Projekt CZ.1.07/2.2.00/ Inovace studijního oboru Dopravní a manipulační technika s ohledem na potřeby trhu práce.

Transkript

1 Proet CZ..7/../5.383 Inoace studního oboru Dopraní a manpulační techna s ohledem na potřeb trhu práce echana odel Doproodný učební tet Jaromír Šígler 3

2

3 bsah Předmlua... 5 Úod... 6 Hlaní použtá onačení... 7 Valení automobloého ola.... Záladní pom.... Knemata alení ola Geometrcé parametr ola Záladní případ alení ola loé poměr př ronoměrném alení ola....4 Pohboé sta ola to ýonů loé poměr př neronoměrném alení ola... 8 Valení pneumat na tuhém podladu Valení be působení boční síl loé poměr dotoé plošce oudržnost pneumat s ooou oučntelé soudržnost Valení př působení boční síl Ustálené sta alení Valení nenalopené pneumat po přímé dráe Valení nalopené pneumat po ruhoé dráe Valení pneumat př působení boční a podélné síl ení součntelé soudržnost Pneumata na me bočního smu Neustálené sta alení tatcá analýa odloých mechansmů Vetoroá analýa atcoá analýa Knematcá analýa odloých mechansmů Vetoroá analýa Řešení unerálního Hooeoa loubu Řešení sfércých mechansmů atcoá analýa chlost bodu tělesa Zrchlení bodu tělesa Knematcá sntéa odloých mechansmů Blochoa metoda ompleních čísel atcoá metoda postupných opra atcoá metoda určení poloh mechansmu atce opra ntéa mechansmu Záladní ronce snté Určení roměrů mechansmu Knetcá metoda třed řost traetorí a obále Záěsná aříení ol automoblů Neáslá aěšení Záslá aěšení edoá osa ntéa aěšení předního ola automoblu ntéa mechansmu říení... teratura

4 Předmlua ato srpta sou určena pro posluchače předmětu echana odel terý se přednáší na atedře mechan na aultě aploaných ěd na Západočesé unertě Pln. Cílem srpt e dát studentům teoretcý álad použtelný a slnčních odlech ta e odlech želenčních a tořt ta potřebný předpolad pro poroumění prncpům a naauícím postupům teré se př onstruoání odel použíaí a dále postnout nebtně nutné množstí nalostí pro další samostatné hlubší studum a oumání eů teré se onstruc a proou odel stuí. V daném rosahu srpt neblo možné achtt celý šroý teoretcý álad ta složtých mechansmů aým odla nepochbně sou a proto blo nutné něteré bť ýnamné část teoretcého áladu pustt případně slně reduoat. Budu děčen a aéol přpomín předládanému učebnímu tetu. Autor 4

5 Úod bsah srpt e rodělen do aptol e terých čtř aptol 5 7 sou úce aměřen na slnční odla další čtř aptol 3 4 částečně 5 6 maí obecný charater a sou ěnoané teor sousta těles a mechansmům a dě aptol 8 9 sou ěnoán oleoým odlům. Kaptola terá se abýá dnamou odel e sslém směru e společná pro odla slnční a oleoá. Důra př ýladu lát ednotlých aptolách e laden na teoretcý álad a na eho přblížení studentům formou aplace na odloé nebo m blíé mechansm. ěl b ta nnout álad pro použtí onstručních předmětech teré na teor mohou naaoat nebo se s ní prolínat. Vetor sou e srptech onačoán tučným písmen a salární elčn písmen s normální tloušťou. lož etorů e směru příslušných souřadncoých os sou načen steně ao salární elčn normální tloušťou. Pro studum srpt se předpoládaí nalost odpoídaící absoloání áladních urů mechan pro student stroní fault ZČU Pln ted předmět echana I. a II. 5

6 Hlaní použtá onačení Valení automobloého ola α... úhel směroé úchl ola )... áladní souřadncoý sstém o ( o o o ( )... souřadncoý sstém odla ω... nematcé elčn ola... tečná obodoá síla... tečná hnací síla... normáloá síla... odpor alení f f... součntel odporu alení δ... měrný slu ola µ... součntel obodoé a hnací síl µ µ ϕ... součntel adhese µ f... součntel podélného tření (součntel soudržnost sluu) s Valení pneumat na tuhém podladu µ... staconární elementární součntel soudržnost µ... staconární elementární součntel příčné soudržnost µ s... třecí elementární součntel soudržnost u... směroá tuhost pneumat η... pneumatcý ále µ... součntel staconární podélné soudržnost µ... součntel staconární příčné soudržnost µ... součntel soudržnost alení (staconární součntel soudržnost) κ... součntel posunutí obodoé síl κ... součntel posunutí radální reace... boční tuhost pneumat... radální (ertální) tuhost pneumat ξ... ratná tuhost rotuící pneumat olem sslé os 6

7 ξ o... ratná tuhost stoící pneumat olem sslé os t t b... tečn e střednc ostr a běhounu pneumat bodě náběhu pneumat na oou σ... relaační déla pneumat σ... odoená relaační déla pneumat... elementární boční síla dotoé plošce... elementární radální síla dotoé plošce f... součntel příčného tření... radální deformace pneumat... boční deformace pneumat... podélné a boční deformace elementu pneumat α... úhel směroé úchl α... mené úhl směroé úchl pro ratný moment pneumat me αme a pro boční sílu η... rchlost bodu hran dotoé ploš př směroé úchlce α r ξr... onstant pro určení boční síl alení pneumat po ruhoé dráe a ratného momentu př 3 tatcá analýa odloých mechansmů [ ] [ ] etor síl a momentu ádřené matcoém taru souřadncoém sstému (ψ )... matce pootočení souřadncoého sstému hledem sstému I... ednotoá matce r... polohoý etor bodu souřadncoém sstému [ ]... bod určený prostoru sým souřadncem r Ω... polohoý etor počátu souřadncoého sstému souřadncoém sstému r... polohoý etor bodu hledem bodu ádřený ádřený prostoru ~... transformační matce sloých účnů a prostrou (souřadncoého sstému) do prostoru 7

