SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 1 MARTIN KOLÁŘ

Transkript

1 SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 1 MARTIN KOLÁŘ

2 Kpitol 1 Fourierovy řdy 1.1 Úvod Motivční příkld Z hledisk historie vznikl teorie Fourierových řd ve fyzice, při snze njít řešení rovnice vedení tepl. Uvžujme šíření tepl v tenké tyči z homogenního mteriálu, kterou modelujeme jko jednorozměrné těleso. Budeme předpokládt že délk tyče je rovn π (toho můžeme vždy dosáhnout volbou jednotek délky). Modelem tyče bude úsečk n reálné ose s hrničními body 0 π. Teplotu tyče v počátečním čse t = 0 popisuje funkce u 0 (x) pro x 0, π, kterou známe. Zjímá nás jk se teplo v tyči šíří pro t > 0. Teplotu v bodě x čse t bude popisovt funkce u(x, t). Z fyzikálních zákonu plyne, že funkce popisující teplotu splňuje diferenciální rovnici u xx (x, t) = u t (x, t) (1.1) pro všechn x (0, π) t > 0. K tomu, bychom mohli určit funkci u(x, t) musíme ješte vědět co se děje n koncích tyče. Budeme uvžovt nejjednodušší situci (z mtemtického hledisk), kdy n koncích tyče udržujeme stále nulovou teplotu. Celkem tedy chceme řešit rovnici (1.1), s počáteční podmínkou pro x 0, π okrjovými podmínkmi u(x, 0) = u 0 (x) u(0, t) = u(π, t) = 0 pro t 0. Pro některé speciální počáteční podmínky není těžké řešení njít. Je-li u 0 (x) = sin x, (1.) 1

3 pk dvojnásobným derivováním podle x dostneme d dx u 0(x) = sin x, tedy původní funkci s opčným znménkem. Pokud njdeme funkci f proměnné t která při jednonásobném derivováním podle t změní znménko, bude součin f(t) sin x zřejmě řešením rovnice. Pokud nvíc bude hodnot f v bodě t = 0 rovn jedné, bude splňen i počáteční podmínk. Řešení úlohy njdeme sndno, je to funkce f (t) = f(t), f(0) = 1 f(t) = e t. Tk jsme nšli jedno řešení nší úlohy, se speciální počáteční hodnotou (1.), u(x, t) = sin xe t. Stejnou úvhu můžeme udělt i pro dlší počáteční hodnoty, tvru pro libovolné přirozené číslo n. Máme potřebujeme tedy njít funkci splňující t.j. Celkem dostneme řešení u 0 (x) = sin nx, d dx u 0(x) = n sin x, f (t) = n f(t), f(0) = 1, f(t) = e nt. u(x, t) = sin nxe nt. Zdá se že jsme se příliš dleko nedostli, máme několik příkldů řešení pro velmi speciální počáteční hodnoty teploty. Teď le můžeme využít toho, že jk rovnice vedení tepl tk počáteční podmínk jsou lineární. Když tedy bude počáteční teplot konečnou lineární kombincí funkcí sin nx, u 0 (x) = N b n sin nx, n=1 bude řešení odpovídjící kombincí speciálních řešení, u(x, t) = N b n sin nxe nt. n=1

4 Zůstává otázk jké funkce je možné vyjádřit jko konečnou lineární kombinci funkcí sin nx. Všechno co jsme ztím řekli bylo známo před Fourierovou prcí. Fourier uvžovl předchozí rgument pro nekonečné lineární kombince vyslovil ve své době velmi odvážnou doměnku, že kždou funkci splňující f(0) = f(π) = 0 lze npst jko nekonečnou lineární kombinci funkcí sin nx, obecnou funkci pk jko nekonečnou lineární kombinci funkcí sin nx cos nx. Tk by bylo možné njít obecné řešení rovnice vedení tepl. Fourierov hypotéz: Kždou rozumnou funkci n omezeném intervlu lze npst jko nekonečnou lineární kombinci funkcí sin nx cos nx Trigonometrické polynomy řdy Definice Trigonomotrický polynom je výrz tvru 0 N + n cos nx + b n sin nx, n=1 kde n, b n jsou reálné nebo přípdně komplexní konstnty. Trigonometrický polynom předstvuje poměrně jednoduše nlyzovtelnou funkci, zdnou konečným počtem konstnt. Pomocí těchto funkcí bychom rádi proximovli libovolně složité funkce. Částečná nlogie této situce je známá ze zákldů mtemtické nlýzy. Podle Tylorovy věty můžeme kždou funkci n-krát diferencovtelnou v bodě x 0 proximovt v okolí tohoto bodu pomocí Tylorov polynomu stupně n. Z prktického hledisk má Tylorův polynom dvě nevýhody. Předpokld n- násobné diferencovtelnosti je znčně omezující čsto není splňen. Druhým nedosttkem je to že dává pouze lokální proximci, n okolí dného bodu, o jehož velikosti nemáme priori žádnou informci. Ob tyto nedosttky odstrňuje tzv. Weierstrssov vět, která dává globální stejnoměrnou proximci polynomy pro libovolnou spojitou funkci. Tuto větu dokážeme jko důsledek tvrzení o proximci trigonometrickými polynomy. Vedle trigometrických polynomů nás budou zjímt jejich nekonečné nlogie - trigonometrické řdy. Trigonometrická řd je nekonečná funkční řd tvru 0 + n cos nx + b n sin nx. n=1 Tuto řdu uvžujeme jko formální řdu budeme se mimo jiné zjímt otázkmi její konvergence. Částečným součtem trigonometrické řdy je trigonometrický polynom s n (x) = 0 + k cos kx + b k sin kx. k=1 3

5 1.1.3 Komplexní tvr trigonometrických polynomů řd Ve řdě přípdů je jednodušší prcovt s komplexním tvrem trigonometrickéhých polynomů řd. Klíčem pro převod mezi reálným komplexním tvrem je Eulerův vzorec pro komplexní exponenciálu e iy = cos y + i sin y, pro libovolné y R. Existuje řd různých důkzů tohoto vzthu, jedním z nich je důkz pomocí mocninných řd, který předpokládá znlost Tylorov rozvoje exponenciály. Pro komplexní exponenciálu pltí stejný rozvoj do mocninné řdy jko pro reálnou, tedy e z z n = n! n=0 pro libovolné z C. Pro z = iy tedy máme e iy = (iy) n i=0 n! = 1 y! + y4 4! i( y 1! y3 +...) = cos y + i sin y. 3! Doszením do reálného tvru trigonometrického polynomu cos nx = enx + e nx, sin nx = enx e nx i dostneme komplexní tvr trigonometrického polynomu f(x) = N n= N e inx, kde vzthy mezi koeficienty n, b n c n jsou následující. Pro n > 0 je pro n < 0 je c n = 1 ( n ib n ), c n = 1 ( n ib n ), c 0 = 0. Stejné vzthy pltí pro komplexní tvr trigonometrické řdy n= e inx. 4

6 1.1.4 Výpočet koeficientů Nejdříve budeme uvžovt situci kdy trigonometrická řd konverguje jejím součtem je f(x). N prostoru spojitých (reálných nebo komplexních) funkcí n intervlu, π definujeme sklární součin vzthem (f, g) = f(x)g(x)dx. který je přímou nlogií Euklidovského sklárního součinu v R n. Vět Nechť f je součtem trigonometrické řdy, f(x) = 0 + n cos nx + b n sin nx, (1.3) n=1 předpokládejme že řd konverguje stejnoměrně n intervlu, π. Pk pro její koeficienty pltí nd n = 1 π b n = 1 π f(x) cos nxdx (1.4) f(x) sin nxdx (1.5) Důkz této věty je zložen n ortogonálních vlstnostech systému funkcí {1, cos nx, sin nx}, které shrnuje následující lemm. Lemm Systém funkcí {1, cos nx, sin nx} je ortogonální systém, t.j. pro libovolné dvě funkce φ 1, φ, nvzájem různé, z tohoto systému pltí Nvíc pltí následující vzthy (1, 1) = π. Důkz: Zřejmě pltí (φ 1, φ ) = 0. (cos mx, cos mx) = (sin mx, sin mx) = π Odtud máme npříkld cos mx cos nxdx = sin nxdx = Podobně dostneme osttní vzthy. cos nxdx = 0. cos (n + m)x + cos (m n)xdx = 0. 5

