Řešení radiační soustavy rovnic

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Řešení radiační soustavy rovnic"

Vladimíra Beranová
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Řešení radační soustavy rovnc Josef Pelkán CGG MFF UK Praha RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 1 / 23

2 Soustava lneárních rovnc N j j j1 B B F E 1.. N 1 1F 11, 1F 1, 2.. 1F 1, 2F2, 1 1 2F2, 2.. 2F2, F 1 F F N N B1 E B2 E.... B E N N, N N, N N, N N N vektor neznámých [B ] 1 2 RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 2 / 23

3 Velčny B.. neznámé radosty jednotlvých plošek př barevném výpočtu je třeba spočítat radosty pro všechny požadované vlnové délky (barevné složky - např. R,G,B) E.. vlastní (emtované) radosty (R,G,B).. faktory odrazvost materálu (R,G,B) F j.. konfgurační faktory závslé pouze na geometr scény RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 3 / 23

4 Vlastnost matce soustavy M matce M je poměrně řídká pro složtější scény M je dagonálně domnantní a dobře podmíněná lze j úspěšně řešt teračním metodam (Jacob, Gauss- Sedel) N Fj 1 j1 j F RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 4 / 23

5 Gauss-Sedelova metoda Matcový tvar soustavy: První odhad: Krok: Výpočet v prax: M B E M M j j B B ( 0 ) E RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 5 / 23 N, 1 1 N ( k1) E M M M B M j ( k ) j j M B ( k) 1 j j1 j1 N j j j1 B E B F 1.. N

6 Fyzkální nterpretace (sbírání) B j B j j j B E B F RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 6 / 23

7 Rezduum Rezduum (odhad chyby) k-té terace: ( k) ( k) r E M B V jednom kroku výpočtu se aktualzuje jedna složka vektoru řešení B : B ( k1) ( k) B r ( k) M (Jacobho metoda.. rezdua se opravují po dokončení terace, Gauss-Sedel.. oprava po každém kroku) RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 7 / 23

8 Southwellova terační metoda Jacobho Gauss-Sedelova metoda v každém kroku výpočtu vynulují jednu složku rezdua (na úkor ostatních!) složky se aktualzují v pořadí 1, 2,... N Southwellova metoda vybírá k aktualzac vždy složku s největší absolutní hodnotou rezdua složky s velkou chybou se opravují častěj rychlejší konvergence vektoru řešení RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 8 / 23

9 Southwellova terační metoda výběr složky s maxmálním rezduem: r = max j { r j } aktualzace -té složky řešení B aktualzace vektoru rezduí r kroky až se opakují, dokud soustava nesplňuje konvergenční krterum RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 9 / 23

10 Inkrementální výpočet rezdua Aktualzace vektoru řešení v jednom kroku výpočtu: ( p1) ( p) ( p) B B B Oprava rezdua: ( p1) ( p) ( p) ( p) ( p) r E M B B r M B Protože se změnla pouze -tá složka vektoru řešení: ( p1) ( p) ( p) r r M r j j j j M 1.. N RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 10 / 23

11 Southwellův algortmus double B[N], E[N], r[n], M[N][N]; // ncalzace řešení a rezdua for ( nt =0; <N; ++ ) { B[] := 0.0; r[] := E[]; } whle ( nezkonvergovalo ) { // jeden krok výpočtu: výběr tak, aby fabs(r[])== max(fabs(r[])) double delta = r[]/m[][]; B[] += delta; for ( nt j=0; j<n; j++ ) r[j] -= M[j][]*delta; } RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 11 / 23

12 Fyzkální nterpretace (střílení) B.. radosta -té plošky (přímá nepřímá) jeden krok výpočtu.. rozdělení (výstřel) radosty z -té plošky do okolí r.. dosud nevystřelená radosta -té plošky konvergence metody.. celková nevystřelená energe ve scéně se zmenšuje RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 12 / 23

13 Fyzkální nterpretace (střílení) ( p1) ( p) ( p) j j B B r F j j B j B RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 13 / 23

