5. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

Transkript

1 Intgrální počt funkc jdné proměnné. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ V kpitolách věnovných difrnciálnímu počtu jsm poznli, ž vypočítt drivci funkc j úloh vclku jdnoduchá. Stčí znát doř drivc lmntárních funkcí prvidl pro drivování součtu, rozdílu, součinu, podílu složné funkc z procsu drivování s stává mchnická zálžitost. Při řšní řdy úloh všk čsto potřujm úlohu opčnou: k dné funkci f( njít tkovou funkci F(, jjíž drivcí j původní funkc f(. Poznám, ž tto úloh j podsttně složitější nž drivování, protož nistuj ocný lgoritmus výpočtu... Nurčitý intgrál... Primitivní funkc nurčitý intgrál Vím, ž funkc f( = má v množině rálných čísl první drivci f ( =, což j opět funkc. Nyní nás zjímá orácná úloh: hldám tkovou funkci F (, y jjí drivc yl rovn původní funkci f( =. J zřjmé, ž F ( =, protož ( ) = = f(. Funkci F ( uvdné vlstnosti nzývám primitivní funkcí k funkci f(. Úlohu můžm zocnit: Funkc F( s nzývá primitivní funkcí k funkci f( v intrvlu (, ), pltí-li F ( = f. pro (, ) [,, 7: ( ) Příkld.: K dným funkcím určt primitivní funkc v intrvlu (-,+ ): ) f( =, F ( = c, noť F ( = c = = f(. ) f( =, F ( = +c, noť F ( = ( + c) = + = f(. c) f( =, F ( = + c, noť F ( = ( + c) = + = = f (. d) f( = sin, F ( = cos + c, noť F ( = ( cos + c) = ( sin + = sin = f (. Poznámk: Z konstntu c v přdchozím příkldu můžm dosdit liovolné rálné číslo vždy ud pltit c =. K kždé funkci spojité v intrvlu (, ) istuj primitivní funkc. Z příkldu j vidět, ž k dné funkci f( istuj v intrvlu (, ) nkončně mnoho primitivních funkcí F(, ktré s vzájmně liší hodnotou konstnty c. Množin všch primitivních funkcí k dné funkci f( v intrvlu (, nzývá nurčitý intgrál funkc f( znčí s [,, 7: f ( d = F( + c. ) s

2 Intgrální počt funkc jdné proměnné Symol nzývám intgrční znk, funkc f( j intgrovná funkc no tké intgrnd, j intgrční proměnná, d j difrnciál intgrční proměnné, konstntu c nzývám intgrční konstnt. Příkld.: Vypočítjt nurčité intgrály funkcí z příkldu.. Řšní: Využijm výsldků příkldu.: ) d = c, ) d = + c, c) d = + c, d) sin d = cos + c.... Výpočt intgrálů Přstož intgrování j opčný procs k drivování, nistují pro výpočt intgrálů všchny vzthy nlogické výpočtům drivcí. Pouz pro součt, rozdíl násoní konstntou pltí: Mjí-li funkc f( g( v intrvlu (, ) nurčitý intgrál, istuj rovněž intgrál jjich součtu, rozdílu násoku konstntou pltí: ( g( ) d = f ( d + f ( + g( d, (7) intgrál součtu j součt intgrálů, ( g( ) d = f ( d f ( g( d, (8) intgrál rozdílu j rovn rozdílu intgrálů, kf ( d = k f ( d, k R (9) konstntu vytýkám přd intgrál. Nurčité intgrály k lmntárním funkcím odvodím sndno z známých vzthů pro drivc lmntárních funkcí ( - 9): d = c, () d = + c, () d = + c, () n+ n d = + c, n -, n + ()

