VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

Transkript

1 VIII. Primitivní funke Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funke Definie. Neht funke f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funke F W I! R je primitivní funke k f n I, jestliže pro kždé x 2 I existuje F 0.x/ pltí F 0.x/ D f.x/. Vět. Neht F G jsou primitivní funke k funki f n otevřeném intervlu I. Pk existuje 2 R tk, že F.x/ D G.x/ C pro kždé x 2 I. Poznámk. Množinu všeh primitivníh funkí k funki f znčíme symbolem f.x/ dx: Skutečnost, že F je primitivní funkí k f n I zpisujeme f.x/ dx D F.x/; x 2 I: Vět. Neht f je spojitá funke n intervlu.; b/ neht 2.; b/. Oznčíme-li F.x/ D F 0.x/ D f.x/ pro kždé x 2.; b/, neboli funke F je primitivní k f n.; b/. Důsledek 2. Neht f je spojitá funke n neprázdném otevřeném intervlu I. Pk f má n I primitivní funki. x f.t/ dt pro x 2.; b/, pk Vět 3 (Newtonův-Leibnizův vzore). Neht f je spojitá n omezeném uzvřeném intervlu h; bi, < b, neht F je primitivní funke k f n.; b/. Pk existují vlstní limity lim x!c F.x/, lim x!b F.x/ pltí b f.x/ dx D lim x!b F.x/ lim F.x/: x!c Vět 4. Neht funke f má n otevřeném intervlu I primitivní funki F, funke g má n I primitivní funki G ; ˇ 2 R. Potom funke F C ˇG je primitivní funkí k f C ˇg n I. Primitivní funke k některým důležitým funkím x n dx D xnc n R pro n 2 N [ f0g; n. ; 0/ n.0; / pro n 2, n <, n C x dx D x C n.0; C/ pro 2 R n f g, C x dx D log jxj n.0; C/ n. ; 0/, e x dx D e x n R, sin x dx D os x n R, os x dx D sin x n R, os 2 x dx D tg x n kždém z intervlů. 2 C k; C k/, k 2, 2 sin 2 x dx D otg x n kždém z intervlů.k; C k/, k 2, C x 2 dx D rtg x n R, p x 2 dx D rsin x n. ; /,

2 p x 2 dx D ros x n. ; /. Vět 5 (o substitui). (i) Neht F je primitivní funke k f n.; b/. Neht je ' funke definovná n. ; ˇ/ s hodnotmi v intervlu.; b/, která má v kždém bodě intervlu. ; ˇ/ vlstní derivi. Pk f '.x/ ' 0.x/ dx D F '.x/ n. ; ˇ/. (ii) Neht funke ' má v kždém bodě intervlu. ; ˇ/ vlstní derivi, která je bud všude kldná, nebo všude záporná, '. ; ˇ/ D.; b/. Neht funke f je definovná n intervlu.; b/ pltí f '.t/ ' 0.t/ dt D G.t/ n. ; ˇ/. Pk f.x/ dx D G '.x/ n.; b/. Vět 6 (integre per prtes). Neht I je neprázdný otevřený intervl, funke f g jsou spojité n I, F je primitivní funke k f n I G je primitivní funke ke g n I. Pk pltí f.x/g.x/ dx D F.x/G.x/ F.x/g.x/ dx n I. Příkld. Oznčme I n D dx, n 2 N. Pk. C x 2 / n I nc D x 2n. C x 2 / C 2n n 2n I n; x 2 R; n 2 N; I D rtg x; x 2 R: Definie. Rionální funkí budeme rozumět podíl dvou polynomů, kde polynom ve jmenovteli není nulový. Vět ( zákldní vět lgebry ). Neht n 2 N, 0 ; : : : ; n 2 C, n 0. Pk rovnie má lespoň jedno řešení 2 C. n n C n n C C C 0 D 0 Lemm 7 (o dělení polynomů). Neht P Q jsou dv polynomy (s komplexními koefiienty), přičemž polynom Q není nulový. Pk existují jednoznčně určené polynomy R splňujíí: st < st Q, P.x/ D R.x/Q.x/ C.x/ pro všehn x 2 C. Pokud mjí P Q reálné koefiienty, mjí i R reálné koefiienty. Důsledek. Je-li P polynom 2 C jeho kořen (tj. P./ D 0), pk existuje polynom R splňujíí P.x/ D.x všehn x 2 C. /R.x/ pro Vět 8 (rozkld n kořenové činitele). Neht P.x/ D n x n C C x C 0 je polynom stupně n 2 N. Pk existují čísl x ; : : : ; x n 2 C tková, že P.x/ D n.x x /.x x n /; x 2 C: Definie. Neht P je nenulový polynom, 2 C k 2 N. Řekneme, že je kořen násobnosti k polynomu P, jestliže existuje polynom R splňujíí R./ 0 P.x/ D.x / k R.x/ pro všehn x 2 C. Vět 9 (o kořeneh polynomu s reálnými koefiienty). Neht P je polynom s reálnými koefiienty 2 C je kořen polynomu P násobnosti k 2 N. Pk i komplexně sdružené číslo je kořen polynomu P násobnosti k. Vět 0 (rozkld polynomu s reálnými koefiienty). Neht P.x/ D n x n C C x C 0 je polynom stupně n s reálnými koefiienty. Pk existují reálná čísl x ; : : : ; x k, ; : : : ; l, ˇ; : : : ; ˇl přirozená čísl p ; : : : ; p k, q ; : : : ; q l tková, že P.x/ D n.x x / p.x x k / p k.x 2 C x C ˇ/ q.x 2 C lx C ˇl/ q l, 2

