Křivka a její délka. Kapitola 5. 1 Motivace a základní pojmy

Transkript

1 Kpitol 5 Křivk její délk 1 Motivce zákldní pojmy Křivk je pojem, který je v mtemtice zkoumán již od ntického strověku. Intuitivně vždy vyjdřovl objekt, který vznikne spojitou deformcí intervlu n reálné ose který může být fyzikálně chápán jko dráh plynule se pohybujícího hmotného bodu. Typickým příkldem této předstvy je množin znázorněná n obrázku obr V rozdílných etpách vývoje mtemtiky byl všk y Obr mtemtická interpretce spojitosti plynulosti jiná. Definici křivky, která by nejlépe popisovl původní intuitivní předstvu, proto předcházel dlouhá diskuse, která se dotkl smotných zákldů mtemtiky. Pokusme se při definování tohoto pojmu vyjít z fyzikálního pohledu. Předstvme si, že množin C v rovině nebo prostoru je dráhou pohybujícího se bodu. Předpokládámeli, že se pohyb uskutečnil v konečném čsovém intervlu, b, je dráh popsán pomocí spojitého zobrzení ϕ:, b R n, n =, 3. To kždému čsovému okmžiku t, b přiřdí bod ϕ(t) v rovině nebo prostoru udávjící polohu bodu v čse t. Trjektorie tohoto pohybu pk definuje křivku C = ϕ(, b ). Aby měl dále pohyb hmotného bodu rozumný smysl, měli bychom mít v kždém bodě definovánu rychlost. Mtemticky je vektor rychlosti v čse t, b dán derivcí ϕ (t) zobrzení ϕ. (Zobrzení ϕ se derivujeme po složkách. Je-li tedy npříkld ϕ(t) = (cos t, sin t), je ϕ (t) = ( sin t, cos t).) V souldu s fyzikální intuicí tedy dostáváme poždvek, by v kždém bodě t, b mělo zobrzení ϕ spojitou derivci. Tím bychom ovšem vyloučili tkové přirozené křivky jko je npř. trojúhelník nebo lomená čár. Při pohybu po trojúhelníku se totiž průchodem přes vrcholy rychlost skokem mění. Proto z tohoto striktního poždvku poněkud ustoupíme připustíme konečně mnoho výjimek. Zčneme s velmi jednoduchým typem křivky, který budeme nzývt oblouk. Definice 5.1. Množin C R n se nzývá oblouk, jestliže existuje spojité zobrzení ϕ:, b C intervlu, b n množinu C, splňující následující podmínky: 77 x

2 78 KAPITOLA 5. KŘIVKA A JEJÍ DÉLKA (i) zobrzení ϕ je prosté n, b, s jedinou možnou vyjímkou koncových bodů tj. lze připustit ϕ() = ϕ(b). (ii) derivce ϕ je spojitá n intervlu, b, kde v krjních bodech intervlu uvžujeme příslušné jednostrnné derivce, ϕ (t) n (, b). Geometrický význm vlstnosti (i) je, že oblouk neprotíná sám sebe. Jedinou výjimkou, kterou poždvek (i) připouští jsou počáteční koncový bod, které mohou splynout. Podmínk (ii) říká, že v kždém vnitřním bodě má oblouk tečnu. Neboť právě vektor ϕ (t) je směrový vektor tečny v bodě ϕ(t). Význm poždvku ϕ (t) uvidíme později. Definice 5.. Množin C R n se nzývá křivk, jestliže existuje spojité zobrzení ϕ:, b C tkové, že existuje dělění D intervlu, b, že n kždém podintervlu I D jsou splněny poždvky (i) (ii) z Definice 5.1 Stručně řečeno, křivk vznikne npojením konečně mnoh oblouků z sebe. Zobrzení ϕ nzýváme prmetrizcí křivky C. Křivk C se nzývá uzvřenou, jestliže ϕ() = ϕ(b). Body, ve kterých oblouk či křivk protíná sm sebe, nzýváme násobnými body. Uzvřenou křivku nzveme jednoduchou, jestliže nemá žádný násobný bod kromě počátečního koncového bodu ϕ()(= ϕ(b)). Příkld 5.3. (i) Množin } C = {(x, y) x + y = R, >, je oblouk. Jde o jednotkovou kružnici se středem (, ). V tomto přípdě je možno volit prmetrizci ϕ(t) = ( cos t, sin t), t, π. Derivce ϕ (t) = ( sin t, cos t) je spojitá n intervlu, π přitom ϕ (t) pro všechn t, π, neboť složky zobrzení ϕ nejsou v žádném bodě součsně nulové. Vidíme tké, že C je jednoduchá uzvřená křivk. Křivkám ležícím v R budeme říkt rovinné křivky. (ii) Množin C = {( cos t, sin t, h ) } π t t, π, kde, h > je oblouk. Jk npovídá smotné zdání množiny C, je možno jko prmetrizci volit zobrzení ϕ(t) = ( cos t, sin t, h π t), t, π. Toto zobrzení je prosté, neboť poslední složk zobrzení ϕ je prostá funkce. Dále vidíme, že derivce ϕ (t) = ( sin t, cos t, h π ) je spojitá nenulová v zdném intervlu. Všechny poždvky formulovné v definici jsou tedy splněny. Pohyb, který křivku vytváří si můžeme předstvit jko složení rovnoměrného otáčení kolem osy z ve vzdálenosti rovnoměrného přímočrého pohybu ve směru kldné části osy z. Vznikne tk jeden závit válcové spirály znázorněné n obrázku obr.5..

