18.2 RYCHLOST ZVUKU 18.1 ZVUKOVÉ VLNĚNÍ

Transkript

1 18 Vlny ó II Netop r plnè tmï nejen ÑidÌì letìcì hmyz, ale naìc pozn, jak rychle se Ëi nïmu pohybuje. To mu umoûúuje hmyz loit. Na jakèm principu funguje jeho detekënì systèm? Jak m zp sobem se m ûe hmyz br nit?

2 18.2 RYCHLOST ZVUKU 467 lně. Se zětšující se zdáleností od zdroje se poloměr postupujících lnoploch zětšuje a jejich křiost se zmenšuje. Velmi daleko od zdroje lze lnoplochy dobře aproximoat roinami; pak mluíme o roinných lnách. lnoplochy Z paprsek paprsek Obr Snímek pořízenýultrazukem: plod se snaží nalézt sůj palec. Obr Zukoé lny se šíří trojrozměrným prostředím od zdroje Z. Vlnoplochy ytářejí koule se středem bodě Z. Paprsky mají radiální směr od Z. Krátká oboustranná šipka naznačuje směr kmitů částic prostředí; je ronoběžnýs paprsky RYCHLOST ZVUKU 18.1 ZVUKOVÉ VLNĚNÍ V kap. 17 jsme iděli, že pro znik mechanického lnění je potřeba nosné médium, hmotné prostředí. Existují da typy mechanického lnění: příčném jsou kmity kolmé ke směru šíření lny, zatímco podélném jsou se směrem šíření ronoběžné. Zuk se ždy může šířit jako podélné lnění; pených látkách pak naíc i jako příčné. Zukoé lny se použíají při hledání ropy zemské kůře. Lodě jsou ybaeny sonarem, aby se yhnuly překážkám skrytým pod hladinou. Ponorky yužíají zukoých ln ke zjištění nepřátelských ponorek: pátrají po charakteristických zucích, které ydáá jejich pohon. Na počítačoém snímku hlay dítěte (obr. 18.1) idíme, jak lze zukoé lny použít k ýzkumu tkání lidském těle. V této kapitole budeme zkoumat, jak se zuk šíří zduchem. Obr ilustruje některé základní pojmy, které budeme použíat. Bod Z předstauje zdroj zuku zanedbatelných rozměrů, tz. bodoý zdroj. Vlnění se od něj šíří ronoměrně do šech směrů; bodoýzdroj je tedy izotropní. Směr šíření a rozložení zukoých ln jsou znázorněny pomocí lnoploch a paprsků. Vlnoplocha je plocha, na níž mají šechny částice zduchu stejně elkou ýchylku i rychlost (stejnou fázi); tyto plochy znázorňujeme na dojrozměrném obrázku pomocí kružnic a oblouků. Paprsky jsou čáry kolmé k lnoplochám a určují směr postupu lnoploch. Fakt, že kmity podélného lnění jsou ronoběžné s paprsky, je yznačen na obr krátkou oboustrannou šipkou. V blízkosti bodoého zdroje jsou lnoplochy kuloé a šíří se do celého prostoru; pak mluíme o kuloé Rychlost liboolného mechanického lnění (příčného i podélného) záisí jednak na setračných lastnostech prostředí (souisejí s kinetickou energií částic prostředí), jednak na jeho lastnostech elastických (souisí s potenciální energií). Ro. (17.24), která udáá rychlost šíření příčného lnění na struně, můžeme zobecnit: ν = τ pružnost µ = setračnost, (18.1) kde (pro příčné ýchylky) je τ napětí e struně a µ její délkoá hustota. Je-li nosným prostředím zduch, lze ze sronání ododit, že setračnosti yjádřené µ odpoídá hustota zduchu ϱ. Čím je třeba nahradit τ souisející s pružností? Potenciální energie je u napjaté struny spojena s ychýlením jednotliých částic struny. Při průchodu lny strunou se ýchylka každé částice periodicky mění. Při průchodu zukoé lny zduchem se periodicky mění malých oblastech tlak. Veličinou, která udáá, jak částice prostředí mění sůj objem se změnou tlaku (síly na jednotku plochy), je modul objemoé pružnosti; je definoán (poronejte s ro. (13.36)) K = p V /V (definice K), (18.2) kde V /V je poměrná změna objemu yolaná změnou tlaku p. Jednotkou tlaku SI je newton na metr čterečný(iz čl. 15.3), tj. pascal (Pa). Vidíme, že jednotka K z ro. (18.2) je také pascal. Znaménko p je ždy

3 468 KAPITOLA 18 VLNY II Tabulka 18.1 Rychlost zuku PROSTŘEDÍ m s 1 PROSTŘEDÍ m s 1 PROSTŘEDÍ m s 1 Plyny a Pené látky a Kapaliny a Vzduch (0 C) 331 Hliník Voda (0 C) Vzduch (20 C) 343 Ocel Voda (20 C) Helium 965 Žula Mořská oda b 1522 Vodík a 0 C a tlak 1 atm, pokud neuedeno jinak. b Při 20 C a salinitě 3,5 %. opačné než znaménko V ; se zyšujícím se tlakem ( p je kladné) se objem elementu zmenšuje ( V je záporné) a naopak. V ro. (18.2) ystupuje proto záporné znaménko, aby K bylo ždy kladné. Záměnou K za τ a ϱ za µ dostaneme ztah K = (rychlost zuku) (18.3) ϱ pro prostředí s modulem objemoé pružnosti K a hustotou ϱ. V tabulce 18.1 jsou uedeny rychlosti zuku různých prostředích. Hustota ody je téměř tisíckrát ětší než hustota zduchu. Kdyby o rychlosti zuku rozhodoala pouze hustota, dalo by se očekáat zhledem k ro. (18.3), že se e odě bude zuk šířit asi třicetkrát pomaleji než e zduchu. Z tabulky 18.1 ale yplýá, že je e odě zuk naopak čtyřikrát rychlejší než e zduchu. Proto by měl být modul pružnosti ody íce než desetitisíckrát ětší než u zduchu. Tak tomu skutečně je, protože oda je poronání se zduchem mnohem hůř stlačitelná. Odození ro. (18.3) Ro. (18.3) můžeme také ododit přímo z druhého Newtonoa zákona. Předpokládejme, že samostatnýpulz yššího tlaku se šíří zpraa dolea rychlostí o elikosti zduchem trubici. Zolíme nyní soustau spojenou s pulzem; ní má tedy pulz nuloou rychlost. Tuto situaci zachycuje obr. 18.3a. Pulz stojí na místě a zduch se pohybuje zlea dopraa rychlostí o elikosti. Tlak zduchu okolí pulzu označíme p a tlak zduchu unitř pulzu bude p+ p,kde p je kladné, protože zduch pulzu je stlačen. Uažujme nyní tenkou rstu zduchu ošířce x aplošes, která se pohybuje směrem k pulzu rychlostí. Dostane-li se tato rsta do oblasti pulzu, změní se díky odlišnému tlaku její rychlost na +, kde má záporné znaménko. Ke zpomalení celé rsty dojde za dobu t = x. (18.4) proudící zduch (element objemu) p + p, + S ; ; ; ; p, x pulz p, (a) ps x (b) (p + p)s Obr Pulz stlačeného zduchu se šíří dlouhou trubicí. Vztažná soustaa obrázku je zolena tak, že pulz zůstáá na místě, zatímco zduch se pohybuje zlea dopraa. (a) Tenká rsta zduchu šířky x se pohybuje směrem k pulzu rychlostí. (b) Přední stěna rsty stupuje do pulzu. Jsou znázorněny síly yolané tlakem zduchu, působící na přední a zadní stěnu rsty. Nyní použijeme na rstu zduchu druhýnewtonů zákon. Během doby t působí na zadní stěnu rsty směrem dopraa síla ps a na přední stěnu síla (p + p)s dolea (obr. 18.3b). Výsledné siloé působení na rstu během doby t je tedy F = ps (p + p)s = ps (ýsledná síla). (18.5) Záporné znaménko znamená, že ýslednice sil míří na obr. 18.3b dolea. Objem rsty je S x, a proto zhledem k ro. (18.4) platí pro její hmotnost m = ϱs x = ϱs t (hmotnost). (18.6) Zrychlení rsty během doby t je a = (zrychlení). (18.7) t Z druhého Newtonoa zákonu (F = ma) a z ronic (18.5), (18.6) a (18.7) dostááme ps = (ϱs t) t,

