8.3.1 Pojem limita posloupnosti

Transkript

1 .3. Pojem limit poslouposti Předpokldy: 30, 0 Pedgogická pozámk: Limit poslouposti eí pro studety sdo strvitelým pojmem. Hlvím problémem je podle mých zkušeostí edorozuměí s tím, zd mezi posloupostí její limitou zůstává dír ebo e. Příčiou toho všeho je zřejmě špté pochopeí pojmu ekoeč, kdy část studetů vímá ekoečo jko ějké obrovské, ejvětší, le přesto v podsttě ormálí číslo. Proto je prví poloviu hodiy zřzeo opkováí o ekoeču z prvího ročíku. Vzpomíky ekoečo: Problém: Jk určit počet prvků u ekoečých moži? Řešeí (částečé): Pospojujeme prvky možiy A s prvky možiy B vzájemě jedozčě (Kždý prvek A má právě jede prvek možiy B obráceě. Alogie vytvářeí párů při tci. V kždé dvojici je právě jede kluk právě jed holk). Pokud i v jedé možiě ezůste žádý prvek bez prter z druhé možiy, je počet prvků v obou možiách stejý. (Jkmile tečích proběhe volek utvoří se páry, hed vidíme, jestli bylo stejě kluků holek.) Tk budeme moci porovávt ekoečé možiy mezi sebou. Př. : Porovej počet přirozeých sudých přirozeých čísel. N prví pohled to vypdá, že přirozeých je dvkrát víc (polovi čísel u sudých chybí). Omyl. přirozeá čísl:,, 3,, 5,, 7,... sudá čísl:,,,, 0,... Žádé číslo ezbylo ocet sudých čísel je stejý počet jko čísel přirozeých. Vypdá to velmi divě. Může z to ekoečo: Nekoečě eí ějké obyčejé je ejvětší číslo, le je to ěco úplě jiého. Řd přirozeých čísel emá posledí čle, z kždým číslem bezprostředě ásleduje dlší o jedo větší. Pokud chceme přemýšlet o ekoeču musíme být optrí vzdát se ěkterých předstv souvisejících s koečými čísly. Hilbertův hotel Je hotel s ekoečě moho jedolůžkovými pokoji. Pokoje jsou očíslováy přirozeými čísly. Hotel je plě obsze, v kždém pokoji je jede host. N recepci se doství tři turisté chtějí se tké ubytovt. Je možé jim poskytout ubytováí, iž bychom ěkoho z ubytových vystěhovli pryč z hotelu? Ao, všichi ubytoví opustí svůj pokoj stěhují se do pokoje s číslem o 3 větším pokoje,, 3 jsou volé je možé do ich ubytovt dlší zájemce. Stejým způsobem je možé ubytovt kždý koečý počet turistů.

2 Je možé v obszeém hotelu ubytovt ekoečě moho turistů? Stčí, by se všichi přestěhovli pokoj jeho číslo je dvkrát větší. Všechy liché pokoje zůstou volé. Když k ekoeču přičteme koečé číslo (libovolě velké), ekoečo se ezměí. Když půjdeme po ekoečé přímce, v jkékoliv vzdáleosti od počátku své cesty budeme od cíle pořád stejě dleko, pořád ám bude scházet ekoečě velká vzdáleost, i když od strtu budeme dál. Předstvu o situci v ekoeču ezískáme tím, že si předstvíme situci pro ějké hodě velké číslo, le spíše tím, že budeme zkoumt, jk se situce měí k čemu směřuje, když se čísl postupě zvětšují tím se blíží k ekoeču. Po vzpomíkách dávou, vzpomíky edávou miulost: Když jsme rozhodovli o omezeosti posloupostí, zjistili jsme, že čley ěkterých posloupostí (příkld = k ějkým číslům (čley poslouposti ) se pro eustále se zvětšující čím dál více blíží = se eustále přibližovly číslu ). Př. : Je dá posloupost +. Odhdi, ke kterému číslu se blíží její čley, když se blíží k ekoeču. Nkresli grf této poslouposti pro ; ;3; ;5;;7;;9;0. { } Při zvětšováí hodoty ve výrzu pro čle poslouposti se sižuje vliv osttích čleů ve výrzu + se zvětšuje jmeovtel zlomku výrz se postupě přibližuje výrzu 0 + = čley poslouposti se blíží k číslu. Prvích deset čleů poslouposti: ;;3; ; ; ; ; ; ; 3 Grf poslouposti: Žádý z čleů poslouposti + se erová, přesto hrje číslo pro čley poslouposti důležitou roli, jko číslo, ke kterému čleu poslouposti směřují ( blíží se k ěmu ). Tkovému číslu se říká limit poslouposti. Poslouposti, která má limitu, říkáme kovergetí posloupost. Rozhodě ejsme hotoví:

