OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek"

Transkript

1 OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Jaroslav Hačl, CSc. Ja Šustek OSTRAVA 00

2 0. ÚVOD 0.. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH Průvodce studiem vstup autora do tetu, specifický způsob kterým se studetem komuikuje, povzbuzuje jej, doplňuje tet o další iformace. Příklad objasěí ebo kokretizováí problematiky a příkladu ze života, z prae, ze společeské reality apod. Pojmy k zapamatováí Shrutí shrutí předcházející látky, shrutí kapitoly. Literatura použitá ve studijím materiálu, pro doplěí a rozšířeí pozatků. Kotrolí otázky a úkoly prověřují, do jaké míry studující tet a problematiku pochopil, zapamatoval si podstaté a důležité iformace a zdaje dokáže aplikovat při řešeí problémů. Úkoly k tetu - je potřeba je split eprodleě, ebot' pomáhají dobrému zvládutí ásledující látky. Korespodečí úkoly - při jejich plěí postupuje studující podle pokyů s otou dávkou vlastí iiciativy. Úkoly se průběžě evidují a hodotí v průběhu celého kurzu. Úkoly k zamyšleí Část pro zájemce přiáší látku a úkoly rozšiřující úroveň základího kurzu. Pasáže i úkoly jsou dobrovolé. Testy a otázky ke kterým řešeí, odpovědi a výsledky studující ajdou v rámci studijí opory. Řešeí a odpovědi vážou se a kokrétí úkoly, zadáí a testy. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH

3 0.. INFORMACE O PŘEDMĚTU Základím cílem předmětu je vyrováí estejých zalostí matematické aalýzy získaých a středí škole. Po prostudováí tetu budete umět určit, zda je fukce spojitá; vypočítat vlastí i evlastí ity fukcí; určit derivaci fukce; s pomocí základích vlastostí fukce přibližě akreslit její graf; aproimovat fukci polyomem; vypočítat ity posloupostí; ajít hromadé body a hromadé hodoty posloupostí. Čas potřebý k prostudováí tetu: 5 hodi příklady 5 hodi Použitá a doporučeá literatura [] Has-Joche Bartsch. Matematické vzorce. Mladá frota, Praha, 000. [] Boris Pavlovič Děmidovič. Sborik zadač i upražeij po matematičeskomu aalizu. Nauka, Moskva, 977. [] Jaroslav Hačl. Matematická aalýza. Ostravská uiverzita, 998. [4] Dag Hrubý, Josef Kubát. Difereciálí a itegrálí počet. Prometheus, Praha, 997 [5] Vojtěch Jarík. Difereciálí počet I. Academia, Praha, 984. [6] Vojtěch Jarík. Difereciálí počet II. Academia, Praha, 976. [7] Lev Dmitrievič Kudrjavcev a kol. Sborik zadač po matematičeskomu aalizu, Predel, Nepreryvosť, Differeciruemosť. Nauka, Moskva, 984. [8] Oldřich Odvárko. Fukce. Prometheus, Praha, 994. [9] Oldřich Odvárko. Poslouposti a řady. Prometheus, Praha, 996. [0] O. Botlík, D. Souček. Kalibro test MATEMATICKÁ ANALÝZA

4 0.. OBSAH 0. ÚVOD 0.. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH 0.. INFORMACE O PŘEDMĚTU 0.. OBSAH. FUNKCE 5.. TEORETICKÉ ZÁKLADY 5... Pojem fukce 6... Základí vlastosti fukcí 8... Základí operace s fukcemi.. ALGEBRAICKÉ FUNKCE 0... Trasformace grafu... Lieárí fukce 4... Kvadratické fukce Lieárí lomeá fukce Další fukce 9. DIFERENCIÁLNÍ POČET 4.. SPOJITOST 4... Okolí bodu 5... Spojitost v bodě 5... Spojitost a itervalu Věty o spojitosti 8.. LIMITA Pojem ity Věty o itách Nevlastí ity Počítáí it 56.. TRANSCENDENTNÍ FUNKCE 6... Goiometrické fukce 6... Cyklometrické fukce Epoeciálí fukce Logaritmická fukce DERIVACE Pojem derivace 7 OBSAH

5 .4.. Věty o počítáí derivací Derivace elemetárích fukcí Difereciál fukce Derivace vyšších řádů ZÁKLADNÍ VĚTY MATEMATICKÉ ANALÝZY Věty o spojitých fukcích Věty o průběhu fukce l Hospitalovo pravidlo EXTRÉMY, INFLEXNÍ BODY, ASYMPTOTY Lokálí etrémy Ifleí body Asymptoty se směricí Asymptoty bez směrice PRŮBĚH FUNKCE, TAYLOROVA VĚTA Průběh fukce Taylorova věta 05. POSLOUPNOSTI.. ÚVOD... Pojem poslouposti 4... Vlastosti posloupostí 5... Limita poslouposti Hromadý bod, hromadá hodota 7.. VĚTY O POSLOUPNOSTECH... Supremum a ifimum možiy 4... Věty o posloupostech 5... Stejoměrá spojitost 0 4 MATEMATICKÁ ANALÝZA

6 . FUNKCE.. TEORETICKÉ ZÁKLADY Po prostudováí budete schopi pozat, co fukcí je a co fukcí eí; ajít defiičí obor fukce; provádět základí operace s fukcemi; skládat fukce; určit základí vlastosti fukcí. Klíčová slova: fukce, defiičí obor, obor hodot, graf, fukce rostoucí, klesající, erostoucí, eklesající, mootóí, ryze mootóí, prostá, kladá, záporá, ekladá, ezáporá, sudá, lichá, periodická, iverzí, složeá, součet, rozdíl, souči, podíl fukcí. Čas potřebý k prostudováí této kapitoly: 50 miut příklady 75 miut Obsah kapitoly... Pojem fukce... Základí vlastosti fukcí... Základí operace s fukcemi TEORETICKÉ ZÁKLADY 5

7 ... Pojem fukce Defiice. Nechť A je možia reálých čísel. FUNKCE f je zobrazeí z možiy A do možiy R; píšeme f : A R. Možia A se azývá DEFINIČNÍ OBOR fukce f a začí se D(f ). Fukce f je tedy určitý předpis, který každému číslu z jejího defiičího oboru přiřadí jedozačě jedo reálé číslo y f (). Teto předpis je většiou dá ějakým vzorcem, apříklad f ( ). Někdy se ovšem stává, že takový vzorec eeistuje. V tomto případě se fukce zadává apříklad slovím předpisem. Příkladem takové fukce je třeba fukce, která každému přirozeému číslu přiřazuje počet jeho dělitelů. Příklad. Mějme předpis, který každému reálému číslu přiřadí y takové, že y. Teto předpis eí fukce, protože každému číslu epřiřazuje jedozačě jedo číslo y. Například číslu by odpovídaly hodoty y a y. Za defiičí obor se obvykle bere možia všech reálých čísel, pro které má výraz f () smysl. V ěkterých případech však může být defiičí obor zadá. Mějme apříklad fukci f () s defiičím oborem D(f ) R. Pak apříklad v bodě má výraz smysl, ale f () eí defiováo, protože epatří do defiičího oboru D(f ). Příklad. Vraťme se k fukci ( ) f a určeme její defiičí obor. Máme tedy určit možiu všech reálých čísel, pro která je výraz defiová. Odmocia je defiováa pouze pro ezáporá čísla. Číslo proto musí být ezáporé, eboli musí být 0. To platí pro. Defiičí obor je tudíž možia ; ). Defiice. GRAF FUNKCE f je možia všech bodů v roviě o souřadicích [, f ()], kde patří do defiičího oboru D(f ). Když kreslíme graf fukce, bereme jedo po druhém čísla D(f ) a kreslíme body o souřadicích [, f ()]. Jestliže je defiičí obor ekoečá možia, kreslíme pouze část grafu, apříklad pro z itervalu 0, 0. Jestliže je fukce defiováa a itervalu, akreslíme dostatečě moho bodů z tohoto itervalu a sousedí body spojíme. Na obr. je graf (přesěji řečeo pouze jeho část) fukce f ( ), a obr. je graf fukce g() y, kde y je počet dělitelů přirozeého čísla. obr. obr. 6 MATEMATICKÁ ANALÝZA