3 žádné dv z polynomů x x ; x x 2 ; : : : ; x x k, x 2 C x C ˇ; : : : ; x 2 C lx C ˇl nemjí společný kořen, polynomy x 2 C x C ˇ; : : : ; x 2 C lx C ˇl nemjí žádný reálný kořen. Vět (rozkld n priální zlomky). Neht P; Q jsou polynomy s reálnými koefiienty tkové, že st P < st Q neht Q.x/ D n.x x / p.x x k / p k.x 2 C x C ˇ/ q.x 2 C lx C ˇl/ q l je rozkld polynomu Q z Věty 0. Pk existují jednoznčně určená reálná čísl A ; : : : ; A p ; : : : ; A k ; : : : ; Ak p k, B ; C ; : : : ; B q ; C q, : : :, B l ; C l ; : : : ; Bl q l ; C l q l tková, že pltí Poznámk. Oznčme Pk lze Newtonův-Leibnizův vzore zpst jko to i pro b <. P.x/ Q.x/ D A.x x / C C A p.x x / p C C Ak.x x k / C C Ak p k.x x k / p k C C B xcc.x 2 C xcˇ/ C C B q xcc q.x 2 C xcˇ/ q C C C Bl xcc l.x 2 C l xcˇl / C C Bl q l xcc l q l.x 2 C l xcˇl / q l ; x 2 R n fx ; : : : ; x k g: ŒF b D ( lim x!b F.x/ lim x!c F.x/ pro < b, lim x!bc F.x/ lim x! F.x/ pro b <. b f D ŒF b Vět 2 (integre per prtes). Neht funke f, g, f 0 g 0 jsou spojité n intervlu h; bi.pk pltí b f 0 g D Œfg b Vět 3 (substitue). Neht funke f je spojitá n intervlu h; bi. Neht dále funke ' má n intervlu h ; ˇi spojitou derivi zobrzuje jej do intervlu h; bi. Pk ˇ f '.x/ '.ˇ/ ' 0.x/ dx D f.t/ dt: b '. / fg 0 : Vět (zvedení logritmu). Existuje jediná funke log, která má tyto vlstnosti: (L) D log D.0; C/, (L2) log je rostouí n.0; C/, (L3) log.xy/ D log x C log y pro všehn x; y 2.0; C/, (L4) lim x! log x x D. VIII.3. obeněný Riemnnův integrál Lemm 4 (spojitost Riemnnov integrálu). Neht ; b 2 R, < b, funke f má n intervlu h; bi Riemnnův integrál. Pk pltí b f D lim x!b x f D lim b x!c x Lemm 5. Neht ; b 2 R, < Rb, funke f má Riemnnův integrál n kždém podintervlu hx; yi.; b/. Neht dále 2.; b/, existují limity lim x!c x f lim R y y!b f jejih součet má smysl (tj. je definovný). Pk pro kždé d 2.; b/ R d existují lim x!c x f lim R y y!b d f pltí f: lim d x!c x f C lim y!b y d f D lim x!c x f C lim y!b y f: 3

4 Definie. Neht ; b 2 R, < b, neht funke f je definovná n intervlu.; b/. Má-li R funke f Riemnnův integrál n kždém podintervlu hx; yi.; b/ existuje-li 2.; b/ tkové, že limity lim x!c x f lim R y y!b f existují jejih součet má smysl, pk definujeme zobeněný Riemnnův integrál funke f n intervlu.; b/ jko b f D lim x!c x f C lim y!b y f: R Poznámk. Definie je korektní, nebot hodnot součtu lim x!c x f C lim y!b 2.; b/. R y f nezávisí n volbě dělíího bodu Má-li funke f Riemnnův integrál n intervlu h; bi, má i zobeněný Riemnnův integrál n intervlu.; b/ ob integrály jsou si rovny. Hodnot zobeněného Riemnnov integrálu může být i C nebo. Lemm 6. Neht ; b 2 R, < b, funke f je omezená n intervlu h; bi. Jestliže existuje Riemnnův integrál funke f n kždém podintervlu h; di.; b/, pk existuje i Riemnnův integrál funke f n intervlu h; bi. Lemm 7. Neht ; b 2 R, < b, f je nezáporná n.; b/ f má Riemnnův integrál n kždém podintervlu hx; yi.; b/. Potom f má zobeněný Riemnnův integrál n.; b/. Vět 8. Neht ; b 2 R 2.; b/. (i) Jestliže funke f má zobeněný Riemnnův integrál n.; b/, pk má f zobeněný Riemnnův integrál i n.; /.; b/ pltí b f D (ii) Neht funke f má zobeněný Riemnnův integrál n.; /.; b/, f je omezená n nějkém okolí bodu součet R f C R b f má smysl. Pk f má zobeněný Riemnnův integrál n.; b/ pltí b f D f C f C b b f: f: Vět 9 (linerit zobe. Riemnnov integrálu). Neht ; b 2 R, < b, f g jsou funke mjíí zobeněný Riemnnův integrál n intervlu.; b/ neht 2 R. Potom (i) funke f má zobeněný Riemnnův integrál n.; b/ pltí má-li prvá strn smysl, b f D (ii) je-li součet R b f C R b g definovný, pk má funke f C g zobeněný Riemnnův integrál n.; b/ pltí b.f C g/ D b b f; f C b g: Vět 20. Neht ; b 2 R, < b, neht f g jsou funke mjíí zobeněný Riemnnův integrál n intervlu.; b/. Potom pltí: (i) Je-li f.x/ g.x/ pro kždé x 2.; b/, pk b b f g: 4

