Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl"

Transkript

1 Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl

2 OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti 3 3 Způsoby zdáí posloupostí 4 Rekuretí určeí poslouposti 4 3 Vlstosti posloupostí 5 3 Mootóost poslouposti 5 3 Omezeost poslouposti 7 4 Mtemtická idukce 8 Aritmetické geometrické poslouposti 0 Aritmetická posloupost 0 Zákldí vlstosti ritmetické poslouposti 0 Užití ritmetické poslouposti Geometrická posloupost Zákldí vlstosti geometrické poslouposti 3 Vlstosti ritmetických geometrických posloupostí 3 Limity posloupostí ekoečé řdy 5 3 Limit poslouposti 5 3 Zvedeí pojmu 5 3 Vlstosti limit posloupostí 6 3 Aritmetické poslouposti 7 3 Geometrické poslouposti 7 33 ***Užití limit posloupostí 7 33 Výpočet čísl π 7 33 Výpočet čísl e Výpočet druhé odmociy reálých čísel 9 3 Nevlstí limit poslouposti 0 33 Nekoečá geometrická řd Text je psá pomocí ěkolik zvláštích stylů: Běžý text, odvozováí vzthů, výsledé vzthy, D EFINICE DŮ LEŽITÝCH MATEMATICKÝCH POJMŮ, ZNĚ NÍ MATEMATICKÝCH VĚ T Kometář, který probírou látku rozšiřuje, upřesňuje či doplňuje Zjedodušeá tvrzeí pro lepší pochopeí, která jsou tedy z mtemtického hledisk epřesá, le která mohou pomoci k lepšímu pochopeí probíré látky Text v ěkterých částech překrčuje běžě probírou středoškolskou látku z mtemtiky Tyto rozšiřující poztky mohou přispět k hlubšímu pochopeí látky těm žákům, kteří budou mtemtiku studovt i vysoké škole ( to eje techického změřeí) Text eprošel odborou i jzykovou korekturou Nrzíte-li chyby, prosím jejich upozorěí Předem děkuji Jroslv Reichl

3 0BPOSLOUPNOSTI A JEJICH VLASTNOSTI Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jsou speciálím přípdem fukcí, proto budeme čsto při vyšetřováí vlstostí posloupostí využívt zákldích zlostí fukcí (mootoie, limity, ) 3BPojem posloupost 3BPřipomeutí fukcí Vzhledem k tomu, že posloupost je zvláštím přípdem fukce, bylo by dobré připomeout defiici fukce F UNKCE f JE ZOBRAZENÍ LIBOVOLNÉ NEPRÁZDNÉ MNOŽINY A DO MNOŽINY REÁLNÝCH Č ÍSEL Obecě fukcí tedy může být př přiřzeí, které dému člověku přiřdí jeho výšku Člověk vybíráme z určité možiy lidí (ve třídě, ve městě, ) výšk je urče obecě reálým číslem Tkže to fukce je Speciálím přípdem pk je reálá fukce (jedé reálé proměé): R EÁLNÁ FUNKCE ( JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚ NNÉ) JE ZOBRAZENÍ Z PODMNOŽINY REÁLNÝCH Č ÍSEL DO MNOŽINY REÁLNÝCH Č ÍSEL V přípdě reálé fukce jedé reálé proměé již eí možé vybírt př z možiy lidí, předmětů, Obě možiy (jk t, z íž zobrzujeme, tk t, do které zobrzujeme) musí být podmožiou možiy reálých čísel Nyí zkusíme vykreslit ěkolik příkldů fukcí, kterých si ukážeme, jk se liší fukce od poslouposti Ilustrčí příkld: Nčrtěte pěkě grf fukce =, kde {,, 3, 4, 5, 6} f : y x x Řešeí: Grf, který je řešeím zdé úlohy, je zobrze Xobr X Grf připomíá grf fukce y = x, le v tomto přípdě je dá moži, z íž zobrzujeme, pouze výčtem prvků Proto grfem ebude spojitá křivk, jk jsme byli zvyklí v přípdě fukcí, le pouze jedotlivé body obr obr Příkld: Je dá fukce h: y = + ( ), kde Zobrzte její body do soustvy souřdic Řešeí: Grf fukce h je zobrze Xobr X Opět jsou výsledkem jedotlivé body e spojitá křivk Nvíc v tomto přípdě vykzují body grfu fukce jistou periodicitu I tkové fukce (resp poslouposti) se v mtemtice občs vyskytou 4BDefiice poslouposti Obě fukce zmíěé v odstvci XX mjí jedo společé: jejich defiičím oborem je moži přirozeých čísel ebo její část Tkové fukce se zývjí poslouposti K AŽDÁ FUNKCE, JEJÍMŽ DEFINIČ NÍM OBOREM JE MNOŽINA VŠECH P Ř IROZENÝCH Č ÍSEL, SE NAZÝVÁ NEKONEČ NÁ POSLOUPNOST Skutečě jediou odlišostí fukce poslouposti je defiičí obor U fukcí je defiičím oborem +, ) jejím grfem je spojitá křivk U posloupostí moži reálých čísel (ebo její část - př \{ 0}, je defiičím obrem moži přirozeých čísel resp její část grf tvoří jedotlivé body K AŽDÁ FUNKCE, JEJÍMŽ DEFINIČ NÍM OBOREM JE MNOŽINA VŠECH PŘ IROZENÝCH Č ÍSEL 0, KDE 0 JE PEVNĚ DANÉ Č ÍSLO Z MNOŽIY PŘ IROZENÝCH Č ÍSEL, SE NAZÝVÁ KONEČ NÁ POSLOUPNOST Koečá posloupost je tedy defiová pouze pro část přirozeých čísel Tkovou posloupost je pk možé vyjádřit výčtem prvků (viz podroběji v odstvci X3X), to v přípdě, že dá posloupost má 5, 0 3

4 Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 ebo 000 čleů Pricipiálě je tedy možé vypst všechy její čley To u ekoečé poslouposti možé eí! Bude-li ze souvislosti zřejmé, jestli se prcuje s koečou resp ekoečou posloupostí, stčí mluvit je o poslouposti Skutečost, že fukčí hodot př fukce f : y = x v bodě je rov 8, se zpisuje ve tvru f ( ) = 8 Vzhledem k tomu, že předpis f : y = x (defiový v odstvci XX) ovšem eurčuje fukci, le (koečou) posloupost (defiičím oborem je totiž moži, která tvoří část možiy přirozeých čísel), používá se jiý způsob zápisu: 8 f = čte se druhý čle poslouposti f je rove 8 Dlší rozdíl oproti fukcím je ve způsobu zápisu: tk př místo zápisu h: y = + ( ) se používá ( ) ozčeí + ( ) resp ( ) = h ; ( = ) h = + Tyto zápisy čteme: posloupost ( ) jedé do ekoeč resp posloupost h, kde probíhá od jedé do ekoeč, Obdobým způsobem je možé vyjádřit i koečou posloupost 4 + pro od + h se rová ( ) V tom přípdě by se místo zku pro ekoečo v horím idexu objevilo kokrétí mximálí 0, pro které je posloupost defiová Alogicky je možé defiovt posloupost pro přirozeá čísl zčíjící ž od určitého čísl, které je větší ež jed V právě uvedeých příkldech říkáme, že posloupost je urče vzorcem pro -tý čle Nyí uvedeme ěkteré příkldy posloupostí, by bylo zřejmé, že defiice poslouposti může být i komplikovější: ( ) ( ) ( ) = = ( b ) 3 ( ) c 4 ( ) 5 = ; = + = = ; =, kde c = pro liché ; c = pro sudé d = 3, d = 3 3,4 d =, 5 5 d, kde = { } { } 3 5BZpůsoby zdáí posloupostí Existuje ěkolik způsobů zdáí poslouposti: vzorcem pro -tý čle - viz koec odstvce XX; tbulk uspořádých hodot poslouposti - teto způsob zdáí poslouposti lze použít je pro koečé poslouposti; 3 grf uspořádých hodot poslouposti (viz př Xobr X) - opět je možé teto způsob zdáí poslouposti použít je pro koečé poslouposti; 4 rekuretí určeí poslouposti - viz odstvec XX Mezi jedotlivými způsoby zdáí poslouposti lze přecházet je tedy možé jedu tutéž posloupost vyjádřit ěkolikerým způsobem S rekuretím vyjádřeím bývá občs problém eí možé jej v ěkterých přípdech středoškolské úrovi hrdit vyjádřeím pro -tý čle Přesto je teto způsob zdáí poslouposti pro řdu (většiou speciálích) posloupostí důležitý 4BRekuretí určeí poslouposti Rekuretě určit posloupost, zmeá uvést prvích ěkolik jejích čleů potom -tý (resp ( + )-í, ( + )-hý, ) čle vyjádřit pomocí vzorce, v ěmž vystupují čley předcházející Npř: =, + = 3 + ; To tedy zmeá, že určíme tkto: = + = 3 + = 3+ = 5 Pro 3 bude pltit = = 3 + = = 6, Neí možé tedy určit rovou př 50tý čle poslouposti 3 + ( ) Abychom teto čle určili, musíme zát všech 49 předcházejících čleů ;