7 Důkz Věty Vzth 1.3 vynásobíme cos mx zintegrujeme ( π ) 0 f(x) cos nxdx = + n cos nx + b n sin nx cos mxdx = = 0 n=1 cos mxdx + n cos mx cos nx + b n cos mx sin nxdx = n=1 = π m. Záměnn sumy integrálu je možná díky stejnoměrné konvergenci. Tedy nlogicky pro b n 0. n = 1 π f(x) cos nxdx 1. Dirichletov vět o bodové konvergenci Viděli jsme, že z předpokldu stejnoměrné konvergence je vzth mezi součtem trigonometrické řdy 1.3 jejími koeficienty dán vzthy (1.3), (1.4). Z hledisk plikcí tková vět zdlek nestčí, čsto chceme nlyzovt funkce u kterých víme že konvergence být stejnoměrná nemůže (npříkld u funkcí s jednoduchými nespojitostmi - součtem řdy při stejnoměrné konvergenci musí být spojitá funkce). Teď náš pohled obrátíme. Budeme definovt Fourierovy koeficienty pro co nejširší třídu funkcí, pro než mji integrály (1.3), (1.4) smysl. Pk se budeme zjímt o to z jkých podmínek výsledná řd konverguje jký je vzth jejího součtu původní funkce. Přirozenou třídou funkcí pro které je (1.3) (1.4) dobře definováno jsou funkce bsolutně integrovtelné. Oznčíme prostor všech funkcí f(x) tkových, že Je-li f L 1 (, π ), pk utomticky L 1 (, π ) f(x) dx <. f(x) sin nx f(x), nlogicky pro f(x) cos nx f(x)e inx. Integrály jsou tedy konečné Fourierovy koeficienty dobře definovné. Definice Nechť f L 1 (, π ). Reálné Fourierovy koeficienty funkce f definujeme vzthy (1.3) (1.4). Komplexní Fourierovy koeficienty jsou definovány vzthem c k = f(x)e ikx dx. 6

8 Píšeme f ( k, b k ) f (c k ). Formální mocninné řdy vzniklé z těchto koeficientů se nzývjí (reálná, resp. komplexní) Forierov řd funkce f. Definice 1... Funkce f je po částech hldká n intervlu, π, jestliže existuje dělení tohoto intervlu n konečně mnoho podintervlů tk, že n kždém z podintervlů lze f f spojitě rozšířit n uzávěr tohoto intervlu. Pro po částech hldkou funkci jsou dobře definovány jednostrnné limity f(x + ) = lim u 0 + f(x + u) f(x ) = lim u 0 f(x + u) pro libovolné x, π nlogicky pro f. Vět (Dirichletov) Nechť f je po částech hldká n, π. Pk Fourierov řd funkce f konverguje v kždém bodě tohoto intervlu k 1 [f(x +) + f(x )]. Speciálně, je-li f spojitá v bodě x, pk řd konverguje k f(x). Důkz: Nechť ( k, b k ) jsou Fourierovy koeficienty funkce f. Chceme dokázt, že lim s 0 n(x) = lim n n + Nejdříve dosdíme z k b k, s n (x) = 1 f(t)dt + k=1 Použitím trigonometrické identity dostneme k=1 k cos kx + b k sin kx = 1 [f(x +) + f(x )]. f(t)(cos kt cos kx + sin kt sin kx)dx cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β s n (x) = f(t) [ 1 + Ukážeme že pro součet n prvé strně pltí k=1 Oprvdu, z trigonometricke identity k=1 cos k(t x) 1 + cos ku = sin(n + 1)u sin( u). ] dt. sin u cos ku = sin(k + 1 )u sin(k 1 )u 7

9 sečtením přes k dostneme sin u cos ku = sin(n + 1 )u sin 1 u k=1 odkud po vydělení sin u plyne tvrzení. Je tedy s n (x) = f(t) sin(n + 1 )(x t) sin( x t) dt. Rozšíříme f n π-periodickou funkci n R položíme u = t x. Tím se integrál převede n intervl x, π x. Protože le integrovná funkce má periodu π, bude jeho hodnot stejná když budeme opět integrovt přes intervl, π. Tedy Oznčíme dokážeme, že Zcel nlogicky se dokáže kde Víme, že s n (x) = s + n (x) = s n (x) = 0 f(x + u) sin(n + 1 )u sin( u ) du. f(x + u) sin(n + 1 )u sin( u ) du lim n s+ n (x) = 1 f(x +). lim n s n (x) = 1 f(x ), 0 f(x + u) sin(n + 1 )u sin( u ) du 1 π f(x + u) sin(n + 1)u π sin( u) du = 1, neboť v uvžovném součtu djí všechny členy při integrování nulu, s vyjímkou konstntního členu 1. Vynásobíme obě strny rovnice f(x +) odečteme od předchozí rovnice. Dostneme Ale funkce s n (x) f(x + ) = 0 sin(n + 1 )(x t) sin( x t) [f(x + u) f(x + )]du. g(u) = [f(x + u) f(x +)] sin( u ) je po částech spojitá (limit pro u 0 existuje podle L Hospitlov prvidl). Tvrzení tedy plyne z Riemnn-Lebesgueov lemmtu, které dokážeme později. 8

10 1.3 L -teorie V této části budeme uvžovt funkce n obecném intervlu, b s hodnotmi v C prostor L (, b ), obshující funkce pro které b f(x) dx <. L (, b ) je Hilbertův prostor (nekonečněrozměrná nlogie Euklidovského prostoru) se sklárním součinem (f, g) = b f(x)g(x)dx. Sklární součin indukuje stejně jko v Euklidovském prostoru n normu ( b f = L (, b ) tké metriku. Vzdálenost dvou funkcí je číslo ( b ρ(f, g) = f g = ) 1 f(x) dx ) 1 f(x) g(x) dx. Definice Systém funkcí {φ k } k=0 se nzývá ortogonální systém, jestliže (φ n, φ m ) = 0 pro kždé n m. Nzývá se ortonormální systém, jestliže nvíc pltí (φ n, φ n ) = 1 pro všechn n N. Definice Nechť {φ k } k=0 je ortonormální systém. Čísl c k = b f(x) φ k (x)dx se nzývjí Fourierovy koeficienty funkce f vzhledem k systému {φ k } k=0. Formální funkční řd c k φ k k=0 9

