Základní pojmy klasického sudoku hlavolamu. Techniky odkrývání bunk. Technika Naked Single. Technika Hidden Single

Transkript

1 Základní pojmy klasického sudoku hlavolamu Sudoku hlavolam (puzzle) obsahuje celkem 81 bunk (cells), devt vodorovných ádk (rows), devt svislých sloupc (columns) a devt skupin po 3 3 bukách nazývaných bloky (blocks) nebo boxy (boxes). ádky, sloupce a bloky jsou poítány dle obrázku vlevo. Pokud uvádíme jednotlivé buky v ádku, poítáme je zleva doprava, pokud ve sloupci, potom shora dol. Jestliže uvádíme buky v jednom bloku, poítáme je podobn jako bloky v celém hlavolamu, tedy po ádcích. V nkterých pípadech je poteba uvést buku pomocí jejích souadnic. Souadnice se vyjaduje ve formátu RXCY, což znamená ádek (row) X, sloupec (column) Y. X a Y samozejm vyjaduje íslici 1 až 9. Všechny íslice, které v urité chvíli pipadají v úvahu, že by mohly patit do urité buky, se nazývají kandidáti buky (cell s candidates). Luštitelé sudoku si vtšinou, zejména u obtížnjších úloh, vpisují kandidáty do bunk (na papíe tužkou, v on-line formulái do spec. kolonek na okraji buky (u nás na sudoku.na-webu.cz u horního okraje buky)). Techniky odkrývání bunk Existuje nkolik technik jak zjistit obsah buky. Tady je pehled nkterých z nich. Techniky mají své zaužívané anglické oznaení, které budeme používat. Toto oznaení považujeme za název techniky a proto je vtšinou nepekládáme. Technika Naked Single Tuto techniku mžeme také nazvat jediný kandidát (sole candidate). asto je možné do urité buky zapsat jen jednu uritou íslici, nebo všechny ostatní jsou vyloueny díky již zapsaným íslicím v píslušném sloupci, ádku a bloku. Na obrázku je píklad, kde do oznaené buky je možno zapsat pouze íslici 9 (ili pro onu buku existuje pouze jediný kandidát). Tato technika je vtšinou postaující pro luštní tch nejlehích sudoku hlavolam. Technika Hidden Single Tuto techniku mžeme také nazvat ojedinlý kandidát (unique candidate). Pokud v uritém sloupci, ádku nebo bloku existuje pouze jedna buka, ve které je kandidátem uritá íslice, pak je jasné, že tato íslice musí být práv v oné buce. V píkladu na obrázku je oznaená buka jedinou ve tetím sloupci, kde je kandidátem (nemusí být jediným) íslice 7. Proto musí být v oznaené buce íslice 7. zdroj str. - 1 / 8 -

2 Následující techniky mají za úkol pouze redukovat poet kandidát v bukách tak, aby bylo možno následn aplikovat nkterou z výše popsaných technik Naked Single nebo Hidden Single. Technika interakce bloku a sloupce / ádku (Block and Column / Row Interactions) V nkterých pípadech je ze situace v bloku a jeho okolí jasné, že se kandidáti uritého ísla nacházejí v daném bloku pouze v jednom ádku nebo pouze v jednom sloupci. Pak se dají vylouit kandidáti onoho ísla ve zbytku ádku (sloupce) tedy v sousedních blocích. Nejlépe to osvtlí píklad. Ze situace v obrázku je patrno, že íslice 1 se v bloku 4 mže vyskytovat pouze v jednom ze dvou žlut vyznaených polí a tedy pouze v ádku 5. Proto je možné ve zbytku ádku 5 (v ržov oznaených bukách) zredukovat kandidáty a vylouit z nich íslici 1. Technika interakce bloku a bloku (Block / Block Interactions) Pokud ve dvou sousedních blocích leží všichni kandidáti stejné íslice pouze ve dvou ádcích i sloupcích, mžeme ve tetím sousedním bloku kandidáty této íslice v onch dvou ádcích i sloupcích vylouit. Píklad na obrázku se nacházejí kandidáti íslice 3 v blocích 4 a 5 pouze v bukách oznaených žlut (tedy pouze ve dvou ádcích). Protože v každém bloku musí být íslice 3 v jednom z tchto dvou ádk, je možné ve tetím sousedním bloku v ržových bukách eliminovat kandidáty íslice 3 (nebo-li íslice 3 se mže nacházet pouze v neržových bukách onoho bloku). zdroj str. - 2 / 8 -

