Počítačová grafika III Monte Carlo integrování Přímé osvětlení. Jaroslav Křivánek, MFF UK
|
|
|
- Gabriela Kučerová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Počítačová grafka III Monte Carlo ntegrování Přímé osvětlení Jaroslav Křvánek, MFF UK
2 Renderng = Integrování funkcí L r ( x, o H ( x L ( x, f r ( x, cos d o Příchozí radance L (x, pro jeden bod na podlaze. Problémy Nespojtost ntegradu (vdtelnost Téměř lbovolné hodnoty ntegrandu (dstrbuce světla, BRDF Složtá geometre PG III (NPGR010 - J. Křvánek
3 Hstore Monte Carlo (MC Vývoj atomové bomby, Los Alamos 1940, John von Neumann, Stanslav Ulam, Ncholas Metropols Rozvoj a aplkace metod od roku 1949 PG III (NPGR010 - J. Křvánek
4 Metoda Monte Carlo Smuluje se mnoho případů daného děje, například: Neutrony vznk, zánk, srážky s atomy vodíku Úlohy hromadné obsluhy chování počítačových sítí, dopravní stuace Socologcké a ekonomcké modely demografe, vývoj nflace, pojšťovnctví atd. PG III (NPGR010 - J. Křvánek
5 Slde credt: Iwan Kawrakov PG III (NPGR010 - J. Křvánek
6 Slde credt: Iwan Kawrakov PG III (NPGR010 - J. Křvánek
7 Šum v obrázcích PG III (NPGR010 - J. Křvánek
8 Odbočka Kvadraturní vzorce pro numercké ntegrování Obecný předps v 1D: Iˆ n 1 w f ( x f n x ntegrand (tj. ntegrovaná funkce řád kvadratury (tj. počet vzorků ntegrandu uzlové body (tj. umístění vzorků v oboru ntegrálu f(x vzorky ntegrandu w váhy PG III (NPGR010 - J. Křvánek
9 Odbočka Kvadraturní vzorce pro numercké ntegrování Kvadraturní pravdla se lší volbou uzlových bodů x a váham w Obdélníková metoda, Rovnoběžníková metoda, Smpsonova metoda, Gaussovská kvadratura, Vzorky na ntegračním oboru (tj. uzlové body jsou rozmístěny determnstcky Jednoznačně určeny kvadraturním pravdlem PG III (NPGR010 - J. Křvánek
10 Kvadraturní vzorce pro více dmenzí Obecný předps pro ntegrování fcí více proměnných: Iˆ n n n s w w... w f ( x s, x,..., x s Rychlost konvergence pro s-dmenzonální ntegrál je O(N -1/s Např. pro dvojnásobné zpřesnění odhadu 3-rozměrného ntegrálu musíme zvýšt počet vzorků 2 3 = 8 krát Nepoužtelné pro vysokodmenzonální ntegrály Dmenzonální exploze PG III (NPGR010 - J. Křvánek
11 Kvadraturní vzorce pro více dmenzí Kvadraturní vzorce V 1D lepší přesnost než Monte Carlo Ve 2D srovnatelné s MC Od 3D bude MC téměř vždy lepší Kvadraturní metody NEJSOU metody Monte Carlo! PG III (NPGR010 - J. Křvánek
12 Monte Carlo ntegrování Obecný nástroj k numerckému odhadu určtých ntegrálů f(x p(x Integrál: I 1 N I N 1 f ( x dx Monte Carlo odhad I: f ( ; p( p( x V průměru to funguje: E[ I ] PG III (NPGR010 - J. Křvánek I
13 Monte Carlo ntegrování Vzorky jsou rozmístěny náhodně (nebo pseudonáhodně Konvergence: O(N -1/2 Konvergence nezávsí na dmenzonaltě Rychlejší než klascké kvadraturní vzorce pro 3 a více dmenzí Specální metody pro rozmístění vzorků Quas-Monte Carlo, Randomzed quas-monte Carlo Ještě rychlejší konvergence než MC PG III (NPGR010 - J. Křvánek
14 Monte Carlo ntegrování shrnutí Výhody Jednoduchá mplementace Robustní řešení pro různé tvary domén a ntegrantů Efektvní pro vícerozměrné ntegrály Nevýhody Relatvně pomalá konvergence zmenšení statstcké chyby o polovnu vyžaduje zvětšt počet vzorků čtyřkrát Pro syntézu obrazu: obrázek obsahuje šum PG III (NPGR010 - J. Křvánek
15 The MC method: applcatons Fnancal market smulatons Traffc flow smulatons Envronmental scences Partcle physcs Quantum feld theory Astrophyscs Molecular modelng Semconductor devces Optmzaton problems Lght transport calculatons... PG III (NPGR010 - J. Křvánek
16 Náhodné velčny
17 Náhodná velčna X náhodná velčna X nabývá různých hodnot s různou pravděpodobností X p(x Rozložení pravděpodobnost PG III (NPGR010 - J. Křvánek
18 Dskrétní náhodná velčna Konečná množna hodnot x Pravděpodobnostní funkce (probablty mass functon S pravděpodobností p p Pr( X x 0 n 1 p 1 p x Dstrbuční funkce (cumulatve dstrbuton functon 1 P Dstrbuční funkce P X x Pr p 1 j1 j P n PG III (NPGR010 - J. Křvánek x
