Dlitel, násobek Znak dlitelnosti Prvoíslo, íslo složené, rozklad na prvoinitele Nejvtší spolený dlitel, nejmenší spolený násobek

Transkript

1 1.1. Základní pojmy V tomto uebním bloku budeme pracovat pouze s pirozenými ísly ( bez nuly ) a budeme studovat vztahy dlitelnosti mezi nimi. Seznámíme se s tmito základními pojmy: Název Dlitel, násobek Znak dlitelnosti Prvoíslo, íslo složené, rozklad na prvoinitele Nejvtší spolený dlitel, nejmenší spolený násobek 1.2. Násobek, dlitel Zapišme si píklad 48 : 4 = 12. Z této úlohy mžeme odvodit následující tvrzení: a) íslo 48 je dlitelné 4, b) 4 je dlitelem ísla 48, c) 48 je násobkem 4 ( 48 = ) Píklad 1. Mezi ísly 30, 25, 36, 74 najdte ísla dlitelná 6. ešení: ísla dlitelná 6 jsou ta, která pi dlení 6 dávají zbytek nula ( resp. nedávají žádný zbytek ). Budeme je tedy postupn dlit : 6 = 5 74 : 6 = 12 (zb.12) 25 : 6 = 4 (zb.1) 36 : 6 = 6 74 : 6 = 12 (zb.2) ísla 30, 36 jsou dlitelná 6; ísla 25 a 74 nejsou dlitelná 6.

2 Píklad 2. Urete první ti sudé násobky ísla 5. ešení: 5. 2 = = = 30 První ti sudé násobky ísla 5 tvoí ísla 10, 20, Znaky dlitelnosti Seznámíme se s jednoduchými vtami, pomocí kterých snadno zjistíme, kdy je íslo dlitelné 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10,11. íslo je dlitelné dvma, má-li na míst jednotek sudou íslici nebo íslici nula. íslo je dlitelné temi, je-li jeho ciferný souet dlitelný temi. íslo je dlitelné tymi, je-li jeho poslední dvojíslí dlitelné tymi. íslo je dlitelné pti, je-li na míst jednotek íslice 0 nebo 5. Každé sudé íslo, jehož ciferný souet je dlitelný temi, je dlitelné šesti. íslo je dlitelné osmi, je-li jeho poslední trojíslí dlitelné osmi. íslo je dlitelné devíti, je-li jeho ciferný souet dlitelný devíti. íslo je dlitelné deseti, má-li na míst jednotek íslici nula. íslo je dlitelné jedenácti, je-li rozdíl soutu cifer na sudých místech a lichých místech dlitelný jedenácti nebo roven nule.

3 Píklad. Zjistte dlitele ísla ešení: Na míst jednotek má sudou íslici 2 Ciferný souet ísla = 22 Poslední dvojíslí je íslo 52, 52 : 4 = 13 =>íslo je dlitelné dvma =>íslo není dlitelné temi =>íslo je dlitelné tymi Na míst jednotek je íslice 2 =>íslo není dlitelné pti Ciferný souet 22 není dlitelný temi =>íslo není dlitelné šesti = 70, 70 : 7 = 10 =>íslo je dlitelné sedmi Poslední trojíslí 552 : 8 = 69 Ciferný souet 22 není dlitelný 9 Na míst jednotek je íslice 2 =>íslo je dlitelné osmi =>íslo není dlitelné devíti =>íslo není dlitelné deseti =15; 5+1+1=7, 15-7 = 8, íslo 8 není dlitelné 11 =>íslo není dlitelné jedenácti Všechna tvrzení si mžete ovit dlením! Vypoítejte píklady Dopl vynechanou íslici tak, aby bylo íslo dlitelné devíti. Uve všechny možnosti. Píklad 1. 7*8 => 738 Píklad 2. 3*32 => 3132 Píklad 3. *55 => 855 Píklad 4. 1*89 => 1089, 1989

4 Píklad 5. *11 => 711 Píklad 6. 22*1 => 2241 Píklad 7. 53* =>531 Píklad 8. 19*4 => 1944 Dopl vynechanou íslici tak, aby íslo bylo dlitelné tymi, uve všechny možnosti Píklad 9. 1*2 => 112, 132, 152, 172, 152 Píklad * => 552, 556 Píklad 11. 1*7 =>nelze Píklad 12. 1*89 => nelze Píklad 13. 2*4 => 224, 244, 264, 284, 204 Píklad 14. 5*3 => nelze Píklad 15. 2*24 => 2024, 2124, 2224, 2324, 2424, 2524, 2624, 2724, 2824, 2924