3 1. MOTIVACE A ZÁKLADNÍ POJMY 79 z x y Obr. 5.. (iii) Rovinná křivk znázorněná n obr. 5.1 je křivk definovná npř. prmetrizcí Jinými slovy C = ϕ(, ), kde x = 1 t, y = t(1 t ), t,. ϕ(t) = ( 1 t, t(1 t ) ) Prmetrizce ϕ má pouze jediný násobný bod (, ) = ϕ(1) = ϕ( 1). Lehkým výpočtem je možno se přesvědčit, že ϕ je spojitá nenulová ve všech bodech svého definičního oboru, tj. vektor ϕ (t) = ( t, 1 3t ) není nulový pro žádné t,. Podle Definice 5. je dná množin křivkou, jestliže existuje lespoň jedn její prmetrizce. Již z fyzikální intuice víme, že bod se může pohybovt po téže křivce mnoh způsoby. Očekáváme tedy, že prmetrizcí křivky bude více. Npříkld jednotkovou kružnici v rovině je možno popst pomocí zobrzení ϕ(t) = (cos t, sin t), kde t, π, stejně tk jko pomocí zobrzení ψ(s) = (cos s, sin s ), kde s, π. Všimněme si, že v tomto přípdě jsme získli prmetrizci ψ z prmetrizce ϕ pomocí substituce t = s. Protože tkovýchto substitucí si můžeme vymyslet nekonečně mnoho, má kždá křivk nekonečně mnoho prmetrických vyjádření. Důležitá je otázk, jk tyto různé prmetrizce spolu souvisejí. Vzhledem k tomu, že kždá křivk je sjednocením konečně mnoh oblouků, budeme se touto otázkou zbývt v přípdě oblouku. V této situci se ukzuje, že všechny prmetrizce je možno získt z jedné pevně zvolené prmetrizce pomocí vhodné substituce z její prmetr. Tvrzení 5.4. Nechť C je oblouk s prmetrizcemi ϕ:, b C ψ : c, d C. Pk existuje spojitá funkce h zobrzující intervl, b n intervl c, d tk, že h převádí prmetrizci ψ n ϕ, tj. ϕ(t) = ψ(h(t)). Nvíc h má spojitou nenulovou derivci n (, b). Důkz. Zmysleme se nejdříve nd tím, jk vypdá funkce h:, b c, d splňující poždovnou rovnost ϕ(t) = ψ(h(t)). Vzhledem k tomu, že ψ je prosté zobrzení, je jen jediná možnost jk tuto funkci získt : h = ψ 1 ϕ (nkreslete si digrm). Tkto