19 Spojtá náhodná velčna Hustota pravděpodobnost p(x (probablty densty functon, pdf V 1d: Pr X D p( x dx D Pr a X b b a p( t dt PG III (NPGR010 - J. Křvánek
20 Spojtá náhodná velčna Dstrbuční funkce P(x (cumulatve dstrbuton functon, cdf V 1d: P( x Pr x X x p( t dt Pr X a p( t dt 0! a a PG III (NPGR010 - J. Křvánek
21 Spojtá náhodná velčna Př. Rovnoměrné rozdělení (unform dstrbuton Hustota pravděpodobnost (pdf Dstrbuční funkce (cdf PG III (NPGR010 - J. Křvánek
22 Zdroj: wkpeda Spojtá náhodná velčna Gaussovské (normální rozdělení Hustota pravděpodobnost (pdf Dstrbuční funkce (cdf PG III (NPGR010 - J. Křvánek
23 Střední hodnota a rozptyl Střední hodnota (očekávaná hodnota, expected value E X D x p( x dx Rozptyl (varance Vlastnost (pokud jsou X nezávslé PG III (NPGR010 - J. Křvánek
24 Transformace náhodné velčny Y f X Y je náhodná velčna Střední hodnota Y E Y D f ( x p( x dx PG III (NPGR010 - J. Křvánek
25 Monte Carlo ntegrování
26 Prmární estmátor určtého ntegrálu Odhadovaný ntegrál: I f x dx Je-l X náhodná velčna s dstrbucí p(x, pak f(x/p(x je tzv. prmární estmátor ntegrálu: F prm f ( X p( X PG III (NPGR010 - J. Křvánek
27 Prmární estmátor určtého ntegrálu f(x f(x 0 X 1 PG III (NPGR010 - J. Křvánek
28 Estmátor a odhad Estmátor je náhodná velčna Vznkla transformací jné náhodné velčny Její realzace (hodnota je konkrétní odhad (estmate PG III (NPGR010 - J. Křvánek
29 Nestrannost obecného estmátoru Nestrannost estmátoru (obecně: V průměru estmátor dává správnou hodnotu odhadované velčny (bez systematcké chyby E F Q Estmátor velčny Q (náhodná velčna Odhadovaná velčna (např. ntegrál PG III (NPGR010 - J. Křvánek
30 Nestrannost Náš estmátor F prm je nestranným (unbased odhadem I E f x F prm I p( x p x dx PG III (NPGR010 - J. Křvánek
31 Rozptyl prmárního estmátoru Měřítkem kvalty odhadu je jeho rozptyl (nebo standardní odchylka: V F E[ F ] E[ F ] dx I prm prm prm prm 2 f x p( x (pro nestranný odhad Př výpočtu jedného vzorku je rozptyl výsledku přílš velký! PG III (NPGR010 - J. Křvánek
32 Sekundární estmátor ntegrálu N nezávslých náhodných velčn, f(x / p(x F N 1 N N 1 f p X X Sekundární estmátor je nestranný PG III (NPGR010 - J. Křvánek
33 Rozptyl sekundárního estmátoru prm ( ( 1 ( ( 1 ( ( 1 F V N X p X f V N X p X f V N N X p X f N V F V N N... std. chyba je N-krát menší! (konvergence 1/N PG III (NPGR010 - J. Křvánek
34 Vlastnost estmátorů
35 Nestrannost obecného estmátoru Nestrannost estmátoru (obecně: V průměru estmátor dává správnou hodnotu odhadované velčny (bez systematcké chyby E F Q Estmátor velčny Q (náhodná velčna Odhadovaná velčna (např. ntegrál PG III (NPGR010 - J. Křvánek
36 Výchylka (bas obecného estmátoru Pokud E F Q pak estmátor není nestranný (je vychýlený, based. Systematcká chyba, bas Q E F PG III (NPGR010 - J. Křvánek
37 Konzstence (obecného estmátoru Uvažujme sekundární estmátor (N vzorků: F F N N ( X, X 2,..., X 1 N Estmátor F N je konzstentní pokud tj. pokud chyba F N Q jde k nule s pravděpodobností 1. PG III (NPGR010 - J. Křvánek
38 Konzstence (obecného estmátoru Postačující podmínka pro konzstenc estmátoru: bas (tj. ne každý nestranný estmátor je konzstentní PG III (NPGR010 - J. Křvánek
39 Zobrazovací algortmy Nestranné (unbased Sledování cest (path tracng Obousměrné sledování cest (bdrectonal path tracng Metropols lght transport Konzstentní (consstent Progresvní fotonové mapy (progressve photon mappng Nekonzstentní, vychýlené (based Fotonové mapy (photon mappng Irradance / radance cachng PG III (NPGR010 - J. Křvánek
40 Střední kvadratcká chyba (Mean Squared Error MSE Defnce MSE[ F] E[( F Q 2 ] Platí MSE[ F] V[ F] [ F] 2 Důkaz PG III (NPGR010 - J. Křvánek
41 Střední kvadratcká chyba (Mean Squared Error MSE Pokud F je nestranný, pak MSE[ F] V[ F] tj. pro nestranný estmátor je snazší odhadnout chybu, protože rozptyl estmátoru lze odhadnout ze vzorků Y = f(x / p(x Nestranný estmátor rozptylu PG III (NPGR010 - J. Křvánek
