POSLOUPNOSTI A ŘADY,

Transkript

1 POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel Aritmetická geometrická posloupost Nekoečé číselé řdy Úvod do itegrálího počtu 6. Primitiví fukce, Neurčitý itegrál Výpočet primitiví fukce Určitý itegrál Litertur 3 Příkldy k procvičeí 4 Poslouposti řdy Nejprve vysvětlíme pojem posloupost reálých čísel ukážeme ěkteré vlstosti posloupostí včetě zvedeí ritmetické geometrické poslouposti. Dále se změříme ekoečé číselé řdy, především problemtiku stoveí jejího součtu. S pojmem vlstostmi ekoečých řd se dále setkáme v teorii prvděpodobosti při studiu diskrétích áhodých veliči.. Poslouposti reálých čísel Defiice. Nekoečou číselou posloupostí rozumíme reálou fukci defiovou možiě přirozeých čísel. Jedotlivé hodoty fukce zýváme čley poslouposti, hodotu poslouposti v čísle zýváme -tý eboli obecý čle poslouposti zčíme jej. Je-li defiičím oborem moži {,, 3,..., k}, mluvíme o koečé poslouposti. Nekoečou číselou posloupost,, 3,...,,... zčíme { } ebo stručěji { }. Koečou číselou posloupost,, 3,..., k zčíme { } k. Grfem poslouposti je moži izolových bodů A = [; ], N. Operčí progrm Vzděláváí pro kokureceschopost Název projektu: Iovce mgisterského studijího progrmu Fkulty ekoomiky mgemetu Registrčí číslo projektu: CZ..07/..00/8.036 PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY.

2 se zývá Leib- Číselé poslouposti budeme zdávt: { }. předpisem pro obecý čle poslouposti, př.. rekuretě, př. =, + = +. { } { ( ) + Posloupost se zývá hrmoická, ztímco posloupost izov. Jejich grfické zázorěí je obrázku. } Obrázek : Prvích 5 čleů hrmoické Leibizovy poslouposti Příkld { }. Npište prvích pět čleů poslouposti: ), b) =, + = +. ) Doszeím čísel,, 3, 4 5 z dosteme prvích pět čleů poslouposti:,, 3, 4, 5. b) Z rekuretího vzorce pro = dosteme = +, tj. = 3. Alogicky určíme čley 3, 4, 5. Hledá posloupost je proto dá prvími pěti čley, 3, 7, 5, 3. Vlstosti poslouposti Obdobě jko v difereciálím počtu zvádíme: Defiice. Posloupost { } se zývá mootóí, to. rostoucí, resp. eklesjící, právě když pro všech N pltí + >, resp. +,. klesjící, resp. erostoucí, právě když pro všech N pltí + <, resp. +. Defiice.3 Posloupost { } se zývá omezeá zdol, resp. omezeá shor, právě když existuje tkové číslo d, resp. h, že pro všech N pltí d, resp. h. Posloupost { } se zývá omezeá, je-li omezeá zdol i shor.

3 Obrázek : Grfické zázorěí limity poslouposti Limit poslouposti Defiice.4 Říkáme, že reálé číslo je limitou poslouposti { }, jestliže k libovolému ε > 0 existuje přirozeé číslo 0 tkové, že pro všech > 0 pltí < ε. Zpisujeme lim =. Existuje-li limit, R, zývá se posloupost { } kovergetí. Pokud uvedeá limit eexistuje, zývá se posloupost divergetí. Je-li = 0, zývá se posloupost ulová. Geometrická iterpretce defiice limity poslouposti Necht lim =, kde R. K dému číslu ε > 0 existuje idex 0 tk, že všechy čley poslouposti s výjimkou prvích 0 čleů leží v pásu mezi rovoběžkmi o rovicích y = ε, y = + ε (obrázek ). Příkld { }. Vypočtěte limity posloupostí: { + ),, b) } ) Položme f(x) =, x, ). Pk pltí x. lim x x = lim t 0 + t = lim t 0 + t = 0. { } Jelikož lim = 0, je posloupost ulová (koverguje k ule). x x, x, ). Pk s využitím l Hospitlov prvidl pltí b) Položme f(x) = x+ x x + lim x x = = lim x =. 3

