Dopravní plánování a modelování (11 DOPM )

Transkript

1 Department of Appled Mathematcs Faculty of ransportaton Scences Czech echncal Unversty n Prague Dopravní plánování a modelování (11 DOPM ) Lekce 5: FSM: rp dstrbuton Prof. Ing. Ondře Přbyl, Ph.D. Ing. Mlan Kříž

2 Obsah přednášky Úvod Náhodný model Gravtační model Prncp maxmalzace entrope Řešení okraových podmínek Obecný model dstrbuce cest 2

3 Úvod Source: 3

4 rp dstrbuton 4

5 rp dstrbuton Jedná se o rozdělení a přdělení dsponblty každé zóny O na všechny možné cíle atraktvty každé zóny D na všechny možné zdroe dodržení hodnot O a D, případně alespoň Výpočet přemísťovacích vztahů v matc příslušné modelované oblast a příslušné část poptávky Oba dva směry působí současně a nezávsle 5

6 rp dstrbuton Velkost ednotlvých přemísťovacích vztahů závsí na: uvažované skupně osob dsponbltě atraktvtě dopravní sít / dopravních módech modelované oblast Vstupní data: hodnoty O, D a dopravní síť a eí ohodnocení užvatel pravdlo pro výpočet trp dstrbuton 6

7 Náhodný model Losume dvoce míčků Míčky se znakem Počet míčků s určtým znakem = O Míčky se znakem Počet míčků s určtým znakem = D Počet míčků v každém osudí 7

8 Náhodný model P počátek = O P konec = D = P počátek konec = P počátek P konec = O D = O D 8

9 Náhodný model O D P počátek = O P konec = D = P počátek konec = P počátek P konec = O D = O D 9

10 Náhodný model Náklady nesou zohledněny, resp. maí na všech relacích stenou hodnotu: f(x ) = 1 Aplkace: modely měst do velkost o průměru cca 6 km pro IAD, resp. VD určté páry aktvt (např. dálkové služební cesty) O skutečnost cíl 1 50,00 1 3,13 9,38 15,63 6,25 15,63 50,00 50, , ,50 37,50 62,50 25,00 62,50 200,00 200, , ,75 56,25 93,75 37,50 93,75 300,00 300, ,00 4 9,38 28,13 46,88 18,75 46,88 150,00 150, ,00 5 6,25 18,75 31,25 12,50 31,25 100,00 100,00 D 50,00 150,00 250,00 100,00 250,00 800,00 skutečnost 50,00 150,00 250,00 100,00 250,00 800,00 cíl 50,00 150,00 250,00 100,00 250,00 10

11 Obecný model př užtí ného ohodnocení nákladů (např. zakázat dagonálu) můžeme odvodt obecný model se zachováním hodnoty skutečnost cíl 1 0,00 9,38 15,63 6,25 15,63 46,88 50, ,50 0,00 62,50 25,00 62,50 162,50 200, ,75 56,25 0,00 37,50 93,75 206,25 300,00 4 9,38 28,13 46,88 0,00 46,88 131,25 150,00 5 6,25 18,75 31,25 12,50 0,00 68,75 100,00 skutečnost 46,88 112,50 156,25 81,25 218,75 615,63 cíl 50,00 150,00 250,00 100,00 250,00 800,00 = f X O D σ σ f X O D skutečnost cíl 1 0,00 12,18 20,30 8,12 20,30 60,91 50, ,24 0,00 81,22 32,49 81,22 211,17 200, ,37 73,10 0,00 48,73 121,83 268,02 300, ,18 36,55 60,91 0,00 60,91 170,56 150,00 5 8,12 24,37 40,61 16,24 0,00 89,34 100,00 skutečnost 60,91 146,19 203,05 105,58 284,26 800,00 cíl 50,00 150,00 250,00 100,00 250,00 800,00 = f X O D σ σ f X O D 11

12 ypy modelů Způsoby ohodnocení nákladů odvozeny z různých zdroů: zákony fyzky ekonometrcké přístupy psychologcké vnímání teore nformace 12

13 Gravtační model Analoge s fyzkálním gravtačním zákonem: F g = κ m 1 m 2 r 2 Použt ž v roce 1891 Eduardem Lllem vrchní nspektor Rakouské severozápadní dráhy (ÖNWB) aplkoval zákon na přepravní vztahy na tratích ÖNWB 13

14 14

15 Gravtační zákon klascký gravtační zákon: zohlednění pouze celkového počtu cest mplctně aplkace vážení potencálem zóny (zdroovým cílovým) = O D X 2 σ σ O D X 2 = O D X α σ σ O D X α = X α O D σ σ X α O D 15