4 8 KAPITOLA 5. KŘIVKA A JEJÍ DÉLKA definovná funkce je smozřejmě prostá, neboť složení dvou prostých zobrzení ϕ ψ 1 je opět prosté zobrzení zobrzuje intervl, b n intervl c, d. Protože zobrzení ψ 1 je spojité, je funkce h je složením dvou spojitých zobrzení, tedy spojitou funkcí n intervlu, b. Zbývá ověřit, že h má spojitou nenulovou derivci. Zvolme tedy bod t (, b) libovolně ukážeme, že funkce h má v tomto bodě vlstní nenulovou derivci. Jink řečeno máme dokázt, že funkce ω(t) = h(t) h(t ) t t, t t, má vlstní nenulovou limitu v bodě t. Myšlenkou důkzu je využít vzthu mezi diferenčními podíly prmetrizcí ϕ, ψ n strně jedné diferenčními podíly funkce h (což je funkce ω) n strně druhé. Zvolme si proto pomocné funkce Φ(t) = ϕ(t) ϕ(t ) t t, Ψ(t) = ψ(h(t)) ψ(h(t )), h(t) h(t ) definovné pro t t. (Uvědomme si, že h(t) h(t ) kdykoliv t t, neboť h je prostá funkce). Protože ϕ(t) = ψ(h(t)), pltí (5.1) Φ(t) = Ψ(t) ω(t). V předchozí rovnosti není možné ω(t) přímo vyjádřit jko podíl Φ(t) Ψ(t), neboť Φ(t) Ψ(t) jsou vektory. Musíme jít proto oklikou. Podle prvidl o limitě složené funkce je lim t t Ψ(t) = ψ (h(t )), neboť ψ je prmetrizce oblouku. Nenulovost této limity znmená, že lespoň jedn složk zobrzení Ψ má nenulovou limitu v bodě t. Nechť je to první složk Ψ 1. Rovnice (5.1) npsná pro první složky má tvr Φ 1 (t) = Ψ 1 (t)ω(t) pro t z jistého prstencového okolí bodu t. Odtud již ω(t) můžeme vyjádřit. Vět o limitě podílu dvou funkcí pk implikuje existenci vlstní limity (5.) h (t ) = lim t t ω(t) = lim t t Φ 1 (t) Ψ 1 (t) = ϕ 1 (t ) ψ 1 (h(t )). V tuto chvíli jsme dokázli, že lim t t ω(t) existuje. Nvíc, použijeme-li limitní přechod t t v rovnici (5.1), dostneme ϕ (t ) = ψ (h(t )) h (t ). Z této rovnice plyne, že h (t ) (jink by ϕ (t ) =, což není možné). Protože prmetrizce ϕ ψ mjí spojité derivce, je podíl jejich derivcí v (5.) spojitá funkce. Tkže i h je spojitá důkz je ukončen. Tvrzení 5.4 říká, že prmetrizci ϕ(t) je možno získt z prmetrizce ψ(s) substitucí s = h(t). Proto se funkce h nzývá trnsformcí prmetru mezi prmetrizcemi ϕ ψ. Vzhledem k tomu, že h (t) je spojitá nbývá pouze nenulových hodnot n intervlu (, b), nemění n tomto intervlu znménko. Smotná funkce h je proto ryze monotónní. Je-li h rostoucí (resp. klesjící) nzveme prmetrizce ϕ ψ souhlsné (resp. nesouhlsné). Souhlsné prmetrizce pk odpovídjí pohybu bodu po oblouku ve stejném smyslu (se stejným počátečním koncovým bodem), ztímco nesouhlsné prmetrizce indukují pohyby ve smyslu opčném, viz. obr. 5.3.