8 Řekěte, kdy může být možia bodů v roviě grafem fukce. Může být třeba kružice grafem fukce? Graf fukce je podle defiice možia G všech bodů v roviě ve tvaru [, f()]. Představme si (viz obr. ), že eistují (alespoň) dva růzé body [, y] a [, z] áležející možiě G. Pak by ovšem muselo platit f () y a f () z. Z toho však plye, že hodota f () eí jedozačě defiováa. Taková možia bodů tedy emůže být grafem fukce. Cvičeí. obr. Určete defiičí obory a ačrtěte grafy fukcí a) y, b) y, c) y. Defiice. OBOR HODNOT fukce f : A R je možia všech reálých čísel y, ke kterým eistuje číslo A tak, že platí y f (). Začí se R(f ), ěkdy také f (A). Jestliže záme graf fukce f, můžeme obor hodot určit sado. Obor hodot je podle defiice možia těch čísel y takových, že bod [, y] áleží grafu fukce pro ějaké. Chceme-li získat obor hodot, musíme sestrojit kolmé průměty všech bodů grafu fukce do osy y. Situaci zachycuje obr. 4. obr. 4 Předchozí odstavec si přečtěte zovu a uvědomte si, proč tomu tak je. Příklad. Určeme defiičí obor fukce ( ) f a zjistěme, zda číslo y patří do jejího oboru hodot. Defiičím oborem je možia všech reálých čísel, pro která má uvedeý zlomek smysl, tj. pro která platí 0. Teto trojčle lze rozložit a souči ( )( ). Přitom platí ( )( ) 0 právě tehdy, když a. Z toho plye, že defiičí obor je možia D(f ) R\{, }. TEORETICKÉ ZÁKLADY 7

9 Nyí zjistěme, zda číslo y patří do oboru hodot. Je třeba zjistit, zda eistuje takové, že platí f () y. Zkusme tuto rovici vyřešit. 0 ( ) 0 Odtud je vidět, že pro 0 a platí f () y. Tedy takové eistuje a číslo y patří do oboru hodot R(f ). V dalších předáškách si postupě ukážeme, jak se určují obory hodot u kokrétích fukcí. Zkuste vlastími slovy říct, co to je fukce, defiičí obor, obor hodot a graf fukce. Vysvětlete, jak se určuje, zda ějaké číslo patří do defiičího oboru ebo oboru hodot.... Základí vlastosti fukcí Defiice 4. Fukce f a g se ROVNAJÍ právě tehdy, když mají stejé defiičí obory, tedy D(f ) D(g), a pro všecha D(f ) platí f () g(). Příklad 4. Mějme fukci f ( ) a fukci g(). Pro všecha čísla z defiičího oboru D(f ) platí f () g(). Přesto se však fukce f a g erovají. Fukce totiž mají růzé defiičí obory. Defiičí obor fukce f je D(f ) R\{}, kdežto D(g) R. Defiice 5. Nechť je fukce f defiováa a itervalu J. Jestliže pro všecha, y J taková, že < y, platí f () < f (y), azývá se fukce f ROSTOUCÍ a J; f () f (y), azývá se fukce f NEKLESAJÍCÍ a J; f () > f (y), azývá se fukce f KLESAJÍCÍ a J; f () f (y), azývá se fukce f NEROSTOUCÍ a J. Je-li fukce f rostoucí, eklesající, klesající, ebo erostoucí a J, azývá se MONOTÓNNÍ a J. Je-li fukce f rostoucí, ebo klesající a J, azývá se RYZE MONOTÓNNÍ a J. Je-li iterval J přímo defiičím oborem fukce f, pak se přívlastek a J vyechává. Z této defiice je ihed vidět, že každá rostoucí fukce je zároveň eklesající a každá klesající fukce je erostoucí. Naopak to platit emusí. V příkladu 5 bude ukázáa fukce, která je eklesající, ale eí rostoucí. Pozor! Z toho, že fukce eí rostoucí eplye, že je erostoucí. Podobě, fukce, která eí klesající, emusí být eklesající. V příkladu bude adefiováa fukce, která emá žádou z vlastostí uvedeých v defiici 5. Zda má fukce ěkterou z uvedeých vlastostí, lze sado určit z jejího grafu. Graf rostoucí fukce zleva doprava stoupá; graf klesající fukce zleva doprava klesá. Grafy eklesajících a erostoucích fukcí mohou být ěkde rovoběžé 8 MATEMATICKÁ ANALÝZA

10 s osou. Na obr. 5 jsou uvedey grafy čtyř fukcí. Určete u všech zobrazeých fukcí, jaké vlastosti z defiice 5 mají. obr. 5 Předpokládám, že příklad vyřešili správě: Fukce f je rostoucí a tudíž i eklesající. Fukce f je eklesající. Fukce f je klesající a tedy i erostoucí. Fukce f 4 je erostoucí. Všechy fukce jsou mootóí, ale ryze mootóí jsou pouze fukce f a f. Příklad 5. Celá část [] reálého čísla je defiováa jako ejvětší celé číslo meší ebo rové číslu. Kupříkladu je [ ], [,85] ebo [,4] 4. Graf fukce celá část je a obr. 6. Tato fukce je eklesající, ale eí rostoucí. To se dokáže sado. Zvolme si růzá čísla, y tak, aby < y. Protože je [], je [] celé číslo meší ež y. Protože [y] je ejvětší celé číslo meší ež y, je [] [y]. Celá část je tedy eklesající. Pro čísla a y,5 platí < y, ale eplatí [] < [y]. Proto celá část eí rostoucí. Pokuste se ajít fukci, která je erostoucí, ale eí klesající. obr. 6 Defiice 6. Nechť f : A R je fukce. Jestliže pro každá dvě čísla, y A taková, že y, platí f () f (y), pak se fukce f azývá PROSTÁ. Ekvivaletí Defiice 6. Fukce f je PROSTÁ, jestliže z toho, že f () f (y), plye y. Chceme-li zjistit, zda je fukce f prostá, postupujeme ásledově: Napíšeme rovost f () f (y). Jestliže se ám ekvivaletími ebo důsledkovými úpravami podaří dojít k rovosti y, pak je fukce prostá. Jestliže se ám však podaří ajít čísla, y, kde y, taková, že f () f (y), pak fukce f eí prostá. Příklad 6. Fukce f () eí prostá, protože platí a f ( ) f (). Naproti tomu fukce g() prostá je, protože z rovosti g() g(y) ekvivaletími úpravami dostaeme y: TEORETICKÉ ZÁKLADY 9

11 y y y Věta. Fukce f je prostá právě tehdy, když pro každé y R(f ) eistuje jedié D(f ) takové, že y f (). Důkaz. Zleva doprava provedu důkaz epřímo. Předpokládejme, že eistují růzá čísla, t taková, že f () f (t) y. Potom platí t, ale f () f (t) a podle defiice 6 fukce f eí prostá. Zprava doleva budu větu dokazovat také epřímo. Z defiice 6 plye, že fukce f eí prostá, jestliže eistují růzá čísla, t taková, že f () f (t) y. Takže eistuje číslo y a alespoň dvě čísla taková, že y f (). To je ale egace výroku pro každé y eistuje jedié tak, že y f (), c.b.d. Jestliže tedy eistuje číslo y R(f ) takové, že eistují (alespoň dvě) růzá čísla, t D(f ), pro která platí f () f (t) y, pak fukce f eí prostá. Toto je přímý důsledek předchozí věty. Situace je zachycea a obr. 7. Věta. obr. 7 Každá ryze mootóí fukce je prostá. Důkaz. Větu dokážu pro rostoucí fukci. Zvolme růzá čísla, y. Je-li < y, je f () < f (y) a tedy f () f (y). Je-li > y, je f () > f (y) a tedy f () f (y). Pro y tudíž platí f () f (y) a rostoucí fukce je prostá. Pro klesající fukci je důkaz aalogický. (Proveďte.) C.b.d. Příklad 7. Pro < y je < y. Proto je fukce f () rostoucí. Podle věty je fukce f prostá. Defiice 7. Nechť f : A R je fukce. Jestliže pro všecha A platí f () > 0, azývá se fukce f KLADNÁ; f () 0, azývá se fukce f NEZÁPORNÁ; f () < 0, azývá se fukce f ZÁPORNÁ; f () 0, azývá se fukce f NEKLADNÁ. Fukce f se tedy azývá kladá, jsou-li všechy její hodoty f () kladé. Obdobě pro ostatí vlastosti. Z defiice ihed plye, že každá kladá fukce je zároveň ezáporá a každá záporá fukce je ekladá. Příklad 8. Fukce f () je kladá, protože číslo je pro všecha kladé. Fukce g() je ezáporá, protože číslo je pro všecha ezáporé. Přesto g eí fukce kladá, jelikož pro 0 eí číslo 0 kladé. 0 MATEMATICKÁ ANALÝZA

