rovnice je v plné rozshu shodné s řešení vlsního iání ez půsoení jéoliv vnější síly (viz předchozí přednáš). s

6 iání při půsoení onsnní síly l Δl s l - volná dél sicá deforce rovnovážná poloh G Ds Ddyn G y Shrnuí : Soné iání, edy jeho frevenci, pliudu fázový posuv, řešíe jo y o onsnní síl nepůsoil. Ovše rovnovážná poloh je dán nioliv volnou délou pružiny, le sicou deforcí. Počáe souřdného syséu (y=) je v rovnovážné poloze, dné sicou deforcí (sicý předpěí). Z ohoo pohledu je logičější řdi eno přípd iání spíš vlsníu iání než vynucenéu iání. Chcee-li řeši náhání, edy jou celovou silou je pružin npínán (npř. vůli dienzování), usíe uvžov oě složy zížení - sicou i dynicou. Nědy luvíe o superpozici sicého dynicého zížení. D _ cel = D _ s + D _ cel D _ cel = Δl s = G + y D _ dyn + y () ()

7 hronicy proěnná udící síl D = B = v v, Při řešení hronicy uzeného iání je ře veli přesně ( přísně) rozlišov frevenční prery vlsního iání udící síly. Ω - vlsní ruhová frevence Ω = [s - ] f - vlsní frevence [Hz] Ω = π f Poče iů (vlsního iání) z seundu. T - vlsní period [s] π T = = Do f Ω jednoho iu. = sin(ω ) Hronicy proěnná síl je chrerizován pliudou frevencí. yo prery se zásdně nesí ezi seou zěňov T - pliud udící síly [N] ω - ruhová frevence udící síly (udící ruhová frevence) [s - ] f - frevence udící síly (udící frevence) [Hz] ω Poče zěn udící síly f = z ldné n zápornou π opčně z seundu. T - period udící síly [s] π T = = Do jedné zěny f ω udící síly. T

8 hronicy proěnná udící síl D = = sin(ω ) T T - pliud udící síly [N] B = v ω - ruhová frevence udící síly v, && + & + = ( ) (udící ruhová frevence) [s - ] sin ω Pohyová rovnice je nehoogenní (nenulová prvá srn). Řešení hledáe jo superpozici řešení hoogenního (nulová prvá srn) priulárního (odráží nenulovou prvou srnu). hoogenní řešení ho && + & + = δ = C e sin ( Ω + φ ) Ω - vlsní ruhová frevence Ω = δ = hoogenní řešení T π Ω Ω = Ω δ inegrční onsny C φ se určí z počáečních podíne

9 hronicy proěnná udící síl D = = sin(ω ) T T - pliud udící síly [N] B = v ω - ruhová frevence udící síly v, && + & + = ( ) (udící ruhová frevence) [s - ] sin ω Pohyová rovnice je nehoogenní (nenulová prvá srn). Řešení hledáe jo superpozici řešení hoogenního (nulová prvá srn) priulárního (odráží nenulovou prvou srnu). priulární řešení = sin ω φ pr ω - ruhová frevence udící síly priulární řešení T π ω ( ) pliud fázový posuv φ priulárního řešení udou disuovány dále

10 hronicy proěnná udící síl D = = sin(ω ) T T - pliud udící síly [N] B = v ω - ruhová frevence udící síly v, && + & + = ( ) (udící ruhová frevence) [s - ] sin ω Pohyová rovnice je nehoogenní (nenulová prvá srn). Řešení hledáe jo superpozici řešení hoogenního (nulová prvá srn) priulárního (odráží nenulovou prvou srnu). hoogenní řešení ho && + & + = δ = C e sin ( Ω + φ ) priulární řešení = sin ω φ pr ( ) δ () = ho + pr = C e sin( Ω + φ ) + sin( ω φ) hoogenní řešení výsledné řešení priulární řešení

11 hronicy proěnná udící síl D = = sin(ω ) T T - pliud udící síly [N] B = v ω - ruhová frevence udící síly v, && + & + = ( ) (udící ruhová frevence) [s - ] sin ω Průěh výchyly v čse vyzuje dv odlišné úsey. V první úseu je průěh suečně superpozicí oou čásí řešení - hoogenní i priulární. Jde o složiý průěh erý je souče dvou hronicých průěhů o různých frevencích. Touo úseu říáe přechodový děj. Vlsní iání (hoogenní řešení) je vždy luené. Proo po odeznění vlsního iání je dlší průěh popsán již pouze priulární řešení. Touo úseu říáe usálený sv. δ () = ho + pr = C e sin( Ω + φ ) + sin( ω φ) hoogenní řešení výsledné řešení priulární řešení přechodový děj usálený sv

