OBECNÉ ZÁKONY DYNAMIKY TĚLESA S APLIKACÍ NA ROVINNÝ POHYB

Transkript

1 OCNÉ ZÁKONY YNMIKY TĚS S PIKCÍ N ROVINNÝ POHY SPCIFIKC PROÉMU Mějme obecným pohybem e pohybující těeo (vz ob.) o tředu hmotnot S (poohový veto nehybnému počátu ouřadncové outavy x y z) na teé v bodech (poohové vetoy vzhedem ) půobí tatcé íy F (.. n). ŘŠNÍ Vytněme na těee bovoný eement hmotnot dm (poohový veto vzhedem počátu a poohový veto ρ vzhedem e tředu hmotnot S). Tento eement (bod) e pohybuje oamžtým zychením a. Pode. Newtonova pncpu na eement půobí eementání dynamcá (et-vačná) ía d a dm. Přeuňme tuto íu na ovnoběžnou noteu do počátu za oučaného přpojení eementání ové dvojce (záadní věta taty - Mechana I) dm a dm. Vzné eementání íy a dvojce od všech eementů ečteme (tj. z ntegujeme). V nehybném počátu jme tedy etvačné účny nahad výednou dynamcou (etvačnou) ou d a dm () a etvačnou dvojcí M m m dm ( a dm). () Pode embetova pncpu jou etvačné a tatcé účny v ovnováze. Patí tedy (tatcé íy F ovněž přeouváme do počátu za přpojení příušných dvojc) F + ; ( F ) + M. (3) evujeme- nyní defnc tředu hmotnot (3.) pode čau dotáváme př ontantní hmotnot potupně mv v dm d H H

2 což je vatně anaoge pvní věty o pohybu tředu hmotnot outavy hmotných bodů patná po těeo (jaožto neonečnou outavu bodů). aší čaovou devací dotaneme m a a dm (4) F pode () a (3). Vzný výaz nám dává dva výedy: ) Říá že výedná etvačná ía (v nehybném počátu) je záponě vzatý hmotnotní náobe zychení tředu hmotnot těea. Pode tohoto zychení učujeme tedy etvačnou íu. ) Rovnc ma F ze chápat jao vetoovou ovou pohybovou ovnc pohybu těea potože jejím ozepáním do měů ouřadncových o učujeme (př znaot zatížení F ) pohyb tředu hmotnot těea. Vyjádřeme nyní veto momentu hybnot těea nehybnému počátu. Pode defnce je ( v) dm. (5) Z obázu je zřejmé že + ρ taže čaovou devací oud v v + v de v je eatvní ychot eementu těea vůč pohybujícímu e tředu hmotnot. oazením do předchozího výazu dotáváme potupně + ρ v + v dm v dm + v dm + ρ v dm + + ( ρ v ) dm ( v ) dm + v dm + ρdm v + ( ρ v ) dm potože a v jou na eementu dm nezávé vetoy. Pvní čítanec (6) upavíme jao ( v ) dm mv H pode. věty o pohybu tředu hmotnot. uhý a třetí čítanec jou nuové potože pode defnce tředu hmotnot je ρ dm m ρ v dm mv de ρ je poohový veto tředu hmotnot vzhedem e tředu hmotnot (nuový veto) a v je eatvní ychot tředu hmotnot vůč tředu hmotnot (taé nuový veto). Poední čítanec (6) označíme jao ( ρ v ) dm (7) a má význam momentu hybnot těea vzhedem pohybujícímu e tředu hmotnot. Ceem po doazení do (6) vznne (6)