14 Celková nevystřelená energe Podle recpročního pravdla pro konfgurační faktory: ( p1) ( p) ( p) ( p) ( p) j j j j j j j j r r F r r F A A r Dstrbuce energe v jednom kroku výpočtu: r ( p1) A 0 <1 ( p1) ( p) ( p) j j j j j j r A r A F r A j 1.. N RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 14 / 23

15 Progresvní radační metoda M. Cohen at al., SIGGRAPH 88 nteraktvní výpočet osvětlení po každém kroku se nakreslí průběžný výsledek snaha dobře odhadnout řešení jž v několka prvních krocích modfkace Southwellovy metody výběr plošky s největší dosud nevystřelenou energí použtí okolní složky osvětlení RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 15 / 23

16 Progresvní radační metoda double B[N], E[N], db[n], F[N][N], A[N], ro[n]; for ( nt =0; <N; ++ ) { // ncalzace B, db B[] := E[]; db[] := E[]; } whle ( nezkonvergovalo ) { // jeden krok výpočtu výběr tak, aby db[]*a[]== max(db[]*a[]) for ( nt j=0; j<n; j++ ) { double drad = db[]*ro[j]*f[j][]; B[j] += drad; db[j] += drad; } db[] = 0.0; zobrazení mezvýsledku pomocí radost B[] } RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 16 / 23

17 Okolní složka ( ambent term ) vylepšení vzhledu průběžně kreslených mezvýsledků aproxmace dosud nespočítaných odrazů světla Celková dosud nevystřelená radosta: B r A A RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 17 / 23

18 Okolní složka Průměrný koefcent odrazu: A A Odhad zbytkové (okolní) radosty: Bamb B B 1 Pro zobrazení se radosta každé plošky upraví: dsp B B B amb RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 18 / 23

19 Hyper-relaxace urychlení konvergence terační metody (Jacob, Gauss-Sedel, progresvní radační metoda) př aktualzac rozdělím/seberu o trochu větší množství energe předpovídám budoucí vývoj konvergence pozor na přílš velký koefcent hyper-relaxace (metoda pak už nemusí konvergovat)! je nutné počítat se záporným rezduem! RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 19 / 23

20 Hyper-relaxace Krok výpočtu s hyper-relaxací: B ( k1) ( k) B Hyper-relaxační koefcent: r ( k) M 1 napø ( např. 1.2 ) Příslušná složka rezdua se jž nenuluje, ale bude mít hodnotu: r ( k1) ( k) 1 r RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 20 / 23

21 Přestřelování ( overshootng ) M. Feda, W. Purgathofer, 1992 př hyper-relaxac beru v úvahu množství dosud nevystřelené energe v prvních fázích výpočtu přestřeluj více, pozděj jž méně jstější konvergence RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 21 / 23

22 Lteratura M. Cohen, J. Wallace: Radosty and Realstc Image Synthess, Academc Press, 1993, (chyby!) M. Cohen, S. E. Chen, J. R. Wallace, D. P. Greenberg: A progressve refnement approach to fast radosty mage generaton, SIGGRAPH 88, RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 22 / 23

23 Konec Další nformace: A. Glassner: Prncples of Dgtal Image Synthess, Morgan Kaufmann, 1995, J. Foley, A. van Dam, S. Fener, J. Hughes: Computer Graphcs, Prncples and Practce, M. Feda, W. Purgathofer: Acceleratng radosty by overshootng, The Thrd EG Workshop on Renderng, Brstol, 1992, RadSoluton 2016 Josef Pelkán, 23 / 23

Podobné dokumenty

Řešení radiační soustavy rovnic

Řešení radiační soustavy rovnic Řešení radační soustavy rovnc 1996-2008 Josef Pelkán KSVI MFF UK Praha e-mal: Josef.Pelkan@mff.cun.cz WWW: http://cgg.ms.mff.cun.cz/~pepca/ NPGR010, radsoluton.pdf 2008 Josef Pelkán, http://cgg.ms.mff.cun.cz/~pepca