3 Technika Naked Subset Tato technika se nazývá také Naked Pair pokud pracujeme se dvma íslicemi jako kandidáty, pop. Naked Triplet, pracujeme-li se temi íslicemi nebo Naked Quad pro tyi. Pro vtší poet íslic jako kandidát se tato metoda prakticky nevyskytuje. Obecné pravidlo této techniky íká Pokud poet rzných kandidát v nkterých bukách jednoho ádku, sloupce nebo bloku je stejný jako poet tchto bunk, pak je možné tyto kandidáty z ostatních bunk onoho ádku, sloupce nebo bloku eliminovat. Zní to na první pohled dost odpudiv, ale není to nic složitého. Pokud toto pravidlo uvedu pro Naked Pair, zní takto: Pokud se ve dvou bukách jednoho ádku, sloupce nebo bloku nacházejí pouze dva rzní kandidáti, mžeme tyto kandidáty z ostatních bunk onoho ádku, sloupce nebo bloku odstranit. Podobn pro Naked Triplet a Naked Quad. Píklad s obrázkem ukazuje postupné eliminování kandidát. V ádku na prvním obrázku jsou zapsaní všichni kandidáti, v jedné buce již je pímo konená íslice 5. Z obrázku je patrno, že v první a osmé buce se nacházejí pouze dva kandidáti 6 a 7. Tyto dv íslice tedy patí do onch dvou bunk (nevíme která do které). Z ostatních bunk v ádku tedy mžeme kandidáty 6 a 7 zrušit. To ale není vše, touto metodou mžeme v tomto pípad i pokraovat dál, nebo zrušením kandidát 6 a 7 se v sedmé a deváté buce objevila nová dvojice jediných kandidát 2 a 8. Z ostatních bunk mžeme tedy dvojku a osmiku také zrušit. Zrušením dvojky a osmiky získáme ve druhé buce jediného kandidáta íslici 1 a proto mžeme použít techniku Naked Single a jedniku do buky zapsat. Tím ale nastává situace, kdy mžeme jedniku jako kandidáta zrušit z ostatních bunk ádku. (Mimochodem zde je vidt, že technika Naked Single je v podstat podmnožinou techniky Naked Subset, podobn jako Naked Pair nebo Triplet ) Po všech úpravách pi nkolikanásobném použití této techniky vypadá situace dle posledního obrázku. Z pvodních 29 kandidát v celém ádku jsme dospli k 15 a jednu íslici jsme mohli pímo doplnit. Úinná technika. zdroj str. - 3 / 8 -