5 b = 3, b = 5, b+ = b b+ ; 3 c =, c =, c 3 =, ( ) + c = c + c ; Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 4 Některé rekuretí poslouposti je možé vyjádřit vzthem pro -tý čle, le e všechy Opčě, tj posloupost dou vzthem pro -tý čle vyjádřit rekuretě, to je možé vždy Itlský kupec mtemtik Leordo Pisáský (si 70 - si 50) zvý Fibocci (tj sy Bocciův ) uvádí ve své kize Liber bci (z roku 0) tuto úlohu: Kdosi umístil pár králíků místě ze všech str ohrzeém zdí, by pozl, kolik párů králíků zde bude z rok, jestliže u králíků je tomu tk, že pár králíků přivede měsíčě svět jede pár že králíci počíjí rodit ve dvou měsících svého věku S přípdy uhyutí se epočítá Prví pár králíků umístěý do ohrdy je strý právě jede měsíc Pokusme se tuto úlohu vyřešit Po vypočítáí počtu králíků v ohrdě koci prvího měsíce ( pár), druhého měsíce ( páry), třetího měsíce (3 páry) čtvrtého měsíce (5 párů), se zčíá situce komplikovt zčli bychom se ztrácet v počtu párů králíků Proto si ozčíme počet párů králíků koci ( + )-ího měsíce + N koci ( + )-ho měsíce bude v ohrdě + strých párů králíků (tj párů králíků z koce ( + )-ího měsíce), le kromě toho se ještě rodí tolik párů králíků, kolik jich bylo koci -tého měsíce Nrodí se tedy párů králíků Jik řečeo, pro počet párů koci ( + )-ho měsíce dosteme vzth + = + + () Hledý počet párů králíků koci roku proto eí možé vypočítt přímo: musíme určit všechy mezikroky, tj počty párů koci kždého měsíce Tk postupě dostáváme: =, =, 3 = 3, 4 = 5, 5 = 8, 6 = 3, 7 =, 8 = 34, 9 = 55, 0 = 89, = 44 = 33 N koci roku tedy bude v ohrdě 33 párů králíků Uvedeá posloupost, kterou je možé vyjádřit rekuretím vzthem X()X, se zývá Fibocciho posloupost Fibocciho rekuretí posloupost je možé vyjádřit tké vzthem pro -tý čle Po výpočtu, který zde ebudeme uvádět, eboť vyžduje hlubší zlosti posloupostí, získáme vzth () + = 5 Ačkoliv ve vzthu X()X vystupují ircioálí čísl, kždý čle poslouposti popsé tímto vzthem, je celočíselý odpovídá příslušému čleu Fibocciho poslouposti Fibocciho posloupost je důležitá pro teoretickou mtemtiku, kombitoriku dlší odvětví mtemtiky 3 5BVlstosti posloupostí Vzhledem k tomu, že posloupost (jk koečá, tk ekoečá) je speciálím přípdem fukce (o čemž bylo pojedáo v odstvcích XX XX), budou i vlstosti posloupostí velmi podobé vlstostem fukcí 3 6BMootóost poslouposti P OSLOUPNOST ( ) = r, s PLATÍ: JE- LI r P OSLOUPNOST ( ) = PLATÍ: JE- LI r SE NAZÝVÁ ROSTOUCÍ, PRÁVĚ TEHDY KDYŽ PRO VŠECHNA < s, PAK r < s SE NAZÝVÁ KLESAJÍCÍ, PRÁVĚ KDYŽ PRO VŠECHNA r, s < s, PAK r > s Z právě uvedeých defiicí vyplývjí i věty, které jsou užitečé pro prktické počítáí s posloupostmi V Ě TA: POSLOUPNOST ( ) JE ROSTOUCÍ, PRÁVĚ KDYŽ PRO VŠECHNA JE = < + (3) V Ě TA: POSLOUPNOST ( ) JE KLESAJÍCÍ, PRÁVĚ KDYŽ PRO VŠECHNA JE = Příkldem rostoucí poslouposti je př posloupost ( ) = 3X Posloupost ( b ) + = = > + (4) = = 3 =, jejíž grf je zobrze Xobr, jejíž grf je zobrze Xobr 4X, je příkldem klesjící poslouposti 5

6 Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 obr 3 obr 4 Poslouposti, logicky jko fukce, mohou obshovt kosttí úseky Proto je uté defiici mootoie posloupostí rozšířit P OSLOUPNOST ( ) = PLATÍ: JE- LI r < s, PAK r s P OSLOUPNOST ( ) = PLATÍ: JE- LI r SE NAZÝVÁ NEKLESAJÍCÍ, PRÁVĚ KDYŽ PRO VŠECHNA r, s SE NAZÝVÁ NEROSTOUCÍ, PRÁVĚ KDYŽ PRO VŠECHNA r, s < s, PAK r s Pro prktické počítáí jsou opět užitečější ásledující věty V Ě TA: POSLOUPNOST ( ) JE NEKLESAJÍCÍ, PRÁVĚ KDYŽ PRO VŠECHNA JE = + (5) V Ě TA: POSLOUPNOST ( ) JE NEROSTOUCÍ, PRÁVĚ KDYŽ PRO VŠECHNA JE = Příkldem eklesjící poslouposti může být př posloupost ( ) + (6) c = defiová pro {,, 3} předpisem c = pro 4 předpisem c d = defiová pro 6 předpisem d = + 3 pro 7 předpisem c = je příkldem erostoucí poslouposti Její grf je zobrze Xobr 6X =, jejíž grf je zobrze Xobr 5X Posloupost ( ) obr 5 obr 6 Neklesjící posloupost tedy může být kosttí ebo rostoucí - esmí v žádém přípdě klest! Alogicky erostoucí posloupost esmí ikdy růst - může být tedy kosttí ebo klesjící S využitím vzthů X(3)X ž X(6)X v právě uvedeých větách, které vyplývjí z uvedeých defiic, lze rozhodovt o mootoii poslouposti Zákldí úvhu ukážeme vzthu X(3)X, icméě tto úvh pltí pro osttí tři uvedeé vzthy Vzth X(3)X můžeme přepst buď do tvru + < 0 (7) ebo (pokud budeme mít jistotu, že všechy čley poslouposti jsou pro libovolé přirozeé eulové) do tvru (8) < + Budeme tedy porovávt rozdíl dvou libovolých po sobě jdoucích čleů poslouposti vzhledem k ule ebo podíl dvou libovolých po sobě jdoucích eulových čleů poslouposti vzhledem k jedičce Vzthy logické vzthům X(7)X X(8)X lze odvodit i ze vzthů X(4)X ž X(6)X 6