3 Intgrální počt funkc jdné proměnné d = ln + c, () sin d = cos + c, () cos d = sin + c, (6) d = tg + c, cos (7) d = cotg + c, sin (8) d = + c, (9) d = + c, >,. () ln J tř zdůrznit, ž uvdné vzthy pltí v kždém intrvlu, ktrý j částí dfiničního ooru intgrovné funkc. Poznámky:. Pro zvládnutí intgrc většiny funkcí j nzytně nutno znát vzthy pro výpočt nurčitých intgrálů lmntárních funkcí zpměti!. Eistuj clá řd intgrčních mtod, sznámím s všk pouz s něktrými z nich.. Součsná výpočtní tchnik umožňuj intgrci i poměrně složitých funkcí využitím vhodného mtmtického softwr (MATHEMATICA, DERIVE, ).. Byly vytvořny rozsáhlé tulky nurčitých intgrálů řdy funkcí. Příkld.: Vypočítjt v dfiničním ooru intgrovné funkc nurčité intgrály: ) A = + d Řšní: Použijm postupně vzthy (7, 8, 9, ): A = d + d d = + + c + + = = + c = + c. 7 7 ) B = d Řšní: Protož nistuj žádný vzorc pro intgrování složné funkc, musím njprv funkci v závorc umocnit pk použijm vzthy (7, 8, 9,,, ):

4 Intgrální počt funkc jdné proměnné B = B = +. + d = d d + d = + ln + c + + ln + c = 8 + ln + c. c) C = cos d sin Řšní: Použijm postupně vzthy (7, 8, 9, 6, 8, 9, ): C = cos d d + 7 d 6 d sin C = sin ( cotg c = sin + cotg c. d) D = tg d Řšní: Intgrovnou funkci njprv musím postupně uprvit pk použijm vzthy (8, 7, ): sin cos D = d = d = d = d d = tg + c. cos cos cos cos... Intgrc sustituční mtodou Tto vlmi čsto používná mtod spočívá v sustituci (nhrzní) intgrční proměnné novou proměnnou tkovým způsom, y vznikl jdnodušji řšitlný intgrál. Jstliž istuj f ( d = F(+c pro (, ) funkc = ϕ(t), ktrá zorzuj intrvl (c, d) n intrvl (, ), má n intrvlu (c, d) drivci & = ϕ&(t ), istuj f ( ϕ ( t) ) & ϕ( t) dt pltí [,, 7: f ( d = f ( ϕ ( t) ) & ϕ( t) dt. Použití přdchozího prvidl si ukážm n příkldch. Příkld.: Vypočítjt v dfiničním ooru intgrovné funkc nurčité intgrály: 8 ) E = ( + ) d Řšní: Intgrál ychom mohli vyřšit umocněním n osmou (pomocí inomické věty no postupným roznásoním dvojčlnu v závorc) pk intgrovt součt dvíti funkcí. J zřjmé, ž tnto postup j vlmi prcný zdlouhvý. Proto použijm sustituci. Funkci v závorc nhrdím novou proměnnou t: + = t vypočítám jjí difrnciál () d(+) = (+) d = d = dt. Z posldní rovnosti vypočítám d = dt dosdím do intgrálu:

5 Intgrální počt funkc jdné proměnné ( + ) t t E = t dt = t dt = + c = + c = + c V závěru jsm jště dosdili z novou proměnnou t původní proměnnou. ) ) F = ( d 9 Řšní: Uvědomím-li si, ž ( ) =, zvdm novou proměnnou t =, podl () vypočítám dt = ( ) d = d odtud d = dt dosdím: t F = ( ) ( ) d = t ( dt) = t dt = + c = + c) G = cos sin d Řšní: Protož ( cos = sin zvdm novou proměnnou t = cos, podl () vypočítám dt = ( cos d = sin d, sin d = dt dosdím: G = cos (sin d d) H = ( 6 ) t ( dt) d = t dt = + c = + t, cos Řšní: Aychom odstrnili dvojčln pod odmocninou, zvdm sustituci t = 6, podl () vypočítám dt = ( 6 d = 6d, d = dt dosdím do zdání: t H = t ( dt) = t dt = + c = t = ( 6 + c. ln ) I = d Řšní: Zvdm sustituci t = ln, podl () určím dt ( ln d = d 7 = dosdím: t ln ln.( d = tdt = + c = c. I = + f) J = k d 6 c. c 7