4 Technika Hidden Subset Podobn jako u Naked Subset pokud se technika týká dvou kandidát, nazýváme ji Hidden Pair, pokud tí potom Hidden Triplet, pop. Hidden Quad pro tyi kandidáty. Tato technika je podobná technice Naked Subset, umožuje ale eliminaci kandidát práv v tch bukách, ve kterých nacházíme jisté pravidlo, zatímco bunk okolo se tato technika nijak nedotkne. Základní pravidlo by se dalo vyjádit asi takto - Pokud se urití kandidáti nacházejí pouze v uritých bukách jednoho ádku, sloupce nebo bloku, a poet tchto bunk je stejný jako poet onch kandidát, mžeme ostatní kandidáty z onch bunk odstranit. Možná zase trochu nejasné, ale pro dva kandidáty (a tedy Hidden Pair) platí Pokud se dva kandidáti nacházejí pouze ve dvou bukách ádku, sloupce nebo bloku, pak ostatní kandidáti z tchto dvou bunk mohou být odstranni. Podobn pro ti kandidáty v Hidden Triplet, atd Píklad: V ádku se všemi vypsanými kandidáty mžeme najít trojici íslic 6, 7, 9, kdy se tyto íslice vyskytují pouze ve tech bukách tvrté, šesté a deváté. (To, že v deváté nejsou všechny íslice není podstatné.) Znamená to, že tyto ti íslice obsadí ony ti buky (nevíme ale která kterou) a proto je možno v onch bukách ostatní kandidáty zrušit. Výsledek mžeme pozorovat na dalším obrázku. Moje zkušenost je taková, že technika Hidden Subset se aplikuje mnohem h než teba Naked Subset, nebo skupiny kandidát se mnohem h nacházejí (o emž hovoí už samotný název techniky hidden (skrytý) na rozdíl od naked (obnažený)). Technika X Wing Touto technikou dokážeme eliminovat kandidáty v nkterých bukách, pokud nastane zvláštní postavení nkterých kandidát. Vše vysvtlí píklad s obrázkem. Z obrázku je patrno, že v ádcích 6 a 9 se mohou vyskytovat íslice 7 pouze v polích oznaených žlut (ili v obou ádcích pouze ve druhé nebo deváté buce). Zárove platí, že íslice 7 patí bu do bunk spojených ervenou nebo do bunk spojených modrou arou (Tyto dv áry dávají technice ást svého jména X). Je tedy zarueno, že v ostatních bukách ve sloupcích 2 a 9 se íslice 7 vyskytovat nemže a proto je možné ze všech ržových bunk sedmiku z kandidát odstranit. (Ve svtle ržových bukách se sedmika mezi kandidáty nevyskytovala již z jiných dvod.) zdroj str. - 4 / 8 -

5 Technika Swordfish Podle této techniky platí, že jestliže máme kandidáty jedné íslice ve tech sloupcích / ádcích rozmístny tak, že jsou v každém sloupci / ádku dva kandidáti a souasn platí, že kandidáti z tchto sloupc / ádk jsou vždy dva ve stejném ádku / sloupci (nepoítaje kandidáty z dalších sloupc / ádk), pak je možné z daných ádk / sloupc kandidáty stejného ísla z ostatních bunk odstranit. Pedpokládám, že z této vty nezmoudí asi nikdo, proto rovnou píklad. A dáme si kompletní sudoku tabulku. Do tabulky s doplnnými nkterými íslicemi jsou vepsáni i všichni kandidáti. Nejprve použijeme díve vysvtlené techniky pro eliminaci nkterých z nich. Konkrétn použijeme techniku Naked Subset v prvním bloku, kde ji použijeme pro eliminaci kandidát 2 a 6. Dále použijeme tutéž techniku ve tvrtém bloku pro eliminaci kandidát 4 a 6. No a do tetice je možno stejnou technikou (tentokrát Naked Triplet) eliminovat v pátém bloku kandidáty 4, 6 a 7 tedy odstranit z první buky tyku a šestku. Po tchto úpravách je tabulka zjednodušena viz další obrázek. A zde dochází k situaci, na kterou jde použít techniku Swordfish. V prvním, tetím a tvrtém sloupci kandiduje šestka vždy ve dvou bukách a to tak, že jsou tyto buky rozmístny po dvou i ve tech ádcích (konkrétn ve tetím, pátém a devátém). Buky jsou oznaeny žlut. Podle pravidla této techniky pak mžeme odstranit všechny ostatní kandidáty íslice 6 z dalších bunk tchto ádk, tedy z tch, které jsou vyznaeny ržov. Tato technika je vlastn rozšíením techniky X Wing, pop. opan technika X Wing je zjednodušený pípad techniky Swordfish. zdroj str. - 5 / 8 -