11 se nzývá Fourierov řd. Zkldními příkldy ortonormálních systému jsou pro nás reálný systém (T) tvořený normlizovnými siny kosiny, komplexní systém (E) tvořený komplexními exponenciálmi. Pomocí Fourierových koeficientů definujeme funkce f N = N c k φ k k=0 Nšim cílem je zjistit z jkých podmínek konverguje f N pro N k funkci f. Konvergencí v tomto přípdě rozumíme konvergenci v normě prostoru L. Následující lemm ukzuje že f N je nejlepší proximcí f mezi všemi lineárními kombincemi funkcí φ 1, φ,... φ N. Lemm Nechť {φ k } k=0 je ortonormální systém, f L. Pk pro libovolná komplexní čísl d 1,..., d N pltí f N d j φ j f f N. Rovnost přitom nstne pouze tehdy, je-li d j = c j pro všechn j = 0,..., N. Důkz: Máme f N d j φ j = (f N d j φ j, f N d j φ j ) = N N N = (f, f) (f, d j φ j ) ( d j φ j, f) + ( d j φ j, = f N c j dj = f + N c j d j + N c j d j N d j dj = N c j. N d j φ j = První poslední člen nezávisí n koefientech d j, prostřední člen je nezáporný minimlizuje se právě tehdy když d j = c j pro j = 0,..., N. Tím je tvrzení dokázáno. Pro d k = c k dostneme z výpočtu v předchozím lemmtu jko důsledek Besselovu identitu f = N c j + f N c j φ j Protože druhý člen n prvé strně je nezáporný, dostáváme pro N jko dlší důsledek nerovnost N c j f. 10

12 Tedy řd c j má omezenou posloupnost částečných součtů, která je zřejmě neklesjící. Je tedy konvergentní pltí Besselov nerovnost c j f. Besselov identit dává důležitou ekvivlentní podmínku pro konvergenci Fourierovy řdy k funkci f. Lemm Fourierov řd c k φ k k=0 konverguje v normě L k funkci f právě tehdy, když pltí Prsevlov rovnost c j = f. Důkz: f N konvergují k funkci f v L právě tehdy, když čísl f N d j φ j konvergují k nule pro N. Podle Besselovy identity je to ekvivlentí tomu, že pltí c j = f. Připomeňme si že v kždém prostoru se sklárním součinem pltí Cuchy-Schwrtzov nerovnost. Pro kždé dvě funkce f, g L (, b ) pltí (f, g) f g. Důsledkem Cuchy-Schwrtzovy nerovnosti je následující lemm o spojitosti sklárního součinu (v metrice kterou indukuje). Lemm Nechť f n f g n g pro n v L. Pk (f n, g n ) (f, g). 11

13 Důkz: Máme pro n, protože (f n, g n ) = (f + f n f, g + g n g) = = (f, g) + (f n f, g) + (f, g n g) + (f n f, g n g) (f, g) (f n f, g) f n f g 0 pro n podle Cuchy-Schwrtzovy nerovnosti, nlogicky pro dlší dv členy. Vět (Rieszov-Fischerov) Nechť {c k } k=0 je posloupnost tková, že c k n=0 konverguje. Pk existuje funkce jejíž Fourierovy koeficienty jsou rovny c k řd c k φ k konverguje k f v normě L. k=0 Důkz: L je úplný metrický prostor, pltí v něm tedy Bolzno - Cuchyho podmínk, posloupnost konverguje právě tehdy, když pltí b pro n, m. V nšem přípdě je tedy pro n > m je b f n f m dx 0 f n = c k φ k k=0 f n f m dx = m c k 0 pro n, m, protože číselná řd 0 c k konverguje, splňuje tedy Bolzno- Cuchyho podmínku pro posloupnosti reálných čísel. Existuje tedy funkce f L tk, že f n f v L. Zbývá dokázt, že (c k ) jsou Fourierovy koeicienty funkce. To je obshem následujícího lemmtu. Lemm Nechť f n = n+1 c k φ k f k=1 pro n v L. Pk n k=0 c kφ k je Fourierov řd funkce, t.j. c n jsou Fourierovy koeficienty f. Důkz: Je b f φ m dx = lim podle lemmtu n b f n φm dx = lim n c m = c m, 1

14 1.4 Úplnost Prsevlov rovnost Definice Ornonormální systém {φ k } k=0 se nzývá úplný, jestliže pltí: pokud je pro nějkou funkci (f, φ n ) = 0 pro vsechn n, pk f = 0. Neexistuje tedy nenulová funkce kolmá n všechny φ n. Vět Nechť {φ k } k=0 je úplný ortonormální systém (c k ) jsou Fourierovy koeficienty funkce f. Pk c k φ k konverguje v normě L k funkci f pltí tedy Prsevlov rovnost Důkz: Víme, že k=0 c j = f. c j <, podle Besselovy nerovnosti. Funkce f je tedy rovn funkci z Riesz-Fischerovy věty. Z úplnosti systému totiž plyne že koeficienty (c k ) určují f jednoznčně. Je-li tké g (c k ), pk (f g) (0), tedy f = g. Vět Nechť f g jsou funkce z L, kde f (c k ) g (d k ). Pk pltí b fḡ dx = c j dj. Tedy zobrzení f (c k ) z L do l je izomorfismus (zchovává sklární součin). Důkz: Je b f n ḡdx = b c m φ m ḡ dx = c j dj. Ale pro n je f n f v L prvá strn konverguje k c j d j. Celkem tedy b fḡdx = c j dj. 13

15 1.4.1 Úplnost uzvřenost Nechť {φ k } k=0 je systém funkcí z L. Oznčme φ k prostor všech konečných lineárních kombincí funkcí z {φ k } k=0, t.j. pro nějké n N d k C. g φ k g = d k φ k Definice Systém {φ k } k=0 se nzývá uzvřený jestliže φ k je hustý podprostor L. Vět {φ k } k=0 k=0 je úplný právě tehdy když je uzvřený. Důkz: Tvrzení stčí dokázt pro ortonormální systém, neboť kždý systém lze ortonormlizovt. Nechť {φ k } k=0 je úplný systém f L. Podle Věty je f n f v L, le f n φ k, tedy φ k je hustý. Nopk, nechť {φ k } k=0 je hustý f L má všechny Fourierovy koeficienty rovny nule, t.j. (f, φ n ) = 0 pro všechn n. Z hustoty plyne existence posloupnosti funkcí Φ n φ k tk, že Φ n f v L, t.j. Φ n f 0 pro n. Ale f n jsou nejlepší proximcí, tedy i f n f. Ale f n = 0, tedy i f = 0. Odtud plyne, že {φ k } k=0 je úplný systém. Uzvřenost, tedy i úplnost systémů (T) (E) dokážeme později, jko plikci Fejérovy věty. 1.5 Symetrické operátory ortogonální systémy. V této části ukážeme nejčstější původ ortogonálních systémů funkcí, jko systému vlstních funkcí nějkého symerického diferenciálního operátoru. Funkce cos kx sin kx z trigonometrického systému (T) řeší diferenciální rovnici y = k y, jsou to tedy vlstní funkce diferenciálního operátoru d příslušné vlstnímu číslu dx k. Obecněji, nechť V je reálný vektorový prostor se sklárním součinem, ) L : V V je lineární zobrzení. Přitom definiční obor L nemusí být celé V. Nenulová funkce f V je vlstní vektor příslušný vlstnímu číslu λ, pokud L je symetrický operátor, je-li Lf = λf. (Lf, g) = (f, Lg) 14