42 Účnnost estmátoru Pro nestranný estmátor je účnnost (efcence, angl. effcency dána vztahem: rozptyl čas výpočtu (počet operací, např. počet vržených paprsků PG III (NPGR010 - J. Křvánek
43 Metody snížení rozptylu MC estmátorů
44 Metody snížení rozptylu Importance samplng (vzorkování podle důležtost a Podle BRDF (nejčastější b Podle L (pokud známo: přímé osvětlení V syntéze obrazu je IS nejčastěj používaná metoda Řídící funkce (control varates Lepší rozložení vzorků Stratfkace quas-monte Carlo (QMC PG III (NPGR010 - J. Křvánek
45 Vzorkování podle důležtost Některé část vzorkovaného ntervalu jsou důležtější, protože zde má f větší hodnotu Vzorky z těchto oblastí mají větší vlv na výsledek Vzorkování podle důležtost ( mportance samplng umsťuje vzorky přednostně do takových oblastí Tj. pdf p je podobná ntegrandu Menší rozptyl př zachování nestrannost PG III (NPGR010 - J. Křvánek
46 Vzorkování podle důležtost f(x p(x X 5 X 3 X 1 X 4 X 2 X PG III (NPGR010 - J. Křvánek
47 Řídící funkce Funkce g(x, která aproxmuje ntegrant a dokážeme j analytcky ntegrovat: I f x dx f x gx dx gx dx numercké ntegrování (MC menší rozptyl než f(x umíme analytcky ntegrovat PG III (NPGR010 - J. Křvánek
48 Transformace řídící funkcí f(x g(x 0 f(x-g(x 0 1 PG III (NPGR010 - J. Křvánek
49 Řídící funkce vs. Importance samplng Importance samplng Lepší pokud se funkce, podle níž umíme vzorkovat, vyskytuje v ntegrantu jako multplkatvní člen (rovnce odrazu, zobrazovací rovnce. Řídící funkce Lepší pokud se funkce, kterou umíme analytcky ntegrovat, vyskytuje v ntegrantu jako adtvní člen. Proto v se v syntéze obrazu téměř vždy používá mportance samplng. PG III (NPGR010 - J. Křvánek
50 Lepší rozmístění vzorků Př výběru množny nezávslých vzorků se stejnou hustotou pravděpodobnost dochází ke shlukování velký rozptyl odhadu Lepší rozmístění vzorků = ntegrační oblast je pravdelněj pokryta snížení rozptylu Metody Vzorkování po částech (stratfkace, stratfed samplng quas-monte Carlo (QMC PG III (NPGR010 - J. Křvánek
51 Vzorkování po částech Interval se rozdělí na část, které se odhadují samostatně f(x f(x 0 1 x 1 x 2 x 3 x 4 PG III (NPGR010 - J. Křvánek
52 Rozdělení ntervalu na N částí : Estmátor: N X X f N I, ( 1 ˆ 1 strat N N I x x f x x f I 1 1 d d Vzorkování po částech PG III (NPGR010 - J. Křvánek
53 Vzorkování po částech Potlačuje shlukování vzorků Redukuje rozptyl odhadu Rozptyl menší nebo roven rozptylu sekundárního estmátoru Velm účnné pro nízkou dmenz ntegrantu PG III (NPGR010 - J. Křvánek
54 Rozklad ntervalu na část unformní rozklad ntervalu (0,1 přrozená metoda pro zcela neznámou funkc f známe-l alespoň přblžně průběh funkce f, snažíme se o takový rozklad, aby byl rozptyl funkce na subntervalech co nejmenší rozklad d-rozměrného ntervalu vede na N d výpočtů úspornější metodou je vzorkování N věží PG III (NPGR010 - J. Křvánek
55 Metody Quas Monte Carlo (QMC Použtí strktně determnstckých sekvencí místo náhodných čísel Vše funguje jako v MC, důkazy se ale nemohou opírat o statstku (nc není náhodné Použté sekvence čísel s nízkou dkrepancí (lowdscrepancy sequences PG III (NPGR010 - J. Křvánek
56 Dskrepance Hgh Dscrepancy (clusters of ponts Low Dscrepancy (more unform PG III (NPGR010 - J. Křvánek
57 Henrk Wann Jensen Stratfed samplng 10 cest na pxel PG III (NPGR010 - J. Křvánek
58 Henrk Wann Jensen Quas-Monte Carlo 10 cest na pxel PG III (NPGR010 - J. Křvánek
59 Henrk Wann Jensen Fxní náhodná sekvence 10 cest na pxel PG III (NPGR010 - J. Křvánek
60 Příklady MC estmátorů
61 Přímé osvětlení Přímé osvětlení 61
62 Odhad rradance unformní vzork. Unformní vzorkování: Estmátor: PG III (NPGR010 - J. Křvánek ( d cos, ( ( x x x H L E 2 1 p( N k,k k N k k k N L N p f N F 1, 1,, cos, ( 2 1 x
63 Odhad rradance cos vzorkování Importance samplng: Estmátor: PG III (NPGR010 - J. Křvánek ( d cos, ( ( x x x H L E cos p( N k,k N k,k,k N L N p f N F 1 1, ( 1 x
64 PG III (NPGR010 - J. Křvánek
65 Odhad rradance vzrokování zdroje PG III (NPGR010 - J. Křvánek