8 ... matce paralelního posunutí síl prostoru do prostoru ~ [ ]... matce sloých účnů a ádřených prostoru ( )... prostor určený souřadncoým sstémem s ednotoým etor ()... posunutý etor síl BA... moment síl bodě B bodu A 4 Knematcá analýa odloých mechansmů... počet stupňů olnost áané mechancé sousta... nematcá doce -té tříd σ... počet stupňů olnost odebraných abou počet nenámých sloých účnů e abě ( )... áladní nehbný souřadncoý sstém )... souřadncoý sstém peně spoený s tělesem př sfércém pohbu ξ ( ξ ξ ξ ( )... souřadncoý sstém nlý př sfércém pohbu e sstému otočením olem os o úhel precese ψ ( )... souřadncoý sstém nlý př sfércém pohbu e sstému otočením olem os o úhel mutaceυ ( e e e ) 3... souřadncoý sstém -tého prostoru stručně taé naýaný -tý prostor určený báí ednotoých etorů I... ednotoá matce... matce pootočení prostoru hledem prostoru r... polohoý etor bodu prostoru u. polohoý etor bodu ádřený prostoru r..polohoý etor bodu ádřený prostoru e rošířeným (homogenním) souřadncem... transformační matce adřuící pohb prostoru hledem prostoru e... ednotoý etor -té souřadnce prostoru V... matce rchlost prostoru hledem prostoru Ω Ω... matce úhloé rchlost prostoru hledem prostoru A... matce rchlení prostoru hledem prostoru J J... matce úhloého rchlení prostoru hledem prostoru ~ A... matce úplného rchlení prostoru hledem prostoru... rona určená souřadncoým osam 8

9 5 Knematcá ntéa odloých mechansmů Blochoa metoda ompleních čísel e... ednotoý etor e e... magnární ednota Gaussoě roně ompleních čísel ~ ϕ a a e... omplení tar etoru a otočného o úhel ϕ atcoá metoda určení poloh mechansmu... transformační matce me člen b a respete me prostor b a a ba ba de b a a a b b ~ ~... matce opraená terá udáá měnu poloh členu b působenou b N b a měnou souřadnc poloh a měnou roměrů. Př sntée se uplatní enom měna roměrů Π... součn transformačních matc me prostor N a b b a e e... a n b m 3 ednotoé etor souřadncoých báí prostorů a b a r... polohoý etor bodu ádřený souřadncoém sstému b b prostoru a... matce opra me člen b b terá udáá a měnu poloh členu b působenou měnou souřadnc ta měnu roměrů hledem e členu b. Př sntée se uplatní enom měna roměrů... matce protočení prostoru hledem prostoru q... obecněný parametr souřadnc poloh a roměrů q... měna obecněného parametru souřadnc poloh a roměrů q o... neáslý obecněný parametr q o (t)... neáslý obecněný parametr s předepsaným průběhem ρ p l... obecněný parametr geometrcých roměrů mechansmu p ρ p l... měna nebo opraa obecněného parametru geometrcých p roměrů mechansmu ntéa aěšení předního ola automoblu q... obecněná souřadnce poloh áěsného mechansmu neásle aěšeného předního ola q... měna funční hodnot obecněné souřadnce ( )... souřadncoý sstém e středu posunutého ola d q q... derace měn obecněné souřadnce d s 9

10 q q... derace měn obecněné souřadnce bodě rooe do c aurno řad κ κ ntéa mechansmu říení ~ ϕ... požadoané natočení ola ϕ... natočení ola realoané řídícím mechansmem w( ϕ m )... áhoý oefcent terým přpsueme odchlám reálných onstručních parametrů od požadoaných hodnot růný ýnam r r ( l α β γ ) 7 e polohoý etor členu mechansmu říení určený soí elostí l a směroým úhl α β γ e... ednotoý etor hlaní pá říení poloe pro přímou ídu e... ednotoý etor hlaní pá říení poloe natočené o úhel ϕ m... ednotoý etor os redoého čepu e... ednotoý etor ramene říení poloe pro přímou ídu 3 e... ednotoý etor ramene říení natočené poloe 3

11 VAENÍ AUBIVÉH KA Úloha ola e pro pohb slnčního odla mmořádně důležtá neboť prostředue ontat me odlem a podložou a dotoé plošce me pneumatou a podložou se realue přenos šech sloých účnů teré určuí pohb odla a eho oamžtý ídní sta.. Záladní pom Uažueme nehmotné nenaloněné olo u automoblu pohbuícího se přímočaře po odoroné podložce. U ola mohou nastat da áladní případ náorněné na obráu. V prním případě nepůsobí na olo boční síla a směr pohbu středu ola e shodný se směrem odaloání ola. Ve druhém případě na olo působí boční síla a směr pohbu středu ola e odchýlen od směru odaloání ola o úhel směroé úchl α. V tomto případě ná me pneumatou a ooou tečná boční síla terá e posunuta hledem ose ola o o míru ρ. Pro snadněší ýlad poděší orentac aedeme něteré důležté η dotoá ploša Valení be působení boční síl

12 směr pohbu ola směr odaloání ola Valení a působení boční síl br. Valení automobloého ola a souřadncoé sstém pom a onačíme hlaní souřadncoé sstém něd e budeme naýat prostor teré budeme použíat celém rosahu srpt. tuace e achcena na obr. de ) e áladní souřadncoý sstém spoený s ooou ) e o ( o o o ( souřadncoý sstém odla umístěný těžšt ehož osa splýá s podélnou osou odla e terém e určena poloha ola. ouřadncoý sstém e e e ) e spoený se ξ ( ξ η ζ středem ola de osa η ok e osou rotace ola ( ) e souřadncoý sstém teoretcém bodě dotu ola s ooou. Na obráu e roněž načen úhel směroé úchl α terý e elm ýnamný eména hledsa stablt odla a dále nematcé elčn určuící pohboý sta ola terým sou ω α pro rotační pohb ola a pro posuný pohb středu ola a dále ω ϕ pro nalápění ola olem os a ω ϕ pro natáčení ola olem os. Ja sme se ž mínl automobloé olo přenáší romě lastní tíhoé síl sloé účn odla na oou a naopa. tuace e pro ronoměrný pohb ola onst. náorněna na obr. de sou načen reační síl působící místech uložení ola A B

13 A B aroser odla routící moment přenášený na olo a reační síl N dotoé plošce teré obecně toří etoroý říž. Protože uažueme ronoměrný pohb ola nesou na obráu ueden setračné sloé účn. Pro snadněší psaní podmíne br. loé účn na hnacím ole br. 3 lož sloých účnů souřadncoých sstémech ola a dotoého bodu 3

14 loé účn místě ontatu pneumat s podložou:... obodoá síla... boční síla (odstředá síla boční ítr)... radální síla... lopný moment... obodoý moment... ratný moment (př působení boční síl) loé účn e středu ola: ξ... dopředná síla η... aální síla ζ... sslá átěžná síla ξ... lopný moment ζ... natáčecí moment... routící moment br. 3 lož sloých účnů souřadncoých sstémech ola a dotoé ploš ronoáh a proádění následných ýpočtů e ýhodné ádřt sloé účn ační reační ech složam e olených souřadncoých sstémech ta a e uááno na obr. 3 de e středu ola Ωξ působí síl ξ η ζ a moment ξ η ζ teré repreentuí sloé účn působící odla na olo případně ola na odlo. Hodnota routícího momentu určue pohboé sta ola. Pro e olo lečené pro > sgn sgnω e olo hnacím režmu íd a pro olo brdícím stau e < sgn sgnω. V dotoé plošce terou sme nní nahradl dotoým bodem C Ω působí síl a moment teré předstauí reační sloé účn působící podlož na olo.. Knemata alení ola Př studu alení automobloého ola po podložce budeme uažoat steně ao áladním uru mechan že střední rona ola terá e olmá podložce e totožná s ronou uedenou horní část obr. a pohboý sta ola e určen posuným pohbem středu ola s nematcým elčnam a a rotačním pohbem olem os ola o s nematcým elčnam ω α. Dále předpoládáme že šechn sloé účn působí této střední roně a že ratné lopné moment sou nuloé... Geometrcé parametr ola Záladním geometrcým parametrem ola e eho poloměr. Protože olo sestáá tuhého dsu a poddané pneumat aádíme následuící poloměr obr. 4 teré nám pomohou ádřt ednotlé pohboé sta ola případně něteré lastnost ola: 4

