POSLOUPNOSTI A ŘADY,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "POSLOUPNOSTI A ŘADY,"

Transkript

1 POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel Aritmetická geometrická posloupost Nekoečé číselé řdy Úvod do itegrálího počtu 6. Primitiví fukce, Neurčitý itegrál Výpočet primitiví fukce Určitý itegrál Litertur 3 Příkldy k procvičeí 4 Poslouposti řdy Nejprve vysvětlíme pojem posloupost reálých čísel ukážeme ěkteré vlstosti posloupostí včetě zvedeí ritmetické geometrické poslouposti. Dále se změříme ekoečé číselé řdy, především problemtiku stoveí jejího součtu. S pojmem vlstostmi ekoečých řd se dále setkáme v teorii prvděpodobosti při studiu diskrétích áhodých veliči.. Poslouposti reálých čísel Defiice. Nekoečou číselou posloupostí rozumíme reálou fukci defiovou možiě přirozeých čísel. Jedotlivé hodoty fukce zýváme čley poslouposti, hodotu poslouposti v čísle zýváme -tý eboli obecý čle poslouposti zčíme jej. Je-li defiičím oborem moži {,, 3,..., k}, mluvíme o koečé poslouposti. Nekoečou číselou posloupost,, 3,...,,... zčíme { } ebo stručěji { }. Koečou číselou posloupost,, 3,..., k zčíme { } k. Grfem poslouposti je moži izolových bodů A = [; ], N. Operčí progrm Vzděláváí pro kokureceschopost Název projektu: Iovce mgisterského studijího progrmu Fkulty ekoomiky mgemetu Registrčí číslo projektu: CZ..07/..00/8.036 PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY.

2 se zývá Leib- Číselé poslouposti budeme zdávt: { }. předpisem pro obecý čle poslouposti, př.. rekuretě, př. =, + = +. { } { ( ) + Posloupost se zývá hrmoická, ztímco posloupost izov. Jejich grfické zázorěí je obrázku. } Obrázek : Prvích 5 čleů hrmoické Leibizovy poslouposti Příkld { }. Npište prvích pět čleů poslouposti: ), b) =, + = +. ) Doszeím čísel,, 3, 4 5 z dosteme prvích pět čleů poslouposti:,, 3, 4, 5. b) Z rekuretího vzorce pro = dosteme = +, tj. = 3. Alogicky určíme čley 3, 4, 5. Hledá posloupost je proto dá prvími pěti čley, 3, 7, 5, 3. Vlstosti poslouposti Obdobě jko v difereciálím počtu zvádíme: Defiice. Posloupost { } se zývá mootóí, to. rostoucí, resp. eklesjící, právě když pro všech N pltí + >, resp. +,. klesjící, resp. erostoucí, právě když pro všech N pltí + <, resp. +. Defiice.3 Posloupost { } se zývá omezeá zdol, resp. omezeá shor, právě když existuje tkové číslo d, resp. h, že pro všech N pltí d, resp. h. Posloupost { } se zývá omezeá, je-li omezeá zdol i shor.

3 Obrázek : Grfické zázorěí limity poslouposti Limit poslouposti Defiice.4 Říkáme, že reálé číslo je limitou poslouposti { }, jestliže k libovolému ε > 0 existuje přirozeé číslo 0 tkové, že pro všech > 0 pltí < ε. Zpisujeme lim =. Existuje-li limit, R, zývá se posloupost { } kovergetí. Pokud uvedeá limit eexistuje, zývá se posloupost divergetí. Je-li = 0, zývá se posloupost ulová. Geometrická iterpretce defiice limity poslouposti Necht lim =, kde R. K dému číslu ε > 0 existuje idex 0 tk, že všechy čley poslouposti s výjimkou prvích 0 čleů leží v pásu mezi rovoběžkmi o rovicích y = ε, y = + ε (obrázek ). Příkld { }. Vypočtěte limity posloupostí: { + ),, b) } ) Položme f(x) =, x, ). Pk pltí x. lim x x = lim t 0 + t = lim t 0 + t = 0. { } Jelikož lim = 0, je posloupost ulová (koverguje k ule). x x, x, ). Pk s využitím l Hospitlov prvidl pltí b) Položme f(x) = x+ x x + lim x x = = lim x =. 3

