6. SLEDOVÁNÍ STATISTICKÉHO CHARAKTERU RADIOAKTIVNÍHO ROZPADU

Transkript

1 6. SLEDOVÁÍ STATSTCKÉHO CHARAKTERU RADOAKTVÍHO ROZPADU Jedá e o základí úlohu, demotrující tattcký charakter radoaktího rozadu a rcy tattckého ou ýledků měřeí oujícího zářeí. Měřeí je roáděo e ctlačím detektorem β-latckým krytalem. Úloha obahuje áledující dílčí čát: tattcké yhodoceí ýledků oakoaého měřeí ozadí a dou rearátů růzou akttou taoeí zálot relatí měrodaté odchylky četot mulů a době měřeí určeí doby, ř které je řeot měřeí 0 % zhodoceí ráot fukce oužtého měřícího zařízeí.. ÚVOD Rozad atomů radoaktího rku je je áhodý a jeho raděodobot charakterzuje tabltu jádra daého radoukldu. Proto očet rozadů za tejé čaoé teraly ř ěkolka měřeích tejého rearátu eí tejý. Pozorují e tz. fluktuace, které e řídí zákoy tattky. Tyto zákoy ám umožňují určt takoé odmíky měřeí, které zabezečí doažeí ožadoaé řeot. V říadech, kdy očet rozadů ozoroaý za zoleou dobu měřeí (tj. aměřeý očet mulů) je ětší ež cca 0 30, je možo ýledky oakoaých měřeí oat ormálím (Gauoým) rozděleím. Důležtou latotí tohoto rozděleí je, že jeho tředí hodota x je zároeň roa jeho roztylu σ. Ozačíme-l tředí očet ozoroaých rozadů, můžeme tedy ro elču σ át σ =. (.. ) Hodoty arametrů σ a můžeme rax ouze odhadoat. Př dotatečě elkém očtu měřeí rearátu o kotatí akttě (tj. zotou oločaem mohokrát delším ež je doba měřeí) je koztetím, etraým a elm ydatým odhadem tředí hodoty Gauoa rozděleí (tředího očtu ozoroaých rozadů ) artmetcký růměr šech měřeí = =, (.. ) kde je očet měřeí a očet mulů aměřeých ř jedotlých měřeích. a základě artmetckého růměru e šak edá říc c o tom, jak e od ebe lší jedotlá měřeí, tj. o tattckém roztylu měřeí. Obykle oužíaým odhadem arametru σ Gauoa rozděleí, který charakterzuje míru odchylek jedotlých ýledků od jejch artmetckého růměru je tz. měrodatá odchylka, defoaá jako = ( ) =. ( 3.. ) Protože ýraz..3 e eado yčíluje a mmoto e ř jeho ýočtu ulatňuje chyba zaokrouhleí růměru, který e zradla zaokrouhluje a celý očet mulů, očítáme hodotu obykle raděj ze ztahu =. (.. ) = = Takto yočteá měrodatá odchylka ředtauje kutečě exermetálě doažeou hodotu (yočteou z ýledků ere oakoaých měřeí jedoho zorku). Dále j roto budeme ozačoat jako exermetálí měrodatou odchylku e. Parametr σ můžeme šak a základě jé úahy odhadout daleko jedodušším zůobem. Vezmeme-l úahu, že tředí hodota Gauoa rozděleí je zároeň roa jeho roztylu,

2 můžeme ro odhad arametru σ oužít římo ztah... Doadíme-l do ěj za tředí očet ozoroaých rozadů jeho odhad yočteý odle ztahu.. (tj. artmetcký růměr šech měřeí ), můžeme ro měrodatou odchylku, jako odhad arametru σ át jedoduchý ztah =. (.. ) Takto yočteá měrodatá odchylka ředtauje teoretckou hodotu, která může být yočtea z ouze jedého ýledku měřeí zorku. Dále j roto budeme ozačoat jako teoretckou měrodatou odchylku t. Pracuje-l očítací zařízeí dobře, měl by být odhad měrodaté odchylky yočteý ze ztahu.. řblžě roe hodotě yočteé z jedotlých aměřeých hodot odle ztahu.., říadě..3 (tedy e by mělo být řblžě roo t ). Je-l hodota e ýzamě yšší ež hodota t, ykazují exermetálí data yšší roztyl, ež odoídá teoretckému modelu, což je obykle zámkou etablí fukce měřícího zařízeí. Jou, oretačí, metodou oěřeí ráot fukce měřícího zařízeí je roáí abolutích odchylek ε ι očtu mulů aměřeých ř jedotlých měřeích od jejch růměré hodoty ε = ( 6.. ) teoretckou měrodatou odchylkou t. Z ředokladu latot Gauoa rozděleí ylýá, že 99,7 % aměřeých hodot (tedy raktcky šechy) muí ležet teralu ± 3. Pro ráě fugující měřící zařízeí by tedy abolutí odchylky ε měly být e šech říadech meší ež trojáobek teoretcké měrodaté odchylky t. Všechy ýše uedeé ztahy latí amozřejmě ouze ro rozebíraý říad - očet mulů aměřeý za určtou dobu měřeí t. Vztahy oující odhad měrodaté odchylky ro šechy další říady běžé ř měřeí oujícího zářeí - ař. měřeí četot mulů, odečet očtu ebo četot mulů, at. - je možo jedoduše ododt z tz. zákoa o šířeí (hromaděí) chyb, který má obecé odobě tar σ u u = σ x, ( 7.. ) x = kde u = f ( x ) je ložeá fukce roměých x ; σ u a σ x jou roztyly fukce u, reekte roměé x. Obdobý ztah latí ro ýočet měrodaté odchylky ložeé fukce ze měrodatých odchylek jedotlých roměých. Pro ejběžější říad, kdy kutečý čtý očet mulů je zjšťoá jako rozdíl mez očtem mulů aměřeým ř měřeí zorku + a očtem mulů ozadí, = +, ( 8.. ) je ze ztahu..6 možo ododt (ahradíme-l roztyly aměřeých očtů mulů odhadem jejch měrodatých odchylek yočteých ze ztahu..), že = + +. ( 9.. ) Symbol tomto ztahu ozačuje měrodatou odchylku čtého očtu mulů. Četot mulů je defoáa jako očet mulů aměřeých za jedotku čau. Platí ro tedy =, ( 0.. ) t kde je očet mulů aměřeý za dobu t. Pro měrodatou odchylku četot mulů je otom ze zákoa o šířeí chyb možo ododt ztah = t (.. ) 6

