INFORMATIKA. Wolfram Alpha ve finanční matematice s aplikací geometrických posloupností

Transkript

1 INFORMATIKA Wolfa Alpha ve finanční ateatice s aplikací geoetických posloupností DANA ŘÍHOVÁ LENKA VISKOTOVÁ Povozně ekonoická fakulta, Mendelova univezita, Bno Na využití infoačních technologií ve výuce a vzdělávání je v dnešní době kladen velký důaz, stejně tak je současný tende podpoovat finanční vzdělávání. A pávě pobleatika finanční ateatiky s využití výpočetního nástoje Wolfa Alpha je téate tohoto článku. Intenetový vyhledávač Wolfa Alpha je volně přístupný postřednictví webového pohlížeče na adese [6]. Koě ateatických výpočtů uožňuje ovněž řešit celou řadu téat z oblasti finanční ateatiky. Ve výuce je vhodný zejéna po svou jednoduchost, intuitivní ovládání a volnou dostupnost. Studenti střední školy se v hodinách ateatiky setkávají s posloupnosti zadanýi ekuentně nebo předpise po n-tý člen, a to zejéna u aitetické a geoetické posloupnosti. V článku se budee zíněnou geoetickou posloupností zabývat, a to v souvislosti s jejíi ekonoickýi aplikacei. Zaěříe se na oblast finanční ateatiky, přičež uvedee případy složeného úočení, dlouhodobého spoření a splácení úvěu. Sestavíe příslušné odely, kteé odpovídají ekuentníu zadání posloupnosti, a tyto odely doplníe vztahe po n-tý člen vzniklé posloupnosti. Títo postupe získáe základní vzoec daného finančního poduktu. Ke každéu typu uvedee ilustativní příklad. Odvození ziňovaných vzoců a řešení odpovídajících příkladů ukážee také s poocí 52 Mateatika fyzika infoatika

2 webové služby Wolfa Alpha. Připoeňe, že geoetická posloupnost a n ) n=1 s kvociente q je zadána ekuentní vztahe a n+1 = a n q, n N, q 0 a n-tý člen této posloupnosti vypočtee předpise a n = a 1 q n 1. 1) Součet pvních n členů geoetické posloupnosti učíe podle vzoce Složené úočení q n 1 S = a 1, q 1. 2) q 1 Jestliže vložíe do banky peněžní částku kapitál), přináší ná zisk ve foě úoků. Při složené úočení se úoky připočítávají k počátečníu kapitálu a v další období se tento zúočený kapitál bee jako základ po další úočení. U tzv. složeného úočení polhůtního se úoky vyplácejí na konci každého úokovacího období, kteé je definováno jako časový úsek ezi dvěa bezpostředně po sobě následujícíi úočeníi. V případě, že úočíe -kát očně např. ěsíčně), luvíe o úokovací období podoční. Odvodíe vztah po výpočet hodnoty splatné částky za dobu n úokovacích období. Uvažuje počáteční hodnotu kapitálu K. Roční úoková sazba, kteou poskytuje banka, se vyjadřuje v pocentech za ok, což zapisujee výaze p.a. z latinského pe annu). Je vhodné ji ve výpočtech vyjadřovat jako desetinné číslo 0, 1). Úoky se ohou připisovat jednou nebo několikát za ok, četnost jejich připisování za ok označe. Úoková sazba za jedno úokovací období je pak dána podíle. Sazbu daně z úoků, kteá je 15 %, uvažovat nebudee. Nechť P n představuje stav kapitálu na konci n-tého úokovacího období. V následující období ůžee výši kapitálu vypočítat ze vztahu P n+1 = P n + P n = ) P n, n = 0, 1, 2,... Jelikož znáe počáteční hodnotu kapitálu K, epezentuje P 0 = K, P n+1 = ) P n, n = 0, 1, 2,... 3) ekuentní zadání geoetické posloupnosti s kvociente q = 1+. Udává ná hodnotu zúočeného kapitálu. Mateatika fyzika infoatika

3 Nyní si ukážee postup výpočtu stavu kapitálu na konci jednotlivých úokovacích období. 1. P 1 = P 0 ) = K ) 2. P 2 = P 1 ) = K ) 2 3. P 3 = P 2 ) = K ) 3. n-té P n = P n 1 ) = K ) n Z výše uvedené úvahy a také ze vztahu 1) plyne, že stav kapitálu úočeného -kát za ok bude po uplynutí n úokovacích období P n = K ) n, 4) což je základní vzoec po složené úočení, kteý záoveň představuje předpis po výpočet n-tého členu geoetické posloupnosti 3) zadané ekuentně. Chcee-li zjistit, jaká bude výše splatné částky za N let, stačí položit n = N. Uvedený výsledek ůžee dostat také postřednictví webové služby Wolfa Alpha, kteá je volně přístupná na adese [6]. Do vstupního pole v žluté áečku stačí zapsat ekuentní zadání posloupnosti 3) oddělené čákou a stisknout ente. Indexy píšee do závoek. Jak ukazuje ob. 1, nejpve se zobazí intepetace vstupních údajů, pod nii pak vidíe výsledný vzoec, kteý odpovídá vztahu 4). Ob. 1 Vzoec po složené úočení 54 Mateatika fyzika infoatika