4 { + Posloupost } proto koverguje k číslu.. Aritmetická geometrická posloupost Defiice.5 Posloupost { } se zývá ritmetická, právě když existuje číslo d tkové, že pro všech N pltí + = + d. Číslo d se zývá diferece ritmetické poslouposti. Pro ritmetickou posloupost pltí: = + ( )d, r = s + (r s)d, s = ( + ), kde zčí, r, s postupě -tý, r-tý, s-tý čle s součet prvích čleů ritmetické poslouposti. Defiice.6 Posloupost { } se zývá geometrická, právě když existuje číslo q tkové, že pro všech N pltí + = q. Číslo q se zývá kvociet geometrické poslouposti. Pro geometrickou posloupost pltí: = q, r = s q r s, s = q q pro q, s = pro q =, kde zčí, r, s postupě -tý, r-tý, s-tý čle s součet prvích čleů geometrické poslouposti..3 Nekoečé číselé řdy Defiice.7 Necht { } je posloupost reálých čísel. = () se zývá ekoečá číselá řd. Posloupost {s }, kde s =, s = +,..., s = + + +, se zývá posloupost částečých součtů této řdy. Existuje-li vlstí limit lim s = s, řekeme, že řd koverguje má součet s. Neexistuje-li vlstí limit lim s, říkáme, že řd diverguje. 4

5 Příkldy číselých řd ) = b) c) d) e) f) ( ) = q = + q + q + q 3 + ( ) + = + + ( + ) = ! = +! + 4 3! + 8 4! + hrmoická řd Leibizov řd Příkld.3 Vypočítejte součet řdy: ), b) +. geometrická řd s kvocietem q ) Posloupost { } je geometrická posloupost s kvocietem q =. čleem poslouposti =. N-tý částečý součet řdy je součtem prvích čleů geometrické poslouposti, pltí s = ( ) ( ) =, [ s = lim s = lim ( ) ] = lim ( ) =. Dá řd tedy koverguje má součet s =. b) Posloupost { +} je ritmetická posloupost s diferecí d =. Součet jejích prvích čleů je s = Dá řd proto diverguje k +. = ( ), s = ( + + ) = ( + 3), 4 s = lim s = 4 lim ( + 3) =. 5

6 Vět. Necht 0. Pk geometrická řd q koverguje právě tehdy, když pro její kvociet pltí q <. Přitom součet geometrické řdy je s = q. Příkld.4 Vypočítejte součet řdy: ) 5 3+, b) ) Protože 5 3+ = ( ) = její kvociet q = 3 >, 5 3+ diverguje. b) Jedá se o geometrickou řdu, ebot kvociet q = 3 <, 45 ( ) 3, jedá se o geometrickou řdu. Jelikož = koverguje má součet 4 3 ( ) = ( ). Protože 3 s = = 8 3. Příkld.5 Periodické číslo 0,3 vyjádřete ve tvru zlomku v zákldím tvru. 0,3 = = 3 6 0, což je geometrická řd s kvocietem q = 0. Jelikož q <, tto řd koverguje má součet s = Úvod do itegrálího počtu q = 3 0 = Primitiví fukce, Neurčitý itegrál Itegrál je jedím z ústředích pojmů mtemtiky. Historicky vzikly dvě zákldí úlohy motivující potřebu itegrálu: určeí fukce zákldě zlosti její derivce, výpočet plochy vymezeé grfem fukce f itervlu, b osou ezávislé proměé x. 6