4 18.3 ŠÍŘENÍ ZVUKOVÝCH VLN 469 což můžeme zapsat také jako ϱ 2 = p /. (18.8) Vzduch,kterýzabírá ně pulzu objem V = S t,je stlačen o V = S t unitř pulzu, a tedy Náš mozek šak odhaduje směr na základě zkušenosti získané e zduchu. Proto se nám bude zdát, že zuk přichází pod úhlem θ menším než 90. Abychom ho yjádřili, dosadíme za t do ro. (18.10) časoýrozdíl l 0 / z ro. (18.11): l 0 = l 0 sin θ. (18.12) V V = S t S t =. (18.9) Dosazením hodnot = 343 m s 1 a = m s 1 ztabulky 18.1 do ro. (18.12) dostááme Dosazením ro. (18.9) a (18.2) do ro. (18.8) dostaneme ϱ 2 = p / = p V /V = K. Z této ronice dostaneme ýraz pro shodnýs ro. (18.3) pro zduch pohybující se směrem dopraa na obr. 18.3, neboli pro rychlost pulzu dolea klidném zduchu. PŘÍKLAD 18.1 K určení směru, z něhož k nám přichází zuk, yužíá náš mozek časoýrozdíl t, s nímž zuk dorazí k bližšímu a zdálenějšímu uchu.* Vzdálenost mezi ušima označme l 0. Předpokládejme, že zdroj zuku je dostatečně zdálený, takže přicházející lnoplochy jsou přibližně roinné. V této situaci: (a) Nalezněme ztah pro t yjádřenýpomocí zdálenosti l 0 aúhluθ mezi spojnicí uší a čelem lnoplochy. ŘEŠENÍ: Sledujme obr Vlnění se šíří od zdroje k pozoroateli. Časoýrozdíl je způsoben zdáleností d, kterou musí každá lnoplocha urazit, aby po dosažení praého ucha (P) ještě dospěla k leému (L). Z obr yplýá t = d = l 0 sin θ, (Odpoě ) (18.10) kde je rychlost zuku e zduchu. Náš mozek koreluje zaznamenanou dobu zdržení t s hodnotou úhlu θ směru ke zdroji na základě zkušenosti. (b) Předpokládejte, že jste ponořeni e odě o teplotě 20 C a zpraa k ám přicházejí zukoé lny. V jakém směru budete nímat zdroj zuku na základě t? ŘEŠENÍ: Pomocí ro. (18.10) dostaneme časoýrozdíl t pro tuto situaci, tj. pro θ = 90, místo rychlosti zuku e zduchu dosadíme jeho rychlost e odě : t = l 0 sin 90 = l 0. (18.11) Vzhledem k tomu, že je asi čtyřikrát ětší než, bude t čtyřikrát menší než maximum časoého rozdílu e zduchu. * Uedenýmechanismus lokalizace není ošem jediný, uplatňují se např. i nepatrné mimoolné pohyby hlaou. sin θ = = (343 m s 1 ) (1482m s 1 ) = 0,231, θ = 13. (Odpoě ) lnoplochy d θ θ L l 0 P Obr Příklad K leému uchu musí lna urazit zdálenost o d = l 0 sinθ delší než k praému ŠÍŘENÍ ZVUKOVÝCH VLN V této kapitole budeme zkoumat polohoé a tlakoé ýchylky částic zduchu při sinusoém průběhu zukoých ln. Na obr je zobrazena lna postupující dopraa trubicí se zduchem. Takoou lnu můžeme yrobit třeba periodickým pohybem pístu na leém konci trubice (podobně jako na obr. 17.2). Pohyb pístu dopraa posune a stlačí nejbližší infinitezimální rstičku zduchu; obdobně pohyb pístu dolea způsobí pokles tlaku této rstě. Vzruch, tj. změna tlaku a pohyb zduchu, yolanýpístem, se šíří z rsty na rstu a tak zniká lnění. Uažujme nyní trubici tenkou rstu zduchu tlouš ky x o souřadnici x. Při průchodu lny tato rsta harmonicky kmitá okolo sé ronoážné polohy (obr. 18.5b). Podobně jako kmitají částice struny (příčně), kmitají i infinitezimální rsty zduchu při průchodu lny, s tím rozdílem, že se u zduchu jedná o podélné kmity. K popisu polohoé ýchylky s(x,t) rsty zduchu z jeho ronoážné polohy můžeme použít bu funkci sinus nebo kosinus. V této kapitole použijeme kosinus: s(x,t) = s m cos(kx ωt). (18.13)

5 ; ; ; 470 KAPITOLA 18 VLNY II ; ; ; ; ; ; ; yšší tlak λ x ; nižší tlak (a) ; ; ; ; ; ; ; ; x s rsta s m s m (b) ; ; ; ; kmitající infinitezimální ronoážná poloha Obr (a) Zukoá lna se šíří rychlostí trubicí se zduchem. Skládá se z pohybujících se a periodicky se opakujících oblastí s nízkým a ysokým tlakem. Na obrázku je lna zobrazena jednom časoém okamžiku. (b) Zětšenýýřez malé části trubice. Elementární rsta zduchu tlouš ky x harmonicky kmitá při průchodu lny okolo ronoážné polohy. V daném okamžiku je rsta ychýlena o zdálenost s dopraa z ronoážné polohy. Nejětší ýchylka (dolea i dopraa) je s m. Symbol s m označuje amplitudu ýchylky, tj. maximální ýchylku infinitezimální rsty zduchu z ronoážné polohy (obr. 18.5b).* Úhloýlnočet k, úhloá frekence ω, frekence f, lnoá délka λ, rychlost a perioda T jsou pro zukoé, a tedy podélné lnění definoány stejně jako pro lnění příčné a platí mezi nimi stejné ztahy. Výjimkou je λ, která nyní označuje nejmenší zdálenost, na níž se začínají oblasti yššího a nižšího tlaku opakoat (obr. 18.5a). (Předpokládáme, že s m je mnohem menší než λ.) Tlak kterémkoli místě x se mění při postupu lny harmonicky, jak dále ukážeme. Tato změna probíhá podle ztahu p(x, t ) = p m sin(kx ωt). (18.14) Záporná hodnota p ro. (18.14) odpoídá roztažení, kladná hodnota stlačení zduchoé rsty. Symbol p m označuje amplitudu tlaku, která odpoídá nejětšímu nárůstu nebo poklesu tlaku způsobeného lnou; běžně je p m mnohem menší než tlak p, kterýodpoídá tlaku případě, že není přítomna lna. Ukážeme, že amplituda tlaku p m je sázána s amplitudou ýchylky s m z ro. (18.13) ztahem p m = (ϱω)s m. (18.15) * Pro příčnou ýchylku elementu napjaté struny jsme užíali označení y(x,t). Zde píšeme s(x,t), abychom se yhnuli zápisu x(x,t) pro podélnou ýchylku zdušného elementu. Na obr jsou grafy ro. (18.13) a (18.14) čase t = = 0. V průběhu času se obě křiky pohybují dopraa podél osy x. Pošimněte si, že polohoá a tlakoá ýchylka jsou zájemně posunuty o fázi Ô/2 rad (neboli 90 ). Výchylka tlaku je tedy nuloá, práě když je ýchylka polohy nejětší. ýchylka polohy (Ñm) ýchylka tlaku (Pa) s m t = p m (a) (b) t = 0 x (cm) x (cm) Obr (a) Graf polohoé ýchylky (ro. (18.13)) čase t = 0. (b) Obdobnýgraf pro ýchylku tlaku (ro. (18.14)). Oba grafy odpoídají zukoé lně o frekenci Hz, jejíž amplituda je na úroni prahu bolesti. Viz př KONTROLA 1: Co se děje s tlakem případě, že se infinitezimální zduchoá rsta z obr. 18.5b pohybuje dopraa bodem, němž je polohoá ýchylka nuloá? Je tlak ronoážné poloze, nebo práě začíná růst, či klesat? Odození ztahů (18.14) a (18.15) Mějme kmitající infinitezimální rstu zduchu o ploše S a tlouš ce x, jejíž střed je z ronoážné polohy ychýlen o zdálenost s (obr. 18.5b). Podle ro. (18.2) platí pro ýchylku tlaku e rstičce zduchu p = K V V. (18.16) Veličina V ro. (18.16) je elikost objemu, daná ztahem V = S x. (18.17) Přitom V ro. (18.16) označuje změnu (ýchylku) objemu souisející s polohoou ýchylkou rsty. Změna objemu je způsobena tím, že posunutí obou stěn rsty nejsou zcela shodná, liší se o zdálenost s. Platí tedy V = S s. (18.18)

6 18.4 INTERFERENCE 471 Dosazením ro. (18.17) a (18.18) do ztahu (18.16) dostaneme po proedení limitního přechodu p = K s x = K s x. (18.19) Symbol ro. (18.19) znamená, že se jedná o parciální deriaci, která říká, jak se mění s se změnou x peném časoém okamžiku. Z ro. (18.13) tak dostááme (s t se zachází jako s konstantou) s x = x (s m cos(kx ωt)) = ks m sin(kx ωt). Po dosazení tohoto ýsledku do ro. (18.19) yjde 18.4 INTERFERENCE Na obr jsou da bodoé zdroje Z 1 az 2 zukoého lnění o lnoé délce λ. Zdroje jsou e fázi, což znamená, že znikající lny dosahují maximální ýchylky současně. Předpokládejme, že zukoé lny šířící se zhruba stejným směrem z obou zdrojů procházejí bodem P. Je-li P uražená dráha obou ln stejná, budou i tomto bodě e fázi. Pokud se ošem dráhy zájemně liší jako na obr. 18.7, pak e fázi nebudou. Jejich fázoýrozdíl bodě P záisí na jejich dráhoém rozdílu L. Šíří-li se dě lny po odlišných drahách, může se jejich fázoýrozdíl díky dráhoému rozdílu L změnit. p = Kks m sin(kx ωt), čímž jsme ztah (18.14) skutečně dokázali; zřejmě je p m = Kks m. S použitím ro. (18.3) můžeme nyní psát p m = (Kk)s m = ( 2 ϱk)s m. Obr Ze dou bodoých zdrojů Z 1 az 2 ycházejí kuloé zukoé lny e fázi. Paprsky ukazují, že bodem P procházejí lny s fázoým rozdílem. Z 1 Z 2 P Odtud po dosazení = ω/k (ro. (17.12)) okamžitě plyne ro. (18.15), kterou jsme chtěli dokázat. PŘÍKLAD 18.2 Maximální amplituda tlaku p m hlasitého zuku, kterou lidské ucho snese, je asi 28 Pa (což je mnohem méně než běžný tlak zduchu 10 5 Pa). Jaké je posunutí s m zduchoé částice u takoého zuku s frekencí Hz? Vzduch má hustotu ϱ = 1,21 kg m 3. ŘEŠENÍ: Z ro. (18.15) dostaneme odpoě s m = p m ϱω = p m ϱ(2ôf) = = (28 Pa) (343 m s 1 )(1,21 kg m 3 )(2Ô)(1 000 Hz) = = 1, m = 11 Ñm. (Odpoě ) Výchylka, kterou lidské ucho snese, je i pro nejhlasitější zuk zjeně elice malá: okolo jedné sedminy tlouš ky listu papíru. Amplituda tlaku p m pro nejslabší slyšitelnýzuk o frekenci Hz je okolo 2, Pa. Uedeným postupem dostaneme odpoídající amplitudu s m = 1, m neboli 11 pm. To je asi jedna desetina typického atomoého poloměru. Vidíme, že ucho je elice citliýdetektor zukoých ln. Ucho může zaznamenat zukoé pulzy, jejichž celkoá energie je na úroni několika elektronoltů, což odpoídá energii potřebné k ytržení jednoho elektronu z atomu. Fázoýrozdíl 2Ô rad odpoídá jedné lnoé délce (iz čl. 17.4). Proto pro obecnýfázoýrozdíl ϕ mezi děma lnami platí ϕ = L 2Ô λ, (18.20) odkud plyne ϕ = L 2Ô. (18.21) λ Zukoé lnění ykazuje, podobně jako příčné lnění, da meznípřípadyinterference: konstruktiní a destruktiní. Konstruktiní interference nastáá případě, že jsou lny e fázi, takže fázoýrozdíl ϕ je nuloýnebo je celočíselným násobkem 2Ô, tj. ϕ = 2Ôm, m = 0, ±1, ±2, (18.22) Je-li ϕ lichým násobkem Ô, tj. (konstruktiní interference). ϕ = 2Ô ( m + 1 2), m = 0, ±1, ±2, (18.23) (destruktiní interference), jsou lny protifázi a nastáá destruktiní interference. Podle ro. (18.21) je zřejmé, že uedené podmínky lze přepsat na tar L = mλ, m = 0, ±1, ±2, (18.24) (konstruktiní interference),