4 { + Posloupost } proto koverguje k číslu.. Aritmetická geometrická posloupost Defiice.5 Posloupost { } se zývá ritmetická, právě když existuje číslo d tkové, že pro všech N pltí + = + d. Číslo d se zývá diferece ritmetické poslouposti. Pro ritmetickou posloupost pltí: = + ( )d, r = s + (r s)d, s = ( + ), kde zčí, r, s postupě -tý, r-tý, s-tý čle s součet prvích čleů ritmetické poslouposti. Defiice.6 Posloupost { } se zývá geometrická, právě když existuje číslo q tkové, že pro všech N pltí + = q. Číslo q se zývá kvociet geometrické poslouposti. Pro geometrickou posloupost pltí: = q, r = s q r s, s = q q pro q, s = pro q =, kde zčí, r, s postupě -tý, r-tý, s-tý čle s součet prvích čleů geometrické poslouposti..3 Nekoečé číselé řdy Defiice.7 Necht { } je posloupost reálých čísel. = () se zývá ekoečá číselá řd. Posloupost {s }, kde s =, s = +,..., s = + + +, se zývá posloupost částečých součtů této řdy. Existuje-li vlstí limit lim s = s, řekeme, že řd koverguje má součet s. Neexistuje-li vlstí limit lim s, říkáme, že řd diverguje. 4

5 Příkldy číselých řd ) = b) c) d) e) f) ( ) = q = + q + q + q 3 + ( ) + = + + ( + ) = ! = +! + 4 3! + 8 4! + hrmoická řd Leibizov řd Příkld.3 Vypočítejte součet řdy: ), b) +. geometrická řd s kvocietem q ) Posloupost { } je geometrická posloupost s kvocietem q =. čleem poslouposti =. N-tý částečý součet řdy je součtem prvích čleů geometrické poslouposti, pltí s = ( ) ( ) =, [ s = lim s = lim ( ) ] = lim ( ) =. Dá řd tedy koverguje má součet s =. b) Posloupost { +} je ritmetická posloupost s diferecí d =. Součet jejích prvích čleů je s = Dá řd proto diverguje k +. = ( ), s = ( + + ) = ( + 3), 4 s = lim s = 4 lim ( + 3) =. 5

6 Vět. Necht 0. Pk geometrická řd q koverguje právě tehdy, když pro její kvociet pltí q <. Přitom součet geometrické řdy je s = q. Příkld.4 Vypočítejte součet řdy: ) 5 3+, b) ) Protože 5 3+ = ( ) = její kvociet q = 3 >, 5 3+ diverguje. b) Jedá se o geometrickou řdu, ebot kvociet q = 3 <, 45 ( ) 3, jedá se o geometrickou řdu. Jelikož = koverguje má součet 4 3 ( ) = ( ). Protože 3 s = = 8 3. Příkld.5 Periodické číslo 0,3 vyjádřete ve tvru zlomku v zákldím tvru. 0,3 = = 3 6 0, což je geometrická řd s kvocietem q = 0. Jelikož q <, tto řd koverguje má součet s = Úvod do itegrálího počtu q = 3 0 = Primitiví fukce, Neurčitý itegrál Itegrál je jedím z ústředích pojmů mtemtiky. Historicky vzikly dvě zákldí úlohy motivující potřebu itegrálu: určeí fukce zákldě zlosti její derivce, výpočet plochy vymezeé grfem fukce f itervlu, b osou ezávislé proměé x. 6

7 Tyto dvě úlohy vedou k pojmu primitiví fukce, eurčitého určitého itegrálu. Vyložeé zákldy itegrálího počtu využijeme později příkld při výpočtu geometrické prvděpodobosti ebo při studiu spojitých áhodých veliči. V rámci studi difereciálího počtu jsme se zbývli úlohou lézt k fukci f její dervci f. Při řešeí růzých problémů se čsto setkáváme s obráceou úlohou. Máme lézt fukci, záme-li její derivci v ějkém itervlu (, b). Nlezeí tkové fukce je v jistém smyslu iverzí opercí k derivováí. Defiice. Necht f je fukce defiová (, b) R. Pk fukci F, pro kterou pltí F (x) = f(x) pro všech x (, b), zýváme primitiví fukcí k fukci f itervlu (, b). Npř. fukce F (x) = x je primitiví fukcí k fukci f(x) = x itervlu (, ), ebot pro kždé x R pltí (x ) = x. Podobě F (x) = tg x je primitiví fukcí k fukci f(x) = /cos x itervlu ( π/, π/), ebot pro kždé x ( π/, π/), pltí (tg x) = / cos x. Primitivích fukcí k fukci f může být více. K fukci f(x) = x defiové itervlu (, ) je primitiví fukcí eje fukce x, le i tké fukce x + 3, ebot pro kždé x R pltí (x + 3) = x. K fukci f(x) = x sdo lezeme dlší primitiví fukce (obrázek 3). Obrázek 3: Vlevo primitiví fukce k fukci f(x) = / cos x, vprvo primitiví fukce k fukci f(x) = x 7