16 Gravtační zákon = X α O D σ σ X α O D O X a 1 50,00 1 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 0, ,00 2 1,00 1,00 2,00 3,00 4, ,00 3 2,00 2,00 2,00 3,00 4, ,00 4 3,00 3,00 3,00 3,00 4, ,00 5 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 D 50,00 150,00 250,00 100,00 250,00 800,00 f(x) skutečnost cíl 1 1,00 1,00 0,81 0,72 0,66 1 4,19 12,56 17,01 6,02 13,82 53,60 50,00 2 1,00 1,00 0,81 0,72 0, ,75 50,26 68,03 24,10 55,26 214,40 200,00 3 0,81 0,81 0,81 0,72 0, ,41 61,23 102,05 36,15 82,89 302,73 300,00 4 0,72 0,72 0,72 0,72 0,66 4 9,04 27,11 45,18 18,07 41,45 140,85 150,00 5 0,66 0,66 0,66 0,66 0,66 5 5,53 16,58 27,63 11,05 27,63 88,42 100,00 skutečnost 55,91 167,74 259,91 95,39 221,05 800,00 cíl 50,00 150,00 250,00 100,00 250,00 800,00 16

17 Prncp maxmalzace entrope Systémy maí tendenc přecházet do stavu s nevyšší pravděpodobností př zohlednění působení vněších sl Vz též knetcká teore plynů Systémová podmínka: σ σ X = const. Ekvvalentní vyádření: σ σ X σ σ = തX = const. (celočíselná) maxmalzace entrope E =! ς! MAX Pro necelá čísla za použtí Strlngova vzorce upravená krterální funkce: σ σ ln MIN Opět předpokládáme dodržení 17

18 Prncp maxmalzace entrope Mkro-stav / mezo-stav, resp. makro-stav a b b a b 1 a a 1 b E =! ς! = 2! 1! 0! 1! 0! = 2 18

19 Prncp maxmalzace entrope O X ,00 1 0,00 1,00 2,00 3,00 4, ,00 2 1,00 1,00 2,00 3,00 4, ,00 3 2,00 2,00 2,00 3,00 4, ,00 4 3,00 3,00 3,00 3,00 4, ,00 5 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 D 50,00 150,00 250,00 100,00 250,00 800,00 E skutečnost cíl ,45 289,55 28,96 0,32-0, ,55 84,31 16,22 3,02 0,60 543,69 50, ,36 289,36 28,96 0,32-0, ,26 84,26 16,22 3,02 0,60 188,36 200, ,96 28,96 28,96 0,32-0, ,22 16,22 16,22 3,02 0,60 52,27 300,00 4 0,32 0,32 0,32 0,32-0,91 4 3,02 3,02 3,02 3,02 0,60 12,68 150,00 5-0,91-0,91-0,91-0,91-0,91 5 0,60 0,60 0,60 0,60 0,60 3,00 100, ,58 skutečnost 543,65 188,41 52,27 12,68 3,00 800,00 cíl 50,00 150,00 250,00 100,00 250,00 800,00 C ,00 84,31 32,43 9,06 2, ,26 84,26 32,43 9,06 2, ,43 32,43 32,43 9,06 2,40 cíl 4 9,06 9,06 9,06 9,06 2, ,40 2,40 2,40 2,40 2,40 500,00 19

20 Prncp maxmalzace entrope Výsledný vztah: = e β X σ σ e β X X - norm výpočet 1, ,55 1, , ,26 0, , ,22 0, , ,02 0, , ,60 0, ,

21 Logt model eore dskrétní volby (vz další přednáška) Výsledný vztah stený ako u prncpu maxmalzace entrope = e β X σ σ e β X O X b 1 50,00 1 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 1, ,00 2 1,00 1,00 2,00 3,00 4, ,00 3 2,00 2,00 2,00 3,00 4, ,00 4 3,00 3,00 3,00 3,00 4, ,00 5 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 D 50,00 150,00 250,00 100,00 250,00 800,00 f(x) skutečnost cíl 1 1,00 0,19 0,04 0,01 0, ,61 84,23 16,14 3,09 0,59 543,67 50,00 2 0,19 0,19 0,04 0,01 0, ,23 84,23 16,14 3,09 0,59 188,30 200,00 3 0,04 0,04 0,04 0,01 0, ,14 16,14 16,14 3,09 0,59 52,11 300,00 4 0,01 0,01 0,01 0,01 0,00 4 3,09 3,09 3,09 3,09 0,59 12,96 150,00 5 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5 0,59 0,59 0,59 0,59 0,59 2,96 100,00 skutečnost 543,67 188,30 52,11 12,96 2,96 800,00 cíl 50,00 150,00 250,00 100,00 250,00 800,00 21

22 Obecný model V zásadě e možné zvolt lbovolnou funkc Obecně lepší zvonovtý tvar, který lépe zobrazue ohodnocení nákladů, avšak zpravdla složtěší matematcké operace = f X σ σ f X 22