15 uhá podloža: Poddaná podloža: r s - a ldu r d - a pohbu pružná radální deformace pneu pružná radální deformace pneu pružná deformace oo plastcá deformace oo br. 4 pecface poloměrů použíaných u ola áslost na deformac pneumat a podlož r menotý poloměr: r o olný poloměr: r s r d e to poloměr neatíženého nerotuícího ola př menotém huštění (norm atalog ýrobů). e to poloměr neatíženého ola s lem ýrobních odchle opotřebení odstředé síl př rotac a měn tlau huštěním. statcý dnamcý poloměr: e to prooní poloměr atíženého ola daný dáleností středu ola od ron podlož př statcém r s nebo dnamcém r d stau terý e áslý na radálním atížení ola ζ r o poloměr lečeného ola: r alý poloměr: ζ r s rd a na tlau huštění p. Dnamcý poloměr e naíc eště áslý na rchlost r. Pro osobní automobl e orentačně d r d / r o & 94 u dagonálních pneumat a r d / r o & 9 u radálních pneumat. e to alý poloměr lečeného ola d na olo působí dopředná síla roná elost alého odporu. e to poloměr mšleného ola teré se alí bee sluu ted splňue nematcou podmínu alení ω r taže e r / ω nebo r s / π r de s e dráha středu ola. Je to poloměr hbné polode nebo na řečeno e to dálenost středu ola od pólu pohbu. Jedná se o elčnu nematcou nol geometrcou. Poloměr alení ásí na řadě fatorů ao e deformace pneumat olaná radálním atížením ola a tlaem p rchlost a moment přenášený na olo případně tečná 5

16 reační síla. Záslost poloměru r na deformac pneumat olané radální slou a tlaem pneumatce p e uáána na obr. 5. U dagonálních pneumat e tato áslost ýraně ětší než u pneumat radálních. Valý poloměr r e roněž áslý na přenášeném routícím momentu nebo na tečné síle tímto momentem olané a na rchlost ola. br. 5 Záslost r na radální síle a tlau p olo brdící olo hnací br. 6 Záslost r na routícím momentu Kroutící moment resp. ím olaná tečná síla olňue charater ontatu pneumat s podložou. V dotoém bodě terý bl až doposud taé pólem pohbu docháí obodoé pružné deformac pneumat ombnoané částečným sluem 6

17 pneumat po podložce a případě poddané podlož roněž plastcé deformac podlož obodoém směru. Vl sluu e patrný e áslost alého poloměru na routícím momentu terá e uáána na obr. 6. U hnacího ola lesá př dosažení mamální hodnot přenášeného routícího momentu ma hodnota alého poloměru r nule r neboť olo se rotočí a eho dopředná rchlost lesá nule. Pól pohbu se přemsťue do středu ola a dode proluu nebo též na řečeno hnacímu sluu ola. U brdícího ola e př dosažení obodoého smu nebo též brdného sluu hodnota přenášeného momentu mnmální a alý poloměr dosáhne neonečně elé hodnot r mn neboť olo se přestane otáčet a ačne se enom posouat. Na obr. 6 e načen dnamcý poloměr r d a emu příslušná hodnota routícího momentu d a dále olný poloměr r o s odpoídaící hodnotou routícího momentu o. Hodnota r o onačue poloměr alení d routící moment a dopředná síla ζ působící e středu ola olá obodoou sílu terá e práě rona síle alého odporu f. Váemná souslost aedených poloměrů e dobře patrná na obr. 7 de sou ueden tř áladní případ alení ola onstantní rchlostí po tuhé podložce s načeným pól pohbu. V případě a leží pól pohbu pod ronou podlož. V případě b leží pól práě roně podlož a případě c a) b) c) r < > rd d r rd d r < rd > d br. 7 Váemná souslost poloměrů r r r o d terý odpoídá ětší hodnotě routícího momentu potřebného udržení onstantní rchlost leží pól P nad ronou podlož. Dalším fatorem terý olňue elost poloměru ola e rchlost. Záslost měn olného poloměru r o a dnamcého poloměru r d na rchlost ola e uáána na obr. 8. Abchom stuac ednodušl a abránl případným nedorouměním a áměnám aedeme ýpočtoý poloměr r se terým budeme dalším ýladu pracoat. r ýpočtoý poloměr: a ýpočtoý poloměr se olí poloměr lečeného ola ted r terý e áslý poue na rchlost. r o Na ostatních fatorech neásí. 7

18 dagonální pneu radální pneu br. 8 Záslost olného a dnamcého poloměru na rchlost.. Záladní případ alení ola V áladním uru mechan sme se abýal alením ružnce po přímce př terém me dopřednou rchlostí středu ola a eho úhloou rchlostí platl tah rω terý předstaoal nematcou podmínu alení. Ve sutečnost e ale stuace poněud složtěší. Záladní případ teré mohou nastat př alení ola po tuhé podložce sou ueden na obr. 9. Čsté alení nastane pro ole e dána tahem r r d pól pohbu P leží roně podlož a dopředná rchlost r ω. () Valení s proluem nastane pro případ r > r d pól pohbu leží nad ronou podlož a eho dálenost od středu ola e r. Důsledem e že místě dotu ola s podložou ná slu a proto dopředná rchlost ola e snížena o sluoou rchlost δ a eí elost e rω δ r ω. () Pro případ že r P bude a nastane čstý prolu d olo rotuící úhloou rchlostí ω bude mít nuloou dopřednou rchlost. K alení s proluem docháí u hnacího ola. 8

