PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

Transkript

1 Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 0/05 RNDr. Věr Effeberger

2 Příprv SMZ z MATEMATIKY olie! Toto je bous číslo k výukovému videu: Poslouposti fičí mtemtik. Než si video zpeš, tk si prcoví sešit vytiski při sledováí vide si do ěj doplňuj veškeré pozámky, slov příkldy. Udrží tě to v pozorosti budeš se moci k zpsým iformcím později vrcet. Když už tě Poslouposti fičí mtemtik uví, ebo tě přestou bvit, dej si jedoduše puzu pokrčuj později. Prcoví sešit ti bude sloužit hlvě k opkováí, je v ěm totiž úplě všecho, co k témtu Poslouposti fičí mtemtik musíš zát. Neí už tedy třeb hledt iformce v učebicích, strých sešitech ebo si pltit doučováí. Příjemé učeí s Prohlášeí: Teto prcoví sešit je iformčím produktem, který doprovází výukové video Poslouposti fičí mtemtik. Jkékoliv šířeí ebo poskytováí vide prcovího sešitu třetím osobám bez souhlsu utorky je zkázáo! Děkuji z pochopeí respektováí tohoto sděleí. Stžeím tohoto mteriálu rozumíte, že jkékoli použití iformcí z tohoto mteriálu úspěchy či eúspěchy z toho plyoucí, jsou pouze ve Všich rukách utork z ě eese žádou zodpovědost. školí rok 0/5 RNDr. Věr Effeberger

3 Příprv SMZ z MATEMATIKY olie! 5. POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA 5. ZÁKLADNÍ POZNATKY O POSLOUPNOSTECH Poz.: Protože poslouposti jsou speciálím přípdem, budeme mít dost čsto příležitost využít zlosti z předchozího temtického okruhu:.. Připomíám : Fukce možiě D R je předpis, který kždému číslu x z možiy D přiřzuje právě jedo reálé číslo y. Moži D se zývá fukce. Co je to posloupost? Kždá fukce, jejímž defiičím oborem je moži všech čísel N, se zývá ekoečá posloupost. Kždá fukce, jejímž defiičím oborem je moži prvích čísel,,,, se zývá koečá posloupost. Fukčí hodoty poslouposti (koečé ebo ekoečé) se zývjí poslouposti. Fukčí hodot v bodě zčí se: N se zývá -tý čle poslouposti Nekoečá posloupost s -tým čleem se zpisuje: Koečá posloupost s -tým čleem se zpisuje: školí rok 0/5 RNDr. Věr Effeberger

4 Příprv SMZ z MATEMATIKY olie! Příkldy posloupostí: posloupost všech sudých čísel: posloupost všech lichých čísel: Jk může být posloupost zdá? Posloupost může být zdá jedím z těchto způsobů: Vzorcem pro -tý čle - posloupost je zdá vzorcem, pomocí kterého můžeme vypočítt její čle (bez toho iž bychom zli čley předcházející) Npište prvích pět čleů poslouposti Určete. 7. čle poslouposti Určete.. čle poslouposti Výčtem prvků - posloupost je urče tím, že se vyjmeují všechy její čleové, to v pořdí od prvího do -tého - to lze smozřejmě provést je u posloupostí,, 9, 6, 5, 6,,,, 5 5, 6 6 7, -,, -,, -,, -,, -, 6, 8,,,, školí rok 0/5 RNDr. Věr Effeberger

5 Příprv SMZ z MATEMATIKY olie! Rekuretě * - v poslouposti je dá její prví čle (ěkdy i ěkolik prvích čleů) dále vzorec, pomocí ěhož spočítáme čle - bychom spočítli dlší čle, musíme mít vždy spočítáy čley, které mu Určete prvích pět čleů ásledujících posloupostí: 6, b, b, b b b Grficky - posloupost může být zdá i grficky, stejě jko fukce - grfem poslouposti je vždy moži bodů!!! - poslouposti můžeme zázorňovt v prvoúhlé soustvě souřdic přímce školí rok 0/5 RNDr. Věr Effeberger 5

6 Příprv SMZ z MATEMATIKY olie! b Vlstosti posloupostí U posloupostí zkoumáme obdobé vlstosti jko u reálých fukcí. Posloupost se zývá: shor omezeá, jestliže existuje tkové číslo Příkld: h R, že pro všech N zdol omezeá, jestliže existuje tkové číslo 5 Příkld: d R, že pro všech N omezeá, jestliže je shor zároveň i zdol omezeá Příkld: rostoucí, je-li pro kždé klesjící, je-li pro kždé erostoucí, je-li pro kždé eklesjící, je-li pro kždé N ; Příkld: N ; Příkld: N ; Příkld: N ; Příkld: školí rok 0/5 RNDr. Věr Effeberger 6

7 Příprv SMZ z MATEMATIKY olie! 5. ARITMETICKÁ POSLUPNOST Defiice ritmetické poslouposti Posloupost se zývá ritmetická, právě když existuje tkové reálé číslo d, že pro kždé přirozeé číslo je: d Číslo d se zývá ritmetické poslouposti. Pro kždé dv po sobě jdoucí čley + ritmetické poslouposti pltí: Příkld: Dokžte, že posloupost 5 je ritmetická určete její difereci. Vypište prvích šest čleů ritmetické poslouposti, jestliže 6, d 5. V ritmetické poslouposti dále pltí: r s d pro kždé N pro kždé r, s N s školí rok 0/5 RNDr. Věr Effeberger 7