7 Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Důležité je, by čley ásledovly po sobě, tj jejich pořdí se lišilo o jedičku = Příkld: Zjistěte mootoii poslouposti ( ) = 6 Řešeí: Při určováí mootoie dé poslouposti vyjdeme ze vzthu X(7)X, který pltí pro rostoucí posloupost Do tohoto vzthu dosdíme tedy -tý ( + )-í čle zdé poslouposti Pltí: ( ) 7 = 6 = + + = 6 (tj všude, kde se vyskyte v zdáí poslouposti dosdíme v přípdě ( + )-ího čleu ( + ) + Můžeme tedy dosdit do vzthu X(7)X: + = 6 6 Uprvíme tk, bychom mohli rozhodout o tom, zd uvedeý vzth je větší ebo meší ež ul Dosteme tedy: = + = = Vzhledem k tomu, že z doszujeme přirozeá čísl (tj čísl větší ež 0), je zřejmé, že pltí + = < 0 To zmeá, že zdá posloupost je rostoucí, eboť její dv libovolé po sobě jdoucí čley splňují podmíku X(7)X Alogicky můžeme použít vzth X(8)X = Příkld: Zjistěte mootoii poslouposti ( b ) + = Řešeí: Nyí vyjdeme ze vzthu X(8)X, který pltí pro rostoucí posloupost Stejě jko v miulém příkldu + budeme potřebovt vyjádřeí -tého čleu ( + )-ího čleu zdé poslouposti Pltí: b = + ( + ) + b b+ = Po doszeí do vzthu X(8)X dosteme = Teto vzth uprvíme tk, bychom + b mohli rozhodout o mootoii zdé poslouposti Postupými úprvmi tedy získáme + b ( + ) = = = = + = + Vzhledem k tomu, že vybíráme b ( + ) z možiy přirozeých čísel, je zlomek vždy kldý, proto pltí + > Dospěli jsme tedy + + b k závěru = + >, tedy b > b + To zmeá, že zdá posloupost je klesjící b + + Skutečost, zd použijeme ke zjišťováí mootoie poslouposti vzth X(7)X ebo vzth X(8)X závisí tom, v jkém tvru je dá posloupost zdá Některé tvry zdáí jsou sdější úprvu pomocí rozdílu dvou po sobě jdoucích čleů, jié pomocí podílů těchto dvou čleů Dále tké pltí ásledující věty V Ě TA: K AŽDÁ ROSTOUCÍ POSLOUPNOST JE NEKLESAJÍCÍ A KAŽDÁ KLESAJÍCÍ POSLOUPNOST JE NEROSTOUCÍ P OSLOUPNOSTI, KTERÉ JSOU NEROSTOUCÍ NEBO NEKLESAJÍCÍ, SE NAZÝVAJÍ MONOTÓNNÍ POSLOUPNOSTI 3 7BOmezeost poslouposti = Stejě jko u fukcí, i u posloupostí můžeme mluvit o jejich omezeosti: P OSLOUPNOST ( ) = REÁLNÉ Č ÍSLO h TAKOVÉ, ŽE PRO VŠECHNA JE P OSLOUPNOST ( ) = REÁLNÉ Č ÍSLO d TAKOVÉ, ŽE PRO VŠECHNA JE P OSLOUPNOST ( ) = SE NAZÝVÁ SHORA OMEZENÁ, PRÁVĚ KDYŽ EXISTUJE h SE NAZÝVÁ ZDOLA OMEZENÁ, PRÁVĚ KDYŽ EXISTUJE SE NAZÝVÁ OMEZENÁ, PRÁVĚ KDYŽ JE OMEZENÁ SHORA A ZÁROVEŇ JE OMEZENÁ ZDOLA d

8 v Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Příkldem poslouposti omezeé zdol jsou poslouposti, jejichž grfy jsou zobrzeé Xobr 4X, Xobr 5X Xobr 6X odstvci X3X Příkldem omezeé poslouposti je posloupost, jejíž grf je zobrze Xobr X v odstvci XX 4 6BMtemtická idukce Mtemtická idukce je jede z typů důkzů, který se v mtemtice velmi čsto používá Zčeme ilustrčím příkldem poté vysvětlíme zákldí postup při dokzováí mtemtických tvrzeí mtemtickou idukcí Ilustrčí příkld: Uvžujme posloupost ( ), která je urče rekuretě tkto: = =, pro Určete tuto posloupost vzthem pro -tý čle 8 + = + Řešeí: Při výpočtu čleů této poslouposti vytvoříme posloupost:,,,,, N zákldě toho lze vyslovit doměku (hypotézu), že pro -tý čle zdé poslouposti pltí = S určitostí to le tvrdit emůžeme, protože ejsme schoposti doszeím do rekuretího vzthu ověřit pltost této doměky (hypotézy) pro všech přirozeá čísl Přirozeých čísel je totiž ekoečě moho, proto eí ověřeí pro všech přirozeá čísl možé Ze zlosti, že uvedeá doměk je správá př pro = 00, lze přesto už sdo (podle zdého rekuretího vzthu) dokázt, že teto vzth pltí i pro = 0 Zkusíme yí dokázt obecější tvrzeí: pltí-li uvedeý rekuretí vzth pro libovolé přirozeé číslo k, pk pltí tké pro číslo k + Předpokládáme tedy, že pltí k = Pro čle k + pk podle rekuretího vzthu k pltí: k k k+ = k= = ( k ) k ( k ) k N zákldě doszováí jsme zjistili, že vzth = pltí pro ěkolik prvích přirozeých čísel Pomocí právě dokázého tvrzeí pro libovolé přirozeé číslo k už víme, že uvedeý vzth pltí pro kždé dlší přirozeé číslo N právě uvedeém příkldu jsme se sezámili s ovým typem důkzu, který se zývá mtemtická idukce (resp důkz mtemtickou idukcí) Mtemtickou idukcí se dokzují věty typu: Pro všech V vyjdřuje vlstost přirozeých čísel, která je přirozeá čísl pltí vzth (resp tvrzeí) V ( ) Přitom ( ) vyjádře ějkou rovicí ebo erovicí Důkz mtemtickou idukcí se skládá ze dvou sebe vzujících částí (kroků): Důkz poždového tvrzeí V ( ) pro = Pro kždé přirozeé číslo k dokážeme: Jestliže pltí V ( k ), pk pltí ( ) V k + Důkz mtemtickou idukcí je podobý domiovým kostkám, které postvíme ve správých vzdáleostech od sebe do řdy poté do prví kostky v řdě cvrkeme Postupě tk spdou všechy osttí Přesě stejým způsobem fuguje důkz mtemtickou idukcí: důkz pro = je oo počátečí cvrkutí druhý krok důkzu odpovídá tomu, že když spde k-tá kostk, spde i (k + )-í kostk Prví krok důkzu je prosto ezbytý, přestože se může zdát, že je pouze formálí Je totiž utý k tomu, by bylo možé vyvolt domiový efekt, tj by byl důkz provede pro prví krok O jeho ezbytosti svědčí ásledující příkld: Příkld: Dokžte, že pro všech přirozeá pltí: Výrz ( ) V = + + je pro kždé sudý Řešeí: Vyecháím prvího kroku důkzu lze tuto větu mtemtickou idukcí dokázt sdo: Předpokládejme, že číslo V ( k) = k + k + je sudé Pk i číslo V ( k ) ( k ) ( k ) Rozpisem čísl V ( k + ) dosteme: ( ) ( ) ( ) + = je sudé V k+ = k+ + k+ + = k + k+ + k+ + Přeuspořádáme-li čley součtu dosteme: V ( k ) k k k V ( k) k V ( k) ( k ) k sudému číslu ( V ( k ) je dle předpokldu číslo sudé) číslo sudé (číslo ( ) sudé + = = + + = + + Přičteme-li k + je sudé), dosteme opět číslo Bohužel, vět uvedeá v zdáí příkldu epltí Ověříme-li prví krok mtemtické idukce, dosteme: V () = + + = 3 Prví krok je tedy velmi důležitý! Zde jsme zjistili, že pro = dostáváme číslo liché

9 Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 tedy se celý ásledující důkz provedeý mtemtickou idukcí eí pltý, eboť jeho prví krok ukázl, že tvrzeí epltí pro = Skutečost, že čísl ve tvru ( ) důkzem přímým V = + +, jsou pro kždé přirozeé lichá, lze dokázt př 9