5 (ii) Funke jf j má zobeněný Riemnnův integrál n.; b/ pltí b f ˇ ˇ Vět 2 (Newtonův vzore). Neht ; b 2 R, < b, f je spojitá n.; b/, F je primitivní funke k f n.; b/. Pk zobeněný Riemnnův integrál funke f n.; b/ existuje právě když existují limity lim x!c F.x/ lim x!b F.x/ jejih rozdíl má smysl. V tomto přípdě pltí b f D lim x!b F.x/ b jf j : lim F.x/: x!c Pokud existuje zobeněný Riemnnův integrál funke f n intervlu.; b/ přitom je konečný, pk říkáme, že R b f konverguje. Pokud je roven C nebo, pk říkáme, že diverguje. Máme pk následujíí možnosti: 8 ( b ˆ< reálnému číslu, tj. konverguje, existuje je roven f C nebo, tj. diverguje, ˆ: neexistuje. Vět 22 (srovnáví kritérium). Neht ; b 2 R, < b, funke f g splňují 0 f.x/ g.x/ pro všehn x 2.; b/ f je n.; b/ spojitá. Pokud konverguje R b g, pk konverguje i R b f. Vět 23 (limitní srovnáví kritérium). Neht f g jsou spojité nezáporné funke n intervlu h; b/, b 2 R, existuje limit f.x/ lim x!b g.x/ D 2 R. Je-li 2.0; C/, pk R b f konverguje, právě když konverguje R b g. Je-li D 0, pk z konvergene R b g plyne konvergene R b f. Je-li D C, pk z divergene R b g plyne divergene R b f. VIII.4. Mír integrál v R n vedení pojmu Riemnnov integrálu bylo mj. motivováno snhou umět změřit plohu pod grfem některýh funkí. Rádi byhom tento pojem plohy dále rozšířili tk, by bylo možné npř. měřit mnohem obenější podmnožiny R 2, přípdně R n. Ukzuje se všk, že tkovýto pojem míry množiny nelze zvést tk, by měl rozumné vlstnosti od něj očekávné zároveň uměl změřit všehny podmnožiny R n. (Viz též Bnhův-Trského prdox.) Proto zvádíme následujíí definii. Definie. Neht A je nějký systém podmnožin R n. Řekneme, že A je -lgebr, jestliže pltí: (i) ; 2 A, (ii) je-li A 2 A, pk tké R n n A 2 A, (iii) jsou-li A ; A 2 ; : : : 2 A, pk tké S j D A j 2 A. definie je ihned vidět, že R n 2 A jsou-li A ; A 2 ; : : : 2 A, pk tké T j D A j 2 A (plyne z de Morgnovýh prvidel). Dále, jsou-li A; B 2 A, pk tké B n A 2 A. Definie. Neht A je -lgebr podmnožin R n. obrzení W A! h0; C/ [ fcg se nzývá mír, jestliže.;/ D 0, jestliže je -ditivní, tj. pokud A ; A 2 ; : : : 2 A jsou po dvou disjunktní, pk. S j D A j / D P j D.A j /. definie plyne, že je monotónní, tj..a/.b/ pro kždé dvě množiny A; B 2 A splňujíí A B. Množinám z A se říká měřitelné (přípdně -měřitelné) množiny. Vět 24. Existuje právě jedn -lgebr n R n právě jedn mír n mjíí následujíí vlstnosti: (i) obshuje všehny otevřené podmnožiny R n ; (ii) jestliže A; B 2, A E B,.B n A/ D 0, pk E 2 ; (iii).k/ < C pro kždou kompktní K R n ; (iv) je-li I D h ; b i h 2 ; b 2 i h n ; b n i R n, pk.i / D Q n j D.b j j /; 5

6 (v) je trnslčně invrintní, tj..x C A/ D.A/ pro kždou A 2 x 2 R n. Mír z předhozí věty se nzývá Lebesgueov mír množinám v se říká lebesgueovsky měřitelné množiny. Příkld. Příkldy lebesgueovsky měřitelnýh množin: otevřené uzvřené množiny, konvexní množiny, konečné množiny, fx k 2 R n I k 2 Ng, tj. množin všeh členů nějké posloupnosti v R n. vláštní význm mjí množiny míry nul. Podle vlstnosti (ii) z Věty 24 je kždá podmnožin množiny s nulovou mírou měřitelná ( má nulovou míru). Příkld. Příkldy množin nulové míry v R n : konečné množiny, fx k 2 R n I k 2 Ng, tj. množin všeh členů nějké posloupnosti v R n, ndroviny v R n, grfy spojitýh funkí z R n do R, hrnie konvexníh množin, Cntorovo diskontinuum v R. Je-li V.x/; x 2 R n výroková form, pk říkáme, že V.x/ pltí pro skoro všehn x nebo skoro všude, jestliže existuje množin E nulové míry tková, že 8x 2 R n n E W V.x/. Npříkld Dirihletov funke je skoro všude rovn nule. Definie. Pro A R n definujeme hrkteristikou funki množiny A tkto: ( x 2 A; A.x/ D 0 x 2 R n n A: Neht A ; : : : ; A k R n ; : : : ; k 2 R. Funki tvru P k j D j Aj nzýváme jednoduhou funkí. Jsou-li nví A ; : : : ; A k 2, pk funki P k j D j Aj nzýváme jednoduhou měřitelnou funkí. Definie. obrzení f W R n! R nzýváme numerikou funkí. Řekneme, že numeriká funke f je měřitelná, jestliže existuje posloupnost jednoduhýh měřitelnýh funkí ff j g j D tková, že pro všehn x 2 Rn pltí lim j! f j.x/ D f.x/. Definie. Je-li ff j g j D posloupnost numerikýh funkí, řekneme že numeriká funke f je bodovou limitou posloupnosti ff j g, jestliže pro kždé x 2 R n pltí lim j! f j.x/ D f.x/. nčíme lim j! f j D f nebo f j! f. Vět 25 (vlstnosti měřitelnýh funkí). Měřitelné funke mjí následujíí vlstnosti: (i) Jsou-li f; g měřitelné 2 R, pk i f, f C g, fg, f g jsou měřitelné, pokud jsou definovné n elém Rn. (ii) Jsou-li f; g měřitelné, pk i mxff; gg minff; gg jsou měřitelné. (iii) Je-li f reálná měřitelná g reálná spojitá, pk g B f je měřitelná. (iv) Je-li ff j gj D posloupnost měřitelnýh funkí s bodovou limitou f, pk f je tké měřitelná. (v) Spojité funke jsou měřitelné. Definie. Pro jednoduhou nezápornou měřitelnou funki P k j D j Aj definujeme její Lebesgueův integrál jko kx kx j Aj d D j.a j /; j D j D kde používáme konveni 0.C/ D 0. 6