7 Tyto dvě úlohy vedou k pojmu primitiví fukce, eurčitého určitého itegrálu. Vyložeé zákldy itegrálího počtu využijeme později příkld při výpočtu geometrické prvděpodobosti ebo při studiu spojitých áhodých veliči. V rámci studi difereciálího počtu jsme se zbývli úlohou lézt k fukci f její dervci f. Při řešeí růzých problémů se čsto setkáváme s obráceou úlohou. Máme lézt fukci, záme-li její derivci v ějkém itervlu (, b). Nlezeí tkové fukce je v jistém smyslu iverzí opercí k derivováí. Defiice. Necht f je fukce defiová (, b) R. Pk fukci F, pro kterou pltí F (x) = f(x) pro všech x (, b), zýváme primitiví fukcí k fukci f itervlu (, b). Npř. fukce F (x) = x je primitiví fukcí k fukci f(x) = x itervlu (, ), ebot pro kždé x R pltí (x ) = x. Podobě F (x) = tg x je primitiví fukcí k fukci f(x) = /cos x itervlu ( π/, π/), ebot pro kždé x ( π/, π/), pltí (tg x) = / cos x. Primitivích fukcí k fukci f může být více. K fukci f(x) = x defiové itervlu (, ) je primitiví fukcí eje fukce x, le i tké fukce x + 3, ebot pro kždé x R pltí (x + 3) = x. K fukci f(x) = x sdo lezeme dlší primitiví fukce (obrázek 3). Obrázek 3: Vlevo primitiví fukce k fukci f(x) = / cos x, vprvo primitiví fukce k fukci f(x) = x 7

8 Vět. Vlstosti primitiví fukce. Necht F, F jsou primitiví fukce k fukci f itervlu (, b). Potom jejich rozdíl je kosttí fukce.. Je-li f spojitá itervlu (, b), pk tomto itervlu existuje lespoň jed primitiví fukce k fukci f. 3. Kždá primitiví fukce je spojitá. 4. Je-li F ějká primitiví fukce k fukci f itervlu (, b), pk tomto itervlu je {F + c; c R} moži všech primitivích fukcí k fukci f. Defiice. Možiu všech primitivích fukcí k fukci f itervlu (, b) budeme zývt eurčitým itegrálem fukce f zčit f dx, přípdě f(x) dx. Přitom se zývá itegrčí zk, f itegrová fukce (itegrd), x itegrčí proměá, dx difereciál itegrčí proměé. Postup při hledáí primitivích fukcí se zývá itegrováí. Zápis f(x) dx = F (x) + c; x (, b) je ovšem edůsledý epřesý, ebot ve skutečosti pltí f(x) dx = {F (x) + c; c R}. Symbol dx vyzčuje, ke které proměé se primitiví fukce hledá. Zákldí vzorce pro výpočet primitivích fukcí () () (3) (4) (5) (6) (7) (8) 0 dx = k, k R, (9) dx = tg x, cos x k dx = kx, k R, (0) si dx = cotg x, x x dx = x+,, () dx = rcsi x, + x dx = l x, () x x dx = rcsi x, > 0, e x dx = e x, (3) dx = rctg x, + x x dx = x l, > 0, (4), + x dx = rctg x, 0, x si x dx = cos x, (5) x + b dx = l + x + b, b 0, f (x) cos x dx = si x, (6) dx = l f(x). f(x) 8

9 . Výpočet primitiví fukce Následující tvrzeí ám usdí výpočet primitiví fukce. Vět. Je-li itervlu (, b) F i (i =,,..., ) primitiví fukcí k fukci f i pro kždé i =,,..., jsou-li c, c..., c libovolá reálá čísl, existuje itervlu (, b) k fukci f = c f + c f + + c f primitiví fukce F = c F + c F + + c F. V symbolice eurčitých itegrálů lze větu stručěji zpst ásledově: (c f + c f + + c f ) dx = c f dx + c f dx + + c x (, b), z předpokldu existece f i dx (, b) pro i =,,...,. Příkld. Vypočítejte: ) ( x 3 + ) x + x dx, b) dx. si x cos x f dx, ) ( x 3 + x + x) dx = x 3 dx + x dx + x4 dx = + x x + l x + c. x 3 b) dx = dx = cos x+si x dx = ( cos x + si x si x cos x si x cos x si x cos x si x cos x) dx = = l si x l cos x + c = l si x + c = l tg x + c. Metod substituce cos x U moh jiých typů fukcí, příkld pro souči dvou fukcí, je uté postupovt jik. Použijeme zákldí itegrčí metody metodu substituce metodu per prtes. Vět.3 Necht fukce ϕ : (α, β) (, b) má všude v (α, β) derivci echt fukce f je defiová (, b). Potom ) Je-li F primitiví fukcí k f (, b), je F ϕ primitiví fukce k fukci (f ϕ) ϕ itervlu (α, β). b) Je-li víc ϕ prostá, zobrzuje itervl (α, β) (, b) ϕ má všude v (α, β) eulovou derivci, pk pro ψ = ϕ pltí: je-li G primitiví fukcí k fukci (f ϕ) ϕ (α, β), je G ψ primitiví fukcí k fukci f itervlu (, b). Vzorec pro itegrci substitucí odpovídjící předchozí větě ) zpisujeme ve tvru f (ϕ(x)) ϕ (x) dx = f(t) dt, dosdíme-li do primitiví fukce prvé strě t = ϕ(x). Vzorec pro itegrci substitucí odpovídjící předchozí větě b) zpisujeme ve tvru f(x) dx = f(ϕ(t)) ϕ (t) dt, dosdíme-li do primitiví fukce prvé strě t = ϕ (x). 9