16 pro kždé f, g V pro než je L definován. Příkld Nechť L = d. Jko definiční obor L uvžujme C (, π ). dx Chceme zjistit zd je L symetrický operátor. L bude symetrický, je-li (Lf, g) = (f, Lg), tedy f (x)g(x)dx = Po dvojnásobné integrci per prtes dostneme f (x)g(x) = f(x)g (x)dx. f(x)g (x)dx+ +f (π)g(π) f ()g() f(π)g (π) + f(π)g (π). L tedy bude symetrický, pokud omezíme definiční obor n podprostor n kterém jsou zintegrovné členy n posledním řádku rovny nule. Můžeme tedy npříkld poždovt splnění Dirichletovy podmínky v koncových bodech intervlu, h(π) = h() = 0. Tuto podmínku splňují tké funkce sin kx. Nebo splnění Neumnnovy podmínky, h (π) = h () = 0, kterou splňují funkce cos kx. Následující vět popisuje souvislost symetrických operátorů s ortogonálními systémy. Vět Nechť L je symetrický lineární operátor definovný n vektorovém prostoru V se sklárním součinem. Jsou-li f 1, f vlstní vektory odpovídjící různým vlstním číslům λ 1, λ, pk f 1, f jsou ortogonální. Důkz: Nechť Lf 1 = λ 1 f 1 Lf = λ f. Je (Lf 1, f ) = (λ 1 f 1, f ) = λ 1 (f 1, f ) (f 1, Lf ) = (f 1, λ f ) = λ (f 1, f ). Ze symetričnosti jsou si obě hodnoty rovny. Ale λ 1 λ, tedy (f 1, f ) = Sturmův-Liouvilleův operátor Uvžujme teď Sturmův-Liouvilleův operátor Lf = (pf ) + qf, kde p je jednou spojitě diferencovtelná q je spojitá n intervlu, b. Jko speciální přípd pro p 1 q 0 dostneme L = d. dx Zjímá nás opět kdy bude L symetrický. Po dvojnásobném integrování per prtes dostneme 15

17 (Lf, g) = b ((pf ) + qf)gdx = b Musíme se tedy omezit n funkce splňující p(f g g f) b = 0. ((pg ) + qg)fdx + pf g b pg f b. N rozdíl od předchozího operátoru může být podmínk splněn vždy, pokud je p() = p(b) = 0. Tk tomu bude v následujícím příkldu Legendreovy polynomy Uvžujme speciální přípd Sturmov-Liouvilleov operátoru Lf(x) = (1 x )f (x) xf (x), který dostneme pro p(x) = 1 x q(x) = 0. Tedy L je symetrický operátor n intervlu 1, 1 bez hrničních podmínek, neboť p(1) = p( 1) = 0. Hledání vlstních funkcí vede n řešení Legendreovy rovnice indexu n, (1 x )y xy + n(n + 1)y = 0. Přímým výpočtem lze ověřit že jejím řešením jsou Legendreovy polynomy d n P n (x) = 1 n n! dx n (x 1) n, n = 0, 1,,.... P n je tedy vlstní funkce operátoru L odpovídjící vlstnímu číslu n(n + 1). Tedy podle Věty tvoří Legendreovy polynomy ortogonální systém. Opět přímým výpočtem dostneme 1 1 Pn(x)dx =, n = 0, 1,,... n + 1 tedy funkce n + 1 φ n (x) P n (x) tvoří ortonormální systém. Nejlepší proximcí v prostoru L funkce f mezi všemi polynomy stupně n je tedy polynom c k P k (x), kde k=0 c k = k f(x)p n (x)dx. 16

18 1.6 Fejérov vět Od obecné teorie se vrátíme zpět ke konkrétní situci trigonometrických řd n intervlu, π. Je-li f (c k ), oznčíme s n (x) = k= n c k e ikx částečný součet Fourierovy řdy Víme, že s n je nejlepší proximcí f v L, le nemusí bodově konvergovt k f. Ukážeme, že existuje lepší volb trigonometrického polynomu, pro kterou dostneme konvergenci (dokonce stejnoměrnou) pro libovolnou spojitou funkci Cesárovy součty Lemm (i) Je-li {S n } n=0 posloupnost komplexních čísel S n S pro n pk tké posloupnost ritmetických průměrů A n = 1 n + 1 konverguje k S. (ii) Existuje posloupnost {S n } n=0 která nemá limitu tková že posloupnost A n = 1 n n+1 S j limitu má. Důkz: (i) Nechť je dáno ε > 0. Odhdneme S j 1 ( n + 1 S j ) S = 1 n + 1 (S j S) 1 n + 1 S j S. Víme, že existuje N(ε) tk, že S n S < ε pro n > N(ε). Oznčme N(ε) A = S j S. Existuje M(ε) N(ε) tk, že Pro n > M(ε) je N(ε) 1 S j S + n + 1 A ε j=n(ε)+1 Tím je je první část tvrzení dokázán. < M(ε). S j S < A ε n + 1 < ε + ε < ε. 17

19 (ii) Příkldem posloupnosti která nekonverguje, le má konvergentní posloupnost ritmetických průměrů je S n = ( 1) n. Posloupnost ritmetických průměrů je totiž rovn buď 0 nebo 1 n+1, tedy pro n Fejérov vět 1 n + 1 S j 1 n Vrátíme se zpět k trigonometrické řdě po inspirci z Lemmtu oznčíme σ n = 1 n + 1 (s 0(x) s n (x)) = 1 n + 1 s k (x). Po doszení z s n je vidět, že σ n je vlstně vážený průměr funkcí e ikx, kde větší hodnoty frekvence k mjí menší váhu než nižší frekvence. Vět (Fejérov) Nechť f je spojitá funkce n, π. Pk σ n (x) konvergují k f(x) stejnoměrně n intervlu, π. Důkz: z c k, kde Postupujeme podobně jko v důkzu Dirichletovy věty, nejdříve dosdíme = 1 π σ n (x) = 1 n + 1 = f(t) k= n k= n je tzv. Fejérovo jádro. Lemm Pltí pro s 0 s k (x) = k=0 n + 1 k n + 1 k= n k=0 n + 1 k c k e ikx = n + 1 ( 1 π ) f(t)e ikt dt e ikx = π n + 1 k e ik(x t) dt = 1 n + 1 π K n (s) = k= n ( n + 1 k e iks n + 1 ) f(t)k n (x t) dt, Jeho vlstnosti odvodíme ve dvou pomocných lemmtech. K n (s) = 1 ( sin( n+1 )s ) n + 1 sin s K n (0) = n

20 Důkz: Pro s 0 máme ( ) (n + 1 k )e iks = e i(k n )s k= n k=0 neboť pro λ C pltí (λ n + λ n λ λ +... λ n ) = = λ n + λ n (n + 1) λ n, kde v nšem přípdě je λ = e is. Dále máme (součtem geometrické řdy) ( ) ( ) ( ) e i(k n )s = e ins e iks = e ins 1 e i(n+1)s 1 e is k=0 k=0 Po rozšíření výrzem e is dostneme (e i(n+1)s e i(n+1)s e is e is ) ( sin( n+1 = )s sin s Druhá vlstnost plyne přímo z definice. Tím je lemm dokázáno. Lemm K n má následující vlstnosti: (i) K n (s) 0 (ii) K n (s) 0 stejnoměrně n doplňku δ, δ pro kždé δ > 0 (iii) K n(s)ds = π ) Důkz: První tvrzení je zřejmé. Pro důkz druhého odhdneme K n (s) 1 ( ) ( ) 1 n + 1 sin s n + 1 sin δ pro n. Třetí tvrzení plyne ze vzthu K n (s) = 1 ((n + 1)1 + n cos x + i sin x +...). n + 1 Všechny členy s vyjímkou prvního dávjí nulový integrál, tedy K n (s)ds = 1 dx = π. Dokončení důkzu Fejérovy věty: Nechť ɛ > 0 je dáno. f je spojitá n kompktním intervlu, je tedy omezená, t.j. existuje M > 0 tk že f(s) M pro kždé 19