19 Čsté alení: Valení s proluem: Valení se smem: r r r o r > r r < r případ lečeného ola případ hnacího ola případ brdícího ola br. 9 Záladní případ alení ola Valení se smem nastane případě že r < r d pól pohbu P leží pod ronou podlož a eho dálenost od středu ola e r. Podobně ao předcháeícím případu ná místě dotu ola s podložou slu terý působue že dopředná rchlost ole e ýšena o hodnotu sluoé rchlost > a eí elost e r sluoá rchlost rω + δ r ω. (3) V případě že r P alý pohb ola se mění na pohb posuný. Potom nastane čstý slu d olo se posouá dopřednou rchlostí a úhloá rchlost ola ω. Příčnam nu proluu případně sluu sou obodoá poddanost pneumat slu dotoé plošce a případně deformace podlož. Poem alení terý bl aeden áladním uru mechan a týal se čstého alení sme nní rošířl o alení s proluem. ento e můžeme ádřt pomocí následuících dou elčn. ěrný slu e beroměrná elčna defnoaná tahem δ s s s δ o o o o (4) o o ϕ ϕ ϕ o ω ω de δ ±. Velčn s ndeem o přísluší pohbu be sluu. Poud e δ < hooříme o měrném sluu nebo taé o smu a onačueme δ. Poud e δ > onačueme δ δ h a edná se o měrný prolu hnacího ola. Pro δ nastáá čsté alení d dotoém bodu nedocháí e sluu a pro δ nastáá čstý slu respete prolu. luoá účnnost ola e defnoána tahem o ω o δ b ± η (5) de ladný eponent platí pro hnací olo a áporný pro olo brdící. 9

20 .3 loé poměr př ronoměrném alení ola Př oumání sloých poměrů na ole teré se alí ronoměrně ω onst. onst. budeme předpoládat že tíhoá síla ola e buď nuloá nebo že e ahrnuta do něší síl působící na olo odla. Dále nebudeme uažoat čepoé tření taže síla o o bude procháet středem ola. tuace pro tř áladní pohboé sta ola e uáána obr. de sou náorněn sloé poměr u lečeného ola hnacího ola a ola brdícího. Na obrácích na leé straně sou nareslen ýsledné působící sloé účn a reace a na prostředních a praých obrácích sou uáán možné náhrad ačních a reačních sl pomocí ech slože. Ační síla e nahraena složam reace e nahraena složam o f a momentem e de e e rameno alého odporu. Poněud nelé onačení slože reace poronete obr. a 3 e oláno tradčním načením těchto sl oboru slnčních želenčních odel teré budeme respetoat. ξ ζ Vlečené olo: Hnací olo: f f > f <

21 Brdící olo: íla f repreentue odpor alení br. loé poměr př ronoměrném alení ola e teoretcá tečná síla příslušná routcímu momentu neboť platí tah < f < ξ e dopředná hnací případně brdící síla a f / terá ale není rona tečné reac ± (6) de f e odpor alení. Př řešení sloých poměrů na ole píšeme tř podmín ronoáh ta a blo uááno áladním uru mechan př řešení ronoáh tělesa ted oble dě ronce složoé a ednu ronc momentoou. Uedeme pro přehlednost eště ednou souhrnně sloé elčn uedené na obr. neboť sou pro poroumění sl působících na odlo př eho pohbu elm důležté. f e r e moment odporu alení de e e rameno alého odporu. f f p f + e odpor alení e to mšlená síla adřuící trát teré naí f př alení ola důsledu deformace podlož a deformace pneumat. Pro hnací olo e a našch úahách budeme předpoládat že f f e neáslá na routícím momentu r. dpor alení e působen eména ntřním třením př deformac pneumat (hsteree) třením e stu pneumat s ooou a přsááním pneumat podložce. odělíme ho na dě neýnamněší slož. e mšlená síla adřuící trátu tečné síl nlou deformací podlož. Pro tuhou podložu e f p. f e mšlená síla adřuící hsterení trátu tečné síl nlou deformací pneumat. oří až 9% odporu. e radální složa reace. ± e tečná složa reace e to síla posouaící olo. Záporné f + raméno platí pro olo hnací ladné naméno pro olo brdící. e tečná hnací případně brdící síla na obodu ola. r e ýsledná reace oo. f f p

22 oment sou moment sloých doc. Pro ronoážný sta musí platt f o l e de. U lečeného ola e. Vtah me obodoou reační slou odporem alení f a tečnou hnací případně brdící slou e patrný e áslost f ( ) terá e grafc náorněna na obr. e terém sou dobře pooroatelné sloé poměr u ednotlých áladních pohboých staů ola. olo: brdící neutrální hnací lečené olné br. Záslost obodoé reace a odporu alení f hnací (brdící) síl na momentu Beroměrné sloé parametr Pro poronání sloých elčn pro růné tp pneumat a růná atížení e účelné aést následuící beroměrné parametr: součntel obodoé síl µ součntel hnací síl součntel odporu alení µ f f. (7) Potom můžeme obodoou sílu ádřt ýraem µ µ f. (8)

23 Hodnot součntele odporu alení f ásí na řadě lů terým sou: tla huštění rchlost íd teplota pneumat radální atížení. Neětší ýnam maí prní tř l teré sou náorněn na obr. 3. Záslost na rchlost Záslost na tlau pneumatce Záslost na teplotě pneumat br. 3 Záslost součntele odporu alení na rchlost na nahuštění a na teplotě rentační hodnot součntele odporu alení f pro altní žčnou nebo betonoou oou a pro tla nahuštění p 5 Pa sou u osobních automoblů: f radální pneumata 7 dagonální pneumata 5. ouhrnně můžeme říc že hodnot součntele odporu alení se pohbuí meích (žčný porch) až 3 (blátý porch). 3

24 Záslost sloých a nematcých parametrů Záslost alého poloměru r na radální síle nebo ím olané síle a na přenášeném routícím momentu bl ž ueden na obr 5 a 6. Protože sou tto áslost hledsa nemat alení ola ýnamné podíáme se na ně podrobně. Pro pratcé použtí se uedené áslost adřuí doím působem. Prní působ ádření Prní ádření e dáno áslostí poloměru alení r na momentu případně na síle ted áslostm r r ( ) případně r r ( ) ta a e náorněno na obr. 6. Pro ednodušení ýpočtů proedeme lnearac této áslost celém rosahu momentů následuícím tahem mn ma de λ [ N ] [ N m] součntel r r λ r λ (9) o o λ sou součntelé měn alého poloměru. Pro předstau se λ pohbue romeí λ [ N ] m menotého poloměru ola r a taru pneumat. Pro r a B e šířa proflu pneumat. áslost na elost H / B λ de H e ýša Druhý působ ádření Druhý působ ádření proedeme pomocí áslost měrného sluu δ ro. (4) na tečné síle nebo na tečné reac δ δ a teré sou teré apíšeme ao ( ) nebo ( ) náorněn na obr. 4. Na obráu e ueden a případ měrného proluu δ h u hnacího ola olo: brdící hnací lečené olné neutrální br. 4 Záslost tečných sl na měrném sluu 4