66 Odhad rradance vzrokování zdroje Unformní vzorkování plochy zdroje: Estmátor PG III (NPGR010 - J. Křvánek A H A V L L E d cos cos ( ( d cos, ( ( 2 e ( x y x y x y x x x y x ( x G y A p 1 ( y N k k k k N G V L N A F 1 e ( ( ( x y x y x y
67 PG III (NPGR010 - J. Křvánek
68 PG III (NPGR010 - J. Křvánek
69 Plošné zdroje světla 1 vzorek na pxel 9 vzorků na pxel 36 vzorků na pxel PG III (NPGR010 - J. Křvánek
70 Přímé osvětlení na ploše s obecnou BRDF Odhadovaný ntegrál Estmátor (unformní vzorkování povrchu zdroje PG III (NPGR010 - J. Křvánek A r A G V f L L d ( ( ( (, ( o e o o x y x y x y x y x N k k k k r k N G V f L N A F 1 o e ( ( ( ( x y x y x y x y
Monte Carlo metody Josef Pelikán CGG MFF UK Praha.
Monte Carlo metody 996-7 Josef Pelkán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cun.cz http://cgg.mff.cun.cz/~pepca/ Monte Carlo 7 Josef Pelkán, http://cgg.ms.mff.cun.cz/~pepca / 44 Monte Carlo ntegrace Odhadovaný
Porovnání GUM a metody Monte Carlo
Porovnání GUM a metody Monte Carlo Ing. Tomáš Hajduk Nejstota měření Parametr přřazený k výsledku měření Vymezuje nterval, o němž se s určtou úrovní pravděpodobnost předpokládá, že v něm leží skutečná
Počítačová grafika III Multiple Importance Sampling. Jaroslav Křivánek, MFF UK
Počítačová grafika III Multiple Importance Sampling Jaroslav Křivánek, MFF UK Jaroslav.Krivanek@mff.cuni.cz MIS 300 + 300 samples EM IS 600 samples BRDF IS 600 samples Sampling strategies Diffuse only
ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)
Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.
Fotonové mapy. Jaroslav Křivánek, KSVI, MFF, UK
Fotonové may Jaroslav Křvánek KSVI MFF UK Jaroslav.Krvanek@mff.cun.cz Globální osvětlení Glossy reflectons Color Bleedng Dffuse Reflectons Caustcs Refractons Fotonové may Cesty se sledují od zdrojů světla
Počítačová grafika III Multiple Importance Sampling. Jaroslav Křivánek, MFF UK
Počítačová grafika III Multiple Importance Sampling Jaroslav Křivánek, MFF UK Jaroslav.Krivanek@mff.cuni.cz MIS 300 + 300 samples EM IS 600 samples BRDF IS 600 samples Sampling strategies Diffuse only
Počítačová grafika III Odraz světla, BRDF. Jaroslav Křivánek, MFF UK
Počítačová grafka III Odraz světla, BRDF Jaroslav Křvánek, MFF UK Jaroslav.Krvanek@mff.cun.cz Základní radometrcké velčny PG III (NPGR010) - J. Křvánek 2013 2 Interakce světla s povrchem Absorbce Odraz
Neparametrické metody
Neparametrcké metody Přestože parametrcké metody zaujímají klíčovou úlohu ve statstcké analýze dat, je možné některé problémy řešt př neparametrckém přístupu. V této přednášce uvedeme neparametrcké odhady
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. Pedagogická fakulta Katedra fyziky. Bakalářská práce
Jhočeská unverzta v Českých Budějovcích Pedagogcká fakulta Katedra fyzky Bakalářská práce České Budějovce 007 Tomáš Bürger Jhočeská unverzta v Českých Budějovcích Pedagogcká fakulta Katedra fyzky Generování
MODELOVÁNÍ A SIMULACE
MODELOVÁNÍ A SIMULACE základní pojmy a postupy vytváření matematckých modelů na základě blancí prncp numerckého řešení dferencálních rovnc základy práce se smulačním jazykem PSI Základní pojmy matematcký
Kombinatorická minimalizace
Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny
6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu
6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a
ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN
ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší
Regresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Závslost příčnná (kauzální). Závslostí pevnou se označuje případ, kdy výskytu jednoho jevu nutně odpovídá výskyt druhé jevu (a často naopak). Z pravděpodobnostního hledska
REGRESNÍ ANALÝZA. 13. cvičení
REGRESNÍ ANALÝZA 13. cvčení Závslost náhodných velčn Závslost mez kvanttatvním proměnným X a Y: Funkční závslost hodnotam nezávsle proměnných je jednoznačně dána hodnota závslé proměnné. Y=f(X) Stochastcká
