VI. Nevlastní integrály

Transkript

1 VI. Nevlsní inegrály Obsh 1 Inegrál jko funke horní meze 2 2 Nevlsní inegrály Nevlsníinegrályvlivemmeze Nevlsníinegrályvlivemfunke Výpočeneurčiýhinegrálů Nevlsníinegrályvlivemmeze Nevlsníinegrályvlivemfunke Zobenění Geomerikáinerpreenevlsníhinegrálů Poznámky... 5

2 Nevlsní inegrály funke jedné proměnné jsou zobeněním Riemnnov inegrálu. V přípdě Riemnnov inegrálu poždujeme, by funke i inervl, n kerém inegrujeme, byly omezené. V pri všk čso pořebujeme počí i kové inegrály, kde buď funke nebo inervl nejsou omezené. Před definií nevlsníh inegrálů pořebujeme zvés ješě jeden pojem o inegrál jko funke horní/dolní meze. 1 Inegrál jko funke horní meze Předpokládejme,žefunke f R<,b >.Zdiiviyinegráluplyne,žeprovšehn <,b > eisuje inegrál fd Tenourčiýinegrálječíslo,kerézávisínvolbě,ožznmená,žeinegrál fdjefunkí, j. funkí horní meze. Lze edy definov funki F= fd <,b >. Definie1.1 Nehť funke f je inegrovelná n inervlu <,b >. Poom se funke F = fddefinovnáprovšehn <,b >nzýváfunkehornímezeinegrálufunke f nebo kéříkáme,žeinegrál fdjefunkíhornímeze. Poznámk:Anlogikylzedefinovfunki G= fdpro <,b >,zn.povžovinerál fdzfunkidolnímeze. Vě1.1 Je-lifunke finegrovelnánezápornáninervlu <,b >,poomjefunke F neklesjíín <,b >. Vě 1.2Vlsnosi inegrálu jko funke horní meze Nehť je funke f inegrovelná n inervlu <,b >.Poomprofunki F= fdplí: 1. Funke F jespojián <,b >. 2. Vkždémbodě 0 <,b >,vněmžejefunke fspojiá,máfunke Fvlsníderiviplí [ F d ] 0 =f 0 neboli fd = f 0 d = 0 v krjníh bodeh inervlu uvžujeme příslušné jednosrnné derive. 3. Je-lifunke fspojián <,b >,pkfunke F jeprimiivníkfunki fn <,b >. 2 Nevlsní inegrály Nevlsní inegrály definujeme jko iy určiýh inegrálů s proměnnou mezíhorní nebo dolní. Eisuje-li příslušná vlsní i, říkáme, že nevlsní inegrál konvergujeeisuje, v opčném přípdě říkáme, že diverguje. O nevlsníh inegráleh edy hovoříme v následujííh přípdeh: Je-li, b neomezený, j. lespoň jeden krjní bod ohoo inervlu je nevlsní číslo. Je-lifunke fn,bneomezená. Definie2.1 Řekneme,žebod R,kde b,jesingulárnímbodeminegrefunke f n inervlu,b,je-libuď = nebo =neboje-lifunke fnkždémokolíbodu neomezená. Poznámk: Dále budeme předpoklád, že singulárníh bodů je konečný poče že funke f je n kždém uzvřeném inervlu neobshujíím singulární bod inegrovelná. Rozlišujeme dv zákldní ypy nevlsníh inegrálů: nevlsní inegrály vlivem meze nevlsní inegrály vlivem funke. 2