6 Intgrální počt funkc jdné proměnné 6 Řšní: Zvdm sustituci t = k, podl () určím ( ) dt = k d = kd, d = dt k dosdím: t t t k I = dt = dt = + c = + c. k k k k g) K = sin kd, K = cos kd. Řšní: O intgrály vyřším sustitucí uvdnou v přdchozím intgrálu: K = sin t dt = cost + c = cos k + c, k k k K = cos t dt = sin t + c = sin k + c. k k k f ( d h) L = f ( Řšní: Tnto vlmi důlžitý intgrál vyřším sustitucí t = f(, dt = f ( d : L = ( f ( d = dt = t + c = f + c f ( ln ln ( ). t Význm zdůrzním i slovním vyjádřním: Jstliž intgrnd oshuj v čittli drivci jmnovtl, j jho intgrál rovn přiroznému logritmu solutní hodnoty jmnovtl. Poznámky:. Intgrály uvdné v příkldch., g, h j doré si zpmtovt proto j přidám k zákldním vzorcům: k d = + c, k () sin kd = cos k + c, k () cos kd = sin k + c, k () f ( d = f ( ln f ( + c. (). N zákldě přdchozích vzthů můžm přímo psát: M = d c podl (), N = sin,d = cos, + c, podl (), O = cos d = sin + c = sin + c podl (),

7 Intgrální počt funkc jdné proměnné d = d = ln + + P = d = d = ln Q = + c + c podl (). podl ().. Z příkldů j zřjmé, ž urční sustituc j ocně otížné, protož nistuj univrzální návod pro volu vhodné sustituc.... Intgrc mtodou pr prts Poznli jsm, ž součt funkcí lz intgrovt jdnoduš, znám-li intgrály jdnotlivých sčítnců. Součin funkcí jdnoduchým způsom intgrovt nmůžm, protož nistuj univrzální lgoritmus pro intgrci součinu (v tom j zásdní rozdíl mzi drivcí intgrcí součinu funkcí!!!). Pro intgrci součinu dvou funkcí můžm někdy použít intgrční mtodu pr prts (čsky po částch): Mjí-li spojité funkc u( v( v intrvlu (, ) spojité drivc u (, v (, pk v intrvlu (,) pltí [,, 7: ( v( d = u(. v( u( v ( u.. d. () Čsto používám stručnější pro zpmtování sndnější zkrácný zápis u vd = u. v u. v. d. Poznámk: Vidím, ž při intgrci pr prts nhrzujm jdn intgrál intgrálm druhým. J logické, ž použití mtody má význm pouz v tom přípdě, kdy tnto druhý intgrál j jdnodušší. Příkld.: Vypočítjt zdné intgrály v jjich dfiničním ooru mtodou pr prts: ) R =. d Řšní: Zvolím u =, v =, vypočítám u = = =, = ( ) u d d v = dosdím do vzthu (): R =.. d =. + c = ( ) + c. ) S =. cos d = cos, v, Řšní: Zvolím u = vypočítám u = u d cos d sin, v ( ) = = = = dosdím do vzthu ():