25 ta měrného smu δ b u ola brdícího. Velm často se ale místo sloých elčn použíaí beroměrní součntelé µ ( δ ) µ ( δ ) a potom áslost µ ( δ ) µ ( δ ) naýáme sluoým charaterstam echž průběh e achcen na obr. 5 de na leé straně e stuace pro hnací olo a na praé straně pro olo brdící. oučntel odporu alení lečeného ola e onačen f o a součntel odporu alen ro. (8) e dán rodílem hodnot µ a µ. hnací olo brdící olo br. 5 luoé charaterst oučntel soudržnost ola s podložou Hodnota součntele obodoé síl µ obr. 5 má elý ýnam neboť určue hnací č brdící sílu terou e olo schopné přenést na podložu. Nedůležtěší sou da bod na této řce terým přísluší elčn µ a µ s. oučntel µ onačueme ao součntel soudržnost alení terý určue mamální obodoou sílu terou e alící se olo schopno přenést. oučntel µ naýaný součntel soudržnost sluu (nebo taé pro hnací s olo proluu a pro olo brdící smu) určue mamální tečnou sílu terou olo µ ao přenese př čstém sluu d δ. V běžném žotě onačueme hodnotu součntel přlnaost nebo ao součntel adhese. Hodnota µ s e onačoána ao součntel tření. Z hledsa pohbu automoblu po ooce se edná o elčn mmořádné důležtost a proto se nm eště rátíme. Pro orentac s apamatute že součntel adhese nebol součntel soudržnost alení se na žčné ooce pohbue romeí (lhý led) (suchá drsná žce). Poměr µ / e elm důležtým parametrem př nárhu µ s protsmoých aříení brd. Hodnot µ a µ s se mohou př stené rchlost u růných druhů suchých ooe načně lšt (až o 5%). eálný porch oo má rodílné lastnost místech stoupání lesání a atáčení de docháí hlaení porchu..4 Pohboé sta ola to ýonů Podle elost a smslu sl působících bodě dotu ola s ooou teré f sou ueden na obr. roenááme pět pohboých staů odloého ola o terých 5

26 sme se ž mínl na obr.. Nní se této problematce eště ednou rátíme a hloubě probereme. tuace e souhrnně náorněna na obr. 6 de e uedeno šech pět pohboých staů alícího se ola se aresleným to ýonů teré přes olo procháeí. Uážeme s ednotlé sta s tím že P ω r e ýon na hřídel ola P ξ e ýon předáaný ola na odlo nebo odla na olo přes uložení ola a P ξ e trátoý ýon mařený př alení ola. Vlečené olo: P ω ýon na hřídel ola r P ýon předáaný ξ odlu P ζ trátoý ýon mařený př alení Hnací olo: Brdící olo: 6

27 Volné olo: Neutrální olo: br. 6 o ýonů př alení ola po podložce Vlečené olo: alení ola e usutečňoáno slou ξ působící na osu ola. Platí tah. Hnací olo: alení ola e usutečňoáno slou olanou momentem tah > >. > f f 7. Platí Brdící olo: alení ola e usutečňoáno slou ξ + f působící odla na osu ola. Platí tah < <. < f Volné olo: alení ola e usutečňoáno slou odlu se nepředáá žádná síla. Platí tah. > f Neutrální olo: alení ola e usutečňoáno slou slou Platí tah Neětší ýnam maí prní tř případ. <. > < f + ξ f ξ působící na osu ola.

28 .5 loé poměr př neronoměrném alení ola U neronoměrného pohbu ola ω onst. musíme př řešení sloých poměrů uažoat hmotu ola. teně ao u pohbu ronoměrného neuažueme čepoé tření. tuace u hnacího ola teré se pohbue s dopřednou rchlostí & a s dopředným rchlením a & e náorněna na obr. 7 de D m a a I α α & ϕ sou setračné účn ola ehož hmota e m a setračný moment e I. íla přenášená ola na odlo e ζ a e obodoá síla terá předstaue obr. odoronou složu reace bodě dotu. G m g e tíhoá síla ola. ω & ϕ a α && ϕ & && br. 7 loé poměr u neronoměrného alení ola Z podmíne ronoáh ζ G + m & ξ r I ϕ& & () f de a r nebudeme pro další řešení uažoat prní ronc terá f f f předstaue statcou podmínu ronoáh e sslém směru. Ze býaících dou podmíne dnamcé ronoáh a předpoladu že platí nematcá podmína alení rϕ můžeme psát r I & ϕ + m &. () f ξ užtím podmín alení dostaneme pro tažnou sílu ξ ýra && ξ f I m && && & ϕ r () r r 8

29 terý upraíme na onečný tar I ξ f m + &. (3) r r Poslední ýra na praé straně předstaue reduoanou setračnou sílu o terou se menšue síla ξ přenášená na odlo oprot ustálenému pohbu. 9

30 VAENÍ PNEUAIKY NA UHÉ PDKADU V předcháeící aptole sme se abýal elementárním pom teré se hledsa mechan týal pohbu pneumat po tuhém podladu a teré sou nebtné pro pochopení děů teré př pohbu pneumat nastáaí. Ja blo ž řečeno tto děe maí přímý a elm beprostřední l na ídní lastnost automoblu. Nemňoal sme odchl teré nnou př alení pneumat po poddaném podladu a úah sme roněž loučl síl teré nepůsobl čelní roně ola. Nní se této problematce eště rátíme a rošíříme náš pohled na alení pneumat po tuhém podladu. Budeme rolšoat da případ. Valení pneumat be bočních sl a alení s působením bočních sl.. Valení be působení boční síl V aptole. 3 sme edna uáal sloé poměr na ole teré se ronoměrně alí a dále sme uáal áslost tečných sl přenášených ola na oou případně obráceně na radálním atížení ola repreentoané radální slou. oněž sme se mínl že dot pneumat s podložou není bodě nýbrž sté dotoé plošce e teré docháí e nu a sl soudržných nebo taé adheních ta sl třecích. Důsledem e n sluu ola terý sme adřoal pomocí sluoých charaterst obr. 5 a aedl sme da důležté pom: součntel adhee a součntel tření. Nní se budeme tomuto eu ěnoat trochu podrobně... loé poměr dotoé plošce odělení obodoých a normáloých sl dotoé plošce běhounu pneumat s tuhou ronou podložou a průběh sluoé rchlost této plošce můžeme náornt [] ta a e uááno na obr. 8. Z obráu e patrné že ýsledné radální síl a obodoé síl sou složen elementárních sl působících ednotlých elementech pržoého běhounu přčemž tto element se hledem podložce nacháeí ldu nebo sou relatním pohbu. oudržnost pneumat s ooou nastáá dotoé plošce současně pro případ nuloé nenuloé relatní rchlost... oudržnost pneumat s ooou Z předcháeící aptol plýá že př alení pneumat estue dotoé plošce stá oblast ontatu [] e terém e relatní rchlost me pržoým element běhounu a tuhou podložou nuloá a pa hooříme o staconární soudržnost a současně e dotoé plošce další ontatní oblast de e relatní rchlost me element a podložou nenuloá docháí de e sluu a edná se o třecí soudržnost. Ke trátě soudržnost pneumat s podložou dode oamžu d celé dotoé plošce estue poue třecí soudržnost ted celé plošce není žádný element terý b se hledem podložce nepohboal. Estence obou těchto oblastí e pro alení pneumat a tím pro přenos tečných sl me pneumatou a podložou tpcá a hooříme o slách staconárních a o slách třecích. 3