6 Technika XY Wing Tato technika mže eliminovat kandidáta z jedné nebo i více bunk pi uritých podmínkách viz píklad. Na prvním obrázku je první z možných situací. V bukách jsou zapsáni všichni kandidáti bunk. Pokud v buce v prvním bloku má být X, potom v buce ve tvrtém bloku musí být Z a tak mžeme v pátém bloku v ržové buce Z eliminovat. Pokud ale v prvním bloku má být Y, ve druhém bloku bude Z a proto v pátém bloku mžeme z ržové buky eliminovat opt Z. ili pi tomto rozložení kandidát je jasné, že v ržové buce se nemže nikdy nacházet Z. Situace mže ale vypadat i jinak. Na dalším obrázku je podobná situace, odehrávající se nyní pouze ve dvou blocích. Je zajímavé, že v této situaci mžeme eliminovat Z ze všech tí ržových bunk ve druhém bloku. Pozor ale, v této situaci je možné eliminovat Z ješt z dalších dvou bunk ležících v prvním bloku, jak je naznaeno na dalším obrázku. Celá situace se pak dá vyjádit obrázkem vpravo. Ze všech ržových bunk mžeme eliminovat Z. Technika XYZ Wing Je variantou techniky XY Wing. Pi rozložení dle prvního obrázku mžeme z ržov oznaených bunk eliminovat Z, nebo pokud je ve tvrté buce prvního bloku X, potom v páté buce druhého bloku musí být Z a tím je Z vyloueno ze zbytku druhého ádku. Pokud je ve tvrté buce prvního bloku Y, potom musí být ve druhé buce prvního bloku Z a tím je z ostatních bunk prvního bloku Z vyloueno. No a jestliže je ve tvrté buce prvního bloku Z, nemže být Z v žádné jiné buce prvního bloku. Podobn jako u techniky XY Wing i zde existuje jiná varianta, která se dá zobrazit v jediném bloku viz druhý obrázek. Zde jde ve všech ržových bukách eliminovat Z, navíc však i X a Y, k tomu jsme však mohli využít již díve popsanou techniku Naked Subset, konkrétn zde Naked Triplet. zdroj str. - 6 / 8 -

7 Technika Colouring (obarvování) Tato technika je vhodná pro eliminaci kandidát urité íslice pi využití ádk, sloupc a blok, které vždy obsahují pouze dva kandidáty oné íslice. V ukázce je vidt situace, pi které se zajímáme o kandidáty íslice 1. Tito kandidáti jsou zobrazeni erven v závorce, kandidáti ostatních íslic nejsou zobrazeni vbec. V tabulce je (stídav) zelenou a modrou barvou oznaen tzv. etzec kandidát jedniky tam, kde existují pouze dva v jednom ádku, sloupci nebo bloku. Protože musí být jeden z nich nakonec do buky zapsán a zárove druhý z nich ne, je jasné, že bu budou jedniky na míst modrých bunk nebo na míst zelených bunk. A už tomu bude tak nebo tak, mžeme eliminovat kandidáta jedniky v buce oznaené ržov. V dalším píklad vznikne jiná situace, kdy po colouringu obarvení bunk podle pravidel obarvování (tam, kde jsou pouze dva kandidáti v ádku, sloupci nebo bloku) dojde k tomu, že v sedmém bloku se vyskytují dv buky obarvené stejn. Protože ale nemohou být v tomto bloku dv jedniky, je jasné, že musejí být jedniky v modrých bukách, zatímco ze zelených je možné jedniky eliminovat. V sedmém bloku bude nakonec jednika v první, nevybarvené buce. Pozn.: I když má tato metoda jist své obrovské výhody, pi vlastním praktickém luštní sudoku hlavolamu je použitelná obtížn. Pokud bychom ji totiž chtli pi luštní na papíe použít pro eliminaci i dalších íslic, potebovali bychom více barviek, což by vedlo zejména k nepehlednosti situace. Nemluv o tom, že pi luštní on-line tato metoda prost použít nejde. Technika Remote Pairs Technika kombinuje díve vysvtlené techniky Naked Subset (konkrétn Naked Pairs) a Colouring. V píkladu jsou podobn jako u Colouringu obarveny buky, které obsahují stejné páry kandidát (v tomto pípad jsou v bukách vypsáni vždy všichni kandidáti bunk, ne jen vybraní). Platí obdobn jako u Colouringu, že íslice 1 mže být bu v zelených nebo modrých bukách. Platí také, že dvojka musí být potom v modrých nebo zelených (ili tch zbývajících ) bukách. A už tak nebo tak, mžeme z ržové buky jedniku i dvojku eliminovat. Pozor, pomcka: Poet obarvených len etzce vetn prvního a posledního (tch, které rozhodují o eliminaci v nkteré buce) musí být sudý (nebo-li krajní leny musejí mít rznou barvu), v našem pípad R2C8 R6C8 R5C9 R5C5. Jak je vidt z píkladu ve žluté buce v prvním ádku a devátém sloupci nemžeme eliminovat nic proto, že etzec bunk R2C8 R6C8 R5C9 má jen ti leny (ili lichý poet). zdroj str. - 7 / 8 -