8 Vět. Vlstosti primitiví fukce. Necht F, F jsou primitiví fukce k fukci f itervlu (, b). Potom jejich rozdíl je kosttí fukce.. Je-li f spojitá itervlu (, b), pk tomto itervlu existuje lespoň jed primitiví fukce k fukci f. 3. Kždá primitiví fukce je spojitá. 4. Je-li F ějká primitiví fukce k fukci f itervlu (, b), pk tomto itervlu je {F + c; c R} moži všech primitivích fukcí k fukci f. Defiice. Možiu všech primitivích fukcí k fukci f itervlu (, b) budeme zývt eurčitým itegrálem fukce f zčit f dx, přípdě f(x) dx. Přitom se zývá itegrčí zk, f itegrová fukce (itegrd), x itegrčí proměá, dx difereciál itegrčí proměé. Postup při hledáí primitivích fukcí se zývá itegrováí. Zápis f(x) dx = F (x) + c; x (, b) je ovšem edůsledý epřesý, ebot ve skutečosti pltí f(x) dx = {F (x) + c; c R}. Symbol dx vyzčuje, ke které proměé se primitiví fukce hledá. Zákldí vzorce pro výpočet primitivích fukcí () () (3) (4) (5) (6) (7) (8) 0 dx = k, k R, (9) dx = tg x, cos x k dx = kx, k R, (0) si dx = cotg x, x x dx = x+,, () dx = rcsi x, + x dx = l x, () x x dx = rcsi x, > 0, e x dx = e x, (3) dx = rctg x, + x x dx = x l, > 0, (4), + x dx = rctg x, 0, x si x dx = cos x, (5) x + b dx = l + x + b, b 0, f (x) cos x dx = si x, (6) dx = l f(x). f(x) 8

9 . Výpočet primitiví fukce Následující tvrzeí ám usdí výpočet primitiví fukce. Vět. Je-li itervlu (, b) F i (i =,,..., ) primitiví fukcí k fukci f i pro kždé i =,,..., jsou-li c, c..., c libovolá reálá čísl, existuje itervlu (, b) k fukci f = c f + c f + + c f primitiví fukce F = c F + c F + + c F. V symbolice eurčitých itegrálů lze větu stručěji zpst ásledově: (c f + c f + + c f ) dx = c f dx + c f dx + + c x (, b), z předpokldu existece f i dx (, b) pro i =,,...,. Příkld. Vypočítejte: ) ( x 3 + ) x + x dx, b) dx. si x cos x f dx, ) ( x 3 + x + x) dx = x 3 dx + x dx + x4 dx = + x x + l x + c. x 3 b) dx = dx = cos x+si x dx = ( cos x + si x si x cos x si x cos x si x cos x si x cos x) dx = = l si x l cos x + c = l si x + c = l tg x + c. Metod substituce cos x U moh jiých typů fukcí, příkld pro souči dvou fukcí, je uté postupovt jik. Použijeme zákldí itegrčí metody metodu substituce metodu per prtes. Vět.3 Necht fukce ϕ : (α, β) (, b) má všude v (α, β) derivci echt fukce f je defiová (, b). Potom ) Je-li F primitiví fukcí k f (, b), je F ϕ primitiví fukce k fukci (f ϕ) ϕ itervlu (α, β). b) Je-li víc ϕ prostá, zobrzuje itervl (α, β) (, b) ϕ má všude v (α, β) eulovou derivci, pk pro ψ = ϕ pltí: je-li G primitiví fukcí k fukci (f ϕ) ϕ (α, β), je G ψ primitiví fukcí k fukci f itervlu (, b). Vzorec pro itegrci substitucí odpovídjící předchozí větě ) zpisujeme ve tvru f (ϕ(x)) ϕ (x) dx = f(t) dt, dosdíme-li do primitiví fukce prvé strě t = ϕ(x). Vzorec pro itegrci substitucí odpovídjící předchozí větě b) zpisujeme ve tvru f(x) dx = f(ϕ(t)) ϕ (t) dt, dosdíme-li do primitiví fukce prvé strě t = ϕ (x). 9