21 s, π. Dále ze spojitosti n kompktní množině plyne stejnoměrná spojitost, t.j. existuje δ > 0 tk, že f(s) f(t) ε pro s t < δ. Vezměme tkové δ. Podle (ii) existuje N tk, že pro s / δ, δ n N. Máme K n (s) ε 4M σ n (x) f(x) = 1 f(x s)k n (s)ds 1 f(x)k n (s)ds = π π = 1 [f(x s) f(x)]k n (s)ds 1 [f(x s) f(x)]k n (s)ds + π π s δ,δ + 1 [f(x s) f(x)]k n (s)ds π s/ δ,δ ε 1 K n (s) ds + M K n (s) ds π δ,δ π s/ δ,δ ε 1 π K n (s)ds + M ε π π 4M ds ε + ε = ε. s/ δ,δ Tím je dokázáno tvrzení o konvergenci. Stejnoměrná konvergence plyne z nezávislosti předchozího odhdu n x. Prvním důsledkem Fejérovy věty je existence libovolně přesné proximce spojitých funkcí trigonometrickými polynomy. Vět Nechť f(x) je spojitá funkce n intervlu, π nechť ε > 0. Pk existuje trigonometrický polynom P tk, že sup P (x) f(x) ε. x,π Důkz: Z P (x) vezmeme σ n (x) pro dosttečně velké n. Jink řečeno, trigonometrické polynomy jsou husté v prostoru spojitých funkcí v supremové normě. Dlším důležitým důsledkem je Weierstrssov vět Vět (Weierstrssov) Nechť f :, b C je spojitá funkce ε > 0. Pk existuje polynom P tkový, že sup P (x) f(x) < ε.,b Větu zřejmě stčí dokázt pro intervl 0, 1, protože lze trnsformovt n pomocí lineární trnsformce, která zchovává polynomy. Nejdříve odvodíme dvě pomocná lemmt. 0

22 Lemm Nechť f je spojitá funkce n, π nechť je f sudá. Pk pro kždé ε > 0 existuje n 1 čísl 0, 1,..., n C tk, že Důkz: Fejérovy věty. sup f(x),π k cos kx < ɛ. k=0 f je sudá, tedy b k = 0 σ n obshuje jen kosiny. Lemm tedy plyne z Lemm Pro kždé n N existuje reálný polynom T n tk, že cos nx = T n (cos x), x, π Důkz: Indukcí. Tvrzení pltí pro n = 0 n = 1, kdy vezmeme T 0 (t) = 1, T 1 (t) = t. Předpokládejme že pltí pro kždé n < m kde m. Pk cos mx = cos mx cos(m )x + cos(m )x = = cos ((m 1)x + x)+cos ((m 1)x x) cos(m )x = cos x cos(m 1)x cos(m )x = T m (c kde T m (t) = tt m 1 (t) T m (t). Odtud plyne že T m má poždovný tvr Důkz Weierstrssovy věty Nechť f : 0, 1 C je spojitá ε > 0 je dáno. Definujme g :, π C předpisem g(t) = f( cos t ) pro t, π. Funkce g je spojitá g(t) = g( t). Víme, že existuje n 1 0,..., n C tk, že Ale g(t) pro t, π, tedy sup g(t) t,π k cos kt < ε. k=0 k cos kt = f( cos t ) k=0 sup f(x) k T k (x) sup f( cos t ) x 0,1 0 t π k T k (cos t) k=0 Hledný polynom je tedy P (x) = n k=0 kt k (x), neboť Tím je tvrzení dokázáno. sup f(x) P (x) < ɛ. x 0,1 1 k T k (cos t) < ε. k=0

23 1.7 Gibbsův jev Uvžujme funkci h(x) = x pro x (, π) h(π) = h() = 0 rozšířenou n π periodickou funkci n R. Její rozvoj do Fourierovy řdy má tvr h(x) = ( 1) k+1 sin kx. k k=1 V bodech nespojitosti této funkce dochází k překmitu částečného součtu Fourierovy řdy o hodnotu která se pro zvětšující se n nezmenšuje. Přesně tento jev popisuje následující vět. Vět Nechť s n jsou částečné součty Fourierovy řdy funkce h(x). Pk pro n, kde Důkz: Tedy Máme s n (π π n ) = A = π s n (x) = s n (π π n ) Aπ s n (π + π n ) Aπ 0 sin x dx > x ( 1) k+1 sin kx. k k=1 ( 1) k+1 k sin k(π π n ) = k=1 k=1 k sin k π n = π n ( n kπ sin kπ n ). Poslední výrz je přibližným součtem z definice Riemnnov integrálu, pro funkci sin x n intervlu 0, π příslušnou rovnoměrnému rozdělení n intervly délky π. x n Tedy pro n konverguje k Podobně se dokáže, že Přímým výpočtem ověříme nerovnost 0 sin x x dx. s n ( + π n ) π 0 0 sin x dx > x sin x x dx k=1

24 Kpitol Fourierov trnsformce.1 Definice zákldní vlstnosti Nechť f : R C je funkce z L 1 (R). Pro ξ R definujeme ˆf(ξ) = f(x)e iξx dx. Pro kždé ξ je integrál konečný, protože f(x)e iξx = f(x) tedy f(x)e iξx L 1 (R). Definice.1.1. f(x). Funkce ˆf(ξ) : R C se nzývá Fourierov trnsformce funkce Lemm.1.. Nechť f L 1 (R) je omezená funkce. Pk ˆf je spojitá. Důkz: Nechť ε > 0 je dáno. f je integrovtelná, tedy existuje R(ε) dosttečně velké, tk, že f(x) dx ε 4. t R(ε) N druhé strně, f je omezená, tedy existuje K tk, že f(x) K pro kždé x R. Tedy ˆf(ξ) ˆf(η) = f(t)(e iξt e iηt ) R(ε) f(t)(e iξt e iηt )dt + f(t)(e iξt e iηt )dt ε + R(ε)K t R(ε) t R(ε) f(t) dt + R(ε) sup R(ε) t R(ε),R(ε) f(t)(e iξt e iηt )dt sup e iξt e iηt ε + R(ε)K sup ξt ηt t R(ε),R(ε) t R(ε),R(ε) ε + 4R(ε) K ξ η ε 3

25 je-li ξ η ε 8R(ε) K + 1. N druhé strně, Fourierov trnsformce nemusí být integrovtelná. Lemm.1.3. Nechť f(x) = 1 pro x 1, 1 f = 0 jink. Pk f / L 1 (R), t.j. ˆf(ξ) dξ diverguje. Důkz: Z definice ˆf(ξ) = sin ξ ξ ˆf(ξ) = 1 1 [ e e iξtdt iξt = iξ ] 1 1 = eiξ e iξ iξ = sin ξ ξ. Integrál z této funkce diverguje..1.1 Zákldní vlstnosti Fourierovy trnsformce Z linerity integrálu plyne, že Fourierov trnsformce je lineární operce. Pro kždé dvě funkce f, g konstnty, b tedy pltí (f + bg) = ˆf + bĝ. Lemm.1.4. (O změně měřítk) Pro f L 1 C R > 0 oznčme f R (x) = f(rx). Pk f R (ξ) = 1 R ˆf( ξ R ). Důkz: Z definice f R (ξ) = Substitucí y = Rx dostneme Tím je lemm dokázáno. f R (x)e iξx dx = f(y)e i ξr y 1 R dy = 1 R f(rx)e iξx dx. f(y)e i ξ R y dy = 1 R ˆf( ξ R ). Lemm.1.5. (O Fourierově trnsformci derivce). Nechť f L 1 C, f L 1 C lim x ± f(x) = 0. Pk (f )(ξ) = iξ ˆf(ξ). Tedy derivování se převádí n násobení. 4