8 Technika XY Chains Touto technikou mžeme eliminovat kandidáty, pokud vznikne etzec složený dvojic kandidát, kde vždy lánek etzce obsahuje jednoho stejného kandidáta jako sousední lánek a zárove etzec zaíná i koní stejným kandidátem. V píkladu máme konstrukci s ptilánkovým etzcem (1,2) (2,3) (3,4) (4,5) (5,1), který umožuje eliminaci íslice 1 z ržových bunk. Pokud by totiž byla v první buce dvojka, bude v další trojka, atd a v poslední buce etzce bude jednika. Pokud by to nebylo takhle, byla by pímo v první buce jednika. V každém pípad by ale byla uvedená eliminace možná. Technika Forcing Chains Tato technika se jeví být podobnou technice XY Chains. Mžeme pomocí ní doplnit nkteré dosud nejisté buky. Vše nejlépe ukáže píklad. V ukázce vedou od buky R1C2 k buce R5C1 dva etzce. První je R1C2 R2C1 R5C1. Druhý R1C2 R1C4 R5C4 R5C1. etzce samozejm obsahují všechny kandidáty bunk. Pokud bude v buce R1C2 dvojka, pak bude v buce R2C1 jednika a v R5C1 dvojka. Pokud bude v buce R1C2 trojka, bude v R1C4 tyka, v R5C4 bude jednika a v R5C1 dvojka. V obou pípadech tedy bude v R5C1 dvojka. Mimochodem v píkladu na obrázku mžeme chápat etzce také jinak první pouze dvoulánkový R1C2 R2C1, druhý potom R1C2 R1C4 R5C4 R5C1 R5C1. Proto také mžeme stanovit, že v buce R2C1 bude jednika. Technika Trial And Error (Pokus omyl) Akoliv by se mohlo zdát, že tohle není žádná technika, a snaha o její použití mže vzbuzovat úsmv, je to technika zcela regulérní a mnohdy vysoce úinná. Pedchozí metody je nkdy obtížné aplikovat, protože bývá problém vhodné buky v nepehledné tabulce nalézt. Naopak tato technika se dá aplikovat jednodušeji. Samozejm, že tato metoda nespoívá v tom, že zaneme vyplovat prázdné buky bez rozmyšlení njakými íslicemi. Po uvážení vybereme jednoho z kandidát, doplníme jej do buky a pokraujeme v luštní hlavolamu kterýmikoliv z již popsaných technik. Pokud dojdeme k tomu, že v hlavolamu nastane chyba (neešitelná situace), vrátíme se zpt do stavu ped použitím techniky Trial And Error a mžeme pvodn vybraného kandidáta eliminovat. Technika Nishio Tato technika je speciální formou techniky Trial And Error. Pro kandidáta buky si položíme otázku, zda by doplnním této íslice do oné buky bylo znemožnno doplnit i ostatní stejné íslice do bunk tak, aby to odpovídalo pravidlm. Pokud na takovou otázku existuje odpov kladná (tedy, že doplnním onoho kandidáta do buky by bylo znemožnno doplnit ostatní íslice do bunk tak, aby to odpovídalo pravidlm), mžeme onoho kandidáta odstranit. zdroj str. - 8 / 8 -