Odhady a testy hypotéz o regresních přímkách

Transkript

1 Lekce 3 Odhad a tet hpotéz o regreích přímkách Ve druhé lekc jme kotruoval kofdečí terval a formuloval tet hpotéz o korelačím koefcetu Korelačí koefcet je metrckou charaktertkou tezt závlot, u které ezáleží a pořadí proměých Naprot tomu regreí přímk předtavují emetrcké charaktertk průběhu závlot, u chž záleží a pořadí proměých Jou to poěkud etpcké charaktertk, eboť ejou (jak jme bl až dopoud zvklí) jedočíelé, ale tattckou charaktertkou je tetokrát fukce Tato kutečot vede k doud epozaému tvaru kofdečího tervalu, kterým eí úečka (ebo polopřímka), ale čát rov áhodých proměých Zcela ovým pojmem této lekce je také pá polehlvot kolem regreí přímk Zato odhad a tet hpotéz o regreích koefcetech jak evbočují ze zavedeých pravdel kofdečí terval pro regreí koefcet; kofdečí terval pro regreí přímku; pá polehlvot; regreí koefcet; družeé regreí přímk; tet hpotéz o regreím koefcetu 3 Odhad a tet hpotéz o regreím koefcetu B je výběrovou charaktertkou (tattkou) jejíž tředí hodota Výběrový regreí koefcet E chb je ρ ( B ) a měrodatá chba VAR B ( R ) B Náhodá velča t má Studetovo roz- ( ) VAR VAR B děleí tup volot Y ρ ( B ) Etmátorem měrodaté Oboutraý kofdečí terval Oboutraý kofdečí terval př polehlvot odhadu P B t [ ] VAR B B + t [ ] VAR B pro regreí koefcet, přčemž jeho real- zace z výběru o rozahu je b t [ ] b + t [ ] je r r u, Příklad 3 Setrojíme oboutraý kofdečí terval př rzku 0, 05 pro regreí koefcet z příkladu 4 (teplota a tlak vzduchu za turbodmchadlem) 0 ; r 0,8439; b 0,9455; 33,47; 37,50 Vzhledem k velkém rozahu výběru použjeme 96 Pozapomeutou řádkovou mbolku užíváme proto, abchom e vhul epřehledému dvojímu deováí, apř VARB S B apod 7

2 37,50 0,8439 0,9455,96 33,47 0 z čehož 0,837, 054 0,9455 +,96 37,50 33,47 0, Tet hpotéz c b Tetovým krtérem je Studetovo t o tupích volot, jehož realzace je t Pro c r údaje z příkladu 3 ověřte a hladě 0, 05 hpotézu, že výběr pochází z rozděleí regreím koefcetem,000 (,00 ) Porovejte výledk tetu (vzhledem k velkému rozahu výběru vtačíme kvatl velč U) hodotam oboutraého kofdečího tervalu (3 ) Etují pochoptelě varat porovávající dvojc regreích koefcetů, kokrétě kofdečí terval pro rozdíl a tet hpotéz 0, ale tto případ poecháváme traou 3 Iterval polehlvot pro regreí přímku Ozačíme E ( Y ) ; regreí přímka z áhodého výběru je tattka Y a její realzace pro kokrétí áhodý výběr je Směrodatá chba tattk Y je var ( ) var + var ( ) + a její realzace VAR Oboutraý kofdečí terval pro hodot je čát rov áhodých proměých ohračeá dvěma křvkam metrck položeým kolem regreí přímk P Y t Jeho tvar je [ ] + [ ] a var Y t Oboutraý kofdečí terval je ejužší pro Jeho realzac zíkáme doazeím Příklad 3 Setrojíme oboutraý kofdečí terval pro př rzku 0, 05 (vzhledem k rozahu výběru můžeme použít kvatl u, 96 ) a podkladě přímk z 4: 8 + 0, 9455( 54) 406 ( 54) var + odotu realzace měrodaté chb (evetuálě po váobeí kvatlem u 0 0, 96 jako realzac příputé chb) tabelujeme pro růzé hodot odot, z chž bl vtvoře obr 3 jou hromáždě v tabulce 3 8