12 hronicy proěnná udící síl D = = sin(ω ) T T - pliud udící síly [N] B = v ω - ruhová frevence udící síly v, && + & + = ( ) (udící ruhová frevence) [s - ] sin ω Budee-li se dále zýv již pouze usálený sve, udee hled prery priulárního řešení - pliudu fázový posuv φ. Zde je ře upozorni n čsou chyu sudenů. Ani pliud ni fázový posuv φ nejsou inegrční onsny jejich velios se neurčí z počáečních podíne. Priulární řešení jeho derivce usí splňov pohyovou rovnici. () = sin( ω φ) =? =? & () = ω cos( ω φ) ( Ω ) ( ) ω + δ ω && () = ω sin( ω φ) δ ω φ = rcn φ 8, =, π Ω ω Pozná fázovéu posuvu : Čiel ve výrzu pro fázový posuv je vždy ldný. Jenovel ůže ý ldný neo záporný. To znená že fázový posuv je vždy v I. neo II. vdrnu. Kldný jenovel - I. vdrn, φ,9º, záporný jenovel - II. vdrn, φ 9º,8º.

13 hronicy proěnná udící síl D = = sin(ω ) T T B = v ( ω ) && + & + = sin = sin ω φ () ( ) δ ω φ = rcn Ω ω, ( Ω ω ) + ( δ ω) Δ = φ ω T π ω () () - pliud udící síly [N] ω - ruhová frevence udící síly v, (udící ruhová frevence) [s - ] yziální význ prerů iání : Apliud - iální výchyl. ázový posuv φ : J průěh (), průěh (), jsou hronicé průěhy se sejnou ruhovou frevencí ω periodou T. Průěh výchyly vš je poněud opožděn z průěhe síly. Výchyl doshuje svého i o něco později, než síl. Too čsové zpoždění Δ je právě dáno fázový posuve. φ Δ = [rd] ω rd odezv = (8/π)º udící síl [s] 57,3º

14 hronicy proěnná udící síl D = = sin(ω ) T T B = v ( ω ) && + & + = sin = sin ω φ () ( ) δ ω φ = rcn Ω ω ( Ω ω ) + ( δ ω) v, - pliud udící síly [N] ω - ruhová frevence udící síly (udící ruhová frevence) [s - ] = s sicá deforce ( η ) + ( ξ η) ξ η φ = rcn η Pro dlší řešení je užiečné definov dv ezrozěrné prery : ω Budící ruhovou frevenci resp. onsnu η = činiel nldění {é} Ω doznívání p ůžee vyjádři jo : ω = η Ω δ = ξ Ω de Ω δ = ξ = poěrný úlu {sí} Ω Výrzy pro pliudu fázový posuv p (nědy ývá éž oznčován r ) ůžee psá v lernivní vru.

15 hronicy proěnná udící síl D = = sin(ω ) T T B = v ( ω ) && + & + = sin = sin ω φ () ( ) δ ω φ = rcn Ω ω ( Ω ω ) + ( δ ω) v, - pliud udící síly [N] ω - ruhová frevence udící síly (udící ruhová frevence) [s - ] ξ η φ = rcn η ( η ) + ( ξ η) Řešení pro zv. neluené iání - δ, ξ (přesněji álo luené iání - δ<<ω, ξ<<). Ω η ω Výchyl á sejnou fázi jo síl, iu výchyly φ = je-li ω < Ω η < je ve sejné ožiu jo iu síly. neo Výchyl á opčnou fázi než síl, iu výchyly φ = π = 8 je-li ω > Ω η > je ve sejné ožiu jo iu síly le v opčné sěru (ěleso iá v proifázi proi síle).

16 hronicy proěnná udící síl D = = sin(ω ) T T B = v ( ω ) && + & + = sin = sin ω φ () ( ) δ ω φ = rcn Ω ω ( Ω ω ) + ( δ ω) v, - pliud udící síly [N] ω - ruhová frevence udící síly (udící ruhová frevence) [s - ] ξ η φ = rcn η ( η ) + ( ξ η) Řešení pro zv. neluené iání - δ, ξ (přesněji álo luené iání - δ<<ω, ξ<<). Výchyl á sejnou fázi jo síl, iu výchyly je ve sejné ožiu jo iu síly. Výchyl á opčnou fázi než síl, iu výchyly je ve sejné ožiu jo iu síly le v opčné sěru (ěleso iá v proifázi proi síle).