5 Píklad *6 => 1316, 1336, 1356, 1376, 1396 Dopl vynechanou íslici tak, aby bylo íslo dlitelné temi. Uve všechny možnosti. Píklad 17. 3*3 => 303, 333, 363, 393 Píklad 18. *25 => 225, 525, 825 Píklad 19. 1*3 => 123, 153, 183 Píklad * => 882, 885, 888 Píklad 21. 2*72 => 2172, 2472, 2772 Píklad 22. *714 => 3714, 6714, 9714 Píklad * => 2520, 2523, 2562, 2529 Píklad *2 => 6402, 6432, 6462, 6492

6 Dopl vynechanou íslici tak, aby bylo íslo dlitelné šesti. Uve všechny možnosti. Píklad 25. 2*2 => 222, 252, 282 Píklad *3 => nelze Píklad 27. *752 => 1752, 4752, 7752 Píklad 28. 3*84 => 3084, 3384, 3684, 3984 Píklad 29. 1*6 => 126, 156, 186 Píklad 30. *33 => nelze Píklad 31. 2*32 => 2232, 2532, 2832 Píklad * => 1830, 1832 Píklad 33. Najdi dvojciferné íslo dlitelné 8, které má tuto vlastnost: jestliže zamníme jeho íslice, dostaneme jiné dvouciferné íslo, které násobeno prvním dá souin , 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96 Vyhovuje = 1944 Hledané íslo je 72.

7 Píklad 34. Najdi nejvtší dvojciferné íslo, které má s íslem 52 nejvtšího spoleného dlitele = = = 104 nevyhovuje = 117 nevyhovuje = < 91 Nejvtší íslo je Prvoísla a ísla složená, rozklad na prvoinitele Prvoíslo je pirozené íslo, které je beze zbytku dlitelné práv dvma rznými ísly a to jednikou a samo sebou (tedy 1 není prvoíslo). ísla, která mají práv dva dlitele, tedy 1 a sebe sama (tzv. samozejmé dlitele), nazýváme prvoísla. Prvoísla jsou tedy ísla, která mají práv dva dlitele íslo jedna a sebe sama. ísla, která mají více než 2 dlitele, nazýváme ísla složená. Celá ísla rzná od jedné, která nejsou prvoísla, se nazývají složená ísla. íslo 1 má pouze jednoho dlitele, není tedy ani íslo složené ani prvoíslo. Eratostenovo síto. Eratosthenovo síto je jednoduchý algoritmus pro nalezení všech prvoísel menších než zadaná horní mez. Je pojmenován po eckém matematikovi Eratosthenovi z Kyrény, který žil v letech p. n. l. byl matematik, astronom a byl zejm nejvtším geografem antického ecka. Psobil též jako správce alexandrijské knihovny. Vnoval se také literární innosti jako básník. Eratosthenés vytvoil základy geografie jakožto samostatné vdy. Jako první zaal užívat oznaení geografie, zempisná šíka a zempisná délka. Eratosthenés spolu s Dikaiarchem a Hipparchem vytvoili základy oboru, kterému se v novovku íkalo matematická geografie (stanovení parametr Zem, geografických souadnic, teorie kartografických zobrazení).

8 Algoritmus funguje prosíváním seznamu ísel na poátku seznam obsahuje všechna ísla v daném rozsahu (2, 3, 4,, zadané maximum). Poté se opakovan první íslo ze seznamu vyjme, toto íslo je prvoíslem; ze seznamu se pak odstraní všechny násobky tohoto ísla (což jsou ísla složená). Tak se pokrauje do doby, než je ze seznamu odstranno poslední íslo Píklad 1. Rozložte ísla 48 a 39 na souin co nejmenších ísel ešení: 48 = = = = = Konené rozklady jsou v obou píkladech tvoeny prvoísly. Každému takovému rozkladu budeme íkat rozklad na prvoinitele.