4 Příklad 1 Jakou částku bude ít pan Sedláček na účtu za 6 let při úokové sazbě 1,5 % p.a. se čtvtletní připisování úoků, jestliže počáteční vklad činí Kč? Řešení. K výpočtu splatné částky P n použijee vzoec 4), ve kteé počáteční vklad K = , oční úoková sazba = 0,015, počet úokovacích období za ok = 4 a celkový počet úokovacích období n = 4 6 = 24. P 24 = ,015 ) 24.= ,81 4 Daný vklad vzoste na ,81 Kč. Řešení poocí Wolfa Alpha. Příklad lze vypočítat tak, že do vstupního pole Wolfa Alpha napíšee vzoec 4) v obvyklé ateatické syntaxi po systéy počítačové algeby. Za ní uvedee poocné slovo whee a hodnoty jednotlivých vstupních poěnných. Pod intepetací vstupních údajů se zobazí vypočtená částka, jak ukazuje ob. 2. Ob. 2 Výpočet příkladu 1 dosazení do vzoce Po někteé typy úloh z oblasti financí nabízí Wolfa Alpha v oddílu Exaples > Money & Finance vytvořené fouláře, kteé stačí pouze vyplnit. U složeného úočení je nutné nejpve do vstupního pole zapsat klíčové slovo copound inteest. Požadujee-li fekvenci úočení oční, případně půloční, čtvtletní, ěsíční, týdenní nebo denní, před klíčové slovo napíšee annual, seiannual, quately, onthly, weekly nebo daily. Zobazí se ná pak foulář, do kteého vepíšee vstupní údaje. Za slove calculate nejdříve vybeee, co chcee vypočítat. V příkladu 1 jse chtěli zjistit splatnou částku, poto v áečku zvolíe futue value. Dále doplníe hodnotu počátečního vkladu pesent value, oční úokovou sazbu inteest ate a počet let zadáe poocí inteest peiods. Mateatika fyzika infoatika

5 Získaný výsledek zaokouhlený na celé stovky i s použitý vzoce je znázoněn na ob. 3. Ob. 3 Výpočet příkladu 1 zadání klíčových slov a vstupních údajů Dlouhodobé spoření Častý případe v paxi je, že klient do banky ukládá pavidelně obvykle stejnou peněžní částku nazývá se anuita) po dobu několika úokovacích období. Dlouhodobý spoření ozuíe takové spoření, kdy ukládáe vždy jednu úložku za jedno úokovací období, a to buď na jeho začátku dlouhodobé předlhůtní spoření), nebo na jeho konci dlouhodobé polhůtní spoření). Úložky jsou úočeny složený úočení s oční úokovou sazbou, kteou vyjádříe desetinný čísle 0, 1). Úok je připisován na konci každého úokovacího období. Zdanění úoků opět neuvažujee. Vypočtee celkovou naspořenou částku za n období, jestliže částku a ukládáe vždy konce úokovacího období. Počet úokovacích období v oce a fekvence úočení je. Za jedno úokovací období áe úokovou sazbu. Označe S n celkovou hodnotu naspořené částky včetně úoků na konci n-tého období. Naspořená částka se na konci každého úokovacího období zvětší o připsané úoky z předchozí naspořené částky a o úložku a, což ůžee vyjádřit schéate S n+1 = S n + S n + a = ) S n + a, n = 0, 1, 2, Mateatika fyzika infoatika

6 Potože počáteční hodnota naspořené částky je nulová, představuje S 0 = 0, S n+1 = ) S n + a, n = 0, 1, 2,... 5) ekuentní zadání posloupnosti. Vyjádříe si stavy úspo na konci jednotlivých úokovacích období. 1. S 1 = a 2. S 2 = S 1 ) + a = a ) + a 3. S 3 = S 2 ) [ + a = a ) ] + a ) + a = = a ) 2 + a ) + a. n-té S n = a ) n 1 + a ) n a ) + a } {{ } součet pvních n členů geoetické posloupnosti a ) ) n 1 Vidíe, že celková naspořená částka na konci n-tého období je součte pvních n členů geoetické posloupnosti s kvociente q = a pvní člene a 1 = a. Použijee-li vzoec 2), dostanee následující vztah k učení celkové naspořené částky n=1 n S n = a ) 1, 6) kteý je předpise po n-tý člen posloupnosti 5) definované ekuentně. Vztah 6) získáe poocí výpočetního nástoje Wolfa Alpha, jestliže do vstupního pole zapíšee ekuentní zadání 5). Výsledný vzoec po S n na ob. 4 dole je opoti 6) uveden pouze v jiné tvau. Jestliže znáe konečnou výši naspořené částky S n, ůžee z výše uvedeného vzoce 6) stanovit výši úložky a = S n ) n 1. Mateatika fyzika infoatika