10 jko BARITMETICKÉ A GEOMETRICKÉ POSLOUPNOSTI Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Aritmetické poslouposti (viz odstvec XX) ptří spolu s geometrickými posloupostmi (viz odstvec XX) ke zvláštím přípdům posloupostí, pro které pltí jedoduchá početí prvidl Aritmetické geometrické poslouposti umožňují též jedoduché řešeí řdy prktických úloh (př z fičí mtemtiky, ) Dříve, ež zčeme tyto poslouposti vyšetřovt, je třeb si uvědomit, že moži všech posloupostí se edělí ritmetické poslouposti (ozčeé ve schémtu Xobr 7X AP) geometrické poslouposti (ozčeé jko GP) Některé poslouposti ejsou i ritmetické i geometrické Dokoce se mohou vyskytovt poslouposti, které jsou zároveň jk ritmetické, tk geometrické Přehledé schém je Xobr 7X 7BAritmetická posloupost obr 7 8BZákldí vlstosti ritmetické poslouposti S reálými příkldy, které se djí mtemticky popst pomocí ritmetické poslouposti, se setkáváme i v prxi: - velikost rychlosti šířeí zvuku ve vzduchu je popsá rovicí v = ( 33+ 0, 6t) ms, kde t je teplot vzduchu udává ve stupích Celsi S rostoucí teplotou se tedy velikost rychlosti zvuku ve vzduchu rovoměrě zvyšuje rováí kozerv v obchodě do pyrmidy ; 3 Aritmetická posloupost je tedy zvláštím přípdem poslouposti, v íž se kždé dv její po sobě jdoucí čley liší o kosttu P OSLOUPNOST ( ) SE NAZÝVÁ ARITMETICKÁ POSLOUPNOST, PRÁVĚ KDYŽ = EXISTUJE TAKOVÉ REÁLNÉ Č ÍSLO d, ŽE PRO KAŽDÉ PŘ IROZENÉ Č ÍSLO PLATÍ: d Č ÍSLO d SE NAZÝVÁ DIFERENCE ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI : + = + (9) V ritmetické poslouposti se tedy kždé dv po sobě jdoucí čley liší o stejou kosttu - o difereci d V Ě TA: V ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI ( ) = Důkz: mtemtickou idukcí r, s : ( ) S DIFERENCÍ d PLATÍ PRO KAŽDÉ = + d (0) Tto vět tedy svzuje -tý čle ritmetické poslouposti s jejím prvím čleem V Ě TA: V ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI ( ) = ( ) S DIFERENCÍ d PLATÍ PRO VŠECHNA r = s + r s d () Důkz: vyplývá z předchozí věty Vzth X()X je zobecěím vzthu X(0)X Vzth X(0)X pltí pouze pro prví -tý čle ritmetické poslouposti, ztímco vzth X()X pltí pro libovolé dv čley (dokoce i pro přípd r = s) V řdě přípdů je důležité zát součet prvích čleů ritmetické poslouposti Proto si yí ukážeme, jk tkový součet reltivě sdo určit TJ PRO V Ě TA: P RO SOUČ ET i i= s = = PLATÍ: s PRVNÍCH Č LENŮ ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI ( ) =, 0

11 Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 () s = ( + ) Vzth X()X lze dokázt metodou, kterou předvedl (údjě) v prví třídě geiálí ěmecký mtemtik Crl Friedrich Guss ( ), ebo mtemtickou idukcí Gussov metod vychází ze skutečosti, že součet s = prvích čleů ritmetické poslouposti lze rozepst s využitím vzthu X(0)X dvěm způsoby: s = = + ( + d) + + ( + ( ) d) + ( + ( ) d) (3) s = = + d + + d d + (4) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) Jedu tu smou posloupost tedy rozepíšeme jedou popředu podruhé odzdu Ob součty jsou pochopitelě totožé Sečteím těchto vzthů X(3)X X(4)X dosteme: s = + d + + d d + + d = + d Dále ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) můžeme tedy psát s = ( + + ( ) d) = ( + ), odkud vyplývá s ( ) = +, což je hledý vzth X()X 9BUžití ritmetické poslouposti Jk už bylo uvedeo zčátku odstvce XX, s ritmetickou posloupostí (resp úlohmi, které ritmetickou posloupost vedou) je možé se setkt i v prxi K úspěšému vyřešeí zdé úlohy je třeb převést zdáí úlohy do pojmů, které byly vysvětley v souvislosti s ritmetickou posloupostí v odstvci XX 8BGeometrická posloupost 0BZákldí vlstosti geometrické poslouposti Příkldem geometrické poslouposti, s íž je možé se setkt v prxi, je jderý rozpd rdioktivího uklidu To je proces, během kterého se z určitý čs (tzv poločs přeměy) rozpde (přeměí) přesě polovi jder, která ještě v dé látce zbývjí Nyí se podíváme geometrické poslouposti ovšem obecě P OSLOUPNOST ( ) SE NAZÝVÁ GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST, PRÁVĚ KDYŽ = EXISTUJE TAKOVÉ REÁLNÉ Č ÍSLO q, ŽE PRO KAŽDÉ PŘ IROZENÉ Č ÍSLO PLATÍ: + = q (5) Č ÍSLO q SE NAZÝVÁ KVOCIENT GEOMETRICKÉ POSLOUPNOSTI Existují speciálí přípdy geometrické poslouposti: je-li = 0, pk pro kždé je = 0 ; je-li q = 0, pk pro kždé tkové, že, je = 0 V geometrické poslouposti (v íž je 0 q 0 ) je tedy podíl kždých dvou po sobě jdoucích čleů kosttí je rove kvocietu q V Ě TA: V GEOMETRICKÉ POSLOUPNOSTI ( ) = KAŽDÉ : Důkz: mtemtickou idukcí S KVOCIENTEM q PLATÍ PRO = q (6) Tto vět dává tedy ávod výpočet -tého čleu geometrické poslouposti pomocí jejího prvího čleu V Ě TA: V GEOMETRICKÉ POSLOUPNOSTI ( ) = VŠECHNA r, s : S KVOCIENTEM q PLATÍ PRO r s r = s q (7) Důkz: vyplývá z předchozí věty Vzth X(7)X je zobecěím vzthu X(6)X Vzth X(6)X pltí pouze pro prví -tý čle, ztímco vzth X(7)X pltí pro libovolé dv čley geometrické poslouposti Stejě jko u ritmetických posloupostí (viz odstvec XX), tk i u geometrických posloupostí je důležitý vzth pro součet prvích čleů geometrické poslouposti

12 TJ PRO V Ě TA: P RO SOUČ ET i i= s = = PLATÍ: JE- LI q =, PAK JE- LI q, PAK Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 s PRVNÍCH Č LENŮ GEOMETRICKÉ POSLOUPNOSTI ( ) s =, = ; (8) q s = q (9) Důkz pltosti vzthů X(8)X X(9)X můžeme provést buď mtemtickou idukcí ebo úprvou výrzu s = Pltost vzthu X(8)X pro přípd q = je zřejmý Vzhledem k tomu, že v tomto přípdě je = = =, pk skutečě s = Vzth X(9)X (tj součet prvích čleů geometrické poslouposti, pro jejíž kvociet pltí q ) můžeme dokázt logicky, jko jsme dokázli pltost vzthu X()X pro ritmetickou posloupost (viz odstvec XX) Součet prvích čleů geometrické poslouposti můžeme psát ve tvru s = = + q+ + q + q (0) Vzth X(0)X můžeme yí vyásobit kvocietem q dosteme qs = q+ q + + q-+ q = q+ q + + q + q () Odečteím vzthů X(0)X X()X dosteme s qs = + q + + q + q q q q q = q Máme tedy vzth q q s ( q) = ( q ), z ěhož po vyděleí eulovým výrzem q dosteme s = = q q A to je vzth X(9)X, jehož pltost jsme měli dokázt Výrz q je oprvdu eulový Uvžujeme totiž pouze tkové geometrické poslouposti, pro jejichž kvociet q pltí q 3 9BVlstosti ritmetických geometrických posloupostí Vlstosti ritmetických geometrických posloupostí rozebereme postupě Zčeme s ritmetickou posloupostí Ilustrčí příkld: Zobrzte grfy ritmetických posloupostí, které jsou dáy prvím čleem diferecí: ) ( ), = = 3, d =, 5 ; b) ( ) b, b = = 4, 0,5 c d = ; c) ( ) Řešeí: Grfy zdých posloupostí jsou zobrzey Xobr 8X, c = =, d = 0 ž Xobr 0X obr 8 obr 9 obr 0