9 Vypoítejte píklady Píklad 1. Najdi nejmenší íslo, které je možno rozložit na souin ty rzných initel, z nichž ani jeden se nerovná = 120 Píklad 2. Najdi nejmenší íslo, které je možno rozložit na souin ty rzných prvoísel = 210 Píklad 3. Jsou dána ísla 5, 6, 22, 35, 41. Najdte mezi nimi prvoísla. 5 = = 6. 1, 6 = = 22. 1, 22 = = 1. 35, 35 = = ísla 5 a 41 jsou prvoísla, ísla 6, 22 a 35 jsou ísla složená. Píklad 4. Vypoítej souet a souin všech prvoísel vtších než 20 a menších než = = Souet je 120 a souin

10 Vypoítejte píklady Rozlož na prvoinitele íslo Píklad = = = ( ) Píklad = Píklad = = = = = ( = ) Píklad je prvoíslo Píklad = = = = = = ( = 2 7 ) Píklad = Píklad = = = ( = ) Píklad = = = ( = )

11 Píklad 9. Nejmenší spolený násobek dvou ísel je 624, nejvtší spolený dlitel je íslo 8. Žádné z ísel není dlitelem druhého ísla. Uri tato ísla. 624 = Z rozkladu mžeme dostat tato ísla: = = = = = = 48 Z nich mžeme sestavit tyto dvojice: 16 a 32, 24 a 208, 104 a ísla soudlná a nesoudlná, nejvtší spolený dlitel íslm, která mají alespo jednoho spoleného dlitele s výjimkou ísla 1, íkáme soudlná. íslm, která nemají spoleného dlitele, s výjimkou ísla 1, íkáme nesoudlná. Nejvtšímu íslu, kterým jsou všechna zadaná ísla dlitelná, íkáme nejvtší spolený dlitel. Píklad 1. Urete nejvtšího spoleného dlitele ísle 180, 165. ešení: 180 = = = = = = Ob ísla jsou dlitelná 3 a 5, jsou tedy dlitelná i 15 ( 3. 5 = 15). Nejvtší spolený dlitel ísel 180 a 165 je 15. Zapisujeme D(160;165) = 15

12 Vypoítejte Píklad 1. Najdi nejvtšího spoleného dlitele ísel : 78; 130; = = = D ( 78; 130; 182 ) = = 26 Píklad 2. Najdi nejvtšího spoleného dlitele ísel : 180; = = D (180; 240) = = 60 Píklad 3. Najdi nejvtšího spoleného dlitele ísel: 460; = = D ( 460; 232 ) = 2. 2 = 4 Píklad 4. Najdi nejvtšího spoleného dlitele ísel: 220; = = D (220; 165 ) = = 55

13 Píklad 5. Najdi nejvtšího spoleného dlitele ísel: 186; 124; = = = D (186; 124; 248) = = 62 Píklad 6. Najdi nejvtšího spoleného dlitele ísel: 315; = = D ( 315; 75 ) = 3. 5 = 15 Píklad 7. Najdi nejvtšího spoleného dlitele ísel: 48; 140; = = = D (48; 140; 164 ) = 2. 2 = 4 Píklad 8. Najdi nejvtšího spoleného dlitele ísel: 174; = = D ( 174; 28 ) = 2

14 Píklad 9. Najdi nejvtšího spoleného dlitele ísel: 14; 24; = = = D (14; 24; 34 ) = 2 Píklad 10. Najdi nejvtšího spoleného dlitele ísel: 48; 66; = = = D (48; 66; 78 ) = 2. 3 = 6 Píklad 11. Najdi nejvtšího spoleného dlitele ísel: 65; = = D (65; 75 ) = 5 Píklad 12. Najdi nejvtšího spoleného dlitele ísel: 26; 21; = = = D (26; 21; 11 ) nemají spoleného dlitele

15 Píklad 13. V kvtináství dostali 144 bílých a 192 ervených karafiát. Kolik kytic mohou svázat, má-li mít každá kytice stejný poet ervených a stejný poet bílých karafiát? Hledáme nejvtšího spoleného dlitele 144 = = D (144; 192) = = 48 Kolik bude v každé kytici bílých a kolik ervených karafiát? 144 : 48 = = 4 Mohou svázat 48 kytic. V každé budou ti bílé a 4 ervené karafiáty. Píklad 14. V den svých narozenin donesla Eva do školy ti druhy bonbón. okoládových bylo 200, karamel 360 a ovocných 240. Bonbóny rozdlila tak, aby v každé hromádce byl od každého druhu nejvyšší možný poet. Všechny hromádky byly stejné. Kolik spolužák podlila? Kolik bonbón od každého druhu bylo v jedné hromádce? Hledáme nejvtšího spoleného dlitele 200 = = = D ( 200; 360; 240 ) = = 40 Eva podlila 40 spolužák. Kolik bonbón od každého druhu bylo v jedné hromádce? 200 : 40 = : 40 = : 40 = 6 V každé hromádce bylo 5 okoládových, 9 karamelových a 6 ovocných bonbón.