5 . DÉLKA KŘIVKY 81 Obr Délk křivky Soustřeďme se nyní n otázku jk definovt vypočítt délku dné křivky. Jsme ve stejné situci jko při definici objemu obecného těles v Kpitole 1. Z elementární geometrie známe délky některých speciálních křivek (úsečk, kružnice), chybí nám všk definice délky v obecném přípdě. K jejímu nlezení můžeme užít několik přístupů. Ten náš bude opět zložen n xiomtické definici. Protože křivk se skládá z konečně mnoh oblouků, stčí zkoumt, jk zvést pojem délky pro oblouk. Délk dného oblouku C je jisté nezáporné číslo. Oznčme ho symbolem l(c). Podívejme se n vlstnosti, které číslo l(c) musí splňovt. Především, ve shodě s obecným názorem očekáváme, že rozdělíme-li oblouk C n dv menší úseky C 1, C ve smyslu uvedeného obrázku obr. 5.4, musí být celková délk oblouku C rovn součtu délek oblouků C 1 C, tj. l(c) = l(c 1 ) + l(c ). Tto vlstnost se nzývá ditivit délky. Dlší poždvek, který musí kždá definice délky respektovt, vychází z následující fyzikální předstvy. Je-li ϕ:, b C prmetrizce oblouku C, je křivk relizován jko dráh pohybu částice s polohou ϕ(t) C v čse t, b. Norm (= velikost) vektoru rychlosti C v čsovém okmžiku t je rovn C 1 ϕ (t) = ϕ 1 (t) + + ϕ n(t). Obr Protože velikost rychlosti ϕ (t) je spojitou funkcí čsu t, má tto funkce mximum i minimum n intervlu, b. Délk oblouku l(c) je rovn velikosti dráhy, kterou uvžovný bod vykoná. Tto dráh ovšem nemůže být větší než dráh, kterou by v témže čse vykonl bod pohybující se rovnoměrně mximální rychlostí mx,b ( ϕ ). Dostáváme tk, že l(c) mx,b ( ϕ ) (b ). Zcel nlogická úvh pro minimální hodnotu rychlosti pk vede k poždvku min t,b ( ϕ (t) ) (b ) l(c) mx t,b ( ϕ (t) ) (b ).

6 8 KAPITOLA 5. KŘIVKA A JEJÍ DÉLKA Je přirozené nzvt tuto vlstnost monotonií délky. Přistupme nyní k mtemtické definici délky. Definice 5.5. Zobrzení, které kždému oblouku C přiřdí nezáporné číslo l(c) se nzývá délkou, jestliže splňuje následující dv xiomy (A) ditivit: l(c) = l(c 1 ) + l(c ), kdykoliv C 1, C je rozdělení oblouku C n dv n sebe nvzující oblouky, (M) monotonie: min t,b ( ϕ (t) ) (b ) l(c) mx t,b ( ϕ (t) ) (b ), kde ϕ:, b C je libovolná prmetrizce oblouku C. Poznámk 5.6. Podobně jko v předchozích kpitolách můžeme xiom (A) psát v obecnější formě l(c) = l(c 1 )+l(c )+ +l(c n ), kde C 1,..., C n je dělení oblouku C n menší n sebe nvzující části. Čtenář, který má již jisté zkušenosti s xiomtickou definicí z Kpitoly 1 ví, že musíme dokázt existenci tkovéhoto zobrzení l : C l(c), jink by Definice 5.5 nezváděl vůbec žádný pojem. Dále bychom rádi ukázli, že toto zobrzení je jediné. Nesmíříme se jistě s pocitem, že nějký oblouk by měl dvě různé délky. Při hledání explicitního vyjádření l(c) přitom získáme i metodu výpočtu. Vět 5.7. Zobrzení l z Definice 5.5 existuje je jediné. Nvíc l(c) = ϕ (t) dt, kde ϕ:, b C je libovolná prmetrizce oblouku C. Důkz. Z xiomů Definice 5.5 se pokusíme ukázt, že pro pevně zvolenou prmetrizci ϕ:, b C oblouku C, nemůže být l(c) ničím jiným než určitým integrálem ϕ (t) dt. Vrťme se proto n chvíli ke Kpitole 1. Podobným způsobem, kterým jsme došli k závěru, že objem těles V (f, T ) je dvojný integrál funkce f přes množinu T, bychom mohli postupovt i zde. Vyzkoušíme si všk krtší cestu. Využijeme totiž již dokázné tvrzení o reprezentci objemu V (f, T ) dvojným integrálem k tomu, bychom problém délky křivky n něj převedli. Zobrzení l(c) je zobrzení, které intervlu, b funkci ϕ :, b C přiřdí číslo podléhjící xiomům (A) (M). Z prvé si všimneme, že v xiomech se nevyskytuje funkce ϕ le pouze norm její derivce ϕ. To znmená, že číslo l(c) = l(ϕ(, b )) nebude záviset n ϕ, le pouze n ϕ.