10 Metod per prtes Dlší metodou, které lze z jístých okolostí využít k itegrci součiu fukcí, je metod per prtes. Vět.4 Necht fukce u, v mjí derivci itervlu (, b). Existuje-li (, b) primitiví fukce k jedé z fukcí uv, u v, existuje i ke druhé z ich. Je-li F primitiví fukce k u v itervlu (, b), je uv F primitiví fukce k uv (, b). Prvidlo pro itegrci metodou per prtes zpisujeme ve tvru uv dx = uv u v dx, x (, b). Příkld. Vypočítejte: ) l x x dx, x (, ), b) x l x dx. ) Itegrová fukce je ve tvru součiu složeé fukce derivce její vitří složky, ebot pltí l x = l x = x x l x(l x), kde l x je vitří složkou složeé fukce l x. Proto k výpočtu itegrálu použijeme substitučí metodu. Volíme substituci l x = t. Dopočítáme difereciál substituce, tj. (l x) dx = t dt, tedy dx = dt. Pro všech x (, ) pk pltí x l x dx = t dt = t3 + c = l3 x + c. x 3 3 b) Použijeme metodu itegrce po částech per prtes. Pro všech x (0, ) pltí x l x dx = = u = x v = l x u = x3 v = = x3 l x x x3 x3 dx = l x + c = ( x l x 3) + c. 3 x.3 Určitý itegrál Motivčí příkld Necht f je spojitá ezáporá fukce itervlu, b echt A je moži všech bodů [x, y] v roviě R, pro ěž pltí x b, 0 y f(x). Máme určit plošý obsh P obrzce A obrázku 5. Rozdělme itervl, b dílků dělícími body = x 0 < x < < x i < x i < < x < x = b. Možiu D = {x 0, x,..., x } zýváme děleí itervlu, b. Ozčme x i, x i = x i x i velikost kždého dílku. Uvitř kždého itervlu x i, x i zvolme bod ξ i určeme f(ξ i ). Číslo σ(f, D ) = f(ξ i ) x i zýváme itegrálí součet fukce f příslušý děleí D. Leží-li body ξ i uprostřed dílků, hovoříme o středím itegrálím součtu. Pro jedoduchost předpokládejme, že dílky jsou stejě velké (obrázek 5). i= 0

11 Obrázek 4: Obsh P obrzce A Obrázek 5: Dolí horí proximce A Defiice.3 Fukci f zýváme (Riemovsky) itegrovtelou itervlu, b, jestliže existuje vlstí limit středích itegrálích součtů fukce f, tj. lim σ(f, D ) = lim f(ξ i ) x i = I, kde I R. Číslo I se zývá (Riemův) určitý itegrál fukce f itervlu, b. Zčíme ho b i= f(x) dx, kde se zývá dolí (itegrčí) mez, b horí (itegrčí) mez.

12 Vět.5 Necht fukce f(x), g(x) jsou itervlu, b spojité, m je libovolé číslo, přičemž < m < b. Pk pltí: b b cf(x) dx = c f(x) dx, c R, b (f(x) ± g(x)) dx = b f(x) dx ± b g(x) dx, m b b f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx. m Vět.6 Newto-Leibizov formule Je-li fukce f spojitá uzvřeém itervlu, b má-li tomto itervlu primitiví fukci F, pk b Příkld.3 Vypočítejte: π ) si x dx, b) 0 0 f(x) dx = [F (x)] b = F (b) F (). 0 x 3 x 4 +3 dx. π ) Využijeme předchozí formuli si x dx = [ cos x] π 0 = (cos π cos 0) =. b) Uvědomíme-li si, že čittel zlomku x 3 je ž multipliktiví kosttu derivcí jmeovtele x 4 + 3, pk jedoduchou úprvou dosteme = 4 (l 4 l 3) = 4 l x 3 x 4 +3 dx = 4 0 4x 3 x 4 +3 dx = 4 [l(x4 + 3)] 0 =