7 Ob. 4 Naspořená částka při dlouhodobé spoření Příklad 2 Pan Pokoný plánuje na konci každého pololetí posílat na spořící účet s úokovou sazbou 1,2 % p.a. částku Kč. Úočení pobíhá jednou za půl oku. Jakou částku naspoří za 5 let? Řešení. Ze vzoce 6) vypočtee hodnotu cílové částky S n, přičež ěsíční úložka a = , oční úoková sazba = 0,012, počet úokovacích období za ok = 2 a celkový počet období n = 2 5 = 10. S 10 = ) 0, ,012 2 Pan Pokoný naspoří za 5 let ,66 Kč.. = ,66 Řešení poocí Wolfa Alpha. Počítáe-li naspořenou částku poocí vzoce 6), stačí jej zapsat do vstupního pole, kde přidáe slovo whee a hodnoty jednotlivých poěnných, jak je vidět na ob. 5. Ob. 5 Výpočet příkladu 2 dosazení do vzoce 58 Mateatika fyzika infoatika

8 I po tento typ úlohy Wolfa Alpha nabízí ožnost doplnění potřebných údajů do připaveného fouláře. Do vstupního pole vepíšee klíčové slovo futue value annuity. Zobazí se ná požadované vstupní údaje. Nejdříve v odé okně dole kliknee na futue value. Tí se ná za slove calculate nahoře v áečku objeví futue value, chcee totiž vypočítat výslednou naspořenou částku. Pak kliknee úplně dole na výaz payents pe peiod. Poto doplníe vstupní údaje: oční úokovou sazbu inteest ate, počet let nube of peiods, fekvenci vkladů payents pe peiod a nakonec výši úložky peiodic payent. Obázek 6 ukazuje vypočtenou hodnotu naspořené částky po zaokouhlení na celé stovky i použitý vzoec. Ob. 6 Výpočet příkladu 2 zadání klíčových slov a vstupních údajů Splácení úvěu Koě spořicích poduktů nabízejí banky klientů také úvěy. Za poskytnutí peněžní částky požadují oděnu, kteou je úok. V případě střednědobých a dlouhodobých úvěů tj. úvěů s dobou splatnosti od 3 let výše) splácí klient dlužnou částku obvykle pavidelnýi konstantníi splátkai Mateatika fyzika infoatika

9 nazývají se anuity) po pevně stanovenou dobu. Budee se zabývat případe splácení úvěu ve výši D, kteý á být splacen i s úoky celke n stejnýi splátkai s, jež budou spláceny vždy konce úokovacího období. Roční úoková sazba je vyjádřena čísle 0, 1). Banka si úoky z dlužné částky připisuje na konci každého úokovacího období, počet těchto období v oce označe. Podíl pak představuje úokovou sazbu za jedno úokovací období. Zdanění úoků neuvažujee. Naší úkole je učit výši splátky s. Nechť T n značí zbývající dlužnou částku po n-té splátce. Na konci následujícího období se výše dluhu zvýší o připsané úoky z dlužné částky a sníží o splátku s, což ůžee vyjádřit odele T n+1 = T n + T n s = Hodnota úvěu je D, tudíž T 0 = D, T n+1 = ) T n s, n = 0, 1, 2,... ) T n s, n = 0, 1, 2,... 7) je ekuentní zadání posloupnosti. Znázoníe si výši dluhu na konci jednotlivých období. 1. T 1 = D ) s 2. T 2 = T 1 ) [ s = D ) ] s ) s = = D ) 2 s ) s = = D ) 2 [ s ) ] T 3 = T 2. ) s = [ = D ) 2 s ) s = D ) 3 s ) 2 s ] ) s = ) s = ] = D ) [ 3 s 2 + ) ) Mateatika fyzika infoatika