3 Tab 3 Tabelovaé hodot k obr ,94 64, 89, ,85 86,9 05,4 40 4,76 07,50, ,67 6,86 40, ,58 44,09 6, ,49 60,09 8,90 Obr 3 Iterval polehlvot regreí přímk 33 Pá polehlvot pro vvětlovaou proměou Náhodá velča Y Y, kde Y je pozorovaá hodota vvětlovaé proměé a Y její hodota ležící a regreí přímce (vrovaá, vpočteá hodota), má měrodatou chbu (e), jejíž etmátor [ Y + B ( )] Y Y et ( e) Se Oboutraý pá polehlvot kolem regreí přímk pro polehlvot je defová jako P Y t [ ] Se Y Y+ t [ ] Se a jeho realzace z áhodého výběru o roz- t + t, kde ahu je [ ] e [ ] e e b Teto terval vmezuje kolem regreí přímk metrck položeý pá, do kterého áhodá velča Y pade pravděpodobotí Mmo pá pak leží 00 % pozorovaých hodot Příklad 34 Setrojíme 95% pá polehlvot kolem regreí přímk, jejíž realzace z výběru 0 je dáa jako 8 + 0, 9455( 54) regreí přímka z příkladu 4 e , 9455( ) , , 9 Grafck je výledek vjádře a obr 3 Př taoveí páu polehlvot jme vzhledem k velkému rozahu výběru vužl kvatl u, 96 9

4 Obr 3 Pá polehlvot kolem regreí přímk Tab 3 Tabelovaé hodot obr ,94 37,4 6, ,85 56,05 35, ,76 74,96 54, ,67 93,87 73, ,58,78 9, ,49 3,69,9 Např pro 60 ( C) je hodota ležící a přímce 33, 67 kpa Zároveň můžeme tvrdt, že kutečá aměřeá hodota tlaku epřeáhe pravděpodobotí 0,975 hodotu 33, 67 +, 96 0, 9 73, 47 kpa a oučaě e tejou pravděpodobotí eklee pod hodotu 33, 67, 96 0, 9 93, 87 kpa Staovte šířku páu polehlvot kolem regreí přímk pro 0,0 (0,0) (3 ) Σ Na rozdíl od doud probraých tattk ejou družeé regreí přímk kalárí velč, ale mají tvar fukce Pro měrce regreích přímek regreí koefcet lze kotruovat kofdečí terval a tetovat hpotéz, podobě jako tomu je u dalších tattk kalárího charakteru 3 Pokud jde o regreí koefcet, tetokrát jme e omezl pouze a kofdečí terval a tet hpotéz o jedom koefcetu 4 Pro podmíěou tředí hodotu lze zkotruovat oboutraý kofdečí terval, který a rozdíl od předchozích má tvar čát rov o- mezeé dvěma křvkam, jejíž oa ouměrot je odhadutá přímka 5 Pro pozorovaé hodot závle proměé lze kotruovat oboutraý tzv pá polehlvot, což je čát rov omezeá přímkam, kam pozorovaá hodota závle proměé padá předem zvoleou pravděpodobotí 0

5 (3 ) Pro, 0 u 0, 98 a hpotézu ted elze zamítout Pro, 0 u,79 a hpotézu zamítáme Mez realzací kofdečího tervalu a výledkem tetu je ám jž zámý vztah: pokud kofdečí terval hodotu obahuje, hpotéza e ezamítá a aopak (3 ) S použtím přílušých kvatlů ormovaého ormálího rozděleí vpočteme šířk 66,8 a 04,5 kpa Setrojte 95% oboutraý kofdečí terval pro družeý regreí koefcet z příkladu 4 Y Pro tejá data ověřte hpotézu 0, 70 Y 3 Setrojte 95% oboutraý kofdečí terval pro družeou regreí přímku, kde ξ E( ) 4 Setrojte 95% oboutraý pá polehlvot pro pozorovaé hodot