7 Definie. Pro nezápornou měřitelnou funki definujeme f d D sup g di g f; g je jednoduhá nezáporná měřitelná : Konečně pro měřitelnou funki f definujeme f d D f C d f d; pokud je rozdíl definován. Říkáme, že funke f je (lebesgueovsky) integrovtelná, pokud má konečný Lebesgueův integrál. Nezáporné měřitelné funke mjí Lebesgueův integrál. Pro obené měřitelné funke to nemusí být prvd. Definie. Je-li M R n měřitelná množin f měřitelná funke, pk definujeme f d D M f d: M Vět 26 (vlstnosti Lebesgueov integrálu). Neht M je měřitelná množin f, g jsou měřitelné funke. (i) Neht 2 R. Pk R M f d D RM f d R M.f Cg/ d D R M f dcr M g d, pokud jsou výrzy nprvo definovány. (ii) Pltí-li f g skoro všude n M, pk R M f d R M g d, pokud ob integrály existují. (iii) Jestliže R M f d existuje, pk existuje i R ˇˇR M jf j d pltí M f dˇˇ RM jf j d. (iv) Je-li f D 0 skoro všude n M, pk R M f d D 0. (v) Je-li f D g skoro všude n M, pk R M f d D R M g d, pokud lespoň jeden z integrálů existuje. vlstnosti (v) plyne, že pro prái s integrálem R M f d stčí, by f byl definován skoro všude n M. N rozdíl od Riemnnov integrálu pltí pro Lebesgueův i obráení (iii): R f d existuje, právě když existuje R jf j d. Vět 27 (souvislost s Riemnnovým integrálem). (i) Jestliže existuje Riemnnův integrál R b f, pk existuje i Lebesgueův integrál R.;b/ f d ob integrály se rovnjí. (ii) Je-li f omezená n h; bi, pk její Riemnnův integrál existuje, právě když je skoro všude spojitá. (iii) Je-li f spojitá nezáporná funke n.; b/, pk R.;b/ f d D R b f, kde vprvo je zobeněný Riemnnův integrál. Příkld. Neht M R n je omezená otevřená nebo uzvřená množin f je omezená spojitá funke n M. Pk f je integrovtelná n M. Neht M R n je omezená konvexní otevřená množin f je spojitá funke n M. Pk f je integrovtelná n M i n M pltí R M f d D R M f d. Vět 28 (Fubiniov). Neht m; n 2 N f W R mcn! R je integrovtelná funke. Pro kždé x 2 R m definujme funki f x W R n! R předpisem f x.y/ D f.x; y/. Pk pro skoro všehn x 2 R m je funke f x integrovtelná pltí 0 f d f x.y/ d.y/ A d.x/: () R mcn R m R n Poznámk. Neht m; n 2 N f W R mcn! R je nezáporná měřitelná funke. Pro kždé x 2 R m definujme funki f x W R n! R předpisem f x.y/ D f.x; y/. Pk pro skoro všehn x 2 R m je funke f x měřitelná pltí opět vzore (). de ovšem může být integrál R R mcn f d nekonečný. Vět 29 (o substitui). Neht G R n je otevřená množin, funke ' ; : : : ; ' n 2 C.G/ zobrzení ' W G! R n definovné předpisem '.x/ D Œ'.x/; : : : ; ' n.x/ neht je prosté. Dále předpokládejme, že determinnt @x.x/ : : n.x/ J '.x/ D : : : :: : : n : : : n.x/ ˇ je nenulový pro kždé x 2 G. Pk '.G/ je otevřená pro kždou měřitelnou M '.G/ kždou f W '.G/! R pltí f d D f '.x/ ˇˇJ'.x/ˇˇ d.x/; pokud je lespoň jeden z těhto integrálů definován. M '.M / 7

