Řešení radiační soustavy rovnic

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Řešení radiační soustavy rovnic"

Erik Černý
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Řešení radační soustavy rovnc Josef Pelkán KSVI MFF UK Praha e-mal: WWW: NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 1

2 Soustava lneárních rovnc N j j j= 1 B ρ B F = E = 1.. N 1 ρ 1F 11, ρ 1F 1, 2.. ρ 1F 1, ρ 2F2, 1 1 ρ 2F2, 2.. ρ 2F2, ρ F 1 ρ F ρ F N N B1 E B2 E =.... B E N N, N N, N N, N N N vektor neznámých [B ] 1 2 NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 2

3 Velčny B.. neznámé radosty jednotlvých plošek př barevném výpočtu je třeba spočítat radosty pro všechny požadované vlnové délky (barevné složky - např. R,G,B) E.. vlastní (emtované) radosty (R,G,B) ρ.. faktory odrazvost materálu (R,G,B) F j.. kon gurační faktory závslé pouze na geometr scény NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 3

4 Vlastnost matce soustavy M matce M je poměrně řídká pro složtější scény M je dagonálně domnantní a dobře podmíněná lze j úspěšně řešt teračním metodam (Jacob, Gauss- Sedel) N ρ Fj 1 j= 1 j ρ F NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 4

5 Gauss-Sedelova metoda Matcový tvar soustavy: První odhad: Krok: Výpočet v prax: B ( 0 ) = E [ ] M B = E M = M j j B NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 5 N, = 1 1 N ( k+ 1) E M M M B M j ( k+ ) j j M B ( k) = 1 j j= 1 j= + 1 N j j j= 1 B = E + ρ B F = 1.. N

6 Fyzkální nterpretace (sbírání) B j B j j j B = E + ρ B F NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 6

7 Rezduum Rezduum (odhad chyby) k-té terace: ( k) ( k) r = E M B V jednom kroku výpočtu se aktualzuje jedna složka vektoru řešení B : B ( k+ 1) ( k) = B + r ( k) M (Jacobho metoda.. rezdua se opravují po dokončení terace, Gauss-Sedel.. oprava po každém kroku) NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 7

8 Southwellova terační metoda Jacobho Gauss-Sedelova metoda v každém kroku výpočtu vynulují jednu složku rezdua (na úkor ostatních!) složky se aktualzují v pořadí 1, 2,... N Southwellova metoda vybírá k aktualzac vždy složku s největší absolutní hodnotou rezdua složky s velkou chybou se opravují častěj rychlejší konvergence vektoru řešení NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 8

9 Southwellova terační metoda ➊ výběr složky s maxmálním rezduem: r = max j { r j } ➋ aktualzace -té složky řešení B ➌ aktualzace vektoru rezduí r ➍ kroky ➊ až ➌ se opakují, dokud soustava nesplňuje konvergenční krterum NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 9

10 Inkrementální výpočet rezdua Aktualzace vektoru řešení v jednom kroku výpočtu: Oprava rezdua: ( p+ 1) ( p) ( p) B = B + B ( ) ( p+ 1) ( p) ( p) ( p) ( p) r = E M B + B = r M B Protože se změnla pouze -tá složka vektoru řešení: ( p+ 1) ( p) ( p) r r M r j = j j j = M 1.. N NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 10

11 Southwellův algortmus double B[N], E[N], r[n], M[N][N]; // ncalzace řešení a rezdua for ( nt =0; <N; ++ ) { B[] := 0.0; r[] := E[]; } whle ( nezkonvergovalo ) { // jeden krok výpočtu: výběr tak, aby fabs(r[])== max(fabs(r[])) double delta = r[]/m[][]; B[] += delta; for ( nt j=0; j<n; j++ ) r[j] -= M[j][]*delta; } NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 11

12 Fyzkální nterpretace (střílení) B.. radosta -té plošky (přímá nepřímá) jeden krok výpočtu.. rozdělení (výstřel) radosty z -té plošky do okolí r.. dosud nevystřelená radosta -té plošky konvergence metody.. celková nevystřelená energe ve scéně se zmenšuje NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 12