3 a ro říad, kdy čtá četot mulů zorku je zjšťoáa jako rozdíl mez četotí mulů aměřeou ř měřeí zorku + a četotí mulů ozadí latí ro ýočet měrodaté odchylky čté četot mulů ztah + = + t t +, (.. ) kde t + a t jou doby měřeí zorku, reekte ozadí. V rax měříme čato akttu rearátu a ozadí tejě dlouho. Ozačíme-l dobu měřeí t o, můžeme ro měrodatou odchylku čté četot mulů át = =. ( 3.. ) t0 to V rax ěkdy roěž zaádíme tz. relatí měrodatou odchylku r r =, (.. ) říadě rocetech r = 00. (.. ) Pro relatí měrodatou odchylku čté četot mulů r ( ) lze otom ( říadě, že doba měřeí aktty rearátu a ozadí je hodá) kombací ztahů..3 a.. zíkat ztah + + r( ) = 00, (. 6. ) t 0 z ějž lze dále zíkat ztah ro ýočet doby měřeí t 0, uté ro doažeí ožadoaé řeot měřeí (ožadoaé relatí měrodaté odchylky) ř zámé četot mulů zorku a ozadí, e taru + t0 = 0. ( 7.. ) [ r( ) ] Doba měřeí utá ro doažeí daé hodoty relatí měrodaté odchylky je tedy eřímo úměrá akttě měřeého zorku a zyšuje e rotoucím oměrem /, eí-l / mohem meší ež jeda. Př měřeí rearátů elm ízkou akttou je tedy utou odmíkou ížt ozadí. Toho lze doáhout aříklad oužtím oloěých krytů kolem detekčího zařízeí a zláště oužtím očítačů atkocdečím zaojeí. Př měřeí těchto zorků eí ro doažeí otmálích ýledků roěž hodé olt hodou dobu měřeí zorku a ozadí. Otmalac odmíek měřeí otom roádíme a základě tz. Greefeld-oa krtera ( ) t r =, ( 8.. ) kde t je celkoá doba měřeí zorku a ozadí (oučet doby měřeí zorku t a doby měřeí ozadí t ). Celkoou dobu měřeí t otom rozdělíme mez měřeí zorku a ozadí odle ztahu t t =. ( 9.. ) ot Greefeld-oo krterum ám umožňuje ze zámé měřeé četot mulů zorku a ozadí a ožadoaé relatí měrodaté odchylky změřeé četot mulů yočít utou dobu měřeí zorku a ozadí ze zámé měřeé četot mulů zorku a ozadí a zoleé doby měřeí zorku a ozadí yočít očekáaou relatí měrodatou odchylku změřeé četot mulů ( 6 3