13 Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Jk už bylo řečeo, je možé poslouposti vímt jko zvláští přípd fukce (viz odstvec XX) Proto je možé zákldě právě sestrojeých grfů určit omezeost mootoii uvedeých posloupostí vyslovit ásledující věty: V Ě TA: ARITMETICKÁ POSLOUPNOST S DIFERENCÍ d JE: ROSTOUCÍ PRO d > 0, KLESAJÍCÍ PRO d < 0, 3 KONSTANTNÍ PRO d = 0 V Ě TA: PRO ARITMETICKOU POSLOUPNOST S DIFERENCÍ d PLATÍ: JE- LI d > 0, PAK JE DANÁ POSLOUPNOST OMEZENÁ ZDOLA, ALE NENÍ OMEZENÁ SHORA; JE- LI d < 0, PAK JE DANÁ POSLOUPNOST OMEZENÁ SHORA, ALE NENÍ OMEZENÁ ZDOLA; 3 JE- LI d = 0, PAK JE DANÁ POSLOUPNOST OMEZENÁ ( TJ JE OMEZENÁ SHORA I ZDOLA) V přípdě, že pltí d = 0, jedá se o kosttí ritmetickou posloupost, jejíž jedotlivé čley se eměí Proto je omezeá shor i zdol tedy je omezeá Nyí se pokusíme podobé věty vypozorovt z grfů geometrických posloupostí Ilustrčí příkld: Zobrzte grfy geometrických posloupostí, které jsou dáy prvím čleem kvocietem: ) ( ), = =, q = ; b) ( b ), b = = 0,5, q = 0,5 ; c) ( c ), c = = 0,5, q = 0,5 ; d) ( d ), d = =, q =, 5 Řešeí: Grfy zdých posloupostí jsou zobrzey Xobr X ž Xobr 4X obr obr obr 3 obr 4 N zákldě uvedeých příkldů je opět možo vyslovit ásledující věty: V Ě TA: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST ( ) S KVOCIENTEM q JE: = ROSTOUCÍ, PRÁVĚ KDYŽ > 0 q > NEBO < 0 0< q <, KLESAJÍCÍ, PRÁVĚ KDYŽ > 0 0< q < NEBO < 0 q > V Ě TA: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST ( ) = S KVOCIENTEM q : > 0 q > ; JE OMEZENÁ, PRÁVĚ KDYŽ q NEBO = 0 ; JE OMEZENÁ ZDOLA, ALE NENÍ OMEZENÁ SHORA, PRÁVĚ KDYŽ 3

14 < 0 q > ; 0 q < Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 3 JE OMEZENÁ SHORA, ALE NENÍ OMEZENÁ ZDOLA, PRÁVĚ KDYŽ 4 NENÍ ANI SHORA OMEZENÁ ANI ZDOLA OMEZENÁ, PRÁVĚ KDYŽ Příkldem poslouposti, která eí omezeá i shor i zdol je př posloupost ( ), = =, q =, jejíž grf je Xobr 5X obr 5 4

15 3 BLIMITY POSLOUPNOSTÍ A NEKONEČNÉ ŘADY Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Stejě tk jko je možé vyšetřovt limitu u fukcí, je možé hovořit o limitě i u posloupostí Pomocí limity poslouposti je totiž možé rozšířit zobecit jistým způsobem pojem součtu poslouposti ekoečý počet sčítců Tk je možé dospět k defiici ekoečé řdy k defiici jejího součtu (viz odstvec X33X) 3 0BLimit poslouposti 3 BZvedeí pojmu Dříve, ež vyslovíme defiici limity poslouposti, pokusíme se zákldě grfu, ve kterém jsou zobrzey čley určité kokrétí poslouposti, ituitivě pojem limity poslouposti pochopit Ilustrčí příkld: Vypište prvích šest čleů poslouposti ( ), ( ) + = = vyzčte jejich obrzy do grfu Řešeí: Postupým doszováím lze určit: = 0, =, 3 = =, 4 =, 5 = =, 6 = Příslušý grf je Xobr 6X Z grfu ( výpočtu) je zřejmé, že se jedotlivé čley zdé poslouposti stále více blíží k číslu Jiými slovy vzdáleost obrzů jedotlivých čleů poslouposti od obrzu čísl se postupě zmešuje, čley poslouposti se od tohoto čísl stále méě liší Uvedeé vzdáleosti dého čleu poslouposti od čísl eí složité spočítt: =, =, =, 4 =, 5 8 =, 6 0 = Z právě provedeých výpočtů lze ukázt, že př pro všech přirozeá čísl 7 je < Pro -tý čle zdé poslouposti totiž pltí: ( ) + ( ) = = = Výrz ( ) bývá hodot + ebo -, proto pltí ( ) = Číslo vybíráme stále z možiy přirozeých čísel Má-li být právě určeá vzdáleost = meší ež, musí pltit: = <, odkud dostáváme < tedy > 6, tj 7 obr 6 5

16 Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Obdobým způsobem bychom mohli jít te čle, od kterého dále počítje se dlší čley liší od čísl o méě ež 00, 000, N zákldě právě uvedeého příkldu je možé vyslovit defiici pojmu limit Č ÍSLO SE NAZÝVÁ LIMITA POSLOUPNOSTI ( ) KLADNÉMU Č ÍSLU ε EXISTUJE 0 PLATÍ:, PRÁVĚ KDYŽ KE KAŽDÉMU = TAK, ŽE PRO VŠECHNA PŘ IROZENÁ Č ÍSLA 0 < ε TUTO SKUTEČ NOST ZAPISUJEME ZÁPISEM lim = () Defiici limity je možé formulovt tké tk, že místo podmíky ekvivletí: ( ε; ε ) + < ε uvedeme podmíku s í U posloupostí se edefiuje jiá limit, ež limit pro Při výpočtu limit ebo při ituitivím uhádutí limity z grfu poslouposti ás zjímá, jk se chovjí čley poslouposti pro velká, tj v prvé části grfu Levá část grfu je pro výpočet limit epodsttá! Právě defiová limit se zývá vlstí limit (tj touto limitou jsou čísl z možiy reálých čísel) Výsledkem vlstí limity tedy eí ± Podle toho, jkou limitu dá posloupost má, můžeme poslouposti dělit dvě skupiy P OSLOUPNOST ( ) = POSLOUPNOST ( ) SE NAZÝVÁ KONVERGENTNÍ POSLOUPNOST, PRÁVĚ KDYŽ = MÁ VLASTNÍ LIMITU, TJ lim P OSLOUPNOSTI, KTERÉ NEJSOU KONVERGENTNÍ, SE NAZÝVAJÍ DIVERGENTNÍ = Divergetí poslouposti mjí evlstí limitu (viz odstvec X3X) ebo jejich limit eexistuje Vlstosti limit posloupostí dále upřesňují dlší věty V Ě TA: KAŽDÁ POSLOUPNOST MÁ NEJVÝŠE JEDNU LIMITU V Ě TA: KAŽDÁ KONVERGENTNÍ POSLOUPNOST JE OMEZENÁ Pozor! Právě uvedeou větu eí možé obrátit To zmeá, že omezeá posloupost emusí být utě Tto posloupost je omezeá (její čley bývjí střídvě hodot ( ) kovergetí - př posloupost ( ) = míus jed plus jed, proto je zdá posloupost omezeá), le eí kovergetí, protože eexistuje limit defiová vzthem X()X Limit vlstě dává předstvu o tom, k jkému číslu se přibližují čley dé poslouposti v ekoeču ( ) (tj pro velká ) V přípdě poslouposti ( ) tuto předstvu edosteme - víme je, že pro velká = budou bývt čley poslouposti hodoty + ebo - A to je málo k tomu, bychom řekli, že tto posloupost má limitu (dou vzthem X()X) Podroběji je o ěkterých typech omezeých posloupostí pojedáo v úvodu odstvce X3X 3 BVlstosti limit posloupostí Následující věty umožňují určovt limity složitějších posloupostí zákldě limit posloupostí jedodušších lim V Ě TA: J ESTLIŽE POSLOUPNOSTI ( ) = = A lim b ( ± b) A PLATÍ: = A ( b ) = = b, PAK JE KONVERGENTNÍ I POSLOUPNOST: ( ) ( b) = A PLATÍ: ( ) 3 ( c ) = A PLATÍ: JSOU KONVERGENTNÍ A PŘ ITOM lim ± b = lim ± lim b = ± b; (3) lim b = lim lim b = b ; (4) 6