16 Píklad 15. Klempí ml rozstíhat pás plechu o rozmrech 380 cm a 60 cm na co nejvtší tverec tak, aby nevznikl žádný odpad. Vypoítej délku strany jednoho tverce. Kolik tverc nastíhal? 380 = = = D ( 380; 60 ) = = 20 Délka strany jednoho tverce bude 20 cm. Kolik tverc nastíhal? 380 : 20 = : 20 = = 57 Klempí nastíhal 57 tverc. Píklad 16. Žáci 7.A dostali celkem 416 uebnic a 896 sešit a stejný poet knih. Kolik je ve tíd žák, víme-li že je jich mén než 40? 416 = = D ( 416; 396 ) = = < 40 Ve tíd je 32 žák.

17 Píklad 17. Zahrada je dlouhá 56 m a široká 36 metr. Jaká vzdálenost musí být mezi tykami plotu, má-li být v celých metrech a co nejvtší? Kolik tyek budeme potebovat? D ( 56, 36) = 4 Nejvtší vzdálenost mezi tykami je 4 m. Kolik tyek budeme potebovat? o = 2. (a + b) o = 2. ( ) o = 184 (m) x = 184 : 4 = 46 Potebujeme 46 tyek. Píklad 18. Marek vyjel na tídenní výlet na kole. Každý den jel celý poet hodin stejnou prmrnou rychlostí. První den ujel 84 km, druhý den 48 km a tetí den 24 km. Vypoítej jeho prmrnou rychlost, víš-li, že byla menší než 20 km/h a vtší než 10 km/h. 84 = = = D (84; 48; 24) = = 12 km/h. Marek jel prmrnou rychlostí 12 km/h.

18 1.6. Nejmenší spolený násobek Chceme-li získat nejmenší spolený násobek nkolika ísel, pak musíme najít nejmenší íslo, které je danými ísly dlitelné. Píklad. Urete nejmenší spolený násobek ísel 56, 24, 112, 18 ešení: Každé íslo rozložíme na prvoinitele. 56 = = = = Vzájemn vynásobíme všechna prvoísla, která se vyskytnou alespo v jednom rozkladu, a to vždy v nejvtším potu = 1008 Zapisujeme n(56; 24; 112; 18) = Vypoítejte píklady Píklad 1. Najdi nejmenší spolený násobek ísel: 6; 12; 14; 35 6 = = = = 5. 7 n ( 6; 12; 14; 35 ) = = 420

19 Píklad 2. Najdi nejmenší spolený násobek ísel: 25; 15; 9 25 = = = 3. 3 n ( 25; 15; 35) = = 225 Píklad 3. Najdi nejmenší spolený násobek ísel: 14; 21; = = = 5. 3 n ( 14; 21; 35) = = 210 Píklad 4. Najdi nejmenší spolený násobek ísel: 8, 4, 18 8 = = = n ( 8; 4; 18 ) = 72 Píklad 5. Najdi nejmenší spolený násobek ísel: 10, 12; = = = n ( 10; 12; 16 ) = = 240

20 Píklad 6. Najdi nejmenší spolený násobek ísel: 4; 5; 10 4 = = 5 10 = 2. 5 n ( 4; 5; 10 ) = = 20 Píklad 7. Najdi nejmenší spolený násobek ísel: 4; 8; 11 4 = = = 11 n ( 4; 8; 11) = = 88 Píklad 8. Najdi nejmenší spolený násobek ísel: 6; 30; 18 6 = = = n ( 6; 30; 18 ) = = 90 Píklad 9. Najdi nejmenší spolený násobek ísel: 3; 8; 14 3 = 3 8 = = 2. 7 n (3; 8; 14 ) = = 420

21 Píklad 10. Najdi nejmenší spolený násobek ísel: 50, 4, = = = 2. 5 n (50; 4; 10 ) = = 100 Píklad 11. Najdi nejmenší spolený násobek ísel: 7; 5; 9 7 = 7 5 = 5 9 = 3. 3 n ( 7; 5; 9 ) = = 315 Píklad 12. Najdi nejmenší spolený násobek ísel: 36; 9; 15 6 = = = 3. 5 n (6; 9; 15 ) = = 90