8 Příprv SMZ z MATEMATIKY olie! V ritmetické poslouposti jsou dáy její čley:, 6. Určete difereci čley,. 5 Určete difereci prví čle v ritmetické poslouposti b, pro kterou pltí: b b 5b b 95 0 Součet prvích čleů ritmetické poslouposti Součet s prvích čleů ritmetické poslouposti je rove: s Vypočítejte součet všech lichých dvojciferých čísel. Určete součet prvích 5 čleů ritmetické poslouposti ), d 5, pro kterou pltí: b), 7 8 školí rok 0/5 RNDr. Věr Effeberger 8

9 Příprv SMZ z MATEMATIKY olie! 5. GEOMETRICKÁ POSLUPNOST Defiice geometrické poslouposti Posloupost se zývá geometrická, právě když existuje tkové reálé číslo q, že pro kždé přirozeé číslo je: q Číslo q se zývá geometrické poslouposti. Jestliže 0 tké q 0, pk pro kždé dv po sobě jdoucí čley + geometrické poslouposti pltí: Příkld: Vypište prvích pět čleů geometrické poslouposti, jestliže,. Dokžte, že posloupost je geometrická určete její kvociet. V geometrické poslouposti dále pltí: r s q pro kždé N pro kždé r, s N s školí rok 0/5 RNDr. Věr Effeberger 9

10 Příprv SMZ z MATEMATIKY olie! V geometrické poslouposti jsou dáy její čley: kvociet čley,., Určete Určete prví čle kvociet v geometrické poslouposti 0 0, ve které pltí: Součet prvích čleů geometrické poslouposti Součet s prvích čleů geometrické poslouposti je rove:, jestliže je q q s, jestliže je q q Vypočítejte součet prvích deseti čleů geometrické poslouposti ), 8, kde: b) 7, q školí rok 0/5 RNDr. Věr Effeberger 0

11 Příprv SMZ z MATEMATIKY olie! 5. VYUŽITÍ POSL. PRO ŘEŠENÍ ÚLOH Z PRAXE, FINANČNÍ MATEMATIKA Sloví úlohy (z prxe) Plstové roury se skládjí do vrstev, tk jk je tomu obrázku (dlší vrstv rour je vždy polože do mezer spodí vrstvy rour). Do kolik vrstev se složí 77 rour, jestliže v ejvyšší vrstvě jsou je dvě roury? Dále určete počet rour ve spodí vrstvě. Nový utomobil by byl v letoším roce poříze z 0.000,- Kč. Kždý ásledující rok se hodot vozu sižuje to vždy o stejé proceto hodoty z předchozího roku. Z čtyři roky by tk ce utomobilu klesl přibližě 7.900,- Kč. S přesostí jedotky určete, kolik procet se kždým rokem hodot vozu sižuje. školí rok 0/5 RNDr. Věr Effeberger

12 Příprv SMZ z MATEMATIKY olie! Fičí mtemtik Z oblsti ficí můžeme poslouposti ritmetickou zejmé pk geometrickou velice dobře využít. Budeme jejich pomocí počítt zúročeé peízky ebo výši. Zákldí pojmy eb Co to je? Úrok z hledisk: věřitele = odmě (též ) ve formě áhrdy z dočsou ztrátu kpitálu z riziko, že teto kpitál ebude splce dlužík = ce z poskytutý úvěr ve smyslu peěz Úroková mír = výše úroku z určité v procetech = úroková szb, mír výososti, mír zisku,... ročí, per um (p..) pololetí, per semestre (p.s.) čtvrtletí, per qurtle (p.q.) měsíčí, per mesem (p.m.) deí, pr diem (p.d.) Dob spltosti (úroková dob) =, po kterou je kpitál ulože či způjče Úrokové období = dob, jejímž zčátku ebo koci je připsá z vkldu (je zplce úrok z úvěru) Dň z úroků = dň, kterou je potřeb z úrok odvést Úročeí = způsob výpočtu úroku = úročeí se dělí z hledisk doby : jedoduché u K 0 p 00 p K K0 0, složeé u K p K0 0, školí rok 0/5 RNDr. Věr Effeberger

13 Příprv SMZ z MATEMATIKY olie! Pí Šťstá si zložil spořicí účet, který si převedl ,- Kč. N teto účet se jedou ročě připíše úrok ve výši,5 %, který pí Šťstá hed vybere sprvedlivě rozdá svým pěti voučtům. Spočítejte, jký celkový obos pí Šťstá věuje kždému voučeti z 7 let. (Z úroků je smozřejmě odvádě dň 5%.) P Novák si uložil do bky ,- Kč termiový vkld s úrokovou mírou % p.. Jký fičí obos si p Novák z bky vybere po pětileté úrokové době? (Z úroků je smozřejmě odvádě dň 5%.) školí rok 0/5 RNDr. Věr Effeberger

14 Příprv SMZ z MATEMATIKY olie! Mželé Juákovi potřebovli zrekostruovt byt. N tuto oprvu si museli půjčit ,- Kč. Využili tedy půjčky bez popltků s úrokovou mírou 0,8 % p.. Jká je jejich měsíčí splátk, jestliže mjí půjčku roky? (Výsledek zokrouhlete jedotky, dň z úroku eberte v potz.) PERFEKTNÍ, TEORII K POSLOUPNOSTEM MÁŠ ZA SEBOU! A MŮŽEŠ NA DALŠÍ TÉMA školí rok 0/5 RNDr. Věr Effeberger