12 Cvičeí. Najděte fukci, která je ekladá a zároveň ezáporá. Defiice 8. Nechť f : A R je fukce. Jestliže eistuje kostata m R taková, že pro všecha A platí azývá se fukce f ZDOLA O m f (), ZENÁ; M R taková, že pro všecha A platí azývá se fukce f SHORA O f () M, ZENÁ. Je-li fukce f omezeá zdola i shora, azývá se OMEZENÁ. Graf fukce zdola omezeé kostatou m leží celý v poloroviě ad přímkou y m. Graf fukce shora omezeé kostatou M leží celý v poloroviě pod přímkou y M. Graf fukce omezeé kostatami m a M leží celý v roviém pásu ohraičeém přímkami y m a y M. Nechť je fukce f zdola omezeá kostatou m a echť < m. Ihed z defiice plye, že fukce f je zdola omezeá i kostatou. Obdobě, je-li fukce f shora omezeá kostatou M a N > M, je fukce f shora omezeá i kostatou N. Věta. Fukce f je omezeá právě tehdy, když eistuje kladá kostata K taková, že pro všecha D(f ) platí f () K. Důkaz. Nerovost f () K je ekvivaletí s erovostí K f () K. Při důkazu zprava doleva se má dokázat eistece kostat m, M takových, že m f () M. Stačí tedy dosadit m K a M K. Při důkazu zleva doprava je třeba ajít kostatu K, aby K f () K. V případě, že bude K > m, se může stát, že bude eistovat takové, že f () < K. Proto musí být K m, eboli K m. Obdobě musí být K M. Za kostatu K stačí zvolit větší z čísel m a M, c.b.d. Příklad 9. Mějme dáu fukci f (). Protože pro všecha je 0, je pro všecha hodota f (). Tato fukce je tedy zdola omezeá kostatou m. Neí však shora omezeá, protože pro velká roste hodota f () ade všechy meze. Cvičeí. Určete, zdali jsou ásledující fukce shora ebo zdola omezeé a v kladém případě určete jakými kostatami: a) ( ) f, b) f (), c) f (). Defiice 9. Nechť f : A R je fukce. Jestliže pro všecha A platí A a zároveň platí f ( ) f (), azývá se fukce f SUDÁ; f ( ) f (), azývá se fukce f LICHÁ. Graf sudé fukce je souměrý podle osy y. Graf liché fukce je souměrý podle počátku. Příklad 0. Určeme, zda je fukce f (), kde N, sudá ebo lichá. Pro sudá platí f ( ) ( ) f () a fukce f je sudá. Pro lichá platí f ( ) ( ) f () a fukce f je lichá. ME- ME- TEORETICKÉ ZÁKLADY

13 Věta 4. Nechť f je sudá fukce a a, b R jsou libovolé kostaty. Pak fukce g() af () b je také sudá. Důkaz. Je třeba ejdříve určit hodotu g( ). Platí g( ) af ( ) b. Podle předpokladu je f ( ) f () a proto g( ) af () b g(). Fukce g je tedy sudá, c.b.d. Věta 5. Nechť f je lichá fukce a a R je libovolá kostata. Pak fukce g() af () je také lichá. Důkaz. Je třeba ejdříve určit hodotu g( ). Platí g( ) af ( ). Podle předpokladu je f ( ) f () a proto g( ) af () g(). Fukce g je tedy lichá, c.b.d. Cvičeí 4. Dokažte, že žádá sudá fukce emůže být prostá. Defiice 0. Nechť f : R R je fukce. Jestliže eistuje kladá kostata t > 0 taková, že pro všecha R platí f ( t) f (), azývá se fukce f PERIODICKÁ s periodou t. Idukcí lze sado dokázat, že pro libovolé k N je číslo kt také periodou fukce. (Proveďte) Graf fukce s periodou t se vyzačuje tím, že se v ěm opakují části o šířce t. Na obr. 8 je graf fukce f() [], která má periodu t. obr. 8 Příklad. Nadefiujme zde tzv. Dirichletovu fukci D. Pro čísla Q je defiováo D(), pro čísla Q je D() 0. Tato fukce je periodická. Její periodou je libovolé číslo t Q. Je třeba dokázat, že D( t) D(). Je-li Q, je D() a t Q a tedy je D( t) D(). Je-li Q, je D() 0 a t Q a tedy je D( t) 0 D(). Číslo t je proto periodou Dirichletovy fukce. Řekěte zpaměti defiici prosté, sudé, liché a periodické fukce.... Základí operace s fukcemi Defiice. Nechť f : A R a g : B R jsou fukce. SOUČTEM, ROZDÍLEM, SOUČINEM a PODÍLEM fukcí f a g azýváme postupě fukce f g, f g, fg a, defiovaé vztahy f g MATEMATICKÁ ANALÝZA

14 ( f g)( ) f ( ) g( ) ( f g)( ) f ( ) g( ) ( fg)( ) f ( ) g( ) f f ( ) ( ) g g( ) Chceme-li vypočítat hodotu součtu fukcí v bodě, vypočteme hodoty fukcí v bodě a tyto hodoty jedoduše sečteme. Toto platí obdobě pro ostatí tři operace. Defiičí obor součtu f g je možia všech bodů, ve kterých je součet f () g() defiová. V těchto bodech proto musí být defiováy hodoty f () a g(). Z toho plye, že takové body musí patřit jak do D(f ), tak do D(g), eboli musí být D(f ) D(g). Defiičí obor součtu fukcí je tedy rove průiku defiičích oborů jedotlivých fukcí, D(f g) D(f ) D(g). Toto platí obdobě pro rozdíl a souči fukcí. f U podílu je situace trošku složitější. K tomu, aby číslo patřilo do D ( ) g, je avíc uté, aby g() 0. (Proč?) Defiičí obor podílu fukcí je tudíž možia bodů patřících do průiku defiičích oborů jedotlivých fukcí, ve kterých eí jmeovatel rove ule. Jiými slovy platí f D D f D g R ; g 0 D f D g ; g 0. ( ) ( ) ( ) ( ) g { } ( ) { ( ) ( ) } Defiičí obor se však často zjedodušeě určuje jako možia všech čísel, pro která mají všechy prováděé operace smysl. Příklad. Určeme součet, rozdíl, souči a podíl fukcí f() g() a určeme defiičí obory těchto ových fukcí. f g f g ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f g)( ) f ( ) g( ) ( ) ( ) ( fg)( ) f ( ) g( ) ( )( ) f f ( ) ( ) g g( ) 4 pro 0 Výrazy (f g)(), (f g)() a (fg)() mají smysl pro všecha R a proto jsou defiičí obory fukcí f g, f g a fg rovy D(f g) D(f g) D(fg) R f má smysl (přesěji řečeo operace prováděé při jeho výpočtu lze Výraz ( ) g provést) pouze pro 0. Proto je defiičí obor fukce g f Cvičeí 5. fukce. f ( ) R \ { 0} D. g rove Dokažte, že součet a souči dvou kladých fukcí jsou kladé a Defiice. Nechť A B jsou možiy reálých čísel a f : A R a g : B R jsou fukce. Dále echť pro všecha čísla A platí f () g(). Potom fuk- TEORETICKÉ ZÁKLADY

15 ce g se azývá ROZŠÍŘENÍ fukce f a možiu B. Fukce f se azývá ZÚŽE- NÍ (restrikce) fukce g a možiu A. Příklad. Mějme dáu fukci f : R R daou předpisem f (). Tato fukce eí prostá. (Proč?) Proveďme yí zúžeí fukce f a možiu 0; ). Jiými slovy vytvořme fukci g : 0; ) R daou předpisem g(). Fukce g je rostoucí a tedy je prostá. Zkuste sami ajít jiou možiu M tak, aby zúžeí fukce f a možiu M byla prostá fukce. Defiice. Nechť a a f : A B je prostá fukce. Defiujme ovou fukci f : B A tak, že každému číslu y R(f ) je přiřazeo právě to D(f ), pro které je f () y. Fukce f se azývá fukce INVERZNÍ k fukci f. a Výraz f : A B v předchozí defiici zameá, že A je defiičí obor D(f ) a B je obor hodot R(f ). Z defiice ihed plye: Jestliže f je iverzí fukce k fukci f, pak f (y) právě tehdy, když f () y. Dále platí f (f (y)) y pro všecha y R(f ) a f (f ()) pro všecha D(f ). Výpočet iverzí fukce provádíme ve dvou krocích. Rovici y f () vyřešíme vzhledem k proměé. Poté zaměíme všechy výskyty proměé za proměou y a aopak. Dostaeme iverzí fukci y f (). Ukážeme si to a příkladu. Příklad 4. Mějme fukci ( ) f a určeme k í fukci iverzí. Abychom mohli vůbec hovořit o iverzí fukci, musíme ejdříve dokázat, že f je prostá fukce. Podle věty stačí dokázat, že pro každé y eistuje jedié takové, že y f (). To dokážeme tak, že vyřešíme rovici y f () vzhledem k proměé a ukážeme, že má jedié řešeí. y y y ( y ) y y y Rovice y f () má tedy jedié řešeí. Z toho plye, že fukce f je prostá. Můžeme tedy přikročit k určeí iverzí fukce. Prví krok jsme však již udělali. Nyí stačí zaměit proměé a y. Dostaeme y. Iverzí fukce k fukci f je tedy fukce f ( ). Cvičeí 6. Určete iverzí fukce k fukcím a) y, b) y, c) y. 4 MATEMATICKÁ ANALÝZA