7 472 KAPITOLA 18 VLNY II resp. L = ( m + 1 2) λ, m = 0, ±1, ±2, (18.25) (destruktiní interference). Hodnota ϕ = 0 splňuje podmínku ro. (18.22) pro m = 0, nastáá tedy případ konstruktiní interference. Z podmínky ro. (18.24) dostááme přirozeně stejnýýsledek: dráhoý rozdíl L = 0 splňuje pro m = 0 tuto podmínku také. (b) Jaká je fáze a typ interference pro bod P 2 (obr. 18.8a)? PŘÍKLAD 18.3 Jsou dány da bodoé zdroje Z 1 az 2 zukoých ln o lnoé délce λ. Zdroje jsou e fázi a jejich zájemná zdálenost je a = 1,5λ (obr. 18.8). a/2 a/2 Z 1 Z 2 P 2 1,0λ (a) 1,5λ C Z 1 0 B A 0 Z 2 1,0λ P 1 ŘEŠENÍ: Bod P 2 leží na polopřímce procházející zdroji Z 1 az 2. Dráhoýrozdíl ln L ze zdrojů bude tedy P 2 roen zdálenosti a. Z ro. (18.21) dostááme pro L = a = 1,5λ ϕ = L λ 1,5λ 2Ô = 2Ô = 3Ô rad. (Odpoě ) λ Tato hodnota ϕ splňuje podmínku ro. (18.23) s m = 1, což odpoídá destruktiní interferenci. Obdobně je tomu s ro. (18.25), která je pro L = 1,5λ splněna také s m = 1. Všimněte si, že zdálenost bodu P 2 od zdroje Z 2 nemá li na ýsledek. (c) Na obr. 18.8b je kružnice s poloměrem mnohem ětším než a, jejíž střed leží mezi zdroji Z 1 az 2. V kolika bodech (N) na kružnici nastáá konstruktiní interference? ŘEŠENÍ: Jižímez(a),žebodechA a B,nichžroina symetrie je kolmá na spojnici od zdrojů a protíná kružnici (obr. 18.8b), je dráhoýrozdíl L = 0. Z (b) íme, že dráhoýrozdíl činí L = 1,5λ bodech C a D, kde kružnice protíná přímku procházející oběma zdroji. Odtud yplýá, že na kružnici musí existoat mezilehlé body, nichž je L = 1,0λ. V těchto bodech nastane konstruktiní interference. I když neurčíme polohy těchto bodů přesně, můžeme je alespoň přibližně na obr. 18.8b odhadnout. Spočítáme-li konstruktiní interferenční body na kružnici, dostaneme odpoě 1,0λ D 1,5λ 1,0λ N = 6. (Odpoě ) (b) Obr Příklad (a) Da bodoé zdroje Z 1 az 2 zukoých ln jsou e zdálenosti a. Zdroje jsou e fázi. Dráha, kterou lnění urazí k bodu P 1, je od obou zdrojů stejná. Bod P 2 leží na polopřímce procházející zdroji Z 1 az 2. (b) Fázoýrozdíl ( násobcích lnoé délky) ln ze zdrojů Z 1 az 2 osmi bodech na kružnici kolem zdrojů. (a) Zjistěte, jakýje bodě P 1 fázoýrozdíl ln ze zdrojů Z 1 az 2.BodP 1 leží na kolmici, která dělí zdálenost a na dě stejné části; zdálenost bodu P 1 od zdrojů je mnohem ětší než a (obr. 18.8a). Kterýz typů interferencí nastáá P 1? ŘEŠENÍ: Vlny ze zdrojů Z 1 az 2 sice nedocházejí k bodu P 1 ze stejných směrů, ale i tak můžeme pro elké zdálenosti od bodů oba paprsky prohlásit za prakticky ronoběžné. Vzdálenost bodu P 1 je od obou zdrojů stejná, a proto je dráhoýrozdíl ln L nuloý. Z ro. (18.21) dostááme ϕ = L 2Ô = 0. λ K ONTROLA 2: Kdyby byla zdálenost a mezi zdroji Z 1 az 2 z př rona 4λ, jakýtyp interference by nastal (a) bodě P 1, (b) bodě P 2? Zjistěte odpoídající hodnotu m INTENZITA ZVUKU A JEJÍ HLADINA Zkusili jste někdy spát při hlasité hudbě? Určitě jste si šimli, že existuje ještě další lastnost zuku kromě lnoé délky, frekence a rychlosti. Touto lastností je intenzita. Intenzita zuku I je dána průměrnou energií lnění, která projde za jednotku času jednotkoou plochou kolmou ke směru šíření. Platí tedy I = P S, (18.26)

8 18.5 INTENZITA ZVUKU A JEJÍ HLADINA 473 kde P je ýkon zukoé lny dopadající na plochu S. Intenzita I je s amplitudou polohoé ýchylky s m sázána ztahem I = 1 2 ϱω2 s 2 m. (18.27) střed leží bodoém izotropním zdroji Z. Výkon procházející šemi ploškami je stejný. Seřa te sestupně plošky (a) podle intenzity zuku a (b) podle jejich plochy. Tento ztah brzy ododíme. Změna intenzity se zdáleností U skutečného zuku je změna intenzity se zdáleností elmi složitou záležitostí. Některé zdroje (např. reproduktory) mohou ysílat zuk jen do určitého směru, skutečné prostředí zase umožňuje odraz zukoých ln a tedy znik ozěn. V některých případech šak můžeme zanedbat li ozěn a předpokládat, že lnění se od zdroje šíří izotropně, tj. se stejnou intenzitou do šech směrů. Na obr jsou jednom časoém okamžiku lnoplochy z izotropního bodoého zdroje Z. Z r 3 1 Stupnice decibelech V př jsme iděli, že amplituda polohoé ýchylky, kterou může lidské ucho zaznamenat, leží interalu hodnot od 10 5 m (u nejhlasitějšího snesitelného zuku) do m (u nejslabšího slyšitelného zuku). Poměr těchto hodnot je Z ro. (18.27) idíme, že intenzita zuku záisí na kadrátu amplitudy lny. Poměr intenzit odpoídajících hranicím uchem slyšitelných zuků tedy bude Lidské ucho slyší zuky skutečně ohromném rozpětí intenzit. Z 2 Obr Od bodoého zdroje Z ycházejí zukoé lny ronoměrně do šech směrů. Vlny procházejí myšlenou koulí se středem Z a poloměrem r. Předpokládejme nyní, že se celkoá mechanická energie ln při šíření od zdroje zachoáá. Do bodu Z položme střed myšlené koule o poloměru r (obr. 18.9). Veškerá energie ze zdroje musí procházet porchem této koule, a proto bude ýkon ln procházející porchem koule roen ýkonu P Z zdroje. Z ro. (18.26) tedy plyne, že intenzita I je každém bodu na porchu koule rona I = P Z 4Ôr 2, (18.28) kde 4Ôr 2 je elikost porchu koule. Vztah (18.28) znamená, že intenzita zuku izotropního bodoého zdroje klesá se čtercem zdálenosti r od zdroje. KONTROLA 3: Na obrázku jsou tři malé plošky 1, 2 a 3 ležící na porchu myšlených koulí, jejichž společný Zuk může rozkmitat stěnu sklenice. Pokud liem zuku znikne stojaté lnění a intenzita zuku je dostatečná, sklenice praskne. Abychom mohli zacházet s tak elkou oblastí hodnot, použijeme funkci logaritmus. Uažujme ztahy x = 10 y neboli y = log x,