17 se KDE c ; 4 A PLATÍ: b = Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 lim c = clim = c, (5) ( ) Řecký mtemtik Archimedes (87 př l - př l) ukázl, že pro číslo π pltí erovost 3 < π < K tomuto závěru dospěl tk, že délku kružice porovávl s obvody prvidelých -úhelíků, 7 7 které jsou vepsáy resp opsáy dé kružici Později byl jeho původí odhd čísl π zpřesňová tím, že mtemtici volili stále větší počet str těchto mohoúhelíků Pokusme se teto postup zopkovt 7 lim lim = = b lim b b ZA PŘ EDPOKLADU, ŽE b 0 A b 0 PRO VŠECHNA Jk již bylo řečeo, zvláštím přípdem posloupostí jsou ritmetické poslouposti (viz odstvec XX) geometrické poslouposti (viz odstvec XX) Proto se podíváme z hledisk limit tyto dv druhy posloupostí (viz odstvce X3X X3X) 3 4BAritmetické poslouposti Aritmetické poslouposti s diferecí d = 0 jsou kovergetí (protože jsou kosttí), ritmetické poslouposti s diferecí d 0 ejsou omezeé, proto jsou divergetí Vyšetřováí limit ritmetických posloupostí je tedy většiou ezjímvé 3 5BGeometrické poslouposti Geometrická posloupost ( q ) =, ve které je: q >, eí omezeá, proto eí kovergetí; q =, je kovergetí (je to posloupost kosttí) její limit je ; 3 q =, je divergetí (čley poslouposti oscilují mezi - ); 4 q <, je kovergetí V Ě TA: G EOMETRICKÁ POSLOUPNOST ( ) KONVERGENTNÍ A JEJÍ LIMITA JE ROVNA 0 q = (6), PRO KTEROU JE q <, JE Tto vět je velmi důležitá pro vyšetřováí vlstostí ekoečých řd (viz odstvec X33X) V Ě TA: K AŽDÁ GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST ( ) PLATÍ q <, JE KONVERGENTNÍ A PLATÍ lim 0 =, PRO JEJÍŽ KVOCIENT q = (7) 33 3B***Užití limit posloupostí Nejprve uvedeme tři věty, které se ukáží jko velmi užitečé u dlších uváděých příkldů (viz odstvce X33X ž X0X) V Ě TA: JE-LI OMEZENÁ POSLOUPNOST MONOTÓNNÍ, PAK JE KONVERGENTNÍ Pro eklesjící resp erostoucí posloupost odtud plye: V Ě TA: J E-LI POSLOUPNOST NEKLESAJÍCÍ A PŘ ITOM SHORA OMEZENÁ, PAK JE KONVERGENTNÍ V Ě TA: J E-LI POSLOUPNOST NEROSTOUCÍ A PŘ ITOM ZDOLA OMEZENÁ, PAK JE KONVERGENTNÍ V odstvcích X33X ž X0X budeme zbývt výpočtem ěkterých ircioálích čísel Jejich výpočet je zlože ásledující větě: V Ě TA: P RO KAŽDÉ REÁLNÉ Č ÍSLO r EXISTUJE NEKLESAJÍCÍ POSLOUPNOST RACIONÁLNÍCH Č ÍSEL ( ) = TAK, ŽE PLATÍ 33 6BVýpočet čísl π A NEROSTOUCÍ POSLOUPNOST RACIONÁLNÍCH Č ÍSEL ( ) b = lim = lim b = r (8)

18 Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 posloupost Uvžujme kružici o jedotkovém poloměru, jejíž obvod tedy je π Ozčme ( o ) = obvodů prvidelých -úhelíků vepsých do kružice ( ) posloupost prvidelých -úhelíků o = opsých kružici Z geometrického pohledu situci je zřejmé, že posloupost ( o ) je rostoucí omezeá = (je omezeá obvodem kružice) posloupost ( ) je klesjící omezeá (omezeá je opět obvodem o = kružice) Obě jsou mootóí omezeé, tedy kovergetí Je možé ukázt, že pro kždé pltí: o < π < o (9) víc lim o = π = lim o (30) Nyí vyjádříme -tý čle obou posloupostí ( ) o = o zákldě Xobr 7X, kterém je = zázorě jed str prvidelého -úhelík vepsého do kružice i jed str prvidelého -úhelík opsého kružici Prvidelý -úhelík je možé rozdělit rovormeých trojúhelíků, jejichž úhel proti zákldě (tj proti strě uvžového -úhelík) má velikost 360 Pro dlší odvozeí budou důležité prvoúhlé trojúhelíky APS CQS, které jsou vytvořey spuštěím výšky z bodu S stru AB resp CD Úhel při vrcholu S má v obou trojúhelících velikost = ( ) Vzhledem k tomu, že chceme tímto výpočtem získt hodotu kostty π, eí možé vyjdřovt úhly v míře obloukové, tj v ásobcích π Tuto kosttu totiž máme určit bylo by mtemticky esmyslé chtít jí určit pomocí sm sebe Proto je uté hodoty úhlů vyjdřovt ve stupích obr 7 80 V prvoúhlém trojúhelíku APS pltí: si = = Odtud pro délku stry -úhelík vepsého 80 do kružice dostáváme = si pro obvod uvžového vepsého -úhelík pk pltí 80 (3) o = si 80 V prvoúhlém trojúhelíku CQS pltí: tg = = Odtud pro délku stry -úhelík opsého 80 kružici dostáváme = tg pro obvod uvžového opsého -úhelík pk pltí 80 (3) o = tg Dosdíme-li yí vzthy X(3)X X(3)X do vzthu X(9)X, dosteme: si < π < tg, odkud po vyděleím soustvy erovic číslem dosteme si π tg (33) < < Alogicky můžeme dosdit tké vzthy X(3)X X(3)X do vzthu X(30)X dosteme lim si = π = lim tg Tyto vzthy můžeme dále postupě uprvit Nejdříve podle vzthu 8

19 Poslouposti, Jroslv Reichl, X(5)X vytkeme z limit kosttu dosteme lim si = π = lim tg Po vyděleí touto kosttou získáme vzth lim si = π = lim tg (34) Postupým doszováím z je možé určit π libovolý počet desetiých míst Npř pro = 0000 dostáváme π = 3,459, tj s přesostí pět desetiých míst V součsé době se přesé výpočty čísl π provádějí výkoých počítčích pomocí ekoečých řd (viz odstvec X33X), které byly pro te účel odvozey 33 7BVýpočet čísl e S Eulerovým číslem e jsme se již setkli v učivu o expoeciálích fukcích přirozeých logritmech Toto ircioálí číslo, které hrje důležitou roli při řešeí řdy plikčích úloh v přírodích vědách techice, lze defiovt tké pomocí limit poslouposti = =, 5 poslouposti: b = 4 b = 3, 375 Uvžujme posloupost ( ), = = + Určíme yí prvích ěkolik čleů této poslouposti: 3 =, =, =, =, =, =, 7845 Je možé ukázt, že posloupost ( ) je rostoucí omezeá, je tedy i kovergetí Pltí: = Dále je možé uvžovt posloupost ( ) b 3 = 3,60494 b 4 = 3, (35) lim e = + b +, b = = + Určíme yí prvích ěkolik čleů této b 0 =,8537 b 00 =, 7386 b 000 =, 7964 b 0000 =, 7848 Je možé ukázt, že posloupost ( b ) je klesjící omezeá, je tedy i kovergetí A dále pltí = e = lim + N zákldě limit X(35)X X(36)X tedy pro všech tedy pltí + < e < + + lim + = e = lim + + +, proto Právě uvedeý výpočet čísl e koverguje k přesé hodotě e pomleji, ež výpočet čísl π uvedeý v odstvci X33X 333 8BVýpočet druhé odmociy reálých čísel Chceme-li vypočítt druhou odmociu z kldého reálého čísl, zvolíme ejprve kldé číslo x, jehož druhá moci je větší ež Pk je x větší ež číslo je meší ež Tj pltí x Pro číslo x tedy pltí x > Z toho plye, že x (36) (37) x x < < (38) > (čísl i x jsou kldá, proto eí uté psát ikde bsolutí hodotu) Vydělíme-li číslo číslem x, které je větší ež, dosteme číslo meší ež Pltí totiž: = - když budeme dělit číslem větším, ež je, získáme číslo meší ež x = Uvžujme dále posloupost ( ), která je dá rekuretě tkto: 9