31 radální reace: obodoá reace: relatní sluoá rchlost elementů běhounu rel ůč podložce: Hnací olo Brdící olo br. 8 oložení tečných a radálních sl dotoé plošce Vn soudržnost dotoé plošce me pneumatou a podložou e prncpálně uáán na obr. 9 terý náorňue ontat elementární ploš deénu pneumat s podložou. Působením obodoé síl docháí deformac pneumat tečném směru. Vlem statcé radální síl nne radální reace terá působí deformac. ς Záslost ( ) terá se naýá radální deformační charaterstou e nelneární a má tar [] hsterení smč náorněné na obr. pro růné tla nahuštění pneumat. Plocha hsterení smč předstaue trátoou dspatní energ působenou přeměnou mechancé energe na teplo. Hsterení trát sou áslé na lastnostech prže a na smoých deformacích. adální deformace pneumat e áslá neenom na statcém atěžoání slou nýbrž na atěžoání dnamcou slou naící př pohbu ola. ζ Potom e radální síla působící me podložou a pneumatou obr. 3 dána tahem + b & (4) 3

32 de e onstanta radální tuhost pneumat a b e onstanta tlumení. Do freencí budících sl ω 5H se plášť pneumat choá ao nehmotné těleso. Hloubě tto áležtost nní studoat nebudeme. oněž se nebudeme abýat neustáleným sta alení pneumat teré mohou být u hnací pneumat olán torním mt pohonném sstému ola nebo př brdění působením antblooacího aříení. br. 9 Vn soudržnost u elementu běhounu pneumat hstere áslost na p [Pa] taconární soudržnost e působena: br. Deformační charaterst pneumat deformací elementů prže běhounu pneumat d neronost podlož naí do prže a působí ao ub. načme elementární sílu příslušnou této složce de namená staconární d onačue deformac prže př teré docháí hstere působené eím soelastcým lastnostm a onačue element běhounu. d 3

33 adheí d docháí e nu moleulárních sl me prží běhounu a porchem podlož. to síl mohou nnout poue a předpoladu že porch elementu běhounu a podlož sou čsté a že se moleul obou porchů dostanou do dosahu moleulárních sl. K tomu e nutný dostatečně elý místní měrný tla přblžně 3-7 Pa. Elementární sílu příslušnou této složce onačíme řecí soudržnost e působena: de a onačue adhe. deformací elementů prže běhounu pneumat náním mroneroností podlož do prže podobě ao u staconární soudržnost ale tomto případě se ta děe a pohbu d se element deformuí př relatním pohbu ůč podložce. Elementární síla příslušná této složce e d a de namená třecí sílu. V tomto případě stoupá ýnam hsterení třecí slož de práce potřebná deformac pneumat e ětší než práce ísaná eím rotažením. adheí d a relatního pohbu elementů prže ůč podladu docháí e nu moleulárních sl podobně ao u staconární soudržnost. Vnlá elementární síla e. Podmínou eího nu e že dálenost obou ploch e menší než -6 mm a taže ontatní ploch musí být hladé a čsté. abraí d docháí trháání částc prže běhounu. ato složa olá elementární sílu terá působue opotřeboání běhounu pneumat. r suchý čstý suchý nečstěný morý nečstěný oleem br. Vl stau porchu podlož na elementární síl soudržnost Celoá elementární tečná síla soudržnost e dána součtem ednotlých elementárních sl 33

34 + + (5) t d a r de + + sou ednotlé elementární síl příslušeící d d d a a a r r statcé () a třecí () soudržnost. Z hledsa snížení opotřebení deénu pneumat e žádoucí ab elementární síla působuící abra bla co nemenší a ab hlaním částm r celoé elementární síl bl síl d a a. Záslost těchto elementárních sl na stau porchu oo [] e uáána na obr. e terého e patrné že u suchého čstého porchu e elementární adhení síla a podstatně ětší než síla nlá deformací případně hstereí elementu běhounu. Př lesaící teplotě stoupá trdost prže prž řehne a hsterení složa soudržnost se snžue. Výnamnou lastností mních pneumat e že ech prž běhounu s achoáá elou hstere př teplotách pod bodem mrau.... oučntelé soudržnost Př přenosu sl pneumat na podložu docháí žd deformac pneumat a tím e nu místních deformací elementů běhounu. Poud př deformac nedode e smu ted poud elementární tečná síla nepřeročí elementární staconární sílu soudržnost e element běhounu ůč podložce ldu. Poud dode přeročení této mee dode relatnímu pohbu me elementem a podložou. to sta adřueme pomocí elementárních součntelů soudržnost. Elementární součntelé soudržnost oučntel soudržnost elementu budeme defnoat podobným postupem terý sme použl ro. (7) t. poměrem mamální tečné elementární síl soudržnost elementární normáloé síle. Budeme hoořt o staconárním nebo o třecím elementárním součntel soudržnost. taconární elementární součntel soudržnost de ento součntel e defnoán tahem t ma t ma µ rel (6) pro e mamální hodnota celoé tečné elementární síl soudržnost rel ro. (5) př teré eště nedode relatnímu pohbu me elementem pneumat a ooou a e normáloá síla působící na element. Poud platí že µ (7) t docháí e staconární elementární soudržnost. 34

35 řecí elementární součntel soudržnost V případě že tečná elementární síla t přeročí podmínu staconární elementární soudržnost určenou ro. (7) dode relatnímu pohbu me elementem běhounu a podložou. taconární elementární součntel soudržnost součntel soudržnost µ s pro terý platí tah µ se mění na třecí elementární t ma µ s rel. (8) oučntel elementární třecí soudržnost µ s e slně áslý na elost relatní rchlost sluu elementu běhounu hledem podložce neboť př stoupaící rchlost se hsterení složa deformace elementu šue ale současně docháí e snžoání adhení slož elementární síl. Záslost elementárního součntele třecí soudržnost na relatní rchlost me elementem běhounu a podložou e uáána na obr.. suchý porch morý porch br. Záslost třecího elementárního součntele soudržnost µ s na relatní rchlost echancé pochod o terých sme hoořl a teré se odehráaí elementu běhounu pneumat sou pro předstau schematc náorněn pro ídní režm brdění na obr. 3 de sou ueden dél oblastí na terých těmto eům docháí. Všmněte s růných měříte déle. Hsterení tření: Částce běhounu procháí př sém průchodu dotoou plochou pneumat s podložou oběma sta soudržnost. Za běžných podmíne alení dosahuí rchlost smýání elementů běhounu př třecí soudržnost ale be proluu celé pneumat řádoě ms. Př proluu celé pneumat dosahuí. rchlost odla řádoě ms. 35