3 H +. (8) Moment hybnot těea nehybnému počátu je (vetoovým) oučtem momentu hybnot těea outředěného do tředu hmotnot a momentu hybnot vůč pohybujícímu e tředu hmotnot. Nyní počítáme moment hybnot. Jetže ozad v v + v je záadní je duhotná ychot v ychot fécého pohybu e tředem ve tředu hmotnot. xtuje tedy veto ω úhové ychot tohoto pohybu ta že v ω ρ (vz Mechana I nemata). oazením do (7) máme [ ρ ( ω ρ )] dm ω ρ dm ρ ( ω ρ )dm. (9) Zde byo použto záadního vztahu po úpavu dvojného vetoového oučnu a ( b c) b( a c) c( a b) přčemž a c ρ b ω. Symboem x je označován vetoový oučn ymboem. aání oučn a bez ymbou náobe vetou aáem. Navíc veto ω je poečný po ceé těeo (nezávý na eementu) taže jej ze vytnout před ntegá. Vezměme nyní ouřadncový ytém oam ovnoběžným nehybným ytémem x y z teý má počáte ve tředu hmotnot a poouvá e ním. V tomto ytému ω ω ω ω ; ρ ;. Rozpem poedního vetoového nechť [ ] [ ] [ ] vztahu (9) do tato defnovaných ože máme ω ω ω ( + + ) dm ( ω + ω + ω ) ( + + ) dm ( ω + ω + ω ) Roznáobením a ečtením ntegandů oud ω ( + + ) dm ( ω + ω + ω ) ω ω ( + ) dm ω ( + ) dm ω dm ω ( + ) dm ω dm ω dm ω dm dm dm dm. dm dm. Pode defnce oových momentů etvačnot a devačních momentů oud I ω ω ω ω + I ω ω ω ω + I ω. Vzhedem matcovému náobení zavedením matce etvačnot vetoů [ ] T a [ ω ω ω ] ω máme I a (oupcových)

4 I ω. () Veto momentu hybnot poouvajícímu e tředu hmotnot je dán matcovým náobem matce etvačnot a vetoem úhové ychot (oamžté) eatvního fécého pohybu. Oba vetoy matce jou vyjádřeny v ytému počátem v (pohybujícím e) tředu hmotnot oam ovnoběžným nehybným ytémem x y z. evujme nyní (5) pode čau. Zíáme d ( v v) dm ( a) dm +. Pvní čítanec jet vša nuový jaožto vetoový oučn oneáních vetoů. uhý čítanec upavíme potupně pode () a (3). Zíáme ta d M ( F ). () Vzný výaz nám dává opět dva výedy: ) Setvačná dvojce př náhadě v nehybném počátu je záponě vzatá čaová devace momentu hybnot těea onomu počátu. ) Rovnc d ( ) ze chápat jao vetoovou momentovou pohybovou ovnc z níž ozepáním do obecně tří o učujeme př znaot zatížení večny popující moment hybnot. evujeme nyní pode čau výaz (8). Zíáme d v mv + m a F d +. () Pvní čítanec je nuový (vetoový oučn oneáních vetoů). uhý čítanec má pode (4) hodnotu m a F. oadíme- tento výaz a () do () obdžíme d ( F ) F + odud d [( ) F ] ( F ) ρ (3) vzhedem obázu na taně edm. Pode embetova pncpu je pavá tana (3) etvačnou dvojcí M př náhadě eementáních etvačných v pohybujícím e tředu hmotnot. Výaz (3) ze též chápat jao vetoovou momentovou pohybovou ovnc ze teé př znaot zatížení učíme paamety duhotného fécého pohybu.

5 Závěem odvoďme ještě vztahy po výpočet netcé enege pohybujícího e těea př ozadu ve tředu hmotnot S. Pode defnce d v dm. Po doazení vztahu po ychot eementu ze záadního ozadu v těžšt potupně máme ( v + v) ( v + v) dm v dm + v v dm + v dm m m m potože ychot těžště nezáví na pooze eementu a tedy je j možno vytnout před ntegá. uhý čítanec předchozího výazu je nuový potože devací defnčního vztahu po poohu tředu hmotnot máme v dm v m a v jaožto eatvní ychot těžště (vzhedem těžšt). Poední vztah po netcou eneg poto přepíšeme jao m v + v dm. (4) Výaz vyjadřuje tzv. Köngovu větu: Knetcá enege těea př záadním ozadu ve tředu hmotnot (oba předpoady jou nutné) je ovna oučtu netcé enege od unášvého pouvu (chápán jao pohyb bodu hmotnotí outředěnou do S) a netcé enege duhotného fécého pohybu. Vyjádříme ještě tuto večnu. oazením v ω ρ jen do jednoho čntee a úpavou zíáme v dm v ( ω ρ) dm ω ( ρ v ) dm. Použ jme přtom vztahu po úpavu aáně vetoového oučnu ve tvau a ( b c ) b ( c a) c ( a b). Integá vpavo je pode (7). Poto v dm ω a po doazení do Köngovy věty (4) Uvážíme- vetoy ω a přepat na Po doazení z () onečně m v + ω. ve tvau oupcových vetoů (matc) ze předchozí výaz + T m v ω. m ω T I ω +. (5) v uhý čítanec je vadatcá foma v ouřadncích vetou ω matcí etvačnot jaožto matcí této vadatcé fomy. Potože výedem je aá jenž jet nezávý na vobě