16 Zkuste vysvětlit, proč je v defiici iverzí fukce utý předpoklad, že fukce f je prostá. Předpokládejme, že fukce f eí prostá. Pak eistují růzá čísla, t taková, že f () f (t). Ozačme si y f (). Pak by ovšem muselo být f (y) a zároveň f (y) t a tedy hodota f (y) by ebyla určea jedozačě. Defiice 4. Nechť A, B jsou možiy reálých čísel a f : B R a g : A R jsou fukce. Defiujme fukci f g předpisem (f g)() f (g()). Tato fukce f g se azývá fukce SLOŽENÁ z fukcí f a g (v tomto pořadí). Nyí se pokusme odvodit, kdy patří číslo do defiičího oboru D(f g). V prvé řadě musí být defiováo číslo g(). Číslo proto musí patřit do možiy D(g) A. Dále musí číslo g() patřit do D(f ) B. Možia čísel, pro které platí g() B, se ozačuje g (B). Z tohoto plye, že platí D(f g) A g (B). Defiičí obor se však častěji určuje jako možia všech čísel, pro která mají operace prováděé při výpočtu f (g()) smysl. Příklad 5. Určeme fukce f g a g f složeé z fukcí ( ) g(). Dále určeme jejich defiičí obory. ( f o g)( ) f g( ) D ( ) f ( ) ( f o g) R \ { ;} ( g o f )( ) g( f ( ) ) D ( g o f ) R \ { } g f a Z předchozího příkladu je vidět, že skládáí fukcí eí komutativí, tj. obecě eplatí, že f g g f. Věta 6. Skládáí fukcí je asociativí, eboli platí f (g h) (f g) h. Z této věty plye, že při skládáí více fukcí emusíme psát závorky. Důkaz. Ozačme si L f (g h) a P (f g) h). Dokážeme, že pro každé platí L() P(). L() (f (g h))() f((g h)()) f(g(h())) P() ((f g) h)() (f g)(h()) f(g(h())) Z předchozích dvou řádků plye, že L P, c.b.d. Cvičeí 7. Určete fukce f f, f g, g f a g g složeé z fukcí a) f ( ), g() ; b) ( ) f, g(). Cvičeí 8. Zkuste a základě předešlého příkladu ajít fukci e tak, aby pro všechy fukce f platilo e f f e. Příklad 6. Jsou-li fukce f a g rostoucí, pak jsou rostoucí i fukce f g a g f. To se ahléde sado. Podle defiice pro < y platí g() < g(y). Ozačme si t g() a u g(y). Platí t < u a proto podle defiice je f (t) < f (u). Z toho TEORETICKÉ ZÁKLADY 5

17 ovšem plye, že pro < y je f (g()) < f (g(y)) a fukce f g je rostoucí. Obdobě pro fukci g f. Zkuste si pohrát s pojmy z defiice 5 a dokažte třeba, že složeí dvou klesajících fukcí je fukce rostoucí, složeí rostoucí a klesající fukce je fukce klesající,, složeí (ryze) mootóích fukcí je fukce (ryze) mootóí, složeí prostých fukcí je fukce prostá (důsledek předchozího), Máte-li zájem, můžete se pokusit určit, zda složeí fukcí, z ichž je m klesajících (erostoucích), je fukce rostoucí ebo klesající (eklesající ebo erostoucí). Důsledek. Nechť a, b, c, d R jsou libovolé kostaty, přičemž a, c 0 a f je prostá fukce. Pak fukce g() af (c d) b je také prostá. Důkaz. Fukce p() a b a q() c d jsou prosté. Fukce f je podle předpokladu také prostá. Platí g p f q. (Ověřte!) Fukce g je tedy složeá ze tří prostých fukcí a podle předchozího příkladu je prostá, c.b.d. Řekěte zpaměti defiici složeé a iverzí fukce. Shrutí: Fukce je ějaký předpis přiřazující každému číslu z defiičího oboru jedo číslo z oboru hodot. Graf fukce je možia bodů [, y] v roviě takových, že y f (). Fukce je rostoucí, jestliže s rostoucí hodotou proměé roste hodota f (). Podobě se defiuje fukce klesající, erostoucí a eklesající. Fukce, která je rostoucí ebo klesající, se azývá ryze mootóí. Fukce f se azývá prostá, jestliže ke každému y eistuje jedié takové, že y f (). Jestliže jsou všechy hodoty f () kladé, azývá se fukce kladá. Obdobě se defiuje fukce záporá, ekladá a ezáporá. Je-li graf fukce souměrý podle osy y, azývá se fukce sudá. Je-li graf souměrý podle počátku, azývá se fukce lichá. Jestliže se hodoty f () pravidelě opakují, azývá se fukce periodická. Hodota součtu fukcí je součet hodot fukcí. Podobě se defiuje rozdíl, souči a podíl fukcí. Iverzí fukce f k prosté fukci f se defiuje tak, aby platilo f (f ()). Složeí fukcí je defiováo (f g)() f (g()). 6 MATEMATICKÁ ANALÝZA

18 Cvičeí Cvičeí 9. Určete defiičí obory a obory hodot fukcí a) f () []; b) f ( ) ; c) ( ) D( ) Cvičeí 0. Určete fukce iverzí k fukcím f. a) f () a b; b) f () D(); c) f () 4. Cvičeí. Je dáa fukce ( ) f 6. a) Určete fukce f f, f f f, f f f f, b) Najděte další fukce, jež mají stejou vlastost jako fukce f v části a). Cvičeí. Nechť platí f f. Dokažte, že pro všecha D(f ) platí f (f (f (f ()))). TEORETICKÉ ZÁKLADY 7

19 Výsledky cvičeí Cvičeí. a) D() R; b) ( ) 0; ) obr. 9. D ; c) D( ) R \ {} 0 ; grafy jsou a obr. 9 Cvičeí. Pro všecha D(f ) musí platit f () 0 a zároveň f () 0. Z toho plye, že musí být f () 0 pro všecha D(f ). Cvičeí. a) 0 a proto f () je zdola omezeá; b) ( ) 0 a proto f () ( ) je shora omezeá; c) f () eí zdola ai shora omezeá. Cvičeí 4. Podle defiice sudé fukce je f () f ( ). Pak ovšem eistují dvě čísla, taková, že f () f ( ). To ale zameá, že fukce f eí prostá, c.b.d. Cvičeí 5. Pro všecha platí f () > 0 a g() > 0. Z toho plye, že (f g)() f () g() > 0 a fukce f g je kladá. Obdobě pro fukci fg. Cvičeí 6. a) y. Cvičeí 7. a) y ; b) platí f () f () 0, proto fukce eí prostá; c) ( f o f )( ) b) ( f o f )( ) ( f o g)( ) ( f o g)( ) ( g o f )( ) ( g o f )( ) 4 ( g o g)( ) 6 ( g o g)( ) Cvičeí 8. Takovou fukcí je e(). Potom platí (f e)() f (e()) f () a (e f )() e(f ()) f (). Příklad 6. Postupuje se podobě jako v ukázce, je ěkteré erovosti mohou být opačé. Cvičeí 9. a) D(f ) R, R(f ) 0; ); b) D(f ) R(f ) Q; c) D(f ) ;, R(f ) 0;. Cvičeí 0. a) f ( ) b pro a 0; b), c) fukce f ejsou prosté. a 8 MATEMATICKÁ ANALÝZA

20 Cvičeí. a) f (f ()) f (f (f (f ()))), f () f (f (f ())) ; b) tuto vlastost mají apříklad všechy fukce ( ) f a. Cvičeí. f (f (f (f ()))) f (f (f (f ()))) f (f ()). Tato kapitola byla dle mého ázoru dosti jedoduchá. Jestliže Vám však čiila potíže, asi jste a středí škole eměl(a) matematiku. V tom případě Vám doporučuji pročíst si ještě jedou tuto kapitolu ebo kihu [8]. Budete se muset v tomto předmětu více sažit, ale věřím, že brzy ostatí dožeete. TEORETICKÉ ZÁKLADY 9

21 .. ALGEBRAICKÉ FUNKCE Po prostudováí budete schopi akreslit graf fukce, jestliže záte graf podobé fukce; akreslit graf fukce, jestliže záte graf iverzí fukce. Budete zát základí vlastosti lieárích, kvadratických a lieárích lomeých fukcí; defiice Dirichletovy a Riemaovy fukce. Klíčová slova: Fukce lieárí, kvadratická, lieárí lomeá, Dirichletova, Riemaova. Čas potřebý k prostudováí této kapitoly: 75 miut příklady 75 miut Obsah kapitoly... Trasformace grafu... Lieárí fukce... Kvadratické fukce..4. Lieárí lomeá fukce..5. Další fukce 0 MATEMATICKÁ ANALÝZA