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regulární systém hustot Vychází se z: -,, P - pravděpodobnostní prostor -, R neprázdná množna parametrů - X X 1,, náhodný vektor s sdruženou hustotou X n nebo s sdruženou pravděpodobnostní
ASYMPTOTICKÉ VLASTNOSTI ODHADŮ S MINIMÁLNÍ KOLMOGOROVSKOU VZDÁLENOSTÍ
ASYMPTOTICKÉ VLASTNOSTI ODHADŮ S MINIMÁLNÍ KOLMOGOROVSKOU VZDÁLENOSTÍ Bc. Jtka Hanousková 1 Abstrakt: Příspěvek se zabývá postačujícím podmínkam pro konzstenc odhadů s mnmální Kolmogorovskou vzdáleností
CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.
CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt
Simulační metody hromadné obsluhy
Smulační metody hromadné osluhy Systém m a model vstupy S výstupy Systém Část prostředí, kterou lze od jeho okolí oddělt fyzckou neo myšlenkovou hrancí Model Zjednodušený, astraktní nástroj používaný pro
Fotonové mapy. Leonid Buneev
Fotonové mapy Leonid Buneev 21. 01. 2012 Popis algoritmu Photon mapping algoritmus, který, stejně jako path tracing a bidirectional path tracing, vyřeší zobrazovací rovnice, ale podstatně jiným způsobem.
Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace
Tetlní zkušebnctv ebnctví II Jří Mltky Škály měření epřímá měření Teore měření Kalbrace Základní pojmy I PRAVDĚPODOBOST Jev A, byl sledován v m pokusech. astal celkem m a krát. Relatvní četnost výskytu
Výpočet nejistot metodou Monte carlo
Výpočet nejistot metodou Monte carlo Mgr. Martin Šíra, Ph.D. (ČMI, Brno) červen 2012 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. p. 1 Výpočty nejistot
Čísla přiřazená elementárním jevům tvoří obor hodnot M proměnné, kterou nazýváme náhodná veličina (označujeme X, Y, Z,...)
. NÁHODNÁ VELIČINA Průvodce studem V předchozích kaptolách jste se seznáml s kombnatorkou a pravděpodobností jevů. Tyto znalost použjeme v této kaptole, zavedeme pojem náhodná velčna, funkce, které náhodnou
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019
Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete
Počítačová grafika III Odraz světla, BRDF. Jaroslav Křivánek, MFF UK
Počítačová grafka III Odraz světla, BRDF Jaroslav Křvánek, MFF UK Jaroslav.Krvanek@mff.cun.cz Interakce světla s povrchem Absorpce Odraz Lom Rozptyl pod povrchem Odrazvé vlastnost materálu určují Vztah
Teoretické modely diskrétních náhodných veličin
Teoretcké modely dskrétních náhodných velčn Velčny, kterým se zabýváme, bývají nejrůznější povahy. Přesto však estují skupny náhodných velčn, které mají podobně rozloženou pravděpodobnostní funkc a lze
Odhad stavu matematického modelu křižovatek
Odhad stavu matematického modelu křižovatek Miroslav Šimandl, Miroslav Flídr a Jindřich Duník Katedra kybernetiky & Výzkumné centrum Data-Algoritmy-Rozhodování Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita
SIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10
SIMULACE numercké řešení dferencálních rovnc smulační program dentfkace modelu Numercké řešení obyčejných dferencálních rovnc krokové metody pro řešení lneárních dferencálních rovnc 1.řádu s počátečním
X39RSO/A4M39RSO. Integrace a syntéza obrazu pomocí metody Monte Carlo. Vlastimil Havran, ČVUT v Praze
X39RSO/A4M39RSO Integrace a syntéza obrazu pomocí metody Monte Carlo Vlastimil Havran, ČVUT v Praze havran@fel.cvut.cz Osnova Historie Výpočet integrálu metodou Monte Carlo Aplikace v syntéze obrazu Antialiasing
Počítačová grafika III Monte Carlo rendering 2. Jaroslav Křivánek, MFF UK
Počítačová grafika III Monte Carlo rendering 2 Jaroslav Křivánek, MFF UK Jaroslav.Krivanek@mff.cuni.cz Path Tracing Implicitní osvětlení getli(x, w) { Color thrput = (1,1,1) Color accum = (0,0,0) while(1)
PŘÍSPĚVEK K NEJISTOTÁM VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ
PŘÍSPĚVEK K NEJISTOTÁM VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ JIŘÍ MILITKÝ, Katedra textlních materálů, Techncká unversta v Lberc, MILAN MELOUN, Katedra analytcké cheme, Unversta Pardubce, Pardubce. Úvod Je známo, že měření
Photon-Mapping Josef Pelikán CGG MFF UK Praha.