9 474 KAPITOLA 18 VLNY II kde x a y jsou proměnné. Logaritmus má tu lastnost, že když ynásobíme x číslem 10, zýší se hodnota y o1.pišme pro lepší předstau y 1 = log 10x = log 10 + log x = 1 + y. Podobně, ynásobíme-li x číslem , zýší se y pouze o 12. Je tedy daleko ýhodnější namísto intenzity zuku I mluit o hladině intenzity zuku β definoané jako β = (10 db) log I I 0, (18.29) kde db je zkratka pro decibel, jednotku hladiny intenzity zuku, pojmenoanou na počest Alexandra Grahama Bella. Hodnota I 0 ro. (18.29) je standardní referenční intenzita (10 12 W m 2 ), ybraná jako zhruba nejnižší lidským uchem slyšitelná úroeň zuku. Pro I = I 0 dáá ro. (18.29) β = 10 log 1 = 0, referenční hladina odpoídá tedy nuloé hodnotě decibelech. Hodnota β se zyšuje o 10 db pokaždé, zroste-li intenzita zuku o jeden řád (zětší-li se desetkrát). Hodnota β = 40 tedy odpoídá intenzitě 10 4 krát ětší než je referenční hladina. Tab ukazuje hladiny intenzity zuku různých situacích. Hlasitost zuku je pak náš subjektiní jem, souisející s hladinou intenzity zuku. Určuje se poronááním zkoumaného zuku s referenčním tónem ýšky Hz. Tabulka 18.2 Některé hladiny intenzity zuku db Práh slyšitelnosti 0 Rockoýkoncert 110 Šeelení listů 10 Práh bolesti 120 Běžnýhoor 60 Proudoýmotor 130 Odození ro. (18.27) Postup je obdobnýjako při odození ro. (17.35). Uažujme (obr. 18.5a) tenkou rstičku zduchu o tlouš ce dx, ploše S a hmotnosti dm kmitající procházející zukoé lně dle ro. (18.13). Kinetická energie de k rstičky zduchu je de k = 1 2 dm2 s, (18.30) kde s není rychlost procházející lny, ale rychlost kmitání tohoto elementu zduchu. Obdržíme ji z ro. (18.13) jako s = s t = ωs m sin(kx ωt). Užitím tohoto ztahu a dosazením dm = ϱs dx upraíme ro. (18.30) na tar de k = 1 2 (ϱs dx)( ωs m) 2 sin 2 (kx ωt). (18.31) Průměrnou kinetickou energii připadající na jednotkoou tlouš ku rsty zduchu ypočteme integrací: E k = 1 λ λ Dosazením z ro. (18.31) dostaneme: 0 de k. (18.32) E k = 1 4 ϱsω2 s 2 m. (18.33) Při odození tohoto ztahu jsme použili toho, že průměrná hodnota kadrátu funkce sinus (nebo kosinus) na interalu délky λ je 1/2. Předpokládejme, že je potenciální energie nesena spolu s lnou a má stejnou průměrnou hodnotu jako energie kinetická. Intenzita I lny, což je průměrná hodnota energie (kinetické + potenciální) prošlé jednotkoou plochou za jednotku času, je I = 1 S (E k + E p ) = 2 S E k = 1 2 ϱω2 s 2 m, což je práě ro. (18.27), kterou jsme chtěli ododit. PŘÍKLAD 18.4 Elektrická jiskra letící po přímé dráze o délce h = 10 m ysílá zukoýpulz, kterýse šíří radiálně symetricky od jiskry. Říkáme, že jiskra je tomto případě čároý zdroj zuku. Výkon ysílaného záření je P Z = 1, W. (a) Jaká je intenzita I, dosáhne-li zukoýpulz zdálenosti r = 12 m od jiskry? ŘEŠENÍ: Předstame si myšlenýálec (s oteřenými konci) opoloměrur = 12 m a ýšce h = 10 m, na jehož ose se nachází dráha jiskry (obr ). Množstí energie, které prochází porchem álce, se musí ronat ýkonu P Z,sekterým zdroj energii ysílá. Podle ro. (18.26) musí být intenzita I na porchu álce rona ýkonu P Z dělenému elikostí jeho pláště 2Ôrh: I = P Z 2Ôrh. (18.34) Tento ztah nám říká, že intenzita zuku z čároého zdroje klesá se zdáleností jako r (a ne jako r 2, jak tomu bylo u bodoého zdroje). Dosazením zadaných hodnot dostááme ýsledek I = (1,6 104 W) 2Ô(12 m)(10 m) = = 21,2W m 2. = 21 W m 2. (Odpoě ) (b) Jak elkýýkon registruje akustickýdetektor o ploše S D = 2,0cm 2 zaměřenýna jiskru e zdálenosti r = 12 m od ní?

10 18.6 ZDROJE HUDEBNÍHO ZVUKU 475 ŘEŠENÍ: Z ro. (18.26) íme, že I = P D S D. Odtud dostaneme po dosazení zadané plochy S D a intenzity I z části (a) P D = (21,2W m 2 )(2, m 2 ) = 4,2mW. (Odpoě ) Skupina Who byla opradu elmi hlučná. Krátkodobýli intenzit tak elkých jako u uedeného bucharu nebo koncertu Who má za následek dočasné poruchy sluchu. Opakoaný a delší li takoých intenzit může způsobit jeho tralé poškození (obr ). Ztráta sluchu je ážné riziko pro kohokoli, kdo poslouchá heay metal nebo jinou elmi hlučnou hudbu. jiskra Obr Příklad Jiskra radiálně ysílá zukoé lny podél sé přímé dráhy délky h. Vlny procházejí porchem álce o poloměru r aýšceh, jehož osu toří dráha jiskry. h r PŘÍKLAD 18.5 V roce 1976 ytořila skupina Who rekord hlasitosti koncertu. Hladina intenzity zuku byla e zdálenosti 46 m před reproduktory β 2 = 120 db. Jakýje poměr intenzity I 2 zuku daném místě ku intenzitě I 1 bucharu pracujícího s hladinou intenzity zuku β 1 = 92 db? ŘEŠENÍ: Napišme poměr obou intenzit jako I 2 I 1 = I 2/I 0 I 1 /I 0. Logaritmoáním a ynásobením hodnotou 10 db dostááme (10 db) log I 2 I 1 = (10 db) log I 2 I 0 (10 db) log I 1 I 0. Z ro. (18.29) pak idíme, že členy na praé straně ronice jsou práě β 2 a β 1. Odtud plyne (10 db) log I 2 I 1 = β 2 β 1. (18.35) Všimněme si, že poměr dou intenzit odpoídá rozdílu příslušných hladin intenzit zuku. Dosazením zadaných dat dostááme a (10 db) log I 2 I 1 = 120 db 92 db = 28 db log I 2 28 db = I 1 10 db = 2,8. Odlogaritmoáním obou stran dostaneme I 2 I 1 = 630. Obr Příklad Peter Townshend ze skupiny Who hrající před reproduktory. Opakoanýa dlouhodobýli zuku o nejyšších intenzitách, speciálně při hraní přímo u reproduktoru kůli zpětné azbě, mu přiodil tralé poškození sluchu ZDROJE HUDEBNÍHO ZVUKU Hudební zuky mohou být ytořeny kmitáním strun (kytara, klaír, housle), membrán (bubny, tamburína), zduchoého sloupce (flétna, hoboj, arhany, fujara obr ), dřeěných nebo kooých tyček (marimba, xylofon) nebo mnoha jiných těles. Většina nástrojů také obsahuje íce než jednu kmitající část. U houslí se např. na torbě zuku nepodílejí pouze struny, ale i celé tělo (korpus) nástroje. Zopakujme z kap. 17, že stojaté lnění může zniknout na struně, napneme-li ji mezi da pené body. Vznikne z postupných ln, které běží po struně a odrážejí se na jejích pených koncích. Vlnoá délka takoých ln musí