10 Metod per prtes Dlší metodou, které lze z jístých okolostí využít k itegrci součiu fukcí, je metod per prtes. Vět.4 Necht fukce u, v mjí derivci itervlu (, b). Existuje-li (, b) primitiví fukce k jedé z fukcí uv, u v, existuje i ke druhé z ich. Je-li F primitiví fukce k u v itervlu (, b), je uv F primitiví fukce k uv (, b). Prvidlo pro itegrci metodou per prtes zpisujeme ve tvru uv dx = uv u v dx, x (, b). Příkld. Vypočítejte: ) l x x dx, x (, ), b) x l x dx. ) Itegrová fukce je ve tvru součiu složeé fukce derivce její vitří složky, ebot pltí l x = l x = x x l x(l x), kde l x je vitří složkou složeé fukce l x. Proto k výpočtu itegrálu použijeme substitučí metodu. Volíme substituci l x = t. Dopočítáme difereciál substituce, tj. (l x) dx = t dt, tedy dx = dt. Pro všech x (, ) pk pltí x l x dx = t dt = t3 + c = l3 x + c. x 3 3 b) Použijeme metodu itegrce po částech per prtes. Pro všech x (0, ) pltí x l x dx = = u = x v = l x u = x3 v = = x3 l x x x3 x3 dx = l x + c = ( x l x 3) + c. 3 x.3 Určitý itegrál Motivčí příkld Necht f je spojitá ezáporá fukce itervlu, b echt A je moži všech bodů [x, y] v roviě R, pro ěž pltí x b, 0 y f(x). Máme určit plošý obsh P obrzce A obrázku 5. Rozdělme itervl, b dílků dělícími body = x 0 < x < < x i < x i < < x < x = b. Možiu D = {x 0, x,..., x } zýváme děleí itervlu, b. Ozčme x i, x i = x i x i velikost kždého dílku. Uvitř kždého itervlu x i, x i zvolme bod ξ i určeme f(ξ i ). Číslo σ(f, D ) = f(ξ i ) x i zýváme itegrálí součet fukce f příslušý děleí D. Leží-li body ξ i uprostřed dílků, hovoříme o středím itegrálím součtu. Pro jedoduchost předpokládejme, že dílky jsou stejě velké (obrázek 5). i= 0

11 Obrázek 4: Obsh P obrzce A Obrázek 5: Dolí horí proximce A Defiice.3 Fukci f zýváme (Riemovsky) itegrovtelou itervlu, b, jestliže existuje vlstí limit středích itegrálích součtů fukce f, tj. lim σ(f, D ) = lim f(ξ i ) x i = I, kde I R. Číslo I se zývá (Riemův) určitý itegrál fukce f itervlu, b. Zčíme ho b i= f(x) dx, kde se zývá dolí (itegrčí) mez, b horí (itegrčí) mez.

12 Vět.5 Necht fukce f(x), g(x) jsou itervlu, b spojité, m je libovolé číslo, přičemž < m < b. Pk pltí: b b cf(x) dx = c f(x) dx, c R, b (f(x) ± g(x)) dx = b f(x) dx ± b g(x) dx, m b b f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx. m Vět.6 Newto-Leibizov formule Je-li fukce f spojitá uzvřeém itervlu, b má-li tomto itervlu primitiví fukci F, pk b Příkld.3 Vypočítejte: π ) si x dx, b) 0 0 f(x) dx = [F (x)] b = F (b) F (). 0 x 3 x 4 +3 dx. π ) Využijeme předchozí formuli si x dx = [ cos x] π 0 = (cos π cos 0) =. b) Uvědomíme-li si, že čittel zlomku x 3 je ž multipliktiví kosttu derivcí jmeovtele x 4 + 3, pk jedoduchou úprvou dosteme = 4 (l 4 l 3) = 4 l x 3 x 4 +3 dx = 4 0 4x 3 x 4 +3 dx = 4 [l(x4 + 3)] 0 =