8 IX. Lineární lgebr IX.. Vektorové prostory Symbol K znčí množinu R nebo C. Definie. Vektorovým prostorem nd K rozumíme trojii.v; C; /, kde V je neprázdná množin, C je opere z V V do V je opere z K V do V, přičemž tyto opere mjí následujíí vlstnosti: 8u; v 2 V W u C v D v C u (komuttivit sčítání), 8u; v; w 2 V W.u C v/ C w D u C.v C w/ (soitivit sčítání), množin V obshuje prvek, který znčíme o ( říkáme mu nulový prvek), splňujíí 8v 2 V 9w 2 V W v C w D o, 8; b 2 K 8v 2 V W.b v/ D.b/ v, 8; b 2 K 8v 2 V W. C b/ v D v C b v, 8 2 K 8u; v 2 V W.u C v/ D u C v, 8v 2 V W v D v. 8v 2 V W o C v D v: Definie. Neht.V; C; / je vektorový prostor nd K U V, U ;. Řekneme, že U je vektorový podprostor prostoru V, jestliže 8u; v 2 U W u C v 2 U, 8 2 K 8u 2 U W u 2 U. Definie. Neht V je vektorový prostor nd K, k 2 N v ; : : : ; v k 2 V. Řekneme, že vektor u 2 V je lineární kombiní vektorů v ; : : : ; v k s koefiienty ; : : : ; k 2 K, jestliže u D v C C k v k : V tomto přípdě tké říkáme, že lineární kombine vektorů v ; : : : ; v k s koefiienty ; : : : ; k je rovn u. Pokud D D k D 0, pk mluvíme o triviální lineární kombini vektorů v ; : : : ; v k ; je-li některý koefiient nenulový, pk mluvíme o netriviální lineární kombini. Definie. Neht V je vektorový prostor nd K u ; : : : ; u m jsou pevně zvolené vektory z V. Podprostor lin K fu ; : : : ; u m g nzýváme vektorovým podprostorem generovným vektory u ; : : : ; u m. formálníh důvodů dále kldeme lin K ; D fog. Definie. Neht V je vektorový prostor nd K. Vektory u ; : : : ; u m 2 V jsou lineárně závislé, pokud existuje jejih netriviální lineární kombine, která je rovn nulovému vektoru. Pokud vektory u ; : : : ; u m nejsou lineárně závislé, říkáme, že jsou lineárně nezávislé. Definie. Neht V je vektorový prostor nd K. Množin M V je lineárně nezávislá, jestliže pro kždé k 2 N je libovolná k- tie po dvou různýh vektorů z M lineárně nezávislá. Definie. Neht V je vektorový prostor nd K. Říkáme, že množin B V je báze prostoru V, jestliže (i) B je lineárně nezávislá množin, (ii) kždý vektor z V lze vyjádřit jko lineární kombini vektorů z B. Vět 30. (i) Kždou lineárně nezávislou podmnožinu vektorového prostoru lze doplnit n bázi tohoto prostoru. (ii) Kždý vektorový prostor má bázi. (iii) Počet prvků báze prostoru V je určen jednoznčně nzýváme ho dimenze prostoru V (znčíme dim V ). Definie. Je-li dim V < C, řekneme, že V je konečněrozměrný (konečnědimenzionální). Je-li dim V D C, mluvíme o nekonečněrozměrném (nekonečnědimenzionálním) vektorovém prostoru. Tvrzení 3. Neht V je vektorový prostor dimenze n 2 N nd K. (i) Jsou-li v ; : : : ; v n lineárně nezávislé vektory v prostoru V, pk množin fv ; : : : ; v n g je bází prostoru V. (ii) Jestliže pro vektory v ; : : : ; v n 2 V pltí lin K fv ; : : : ; v n g D V, je množin fv ; : : : ; v n g bází prostoru V. 8

9 IX.2. Lineární zobrzení řešení soustv lineárníh rovni Definie. Neht U V jsou vektorové prostory nd K. obrzení LW U! V se nzývá lineární, jestliže pltí: 8u ; u 2 2 U W L.u C u 2 / D L.u / C L.u 2 /, 8 2 K 8u 2 U W L.u/ D L.u/. Definie. Neht U V jsou vektorové prostory nd K, LW U! V neht je lineární zobrzení. Jádrem lineárního zobrzení L nzveme množinu Ker.L/ D L.fog/ D fu 2 U W L.u/ D og: Symbolem Im.L/ znčíme obor hodnot zobrzení L, tedy Im L D L.U / D fv 2 V I 9u 2 U W L.u/ D vg: Vět 32. Neht U V jsou vektorové prostory nd K, LW U! V neht je lineární zobrzení. Potom pltí: (i) Množin Ker.L/ je vektorovým podprostorem U. (ii) Množin Im.L/ je vektorovým podprostorem V. (iii) Pltí dim Ker.L/ C dim Im.L/ D dim U. Neht U, V jsou vektorové prostory, LW U! V je lineární zobrzení b 2 V. Uvžujme rovnii Vět 33. Neht x 0 2 U je řešením rovnie (2). Potom množin je množinou všeh řešení rovnie (2). L.x/ D b: (2) fx 0 C ww w 2 Ker.L/g Neht A 2 M.m n/, b 2 R m. Uvžujme soustvu m rovni o n neznámýh Důsledek 34. Má-li soustv (3) řešení x 0 2 R n, pk množin všeh řešení má tvr IX.3. Kvdrtiké formy Ax D b: (3) fx 0 C ww Aw D og: Definie. Neht A 2 M.n n/. Pltí-li A D A T, pk říkáme, že mtie A je symetriká. Neht A 2 M.nn/ je symetriká mtie. Pk funki ' W R n! R definovné předpisem '.u/ D u T Au říkáme kvdrtiká form. Říkáme, že tto form je reprezentován mtií A nebo že mtie A je reprezentujíí mtií formy '. Poznámk. Je-li ' W R n! R kvdrtiká form, pk pro kždé u 2 R n 2 R pltí '.u/ D 2 '.u/. To plyne z definie mtiového násobení. Definie. Neht ' W R n! R je kvdrtiká form. Řekneme, že ' je pozitivně definitní (PD), jestliže 8u 2 R n ; u ow '.u/ > 0, negtivně definitní (ND), jestliže 8u 2 R n ; u ow '.u/ < 0, pozitivně semidefinitní (PSD), jestliže 8u 2 R n W '.u/ 0, negtivně semidefinitní (NSD), jestliže 8u 2 R n W '.u/ 0, indefinitní (ID), nepltí-li ni z předhozího, tj. 9u; v 2 R n W '.u/ > 0 ^ '.v/ < 0. Definie. Řekneme, že mtie A D. ij / 2 M.n n/ je digonální, jestliže ij D 0 pro kždé i; j 2 f; : : : ; ng, i j. Tvrzení 35. Neht A D. ij / 2 M.n n/ je digonální. Pk pltí: A je pozitivně definitní, právě když ii > 0, i D ; : : : ; n; A je negtivně definitní, právě když ii < 0, i D ; : : : ; n; 9