Photon-Mapping 2009-2016 Josef Pelikán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cuni.cz http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca/ Photon-mapping 2016 Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca 1 / 25 Základy Photon-mappingu
L8 Asimilace dat II. Oddělení numerické předpovědi počasí ČHMÚ 2007
L8 Asmlace dat II Oddělení numercké předpověd počasí ČHMÚ 007 Plán přednášky Úvod do analýzy Optmální odhad v meteorolog D případ: demonstrace metod; mult-dmensonální případ; Zavedení předběžného pole;
Numerická integrace konstitučních vztahů
Numercká ntegrace konsttučních vztahů Po výočtu neznámých deformačních uzlových arametrů v každé terac NR metody je nutné stanovt naětí a deformace na rvcích. Nař. Jednoosý tah (vz obr. vravo) Pro nterval
Transformace dat a počítačově intenzivní metody
Transformace dat a počítačově ntenzvní metody Jří Mltký Katedra textlních materálů, Textlní fakulta, Techncká unversta v Lberc, Lberec, e- mal jr.mltky@vslb.cz Mlan Meloun, Katedra analytcké cheme, Unversta
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové
2. Definice pravděpodobnosti
2. Defnce pravděpodobnost 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematckých struktur a algortmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou determnstcké procesy, které se
3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina
3 VBRANÉ MODEL NÁHODNÝCH VELIČIN 3. Náhodná velčna Tato kaptola uvádí stručný pops vybraných pravděpodobnostních modelů spojtých náhodných velčn s důrazem na jejch uplatnění př rozboru spolehlvost stavebních
Matematika IV, Numerické metody
Interaktvní sbírka příkladů pro předmět Matematka IV, Numercké metody Josef Dalík, Veronka Chrastnová, Oto Přbyl, Hana Šafářová, Pavel Špaček Vysoké učení techncké v Brně, Fakulta stavební Ústav matematky
Téma 3: Metoda Monte Carlo
y Náhodná proměnná D Téma 3: Metoda Monte Carlo Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování konstrukcí 4. ročník bakalářského studia 1,0 1,00 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00 0,00 0,0 0,40 0,60 0,80 1,00
Řešení radiační soustavy rovnic
Řešení radační soustavy rovnc 1996-2008 Josef Pelkán KSVI MFF UK Praha e-mal: Josef.Pelkan@mff.cun.cz WWW: http://cgg.ms.mff.cun.cz/~pepca/ NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, http://cgg.ms.mff.cun.cz/~pepca
Teoretické modely diskrétních náhodných veličin
Teoretcké modely dskrétních náhodných velčn Velčny, kterým se zabýváme, bývají nejrůznější povahy. Přesto však estují skupny náhodných velčn, které mají podobně rozloženou pravděpodobnostní funkc a lze
POROVNÁNÍ MEZI SKUPINAMI
POROVNÁNÍ MEZI SKUPINAMI Potřeba porovnání počtů mez určtým skupnam jednců např. porovnání počtů onemocnění mez kraj nebo okresy v prax se obvykle pracuje s porovnáním na 100.000 osob. Stuace ale nebývá
Charakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
Téma 5: Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny
0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nomnální napětí v pásnc Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma 5: Parametrcká rozdělení pravděpodobnost spojté náhodné velčn Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování konstrukcí
Chyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
Generování pseudonáhodných. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Generování pseudonáhodných čísel při simulaci Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky V simulačních modelech se velice často vyskytují náhodné proměnné. Proto se budeme zabývat otázkou, jak při simulaci
9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně
9. Měření knetky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně Gavolův experment (194) zdroj vzorek synchronní otáčení fázový posun detektor Měření dob žvota lumnscence Frekvenční doména - exctace harmoncky
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
Počítačová grafika III Důležitost, BPT. Jaroslav Křivánek, MFF UK
Počítačová grafika III Důležitost, BPT Jaroslav Křivánek, MFF UK Jaroslav.Krivanek@mff.cuni.cz Davis Cup Premier international team competition in men s tennis World group: 16 teams Total: 137 (in 2007)
Příklady - Bodový odhad