17 hronicy proěnná udící síl D = = sin(ω ) T T B = v ( ω ) && + & + = sin = sin ω φ () ( ) δ ω φ = rcn Ω ω ( Ω ω ) + ( δ ω) v, - pliud udící síly [N] ω - ruhová frevence udící síly (udící ruhová frevence) [s - ] ξ η φ = rcn η ( η ) + ( ξ η) Řešení pro zv. neluené iání - δ, ξ (přesněji álo luené iání - δ<<ω, ξ<<). Ω η ω Alernivní vyjádření pliudy nelueného iání. φ = ázový posuv je z všech oolnosí nulový, v proifázi (ω>ω, η>) je pliud záporná.

18 pliudová fázová chrerisi Veli užiečná pro hluší porozuění hronicy uzenéu iání je nlýz přenosových vlsnosí sousvy, edy závislosi prerů iání (pliud fázový posuv) n prerech udící síly (pliud frevence). () = sin( ω ) () = sin( ω φ), ω, φ = ( Ω ω ) + ( δ ω) δ ω φ = rcn Ω ω Závislos n pliudě udící síly je riviální. Apliud výchyly je přío úěrná pliudě udící síly. ázový posuv φ n pliudě udící síly vůec nezávisí. Těio závislosi se edy neudee dále zýv. Hluší pozornos věnujee závislosi pliudy fázového posuvu φ vynuceného iání n frevenci, resp. ruhové frevenci udící síly ω neo n činieli nldění η. Tyo závislosi se nzývjí pliudová fázová chrerisi.

19 pliudová fázová chrerisi pliudová chrerisi ( ω) ( η) ( Ω ω ) + ( δ ω) ( η ) + ( ξ η) proěnná proěnná Závislos pliudy iání n udící ruhové frevenci ω, resp. n činieli nldění η se vyznčuje řei zjívýi ody.. ω=, η=. Apliud je rovn zv. sicé deforci. ( η= ) = = s s δ= δ> 3.. ω Ω, η. Tzv. resonnce. Apliud nývá eréně vysoých hodno. Pro neluené iání (δ=) doonce při ω=ω, η=, nrůsá nde všechny eze ( ). Pro luené iání (δ>) nývá pliud onečných, vš znčně vysoých hodno. η η res η = ω Ω ω = η Ω.. resonnce 3. ω>>ω, η>>. Lii výrzu pro (η ). Pro znčně vysoou udící frevenci (ve srovnání s vlsní frevencí) lesá pliud nule.

20 pliudová fázová chrerisi pliudová chrerisi ( ) ( )! ω Ω ( ) ω + δ ω ( η) η + ξ η s δ= δ> ( ) ( ) η η res η = ω Ω ω = η Ω. resonnce. ω Ω, η. Tzv. resonnce. Nsává je-li udící frevence svou hodnoou lízá vlsní frevenci. Apliud nývá eréně vysoých hodno. Pro neluené iání (δ=) doonce při ω=ω, η=, nrůsá nde všechny eze ( ). Pro luené iání (δ>) nývá pliud onečných, vš znčně vysoých hodno. Miu pliudové chrerisiy nsává při zv. resonnční nldění : ηres = ξ Tedy poněud (ne příliš) η<, ω<ω. Miu se od nldění η= posouvá írně vlevo (více s nrůsjící luení). Too posunuí vš není příliš význné. Hodno resonnční pliudy (iu pliudové chrerisiy) p je : s _ res = ξ ξ

21 pliudová fázová chrerisi pliudová chrerisi ( ω) ( η) δ= δ> ( Ω ω ) + ( δ ω) ( η ) + ( ξ η). ω Ω, η. Tzv. resonnce. Resonnce je veli důležiý jev. Nsává ehdy, dyž udící frevence je číselně lízá vlsní frevenci. Projevuje se znčně vysoou pliudou iání o i při poěrně lé síle. Resonnce je jev ovyle negivní, proože virce jsou věšinou u echnicých zřízení nežádoucí. s η η res η = ω Ω Ve výjiečných přípdech, de nop chcee dosáhnou vircí (npř. virční řídič sypého eriálu), je resonnce jev poziivní, neoť uožňuje i při lé příonu dosáhnou znčné pliudy.. resonnce ω = η Ω

22 pliudová fázová chrerisi fázová chrerisi δ ω φ( ω ) = rcn Ω ω φ η ξ η = rcn η ( ) φ 8º δ= δ> 9º ázová chrerisi je éně důležiá, é éně zjívá, než pliudová chrerisi. Pro neluené iání (δ=) se průěh ění soe s nespojiosí v odě η=. Je-li : ω < Ω, η <, p φ =, je-li nop : ω > Ω, η >, p φ = 8º = π rd. U lueného iání (δ>) á průěh podoný chrer, je vš hldý, nioliv soový. V odě η= prochází hodnoou φ=π/=9º. η η = ω Ω ω = η Ω

23 Osh přednášy : iání při půsoení onsnní síly, hronicy uzené iání pliudová fázová chrerisi