22 ... Trasformace grafu V případě, že Vám předchozí kapitola ečiila problémy, věujte v částech....4 pozorost pouze příkladům a cvičeím. V této části se dozvíte, jak se změí graf fukce, jestliže se částečě změí fukce. Aby byl výklad jasější, budu stále obměňovat fukci ϕ, jejíž graf je a obr. 0. Její graf bude vždy zeleý, zatímco ové grafy budou modré. Trasformace budou avíc zdůrazěy červeými šipkami. obr. 0 Přičteí čísla k hodotě fukce. Nechť b je reálé číslo a f je fukce. Vytvořme fukci g, která vzike přičteím čísla b k fukci f. Platí tedy g() f () b. Nechť bod A [, f ()] patří grafu fukce f. Posuutím bodu A o b jedotek ahoru dostaeme bod B [, f () b] [, g()]. Bod B tedy patří grafu fukce g. Graf fukce g proto vzike posuutím grafu fukce f o b jedotek ahoru. (V případě b < 0 se graf samozřejmě posouvá o b jedotek dolů.) Na obr. je graf fukce ψ() ϕ(), a obr. graf fukce ω() ϕ(). obr. obr. Vyásobeí hodoty fukce číslem. Nechť a je reálé číslo a f je fukce. Vytvořme fukci g, která vzike vyásobeím fukce f číslem a. Platí tedy g() af (). Nechť bod A [, f ()] patří grafu fukce f. Vyásobeím y-ové souřadice bodu A číslem a dostaeme bod B [, af ()] [, g()]. Bod B tedy patří grafu fukce g. Graf fukce g je tudíž možia všech bodů [, ay] ta- ALGEBRAICKÉ FUNKCE

23 kových, že bod [, y] patří grafu fukce f. Na obr. je graf fukce ϕ ϕ. ( ) ( ), a obr. 4 graf fukce ( ) ( ) ψ ω 5 obr. obr. 4 Přičteí čísla k argumetu fukce. Nechť d je reálé číslo a f je fukce. Vytvořme fukci g() f ( d). Nechť bod A [, f ()] patří grafu fukce f. Posuutím bodu A o d jedotek doleva dostaeme bod B [ d, f ()] [ d, g( d)]. Bod B tedy patří grafu fukce g. Graf fukce g proto vzike posuutím grafu fukce f o d jedotek doleva. (V případě d < 0 se graf samozřejmě posouvá o d jedotek doprava.) Na obr. 5 je graf fukce ψ() ϕ( ), a obr. 6 graf fukce ω() ϕ( ). obr. 5 obr. 6 Vyásobeí argumetu fukce číslem. Nechť c je reálé číslo a f je fukce. Vytvořme fukci g() f (c). Nechť bod A [, f ()] patří grafu fukce f. Poděleím -ové souřadice bodu A číslem c dostaeme bod B, f, g ]. Bod B tedy patří grafu fukce g. Graf fukce g je tudíž [ ( )] [ () c c c c y] ψ ( ) ϕ( ), a obr. 8 graf fukce ( ) ϕ( 4 ) možia všech bodů [, takových, že bod [, y] patří grafu fukce f. Na obr. 7 je graf fukce ω. 5 MATEMATICKÁ ANALÝZA

24 obr. 7 obr. 8 Je dá graf fukce f (). Popište, jak se kostruují grafy fukcí f () b, af (), f ( d), f (c). Pokuste se vysvětlit, jak by se zkostruoval graf fukce af (c d) b. Graf iverzí fukce. Aby mohla eistovat iverzí fukce f k fukci f, musí být fukce f prostá. To však aše (zeleá) fukce ϕ z obr. 0 eí. (Proč?) Proto zde budu pracovat s jiou fukcí χ, jejíž graf je a obr. 9. obr. 9 Nechť bod A [, f ()] patří grafu fukce f. Záměou prví a druhé souřadice bodu A, tedy překlopeím podle přímky y, dostaeme bod B [f (), ] [f (), f (f ())]. Bod B tedy patří grafu fukce f. Graf fukce f proto vzike překlopeím grafu fukce f podle přímky y. Na obr. 0 je graf fukce χ. ALGEBRAICKÉ FUNKCE

25 obr Lieárí fukce Defiice 5. Fukce f () a b, kde a, b R, se azývá LINEÁRNÍ FUNK- CE. Speciálě (při a 0) se fukce f () b azývá KONSTANTNÍ FUNKCE. Protože operace prováděé při výpočtu a b lze provést pro všecha R, je defiičí obor rove D(f ) R. Kostatí fukce f () b. Graf fukce f je možia všech bodů [, b]. Tato možia ovšem eí ic jiého ež přímka rovoběžá s osou a procházející bodem [0, b]. Graf fukce f je a obr.. obr. Fukce f abývá pouze jedié hodoty b a proto je R(f ) {b}. Fukce f eí rostoucí ai klesající, ale je erostoucí a eklesající. (To eí totéž!) Protože je f () f ( ) b, je fukce f sudá. Pro všecha čísla R a t > 0 platí f () f ( t) b, proto je fukce f periodická a její periodou je libovolé číslo t > 0. Kostatí fukce jsou jedié fukce s touto vlastostí. Fukce f eí prostá, protože je periodická. Fukce f (). Graf fukce f je možia všech bodů [, f ()] [, ], tedy je to přímka procházející počátkem a svírající s osami a y úhel 45. Graf fukce f je a obr.. 4 MATEMATICKÁ ANALÝZA

26 obr. Ke každému číslu y R eistuje číslo R takové, že y f (). Proto je R(f ) R. Fukce f je rostoucí a proto prostá. Z toho také plye, že f eí periodická. Protože f ( ) f (), je fukce f lichá. Fukce f () a b pro a 0. Grafem fukce f je opět přímka. Tato přímka prochází a ose y bodem [0, f (0)] [0, b]. Zjistěme, kterým bodem a ose tato přímka prochází. Ozačme teto bod [, 0]. Pro číslo musí platit f () 0. Vyřešeím této rovice dostaeme b a. Graf fukce f pro a > 0, resp. a < 0 je a obr., resp. obr. 4. obr. obr. 4 Protože ke každému čísly y R eistuje číslo R takové, že y f (), je R(f ) R. Pro a > 0 platí < y a < ay a b < ay b a proto je pro a > 0 fukce f rostoucí. Obdobě pro a < 0 je f klesající. Fukce f je tedy ryze mootóí a proto prostá a eperiodická. Příklad 7. Určeme číslo b tak, aby fukce f () a b byla lichá. Musí platit f () f ( ). Úpravou tohoto vztahu postupě dostaeme. a b a b b b b 0 b 0 Z toho plye, že fukce f () a b je lichá právě tehdy, když je b 0. ALGEBRAICKÉ FUNKCE 5

27 Jak se určí průsečíky grafu fukce s osami a y?... Kvadratické fukce Defiice 6. Fukce f () a b c, kde a 0 a b, c R, se azývá KVADRATICKÁ FUNKCE. Fukce f (). Grafem fukce f je možia všech bodů [, ]. Je to křivka, která se azývá PARABOLA. Graf fukce f je uvede a obr. 5. obr. 5 Jestliže je y 0, pak eistuje číslo R takové, že f () y. Je-li však y < 0, pak žádé takové eeistuje. Proto je R(f ) 0; ). Fukce f je klesající a itervalu ( ; 0 a rostoucí a 0; ). Protože platí f ( ) ( ) f (), je fukce f sudá. Z toho plye, že f eí prostá. Fukce f eí periodická. Fukce f () a pro a 0. Grafem fukce f je parabola procházející body [0; 0] a [ ± ; a]. Pro a > 0 má fukce f stejé vlastosti jako fukce. Pro a < 0 je f rostoucí a ( ; 0, klesající a 0; ) a R(f ) ( ; 0. Graf fukce f pro a < 0 je uvede a obr. 6. obr. 6 Fukce f () a b c. Grafem fukce f je opět parabola. Abychom zjistili, jak tato parabola vypadá, musíme ejdříve fukci f upravit: b c b b c b b 4ac a b c a a a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a f a a 4a 4 jedotek do- Graf fukce f tedy vzike posuutím grafu fukce a o b 4ac leva a jedotek dolů. Situaci ilustruje obr. 7. 4a b a 6 MATEMATICKÁ ANALÝZA

28 obr. 7 b b 4ac Vrchol paraboly je tedy v bodě [ ; ]. Pro a > 0 je parabola ote- a 4a b vřeá ahoru a proto R( f ) c ; ) 4a. Pro a < 0 je parabola otevřeá b dolů a proto R ( f ) ( ; c 4a. Fukce f eí prostá ai periodická. Pro b a > 0 (a < 0) je fukce f klesající (rostoucí) a itervalu ( ; a a rostoucí (klesající) a itervalu ; ) b. a Příklad 8. Určeme číslo b tak, aby fukce f () a b c byla sudá. Pro všecha musí platit f () f ( ). Úpravami této rovosti postupě dostaeme a( ) b( ) c a b c a b c a b c b b b 0 b 0 Protože rovost má platit pro všecha, musí být b 0. Cvičeí. Určete průsečíky grafu fukce f () a b c s osami a y...4. Lieárí lomeá fukce a b Defiice 7. Fukce f ( ), kde c 0 a ad bc, se azývá LINEÁRNÍ c d LOMENÁ FUNKCE. Protože f () je zlomek, esmí být jmeovatel rove ule. Nesmí tedy platit d D f R \.. Z toho plye, že ( ) { } c Fukce f ( ) c d. Grafem této fukce je křivka a obr. 8, která se azývá (ROVNOOSÁ) HYPERBOLA. Tato křivka se eustále přibližuje k osám a y, ale ikdy je eprote. ALGEBRAICKÉ FUNKCE 7