20 x + = + x x O poslouposti defiové vzthem X(39)X lze dokázt, že pltí: pro kždé je x x < < ; poslouposti x = posloupost ( ) 3 posloupost ( ) 4 posloupost ( ) x = x = je klesjící; je omezeá; je kovergetí x = Skutečost, že je posloupost ( ) Poslouposti ( ) ( ) = x x + = Posloupost ( ) x + = Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 (39) kovergetí vyplývá z předchozích dvou vlstostí této mjí stejou limitu, kterou ozčíme c pro kterou pltí lim x = lim x = c (40) se od poslouposti ( ) + x = liší pouze přečíslováím svých čleů o jedičku A vzhledem k tomu, že pro výpočet limity poslouposti je důležité chováí čleů poslouposti pro hodě velká, je zřejmé, že poslouposti ( ) ( ) = x x + = mjí stejou limitu Uvědomíme-li si, že pro hodě velká přirozeá čísl můžeme místo x x + doszovt c (jk vyplývá z limit X(40)X), můžeme defiičí vzth X(39)X poslouposti ( x ) psát ve tvru c = c = + Teto vzth c můžeme dále uprvit Vyásobeím dvěm dosteme c = + c Převedeím c levou stru získáme c = c c po vyásobeí eulovým c dosteme c =, tedy c = (4) Porováím vzthů X(40)X X(4)X zjistíme, že limitou posloupostí ( ) ( ) = jsme chtěli určit x x + = je číslo, které Při přibližém výpočtu druhé odmociy z čísl tedy stčí zvolit z prví čle poslouposti ( ) x = dé rekuretě vzthem X(39)X libovolé kldé číslo x, jehož druhá moci je větší ež Poté je možé již dopočítávt dlší čley pomocí vzthu X(39)X, které budou velmi rychle kovergovt ke hledému číslu Velmi rychle kovergovt zmeá, že se dé čley budou rychle blížit k hledé odmociě Tj čley vypočítávé poslouposti se rychle přestou prvích desetiých místech z desetiou čárkou měit Měit se budou číslice místě tisíci, desetitisíci, stotisíci, - podle toho, s jkou přesostí dou odmociu budeme chtít určit 3 BNevlstí limit poslouposti Pojem evlstí limity poslouposti vysvětlíme ilustrčím příkldu Ilustrčí příkld: Uvžujme posloupost ( ), = Zjistěte, pro která přirozeá čísl je = > 00 Řešeí: Podle zdáí je třeb vyřešit erovici: > 00 pro Exktí řešeí této erovice získáme zlogritmováím dekdickým logritmem, čím dosteme erovici ve tvru log > log00 Levou stru erovice uprvíme podle prvidel pro počítáí s logritmy, prvé strě vypočteme Získáme tk erovici log >, z íž již vyjádříme > 6,64 Řešeím této erovice je tedy kždé přirozeé číslo 7 log Nerovici > 00 můžeme řešit rychleji odhdem Uvědomíme-li si, že 6 = 64 7 = 8, je zřejmé, že erovice > 00 je splě pro 7 Uvedeá posloupost má tu vlstost, že bychom podobým způsobem mohli hledt čley poslouposti, 6 které jsou větší ež 000, 0, zkrátk větší ež jkékoliv reálé číslo, v kždém přípdě bychom šli přirozeé, od kterého dále jsou čley poslouposti vyšší ež zdé číslo 0

21 Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Alogickým postupem bychom mohli vyšetřovt př i posloupost ( b ), b = = 4 0,5 zkoumt, 9 kdy jsou její čley meší ež -00, 0, N zákldě právě uvedeých příkldů zákldě toho, že poslouposti jsou zvláštími přípdy fukcí, je možé zvést pojem evlstí limit poslouposti: Ř ÍKÁME, ŽE POSLOUPNOST ( ) = MÁ NEVLASTNÍ LIMITU PLUS NEKONEČ NO, PRÁVĚ KDYŽ PRO KAŽDÉ REÁLNÉ Č ÍSLO K EXISTUJE 0 TAKOVÉ, ŽE PRO VŠECHNA > K TUTO SKUTEČ NOST ZAPISUJEME ZÁPISEM P Ř IROZENÁ Č ÍSLA 0 JE lim = (4) Alogicky můžeme zvést evlstí limitu, která je rov Ř ÍKÁME, ŽE POSLOUPNOST ( ) = MÁ NEVLASTNÍ LIMITU MÍNUS NEKONEČ NO, PRÁVĚ KDYŽ PRO KAŽDÉ REÁLNÉ Č ÍSLO L EXISTUJE 0 TAKOVÉ, ŽE PRO VŠECHNA < L TUTO SKUTEČ NOST ZAPISUJEME ZÁPISEM P Ř IROZENÁ Č ÍSLA 0 JE lim = (43) Poslouposti, které mjí evlstí limitu jsou divergetí poslouposti Pro kždou posloupost ( ) stává právě jede z ásledujících přípdů: = posloupost je kovergetí její limitou je reálé číslo, tj pltí lim = ; posloupost je divergetí má evlstí limitu, tj pltí lim = ; 3 posloupost je divergetí má evlstí limitu, tj pltí lim = ; 4 posloupost je divergetí přitom emá i evlstí limitu i evlstí limitu ( ) Příkldem tkové poslouposti je př ( ) =, která stále měí zmék přitom její čley v bsolutí hodotě rostou Limitu le emá, protože pro velká evíme, jestli bude hodot dého čleu kldá ebo záporá 33 BNekoečá geometrická řd Pojem ekoečá řd velmi úzce souvisí s geometrickou posloupostí (viz odstvec XX) Ilustrčí příkld: Uvžujme geometrickou posloupost ( ), = = Vytvoříme yí dlší posloupost Půjde tedy o tk, by pro kždé byl její -tý čle rove součtu prvích čleů poslouposti ( ) posloupost ( ) s, s = = Určete limitu této poslouposti = Řešeí: Vypočítejme yí prvích ěkolik čleů této poslouposti (s využitím toho, že posloupost ( ) je = geometrická posloupost, což lze sdo dokázt): s =, s =, s 3 =, s 4 =, s 5 =, s 6 =, s 7 =, Zdá se, že limit poslouposti ( ) 64 s je číslo To se dá dokázt pomocí vět o počítáí s = limitmi (viz odstvec X3X) Pro součet prvích čleů uvžové geometrické poslouposti ( ) = vzth X(9)X ve tvru q s = q postupými úprvmi získáme výsledý vzth: Po doszeí prmetrů poslouposti ( ) = s = = dosteme s pltí =