13 Litertur Zákldí MANN, P.S. Itroductory Sttistics. 6th editio. Hoboke: Wiley, 007. ISBN MOUČKA, J., RÁDL, P. Mtemtik pro studety ekoomie.. vyd. Grd 00. ISBN NEUBAUER, J., SEDLAČÍK, M., KŘÍŽ, O. Zákldy sttistiky Aplikce v techických ekoomických oborech. Grd 0.ISBN: ŘEZANKOVÁ, H. Alýz dt z dotzíkových šetřeí.. vydáí, Professiol Publishig, 00. ISBN: Doporučeá AGRESTI, A. Ctegoricl Dt Alysis. Secod Editio. Wiley 00. ISBN: ANDĚL, J. Sttisticke metody. 3. vydáí. Prh: Mtfyzpress, 003. ISBN ANDĚL, J. Zákldy mtemtické sttistiky.. vyd. Prh: Mtfyzpress, 007, 358 s. ISBN VÁGNER, M. Itegrálí počet fukcí jedé proměé.. vydáí. Bro: UO, 005,6 s. ISBN VÁGNER, M., KAŠTÁNKOVÁ, V. Poslouposti řdy.. vydáí. Bro: UO, 006. ISBN X. 3

14 Příkldy k procvičeí Poslouposti řdy. Npište { prvích } pět čleů poslouposti: ), { + 3 b) cos π }, c) {00 }.. Která z čísel 5, 50, 75, 00 jsou čley poslouposti { + }. 3. U dých posloupostí určete, + : ) 3, 9, 3 7, 4 8, 5 43, b) 4,, 0, 7, 8, 3 c),!, 5 3!, 7 4!, 9 5!. 4. Vypočítejte { limity } posloupostí: + 6 ), { 3 } e b), {( c) 4 ) }. 5. Dokžte, že čísl 5, 3, 5+ jsou tři z sebou jdoucí čley geometrické poslouposti (využijte vlstost, že pro geometrickou posloupost je pro všech N podíl + = q). 6. Ce ového zřízeí je Kč. Opotřebeím se ročě zehodotí o 0 %. Jká bude hodot zřízeí po 5 letech?. ) 4, 0, 6, 7, 3 ; b) 0,, 0,, 0; c) 98, 96, 9, 84, 68; 8. 5, 00; 3. ) = 3, + = ; b) = 3 + 3, + = 4. ) 3 ; b) ; c) e 4 ; 5. Pltí; Kč. + 4 ; c) =!, + = + ( + )! ; 4

15 Úvod do itegrálího počtu. Vypočítejte: ( ) 4x 3 + si x + ) dx, ( ) x + 4 b) x + x dx, x 3 (x ) c) dx. x 3. Metodou substituce vypočítejte: ) x 3 x + dx, x 4 b) 4 + x dx, 5 3e x c) (e x ) dx Metodou per prtes vypočítejte: ) l x dx, b) e 3x cos x dx, c) x l x dx. 4. Nlezěte v dém itervlu středí hodotu fukce použijte Větu itegrálího počtu o středí hodotě µ = b b f(x) dx: ) f(x) = x +, x, 4, b) f(x) = x e x, x 0,, c) f(x) = x l x, x,. 5. Vhodou metodou vypočítejte určité itegrály: ) b) c) e l x x dx, π x cos x dx, π x + x 3 dx. 5

16 (x x ) l x + c;. ) x 4 cos x + rctg x x + c; b) l + c; c) x. ) 3 3 (x 8 + ) 4 + c; b) 4 + x c; c) (e x ) 3 + c; 3. ) x l x x(l x ) + c; b) 0 e3x (si x + 3 cos x) + c; c) 3 x x 4. ) 8; b) e ; c) 5 l 4; 5. ) π e ; b) π 4 ; c) 4 9. ( l x ) + c; 3 6