3 Nevíme, jk vyjádřit směřují, blíží se k mtemticky jedozčě Nemohli bychom říct, že posloupost + = se blíží i k jiému číslu ež, třeb ke? Z obrázku je vidět, že čley poslouposti se sice blíží i k, le jik ež ke. k se čley sice blíží, le mezi posloupostí číslem zůstává volé místo (čísel, ke kterým se posloupost blíží jko se blíží k je ekoečě moho, jde příkld o všech záporá čísl) k se čley poslouposti blíží tk, že mezi posloupostí číslem žádé místo ezůstává tímto způsobem se posloupost blíží pouze k číslu. Co mtemticky zmeá, že mezi posloupostí číslem eí žádé místo? Dokreslíme do obrázku vzdáleosti mezi čley poslouposti číslem : vzdáleost čleů poslouposti od se eustále zmešuje blíží se k ule ještě musíme zjistit, by se tred přibližováí ezměil musí existovt čle tkový, že všechy ásledující čley poslouposti budou k blíže ež o (to eí problém ší kokrétí poslouposti) přibližováí můžeme grficky zázorit pomocí pásu kreslíme-li si kolem dvojky libovolě široký pás, vždy jedeme tkové, že všechy čley poslouposti z ím, už jsou uvitř pásu pro pás o šířce je tkovým (čle 3 je od vzdále o, dlší čley jsou blíže) 3

4 pro pás o šířce 0,5 je tkovým (čle 5 je od vzdále o 0,5, dlší čley jsou blíže) Teď už můžeme zformulovt defiici: = Říkáme, že posloupost ( ) tkové, že pltí: Ke kždému ε > 0 existuje 0 N čísl 0 je ε Skutečost, že posloupost ( ) je kovergetí, právě když existuje číslo R tk, že pro všech přirozeá <. Číslu říkáme limit poslouposti ( ) =. má limitu, píšeme lim = = (čteme: limit pro jdoucí k ekoeču je rov, stručěji limit je. Kokrétě v šem přípdě: lim + =. Poslouposti, které ejsou kovergetí se zývjí divergetí. Př. 3: Podívej se obrázek grfu poslouposti s vyzčeých širším pásem sepiš kokrétí hodoty všech čísel zmiňových v defiici kovergetí poslouposti. ( ) = + předpis poslouposti hodot limity, ke které se blíží čley poslouposti ε vzdáleost od limity, polovi šířky pásu 0 všechy čley poslouposti z (včetě) idex prvího čleu poslouposti, který je dosttečě blízko (uvitř pásu) čley poslouposti, které mjí splňují podmíku vzdáleosti od limity Pedgogická pozámk: Je velmi mlá část studetů dokáže vyřešit předchozí příkld zcel smosttě. Nemá tedy ceu příliš dlouho čekt s pomocí. U ásledujícího příkldu je situce již podsttě lepší. Př. : Podívej se obrázek grfu poslouposti s vyzčeých užším pásem sepiš kokrétí hodoty všech čísel zmiňových v defiici kovergetí poslouposti.

5 ( ) = + předpis poslouposti hodot limity, ke které se blíží čley poslouposti ε 0,5 vzdáleost od limity, polovi šířky pásu 0 všechy čley poslouposti z (včetě) idex prvího čleu poslouposti, který je dosttečě blízko (uvitř pásu) čley poslouposti, které mjí splňují podmíku vzdáleosti od limity Dlší možosti jk defiovt limitu poslouposti: Říkáme, že posloupost ( ) = tkové, že pltí: Ke kždému ε > 0 existuje 0 N čísl 0 je kovergetí, právě když existuje číslo R tk, že pro všech přirozeá je ( ε; + ε ). Číslu říkáme limit poslouposti ( ) =. Stejá defiice jko předchozí, mimo posledích slov. V této defiici se ezbýváme vzdáleostí čleu od limity, le tím, že áleží do itervlu ( ε; + ε ) (itervl čísel, která jsou od limity vzdále méě ež ε ). Shrutí: Mezi posloupostí její limitou ezůstává žádé volé místo. 5