10 A je pozitivně semidefinitní, právě když ii 0, i D ; : : : ; n; A je negtivně semidefinitní, právě když ii 0, i D ; : : : ; n; A je indefinitní, právě když existují tková i; j 2 f; : : : ; ng, že ii > 0 jj < 0. Definie. Symetrikou elementární úprvou mtie A 2 M.n n/ budeme rozumět úprvu, kdy provedeme jistou elementární řádkovou úprvu mtie A vzniklou mtii uprvíme odpovídjíí sloupovou úprvou. Symetrikou trnsformí mtie A budeme rozumět konečnou posloupnost symetrikýh elementárníh úprv. Lemm 36. Neht T je trnsforme plikovtelná n mtie o m řádíh. Potom existuje regulární mtie B 2 M.m m/ tková, že pro kždou mtii A 2 M.m n/ pltí T.A/ D BA. Obráeně, je-li B 2 M.m m/ regulární mtie, pk existuje trnsforme T plikovtelná n mtie o m řádíh tková, že pro kždou mtii A 2 M.m n/ pltí BA D T.A/. Vět 37. Neht T je symetriká trnsforme plikovtelná čtverové mtie řádu n. Potom existuje regulární mtie B 2 M.n n/ tková, že pro kždou mtii A 2 M.n n/ pltí T.A/ D BAB T. Lemm 38. (i) Je-li A 2 M.n n/ symetriká mtie C 2 M.n n/, pk C AC T je opět symetriká mtie. (ii) Symetriká trnsforme zhovává symetrii mtie. Lemm 39. Neht A 2 M.n n/ je symetriká mtie Q 2 M.n n/ je regulární mtie. Je-li A pozitivně definitní (resp. negtivně definitní, pozitivně semidefinitní, negtivně semidefinitní, indefinitní), pk je mtie QAQ T pozitivně definitní (resp. negtivně definitní,... ). Vět 40. Neht A 2 M.n n/ je symetriká mtie neht B 2 M.n n/ vznikne z A pomoí symetriké trnsforme. Mtie A je pozitivně definitní (resp. negtivně definitní, pozitivně semidefinitní, negtivně semidefinitní, indefinitní), právě když B je pozitivně definitní (resp. negtivně definitní,... ). Vět 4. Neht A 2 M.n n/ je symetriká mtie. Pk ji lze symetrikou trnsformí převést n digonální mtii. Poznámk. Má-li symetriká mtie C D. ij / 2 M.n n/ n digonále kldný prvek ii záporný prvek jj, pk je již indefinitní. Vět 42 (Sylvestrovo kritérium). Neht A D. ij / 2 M.n n/ je symetriká mtie. Pk A je pozitivně definitní, právě když negtivně definitní, právě když : : : k : : > 0 pro kždé k D ; : : : ; n, ˇ k : : : kk ˇ : : : k. / k : : > 0 pro kždé k D ; : : : ; n, ˇ k : : : kk ˇ pozitivně semidefinitní, právě když pro kždou k-tii přirozenýh čísel i < < i k n, k D ; : : : ; n, pltí i i : : : i i k : : 0; ˇ ik i : : : ik ˇ i k negtivně semidefinitní, právě když pro kždou k-tii přirozenýh čísel i < < i k n, k D ; : : : ; n, pltí i i : : : i i k. / k : : 0: ˇ ik i : : : ik ˇ i k 0