36 Deformace uboý efet: Adhee: br. 3 echancé e elementu běhounu př přenosu síl režmu brdění př třecí soudržnost oučntelé soudržnost dotoé ploch Elementární soudržnost součntelé µ sou µ s odlšní od součntelů soudržnost µ µ s uedených dříe teré se tahoal celoým tečným a suchý beton normáloým slám působícím na pneumatu dotoé plošce a o terých sme se ž mínl aptole morý beton Dagonální pneu.3 souslost se 3N p 6 pa sluoým charaterstam. 3mh Ze sluoých charaterst uedených na obr. 5 má hledsa bepečnost íd trdý sníh ětší ýnam sluoá charatersta pro brdící náledí olo. Uážeme nní [6] aý l na tar této charaterst má materál br. 4 Vl materálu podladu na sluoou porchu oo rchlost charaterstu pohbu ola a radální atížení pneumat. Záslost sou uedené na obr. 4 5 a 6. V prních dou případech bla použta dagonální pneumata Dunlop 59 5 atížená radální slou 3N a nahuštěná na tla p 6 Pa. Na třetím obráu e případ pneumat 6 5 nahuštěné na tla 7 Pa terá se alí na oceloém álc rchlostí mh -. 36

37 suchá žce p 7 Pa mh morá žce Dagonální pneu 3 N p 6 pa Pneu 6 5 na oceloém álc br. 5 Vl rchlost na sluoou charaterstu br. 6 Vl radálního atížení na sluoou charaterstu Na onc aptol.3 obr. 5 sme se mínl o elém ýnamu dou bodů sluoé charaterst brděného ola echž hodnot sme onačl µ a µ s. Budeme se nní těmto hodnotám ěnoat podrobně: µ... e mamální hodnota součntele soudržnost alení µ terou běžném žotě onačueme ϕ a naýáme ho součntelem adhee ϕ µ ma µ. (9) ato hodnota určue mamální tečnou brdící sílu terou e brdící rotuící olo schopné přenést na oou µ s... e součntel soudržnost sluu terý opět běžném žotě onačueme f a naýáme ho součntelem tření 37 f µ s. () ato elčna určue mamální tečnou brdící sílu terou e brdící nerotuící olo schopno přenést na oou př čstém smu nebo proluu. Platí důležtý tah me oběma elčnam d f < ϕ. Uážeme na čem ýnamně ásí hodnot součntelů adhee ϕ a podélného tření f. Protože šších hodnot oefcentů se dosahue př brdění a protože režm brdění e roněž důležtěší hledsa bepečnost proou uáděí se hodnot oefcentů ϕ a f pro brdící olo. Jech áslost na rchlost a na porchu oo e uedena [6] na obr. 7.

38 suchý suchý morý morý suchý suchý morý morý beton žce br. 7 Záslost oefcentů adhee a tření na porchu oo a rchlost Vl ýš proflu deénu pneumat pro mírně oetý žčný porch střední rntost [] u dagonální pneumat atížené radální slou 5N a pro tla nahuštění p 8 Pa e uáán na obr. 8 de tloušťa odní rst na žčném porchu e mm. Záslost součntele adhee na rchlost íd a na ýšce proflu př ídě na morém žčném porchu s tloušťou odní rst 3mm e uáána na obr. 9. K podstatné měně součntele adhee docháí na ačátu deště d se suchý porch oo mění na morý. ato áslost e achcena na obr. 3 pro mírný déšť. 38

39 suchý porch morý porch (tloušťa odní rst mm) br. 8 Vl ýš proflu deénu na součntele adhee a tření ýša proflu [mm] br. 9 Záslost součntele adhese na rchlost íd a na ýšce proflu př tloušťce odního flmu 3mm. 39

40 oněž př pohbu na ledu e součntel adhee ýnamně áslý na eho teplotě a e patrné obr. 3. Uedené áslost nesou dalea edné ale můžeme e ařadt me neýnamněší. Na součntel adhee maí l další oolnost ao e teplota pneumat a podladu d soudržnost pneumat se růstaící teplotou lesá maro a mroneronost oo teré sousí s neronoměrným opotřebením porchu oo materál porchu oo a pod. Přpomeneme eště n aquaplanngu e terému docháí př ombnac rchlost íd ýš proflu deénu pneumat a tloušť odní rst. chematcé náornění tohoto nežádoucího a nebepečného eu e na obr. 3. Př dosažení plného aquaplanngu d mí ontat me pneumatou a podložou e odlo neoladatelné. Hrance neoladatelnost sou určen mením řam aquaplanngu teré sou přblžně uáán na obr. 33. sucho ačáte deště sucho onec deště br. 3 Časoý průběh součntele adhee na počátu deště br. 3 Záslost součntele adhee na teplotě ledu ontat ontat ontat br. 3 Vn aquaplanngu 4

41 aquaplanng plná ýša oru setá pneu. br. 33 ení ř aquaplanngu áslost na ýšce odního flmu h. plný profl ýša odní rst žádný profl br. 34 Záslost součntele tření na rchlost a na tloušťce odního flmu pro plnou a nuloou ýšu proflu Na obr. 34 e eště obraena áslost součntele tření na rchlost př růné tloušťce odního sloupce pro plnou a nuloou ýšu proflu běhounu pneumat osobního automoblu atížené radální slou ς 3N a nahuštěné na tla 5 Pa.. Valení př působení boční síl V této aptole uážeme n ratného momentu olaného boční slou u pneumat terá se alí po tuhé podložce. Záladní předstau ísáme nedříe u nerotuící pneumat atížené radální slou ζ obr. 35 a boční slou η působící odla na olo []. Působením boční síl se pneumata bočně deformue a eí půodní teoretcý dotoý bod se posune o do noé poloh. Deformace se sládá deformace ostr a deformace běhounu. Kostra pneumat e atížená slam teré na ní přenáší běhoun délce dotoé ploš pneumat s ooou. Deformace ostr e neětší e středu dotoé ploš a po obodě lesá nule terou dosáhne úhlu cca ±5 obr. 35 měřeno od středu dotoé ploš. 4

42 deformace běhounu střednce ostr br. 35 Boční síla a ratný moment u stoící nerotuící pneumat U radální pneumat e boční tuhost ostr nžší ale důsledu ětší tuhost bočního obodoého pásu se roládá na ětší část obodu. Deformace běhounu ůč ostře e nepatrná. slá reace nepůsobí e středu dotoé ploš ale e dálenost κ obr. 35 de κ e součntel posunutí terý ásí [] na sslé reac a na nahuštění pneumat. Pro dagonální pneumatu e áslost náorněna na obr. 36. br. 36 Záslost součntele κ na atížení pneumat a na tlau Boční síla () de e boční tuhost pneumat olaná slou η roste až me bočního proluu d dode bočnímu smu pneumat. Potom e f ma () de f e součntel příčného tření. Boční tuhost pneumat se s radální slou mění málo []. Záslost boční tuhost na tlau nahuštění e uáána na obr. 37 pro dagonální radální pneumatu atíženou radální slou 5N. Na obr. 38 e uáána áslost poměru radální a boční tuhost / na tlau nahuštění pneumat. Působíme-l na stoící pneumatu momentem 4 ζ obr. 39 natočí se pneumata o úhel α ta že ostra