11 476 KAPITOLA 18 VLNY II odpoídat lastní frekenci struny. Stojaté lny pak mohou dlouho kmitat s elkou amplitudou, rozechíají okolní zduch a zniká tak dobře slyšitelnýtón o frekenci kmitající struny. Takto ytáří zuk např. kytarista. nebudeme zabýat). Nejjednodušší stojaté lnění můžeme ytořit trubici s oběma oteřenými konci, jak ukazuje obr a. Na koncích trubice jsou kmitny, uprostřed trubice je tedy uzel. Nejjednodušší ysětlení zniku takoé podélné stojaté lny je (obr b) analogie se stojatou příčnou lnou na struně. Stojatá lna na obr a se nazýá základní mód kmitání neboli prní harmonická. Aby mohla zniknout, musí být lnoá délka λ takoé lny trubici o délce L rona λ = 2L. Několik dalších stojatých ln trubici s oteřenými konci je znázorněno na obr a pomocí analogie s lnami na struně. Druhá harmonická potřebuje lnoou délku λ = L, třetí harmonická lnoou délku λ = 2L/3 atd. L A N A (a) λ = 2L (b) Obr (a) Nejjednodušší podélná stojatá zukoá lna trubici s oběma oteřenými konci má kmitny na koncích bodech A a uzel bodě N uprostřed trubice. (Výchylky jsou znázorněny dojitými šipkami různé elikosti.) (b) Odpoídající příčná stojatá lna na struně. Obr Při hře na tradiční sloenskýnástroj fujaru kmitá unitř zduchoýsloupec. Stojaté lnění můžeme obdobně ytořit i píš ale e zduchem naplněné trubici. Zukoá lna šířící se trubici se odráží na jejích koncích. (Takoýodraz zniká, i když jsou konce trubice oteřeny, ale pak není odraz tak dokonalýjako u konce uzařeného). Pokud délka lny odpoídá délce trubice, znikne složením proti sobě běžících ln lna stojatá. I její lnoá délka musí opět odpoídat lastní frekenci trubice. Stojaté lny pak opět mohou dlouho kmitat s elkou amplitudou, rozechíají okolní zduch a opět zniká dobře slyšitelnýtón. Takto ytáří zuk např. arhaník. Mnoho dalších lastností stojatých zukoých ln je podobných lnám na struně: uzařený konec trubice odpoídá upeněnému konci struny, e kterém se nachází uzel (nuloýrozkmit). Oteřenýkonec trubice odpoídá olně pohybliému konci struny na kroužku podle obr b, kde se zhruba nachází kmitna. (Ve skutečnosti je kmitna až kousek za koncem trubice, ale tímto detailem se zde Obecněji řečeno, lastní frekence pro trubici délky L s oběma konci oteřenými odpoídají lnoým délkám λ = 2L (n = 1, 2, 3, ), (18.36) n kde n je pořadoé číslo příslušné harmonické. Vlastní frekence jsou pak dány ztahem f = λ = n (n = 1, 2, 3, ), (18.37) 2L (píš ala s oběma oteřenými konci), kde je rychlost zuku. Obr b ukazuje analogii se strunou některé stojaté lny, které mohou zniknout trubici s jedním oteřeným koncem. V oteřeném konci se nachází kmitna a uzařeném uzel. Pro nejjednodušší stojatou lnu je třeba, aby lnoá délka splňoala ztah L = λ/4, tedy λ = 4L. Druhá nejjednodušší stojatá lna má lnoou délku L = 3λ/4, tedy λ = 4L/3 atd. Obecněji řečeno, lastní frekence pro trubici délky L jen s jedním oteřeným koncem odpoídá lnoým délkám λ = 4L n (n = 1, 3, 5, ), (18.38)

12 18.6 ZDROJE HUDEBNÍHO ZVUKU 477 n = 2 n = 3 L λ = 2L/2 = L λ = 2L/3 basoýsaxofon barytonoýsaxofon tenorsaxofon altsaxofon sopránoýsaxofon n = 4 λ = 2L/4 = L (a) n = 1 λ = 4L n = 3 n = 5 λ = 4L/3 λ = 4L/5 basa iola ioloncello housle n = 7 (b) λ = 4L/7 Obr Typy stojatých ln, které známe ze struny, nakreslené přes trubice pro znázornění stojatých zukoých ln. (a) Jsou-li oba konce trubice oteřené, mohou ní zniknout šechny harmonické. (b) Je-li šak jeden konec uzařený, mohou zniknout jen liché harmonické. kde číslo harmonické n musí být liché. Vlastní frekence jsou pak f = λ = n (n = 1, 3, 5, ) (18.39) 4L (píš ala s jediným oteřeným koncem). Ještě jednou zdůrazněme, že trubici s jediným oteřeným koncem mohou existoat jen liché harmonické. Např. druhá harmonická s n = 2 nemůže takoé trubici zniknout. Všimněme si také, že takoém případě spojení třetí harmonická stále znamená harmonickou s n = 3,a ne pořadí třetí možnou harmonickou, yskytující se této trubici (zde např. n = 5). Velikost hudebního nástroje je dána rozsahem frekencí, pro kterýbyl nástroj staěn: menší elikost odpoídá yšším frekencím. Obr ukazuje jako příklad různé druhy saxofonů a smyčcoých nástrojů s příslušným frekenčním rozsahem. Rozsah každého nástroje se překrýá s rozsahy jeho sousedů. V jakémkoli systému, e kterém zniká zuk, a už je to housloá struna nebo zduchoýsloupec píš ale arhan, znikají edle základní frekence obykle i yšší harmonické; ty se s ní sčítají a ytářejí baru tónu. U různých nástrojů mají yšší harmonické různé intenzity, což způsobuje různé zabarení téhož tónu hraného různými ná- AHCDEFGAHCDEFGAHCDEFGAHCDEFGAHCDEFGAHCDEFGAHCDEFGAHC Obr Vztah mezi elikostí hudebního nástroje a jeho frekenčním rozsahem na příkladu jednak smyčcoých nástrojů, jednak různých druhů saxofonů. Frekenční rozsah každého nástroje je znázorněn odoronou linkou podél měřítka frekencí (zobrazeného klaiaturou dole; frekence roste zlea dopraa). čas Obr Tóny stejné ýšky (tedy lny se stejnou prní harmonickou) ytořené (a) flétnou, (b) hobojem a (c) saxofonem. stroji. Obr ukazuje, jak se lny se stejnou základní frekencí mohou u různých nástrojů lišit. PŘÍKLAD 18.6 Slabýšum pozadí ytoří stojatou lnu lepenkoé trubici s oteřenými konci, jejíž délka je L = 67,0 cm. Předpokládejme, že rychlost zuku e zduchu trubici je 343 m s 1. (a) (b) (c)

13 478 KAPITOLA 18 VLNY II (a) Jakou frekenci uslyšíme, když přiložíme ucho ke konci trubice? ŘEŠENÍ: Sým uchem příslušný konec trubice uzaíráme. Základní frekence je tedy dána ro. (18.39) pro n = 1: f = 4L = (343 m s 1 ) = 128 Hz. (Odpoě ) 4(0,670 m) Jestliže šum pozadí obsahuje i yšší harmonické, např. třetí, pak můžeme uslyšet také frekence, jež jsou lichými násobky 128 Hz. (b) Jakou frekenci uslyšíme, když oddálíme sou hlau tak, aby trubice měla oba konce oteřené? ŘEŠENÍ: Pro oba konce oteřené je základní frekence dána ro. (18.37) pro n = 1: f = 2L = (343 m s 1 ) = 256 Hz. (Odpoě ) 2(0,670 m) Jestliže šum pozadí obsahuje i yšší harmonické, jako např. druhou, pak uslyšíme také frekence, jež jsou celočíselnými násobky 256 Hz. V každém případě ale již zuk s frekencí 128 Hz slyšet nebudeme. KONTROLA 4: Trubice A délky L a trubice B délky 2L mají každá oba konce oteřené. Kolikátá harmonická, příslušná trubici B, má stejnou frekenci jako základní tón trubice A? 18.7 ZÁZNĚJE Když posloucháme po sobě da tóny, jejichž frekence jsou řekněme 552 Hz a 564 Hz, ětšina z nás je od sebe nedokáže odlišit. Když ale oba tóny dorazí do našeho ucha současně, uslyšíme tón, jehož frekence je 558 Hz, tedy průměr půodních dou frekencí. Naíc zaznamenáme střídaé změny intenzitě zuku: ta roste a opět klesá poměrně pomalých rázech, které se opakují s frekencí 12 Hz, tedy rozdílem obou půodních frekencí. Obr ukazuje tyto rázy neboli zázněje. Nech je časoý průběh ýchylek dou zukoých ln daném místě určen ztahem s 1 = s m cos ω 1 t a s 2 = s m cos ω 2 t. (18.40) (Předpokládáme pro jednoduchost, že lny mají stejnou amplitudu.) Podle principu superpozice je ýsledná ýchylka rona s = s 1 + s 2 = s m (cos ω 1 t + cos ω 2 t). čas Obr (a, b) Průběh tlaku p dou zukoých ln, měřený pro každou lnu zláš. Frekence ln jsou téměř stejné. (c) Výslednýprůběh tlaku případě, že jsou lny měřeny současně. Goniometrická identita (dodatek E) cos α + cos β = 2cos 1 2 (α β)cos 1 2 (α + β) nám umožní přepsat ýslednou ýchylku do taru s = 2s m cos 1 2 (ω 1 ω 2 )t cos 1 2 (ω 1 + ω 2 )t. (18.41) Když ještě položíme ω = 1 2 (ω 1 ω 2 ) a ω = 1 2 (ω 1 + ω 2 ), (18.42) můžeme přepsat ro. (18.41) do taru (a) (b) (c) s(t) = (2s m cos ω t)cos ωt. (18.43) Předpokládejme nyní, že úhloé frekence ω 1 a ω 2 skládajících se ln jsou skoro stejné, tedy že ro. (18.42) platí ω ω. Potom můžeme poažoat ro. (18.43) za kosinusoidu, jejíž úhloá frekence je ω a amplituda je ýraz záorce (který není konstantní, ale pozolna roste a klesá, a to s frekencí ω ). Tato amplituda bude maximální, kdykoli cos ω t ronici (18.43) bude roen jedné nebo minus jedné; to nastane během každé periody kosinusoidy dakrát. Protože cos ω t má úhloou frekenci ω, bude úhloá frekence, s kterou se budou opakoat rázy,rona ω rázy = 2ω.Potom s pomocí ro. (18.42) můžeme psát ω rázy = 2ω = 2( 1 2 )(ω 1 ω 2 ) = ω 1 ω 2. Protože ale platí ω = 2Ôf, můžeme psát f rázy = f 1 f 2 (frekence záznějů). (18.44)