29 obr. 8 Určeme obor hodot. R(f ) je možia těch čísel y, pro která má rovice f () y řešeí. Jedoduchou úpravou této rovice dostaeme. Z toho plye, že při y 0 emá rovice f () y řešeí, eboli R(f ) R\{0}. Pro 0 < < y platí y <, eboli f (y) < f (). Z toho plye, že fukce f je klesající a itervalu (0; ). Obdobě je f klesající a ( ; 0). Přesto však f eí klesající a celém svém defiičím oboru, protože apříklad f () > f ( ). Protože ke každému číslu y R(f ) eistuje jedié číslo takové, že f () y, je fukce f prostá. Z toho také plye, že f eí f f, je f lichá fukce. periodická. Protože platí ( ) ( ) Fukce ( ) Fukce f ( ) a f pro a 0. Odvoďte sami vlastosti této fukce. a b. K určeí vlastostí této fukce je opět uto ji ejdříve upravit. c d a ad ad bc bcad a b c ( ) ( c d ) c b a c c a f d d c d c d c c ( ) c bcad c d Graf fukce f vzike posuutím grafu fukce o c jedotek doleva a a jedotek ahoru. Situace je zachycea a obr. 9. c c c y 8 MATEMATICKÁ ANALÝZA

30 obr. 9 Graf fukce f se stále přibližuje k přímkám eprote. Z toho plye, že R( f ) R \ { } Odvoďte sami další vlastosti.. c a a y c a d c, ale ikdy je..5. Další fukce Dirichletova fukce D() je fukce, defiovaá a D(D) R, pro kterou platí: pro Q je D(), pro Q je D() 0. Ihed z defiice plye, že R(D) {0; }. Fukce D eí ai rostoucí ai klesající. Již dříve bylo ukázáo, že D je periodická a její periodou je libovolé a Q. Z toho plye, že D eí prostá. Cvičeí 4. Dokažte, že D je sudá fukce. Riemaova fukce R() je fukce defiovaá a D(R) R ásledově: p R(0) ; pro Q je R() 0; pro číslo, kde p a q jsou esoudělá R čísla, je ( ) q. Ihed z defiice plye, že ( R) { 0 } { ; q N} q q R. Fukce R eí ai rostoucí ai klesající. R je periodická a její periodou je libovolé kladé celé číslo. Z toho plye, že R eí prostá. Graf Riemaovy fukce je a obr. 0. obr. 0 ALGEBRAICKÉ FUNKCE 9

31 Cvičeí 5. Dokažte, že R je sudá fukce. Shrutí: Graf fukce f () b vzike posuutím grafu fukce f () o b jedotek ahoru. Graf fukce af () vzike atáhutím grafu fukce f () do výšky a a- ásobek. Graf fukce f ( d) vzike posuutím grafu fukce f () o d jedotek doleva. Graf fukce f (c) vzike stáhutím grafu fukce f () do šířky a jedu c-tiu. Graf fukce f () vzike překlopeím grafu fukce f () kolem přímky y. 0 MATEMATICKÁ ANALÝZA

32 Cvičeí Cvičeí 6. Červeá křivka a obr. je graf fukce f, která je sudá a má periodu t 4. Modrá křivka vzikla posuutím červeé křivky o dvě jedotky ahoru a jedu jedotku doprava. Určete všechy fukce, jejichž grafem je modrá křivka. a) f () ; f ) 5 f (); b) f ( ); g) f ( 7) ; c) f ( ) ; h) f ( ) ; d) f ( i) f ( 6) ; ) ; e) f (5 j) f ( ) 6. ); obr. Cvičeí 7. Na obr. jsou grafy fukcí f, g, h. Určete všecha tvrzeí o těchto fukcích, která jsou pravdivá. a) Žádá z těchto fukcí eí rova fukci 4. b) V itervalu ; eistuje bod 0 takový, že g( 0 )h( 0 ) 0. c) Rovice f () h() 0 emá v itervalu ; žádé řešeí. d) Pro každé ; platí f () f ( ). e) Eistuje eprázdý iterval a; b ; takový, že pro každé a, b platí h() g() f (). f ) Rovice g() h() 0 má a itervalu ; alespoň jedo řešeí. obr. Cvičeí 8. Určete základí vlastosti (defiičí obor, obor hodot, mootóost, průsečíky s osami, zda je fukce sudá/lichá) ásledujících fukcí a ačrtěte jejich grafy. a) f ( ) 4 e) f ( ) b) f ( ) 6 9 c) f) f ( ) 4 d) f ( ) ( ) ( ) g) f R D ( ) ( )( ( )) ALGEBRAICKÉ FUNKCE

33 Výsledky cvičeí b± b 4ac Cvičeí. Průsečík s osou y je [0; c]. Průsečíky s osou jsou [ ;0] a pokud je b 4ac; Jiak průsečíky s osou ejsou. Cvičeí 4. Pro Q je Q a platí D( ) D(). Pro Q je Q a platí D( ) 0 D(), c.b.d. Cvičeí 5. Pro Q je Q a R( ) 0 R(). Pro jsou esoudělá čísla, je Z toho plye, že R( ) R( ) q p q, c.b.d. Cvičeí 6. Modrá křivka je grafem fukcí d), e) a g). Cvičeí 7. Pravdivá jsou tvrzeí a), b), e) a f ). p q,, kde p a q, přičemž čísla p a q jsou esoudělá. Cvičeí 8. a) D(f ) R(f ) R, fukce je rostoucí a R, eí sudá ai lichá, 4 průsečík s osou je [ ; 0], s osou y je [0; 4], graf je a obr.. b) D(f ) R(f ) R, fukce je klesající a R, eí sudá ai lichá, průsečík s osou je [; 0], s osou y je [0; 6], graf je a obr.. c) f ( ) 4( )( ) 4( 5 ), D(f ) R, R(f ) ; ), fukce je 5 klesající a ( ;, rostoucí a ; ) 5, eí sudá ai lichá, průsečíky s osou jsou [; 0] a [; 0], s osou y je [0; 4], graf je a obr.. d) f (), D(f ) R, R(f ) ( ;, fukce je rostoucí a ( ; 0, klesající a 0; ), je sudá, průsečíky s osou jsou [ ; 0] a [; 0], s osou y [0; ], graf je a obr.. 5 e) f ( ), D(f ) R\{}, R(f ) R\{}, fukce je klesající a ( ; ) a (; ), eí sudá ai lichá, průsečík s osou je [ ;0], s osou y je [0; ], graf je a obr. 4. f ) f ( ), D(f ) R\{}, R( ) R \ { } f, fukce je rostoucí a ( ; ) a (; ), eí sudá ai lichá, průsečík s osou je [; 0], s osou y je 9 0 ; ], graf je a obr. 4. [ 4 g) f () 0, D(f ) R, R(f ) {0}, fukce je kostatí (a tedy erostoucí a eklesající) a R, je sudá i lichá, průsečíky s osou jsou [t; 0] pro všecha t R, s osou y je [0; 0], graf je a obr.. MATEMATICKÁ ANALÝZA

34 obr. obr. 4 Tato kapitola byla sadá. Sloužila především ke shrutí učiva ze středí školy pro studety, jimž matematika čiila potíže. Uvedeé vlastosti eí třeba umět zpaměti, prtože si je lze sado odvodit. Důležité je umět z grafu fukce vyčíst základí vlastosti, obdobě jako ve cvičeí 7. ALGEBRAICKÉ FUNKCE

35 . DIFERENCIÁLNÍ POČET.. SPOJITOST Po prostudováí budete vědět, co je to okolí bodu; jak se určuje, zda je fukce spojitá v bodě ebo a itervalu; jaké vlastosti mají spojité fukce; určit itervaly, a ichž je fukce kladá, ebo záporá; co je to Darbouova vlastost. Klíčová slova: Okolí bodu, spojitost v bodě, spojitost a itervalu, Darbouova vlastost, Weierstrassova věta. Čas potřebý k prostudováí této kapitoly: 0 miut příklady 0 miut Obsah kapitoly... Okolí bodu... Spojitost v bodě... Spojitost a itervalu..4. Věty o spojitosti 4 MATEMATICKÁ ANALÝZA