26 Důkz: Integrováním per prtes dostneme (f )(ξ) = f (x)e iξx dx = [e iξx f(x)] ( iξ) f(x)e iξx dx = iξ ˆf(ξ). Obecně, je-li f, f,..., f (k) L 1 C lim x ± f j (x) = 0 pro j = 0, 1,..., k 1, pk k-násobným integrováním per prtes dostneme (f (k) )(ξ) = (iξ) k ˆf(ξ). Lemm.1.6. (O derivci Fourierovy trnsformce) Nechť f L 1 C g(x) = xf(x) L 1 C. Pk ˆf(ξ) je diferencovtelná pltí d ˆf dξ = iĝ(ξ). Důkz: Derivováním vzthu podle prmetru ξ dostneme ˆf(ξ) = f(x)e iξx dx d ˆf dξ (ξ) = f(x)( ix)e iξx dx = i [f(x)x] e iξx dx = iĝ(ξ). Dlší důležitou čsto používnou opercí je konvoluce. Pro f, g L 1 je jejich konvoluce definován vzthem f g(x) = f(x y)g(y)dy. Substitucí y = x y dostneme lterntivní vyjádření f g(x) = Konvoluce je tedy komuttivní operce. f(y)g(x y)dy = g f(x). Lemm.1.7. (O Fourierově trnsformci konvoluce) Nechť f, g L 1 (R). Pk f g(ξ) = ˆf(ξ)ĝ(ξ). Důkz: S použitím Fubiniho věty dostneme f g(ξ) = ( f(x y)g(y)dy)e iξx dx = 5

27 = = e iξx f(x y)g(y)dydx = e iξ(x y) f(x y)e iξy g(y)dydx = R R ( ) e iξ(x y) f(x y)dx e iξy g(y)dy = ˆf(ξ) e iξy g(y)dy = ˆf(ξ)ĝ(ξ). Lemm.1.8. (O trnsformci posunutí o posunutí trnsformce) Nechť f L 1 C. Pro > 0 oznčme f (x) = f(x ). Pk ˆf (ξ) = ˆf(ξ)e iξ. Nopk, fe ix (ξ) = ˆf(ξ ). Důkz: N jedné strně substitucí y = x dostneme ˆf (ξ) = f(x )e iξx dx = f(y)e iξ(y+) dy = e iξ f(y)e iξy dy = Nopk, = e iξ ˆf(ξ). fe ix (ξ) = f(x)e ix e iξx dx = f(x)e i(ξ )x dx = ˆf(ξ ). Důsledek.1.9. (Modulční identity) Nechť Fourierov trnsformce funkce f(x) je F (ξ). Pk Fourierov trnsformce funkce f(x) sin ωx je rovn Důkz: Víme, že Tedy i [F (ξ + ω) F (ξ ω)]. sin ωx = eiωx e iωx i f(x)e iωx (ξ) = ˆF (ξ ω). f(x) sin ωx(ξ) = 1 i [F (ξ ω) F (ξ + ω)] = i [F (ξ + ω) F (ξ ω)]. Lemm (Fourierov trnsformce Gussovy funkce) Je-li f(x) = 1 π e x, pk ˆf(ξ) = e ξ. Důkz: Oznčme opět F (ξ) = ˆf(ξ). Máme 6

28 N jedné strně je f (x) = 1 π xe x = xf(x). ( xf(x)) = f (ξ) = iξf (ξ), podle lemmtu o trnsformci derivce N druhé strně, z lemmtu o derivci trnsformce je ( ixf)(ξ) = F (ξ). Tedy celkem F splňuje rovnici Seprcí proměnných dostneme řešení F (ξ) = ξf (ξ). F (ξ) = Ce ξ. Konstnt C je rovn hodnotě ˆf v bodě nul, tedy Lplceovu integrálu ˆf(0) = 1 π e x dx = 1. Tím je lemm dokázáno. Příkld Oznčme jko H(x) Hevisideovu funkci, t.j. H(x) = 1 pro x 0 H(x) = 0 pro x < 0. Je-li pro nějké > 0, pk Oprvdu, Dále uvžujme funkci ˆf(ξ) = 0 f(x) = e x H(x) ˆf(ξ) = 1 + iξ. e x e iξx dx = 0 e (+iξ)x dx = = 1 + iξ [e (+iξ)x ] 0 = 1 + iξ. f(x) = e x. Pomocí Hevisideovy funkce ji můžeme npst jko f(x) = H(x)e x + H( x)e x. Její Fourierov trnsformce je tedy rovn ˆf(ξ) = 1 + iξ + 1 iξ = 7 + x.

29 Vět.1.1. (Zákldní identit pro Fourierovu trnsformci) Nechť f, g L 1 C. Pk pltí fĝ = ˆfg. Důkz: Z Fubiniho věty dostneme f(x)ĝ(x)dx = R f(x)g(x)e ixy dydx = g(y) f(x) g(y)e ixy dydx = f(x)e ixy dxdy = g(y) ˆf(y)dy.. Vět o inverzní trnsformci K důkzu Věty o inverzní trnsformci budeme potřebovt proximci identity...1 Aproximce identity Definice..1. Nechť φ L 1 (R). Pk systém funkcí φ ε (x) = 1 ε φ(x ε ) se nzývá proximcí identity příslušnou funkci φ Z definice ihned plyne že pro všechn ε pltí φ ε (x)dx = 1. V nšem přípdě vezmeme z φ Gussovu funkci φ(x) = 1 π e x, tedy φ ε (x) = 1 πε e x ε. Následující lemm odůvodňuje termín proximce identity. Lemm... Nechť φ ε je proximce identity f je spojitá omezená funkce n R. Pk f φ ε (x) konverguje (stejnoměrně n kompktních intervlech ) k f(x) pro ε 0. Důkz: f φ ε (x) f(x) = Nechť f(x) M pro x R. Máme [f(x y) f(x)]φ ε (y)dy = 8 [f(x εy ) f(x)]φ(y )dy,

30 kde jsme použili substituci y = εy. Nechť δ > 0 je dáno. Vezměme R tk velké, že φ(y)dy < δ, dále ε > 0 tk, by y / R,R f(x εy) f(x) < δ pro y R, R. Máme tedy [f(x εy ) f(x)]φ(x)dy R,R [f(x εy ) f(x)] + + [f(x εy ) f(x)]φ(x)dy δ1 + (M + 1)δ = (M + 1)δ. y / R,R Tedy f φ ε (x) f(x) pro ε 0. Z nezávislosti odhdu n x plyne stejnoměrná konvergence n kompktních intervlech... Vět o inverzní trnsformci Vět..3. Nechť f L 1 C, f je stejnoměrne spojitá ˆf L 1 C. Pk f(x) = 1 π ˆf(ξ)e iξx dξ. Důkz: Nechť x R je libovolný pevně zvolený bod ε > 0 je dáno. Oznčme φ(ξ) = 1 π e iξx ε ξ Víme, že tedy kde ˆφ(y) = 1 (y x) e ε ε, ˆφ(y) = 1 ε x y πg( ), ε g(u) = 1 π e u. Budeme uvžovt proximci identity příslušnou této funkci použijeme zákldní identitu pro Fourierovu trnsformci n funkce f φ. N jedné strně je ˆfφ = 1 π e ε ξ e ixξ ˆf(ξ)dξ. N druhé strně f ˆφ = π f(y)g ε (x y)dy = πf g ε (x). 9

31 Víme, že f g ε (x) f(x) stejnoměrně n kompktech. Ale pro x pevné je e ε ξ e ixξ ˆf(ξ)dξ e ixξ ˆf(ξ) pro ε 0, neboť první člen pod integrálem konverguje k jedné. Celkem tedy pro ε 0 dostneme f(x) = 1 ˆf(ξ)e iξx dξ. π Definice..4. Inverzní Fourierov trnsformce je definován vzthem ˇf(ξ) = 1 f(x)e iξx dξ. π Podle předchozí věty je inverzní Fourierov trnsformce oprvdu inverzní opercí k Fourierově trnsformci, pltí tedy ˇ ( ˆf) = f..3 Korelce utokorelce Definice.3.1. Nechť f, g ptří do L 1 C. Definujeme korelci funkcí f g vzthem f g(x) = f(y)g(y + x)dy = f(y x)g(y)dy. Z definice je zřejmé že korelce má velmi blízký vztk ke konvoluci, definovné jko f g(x) = f(y)g(x y)dy = Z druhého vyjdření je vidět že pltí vzth f(x) g(x) = f( x) g(x). f( y)g(x + y)dy. Víme, že (f g) = ˆfĝ dále f(ξ) = ˆf( ξ) f( x)(ξ) = ˆf( ξ), tedy f( x)(ξ) = ˆf(ξ). Celkem tedy pltí (f g) = ˆfĝ. 30