13 Litertur Zákldí MANN, P.S. Itroductory Sttistics. 6th editio. Hoboke: Wiley, 007. ISBN MOUČKA, J., RÁDL, P. Mtemtik pro studety ekoomie.. vyd. Grd 00. ISBN NEUBAUER, J., SEDLAČÍK, M., KŘÍŽ, O. Zákldy sttistiky Aplikce v techických ekoomických oborech. Grd 0.ISBN: ŘEZANKOVÁ, H. Alýz dt z dotzíkových šetřeí.. vydáí, Professiol Publishig, 00. ISBN: Doporučeá AGRESTI, A. Ctegoricl Dt Alysis. Secod Editio. Wiley 00. ISBN: ANDĚL, J. Sttisticke metody. 3. vydáí. Prh: Mtfyzpress, 003. ISBN ANDĚL, J. Zákldy mtemtické sttistiky.. vyd. Prh: Mtfyzpress, 007, 358 s. ISBN VÁGNER, M. Itegrálí počet fukcí jedé proměé.. vydáí. Bro: UO, 005,6 s. ISBN VÁGNER, M., KAŠTÁNKOVÁ, V. Poslouposti řdy.. vydáí. Bro: UO, 006. ISBN X. 3

14 Příkldy k procvičeí Poslouposti řdy. Npište { prvích } pět čleů poslouposti: ), { + 3 b) cos π }, c) {00 }.. Která z čísel 5, 50, 75, 00 jsou čley poslouposti { + }. 3. U dých posloupostí určete, + : ) 3, 9, 3 7, 4 8, 5 43, b) 4,, 0, 7, 8, 3 c),!, 5 3!, 7 4!, 9 5!. 4. Vypočítejte { limity } posloupostí: + 6 ), { 3 } e b), {( c) 4 ) }. 5. Dokžte, že čísl 5, 3, 5+ jsou tři z sebou jdoucí čley geometrické poslouposti (využijte vlstost, že pro geometrickou posloupost je pro všech N podíl + = q). 6. Ce ového zřízeí je Kč. Opotřebeím se ročě zehodotí o 0 %. Jká bude hodot zřízeí po 5 letech?. ) 4, 0, 6, 7, 3 ; b) 0,, 0,, 0; c) 98, 96, 9, 84, 68; 8. 5, 00; 3. ) = 3, + = ; b) = 3 + 3, + = 4. ) 3 ; b) ; c) e 4 ; 5. Pltí; Kč. + 4 ; c) =!, + = + ( + )! ; 4

15 Úvod do itegrálího počtu. Vypočítejte: ( ) 4x 3 + si x + ) dx, ( ) x + 4 b) x + x dx, x 3 (x ) c) dx. x 3. Metodou substituce vypočítejte: ) x 3 x + dx, x 4 b) 4 + x dx, 5 3e x c) (e x ) dx Metodou per prtes vypočítejte: ) l x dx, b) e 3x cos x dx, c) x l x dx. 4. Nlezěte v dém itervlu středí hodotu fukce použijte Větu itegrálího počtu o středí hodotě µ = b b f(x) dx: ) f(x) = x +, x, 4, b) f(x) = x e x, x 0,, c) f(x) = x l x, x,. 5. Vhodou metodou vypočítejte určité itegrály: ) b) c) e l x x dx, π x cos x dx, π x + x 3 dx. 5

16 (x x ) l x + c;. ) x 4 cos x + rctg x x + c; b) l + c; c) x. ) 3 3 (x 8 + ) 4 + c; b) 4 + x c; c) (e x ) 3 + c; 3. ) x l x x(l x ) + c; b) 0 e3x (si x + 3 cos x) + c; c) 3 x x 4. ) 8; b) e ; c) 5 l 4; 5. ) π e ; b) π 4 ; c) 4 9. ( l x ) + c; 3 6

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

{} n n = 1 1. ŘADY Posloupnosti

{} n n = 1 1. ŘADY Posloupnosti ŘADY Poloupoti Kždá fukce, jejímž defiičím oborem je moži přirozeých číel ekoečá poloupot N, e zývá Kždá fukce, jejíž defiičí obor je moži všech přirozeých číel, kde je pevě dé přirozeé čílo, e zývá koečá

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Posloupnost v matematice je řada čísel. Je přesně určeno pořadí čísel, je tedy dáno, které číslo je první, druhé atd.