8 Intgrální počt funkc jdné proměnné 8 S= sin. sin.d = sin. sin d. V výsldku vznikl intgrál. sin d, ktrý řším opět mtodou pr prts. Zvolím u = sin, v =, vypočítám u = = sin = cos, = ( ) u d d v = opět dosdím do vzthu (): S = sin ( cos. cos.d = sin +.cos sin + c. c) T =. ln d Řšní: Zvolím u =, v = ln, vypočítám u u d = d =, v = ( ln = = dosdím do vzthu (): T =.ln. d =.ln d =.ln + c. d) U = ln d =.ln d Řšní: Do intgrndu jsm njprv dopsli smozřjmého činitl pk volím u =, v = ln, =. Po doszní do vzthu () dostnm: vypočítám u = d =, v = ( ln. + c. U = ln. d =.ln d = ln + c = ( ln ) ) V =. ln d Řšní: Zvolím u =, v = ln, = pk vypočítám u = u d = d =, v = ( ln Dosdím do vzthu ():. V = ln d = ln d = + c ln. Porovnjt zvolnou intgrční mtodu s řšním zdánlivě podoného intgrálu I v příkldu.. Poznámky:. Z přdchozích příkldů j zřjmé, ž při intgrci mtodou pr prts j důlžitá správná vol funkcí u v. J tř mít n pměti, ž z funkci u musím zvolit tu funkci, jjíž intgrál umím vypočítt. Oznčím-li symolm P( polynom stupně n, pk u intgrálů typu

9 Intgrální počt funkc jdné proměnné 9 P(. ln d volím u = P(, k k P(. d, P(. d, P(.sin kd, P(.cos kd volím v = P(, k k. sin md,.cos md volím liovolně, musím všk při dlším použití mtody pr prts volu zchovt vyřšit příslušnou rovnici.. Můž s stát, ž nově vzniklý intgrál řším znovu mtodou pr prts (i několikrát z sou). Příkld.6: Vypočítjt intgrál W =. sin d. Řšní: Zvolím u =, v = sin, =, cos. pk vypočítám u u d = d = v = (sin = Po doszní pltí W =. sin.cos d. Nově vzniklý intgrál opět řším mtodou pr prts: Zchovám volu u =, v = cos pk u u d = d = v = (cos = =, sin. Po doszní do () W = sin ( cos sin d vidím, ž jsm po dvojí intgrci mtodou pr prts opět získli zdný intgrál: W= sin ( cos + W ). Vyřšním jdnoduché linární rovnic pro nznámou W, dostnm řšní: ( sin cos W = + c Cviční. Užitím zákldních vzorců prvidl pro intgrování vypočtět intgrály: ) ( + ) d [ + + c 6 ( ) ) d [ + + ln + c ( ) 9 c) d [ ln + + c 8 d) ( d [ + c ) d [ + c

10 Intgrální počt funkc jdné proměnné ( + ) f) + g) d d [ ln c [ + + c h) d [ ( ) + c 7 i) cot g d [ cot g + c cos j) sin d [ cotg + c sin k) cos d [ cos + c l) ( ) d [ ln + c. Sustituční mtodou vypočítjt intgrály: ) + ) 6 (+ ) ( d [ + c [ ( + ) + c 9 ) + d 6 c) sin cos d [ sin + c d) tgd [ ln cos + c tg ) cos d [ tg + c 8 f) d [ ( ) + c g) d [ + c + ( + ) ln h) d [ ln + c i) d + [ ln( + ) + c sin j) cos d [ c + cos

11 Intgrální počt funkc jdné proměnné sin k) + cos d [ ( + cos ) + c. Mtodou pr prts vypočítjt intgrály: [ ( ) + c ) ln d ln ) ln d [ (ln ) + c c) cos d [ sin + cos + c d) cos d [ sin + cos sin + c ) sin d [ cos + sin + c f) d [ ( + ) + c.. Určitý intgrál... Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f( n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(, pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f( od do vzthm [,, 7: [ F( = F( ) F( ) f ( d =. (6) Funkc f( s nzývá intgrovtlná v <, >, intrvl <, > j intgrční intrvl, rálná čísl, jsou intgrční mz, j dolní mz, horní mz určitého intgrálu. Určitý intgrál j rálné číslo, ktré j jdnoznčně určno funkcí f( mzmi,. Uvědomt si zásdní rozdíl mzi nurčitým intgrálm (množin primitivních funkcí) určitým intgrálm (rálné číslo). Poznámk: Při výpočtu primitivní funkc F( k funkci f( j zytčné uvádět intgrční konstntu c. Dosďm do vzthu (6) primitivní funkci F( doplněnou o konstntu c: [ F( + c = [ F( ) + c [ F( ) + c = F( ) + c F( ) c = F( ) F( ) f ( d =. Vidím, ž intgrční konstnt c s v výsldku nvyskytuj.