32 Dokázli jsme tedy následující tvrzení. Lemm.3.. Je-li F = ˆf G = ĝ, pk (f g) = F G. Definice.3.3. f f se nzývá utokorelce funkce f. Důsledkem předchozího lemmtu je následující Lemm.3.4. (Autokorelční identit) Nechť f L 1 C ˆf = F. Pk pltí (f f) = F..4 Fourierov trnsformce funkcí z L.4.1 Prsevlov rovnost Plncherelov vět V této části dokážeme Prsevlovu rovnost. f lze npst dvěm způsoby. N jedné strně máme N druhé strně f f(0) = f(x) dx = f. ( f )(0) = f e i0x dx = f. Z utokorelční identity dostneme vzth mezi f ˆf, f f(ξ) = ˆf (ξ). N tuto rovnici použijeme inverzní Fourierovu trnsformci dostneme f f(x) = Do rovnice dosdíme nulu. Levá strn dává f f(0) = ˇ ( ˆf )(x) f(x) dx prvá ˇ ( ˆf )(0) = 1 π ˆf e ix0 dx = 1 π ˆf. Celkem jsme tedy dokázli následující tvrzení. Vět.4.1. (Prsevlov rovnost) Nechť f, ˆf L 1 C. Pk f(x) dx = 1 π Tedy zobrzení P které f přiřdí 1 π ˆf je izometrie. 31 ˆf dx.

33 .5 Centrální limitní vět Jednou z důležitých plikcí Fourierovy trnsformce je odvození centrální limitní věty. Vět.5.1. (Lindebergov) Nechť X i, i = 1,,... je posloupnost nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin s hustotou prvděpodobnosti f, kde ˆf C (R). Nechť E(X i ) = 0 E(Xi ) = 1. Pk hustot prvděpodobnosti X X n n se blíží k hustotě stndrtizovného normálního rozdělení, t.j. P r{ X X n n b} 1 π b pro n. K důkzu budeme potřebovt dvě pomocná lemmt. e x dx Lemm.5.. Nechť f je hustot prvděpodobnosti náhodné veličiny X. Pk ˆf (k) (0) existuje právě tehdy když existuje k-tý obecný moment pltí ˆf (k) (0) = ( i) k x k f(x)dx = ( i) k M k, kde M k je k-tý obecný moment nhodné veličiny X. Důkz: k-násobným derivováním rovnice podle prmetru dostneme doszením ξ = 0 Tím je lemm dokázáno ˆf(ξ) = f(x)e iξx dx ˆf (k) (ξ) = ( i) k f(x)e iξx x k dx ˆf (k) (0) = ( i) k x k f(x)dx = ( i) k M k. Lemm.5.3. Nechť f je hustot prvděpodobnosti náhodné veličiny X, kde EX = 0 nd EX i = 1 ˆf C (R). Pk pro Tylorův rozvoj funkce ˆf v bodě 0 pltí Důkz: věty je tedy ˆf(ξ) = 1 σ ξ + o( ξ ). Plyne z předchozího lemmtu, neboť M 1 = 0 M = σ. Podle Tylorovy ˆf(ξ) = ˆf(0) + ˆf (0)ξ + 1 ˆf (0)ξ + o(ξ ), 3

34 odkud po doszení plyne tvrzení. Důkz centrální limitní věty. Víme, že M 0 lemmtu je kde ˆf(ξ) = 1 ξ + R(ξ), R(ξ) ξ 0 pro ξ. = 1, tedy podle předchozího Uvžujme teď náhodnou veličinu X i n pro kterou je M 1 = E( X i n ) = 0 X i n. Tylorův rozvoj její Fourierovy trns- Oznčme f n hustotu prvděpodobnosti formce je kde M = E( X i n ) = 1 n. ˆf n (ξ) = ˆf( ξ n ) = 1 ξ n + R( ξ n ), R( ξ n ) ξ n 0 pro ξ. Víme, že X X n n má hustotu prvděpodobnosti jejíž Fourierov trnsformce je Doszením dostneme g n = f n f n... f }{{ n, } n ĝ n = ( ˆf n ) n. ĝ n = (1 ξ n + R( ξ n )) n Pro kždé pevné ξ výrz R( ξ n ) je o( 1 ) víme, že n Tedy (1 ξ n )n e ξ g n (ξ) e ξ. Ze spojitosti Fourierovy trnsformce plyne pro n. f n (x) e x. 33.

35 .6 Princip neurčitosti V plikcích se vzth pro inverzní trnsformci f(x) = 1 π ˆf(ξ)e iξx dξ čsto nzývá spektrální rozkld funkce (signálu) f(x). Hodnot ˆf(ξ) je mplitud komponenty e iξx ve spektrálním rozkldu funkce f. Druhá mocnin mplitudy má fyzikální interpretci výkonu. Hodnot ˆf(ξ) se nzývá výkonová spektrální hustot. Pro f L oznčíme E = f = f(x) dx. V plikcích předstvuje E zprvidl nějkou formu energie. Dále oznčíme x = [ 1 ] 1 x f(x) dx. E Je-li E = 1, pk ( x) je druhý centrální moment náhodné veličiny s hustotou prvděpodobnosti f(x). V kždém přípdě je x mírou rozptylu hodnot funkce f(x). Následující tvrzení uvedeme bez důkzu. Lemm.6.1. Nechť f L (R). Pk pro kždé α > 1 pltí α x α x f(x) dx α 1 α E, tedy α x f(x) dx + x α x f(x) dx 1 α E. Npříkld, je-li E = 1 chceme-li loklizovt energii s přesností 99%, stčí vzít 1 = 0, 01, tedy α = 10. α Vět.6.. (Princip neurčitosti) Nechť f, ˆf S nechť kde E = x = [ 1 E 1 ξ = [ πe x f(x) dx] 1 ξ ˆf(ξ) dx] 1, f(x) dx = 1 π ˆf(ξ) dξ. 34

36 Pk x ξ 1. Rovnost přitom pltí právě tehdy když f(x) = Ae cx pro nějké konstnty A R c > 0. Důkz: Vyjdeme z identity (f (x)) = f(x)f (x). Dále (xff )(0) = f(x)f (x)xdx = xf (x) f (x)dx = E. Z Cuchy-Schwrtzovy nerovnosti dostneme E = xf(x)f (x)dx ( x f (x)dx) 1 ( f (x) dx) 1 = x E( f (x) dx) 1. N druhé strně, z Prsevlovy rovnosti (f (x) ) 1 1 = π ˆf = 1 π iξ ˆf = ξ ˆf = E( ξ). Tedy Celkem dostáváme t.j. (f (x) ) 1 = E( ξ). E x E E ξ, x ξ 1. Rovnost nstne právě tehdy, když nstne rovnost v Cuchy-Schwrtzově nerovnosti, t.j. když f(x)x = kf (x), tedy f(x) = Ae cx pro nějké konstnty A c. Tím je tvrzení dokázáno. 35