7 . DÉLKA KŘIVKY 83 Z intervlu, b utvořme zcel formálně obdélník T =, b c, d. N funkci ϕ (t) můžeme rovněž pohlížet jko n funkci dvou proměnných f(t, u) = ϕ (t). Vytvoříme pomocné zobrzení Ṽ (f, T ) = l ( ϕ(, b ) ) (d c), kde f(t, u) = ϕ (t) T =, b c, d. Ověříme, že toto zobrzení splňuje xiom ditivity pro objem: Rozdělme obdélník T n dv T 1 T nejprve svislou úsečkou, viz obr..1(). Tím jsme intervl, b rozdělili číslem α n dv podintervly. Tedy i oblouk C n dv kusy C 1 = ϕ(, α ) C = ϕ( α, b ). Protože zobrzení l splňuje (A) máme (5.3) Ṽ (f, T ) = l(c) = l(c 1 ) + l(c ) = Ṽ (f, T 1) + Ṽ (f, T ). Pro rozdělení T vodorovnou úsečkou, viz obr..1(b), dostneme mnohem sndněji Ṽ (f, T ) = l ( ϕ(, b ) ) (d c) = = l ( ϕ(, b ) ) (d β) + l ( ϕ(, b ) ) (β c) = = Ṽ (f, T 1) + Ṽ (f, T ). Jk to vypdá s monotonií výrzu Ṽ (f, T )? Protože l splňuje (M) můžeme toho využít: (5.4) min(f) obsh(t ) = min T,b ϕ (t) (b )(d c) l(c) (d c) = Ṽ (f, T ) mx,b ϕ (t) (b )(d c) = mx(f) obsh(t ). T Z (5.3) (5.4) plyne, že Ṽ (f, T ) splňuje xiomy ditivity monotonie. Z Věty 1.9 dostáváme, že tkové Ṽ (f, T ) je jediné pltí Ṽ (f, T ) = f. Ale hodnot Ṽ (f, T ) je rovn l( ϕ(, b ) ) (d c), tkže l(ϕ(, b )) = Ṽ (f, T ) d c = 1 d c T T f = 1 d ϕ (t) du dt = ϕ (t) dt. d c c Délkou tedy nemůže být nic jiného než integrál z normy derivce prmetrizce. Avšk prmetrizcí je více. Musíme proto ukázt, že integrál tohoto typu nezávisí n volbě prmetrizce tj., že (5.5) ϕ (t) dt = d c ψ (s) ds pro kždou dlší prmetrizci ψ : c, d C oblouku C. Podle Tvrzení 5.4 je možno nlézt trnsformci prmetrů h:, b c, d tk, že ϕ(t) = ψ(h(t)). Pk ϕ (t) = ψ (h(t))h (t). Tkže ϕ (t) dt = ψ (h(t)) h (t) dt.