14 18.8 DOPPLERŮV JEV 479 Hudebníci použíají zázněje k ladění sých nástrojů. Když necháme nástroj znít současně s nějakou standardní frekencí (např. komorním a hraným na prní hoboj) a ladíme jej,dokud rázy nezaniknou,bude nástroj sladěn s tímto standardem. Ve Vídni, proslaenou její dánou hudební tradicí, je komorní a (a 1, 440 Hz) zaedeno jako telefonní služba pro potřeby profesionálních i amatérských hudebníků e městě. PŘÍKLAD 18.7 Chcete naladit notu a na klaíru na její spránou frekenci 220 Hz, ale máte k dispozici jen ladičku a 1 s frekencí 440 Hz. Jak budete postupoat? ŘEŠENÍ: Tyto dě frekence jsou příliš zdálené na to, aby ytořily rázy. Připomeňme si naši analýzu ro. (18.43), kde jsme předpokládali, že skládající se frekence jsou dostatečně blízko. Použijeme ale toho, že 440 Hz = Hz je druhá harmonická frekence 220 Hz. Předpokládejme, že struna klaíru je rozladěna, tj. její základní frekence není přesně 220 Hz. Posloucháme rázy mezi základní frekencí ladičky a druhou harmonickou a 1 tónu a na klaíru, přičemž slyšíme rázy s frekencí např. 6 Hz. Pak poolujeme nebo utahujeme strunu, dokud rázy nezmizí a struna je naladěna. KONTROLA 5: V př přitáhneme strunu a frekence rázů zroste z 6 Hz na 7 Hz. Máme pokračoat s utahoáním struny, nebo ji naopak poolit, abychom ji spráně naladili? 18.8 DOPPLERŮV JEV Siréna policejního auta zaparkoaného u kraje silnice ydáá zuk o frekenci Hz. Jestliže také parkujete u kraje, uslyšíte tutéž frekenci. Ale případě, že se ůči policejnímu autu pohybujete, a už směrem k němu nebo od něj, uslyšíte jinou frekenci. Například když se k policejnímu autu blížíte rychlostí 120 km/h, uslyšíte yšší frekenci (1 096 Hz, tedy nárůst o 96 Hz). Když se od policejního auta zdalujete stejnou rychlostí, uslyšíte nižší frekenci (904 Hz, tedy pokles o96hz). Tyto změny frekence záislosti na pohybu jsou příkladem Doppleroa jeu. Tento je byl objeen (i když ne zcela objasněn) roce 1842 rakouským fyzikem Johannem Christianem Dopplerem. Experimentálně jeho existenci potrdil roku 1845 Buys Ballot Holandsku (použil přitom lokomotiu, která táhla oteřenýagon s několika trumpetisty. ). Dopplerů je se projeuje nejen u zukoých ln, ale také u elektromagnetických ln četně mikroln, rádioých ln a iditelného sětla. Policie použíá Dopplerů je u mikroln k měření rychlosti auta: radaroá jednotka ysílá sazek mikroln jisté frekence f směrem k přijíždějícímu autu. Mikrolny, které se odrazí od kooých součástí auta zpět, mají yšší frekenci f úměrnou rychlosti pohybu auta ůči radaroé jednotce. Radaroá jednotka zachytí rozdíl mezi f a f a přeede jej na rychlost auta, která se pak přímo zobrazí na displeji. Zobrazená rychlost je šak spráná, jen když se auto pohybuje přímo k radaroé jednotce nebo přímo od ní; není-li tomu tak, je měřená frekence f nižší a tím yjde nižší i měřená rychlost. λ Z = 0 Z Obr Stacionární zdroj zuku Z ysílá kuloé lnoplochy (znázorněné e zdálenosti jedné lnoé délky), které se rozbíhají rychlostí. Detektor zuku D (zobrazenýjako ucho) se pohybuje rychlostí D ke zdroji. Díky sému pohybu zachytí detektor yšší frekenci zuku. V následujícím rozboru se omezíme na zukoé lny a za ztažnou soustau ezmeme zduch, jímž lny procházejí.(pokud není uedeno jinak,je zduch klidu zhledem k Zemi, takže rychlosti můžeme také měřit ůči Zemi.) Budeme předpokládat, že se Z a D budou pohyboat přímo k sobě nebo přímo od sebe rychlostmi menšími, než je rychlost zuku. Nejpre ododíme ronice pro Dopplerů je e dou speciálních situacích: (1) pro detektor pohybu a zdroj klidu a (2) pro zdroj pohybu a detektor klidu. Potom ronice popisující tyto případy spojíme a dostaneme ronici obecného Doppleroa jeu, která platí nejen pro oba uedené případy, ale i pro situace, kdy se zároeň pohybuje zdroj i detektor. Detektor pohybu, zdroj klidu Na obr se detektor D (znázorněnýjako ucho) pohybuje rychlostí D směrem ke klidnému zdroji Z, kterýysílá kuloé lnoplochy o lnoé délce λ a frekenci f šířící λ D D x

15 480 KAPITOLA 18 VLNY II se rychlostí zuku e zduchu. Znázorněné lnoplochy jsou od sebe zdáleny o jednu lnoou délku. Frekence zaznamenaná detektorem D je dána tím, jak často přicházejí lny na detektor (resp. počtem lnoých délek, které projdou detektorem za jednotku času). Je-li D klidu, je tato hodnota rona f, ale když se D pohybuje stříc lnoplochám, bude počet prošlých lnoých délek za sekundu ětší, tzn. zaznamenáme frekenci f yšší než f. Uažujme zatím situaci, kdy je D klidu (obr ). Za dobu t se lnoplochy posunou dopraa o zdálenost t. Počet lnoých délek na tomto interalu délky t odpoídá počtu lnoých délek, které projdou detektorem za dobu t, tzn. tento počet je roen t/λ. Počet lnoých délek, které projdou detektorem za dobu t (odpoídá frekenci zaznamenané detektorem), je tedy f = t/λ = t λ. (18.45) Zatím je tedy D klidu a k Dopplerou jeu nedochází: frekence zaznamenaná detektorem je shodná s frekencí yslanou zdrojem. Z ro. (18.45) íme, že platí λ = /f. Dosazením do ro. (18.46) dostaneme f = + D /f = f + D. (18.47) Všimněme si, že podle ro. (18.47) musí být f yšší než f, pokud není D = 0 (detektor klidu). (b) t D D D t D (a) D (a) λ Obr Vlnoplochy (a) přicházejí k detektoru, (b) zdalují se od detektoru D, kterýse pohyboal proti nim. Za dobu t se lnoplochy posunou o zdálenost t dopraa a D se posune o zdálenost D t dolea. (b) t Podobně ododíme frekenci změřenou detektorem případě, že se detektor pohybuje od zdroje. V takoém případě se lnoplochy posunou o zdálenost t D t zhledem k D za dobu t a frekence f bude dána ztahem Obr Vlnoplochy z obr (pro jednoduchost roinné) (a) dosáhnou, (b) opustí detektor D, kterýje klidu; za dobu t se lny posunou o zdálenost t dopraa. Vra me se zpět k situaci, kdy se D pohybuje stříc lnoplochám (obr ). Za dobu t se lnoplochy posunou dopraa o zdálenost t jako předchozím případě, ale zároeň se D posune dolea o zdálenost D t.protoseza tuto dobu t posunou lnoplochy zhledem k D o zdálenost t + D t. Počet lnoých délek na interalu této délky (t + D t) je roen počtu lnoých délek, které projdou detektorem za dobu t, tedy(t + D t)/λ. Počet lnoých délek, které projdou detektorem za jednotku času (je roen frekenci f zaznamenané detektorem), je dán ztahem f = (t + Dt)/λ t λ = + D. (18.46) λ f = f D. (18.48) Podle ro. (18.48) musí být frekence f nižší než f, není-li ošem D = 0. Ro. (18.47) a (18.48) můžeme shrnout do taru f = f ± D (detektor pohybu; zdroj klidu). (18.49) Znaménko ronici ro. (18.49) můžeme určit z fyzikální zkušenosti: pohybuje-li se detektor ke zdroji, je frekence yšší (směrem k sobě znamená yšší), tzn. použijeme znaménko + čitateli. V opačném případě použijeme znaménko minus. Zdroj pohybu; detektor klidu Uažujme detektor D klidu zhledem k okolnímu zduchu a zdroj Z, kterýse pohybuje k D rychlostí Z podle