37 Kpitol 3 Fourierov trnsformce v R n 3.1 Zákldní vlstnosti Nechť f : R n C je bsolutně integrovtelná funkce. Proměnnou v R n budeme znčit x = (x 1, x,..., x n ), proměnnou Fourierovy trnsformce ξ = (ξ 1,... ξ n ). Dále oznčíme ξ x = x i ξ i. j=1 Budeme používt stndrtní multiindexové oznčení. Definice Pro ξ = (ξ 1,..., ξ n ) R n definujeme ˆf(ξ) = f(x)e iξ x dx. R n Funkce f(ξ) : R n C se nzývá (n-rozměrná) Fourierov trnsformce funkce f Zákldní vlstnosti Fourierovy trnsformce Většin zákldních vlstností n-rozměrné Fourierovy trnsformce je zcel nlogická odpovídjícím vlstnostem jednorozměrné trnsformce. Pro jednoduchost budeme všechny vlstnosti dokzovt pro funkce rychle klesjící v nekonečnu. Definice f je funkce rychle klesjící v nekonečnu, neboli funkce Schwrtzovy třídy, jestliže pro kždé dv multiindexy α, β pltí lim x xα f (β) = 0. Prostor funkcí Schwrtzovy třídy oznčujeme S. Vícerozměrná Fourierov trnsformce je lineární, t.j. (f + bg) = ˆf + bĝ. 36

38 Lemm (O změně měřítk) Pro f S R > 0 oznčme f R (x) = f(rx). Pk f R (ξ) = 1 R n ˆf( ξ R ). Důkz: Substitucí y = Rx dostneme f R (ξ) = f R (x)e iξ x dx = R n f(rx)e iξ x dx = R n = f(y)e i ξ R y 1 R R dy = 1 f(y)e n R R i ξ n R y dy = 1 R ˆf( ξ n R ). Tím je lem dokázáno. Lemm (O Fourierově trnsformci prciální derivce). Nechť f S. Pk ( f x j )(ξ) = iξ j ˆf(ξ). Tedy prciální derivce se při trnsformci převádí n násobení odpovídjící komponentou vektoru ξ. Důkz: ( f )(ξ) = ( f )(x)e iξ x dx = ( iξ j ) f(x)e iξ x dx = x j R x n j R n = iξ j ˆf(ξ), kdeb druhá rovnost plyne z Greenovy věty toho že f je rychle klesjící funkce. Obecně, je-li f S α je multiindex, pk (f (α) )(ξ) = (i) α ξ α ˆf(ξ). Zvlášť jednoduchý tvr má Fourierov trnsformce Lplceov operátoru, ( f)(ξ) = ξ ˆf(ξ). Vět (Zákldní identit pro Fourierovu trnsformci) Nechť f, g L 1 C Pk pltí fĝ = ˆfg R n R n Důkz: Z Fubiniho věty, nlogicky jko v jednorozměrném přípdě. 37

39 3. Vět o inverzní trnsformci 3..1 Vět o inverzní trnsformci Vět Nechť f S, pk f(x) = 1 (π) n R n ˆf(ξ)e iξ x dξ. Důkz je nlogický jko v R 1. Definice 3... Inverzní Fourierov trnsformce je definován vzthem ˇf(ξ) = 1 f(x)e iξ x dξ. (π) n R n Stejně jko v jednorozměrném přípdě je inverzní Fourierov trnsformce oprvdu inverzní opercí k Fourierově trnsformci, pltí tedy ˇ ( ˆf) = f 3.3 Řešení rovnice vedení tepl n přímce Jk jsme se zmínili v úvodu, jednou z důležitých plikcí Fourierovy nlýzy je řešení diferenciálních rovnic. Chceme řešit rovnici vedení tepl n přímce, t.j. u t (x, t) = u xx (x, t) pro x R t 0. u(x, t) je teplot v bodě x čse t. Teplot tyče v počátečním čse je znám, dná počáteční podmínkou u(x, 0) = ψ(x). Pro kždé pevné t > 0 budeme uvžovt Fourierovu trnsformci funkce u v proměnné x. N jedné strně máme ( u x )(ξ, t) = (iξ) û(ξ, t), n druhé strně t hrje při integrci roli prmetru, tedy je Trnsformovná rovnice má tedy tvr ( u û )(ξ, t) = (ξ, t). t t û t (ξ, t) = ξ û(ξ, t). 38

40 Pro pevné ξ je to obyčejná diferenciální rovnice v proměnné t, kterou umíme vyřešit, kde C = û(ξ, 0), tedy Celkem û(ξ, t) = Ce ξ t C = ˆψ(ξ). û(ξ, t) = ˆψ(ξ)e ξt. Zpětnou trnsformcí, podle prvidl o trnsformci konvoluce dostneme u(x, t) = (ψ G t )(x, t), kde G t (x) je zpětná trnsformce funkce e ξt. Tu njdeme ze znlosti trnsformce Gussovy funkce lemmtu o trnsformci po změně měřítk, kde vezmeme R = 4πt. Tk dostneme G t (x) = 1 e x 4t. 4πt Řešení počáteční úlohy pro rovnici vedení tepl má tedy tvr u(x, t) = 1 4πt e (x y) 4t ψ(y)dy. 39

41 Kpitol 4 Zobecněná Fourierov trnsformce V této kpitole ukážeme jk je možné přirozeným způsobem rozšířit Fourierovu trnsformci n velmi širokou třídu funkci nvíc i n zobecněné funkce, tzv. distribuce. 4.1 Testovcí funkce distribuce Definice Prostor C 0 (R) hldkých funkcí s kompktním nosičem nzýváme prostor testovcích funkcí. Definice Spojitý lineární funkcionál n prostoru testovcích funkcí se nzývá distribuce. Je-li g distribuce pk její hodnotu n testovcí funkci φ oznčujeme g(φ) = g, φ. Nechť f je spojitá funkce n R. Přiřdíme jí jednoznčně určenou distribuci, kterou budeme oznčovt stejným písmenem, předpisem f, φ = f(x)φ(x)dx. Hodnot n testovcí funkci je tedy obyčejný sklární součin těchto dvou funkcí. Nopk, jsou-li f, g dvě různé funkce pk se sndno dokáže že jim odpovídjící distribuce musí být tké různé. Můžeme tedy spojité funkce ztotožňovt s příslušnou distribucí. 4. Operce n distribucích Ukážeme jk je možné operce definovné n prostoru testovcích funkcí rozšířit n distribuce. Uvžujme operátor T : C 0 (R) C 0 (R) předpokládejme že k němu 40

42 existuje djungovný operátor T, tkový, že (T f, g) = (f, T g) pro kždé dvě funkce f, g z C 0 (R). Pk můžeme definovt rozšíření operátoru T n prostor distribucí. Je-li f distribuce, definujeme distribuci T f vzthem T f, φ = f, T g. Npříkld, je-li operátor derivování, t.j. T = d, máme integrováním per prtes dx ( df dx, g) = df dx gdx = dg dx gdx = (f, T g), neboť zintegrovný člen fg je roven nule protože funkce mjí kompktní nosič. Je tedy T = T. Derivce distribuce je tedy definován vzthem f, φ = f, φ. 4.3 Fourierov trnsformce distribucí Je-li T operátor Fourierovy trnsformce, t.j. T f = ˆf, víme ze zákldní identity že pro f, g C0 (R) je tedy T distribuci. fĝ = = T. Můžeme tedy definovt Fourierovu trnsformci pro libovolnou Definice Nechť f je distribuce. Definujeme její Fourierovu trnsformci vzthem ˆf, φ = f, ˆφ. Odvodíme teď zobecnnou Fourierovu trnsformci některých důležitých funkcí. Je-li f = 1, dostneme z definice ˆ1, φ = 1, ˆφ = ˆfg ˆφ = ˆφ(0) = πφ(0) = πδ0, kde δ 0 je Dircov delt funkce v nule. Podobně odvodíme Fourierovu trnsformci mocninné funkce tím libovolného polynomu. 41