23 Řešení okraových podmínek Kromě ohodnocení nákladů e třeba brát eště v úvahu okraové podmínky Dosud řešeno pouze dodržení skutečnost cíl 1 439,61 84,23 16,14 3,09 0,59 543,67 50, ,23 84,23 16,14 3,09 0,59 188,30 200, ,14 16,14 16,14 3,09 0,59 52,11 300,00 4 3,09 3,09 3,09 3,09 0,59 12,96 150,00 5 0,59 0,59 0,59 0,59 0,59 2,96 100,00 skutečnost 543,67 188,30 52,11 12,96 2,96 800,00 cíl 50,00 150,00 250,00 100,00 250,00 800,00 Zohlednění prostorových omezení: ednostranně omezený model (fxace edné strany) oboustranně omezený model 23

24 Jednostranně omezený model Fxace edné strany znamená, že tato bude přesně dodržena Zpravdla bývá fxace na straně domácí aktvty (pokud se aplkue) gravtační model (mplctně obsahue potencály ako váhy): = X α D σ X α O D = X α O σ X α D O logt model: = e β X σ e β X O = e β X σ e β X D 24

25 Jednostranně omezený model Gravtační model fxovaný přes zdro (zdroově fxovaný): O X a 1 50,00 1 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 0, ,00 2 1,00 1,00 2,00 3,00 4, ,00 3 2,00 2,00 2,00 3,00 4, ,00 4 3,00 3,00 3,00 3,00 4, ,00 5 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 D 50,00 150,00 250,00 100,00 250,00 800,00 f(x) skutečnost cíl 1 1,00 1,00 0,57 0,42 0,33 1 5,35 16,04 15,35 4,44 8,82 50,00 50,00 2 1,00 1,00 0,57 0,42 0, ,39 64,16 61,42 17,76 35,27 200,00 200,00 3 0,57 0,57 0,57 0,42 0, ,53 67,58 112,63 32,57 64,69 300,00 300,00 4 0,42 0,42 0,42 0,42 0, ,02 30,06 50,09 20,04 39,79 150,00 150,00 5 0,33 0,33 0,33 0,33 0,33 5 6,25 18,75 31,25 12,50 31,25 100,00 100,00 skutečnost 65,53 196,59 270,75 87,31 179,83 800,00 cíl 50,00 150,00 250,00 100,00 250,00 800,00 25

26 Jednostranně omezený model Výhody/nevýhody: ednoduchý výpočet není potřeba teratvní výpočet není ale možné obecně dodržet O a D zároveň 26

27 Oboustranně omezený model Matce přemísťovacích vztahů s okraovým podmínkam n řádkových součtů n sloupcových součtů celkově 2 n rovnc n*n neznámých O = D = 27

28 Okraové podmínky

29 Prncp maxmalzace entrope Systémová podmínka: σ σ X = const. Ekvvalentní vyádření: σ σ X σ σ = തX = const. (celočíselná) maxmalzace entrope E =! ς! MAX Pro necelá čísla za použtí Strlngova vzorce upravená krterální funkce: σ σ ln MIN Okraové podmínky: O mn O O max D mn D D max 29

30 Prncp maxmalzace entrope Řešení: = e β X fo fd O mn O O max D mn D D max Okraové podmínky mohou být elastcké nebo neelastcké 30

31 Mnmalzace nformačního zsku Měřítko odchylky ednoho pravděpodobnostního rozdělení od druhého I f X = O D mn mn O D ln f X MIN O D max max Hledáme příslušnou matc: = f f X, O, D 31

32 Obecný model dstrbuce cest Řešení: = f X fo fd O mn O O max D mn D D max Okraové podmínky mohou být elastcké nebo neelastcké Obecně e možno použít lbovolnou funkc ohodnocení 32

33 Obecný model dstrbuce cest Řešení matce: koefcenty fo a fd musí být určeny tak, aby byly zároveň dodrženy všechny O a D e nutné řešt teratvním algortmem Používané metody: MULI FURNESS DEROI FRAAR 33

34 Model růstových koefcentů Exstue matce přepravních vztahů (např. ze sčítání nebo odhadů) ato matce e dostatečně reprezentatvní, avšak ž ne aktuální Od vytvoření matce nedošlo k významným změnám ve struktuře území Steně tak nedošlo ke změnám v dopravní nabídce = fo fd mn max O O O D mn D D max 34

35 Použté zdroe Ben-Akva, Moshe. ransportaton Systems Analyss: Demand & Economcs. Podklady k přednáškám Lohse, Deter. Grundlagen der Strassenverkehrstechnk und der Verkehrsplanung. Band 2, Verkehrsplanung. Berln, Ortúzar, J. de D. & Wllumsen, L. Modellng ransport. Chchester, Schller, Chrstan. heore der Verkehrsplanung I + II. Podklady k přednáškám

36 Department of Appled Mathematcs Faculty of ransportaton Scences Czech echncal Unversty n Prague Děku Vám za pozornost 11DOPM O. Přbyl, M. Kříž 3