13 Fyzkální nterpretace (střílení) ( p+ 1) ( p) ( p) j j B = B + r ρ F j j B j B NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 13

14 Celková nevystřelená energe Podle recpročního pravdla pro kon gurační faktory: ( p + 1) ( p) ( p) ( p) ( p) j j j j j j j j r = r + ρ F r = r + ρ F A A r Dstrbuce energe v jednom kroku výpočtu: r ( p+ 1) A = 0 <1 ( p+ 1) ( p) ( p) j j j j j j r A = r A + ρ F r A j = 1.. N NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 14

15 Progresvní radační metoda M. Cohen a spol., SIGGRAPH 88 nteraktvní výpočet osvětlení po každém kroku se nakreslí průběžný výsledek snaha dobře odhadnout řešení jž v několka prvních krocích mod kace Southwellovy metody výběr plošky s největší dosud nevystřelenou energí použtí okolní složky osvětlení NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 15

16 Progresvní radační metoda double B[N], E[N], db[n], F[N][N], A[N], ro[n]; for ( nt =0; <N; ++ ) { // ncalzace B, db B[] := E[]; db[] := E[]; } whle ( nezkonvergovalo ) { // jeden krok výpočtu výběr tak, aby db[]*a[]== max(db[]*a[]) for ( nt j=0; j<n; j++ ) { double drad = db[]*ro[j]*f[j][]; B[j] += drad; db[j] += drad; } db[] = 0.0; zobrazení mezvýsledku pomocí radost B[] } NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 16

17 Okolní složka ( ambent term ) vylepšení vzhledu průběžně kreslených mezvýsledků aproxmace dosud nespočítaných odrazů světla Celková dosud nevystřelená radosta: B = r A A NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 17

18 Okolní složka Průměrný koe cent odrazu: ρ = ρ A A Odhad zbytkové (okolní) radosty: ( 2 1 ρ ρ...) Bamb = B = B 1 ρ Pro zobrazení se radosta každé plošky upraví: dsp B = B + ρ B amb NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 18

19 Hyper-relaxace urychlení konvergence terační metody (Jacob, Gauss-Sedel, progresvní radační metoda) př aktualzac rozdělím/seberu o trochu větší množství energe předpovídám budoucí vývoj konvergence pozor na přílš velký koe cent hyper-relaxace (metoda pak už nemusí konvergovat)! je nutné počítat se záporným rezduem! NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 19

20 Hyper-relaxace Krok výpočtu s hyper-relaxací: B ( k + 1) ( k) = B + ω Hyper-relaxační koe cent: r ( k) M ω 1 ( napø. 1. 2) Příslušná složka rezdua se jž nenuluje, ale bude mít hodnotu: r ( k + 1) ( ) ( k) = 1 ω r NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 20

21 Přestřelování ( overshootng ) M. Feda, W. Purgathofer, 1992 př hyper-relaxac beru v úvahu množství dosud nevystřelené energe v prvních fázích výpočtu přestřeluj více, pozděj jž méně jstější konvergence NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 21

22 Lteratura M. Cohen, J. Wallace: Radosty and Realstc Image Synthess, Academc Press, 1993, (chyby!) M. Cohen, S. E. Chen, J. R. Wallace, D. P. Greenberg: A progressve re nement approach to fast radosty mage generaton, SIGGRAPH 88, NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 22

23 Konec Další nformace: A. Glassner: Prncples of Dgtal Image Synthess, Morgan Kaufmann, 1995, J. Foley, A. van Dam, S. Fener, J. Hughes: Computer Graphcs, Prncples and Practce, M. Feda, W. Purgathofer: Acceleratng radosty by overshootng, The Thrd EG Workshop on Renderng, Brstol, 1992, NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, 23

Podobné dokumenty

Řešení radiační soustavy rovnic

Řešení radiační soustavy rovnic Řešení radační soustavy rovnc 1996-2016 Josef Pelkán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cun.cz http://cgg.mff.cun.cz/~pepca/ RadSoluton 2016 Josef Pelkán, http://cgg.ms.mff.cun.cz/~pepca 1 / 23 Soustava lneárních