12 Intgrální počt funkc jdné proměnné y y = y y = f( Or. 9: ) Gomtrický význm intgrálu A ) Gomtrický význm určitého intgrálu Příkld.7: Vypočítjt určitý intgrál A = d. Řšní: Intgrovná funkc f( =, dolní mz =, horní mz = (or. 9). Podl vzthu (6) musím njprv určit primitivní funkci pk do ní dosdit horní dolní mz: A = d = = =. Gomtrický význm určitého intgrálu Vypočítjm osh P trojúhlník ohrničného funkcí y =, osou přímkou = (or. 9). Protož tnto trojúhlník j prvoúhlý, sndno určím P =. =. Výsldk j totožný s výsldkm určitého intgrálu v příkldu.7. Tuto okolnost můžm zocnit: Dá s dokázt, ž určitý intgrál f ( d j číslně rovn oshu rovinného orzc, ktrý j ohrničn funkcí f( >, osou přímkmi =, = (or. 9). N zákldě gomtrického názoru vlstností nurčitého intgrálu nyní sndno pochopím zákldní vlstnosti určitého intgrálu: Nchť f( g( jsou funkc intgrovtlné v <, >, c <, > k j rálné číslo. Pk pltí: f ( d =, f ( d = - f ( d, změním-li v intgrálu horní dolní mz, změní s znménko intgrálu n opčné, ( + g( ) d = f ( d + f ( g( d, určitý intgrál součtu j rovn součtu určitých intgrálů,

13 Intgrální počt funkc jdné proměnné kf ( d = k f ( d, konstntu vytýkám přd určitý intgrál, c f ( d = f ( d + f ( d. c Příkld.8: Vypočítjt určité intgrály: + d ) B = ( ) Řšní: Intgrnd njprv uprvím pk použijm vzth (6): B = ( + + ) d = + + = ( +. + ) ( +. + ) B =. π ) C = ( cos sin Řšní: Podl (6) pltí: π d C = [ sin cos π π + = sin + cos ( sin + cos) =. c) pro, 6 D = f ( d, f(= pro <,>, pro. Řšní: V tomto přípdě musím určitý intgrál rozdělit n součt tří intgrálů: D = d + d + d = [ + + = ( ( ) ) + ( ) + ( ) D = Mtod pr prts v určitém intgrálu Jsou-li funkc u(, v( jjich drivc u (, v ( spojité v uzvřném intrvlu <, >, pk pltí [,, 7:

14 Intgrální počt funkc jdné proměnné [ u(. v( u (. v( d = u(. v ( d. (7) Poznámk: Stručněji lz uvdný vzth zpst v tvru [ u. v u v d u. vd =., ktrý si vzhldm k větší přhldnosti snáz zpmtujm. Příkld.9: Vyřšt intgrály: π ) E = ( )sin d Řšní: Zvolím v = -, u = sin, vypočítám v =, u = sin d = -cos dosdím do vzthu (7): π [ d = ( E = ( )( cos. ( cos π [ cos + sin = = ( ) cosπ + sinπ ( )cos sin = π = π ) F= ln( + ) d π. Řšní: Zvolím v = ln(+), u =, vypočítám v =, u = + d = dosdím do vzthu (7): +.ln( ) d =.ln( ) d.ln( ) ( d + = [. ln( + ) +.ln( + ) =.ln +.ln.ln =.ln = (ln ) c) G = d Řšní: Zvolím v =, u =, vypočítám v =, u = = dosdím do vzthu (7): G = [.. d = [. =. ( ) = d..