22 s = Hledou limitu uvžové poslouposti ( ) lim = lim = lim = ( 0 ) = s Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 tedy můžeme psát ve tvru Nyí můžeme vyslovit větu, která zobecňuje to, co jsme vypočítli v miulém kokrétím příkldě V Ě TA: J E-LI ( ) = q <, PAK POSLOUPNOST ( ) GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST, PRO JEJÍŽ KVOCIENT q PLATÍ s, s = = JE KONVERGENTNÍ A PŘ ITOM PLATÍ lim s = q Důkz: Právě uvedeou větu je možé dokázt rozepsáím posloupostí ( ) ( ) = q lim = lim s q s = (44) vypočteím limity Důkz bude probíht stejě jko ilustrčí příkld tohoto odstvci, je budeme uvžovt obecé s = poslouposti ( ) ( ) = V úvodu tohoto odstvce jsme řešili úlohu, kdy jsme od zdé poslouposti ( ) = poslouposti ( s ), kde s = = (jde tedy o součet prvích čleů poslouposti ( ) zkoumli jsme, zd je ově vytvořeá posloupost ( ) součtu ekoečé řdy s = přešli k = ), kovergetí V tomto přípdě hovoříme o určováí N EKONEČ NOU Ř ADOU SE NAZÝVÁ SYMBOL = = Nekoečou řdou se v mtemtice oprvdu zývá právě uvedeý součet Nekoečou řdou eí žádé číslo, fukce, je to prostě součet ekoečě moh čleů ějké poslouposti Nekoečá řd, která je zpsá ve formě právě uvedeého součtu, epředstvuje ve skutečosti příkld sčítáí, le příkld hledáí limity Neí totiž možé sečíst ekoečě moho sčítců Mohou stt dv přípdy: Posloupost ( s ) je kovergetí, pk říkáme, že ekoečá řd = X(45)X je kovergetí Limitu X(44)X ozčujeme symbolem s zýváme jí součet ekoečé řdy, přičemž tuto skutečost zpisujeme zápisem = s Posloupost ( ) = Je-li posloupost ( ) = s = je divergetí, pk říkáme, že ekoečá řd X(45)X je divergetí (45) geometrická její kvociet je q, zýváme příslušou ekoečou řdu X(45)X ekoečá geometrická řd s kvocietem q Z výše uvedeého vyplývá tto vět: V Ě TA: N EKONEČ NÁ GEOMETRICKÁ Ř ADA, PRO KTEROU JE 0, JE KONVERGENTNÍ, PRÁVĚ KDYŽ PRO JEJÍ KVOCIENT q PLATÍ q < V TOM PŘ ÍPADĚ PRO JEJÍ SOUČ ET PLATÍ s = q Teto vzth je velmi podobý vzthu pro součet prvích čleů geometrické poslouposti, le chybí v ěm čle q To je dáo tím, že uvžujeme NEKONEČNOU geometrickou řdu, pro jejíž kvociet q pltí q < A číslo meší ež jed umocěé velmi velké číslo je rovo skoro ule (je to mličké číslo ležící číselé ose v blízkosti uly) Pomocí ekoečé geometrické řdy můžeme řešit i určitý typ rovic (46)

23 4x 3 Příkld: Řešte v možiě reálých čísel rovici = x 3x 4 = Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Řešeí: Levou stru rovice ze zdáí si přepíšeme tk, bychom měli předstvu o jedotlivých čleech 0 4 ekoečé řdy: = = Ačkoliv je z tohoto zápisu jsě vidět, x x x x x = x čemu je rove kvociet dé geometrické poslouposti, je mtemticky korektější ho vyjádřit pomocí -tého ( + )-ího čleu geometrické poslouposti Ze zdáí úlohy je zřejmé, že = Z toho vyplývá, že x + = x Pro kvociet q geometrické poslouposti pltí + q = Po doszeí tedy dosteme: x q = = = x x x To je zřejmé i z rozpisu levé stry zdé rovice: kždý dlší čle je rove miulému čleu vyásobeému zlomkem Ale právě provedeé odvozeí je mtemticky korektější x Nyí si uvědomíme, že ekoečá geometrická posloupost je kovergetí (tj má součet vyjádřeý reálým číslem), pokud pro její kvociet q pltí q < To zmeá, že e pro všech reálá x bude mít ekoečá geometrická řd ze zdáí úlohy defiový součet T reálá x, pro které existuje reálý součet (tj zdá posloupost je kovergetí) musí splňovt podmíku x < Tuto erovici postupě vyřešíme: x < tedy x > To zmeá, že pouze pro x ( ; ) ( ; ) má ekoečá geometrická řd součet tedy pouze tomto itervlu můžeme řešit dou rovici Pro součet ekoečé geometrické řdy, jejíž prví čle je q = tedy dostáváme: x x s = = = = Nyí už můžeme řešit zdou rovici: q x x x x = 4x 3 = x 3x 4 x 4x 3 = x 3x 4 3x 4x = 4x 3x 8x+ 6 x 7x+ 6= 0 ( x )( x ) 6 = 0 Dostáváme tedy dv kořey to x = x = 6 4 Nyí je uté určit defiičí obor dé rovice Ze zdáí je zřejmé, že musí být x 0 zároveň x 3 Součsě le musíme vzít v úvhu podmíku, která zručí, že zdá ekoečá řd bude kovergetí, tj x ; ; podmíku ( ) ( ) Nyí již můžeme vyslovit závěr: O =, D = ( ; ) ( ; ) { 6} P = 3

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x)

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x) 9 REGRESE A KORELACE Slovo regrese oecě zmeá poh zpět ústup ávrt regresví = ustupující Opčým termíem je progrese pokrok postup šířeí růst Pojem regrese l do sttstk zvede kocem 9 století rtským učecem Frcsem

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická ZÁVĚREČNÁ PRÁCE

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická ZÁVĚREČNÁ PRÁCE TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fkult příodovědě-humití pedgogická ZÁVĚREČNÁ PRÁCE LIBEREC 0 Mg. JAROMÍR OSČÁDAL Techická uivezit v Lieci Fkult příodovědě-humití pedgogická Egyptské zlomky Závěečá páce

Více

Univerzita Karlova Přírodovědecká fakulta Katedra analytické chemie

Univerzita Karlova Přírodovědecká fakulta Katedra analytické chemie Uivezit ov Příodovědecká fkut ted ytické chemie Sttitické vyhodoceí výedků Picip: Výedky opkových zkoušek, kteé jou ztížey áhodými chybmi, mjí učité ozděeí (ditibuci). Rozděeím e zde ozumí záviot pvděpodoboti

Více

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013,

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, EVROPSKÁ KOMISE V Bruselu dne 30.4.2013 C(2013) 2420 finl NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, kterým se mění nřízení (ES) č. 809/2004, pokud jde o poždvky n zveřejňování

Více

Regulace f v propojených soustavách

Regulace f v propojených soustavách Regulce f v propojených soustvách Zopkování principu primární sekundární regulce f v izolovné soustvě si ukážeme obr.,kde je znázorněn S Slovenské Republiky. Modře jsou vyznčeny bloky, které jsou zřzeny

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky ..7 Příkldy řešené pomocí ět pro trojúhelníky Předpokldy:, 6 Pedgogická poznámk: U následujících příkldů ( u mnoh dlších příkldů z geometrie) pltí, že nedílnou součástí řešení je nápd (který se tké nemusí

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

Virtuální svět genetiky 1

Virtuální svět genetiky 1 Chromozomy obshují mnoho genů pokud nejsou rozděleny crossing-overem, pk lely přítomné n mnoh lokusech kždého homologního chromozomu segregují jko jednotk během gmetogeneze. Rekombinntní gmety jsou důsledkem

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod PODKLDY K SEMINÁŘŮM ŘEŠENÉ PŘÍKLDY SEMINÁŘ I eorie bsolutních komprtivních výhod Zákldní principy teorie komprtivních výhod eorie komprtivních výhod ve své klsické podobě odvozuje motivci k obchodu z rozdílných

Více

Úvod do analýzy časových řad

Úvod do analýzy časových řad VŠB TU OSTRAVA, FEI, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY Úvod do lýz čsových řd [Zdeje podiul dokueu.] Mri Lischová Popis čsových řd Čsová řd je uerická proěá, jejíž hodo podsě závisí čse, v ěž bl získá (posloupos

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ Brnislv Lcko VUT v Brně, Fkult strojního inženýrství, Ústv utomtizce informtiky, Technická 2, 616 69 Brno, lcko@ui.fme.vutbr.cz Abstrkt Příspěvek podává

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

II. termodynamický zákon a entropie

II. termodynamický zákon a entropie Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe

Více

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá

Více

Úvod do teorie dělitelnosti

Úvod do teorie dělitelnosti Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ

Více