11 IX.4. Vlstní čísl vektory Definie. Neht A 2 M.n n/. Řekneme, že 2 C je vlstní číslo mtie A, jestliže existuje nenulový vektor x 2 C n tkový, že Ax D x. Vektor x pk nzýváme vlstním vektorem mtie A příslušným k vlstnímu číslu. Vět 43. Neht A 2 M.n n/. (i) Prvek 2 C je vlstním číslem mtie A, právě když det.i A/ D 0. (ii) Funke 7! det.i A/ je polynom n-tého stupně s koefiientem u n-té moniny rovným jedné. (iii) Mtie A má nejvýše n různýh vlstníh čísel. Definie. Neht A 2 M.n n/. Polynom 7! det.i A/ se nzývá hrkteristiký polynom mtie A. Vzhledem k tvrzení (i) předhozí věty definujeme násobnost vlstního čísl mtie jko násobnost tohoto čísl jkožto kořene hrkteristikého polynomu. Vět 44. Neht A 2 M.n n/ je symetriká mtie. Pk jsou všehn její vlstní čísl reálná. Definie. Řekneme, že mtie Q 2 M.n n/ je ortogonální, jestliže pltí Q T Q D QQ T D I. Vět 45 (spektrální rozkld mtie). Neht A 2 M.n n/ je symetriká mtie. Pk existuje ortogonální mtie Q 2 M.n n/ tková, že 0 : : : 0 QAQ T B D : : :: : C : A ; 0 : : : n kde ; : : : ; n jsou vlstní čísl mtie A. Vět 46. Neht A 2 M.n n/ je symetriká mtie. Pk pltí: A je pozitivně definitní, právě když jsou všehn její vlstní čísl kldná, A je negtivně definitní, právě když jsou všehn její vlstní čísl záporná, A je pozitivně semidefinitní, právě když jsou všehn její vlstní čísl nezáporná, A je negtivně semidefinitní, právě když jsou všehn její vlstní čísl nekldná, A je indefinitní, právě když má kldné vlstní číslo i záporné vlstní číslo. Definie. Neht A D. ij / 2 M.n n/. Stopou mtie A rozumíme číslo Vět 47. Neht A; B; C 2 M.n n/, 2 R. Pk pltí: (i) tr.a C B/ D tr.a/ C tr.b/, (ii) tr.a/ D tr.a/, (iii) tr.ab/ D tr.ba/, (iv) tr.abc / D tr.c AB/ D tr.bc A/. tr.a/ D nx ii : Důležitým příkldem lineárníh zobrzení jsou projeke, ož jsou lineární zobrzení P W V! V vektorového prostoru V do sebe, pro která pltí P B P D P. Projeke je zobrzení n podprostor Im.P / pro kždý vektor x 2 Im.P / pltí P.x/ D x. Reprezentujíí mtie projekí n R n splňují vzth A 2 D A. Tkovým mtiím říkáme idempotentní. Tvrzení 48. Symetriká idempotentní mtie je pozitivně semidefinitní. Tvrzení 49. Vlstní čísl idempotentní mtie jsou rovn 0 nebo. Vět 50. Neht A 2 M.n n/ je idempotentní. Pk existuje regulární mtie Q 2 M.n n/ tková, že QAQ D D, kde mtie D je digonální n digonále má jen prvky 0. Vět 5. Neht A 2 M.n n/ je idempotentní. Pk h.a/ D tr.a/. Důsledek 52. Neht A 2 M.n n/ je idempotentní. Pk h.i A/ D n h.a/. id

12 IX.5. Sklární součin Definie. Sklárním součinem vektorů x; y 2 R n rozumíme číslo nx <x; y> D x i y i : Definie. Řekneme, že vektory x; y 2 R n jsou n sebe kolmé, jestliže <x; y> D 0. Vět 53 (vlstnosti sklárního součinu). Pltí: (i) 8x; y; z 2 R n W <x C y; z> D <x; z> C <y; z>, (ii) 8 2 R 8x; y 2 R n W < x; y> D <x; y>, (iii) 8x; y 2 R n W <x; y> D <y; x>, (iv) zobrzení x 7! <x; x> z R n do R je pozitivně definitní kvdrtiká form. Definie. Normou vektoru x 2 R n rozumíme číslo id p nx kxk D id x 2 i : Vět 54 (vlstnosti normy). Neht x; y 2 R n, 2 R. Pk pltí (i) kxk 0, (ii) kxk D 0, právě když x D o, (iii) k xk D j j kxk, (iv) kx C yk kxk C kyk (trojúhelníková nerovnost), (v) j<x; y>j kxk kyk (Cuhyov nerovnost). Vět 55 (Pythgorov vět). Vektory x; y 2 R n jsou n sebe kolmé, právě když kx C yk 2 D kxk 2 C kyk 2. 2

13 X. Tylorův polynom X.. Tylorův polynom funke jedné reálné proměnné Definie. Neht f je funke, 2 R funke f má v bodě vlstní n-tou derivi. Pk polynom T f; n.x/ D f./ C f 0./.x / C 2Š f 00./.x / 2 C C nš f.n/./.x / n nzýváme Tylorovým polynomem funke f v bodě řádu n. Poznámk. Oznčíme-li T D T f; n, pk pltí T.k/./ D f.k/./ pro k D 0; ; : : : ; n. Lemm 56. Neht n 2 N, Q je polynom, st Q n lim x! Q.x/.x / n D 0. Pk Q je nulový polynom. Vět 57 (Penův tvr zbytku). Neht n 2 N, 2 R funke f má v bodě vlstní n-tou derivi. Potom f.x/ Tn f;.x/ lim D 0: x!.x / n Vět 58 (o jednoznčnosti). Neht n 2 N, 2 R, funke f má v bodě vlstní n-tou derivi P je polynom stupně nejvýše n splňujíí f.x/ P.x/ lim D 0: x!.x / n Potom P D T f; n. Definie. Neht f g jsou funke, 2 R. Řekneme, že funke f je v bodě mlé o od g (píšeme f.x/ D o g.x/, x! ), jestliže pltí f.x/ lim x! g.x/ D 0: Vět 59 (ritmetik mlého o). Neht 2 R. (i) Jestliže f.x/ D o g.x/, x! f 2.x/ D o g.x/, x!, potom f.x/ C f 2.x/ D o g.x/, x!. (ii) Jestliže f.x/ D o g.x/, x! f 2.x/ D o g 2.x/, x!, potom f.x/f 2.x/ D o g.x/g 2.x/, x!. (iii) Jestliže f.x/ D o g.x/, x! f 2 je nenulová n jistém prstenovém okolí bodu, potom f.x/f 2.x/ D o g.x/f 2.x/, x!. (iv) Jestliže f.x/ D o g.x/, x! existuje vlstní lim x! g.x/ g 2.x/, potom f.x/ D o g 2.x/, x!. (v) Jestliže f.x/ D o g.x/, x! h je omezená n jistém prstenovém okolí bodu, potom h.x/f.x/ D o g.x/, x!. (vi) Jestliže m; n 2 N [ f0g, m n, f.x/ D o.x / n, x!, potom f.x/ D o.x / m, x!. Vět 60. Neht ; b 2 R, f.y/ D o g.y/, y! b, lim x! '.x/ D b existuje ı 2 R, ı > 0, tkové, že Potom f '.x/ D o g.'.x/, x!. 8x 2 P.; ı/w '.x/ b: Vět 6 (Lgrngeův tvr zbytku). Neht n 2 N, dále neht I je otevřený intervl, f 2 C nc.i / 2 I. Potom pro kždé x 2 I existuje číslo 2 h; xi splňujíí f.x/ D Tn f;.x/ C.n C /Š f.nc/./.x / nc : Definie. Neht f je funke, 2 R funke f má v bodě derive všeh řádů. Potom řdu X nd0 nš f.n/./.x / n nzýváme Tylorovou řdou funke f o středu. Ve speiálním přípdě D 0 mluvíme o MLurinově řdě. 3