36 ... Okolí bodu Defiice 8. Nechť a je reálé číslo a δ > 0. Potom iterval (a δ; a δ) se azývá δ-okolí BODU a a ozačuje se U δ (a); U a ; (a δ; a se azývá LEVÉ δ-okolí BODU a a ozačuje se δ ( ) a; a δ) se azývá PRAVÉ δ-okolí BODU a a ozačuje se ( a) U. Vyjmutím bodu a z (levého, pravého) δ-okolí bodu a dostaeme tzv. REDUKO- P a,p a ). VANÉ (LEVÉ, PRAVÉ) δ-okolí BODU a, které se ozačuje P δ (a) ( ( ) Redukovaé okolí se také ěkdy azývá PRSTENCOVÉ OKOLÍ. Jedostraá re- a a δ; a P a a; a δ. dukovaá okolí lze rověž zapsat ve tvaru P ( ) ( ), ( ) ( ) Příklad 9. Zapišme pomocí erovostí, že číslo patří do prstecového - okolí bodu. Platí P () (; ) (; ). Vztah P () lze zapsat ve tvaru 0 < <. Zapište pomocí erovostí, že číslo patří do (redukovaého) (levého/pravého) δ-okolí bodu a. Správé řešeí je U δ ( a) U U P P P δ ( a) a δ < a δ ( a) a < a δ δ( a) 0 < a < δ δ ( a) a δ < < a ( a) a < < a δ δ a δ < < a δ a < δ Cvičeí 9. Vyjádřete ásledující itervaly jako okolí bodu a) (; 5); b) 6; 7); c) 0;.... Spojitost v bodě δ Defiice 9. Fukce f je SPOJITÁ V BODĚ a, jestliže pro každé ε > 0 eistuje δ > 0 takové, že pro všecha U δ (a) platí f () U ε (f (a)), eboli stručěji ε > 0 δ > 0 U δ (a) : f () U ε (f (a)). Fukce f je spojitá v bodě a, jestliže ke každému ε > 0 eistuje δ > 0 takové, že se každý bod z δ-okolí bodu a zobrazí do ε-okolí bodu f (a). Situace je zachycea a obr. 5. δ δ δ δ ( ) obr. 5 SPOJITOST 5

37 Geometricky lze (epřesě) říci, že fukce f je spojitá v bodě a, jestliže její graf můžeme a okolí bodu a akreslit jedím tahem. Při zjišťováí, zda je fukce f spojitá v bodě a, hledáme ke kladému číslu ε kladé číslo δ tak, aby pro všecha U δ (a) platilo f () U ε (f (a)). Přitom stačí dokázat, že f () U Kε (f (a)), kde K je ějaká kladá kostata. Ukážeme si to a příkladu. Příklad 0. Fukce y je spojitá v každém bodě a R. Nechť ε > 0 je libovolé pevě zvoleé číslo. Máme ajít číslo δ > 0 tak, aby pro všecha U δ (a) platilo U ε (a ). Jiými slovy musí platit a < ε. Pro všecha U δ (a) platí a < δ. Dále platí a ( a) a a a < δ a. Z toho plye, že a a a < δ(δ a ). Je třeba alézt číslo δ > 0 tak, aby δ(δ a ) ε, protože potom bude a < ε pro všecha U δ (a). Nerovost δ(δ a ) ε je ekvivaletí s erovostí δ a δ ε 0. Tato erovost platí pro δ a a ε; a a ε. Protože je ε > 0, je a ε > a a proto a a ε > 0. Protože musí být δ > 0, lze vzít δ a a ε, tedy takové číslo δ > 0 eistuje, c.b.d. Z tohoto příkladu je vidět, že i v případě tak jedoduché fukce, jako je, je zjišťováí spojitosti podle defiice dosti složité. Proto se při zjišťováí spojitosti většiou využívají věty uvedeé v části..4. V defiici spojitosti se vyskytuje číslo f (a). Aby fukce f mohla být v bodě a spojitá, musí číslo f (a) eistovat. Jiými slovy musí být a D(f ). Taktéž musí eistovat f () pro z ějakého δ-okolí bodu a. Tedy musí být U δ (a) D(f ) Kotrapozicí této věty ihed dostáváme Věta 7. Jestliže číslo a s ějakým svým okolím epatří do defiičího oboru D(f ), eí fukce f v bodě a spojitá. Příklad. Fukce f ( ) v bodě 0. eí defiováa pro 0 a proto eí spojitá Příklad. Dirichletova fukce eí spojitá v žádém bodě a R. Nechť a Q. Potom je D(a). Zvolme ε <. V každém U δ (a) eistuje alespoň jedo číslo Q. Pro toto platí U δ (a), ale D() 0 U ε (D(a)). Pro a Q je důkaz obdobý. Fukce f ( ) je spojitá v každém bodě a > 0. V bodě 0 spojitá eí, protože při jakémkoliv δ epatří levé δ-okolí bodu 0 do defiičího oboru. Cítíme však, že apravo od bodu 0 je odmocia v jistém smyslu spojitá. Proto se defiují jedostraé spojitosti. Defiice 0. Fukce f je SPOJITÁ V BODĚ a ZPRAVA (ZLEVA), jestliže pro každé ε > 0 eistuje δ > 0 takové, že pro všecha U δ ( a) ( U δ ( a) ) platí f () U ε (f (a)), eboli stručěji 6 MATEMATICKÁ ANALÝZA

38 ε ε ( a) : f ( ) Uε( f ( a) ) ( a) : f ( ) U ( f ( a) ) > 0 δ > 0 Uδ pro spojitost zprava a > 0 δ > 0 U pro spojitost zleva. δ Fukce f je spojitá v bodě a zprava (zleva), jestliže ke každému ε > 0 eistuje δ > 0 takové, že se každý bod z pravého (levého) δ-okolí bodu a zobrazí do ε- okolí bodu f (a). Situace je pro spojitost zprava zachycea a obr. 6. Pro spojitost zleva je situace podobá. (Nakreslete!) ε obr. 6 Příklad. Fukce f ( ) je zprava spojitá v bodě a 0. To se dokáže sado. Je třeba k číslu ε > 0 ajít číslo δ > 0 takové, aby pro každé číslo takové, že 0 < δ, platilo ε < < ε. Umocěím posledí erovosti a druhou dostaeme 0 < ε. Stačí tedy vzít δ ε, c.b.d. Věta 8. Fukce f je spojitá v bodě a právě tehdy, když je v bodě a spojitá zleva i zprava. Důkaz je sadý, ale budu ho provádět podrobě. Nejdříve provedu důkaz zleva doprava. Zvolme si libovolě číslo ε > 0. Fukce f je spojitá v bodě a a proto eistuje δ > 0 tak, že pro všecha U δ (a) platí a U a U a platí f () U ε (f (a)). Protože je U ( ) ( ), také pro všecha ( ) δ δ f() U ε (f (a)). To ale zameá, že fukce f je zleva spojitá v bodě a. Obdobě platí U δ a U a a proto fukce f je spojitá zprava v bodě a. ( ) ( ) δ Nyí provedu důkaz zprava doleva. Zvolme si libovolě číslo ε > 0. Fukce f je spojitá zleva v bodě a a proto eistuje číslo δ takové, že pro všecha U ( a) platí f () Uε(f (a)). Fukce f je zároveň spojitá zprava a proto δ U platí f () U ε (f (a)). Ji- eistuje číslo δ takové, že i pro všecha δ ( a) ými slovy platí f () U ε (f (a)) pro všecha U δ ( a) Uδ ( a) δ mi{δ ; δ }. Platí U δ ( a) Uδ ( a) a δ ( a) Uδ ( a) U δ ( a) Uδ ( a) U δ ( a) Uδ ( a). Dále platí U ( a) U ( a) U ( a) ovšem plye, že f () U ε (f (a)) pro všecha U δ (a), c.b.d. δ δ. Položme U, eboli δ δ. Z toho... Spojitost a itervalu Defiice. Fukce f je SPOJITÁ NA INTERVALU (a; b), jestliže je spojitá v každém bodě c (a; b). Fukce f je SPOJITÁ NA INTERVALU a; b, jestliže je spojitá a itervalu (a; b) a avíc je spojitá zprava v bodě a a spojitá zleva v bodě b. SPOJITOST 7

39 Jestliže je defiičí obor D(f ) itervalem a fukce f je spojitá a celém D(f ), pak se stručě říká, že fukce f je SPOJITÁ. Z defiice ihed plye toto: Je-li fukce f spojitá a itervalu I a J je jeho poditerval, pak je fukce f spojitá i a itervalu J. Příklad 4. Fukce f () je spojitá a R. Zvolme si libovolě a R a ε > 0. Je třeba ajít číslo δ, aby pro všecha U δ (a) platilo f () U ε (f (a)). Protože je f () a f (a) a, je třeba, aby pro všecha U δ (a) platilo U ε (a). Stačí tedy vzít δ ε, c.b.d. Příklad 5. Kostatí fukce f () c, kde c R je libovolá kostata, je spojitá a R. Zvolme si libovolě a R a ε > 0. Je třeba ajít číslo δ, aby pro všecha U δ (a) platilo f () U ε (f (a)). Protože je f () f (a) c a c U ε (c), platí f () U ε (f (a)) dokoce pro všecha R. Číslo δ > 0 tedy může být libovolé, c.b.d. Cvičeí 0. Dokažte, že fukce f () je spojitá a R...4. Věty o spojitosti Věta 9. Nechť fukce f a g jsou spojité v bodě a. Pak jsou i fukce f g, f f g a fg jsou spojité v bodě a. Je-li avíc g(a) 0, je i fukce g spojitá v bodě a. Důkaz bude uvede později. Důsledek. Jsou-li fukce f,,f spojité, jsou spojité i fukce f f a f f. Důkaz se provede matematickou idukcí. Důsledek. Je-li fukce f spojitá v bodě a a c R libovolá kostata, pak je fukce g() cf () spojitá v bodě a. Důkaz. Kostatí fukce c je spojitá a R a tedy je spojitá i v bodě a. Souči dvou fukcí spojitých v bodě a je fukce podle věty 9 spojitá v bodě a, c.b.d. Důsledek. Libovolá racioálí lomeá fukce je spojitá ve všech bodech, ve kterých eí jmeovatel rove ule. Speciálě je každý mohočle a 0 a a spojitý a R. Důkaz. Fukce je spojitá. Předpokládejme, že je spojitá fukce k pro ějaké k N. Pak podle věty 9 je spojitá i fukce k k. Fukce je proto spojitá pro každé N. Je-li a R libovolá kostata, je podle předchozího důsledku fukce a spojitá. Podle prvího důsledku je spojitá i fukce (mohočle) a 0 a a. Podle věty 9 je podíl dvou mohočleů, tedy racioálí lomeá fukce, spojitý ve všech bodech, ve kterých eí jmeovatel rove ule, c.b.d. Příklad 6. I když jsou fukce f a g espojité v bodě a, může přesto fukce f g být spojitá v bodě a. Příkladem jsou fukce f () D() a g() D(). Ai jeda z ich eí spojitá v žádém bodě. Ale fukce (f g)() je fukce kostatí a tedy spojitá. Cvičeí. Nechť je fukce f spojitá v bodě a a fukce g espojitá v bodě a. Co lze o fukcích f g a f g? 8 MATEMATICKÁ ANALÝZA