10 n-té T n = D ) [ n s n 1+ ) ) n 2+ + ) ] + 1 }{{} součet pvních n členů geoetické posloupnosti s ) ) n 1 Nyní poocí vzoce 2) sečtee pvních n členů výše uvedené geoetické posloupnosti s kvociente q = a pvní člene a 1 = s. Dostanee součet n s ) 1. Dlužnou částku pak ůžee vyjádřit následovně T n = D ) n s ) n 1 n=1, 8) což je předpis po n-tý člen ekuentně zadané posloupnosti 7). Pvní člen na pavé staně ovnice značí částku, na kteou se po n obdobích zúočil počáteční dluh, duhý člen představuje nožství, na kteé se za stejnou dobu zúočily pavidelné splátky. Rozdíl těchto členů tvoří zbývající dluh. S využití Wolfa Alpha zapíšee do vstupního pole ekuentní zadání 7). Získaný předpis po zjištění dlužné částky T n v dolní části ob. 7 je vyjádřen v poněkud jiné tvau než 8), poocí vhodných úpav jej lze snadno obdžet. Ob. 7 Učení dlužné částky při splácení úvěu V paxi se často učuje výše splátky úvěu při jeho dané počáteční výši, dané době splatnosti a dané úokové sazbě. Po výpočet hodnoty splátky Mateatika fyzika infoatika

11 s použijee podínku T n = 0, potože dluh á být splacen pávě po n úokovacích obdobích. Položíe-li vztah 8) oven nule: 0 = D ) n s ) n 1 dostanee z uvedené ovnice následující vzoec po výši konstantní splátky, s = ) n D ) n. 9) 1 Příklad 3 Paní Vodičková potřebuje úvě na ekonstukci kuchyně ve výši Kč. Jaká usí být ěsíční splátka, pokud úoková sazba činí 13,9 % p.a. a úvě je poskytnut na dobu 7 let? Řešení. Konstantní splátku s učíe poocí vzoce 9), přičež výše úvěu D = , oční úoková sazba = 0,139, počet úokovacích období za ok = 12 a celkový počet období n = 12 7 = 84. s = 0,139 ) , ) 0, = 2802, Pavidelná ěsíční splátka bude 2802,72 Kč. Řešení poocí Wolfa Alpha. Abycho vypočetli ěsíční splátku, napíšee do vstupního pole vzoec 9), doplníe slovo whee a hodnoty potřebných vstupních údajů, jak ukazuje ob. 8. Ob. 8 Výpočet příkladu 3 dosazení do vzoce 62 Mateatika fyzika infoatika

12 Také v toto případě Wolfa Alpha nabízí zapsání vstupních údajů do připaveného fouláře. Nejpve ve vstupní poli napíšee klíčové slovo otgage calculato. Jakile se objeví foulář, vepíšee výši úvěu loan aount, dobu splatnosti v letech loan peiod a nakonec oční úokovou sazbu annual pecentage ate. Na obázku 9 vidíe, že koě vypočtené ěsíční splátky se ná například zobazí celková částka a úoky, kteé zaplatíe. Ob. 9 Výpočet příkladu 3 zadání klíčových slov a vstupních údajů Wolfa Alpha navíc poskytne uořovací plán, ve kteé je po každý ok uvedena zbývající hodnota dluhu, splacená částka a zaplacené úoky. Závě Cíle článku bylo ukázat použití webové služby Wolfa Alpha spolu s geoetickou posloupností ve finanční ateatice, a to po odvození vzoců vybaných základních finančních poduktů. Záoveň byly uvedeny ilustativní příklady a poocí Wolfa Alpha byla doplněna jejich řešení. Mateatika fyzika infoatika

13 Jednalo se tedy o ukázku popojení klasického středoškolského učiva s pobleatikou běžného života v oblasti financí za pooci využití infoačních technologií dnešní doby. Hlavní přínose příspěvku je tudíž podpoa finanční gaotnosti a využití znalostí z oblasti infoatiky ve vzdělávání. Závěe poznaeneje, že ilustační obázky uvedené v článku byly získány postřednictví nástoje Wolfa Alpha [6] a někteé z nich byly vzhlede k svéu ozsahu upaveny a zkáceny. L i t e a t u a [1] Odváko, O.: Mateatika po gynázia Posloupnosti a řady. Poetheus, Paha, [2] Odváko, O.: Úlohy z finanční ateatiky po střední školy. Poetheus, Paha, [3] Pažák, P., Pažáková, B.: Excel a ekuentně zadané posloupnosti ve finanční ateatice. Mateatika, fyzika, infoatika, oč /2009), č. 1, s Dostupné na: 18 pdf/inf 18 1.pdf [4] Petášková, V.: Znalost pobleatiky penzijního připojištění nezbytná součást finanční gaotnosti I. část). Mateatika, fyzika, infoatika, oč /2012), č. 7, s Dostupné na: 21 pdf/mat PDF [5] Radová, J., Dvořák, P., Málek, J.: Finanční ateatika po každého. Gada, Paha, [6] Wolfa Alpha. Dostupné na: Užití softwae Wolfa Alpha při výuce ateatiky JIŘÍ MAZUREK Obchodně podnikatelská fakulta SU, Kaviná Modení výuka ateatiky se v současnosti již neobejde bez vhodného ateatického softwae, kteý ůže sloužit jak k jednodušší i složitější výpočtů, tak k vizualizaci dat a výsledků, k siulací, odelování, 64 Mateatika fyzika infoatika