14 X.2. Tylorovy polynomy řdy elementárníh funkí Tvrzení 62. Pro kždé k 2 N pltí: T exp;0 k D C x C 2Š x2 C C kš xk, T sin;0 2k D T sin;0 D x 2k T os;0 2k T log.cx/;0 k T.Cx/ ;0 k 3Š x3 C 5Š x5 C C. / k.2k /Š x2k, D T os;0 2kC D 2Š x2 C 4Š x4 C C. / k.2k/š x2k, D x 2 x2 C 3 x3 C C. / k k xk, D 0 C x C C k x k, kde 2 R, 0 D, j D. /. j C/ j Š. Vět 63. Pro kždé x 2 R jsou funke exp, sin os součtem své Tylorovy řdy o středu 0. Pltí tedy: Vět 64. Pltí 8x 2 RW exp x D 8x 2 RW sin x D 8x 2 RW os x D X nd0 X nd X nd0 nš xn ;. / n.2n /Š x2n ;. / n.2n/š x2n : X. / n 8x 2. ; iw log. C x/ D x n ; n nd! X 8x 2. ; /W. C x/ D x n : n X.3. Tylorův polynom 2. řádu funke víe proměnnýh Definie. Neht G R n je otevřená množin, 2 G f 2 C 2.G/. Definujme funki T f; 2 W R n! R předpisem T f; 2.x/ D f./ C i./.x i i / C 2 nd0 nx i;j D Tuto funki nzýváme Tylorovým polynomem druhého řádu funke f v 2 j./.x i i /.x j j /: Oznčme symbolem r 2 f./ mtii druhýh priálníh deriví funke f v bodě (tzv. Hessovu mtii), tj. r 2 f./ 2 f./ j i;j D::n Pk můžeme psát T 2.x/ D f./ C rf./.x / C 2.x /T r 2 f./.x /: Vět 65. Neht 2 R n, > 0 f 2 C 2 B.; /. Potom existuje funke! W B.; /! R tková, že 8x 2 B.; /W f.x/ D T f; 2.x/ C!.x/ kx k 2 pltí lim!.x/ D 0: x! 4

15 XI. Extrémy funkí víe proměnnýh XI.. Podmínky druhého řádu Definie. Neht f je funke n proměnnýh. Je-li bod 2 R n stionárním bodem funke f f nenbývá v extrému, tj. pk bod nzýváme sedlovým bodem funke f. 8ı > 0 9x; y 2 B.; ı/w f.x/ > f./ f.y/ < f./; Vět 66 (nutné podmínky druhého řádu). Neht G R n je neprázdná otevřená množin, f 2 C 2.G/ 2 G. Potom pltí: (i) Je-li bodem lokálního mxim funke f, je mtie r 2 f./ negtivně semidefinitní. (ii) Je-li bodem lokálního minim funke f, je mtie r 2 f./ pozitivně semidefinitní. Vět 67 (postčujíí podmínky druhého řádu). Neht G R n je neprázdná otevřená množin, f 2 C 2.G/ neht 2 G je stionárním bodem funke f. Potom pltí: (i) Je-li r 2 f./ negtivně definitní, nbývá f v bodě ostrého lokálního mxim. (ii) Je-li r 2 f./ pozitivně definitní, nbývá f v bodě ostrého lokálního minim. (iii) Je-li r 2 f./ indefinitní, nenbývá f v bodě ni lokálního mxim, ni lokálního minim, tj. je sedlový bod funke f. Lemm 68. Kvdrtiká form ' W R n! R je pozitivně definitní (resp. negtivně definitní), právě když existuje 2 R, > 0, tkové, že pro všehn u 2 R n pltí '.u/ kuk 2 (resp. '.u/ kuk 2 ). XI.2. Extrémy konkávníh funkí Vět 69. Neht G R n je neprázdná otevřená konvexní množin f 2 C 2.G/. Funke f je n množině G konkávní, právě když pro kždé x 2 G je mtie r 2 f.x/ negtivně semidefinitní. Vět 70. Neht G je otevřená konvexní podmnožin R n, f 2 C 2.G/ 2 G. Neht pltí (i) 8x 2 G W r 2 f.x/ je negtivně semidefinitní, (ii) rf./ D o. Potom funke f nbývá v bodě svého mxim n množině G. 5