6 ouřadncového ytému patí (5) ať už I a ω je vyjádřeno v pevném nebo těeem pojeném ouřadncovém ytému. PIKC PRO ROVINNÉ POHYY TĚS Řešíme- pohyb těea potupujeme (podobně jao u bodu) metodou uvoňování. Uvoníme myšeným řezy těeo od jeho vazeb ámu a pode vazeb (v ovně otační vavá pouvná a obecná) přpojíme příušné nezávé ožy eací. áe těeo zatížíme tatcým ačním účny (tíhy třecí účny atd.) a pode duhu pohybu přpojíme dynamcé etvačné účny. Statcé a dynamcé účny tvoří ovnovážnou ovou outavu. Pode typu ové outavy fomuujeme patřčný počet podmíne ovnováhy (něteé jou povnně momentové vz MCHNIK I). Matematcým vyoučením eací z těchto podmíne zíáme tzv. vatní pohybové ovnce. Je jch to o má těeo tupňů vonot a jou to dfeencání ovnce. Jejch vyřešením zíáme nematcé večny (výchyy ychot zychení) doonae popující pohyb těea v bovoném čae. Př znaot těchto nematcých večn (tedy až př znaot pohybu) z agebacých ovnc vzných vyučováním eací ze zíat čaové závot eací ve vazbách. Je tedy patno že ja po řešení pohybu ta po řešení eací je nutno znát etvačné účny na těeo půobící. Po ovnný pohyb těea e vyjádřením etvačných účnů pode duhu pohybu ohedem na výedy obecné aptoy budeme dáe zabývat.. POSUVNÝ POHY V tomto případě nahadíme eementání etvačné účny na jednotvé body ve tředu hmotnot (pohybujícím e). V tomto bodě pode (4) půobí etvačná ía. Př tomto pohybu má mě totožný jao zychení těea (všechny body př pouvu mají tejná zychení) my opačný než zychení a veot ma. Zychení tředu hmotnot (tejně jao všech otatních bodů) má ožy pode řvy po teé e těeo poouvá. Např. př pouvu po užnc je a a t + an de a t je tečná oža zychení o veot a t α a nomáová (dotředvá) oža zychení a n má veot a n ω přčemž je poomě užnce po níž e těeo poouvá úhovou ychotí ω a úhovým zychením α. Příušné etvačné účny jou tečná etvačná ía T mα (pot α ) a oředvá ía O mω (od tředu užnce). Obě íy půobí ve tředu hmotnot těea.. ROTC KOM HVNÍ CNTRÁNÍ OSY STRVČNOSTI Potože oa otace je centání třed hmotnot e nepohybuje. Jet poto a o a pode (4) je o. Na tato e pohybující těeo půobí pouze etvačná dvojce. Voíme- třed hmotnot za počáte nehybné outavy x y z jet pode (3) tato dvojce d M S. (6) Nechť oa otace je oa x. Vome ještě ouřadncový ytém ( x) jenž bude pevně pojený těeem (bude ním otovat). Vyjádříme- vetoy a ω jaož matc etvačnot I v tomto ytému dotaneme pode ()