8 84 KAPITOLA 5. KŘIVKA A JEJÍ DÉLKA Víme tké z Tvrzení 5.4, že h nemění znménko n (, b). Je-li tedy h > n (, b), pk není třeb psát bsolutní hodnotu v posledním integrálu užijeme substituci s = h(t). Tím dostneme ψ (h(t)) h (t) dt = d c ψ (s) ds. Je-li h < n (, b), pk h (t) = h (t). Zároveň le je funkce h klesjící. Při té smé substituci jko prve se změní pořdí mezí c d: c ψ (h(t)) h (t) dt = d ψ (s) ds = d c ψ (s) ds. Ověřili jsme tk rovnost (5.5), tedy vzorec pro délku oblouku nezávisí n zvolené prmetrizci. Tím je důkz věty dokončen. Uvžujme nyní obecnou křivku C. Pro její prmetrizci ϕ existuje dělení definičního oboru, b n intervly s krjními body = t 1 < t < < t n+1 = b tk, že množiny C i = ϕ( t i, t i+1 ), i = 1,..., n, jsou oblouky tvořící dělení křivky C. Délk l(c) křivky je pk l(c) = l(c 1 ) + l(c ) + + l(c n ). Z Věty 5.7 víme, že pro oblouky C i pltí l(c i ) = t i+1 t i ϕ (t) dt, proto (5.6) l(c) = n i=1 t i+1 t i ϕ (t) dt = ϕ (t) dt. Ukžme dále, že ni hodnot l(c) definovná rovností (5.6) nezávisí n výběru prmetrizce. Mějme tedy jinou prmetrizci ψ : c, d C křivky C. T nám dává jisté dělení intervlu c, d, tím i dělení křivky C n oblouky K 1,..., K m obecně jiné než byly oblouky C 1,..., C n. Stčí ukázt, že rozdělíme-li křivku jednou n oblouky C 1,..., C n podruhé n oblouky K 1,..., K m, je n i=1 l(c i) = m j=1 l(k j). Průnik C i K j oblouků C i K j je buďto oblouk, bod nebo prázdná množin. Zřejmě l(c i K j ) = v posledních dvou jmenovných přípdech. Z ditivity máme následující vzthy pltné pro všechny možné hodnoty indexů i, j: l(c i ) = m l(c i K j ) l(k j ) = j=1 Využitím těchto vzthů s pomocí změny pořdí sumce: n l(c i K j ). i=1 l(c) = n n m m n m l(c i ) = l(c i K j ) = l(c i K j ) = l(k j ). i=1 i=1 j=1 j=1 i=1 j=1 Ukázli jsme, že hodnot integrálu v (5.6) je pro všechny prmetrizce stejná.

9 . DÉLKA KŘIVKY 85 Příkld 5.8. Vypočtěte dráhu l, kterou urzí střed odrzového sklíčk připevněného n obvodu jízdního kol o poloměru r, při jednom otočení kol. Předpokládáme přitom, že jízdní kolo se pohybuje po rovné cestě bez klouzání. Při idelizci této úlohy se jedná o výpočet délky křivky, kterou vytvoří pevný bod P ležící n vlící se kružnici o poloměru r. Uvedená křivk se nzývá cykloid je znázorněn n obr y t r P x Obr Prmetrizci cykloidy lze získt pomocí prmetru t udávjícího úhel, o který se bod P při svém pohybu po obvodu kružnice otočil. Otočí-li se bod P při svém pohybu o úhel t, musí střed vlící se kružnice urzit stejnou dráhu, tj. rt. Souřdnice bodu P odpovídjící tomuto prmetru tedy budou x = rt r sin t, y = r r cos t. Máme k dispozici prmetrizci ϕ(t) = (rt r sin t, r r cos t), t, π můžeme použít Větu 5.7. l = π ϕ (t) dt = π = = r (r r cos t, r sin t) dt π π r r cos t + r cos t + r sin t dt π 1 cos t dt = r sin t [ dt = 4r cos t ] π = 8r. Při uvedeném pohybu jízdního kol tedy střed odrzového sklíčk urzí dráhu 8r. Jízdní kolo smotné se při tom posune o πr. = 6, 8r.

10 86 KAPITOLA 5. KŘIVKA A JEJÍ DÉLKA 3 Cvičení Úloh. Určete délku l steroidy o rovnici x /3 + y /3 = /3, >. Řešení. Dnou křivku můžeme prmetrizovt zobrzením ϕ(t) = ( cos 3 t, sin 3 t), t, π. Ve shodě s Větou 5.7 pk máme l = π = 3 ( 3 cos t sin t, 3 sin t cos t) dt = π cos t sin t dt = 1 π/ π 9 cos t sin t dt [ cos t sin t cos t dt = 6 ] π/ = 6. Úloh. Vypočtěte délku části kuželové spirály (n závitů) definovné prmetrizcí kde t, nπ. ϕ(t) = (t cos t, t sin t, t), Řešení. Bezprostřední plikcí Věty 5.7 získáme délku l integrcí funkce přes intervl prmetrizce. Tedy l = ϕ (t) = ( t sin t + cos t, t cos t + sin t, 1) = + t. nπ = + t dt = nπ 1 + ( t ) dt = [ u 1 + u + 1 ln(u u )] nπ = nπ 1 + n π + ln( nπ n π ). nπ 1 + u du Úloh. Určete délku l křivky C, která je v polárních souřdnicích popsán rovnicí (5.7) ϱ = sin 3 ϕ, >, ϕ, 3π. 3 Řešení. Vzhledem k tomu, že x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ, můžeme doszením z ϱ ze vzthu (5.7) získt prmetrizci Ψ: Ψ(ϕ) = ( sin 3 ϕ 3 cos ϕ, ϕ ) sin3 3 sin ϕ ϕ, 3π.