22 Píklad 13. V hodin vyjely z konené stanice tyi autobusy. První linka má interval 15 minut, druhá 20 minut, tetí 25 minut a tvrtá 45 minut. V kolik hodin vyjedou všechny linky opt spolen? Hledáme nejmenší spolený násobek 15 = = = = 5. 5 n ( 15; 20; 45; 25 ) = = minut = 15 h 5h + 15h = 20 h Linky vyjedou spolen ve 20 hodin. Píklad 14. Pi veejném vystoupení se cvienci zaazují do ptistup, šestistup a trojstup. Jaký musí být nejmenší poet cvienc? 3 = 3 4 = = 5 6 = 2. 3 n ( 3; 4; 5; 6 ) = = 60 Nejmenší poet cvienc je 60.

23 Píklad 15. Dti skládaly obdélníkové karty o rozmrech 210 mm a 140 mm tak, aby pokryly tverec. Jaký nejmenší tverec lze takto vytvoit? Z kolika kartiek se bude skládat? 210 = = n ( 210; 140 ) = = 420 Nejmenší tverec má stranu 420 mm dlouhou. Z kolika kartiek se bude skládat? 420 : 210 = : 140 = = 6 Bude se skládat ze 6 kartiek. Píklad 16. Švadlena odhadla poet metr v balíku látky asi na 25. Pak zjistila, že mže beze zbytku nastíhat látku bu na kostýmy po 3,6 m nebo na šaty po 2,1 metru nebo na haleny po 1,8 metru. Kolik látky bylo v balíku? 3,6 m = 360 cm 2,1 m = 210 cm 1,8 m = 180 cm 360 = = = n (360; 210; 180) = = 2520 cm = 25,2 m V balíku bylo 25,2 m látky.

24 Píklad 17. Ve 4,50 hodin vyjíždjí tyi tramvaje na rzné linky. První tramvaj se vrací na konenou za jednu hodinu, druhá za hodinu a pl, tetí za dv hodiny a tvrtá za 45 minut. V kolik hodin nejdíve vyjedou opt souasn? 60 = = = = n (60, 90, 120, 45) = = 360 min 4 h 50 min min = 10h 50 min Tramvaje vyjedou souasn nejdíve v 10 h 50 min. Píklad 18. Kovbojové hlídali stádo krav. Jel kolem cizinec a ptal se na poet kus stáda. Pedák odpovdl: Je jich mén než 800. Kdybych je seadil do skupin po 3, 4, 5, 6 nebo 8, vždy budou dv krávy pebývat. Do skupin po 7 je však mohu seadit beze zbytku. Kolik má stádo krav? n ( 3, 4,5,6,8 ) = 120 Možnosti: , , , , , Pouze 602 je dlitelné 7, proto má stádo 602 krav. Píklad 19. Nejmenší spolený násobek dvou ísel je 180, nejvtší spolený dlitel je 6. Jedno není dlitelem druhého. Uri tato ísla. 180 = = = = = = 30 Dvojice: 12 a 90, 18 a 60, 30 a 36.

25 Píklad 20. Uri nejmenší celé íslo, které pi dlení temi dá zbytek 2, pi dlení tymi zbytek 3, a pi dlení 5 zbytek 4. n ( 3; 4; 5 ) = : 4 = : 3 = : 5 = : 4 = 14 zb : 3 = 19 zb : 5 = 11 zb. 4 Hledané íslo je 59. Píklad 21. Milada a Marta etly stejnou knihu. Milada denn peetla 15 stran, Marta 12 stran. Milada peetla kmihu o 3 dny díve. Kolik mla kniha stran? 15 = = n ( 15, 12) = = : 15 = 4 60 : 12 = : 15 = = : 15 = : 12 = = 3 dny Kniha mla 180 stran.

26 Píklad 22. Zahradník má sázet na záhon stídav ádek sazenic salátu a ádek sazenic zelí. Sazenice salátu se vysazují ve vzdálenosti 25 cm, sazenice zelí ve vzdálenosti 35 cm. Jaká musí být délka nejkratších ádk, aby byly vhodné pro výsadbu salátu i zelí? 25 = = 5. 7 n (25; 35) = = 175 cm Délka nejkratších ádk je 175 cm.