40 Věta 0. Je-li fukce f spojitá v bodě a a fukce g spojitá v bodě b f (a), je fukce g f spojitá v bodě a. Důkaz je uvede apříklad v kize [5] a straě 6. Důsledek. Nechť fukce f je spojitá. Protože absolutí hodota je spojitá fukce, je i fukce f () f () spojitá. Cvičeí. Eistuje fukce f, která eí spojitá v žádém bodě a D(f ), pro kterou je fukce f spojitá v každém bodě a D(f )? Věta. Jestliže je fukce f spojitá v bodě a a platí f (a) > 0 (f (a) < 0), pak eistuje číslo δ > 0 takové, že pro všecha U δ (a) platí f () > 0 (f () < 0). Tato věta říká, že když je spojitá fukce v ějakém bodě růzá od uly, je a ějakém svém okolí růzá od uly. Situace je pro f (a) > 0 zachycea a obr. 7. obr. 7 Důkaz. Větu dokážu pro f (a) > 0. Pro f (a) < 0 je situace podobá (proveďte). Z defiice spojitosti pro každé ε > 0 eistuje δ > 0 tak, že pro všecha U δ (a) je f () f (a) < ε. Zvolme ε f (a). Potom eistuje δ > 0 tak, že pro všecha U δ (a) platí f () f (a) < f (a). Tato erovost je ale pro f (a) > 0 ekvivaletí s erovostí f () > 0, c.b.d. Kotrapozicí věty dostáváme Jestliže fukce f měí a okolí bodu a zaméko, pak platí f (a) 0, ebo f eí spojitá v bodě a. Z toho plye, že fukce může (ale emusí) měit zaméko pouze v bodech, v ichž je rova ule, ebo eí spojitá. 8 Příklad 7. Určeme itervaly, a ichž je fukce f ( ) kladá, 4 ebo záporá. Na číselou osu aesme všechy body, v ichž je fukce rova ule ebo eí spojitá. Fukce může změit zaméko pouze v těchto bodech. Z toho plye, že pouze tyto body mohou být krajími body itervalů, a ichž je fukce kladá, ebo záporá. K určeí zaméka fukce a ěkterém itervalu stačí určit zaméko fukce v ěkterém vitřím bodě tohoto itervalu. Je vhodé zvolit bod, ve kterém se hodota f () spočítá sado. Fukce f () je rova ule v těch bodech, ve kterých je čitatel rove ule. Řešeím rovice 8 0 jsou čísla a 6. Fukce f () eí spojitá v těch bodech, v ichž je jmeovatel rove ule. Řešeím rovice 4 0 jsou čísla 0 a 4. Naesme proto a osu body 0,, 4 a 6 (viz obr. 8). SPOJITOST 9

41 obr. 8 Nyí určeme hodoty fukce f ve vitřích bodech vyzačeých itervalů. f ( ) 5 5 < 0 a tedy f je záporá a itervalu ( ; 0); 5 5 f () < 0 a tedy f je záporá a itervalu (0; ); f () 9 > 0 a tedy f je kladá a itervalu (; 4); f < a tedy f je záporá a itervalu (4; 6); () f ( ) > a tedy f je kladá a itervalu (6; ). Symbolicky je toto zakresleo a obr. 9. obr. 9 Věta. Jestliže je fukce f spojitá v bodě a, pak eistuje číslo δ > 0 takové, že fukce f je omezeá a U δ (a). Důkaz. Zvolme libovolě číslo ε > 0. Protože je fukce f spojitá v bodě a, eistuje číslo δ > 0 takové, že pro všecha U δ (a) platí f () U ε (f (a)). Jiými slovy pro všecha U δ (a) platí f (a) ε < f () < f (a) ε. Na U δ (a) je tedy fukce f zdola omezea kostatou f (a) ε a shora omezea kostatou f (a) ε, c.b.d. Přečtěte si zovu věty v části..4 a uveďte a pokuste se dokázat podobé věty pro jedostraou spojitost. Defiice. Fukce f má DARBOUXOVU VLASTNOST a itervalu I, jestliže pro všecha čísla a, b I taková, že a < b a f (a) f (b), a všecha čísla d ležící mezi f (a) a f (b) eistuje číslo c (a, b) takové, že f (c) d. Je-li iterval I přímo defiičím oborem fukce f, pak se přívlastek a I vyechává. Jiými slovy jestliže fukce mající Darbouovu vlastost abývá hodot f (a) a f (b), pak abývá všech hodot mezi čísly f (a) a f (b). Situaci ilustruje obr. 40. obr. 40 Věta. Fukce spojitá a itervalu má a tomto itervalu Darbouovu vlastost. Důkaz bez využití posloupostí je složitý a je uvede apříklad v kize [5] a straách 7 8. S využitím posloupostí je bude důkaz uvede v části MATEMATICKÁ ANALÝZA

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Matematická analýza 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Mgr. Jan Šustek

Matematická analýza 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Mgr. Jan Šustek Matematická analýza 1 Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Mgr. Jan Šustek 2009 Obsah Obsah Seznam použitých symbolů.................................................. 2 1. Funkce Teoretické základy.................................................

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí registračí číslo projektu: CZ07/500/098 IV- Iovace a zkvalitěí výuky směřující k rozvoji matematické gramotosti žáků středích škol ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ

Více

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limity - 7 - Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé Spojitost a limity Defiice -okolím bodu a azýváme iterval ( a a ) Redukovaým -okolím bodu a azýváme sjedoceí itervalů a a a a Spojitost

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n

U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášky M. Krupky Zmí semestr 999/ 3. Iverzí a mplctí zobrazeí V této kaptole uvádíme dvě důležté věty, které acházeí aplkace v moha oblastech matematky: Větu o verzím a větu o

Více

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace Koec srady!!!.6. Mociy s přirozeým mocitelem I Předpoklady: základí početí operace Pedagogická pozámka: Zápis a začátku kapitoly je víc ež je srada. Tato hodia je prví v druhé části studia. Až dosud ehrálo

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

Matematická analýza 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Mgr. Jan Šustek

Matematická analýza 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Mgr. Jan Šustek Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Mgr. Jan Šustek 009 Obsah Obsah Seznam použitých smbolů....................................... Funkce Teoretické základ..................................... 4. Algebraické

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor.

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor. 5 PŘEDNÁŠKA 5: Jedorozměrý a třírozměrý harmoický oscilátor. Půjde o spektrum harmoického oscilátoru emá to ic společého se spektrem atomu ebo se spektrálími čarami atomu. Liší se to právě poteciálem!

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Vyšší mocniny. Předpoklady: Doplň místo obdélníčků správné číslo. a) ( 2) 3. = c) ( ) = 1600 = e) ( 25) 2 0,8 0, 64.

Vyšší mocniny. Předpoklady: Doplň místo obdélníčků správné číslo. a) ( 2) 3. = c) ( ) = 1600 = e) ( 25) 2 0,8 0, 64. 81 Vyšší mociy Předpoklady: 0081 Př 1: Doplň místo obdélíčků správé číslo a) ( ) = b) = 0, 0000 e) ( ) = 0, ( 0) = 100 = f) ( ) = 8 a) ( ) = 8 b) 0, 0 0, 0000 = ( ) 0,8 0, 0 = 100 = e) ( ) = f) ( ) = 8

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

5 Křivkové a plošné integrály

5 Křivkové a plošné integrály - 7 - Křivkové a plošé itegrály 5 Křivkové a plošé itegrály 51 Křivky Pozámka V této kapitole se budeme zabývat obecými křivkami v Vždy však můžeme položit = 2 či = a přejít tak k speciálím případům roviy

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více