Posloupnost v matematice je řada čísel. Je přesně určeno pořadí čísel, je tedy dáno, které číslo je první, druhé atd. Poloupoti Poloupot v mtemtice je ř číel. Je přeě určeo poří číel, je tey áo, které čílo je prví, ruhé t. V řě číel může le emuí být ějký ytém. Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby:. Výčet prvků:

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic. Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ Předmět: Ročík: Vytvořil: Dtum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR JÜTTNEROVÁ Název zprcového celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST Defiice: Poloupot e zývá geometrická právě tehdy, když

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

8.2.4 Užití aritmetických posloupností

8.2.4 Užití aritmetických posloupností 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

U N I V E R Z I T A P A L A C K É H O V O L O M O U C I

U N I V E R Z I T A P A L A C K É H O V O L O M O U C I U N I V E R Z I T A P A L A C K É H O V O L O M O U C I PEDAGOGICKÁ FAKULTA, KATEDRA MATEMATIKY N E K O N E Č N É Č Í S E L N É ŘADY V P Ř Í K L A D E C H Diplomová práce Autor: Lucie DVOŘÁKOVÁ Vedoucí

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

Funkční řady. 3. Kovové pásmo, napínané na obou koncích, se prověsí do řetězovky x Určete funkci s(x), x D

Funkční řady. 3. Kovové pásmo, napínané na obou koncích, se prověsí do řetězovky x Určete funkci s(x), x D Fukčí řdy. Těžké dokole ohebé epružé pásmo jehož průřez se měí tk že proti přetržeí klde stálý odpor po zvěšeí zujme tvr řetězovky stálé pevosti. Řetězovk je vyjádře rovicí ( ) = l cos >. Určete deiičí

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět ZPG Křivk. Hermitov iterpolce. Fergusoov křivk (). KŘIVKY A PLOCHY Cíl Po prostudováí této kpitol budete umět defiovt iterpolčí proximčí křivk pro dé bod defiovt ploch z dých prvků plikovt křivk ploch

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

9. Číselné posloupnosti a řady

9. Číselné posloupnosti a řady 9 548 5: Josef Herdl Číselé poslouposti řdy 9 Číselé poslouposti řdy Defiice 9 (číselá posloupost Fuce se zývá číselá posloupost : (9 Jestliže pro obor hodot R ( poslouposti pltí R ( budeme řít že posloupost

Více

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic. temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme

Více

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic Logické rovice J Bborák, Gyáziu Česká Líp, bbork@sez.cz Ev Svobodová, Krlíské gyáziu, evsvobo@gil.co Doiik Tělupil, Gyáziu Bro, dtelupil@gil.co Abstrkt Záklde šeho iiproektu e počítáí poocí Booleovy lgebry

Více

STATISTICKÁ ANALÝZA ROZDĚLENÍ EXTRÉMNÍCH HODNOT PRO CENZOROVANÁ DATA STATISTICAL ANALYSIS OF EXTREME VALUE DISTRIBUTIONS FOR CENSORED DATA

STATISTICKÁ ANALÝZA ROZDĚLENÍ EXTRÉMNÍCH HODNOT PRO CENZOROVANÁ DATA STATISTICAL ANALYSIS OF EXTREME VALUE DISTRIBUTIONS FOR CENSORED DATA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS STATISTICKÁ ANALÝZA ROZDĚLENÍ EXTRÉMNÍCH

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

Matematická analýza II

Matematická analýza II Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory Mtemtická lýz II látk z II semestru iformtiky MFF UK podle předášek Roert Šáml Zprcovli: J Ztr Štěti,

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 202 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Rozklady celých

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

a q provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0)

a q provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0) ..9 Úlohy geometickou poloupotí Předpokldy: 0, 0 Pedgogická pozámk: Při řešeí příkldů potupujeme tk, by Ti ejpomlejší počítli lepoň příkldy,,,. Souh vzoců pvidel po geometickou poloupot: + - pozávcí zmeí

Více