7 I ω I ω I I potože je havní oa etvačnot a tudíž a záoveň oa je oou otace taže veto ω má pouze - ovou ožu ovnou ω. Je tedy I ω. (7) Pode (6) je nutno devovat pode čau ovšem jaoby byo vyjádřeno v nepohybvé (nebo jen poouvající e) ouřadncové outavě. Naše outava vša otuje. Potože otace e děje oem oy x teá př otac nemění vůj jednotový veto má devace (7) v ytému tejný tva jao v ytému x y z. Setvačná dvojce pode (6) a (7) půobí oem oy otace a má veot I α a my pot ótování úhového zychení. Knetcá enege je pode Köngovy věty po vyjádření I ω v ytému oud v o ovna ω T I ω taže po I ω. (8) 3. ROTC KOM HVNÍ OSY STRVČNOSTI Střed hmotnot není na oe otace nýbž je od ní vzdáen o vzdáenot e. Poto e tento bod pohybuje po užnc e tředem na oe otace o pooměu e. Pode (4) etvačná ía (nahazena v nehybném bodě na oe počátem ouřadncového ytému x y z) m a. Zychení tředu hmotnot a má př zmíněném pohybu ožy a at + an. Tečná oža má veot α e a my příůtu α. Nomáová oža (dotředvé zychení) má veot e ω a my do tředu užnce po teé e pohybuje třed hmotnot. Těmto ožám zychení budou odpovídat příušné ožy etvačné íy. Jedná e o tečnou etvačnou íu

8 T o veot T meα pot příůtu α oředvou íu O o veot O m eω jdoucí od tředu užnce po níž e pohybuje třed hmotnot. Obě íy jou nahazeny v nehybném počátu ouřadncového ytému x y z (a tedy nov ve tředu hmotnot). Potože oa otace je havní oou etvačnot učíme tejně jao v předchozím oavc že etvačná dvojce je M α I x oem oy x. Oa x ( - vz oavec výše) vša nepochází tředem hmotnot. Př znaot momentu etvačnot oe pocházející tředem hmotnot je třeba po přepočet použít Steneovu větu. Knetcá enege je pode Köngovy věty ovna mv + I x ω de v je ychot tředu hmotnot a ω úhová ychot duhotné otace př ozadu v S. Moment etvačnot I x jet oe x jdoucí ovnoběžně x tředem hmotnot. Zřejmě v eω taže ( me + ) ω. I x Pode Steneovy věty vša m e + I x I x. Poto po netcou eneg patí tejný vztah (8) ovšem oový moment etvačnot je e utečné oe otace (tedy oe zde nepocházející tředem hmotnot). 4. ROTC KOM OCNÉ OSY Potože oa otace není centání půobí ve zvoeném počátu na oe otace (vz ob.) tečná etvačná ía T a oředvá ía o od uhového pohybu tředu hmotnot tejně jao v předchozím oavc. Setvačná dvojce vša pode (3) má tva d o M. (9) Jetže zavedeme ouřadncový ytém pojený těeem (vz ob. oa x je oou otace) má matce etvačnot vůč němu potože oa není havní obecný tva. Pode () teý můžeme ve tejném tvau odvo po ouřadncovou outavu nepocházející tředem hmotnot je v ytému. I ω I ω o I ω I ω () I ω potože veto ω má opět pouze - ovou ožu. Moment hybnot má vša nyní všechny tř ožy. evac (9) je poto nutno povét včetně devace pohybujících e jednotových vetoů měů o a. V nematce by odvozen výaz po devac vetou c v otujícím ouřadncovém ytému (úhovou ychotí ω ) ve tvau d c d c x y z + ω c. Použtím vztahu po veto momentu hybnot v () máme o