4 ze zámé měřeé četot mulů ozadí, ožadoaé relatí měrodaté odchylky změřeé četot mulů a zoleé doby měřeí yočít otřebé možtí (akttu) zorku alézt otmálí ataeí měřícího zařízeí (otmálí oměr gál šum) jako maxmum zálot hodoty ýrazu ( ) a arametrech ataeí aaratury (dkrmace, kombace yoké aětí - zeíleí, at.).. ÚLOHA. Proeďte oakoaé měřeí ozadí a dou rearátů růzou akttou. Podle uedeé ředlohy roeďte ýočty chyb. Sroejte hodoty relatí měrodaté odchylky yočteé ro šecha tř měřeí.. Oba rearáty ozadí roměřte ro růzé doby měřeí. Vyočtěte relatí měrodaté odchylky četot mulů r ( ) a grafcky zázorěte zálot r ( ) a době měřeí t. 3. Pro každý z oužtých rearátů yočtěte dobu, ř které je řeot měřeí 0 %. Výledek oěřte okuem.. Oběma ýše oaým otuy zhodoťte, zda oužté měřící zařízeí racuje ráě. 3. POTŘEBY A POMŮCKY Měřcí zařízeí e ctlačím detektorem ybaeým β-latckým ctlátorem. Da rearáty urau růzou akttou (měřeé četot mulů řblžě 00 m/m a 000 m/m). 3. PRACOVÍ POSTUP Změříme ozadí očítače a akttu dou růzých rearátů urau ždy 0krát o mutě. Vzdáleot rearátů od čela detektoru olíme tak, aby měřeé čté četot mulů (o odečtu ozadí) byly řblžě 00, reekte 000 m/m. Dále roedeme měřeí obou rearátů a ozadí otuě za,,, 0 a 0 m. aměřeé hodoty zaíšeme do tabulek. Z oakoaých měřeí (0krát o mutě) yočteme růměrou četot mulů ozadí a obou rearátů urau. Ze ztahu..7 otom ro oba rearáty yočteme dobu měřeí utou ro doažeí relatí měrodaté odchylky měřeí 0 %. Každý z rearátů změříme ždy 0krát o yočteou dobu. 3. ZPRACOVÁÍ VÝSLEDKŮ Úloha Výledky měřeí zaíšeme do Tab , kde, a +, ozačují očty mulů aměřeé ř -tém měřeí ozadí, reekte zorku a, čtý očet mulů zorku (o odečtu ozadí). Hodoty abolutích odchylek ε ι očtu mulů aměřeých ř jedotlých měřeích od jejch růměré hodoty yočteme z hodot,, reekte, a řílušých růměrých hodot omocí ztahu..6. Hodoty faktoru f rereetují oměr aktuálích abolutích odchylek ε a teoretcké měrodaté odchylky t, yočteme je ze ztahu: f = ε. ( 0.. ) Z ýledků měřeí yočteme růměré očty mulů ozadí a čté očty mulů aměřeé ro oba rearáty za mutu. Pomocí ztahů.. a.. yočteme dále 6

5 exermetálí a teoretcké měrodaté odchylky e, reekte t. Pomocí ztahu.. yočteme z exermetálí měrodaté odchylky e relatí měrodatou odchylku měřeí ( rocetech). Zíkaé ýledky zájemě oroáme Tab. 3- a zobecíme záěry o zálot relatí měrodaté odchylky a měřeé četot mulů. Úloha Výledky měřeí zorku č. a zaíšeme do Tab. 3-, reekte Tab. 3-6, kde a + ozačují očty mulů aměřeé ř měřeí ozadí, reekte zorku,, + a ozačují četot mulů ozadí, zorku, reekte čtou četot (o odečtu ozadí) mulů zorku yočteé ze ztahu..0 a r ozačuje relatí měrodatou odchylku čté četot mulů yočteou odle ztahu..6. Zálot relatí měrodaté odchylky čté četot mulů r a době měřeí zorku zázoríme grafcky. Úloha 3 Výledky oakoaých měřeí yhodotíme obdobě jako úloze č.. Pomocí ztahu.. yočteme ro oba zorky exermetálí měrodaté odchylky e a omocí ztahu.. z ch dále yočteme relatí měrodatou odchylku měřeí ( rocetech). Zíkaé ýledky oroáme očekáaou hodotou relatí měrodaté odchylky (0 %). Úloha V Tab oěříme elkot faktoru f ro šecha měřeí. Pokud měřící zařízeí racuje ráě, eměla by hodota faktoru f ř žádém měřeí řekročt hodotu 3. Sroáme elkot exermetálích a teoretckých měrodatých odchylek e a t Tab. 3-. Pokud měřící zařízeí racuje ráě, měly by být jejch hodoty řblžě tejé. Výzamě yšší hodoty e (e roáí t ) dkují šatou fukc měřícího zařízeí. 6

6 Tab. 3- Výledky měřeí ozadí Čílo měřeí, [m] (, ) ε [m] f Σ Tab. 3- Výledky měřeí zorku č. Čílo měřeí +, [m], [m] (, ) ε [m] f Σ 6 6

7 Tab. 3-3 Výledky měřeí zorku č. Čílo měřeí +, [m], [m] (, ) ε [m] f Σ Tab. 3- Sroáí měrodatých odchylek měřeí jedotlých rearátů Vzorek t m [m] [m] e [m] t [m] r [%] Pozadí Vzorek č. Vzorek č. Tab. 3- Výledky měřeí zorku č. t m [m] [m] + [m] [m/m] + [m/m] [m/m] r [%] 0 0 Tab. 3-6 Výledky měřeí zorku č. t m [m] [m] + [m] [m/m] + [m/m] [m/m] r [%]