11 3. CVIČENÍ 87 Pk Tedy Ψ (ϕ) = sin ϕ 3 = sin ϕ 3 (cos ϕ 3 cos ϕ sin ϕ 3 sin ϕ, cos ϕ 3 sin ϕ + sin ϕ 3 cos ϕ ) ( ( ϕ ) ( ϕ )) cos 3 + ϕ, sin 3 + ϕ. Ψ (ϕ) = sin ϕ 3. Podle integrálního vzorce pro délku máme l = 3π = 3 π. sin ϕ 3π 3 dϕ = 1 cos 3 ϕ dϕ = 3 π 3 4 [ sin 3 ϕ ] 3π Úloh. Určete dráhu s pohybujícího se bodu, je-li poloh v čse t, 1 dán rovnicí (Bod se pohybuje po prbole v prostoru.) ϕ(t) = (t, t, t). Řešení. Pltí Tedy s = = = 1 ϕ (t) = (1, t, 1) = + 4t. + 4t dt = u du = ln( + 3). 1 + ( t) dt [ u 1 + u + 1 ln(u u )] 1. Vypočtěte délku n závitů šroubovice s poloměrem > výškou závitu h >.. Vypočtěte délku rovinné křivky zdnou prmetrickými rovnicemi x = e t cos t, y = e t sin t, t,, tzv. logritmická spirál. 3. Ukžte, že pro délku l křivky, která je grfem spojitě diferencovtelné funkce f definovné n intervlu, b pltí l = 1 + f (x) dx.

12 88 KAPITOLA 5. KŘIVKA A JEJÍ DÉLKA 4. Vypočtěte délku grfu funkce f(x) = rcsin x + 1 x. 5. Vypočtěte délku řetězovky y = cosh x, x, ( > ). 6. Odvoďte vzth l = ϕ f(ϕ) + f (ϕ) dϕ, ϕ 1 kde l je délk křivky vyjádřené v polárních souřdnicích rovnicí ϱ = f(ϕ), kde f je spojitě diferencovtelná funkce definovná n intervlu ϕ 1, ϕ. 7. Vypočtěte délku křivky, je-li v polárních souřdnicích vyjádřen rovnicí ϱ = (1 + cos ϕ), >, ϕ, π. 8. Rovinná křivk je chrkterizován následující vlstností: vzdálenost bodu n ni ležícím od počátku je nepřímo úměrná úhlu, který průvodič tohoto bodu svírá s kldnou částí osy x. Víme dále, že křivk prochází bodem (cos 1, sin 1). Vypočtěte délku té části křivky, pro kterou jsou úhly průvodiče v intervlu 3/4, 4/3. 9. Určete délku spirály mjící v polárních souřdnicích tvr ϱ = e 3ϕ, ϕ, π. 1. Určete délku křivky v R 3 dné rovnostmi y = rcsin x, z = 4 přičemž krjní body této křivky jsou body (,, ) (x, y, z ). ln +x x, >, 11. Hmotný bod se pohybuje tk, že poloh v čse t je (sin t, cos t, t ). Určete velikost dráhy, kterou urzí v čsovém intervlu, 1. 1 Rozhodněte která křivk má větší délku ) kružnice o poloměru b) elips s poloosmi,. Výsledky. 1. πn + h 4π ;. ; 4. 4; 5. sinh ; 7. 8; 8. ln ; (1 e 6π ); 1. x + z, kde x < ; ln(1 + ); 1. délk(elipsy)>délk(kružnice).