9 d o x y z j d o M + ω I ω ω de j jou po řadě jednotové vetoy měů nepohybvých ouřadncových o. Rozpem detemnantu pode pvů pvního řádu oud dotáváme Poto I α M α + j ω ω. M α I α α α + ω ω ω. () Na těeo otující oem obecné oy půobí pět ože etvačných účnů. Tečná etvačná ía T oředvá ía o (vz výše) a tř ožy etvačné dvojce do měů o otujících těeem o veotech (včetně znaméne) daných v (). Poznáma: Čatým případem je tav dy oa otace ce není havní ae oa ano. Jedná e např. o otac tyčí č dee umítěných do ovny (obecněj o otac těe po něž je ovna ovnou ymete). Pa a etvačná dvojce má tva M I α α ω Jedná- e navíc o ovnoměnou otac ( α ) půobí jedná oža etvačné dvojce adně oem oy o veot. ω. Komě toho v případě ovnoměné otace půobí v počátu ouřadncového ytému už pouze oředvá ía veot O m eω. 5. OCNÝ ROVINNÝ POHY Setvačné účny na těeo onající obecný ovnný pohyb jou zřejmě upepozcí etvačných účnů od unášvého pouvu a od duhotné otace př záadním ozadu v bovoném efeenčním bodě. Uvažujeme- těeo dy ovna pohybu je ovnou ymete tohoto těea je oa duhotné otace (teá pochází bodem omo na ovnu pohybu) vždy havní oou etvačnot. Je- bod navíc tředem hmotnot S je doonce havní centání oou. Poto př tvobě etvačných účnů na těeo onající obecný ovnný pohyb ozšme dva případy pode ncdence efeenčního bodu ozadu e tředem hmotnot S těea. ) S oa duhotné otace je havní centání oou etvačnot. Jedným etvačným účnem od duhotné otace je etvačná dvojce M α pot myu ótování α I

10 (vz ob.). Setvačným účnem od unášvého pouvu je ve tředu hmotnot nahazená etvačná ía ma ma (potože př unášvém pouvu zychení všech bodů těea jou tejná). Konétní ožy této íy ouvejí typem unášvého pouvu (a tedy e ožam zychení a ). Je- např. unášvý pouv po užnc pooměu úhovou ychotí ω a úhovým zychením α (jné než úhové zychení α duhotné otace) bude etvačná ía ve tředu hmotnot mít tečnou ožu T pot myu ótování α o veot α a oředvou ožu O o veot ω. ) S oa duhotné otace je pouze havní oou etvačnot. Komě etvačného účnu M α I ve fomě dvojce pot ótování úhového zychení duhotné otace příuší této duhotné otac ještě tečná etvačná ía T ótovaná pot α o veot m Sα a oředvá ía O ótovaná od bodu o veot m Sω. Obě tyto íy půobí v bodě. Setvačným účnem od unášvého pouvu je tejně jao v předchozím případě ve tředu hmotnot půobící etvačná ía ma ma. Poznáma: Je- unášvý pouv po užnc půobí pa na těeo dvě tečné etvačné íy a dvě oředvé íy jedna upna ve tředu hmotnot a jedna v počátu (aždá ze upn má obecně jnou veot). Po případ že těeo je oučátí outavy dy dva jeho body e pohybují známým pohybem je vhodné těeo onající obecný ovnný pohyb dynamcy evvaentně naha ve známých potaveních dvěma hmotným body a tzv. oečním momentem etvačnot. Těeo nechť má známou hmotnot m známou poohu tředu hmotnot S vůč zadaným bodům potřednctvím paametů S a S a známý oový moment etvačnot I oe omé na ovnu pohybu pocházející bodem S. Toto těeo dynamcy evvaentně nahadíme v mítech hmotným body o neznámých hmotnotech m m a nehmotnou obučí dodávající pouze tzv. oeční (zatím neznámý) moment etvačnot I o.. Po tyto tř neznámé fomuujeme tř podmíny dynamcé evvaence. podmína zachování hmotnot podmína zachování poohy S m + m m () m m (3)

11 podmína zachování momentu etvačnot Z (3) pyne oadíme- (5) do () dotaneme oazením do (5) pa Po doazení z (6) a (7) do (4) naonec I m I + m + I o. (4) m m. (5) m + m m m. (6) + m m. (7) + o. I + m I m + +. (8) Setvačné účny půobící na těeo jou evvaentní etvačným účnům půobícím na výše popanou abtatní náhadu. Známe- zychení bodů m m teé nechť jou po řadě a a (vz ob.) a úhové zychení α duhotné otace jou etvačné účny íy m a m a půobící v bodech a a etvačná dvojce M o veot I α půobící pot myu ótování α (vz ob.). V případě že těeo je oučátí outavy učíme zychení a a ze zychení ooních čenů outavy teé jou naším těeem vázány potřednctvím např. otačních vazeb e tředy v popovaných bodech. o.