16 18.8 DOPPLERŮV JEV 481 obr Pohybem Z se mění lnoá délka yslaného zuku, a tedy i frekence zaznamenaná detektorem. W 2 W 1 W 7 Z Z 1 Z 7 Z λ D = 0 D x Znaménko ro. (18.52) můžeme určit ze zkušenosti: jestliže se zdroj pohybuje k detektoru, je frekence yšší (směrem k sobě znamená yšší), tzn. e jmenoateli je znaménko minus. V opačném případě použijeme znaménko +. Ronice obecného Doppleroa jeu Spojením ro. (18.49) a (18.52) znikne ztah pro obecný Dopplerů je, kdy se detektor i zdroj pohybují zhledem k okolnímu zduchu. Nahrazením f ro. (18.52) (frekence zdroje) frekencí f z ro. (18.49) (frekence spojená s pohybem detektoru) dostaneme f = f ± D Z (obecný Dopplerů je). (18.53) Obr Detektor D je klidu; zdroj se pohybuje směrem k detektoru rychlostí Z. Vlnoplocha W 1 byla yslána okamžiku, kdy byl zdroj poloze Z 1, lnoplocha W 7 byla yslána, když byl zdroj Z 7. Ve znázorněném okamžiku je zdroj poloze Z. Detektor přijímá yšší frekenci, protože pohybující se zdroj (dohánějící yslané lnoplochy) ysílá zkrácené lnoé délky λ e směru sého pohybu. K popisu této změny položme T = 1/f (doba mezi ysláním liboolné dojice následujících lnoploch W 1 a W 2 ). Během doby T se lnoplocha W 1 posune o zdálenost T a zdroj se posune o zdálenost Z T. Po uplynutí T je yslána lnoplocha W 2. Ve směru pohybu zdroje je zdálenost mezi W 1 a W 2 (což je lnoá délka λ ) rona T Z T. Jestliže tyto lny dopadnou na D, budou zaznamenány s frekencí f danou ztahem f = λ = T Z T = = f /f Z /f = Z. (18.50) Všimněme si, že f je yšší než f, kromě případu Z = 0 (zdroj klidu). Pohybuje-li se zdroj Z od detektoru, je lnoá délka λ rona ýrazu T + Z T. Pokud tyto lny přijdou na detektor, zaznamenají se s frekencí f danou ztahem f = f. (18.51) + Z V takoém případě musí být f nižší než f, není-li ošem Z = 0 (zdroj klidu). Ro. (18.50) a (18.51) můžeme shrnout do taru f = f Z (zdroj pohybu; detektor klidu). (18.52) Speciálně, dosazením Z = 0 do ro. (18.53) dostaneme ro. (18.49); podobně dosazením D = 0 dostaneme (18.52). Znaménka plus a minus ro. (18.53) jsou určena stejně jako ronicích (18.49) a (18.52): směrem k sobě znamená yšší frekence. Dopplerů je při malých rychlostech Dopplerů je pro pohybující se detektor (popsanýronicí (18.49)) je různýod případu, kdy se pohybuje zdroj (podle ro. (18.52)), i když se detektor a zdroj pohybují ůči zduchu stejně rychle. Pokud jsou šak jejich rychlosti dostatečně malé (tzn. D i Z ), jsou změny frekencí způsobené těmito děma pohyby stejné. Užitím binomické ěty (iz bod 7.2) můžeme ukázat, že ro. (18.53) lze uprait do taru f f ( 1 ± u ) (malé rychlosti), (18.54) e kterém u = Z ± D je rychlost relatiního pohybu zdroje zhledem k detektoru. Praidlo pro znaménka zůstáá stejné: jestliže se detektor a zdroj pohybují směrem k sobě, dostááme yšší frekenci a ro. (18.54) použijeme znaménko +. V opačném případě, kdy se zdroj a detektor pohybují od sebe, frekence poklesne a použijeme znaménko minus. KONTROLA 6: Obrázek znázorňuje pohyb detektoru a zdroje zuku pro šest situací klidném zduchu. (a) (b) (c) zdroj detektor klid klid (d) (e) (f ) zdroj detektor

17 482 KAPITOLA 18 VLNY II Pro každou situaci rozhodněte, jestli bude změřena frekence yšší,nebo nižší než yslaná frekence,nebo zda to nemůžeme určit bez dalších informací. Nadzukoé rychlosti; rázoé lny Jestliže se zdroj pohybuje směrem ke klidnému detektoru práě rychlostí zuku, tedy Z =, předpoídá ro. (18.52), že frekence f bude nekonečně ysoká. To znamená, že se zdroj pohybuje tak rychle, že se stále dotýká již dříe yslaných lnoploch, jak ukazuje obr a. A co se stane, když rychlost zdroje překročí rychlost zuku? lny, zniklé různých polohách zdroje. Poloměr každé z ln je na tomto obrázku t, kde je rychlost zuku a t doba, která uplynula od okamžiku, kdy zdroj lnoplochu yslal. Všimněme si, že se lnoplochy hromadí na obálce taru V (obr b), resp. e trojrozměrném prostoru na porchu kužele zaného Machů kužel (podle Ernsta Macha, rodáka z Chrlic u Brna). Porch tohoto kužele ytáří rázoou lnu, protože nahromaděné lnoplochy způsobují strmýnárůst a pokles tlaku zduchu místě, kterým porch kužele prochází. Z obr b je patrné, že poloiční úhel kužele θ, zaný Machů úhel, je dán ztahem sin θ = t Z t = (Machů úhel). (18.55) Z Z Z x Poměr Z / se nazýá Machoo číslo. Jestliže uslyšíte, že letadlo má 2,3 machů, znamená to, že letí 2,3krát rychleji než zuk e zduchu. Rázoá lna způsobená nadzukoým letadlem nebo střelou (obr ) ytáří aerodynamický třesk, při kterém tlak zduchu nejpre náhle zroste a poté klesne pod normál, než se opět rátí k půodní hodnotě. (a) W 1 t W 6 Z 1 Z 6 porch Machoa kužele θ Z Z x (b) Obr (a) Zdroj zuku Z se pohybuje rychlostí Z práě ronou rychlosti zuku, tzn. stejně rychle, jak se pohybují lnoplochy. (b) Zdroj Z se pohybuje rychlostí ětší, než je rychlost zuku, tzn. rychleji než lnoplochy. Když byl zdroj poloze Z 1, yslal lnoplochu W 1 ; poloze Z 6 yslal lnoplochu W 6. Všechny tyto kuloé lnoplochy se šíří rychlostí zuku ahromadí se podél porchu kužele zaného Machů kužel, čímž ytářejí rázoou lnu. Vrcholoýúhel kužele je 2θ; kužel je tečnýke šem lnoplochám. Pro nadzukoé rychlosti už ro. (18.52) neplatí. Takoou situaci popisuje obr b, kterýznázorňuje kuloé Z t Obr Obrázek nepraých barách. Dacetimilimetroá střela se pohybuje s Machoým číslem 1,3. Všimněte si prního Machoa kužele ytořeného čelem střely a sekundárních kuželů zniklých nepraidelnostmi na porchu střely. PŘÍKLAD 18.8 Maketa rakety se pohybuje rychlostí 242 m s 1 klidným zduchem přímo k nehybnému stožáru. Přitom ysílá zukoé lny o frekenci f = Hz. (a) Jakou frekenci f naměří detektor, kterýje připeněn ke stožáru? ŘEŠENÍ: K určení f použijeme ro. (18.53) pro obecný Dopplerů je. Protože je detektor klidu, dosadíme D = 0. Zdroj zuku (raketa) se pohybuje směrem k detektoru, proto

18 18.9 DOPPLERŮV JEV U SVĚTLA 483 použijeme e jmenoateli znaménko minus. Dosazením zadaných hodnot a hodnoty = 343 m s 1 z tab zjistíme naměřenou frekenci f (343 m s 1 ) = f = (1 250 Hz) Z (343 m s 1 ) (242 m s 1 ) = = Hz = Hz. (Odpoě ) Tento ýsledek můžeme zběžně oěřit fyzikální zkušeností: jestliže se zdroj pohybuje směrem ke klidnému detektoru, pak změřená frekence (zde Hz) by měla být yšší než ysílaná frekence (1 250 Hz). (b) Část zukoé lny se od stožáru odrazí zpět k raketě, která má sůj lastní detektor. Jakou frekenci f zaznamená? ŘEŠENÍ: Stožár nyní slouží jako zdroj zuku, kterýpůsobí tak, že odráží zukoou lnu, tzn. ytáří ozěnu. Frekence lny odražené od stožáru je stejná jako frekence f = Hz, kterou nímá stožár. Protože nyní je klidu zdroj (stožár), pokládáme ro. (18.53) Z = 0. Detektor ( raketě) se pohybuje k noému zdroji, proto použijeme znaménko + čitateli. Frekence zaznamenaná detektorem raketě je tedy f = f + D = (4 245 Hz) (343 m s 1 ) + (242 m s 1 ) (343 m s 1 = ) = Hz. (Odpoě ) Výsledek můžeme opět zběžně oěřit: jestliže se detektor pohybuje směrem k nepohybliému zdroji, měla by být zaznamenaná frekence (zde Hz) yšší než yslaná frekence (4 245 Hz). KONTROLA 7: V př naíc předpokládejte, že se zduch pohybuje směrem k tyči rychlostí 20 m s 1. Jaká rychlost zdroje Z by měla být použita řešení části (a) a jakou rychlost D by měl mít detektor části (b)? PŘÍKLAD 18.9 Netopýři se orientují a hledají kořist ysíláním a přijímáním odrazů ultrazukoých ln, jejichž frekence jsou yšší než je schopen slyšet čloěk. Předpokládejme, že netopýr letí k mušce rychlostí n = 9,0m s 1 (ůči zemi), kdežto muška letí k netopýroi rychlostí m = 8,0m s 1 (také ůči zemi). Netopýr ze sých nozder ysílá ultrazukoé lny o frekenci f n,které se odrážejí od mouchy a racejí zpět k netopýroi s frekencí f no. Netopýr upraí ysílanou frekenci f n takoým způsobem, že odražená lna bude mít frekenci f no ronou 83 khz, na které je sluch netopýra nejcitliější. (a) Jakou frekenci f m slyší muška (takoá frekence se od ní také odráží), když f no je 83 khz? ŘEŠENÍ: Vyjdeme z ro. (18.53), kde zdrojem je muška (resp. odražené lny s frekencí f m ) a detektorem netopýr (nímá ozěnu s frekencí f no = 83 khz). Protože se detektor pohybuje ke zdroji (rychlostí n ), použijeme znaménko + čitateli ro. (18.53). Naíc se zdroj pohybuje k detektoru (rychlostí m ), takže použijeme znaménko minus e jmenoateli. Tím dostaneme neboli odkud f no = f m + n m (83 khz) = f m (343 m s 1 ) + (9,0m s 1 ) (343 m s 1 ) (8,0m s 1 ), f m = 78,99 khz. = 79 khz. (Odpoě ) (b) Jakou frekenci f n ysílá netopýr, když slyší frekenci f no = 83 khz? ŘEŠENÍ: Opět použijeme ro. (18.53), ale nyní je netopýr zdrojem (o frekenci f n ) a muška detektorem (přijímá frekenci f m ). Protože se detektor pohybuje ke zdroji (rychlostí m ), použijeme znaménko + čitateli ro. (18.53). Zdroj se naíc pohybuje k detektoru (rychlostí n ), takže použijeme znaménko minus e jmenoateli. V takoém případě dostaneme f m = f n + m n neboli odkud (78,99 khz) = f n (343 m s 1 ) + (8,0m s 1 ) (343 m s 1 ) (9,0m s 1 ), f n = 75 khz. (Odpoě ) Netopýr určuje relatiní rychlost pohybu mušky (17 m/s) z rozdílu 8 khz (= 83 khz 75 khz), o kterýmusí snížit ysílanou frekenci, aby slyšel ozěnu na frekenci 83 khz (kde slyší nejlépe). Některé mušky se yhýbají uloení tím, že odlétají přímo od směru, e kterém slyší ultrazukoé lny. Tato olba dráhy letu zmenšuje rozdíl frekencí, které netopýr ysílá a přijímá, takže netopýr ozěnu snadněji přeslechne. Jiné mušky se brání uloení bzučením, které ytáří jiné ultrazukoé lny, čímž netopýra zmatou DOPPLERŮV JEV USVĚTLA Je lákaé pokusit se použít ztah pro Dopplerů je, odozený předcházející kapitole pro zukoé lny