15 Intgrální počt funkc jdné proměnné... Sustituční mtod v určitém intgrálu J-li funkc f( intgrovtlná v uzvřném intrvlu <, >, funkc = ϕ(t) má v uzvřném intrvlu <α, β> spojitou drivci ϕ& (t), přičmž ϕ(α) = ϕ(β) =, pk pltí [, 7: β f ( d = f ( ϕ ( t)) & ϕ( t). dt. α Poznámk: Při výpočtu určitého intgrálu musím provést nhrzní stré proměnné z novou proměnnou clkm třikrát: v intgrndu, v difrnciálu v intgrčních mzích! Příkld.: Vypočítjt vhodnou sustitucí intgrály: ln + ) H = d ln + =, zvolím sustituci ln + = t, potom d = dt. Přpočítám mz: α = ln + =, β = ln + = + = dosdím do intgrálu: Řšní: Protož pltí ( ) t 9 H = t. dt = = =. π ) I = cos.sin d Řšní: Zvolím sustituci cos = t, pk -sin d = dt, sin d = -dt. Přpočítám mz: α = cos =, β = t t. = t dt = = = I = ( dt) c) J = + d cos π = dosdím: Řšní: Sustitucí + = t, d = dt, d = dt, α = + =, β = + =, přvdm intgrál n tvr: t J = dt = t dt = = = ( ) t.

16 Intgrální počt funkc jdné proměnné 6... Gomtrické plikc určitého intgrálu Osh rovinné olsti Z gomtrického význmu určitého intgrálu vím, ž pro osh P rovinné olsti, ktrá j ohrničn osou, přímkmi =, = funkcí y = f ( > pltí (or. 9): P = f ( d. (8) Podl zdání rovinného orzc rozlišujm tyto možnosti: y y y = f( y = - Or. :, ) Výpočt oshu orzc pro f( < V přípdě, ž funkc f ( j v intrvlu <, > záporná, j intgrál n prvé strně vzthu (8) rovněž záporný. Vzhldm k tomu, ž osh kždého orzc j vždy nzáporné číslo, použijm pro liovolnou funkci y = f ( (or. ) v vzthu (8) jjí solutní hodnotu: P = f ( d. (9) Příkld.: Vypočítjt osh orzc, ktrý j ohrničn osou funkcí y =. Řšní: Grfm funkc j prol, pro jjíž průsčíky s osou pltí: =, po úprvě ( )= tdy =, =. Intgrujm v intrvlu <, > protož j funkc y = v tomto intrvlu záporná (or. ), použijm vzth (9): P = d = ( ) d = 6 =.6 =. Pokud j rovinná olst ohrničn dvěm funkcmi o rovnicích y = f ( y = g (, přičmž pltí f ( g (, přímkmi =, = (or. ), j jjí osh určn vzthm P = ( f g( ) ( d. () Příkld.: Vypočítjt osh orzc, ktrý j ohrničn funkcmi y =, y = + v intrvlu <, >. Řšní: Podl vzthu () or. pltí:

17 Intgrální počt funkc jdné proměnné 7 =. = P = ( + ) ) d = d = [ 6. y y = f( y y = + y = y = g( Or. :, ) Výpočt oshu orzc ohrničného dvěm funkcmi přímkmi =, = V přípdě, ž j rovinná olst ohrničn pouz dvěm funkcmi o rovnicích y = f ( y = g (, přičmž pltí f ( g ( (or. ), j jjí osh určn vzthm (). Intgrční mz určují ové souřdnic průsčíků oou křivk, proto musím njprv vyřšit rovnici f ( = g (. y y y = g( y = + f( - Or. :, ) Výpočt oshu orzc ohrničného dvěm funkcmi Příkld.: Vypočítjt osh orzc, ktrý j ohrničn funkcmi y = y = +. Řšní: Intgrční mz určím vyřšním rovnic = +, - - =, ( )( + ) =, =, = - =-, =. Pro osh dné olsti (or. ) pltí : P = ( + ) d = + = ( ) + =. Délk rovinné křivky J-li rovinná křivk vyjádřn plicitně funkcí y = f(, pk jjí délku pro <, > vypočítám podl vzorc s = + ( f ( ) d = + ( y ) d. () Příkld.: Vypočítjt délku křivky y = pro <, >. Řšní: Dolní mz =, horní mz =, y = ( =, proto podl () pltí:

18 Intgrální počt funkc jdné proměnné 8 s = + = d = [ = ( ) = d. O správnosti výsldku s sndno přsvědčím přímým výpočtm (použitím Pythgorovy věty) or.. y y = Or. : Výpočt délky křivky vyjádřné plicitně.pro výpočt délky křivky j ovykl mnohm výhodnější prmtrické zdání křivky: = ϕ (t), y = ψ(t), t <α, β> (viz kpitol..7). V tomto přípdě pro délku rovinné křivky pltí vzth β &( ( & ) + ( y& ) dt. () s = ( ϕ t) ) + ( ψ& ( t) ) dt = α β α Příkld.: Ověřt vzth pro výpočt délky kružnic o poloměru r. Řšní: Umístím-li střd kružnic do počátku soustvy souřdnic, mjí jjí prmtrické rovnic tvr: = rcos t, y = rsin t, t <, π>. Dosdím do vzthu () drivc π π = s = ( r sin t) + ( r cost) dt = r dt πr, & = r sin t, y& = r cost : což j známý vzth pro urční ovodu kruhu o poloměru r. Ojm rotčního těls Přdstvm si v rovině olst, ktrá j ohrničn osou, přímkmi =, = funkcí y = f ( >. y y = y = - Or. : Výpočt ojmu povrchu pláště rotčního těls

19 Intgrální počt funkc jdné proměnné 9 Rotcí této olsti kolm osy vznikn rotční tělso pro jhož ojm pltí V = ( f ( ) d = π π y d. () Příkld.6: Vypočítjt ojm těls, ktré vznikn rotcí orzc ohrničného osou, křivkou y = přímkou = kolm osy. Řšní: Z or. j zřjmé, ž =, =. Doszním do vzthu () získám π π d = π d = π =. V = ( ) Povrch pláště rotčního těls Pomocí určitého intgrálu sndno vypočítám rovněž povrch pláště rotčního těls, jhož vznik j popsán v přdchozím odstvci (or. ). Sndno s dá odvodit vzth d = y + ( y S = f ( + ( f ( ) π π ) d. () Příkld.7: Vypočítjt osh pláště rotčního komolého kužl, ktrý vznikn rotcí přímky y = v intrvlu <, > kolm osy. Řšní: Stjně jko v příkldu. j dolní mz =, horní mz =, y = ( =, proto podl () pltí: S = π + d = π d = π [ = π ( ) = π.... Cviční. Vypočítjt určité intgrály: ) ( + ) d [ ) ( ) d [ 688 c) d) 9 + d d [ 6 [ 9 ln π ) sin d [π-

20 Intgrální počt funkc jdné proměnné sin f) cos d [ π g) + ln d [ ( ) π h) sin ( cos d [. Vypočítjt osh orzc, ktrý j ohrničn dnou funkcí osou v dném intrvlu: ) y =, <, > [ ) c) y =, <, > [ ) ( y = +, <, > [ 7 d) y = sin, < π, π > [. Vypočítjt osh orzc ohrničného funkcmi: ) y =, y = ) y =, y = [ c) y =, y = [ d) y =, y =, = [ ) y = cos, y = sin, = v I. kvdrntu [ f) y = +, y = 6 [ 6. Vypočítjt ojm těls, ktré vznikn otáčním zdného orzc kolm osy : ) y =, =, y = [ π ) y =, y = [ π c) y =, y = [ π π d) y = tg, y =, = [ π ( π ) π ) y =, y = [ f) y =, y =, =, = [ π. Vypočítjt délku křivky zdné prmtricky: = t, y = t t, t <, >. [ [ 6

21 Intgrální počt funkc jdné proměnné