3 2.1 Nevlsní inegrály vlivem meze Definie2.2 Nehťjefunke fdefinovnán <, nehť, eisujeinegrál fd. Jesliže eisuje vlsní i fd, 1 pkříkáme,ženevlsníinegrál fdkonvergujeeisuje.eisuje-linevlsníinegrál,pk ho definujeme vzhem fd. Je-li i1 nevlsní nebo neeisuje, říkáme, že nevlsní inegrál diverguje. Definie2.3 Nehť je funke f definovná n,b > nehť,b eisuje inegrál fd.jesližeeisujevlsníi fd, 2 pkříkáme,ženevlsníinegrál fdkonvergujeeisuje.eisuje-linevlsníinegrál,pk ho definujeme vzhem fd. Je-li i2 nevlsní nebo neeisuje, říkáme, že nevlsní inegrál diverguje. Definie 2.4 Nehť je funke f definovná n, nehť konvergují nevlsní inegrály fd 3 fd 4, kde R.Pkříkáme,ženevlsníinegrál fdkonvergujeeisujedefinujemehovzhem fd+ fd, R. Diverguje-lispoňjedenzinegrálů34,pkříkáme,ženevlsníinegrál fddiverguje. 2.2 Nevlsní inegrály vlivem funke Definie2.5 Nehťjefunke fdefinovnánomezenéminervlu <,bneníomezenánžádném levémokolíbodu b,přičemžprokždé <,beisujeinegrál fd.jesližeeisujevlsní i fd, 5 b pkříkáme,ženevlsníinegrál fdkonvergujeeisuje.eisuje-linevlsníinegrál,pkho definujeme vzhem fd. b Je-li i5 nevlsní nebo neeisuje, říkáme, že nevlsní inegrál diverguje. Definie2.6 Nehťjefunke fdefinovnánomezenéminervlu,b >,neníomezenánžádném prvémokolíbodu nehťprokždé,b >eisujeinegrál fd.jesližeeisujevlsní i b fd, 6 + pkříkáme,ženevlsníinegrál fdkonvergujeeisuje.eisuje-linevlsníinegrál,pkho definujeme vzhem fd. + Je-li i5 nevlsní nebo neeisuje, říkáme, že nevlsní inegrál diverguje. 3

4 Definie2.7 Nehťjefunke fdefinovnánomezenéminervlu <,b >,neníomezenánžádném okolíbodu,bnehťkonvergujínevlsníinegrály fd 7 fd 8. Pkříkáme,ženevlsníinegrál fdkonvergujeeisujedefinujemehovzhem fd+ fd. Diverguje-lilespoňjedenzinegrálů78,pkříkáme,ženevlsníinegrál fddiverguje. 2.3 Výpoče neurčiýh inegrálů Jesliže známe primiivní funki F k funki f n uzvřeném inervlu neobshujíím singulární body inegre,můžemenevlsníinegrál fdpočípomoímodifikovnéholeibniz-newonov vzore Nevlsní inegrály vlivem meze fd = [F] = F F = F F fd = [F] b = Fb F = Fb F = fd+ F F Nevlsní inegrály vlivem funke Nehť fneníomezenánžádnémokolíbodu b: b Nehť fneníomezenánžádnémokolíbodu : + Fu F u fd+ u u = Fu F u [F] b = F F = F F b b [F] b + = Fb F = Fb F + + Nehť fneníomezenánžádnémokolíbodu,b: = F F fd+ + Fb Fu u + = Fb+ fd+ u + u u F Fu F + 4

5 2.4 Zobenění Uvžujme funki f inervl, b s víe singulárními body inegre. Rozdělme inervl, b pomoíbodů = 0 < 1 < 2 < < n 1 < n = bk,bykždýzinegrálů i i 1 fd i=1,... n obshovl jen jeden singulární bod inegre. Poomříkáme,ženevlsníinegrál fdkonverguje,jesližekonvergujívšehnyinegrály. V omo přípdě pk definujeme n i=1 i i 1 fd Jesliželespoňjedenzinegrálů diverguje,pkříkáme,ženevlsníinegrál fddiverguje. 2.5 Geomeriká inerpree nevlsníh inegrálů Je-li funke f nezáporná n inervlu, b, můžeme nevlsní inegrálpokud konverguje háp jko obsh příslušného neomezeného rovinného obrze M, kde 2.6 Poznámky M= {,y R 2 ;,b,0 y f}. Konvergenní nevlsní inegrály mjí sejné zákldní vlsnosi jko vlsní inegrály, j. plí pro ně npř. vě o lineriě, monoonii nebo diiviě. Eisuje elá řd kriérií konvergene nevlsníh inegrálů, j. podmínek, z kerýh nevlsní inegrály konvergujíviz npř. Rekorys: Přehled užié memiky. 5