19 484 KAPITOLA 18 VLNY II (ro. (18.53)), také pro sětelné lny, a to jednoduchým dosazením rychlosti sětla c místo rychlosti zuku. Takoému pokušení je šak třeba odolat. Důod je zajímaý. Zukoé lny totiž potřebují prostředí, e kterém se mohou šířit, zatímco sětlo ne. Rychlost zuku se proto také ždy, na rozdíl od rychlosti sětla, měří zhledem k prostředí. Rychlost sětla je ale stejná e šech inerciálních systémech, a to e šech směrech. Práě z těchto důodů, jak ukazuje Einsteinoa teorie relatiity, záisí Dopplerů je u sětla pouze na zájemné rychlosti sětelného zdroje a detektoru. Přestože se ronice Doppleroa jeu pro sětlo a pro zuk od sebe liší, lze je při nízkých rychlostech zjednodušit tak, že mají stejnýtar. (Dokonce je prada, že šechny ýsledky získané pomocí teorie relatiity přecházejí při nízkých rychlostech na ýsledky známé z klasické fyziky). Proto lze po dosazení = c použít ro. (18.54) i pro sětelné lny, pokud platí u c, kde u je zájemná rychlost zdroje a detektoru. Jako dobré přiblížení je tedy možné použít f = f(1 ± u/c) (sětlo; u c). (18.56) Jestliže se k sobě zdroj a detektor přibližují, předpokládáme, že frekence zroste, a podle naší znaménkoé dohody použijeme ro. (18.56) znaménko plus. Při měření Doppleroa jeu na sětelných lnách astronomii je snazší měřit lnoou délku než frekenci. V ro. (18.56) tedy nahradíme f = c/λ a f = c/λ, čímž získáme λ = λ(1 ± u/c) 1 λ(1 u/c). To můžeme uprait na tar λ λ = u λ c neboli u = λ c (sětlo; u c), (18.57) λ kde λ je elikost (bez znaménka) Doppleroa posuu lnoé délky. Ro. (18.57) ukazuje, jak můžeme zjistit zájemnou rychlost zdroje a detektoru ze změny lnoé délky. Pokud se lnoá délka zmenšuje ( modrý posu, nebo modrá část iditelného spektra má kratší lnoou délku), zětšuje se frekence a znamená to, že se zdroj a detektor nazájem přibližují. Pokud se lnoá délka zětšuje ( rudý posu ), zdroj a detektor se zájemně zdalují. Astronomoé měřící posuy lnoých délek sětla, které k nám přichází z dalekých hězd a galaxií, zjistili, že sětlo ze šech zdálených galaxií ykazuje rudý posu. To znamená, že šechny tyto galaxie se od nás zdalují, a to dokonce tím rychleji, čímjsouodnásdál. PŘÍKLAD Obr a ukazuje záislost intenzity na lnoé délce sětla přicházejícího z mezihězdného plynu, kterýse nachází e dou protilehlých oblastech galaxie M87 (obr b). Jedna křika má pík (tj. ostré maximum) 499,8 nm, druhá 501,6 nm. Plyn obíhá okolo jádra galaxie e zdálenosti r = 100 sětelných let; při jedné straně se tedy pohybuje směrem k nám, při druhé naopak od nás. (a) Jaká křika odpoídá pohybu plynu směrem k nám? Jaká je relatiní rychlost plynu zhledem k nám (a zhledem k jádru galaxie)? intenzita 499,8 501,6 lnoá délka (nm) (a) Obr Příklad (a) Záislost intenzity na lnoé délce sětla yzařoaného plynem protilehlých oblastech galaxie M87. (b) Centrální oblast galaxie M87. Kroužky ukazují polohu plynu, jehož intenzita záření je znázorněna (a). Střed galaxie se nachází uprostřed mezi oběma kroužky. ŘEŠENÍ: Kdyby se plyn nepohyboal okolo jádra galaxie, naměřili bychom sětlo s lnoou délkou λ (danou procesem emise a rychlostí pohybu galaxie směrem od nás). Vlnoá délka sětla ysílaného z pohybujícího se plynu se šak díky Dopplerou jeu posouá. Při pohybu plynu směrem od nás lnoá délka roste, při pohybu směrem k nám klesá. Křika s maximem 501,6 nm tedy odpoídá pohybu plynu směrem od nás a křika s maximem 499,8 nm odpoídá pohybu směrem k nám. Předpokládejme, že zrůst a pokles lnoé délky pohybujícího se plynu je co do elikosti stejný. Potom půodní lnoá délka λ musí být průměrem obou posunutých lnoých délek: λ = 501,6nm+ 499,8nm 2 (b) = 500,7nm. Dopplerů posu λ sětla z plynu pohybujícího se směrem od nás je pak λ = 501,6nm 500,7nm= 0,90 nm. Dosazením tohoto ýsledku a hodnoty λ = 500,7nm do ro. (18.57) ypočítáme, že se plyn pohybuje směrem od nás

20 PŘEHLED & SHRNUTÍ 485 rychlostí u = λ λ c = (0,90 nm) (501,6nm) (3,0 108 m s 1 ) = = 5, m s 1. (Odpoě ) (b) Plyn obíhá okolo jádra galaxie, které na něj, díky sé hmotnosti M, působí graitační silou. Jak elká je tato hmotnost násobcích hmotnosti Slunce M S = 1, kg? ŘEŠENÍ: Z ro. (14.1) yplýá, že graitační síla působící na částici plynu o hmotnosti m obíhající e zdálenosti r je F = GMm r 2. Po použití druhého Newtonoa zákona na částici plynu a po dosazení dostřediého zrychlení u 2 /r za a dostaneme Po dosazení známých hodnot dostaneme M = u2 r G = = (5, m s 1 ) 2 (100 ly)(9, m/ly) (6, N m 2 kg 2 ) = 4, kg = 2, M S. (Odpoě ) Tento ýsledek nám ukazuje, že jádru galaxie je namačkána hmota o elikosti dou miliard Sluncí. To elmi silně nasědčuje tomu, že jádro galaxie obsahuje supertěžkou černou díru. = GMm r 2 = ma = mu2. r PŘEHLED & SHRNUTÍ Zukoé lny Zukoé lny jsou mechanické lny šířící se peným, kapalným nebo plynným prostředím. Mohou být podélné (kdekoli) anebo příčné (pouze pených látkách). Rychlost zukoé lny prostředí s modulem objemoé pružnosti K a hustotou ϱ je K = (rychlost zuku). (18.3) ϱ Ve zduchu je při teplotě 20 C rychlost zuku 343 m s 1. Zukoá lna způsobuje podélnou ýchylku s částice prostředí podle ztahu s(x,t) = s m cos(kx ωt), (18.13) kde s m je amplituda ýchylky (maximální ýchylka z ronoážné polohy), k = 2Ô/λ, ω = 2Ôf, λ je lnoá délka a f frekence zukoé lny. Zukoá lna také způsobuje odchylku tlaku p prostředí od ronoážného tlaku: kde amplituda tlaku je p(x, t ) = p m sin(kx ωt), (18.14) p m = (ϱω)s m. (18.15) Interference Výsledek interference (skládání) dou ln o stejné lnoé délce procházejících jedním bodem záisí na jejich fázoém rozdílu ϕ tomto bodě. Jestliže jsou obě lny emitoány e fázi a šíří se (přibližně) stejným směrem, pak pro ϕ platí ϕ = L 2Ô, (18.21) λ kde L je jejich dráhoý rozdíl (rozdíl mezi zdálenostmi, které obě lny urazily do bodu setkání). Podmínky pro úplnou konstruktiní a destruktiní interferenci ln jsou dány ztahy a ϕ = 2Ôm, m = 0, ±1, ±2, (18.22) (konstruktiní interference) ϕ = 2Ô(m ), m = 0, ±1, ±2, (18.23) (destruktiní interference). Tyto ztahy odpoídají podmínkám a L = mλ, m = 0, ±1, ±2, (18.24) (konstruktiní interference) L = (m )λ, m = 0, ±1, ±2, (18.25) pro dráhoýrozdíl L. (destruktiní interference) Intenzita zuku Intenzita I zukoé lny je průměrnýýkon, s jakým prochází energie jednotkoou plochou kolmou na směr šíření: I = P S, (18.26) kde P je ýkon (elikost energie přenesené zukoou lnou za jednotku času) a S je elikost plochy, na kterou zuk dopadá. Intenzita I je sázána s amplitudou zukoé lny s m ztahem I = 1 2 ϱω2 s 2 m. (18.27)