Příklady - odový odhad 5. října 03 Pražské metro Přijdu v pražském metru na nástupiště a tam zjistím, že metro v mém směru jelo před :30 a metro v opačném směru před 4:0. Udělejte bodový odhad, jak dlouho
Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a
Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)
X39RSO/A4M39RSO Vychýlené (biased) metody globálního osvětlení. Vlastimil Havran ČVUT v Praze CTU Prague Verze 2011
X39RSO/A4M39RSO Vychýlené (biased) metody globálního osvětlení Vlastimil Havran ČVUT v Praze CTU Prague Verze 2011 Vychýlené versus nestranné metody Vychýlené vs. nestranné odhady (Biased vs. Unbiased
Klasifikace a predikce. Roman LUKÁŠ
1/28 Klasfkace a predkce Roman LUKÁŠ 2/28 Základní pomy Klasfkace = zařazení daného obektu do sté skupny na základě eho vlastností Dvě fáze klasfkace: I. Na základě trénovacích vzorů (u nchž víme, do aké
I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
p(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
POUŽITÍ METODY PERT PŘI ŘÍZENÍ PROJEKTŮ
5. Odborná konference doktorského studa s meznárodní účastí Brno 003 POUŽITÍ METODY PERT PŘI ŘÍZEÍ PROJEKTŮ A USAGE OF PERT METHOD I PROJECT MAAGEMET Vladslav Grycz 1 Abstract PERT Method and Graph theory
Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.
3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její
1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
Bayesovské metody. Mnohorozměrná analýza dat
Mnohorozměrná analýza dat Podmíněná pravděpodobnost Definice: Uvažujme náhodné jevy A a B takové, že P(B) > 0. Podmíněnou pravěpodobností jevu A za podmínky, že nastal jev B, nazýváme podíl P(A B) P(A
Úvod Terminologie Dělení Princip ID3 C4.5 CART Shrnutí. Obsah přednášky
Obsah přednášky. Úvod. Termnologe 3. Základní dělení 4. Prncp tvorby, prořezávání a použtí RS 5. Algortmus ID3 6. C4.5 7. CART 8. Shrnutí A L G O RI T M Y T E O R I E Stromové struktury a RS Obsah knhy
Řešení radiační soustavy rovnic
Řešení radační soustavy rovnc 1996-2016 Josef Pelkán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cun.cz http://cgg.mff.cun.cz/~pepca/ RadSoluton 2016 Josef Pelkán, http://cgg.ms.mff.cun.cz/~pepca 1 / 23 Soustava lneárních
6 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY
1 6 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY Př budování regresních modelů se běžně užívá metody nejmenších čtverců. Metoda nejmenších čtverců poskytuje postačující odhady parametrů jenom př současném splnění všech předpokladů
Staré mapy TEMAP - elearning
Staré mapy TEMAP - elearnng Modul 4 Kartometrcké analýzy Ing. Markéta Potůčková, Ph.D., 2013 Přírodovědecká fakulta UK v Praze Katedra aplkované geonformatky a kartografe Kartometre a kartometrcké vlastnost
Aplikace simulačních metod ve spolehlivosti
XXVI. ASR '2001 Semnar, Instruments and Control, Ostrava, Aprl 26-27, 2001 Paper 40 Aplkace smulačních metod ve spolehlvost MARTINEK, Vlastml Ing., Ústav automatzace a nformatky, FSI VUT v Brně, Techncká
Počítačová grafika III Monte Carlo integrování II. Jaroslav Křivánek, MFF UK
Počítačová grafika III Monte Carlo integrování II Jaroslav Křivánek, MFF UK Jaroslav.Krivanek@mff.cuni.cz Monte Carlo integrování Obecný nástroj k numerickému odhadu určitých integrálů f(x) p(x) Integrál:
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.
6. ZÁKLADY STATIST. ODHADOVÁNÍ. Θ parametrický prostor. Dva základní způsoby odhadu neznámého vektoru parametrů bodový a intervalový.
6. ZÁKLADY STATIST. ODHADOVÁNÍ X={X 1, X 2,..., X n } výběr z rozdělení s F (x, θ), θ={θ 1,..., θ r } - vektor reálných neznámých param. θ Θ R k. Θ parametrický prostor. Dva základní způsoby odhadu neznámého
Proces řízení rizik projektu
Proces řízení rzk projektu Rzka jevy a podmínky, které nejsou pod naší přímou kontrolou a ovlvňují cíl projektu odcylky, předvídatelná rzka, nepředvídatelná rzka, caotcké vlvy Proces řízení rzk sled aktvt,
Počítačová grafika III Photon mapping. Jaroslav Křivánek, MFF UK
Počítačová grafika III Photon mapping Jaroslav Křivánek, MFF UK Jaroslav.Krivanek@mff.cuni.cz Obousměrné sledování cest - opakování Transport světla jako integrál Cíl: místo integrální rovnice chceme formulovat
Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.
Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman
Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru
Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti
3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro
Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.
1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový
Integrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze
Integrace Numerické metody 7. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Kvadraturní vzorce Gaussovy kvadratury Více dimenzí Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Máme funkci f( x) a snažíme se najít určitý integrál
ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB. Vladimír Hanta 1, Ivan Gros 2
ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB Vladmír Hanta 1 Ivan Gros 2 Vysoká škola chemcko-technologcká Praha 1 Ústav počítačové a řídcí technky 2 Ústav
Číslicové zpracování a analýza signálů (BCZA) Spektrální analýza signálů
Číslcové zpracování a analýza sgnálů (BCZA) Spektrální analýza sgnálů 5. Spektrální analýza sgnálů 5. Spektrální analýza determnstckých sgnálů 5.. Dskrétní spektrální analýza perodckých sgnálů 5..2 Dskrétní
Energie elektrického pole
Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný
9. listopadu Rozvoj aplikačního potenciálu (RAPlus) CZ.1.07/2.4.00/
9. listopadu 212 Rozvoj aplikačního potenciálu (RAPlus) CZ.1.7/2.4./17.117 Používané postupy Lord D., Mannering F.: The Statistical Analysis of Crash-Frequency Data: A Review and Assessment of Methodological
VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ
VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ Abstrakt Martn Cupal 1 Prncp tvorby tržní ceny nemovtost je sce založen na tržní nabídce a poptávce, avšak tento trh je značně nedokonalý. Nejvíce ovlvňuje
Josef Pelikán, 1 / 51
1 / 51 Náhodné rozmisťování bodů v rovině 2014-15 Josef Pelikán, CGG MFF UK Praha http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca/ Seminář strojového učení a modelování, 26. 3. 2015 2 / 51 Jiří Matoušek (1963-2015) 3 /
EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY
. přednáška EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY Ekonomcko matematcké metody (též se užívá název operační analýza) sou metody s matematckým základem, využívané především v ekonomcké oblast, v oblast řízení a
Zobrazování a osvětlování
Zobrazování a osvětlování Petr Felkel Katedra počítačové grafiky a interakce, ČVUT FEL místnost KN:E-413 na Karlově náměstí E-mail: felkel@fel.cvut.cz S použitím materiálů Bohuslava Hudce, Jaroslava Sloupa
Tomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
Fyzikální korespondenční seminář MFF UK
Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8. Statistické usuzování, odhady
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8 Statistické usuzování, odhady Výběr od deskripce k indukci Deskripce dat, odhad parametrů Usuzování = inference = indukce Počítá se s náhodným
8 Střední hodnota a rozptyl
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení
KGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním
Aplikace Li-Ma metody na scintigrafické vyšetření příštítných tělísek. P. Karhan, P. Fiala, J. Ptáček
Aplkace L-Ma metody na scntgrafcké vyšetření příštítných tělísek P. Karhan, P. Fala, J. Ptáček Vyšetření příštítných tělísek dagnostka hyperparatyreózy: lokalzace tkáně příštítných tělísek neexstence radofarmaka
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
3 Bodové odhady a jejich vlastnosti
3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe
Odhady Parametrů Lineární Regrese
Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké
Dopravní plánování a modelování (11 DOPM )
Department of Appled Mathematcs Faculty of ransportaton Scences Czech echncal Unversty n Prague Dopravní plánování a modelování (11 DOPM ) Lekce 5: FSM: rp dstrbuton Prof. Ing. Ondře Přbyl, Ph.D. Ing.
Stavový model a Kalmanův filtr
Stavový model a Kalmanův filtr 2 prosince 23 Stav je veličina, kterou neznáme, ale chtěli bychom znát Dozvídáme se o ní zprostředkovaně prostřednictvím výstupů Příkladem může býapř nějaký zašuměný signál,
4EK211 Základy ekonometrie
4EK211 Základy ekonometre Specální případy použtí MNČ Cvčení 8 Zuzana Dlouhá Specální případy použtí MNČ cvčení 1 7 = ekonometrcký model, který byl lneární v proměnných v parametrech MNČ můžeme použít,
9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese
cvčící 9. cvčení 4ST01 Obsah: Jednoduchá lneární regrese Vícenásobná lneární regrese Korelační analýza Vysoká škola ekonomcká 1 Jednoduchá lneární regrese Regresní analýza je statstcká metoda pro modelování
Numerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První
Numercká matematka 1 Parabolcké rovnce Budeme se zabývat rovncí t = D u x (1) tato rovnce určuje chování funkce u(t, x), která závsí na dvou proměnných. První proměnná t mívá význam času, druhá x bývá