43 dagonální pneu radální pneu radální pneu dagonální pneu br. 37 Záslost boční tuhost na tlau nahuštění br. 38 Záslost poměru radální a boční tuhost na tlau nahuštění pneumat se deformue do taru a steně ale méně ýnamně se deformue ůč ostře střednce běhounu. oučasně dode podélné deformac elementů běhounu. Deformací ploš nne me pneumatou a ooou ratný moment ξ o α (3) de ξ o e ratná tuhost stoící pneumat. Vratná tuhost terá e u radální pneumat běžně ětší než dagonální stoupá s rostoucí slou. Dosažtelný mení moment se udáá tahem a ma & f 5 b + (4) 4 de a b sou roměr dotoé ploš a f a blo ž řečeno e součntel bočního tření. deformace ostr deformace běhounu br. 39 Vn ratného momentu 43

44 .. Ustálené sta alení Uažueme nní pneumatu terá se alí po tuhé podložce onstantní rchlostí ustáleném stau. Ustáleným staem budeme roumět sta d nematcé elčn ol sou onstantní mnmálně s. tuace u rotuícího ola e odlšná od stuace ola stoícího [] neboť průběh deformace ostr nad dotoou plošou pneumat deformace běhounu ůč ostře sou áslé na čase. Pro další úah budeme uažoat edna nenalopenou pneumatu terá se odalue přímočaře a působení onstantní boční síl a sslého momentu ζ a edna nalopenou pneumatu alící se po ruhoé dráe. V obou případech atím neuažueme hnací nebo brdící síl.... Valení nenalopené pneumat po přímé dráe Deformace ostr pneumat př alení e podobná deformac ostr u stoící pneumat s tím rodílem že mamální deformace e posunuta podélném směru a střed dotoé ploš. Element běhounu dosedá na oou počáteční hraně dotoé ploš s ooou nedeformoaném stau ůč ostře terá e ž deformoána. Př postupu doadu př rotac ola se element ačíná bočně deformoat a tím naí elementární boční síl. Element se ted neposunue ronoběžně s čelní ronou ola nýbrž pod stým úhlem směroé úchl α obr. 4 terý určue směr alení ola př působení boční síl η. deformace běhounu deformace ostr br. 4 Deformace běhounu a ostr pneumat př alení se směroou úchlou tuace e náorněna na obr. 4 e terého e patrné že úhel směroé úchl α sírá tečna t b e střednc běhounu bodě náběhu pneumat na podložu s přímou smetre p terá e průsečncí ron smetre ola a podlož. Úhel α e proto tořen edna úhlem terý sírá míněná průsečnce p s tečnou t e ostře pneumat a dále úhlem terý sírá tečna t b e střednc běhounu s tečnou t e ostře. Průsečí Q tečn t s přímou p tíná na přímce p relaační délu σ na teré přblžně lesne boční deformace ostr pneumat na 44

45 nulu př měření na obodě ola. Př stanoení relaační dél sme neuažoal boční deformac běhounu pneumat ůč ostře. elaační déla σ e déla subtangent průhboé čáře ostr pneumat bodě náběhu. Podobná stuace platí pro adní část pneumat. Pro dagonální pneumatu e σ & ( 7 )b a pro radální e σ & ( 3)b de b e déla dotoé ploš. Pro přesněší a detalněší řešení se aádí odoená relaační déla σ obr. 4 terá ahrnue boční deformac běhounu pneumat ůč ostře a ásí na boční síle. Pro e σ & ( 4 5) σ. bod náběhu pneu na oou tečna e ostře tečna e střednc běhounu br. 4 Vn relaační dél Elementární boční síl teré se stuí po délce dotoé ploš nemohou přeročt hodnotu danou elementárním atížením a elementárním bočním součntelem smoé soudržnost µ taže musí platt a mamální možná boční deformace elementu běhounu potom e de µ (5) 45 µ (6) e boční tuhost elementu. Protože roložení elementárních radálních sl po délce dotoé ploš má [] přblžně parabolcý tar obr. 4 má průběh boční deformace elementů běhounu podobný tar. V adní část dotoé ploš sou ale boční deformace elementů běhounu neětší. Dode-l přeročení mamálně možné deformace elementů dode e smu elementů po ooce ta a e uááno na obr. 4. Pro malé úhl směroé úchl α 3 e ale prolu adní část dotoé ploš malý taže elost boční síl roste přblžně úměrně s růstem úhlu α. Proto můžeme přblžně psát & uα (7) de u e onstanta úměrnost tohoto růstu teré říáme směroá tuhost pneumat. Deformac e středu dotoé ploš můžeme potom pro malé α ádřt podle obr. 4 tahem

46 střednce běhounu sm b + σ α α & tg α. (8) užtelná boční deformace běhounu měrné radální atížení br. 4 Vn smu elementů běhounu Protože e taé / můžeme hledem ro. (7) psát uα odud pro směroou tuhost pneumat dostaneme b u + σ b + σ α (9). (3) Př ětšoání úhlu směroé úchl α se ětšue deformace běhounu adní část dotoé ploš a určté dálenost od eího počátu obr. 4 dode dosažení adhení elementární síl µ ro. (5). d tohoto místa dále se ž elementární boční síl neětšuí. Celoá boční síla se př dalším ětšoání úhlu směroé úchl α eště mírně ětšue až do sté mení hodnot α me d přestane růst a naopa mírně polesne obr. 43. Protože ýslednce šech elementárních bočních sl neleží roně smetre ola obr. 4 ale a ní olá ertální ose ola ratný moment η (3) de rameno η e pneumatcý ále. msl ratného momentu e taoý že se snaží totožnt čelní ronu ola se směrem alení ola. Záslost ratného momentu na úhlu směroé úchl α e slně nelneární obr. 44 a může mít pro elé hodnot úhlu α 46

47 negatní l d se snaží úhel α ětšoat. měrnce ř ratného momentu počátu d ξ (3) d α se naýá ratnou tuhostí rotuící pneumat. e určt že e přímo úměrná radálnímu atížení pneumat. Vratná tuhost nerotuící pneumat ξ bla míněna ro.(3). Platí poměr ξ / ξ 5 neboť u stoící pneumat naí podélné smoé o deformace elementů běhounu teré se u rotuící pneumat nestuí. Př ětšoání úhlu směroé úchl d docháí adní část dotoé ploš e ětšoání oblast proluu posouá se důsledu měn boční deformace ostr běhounu působště boční síl dopředu. Neětší hodnotu dosahue pneumatcý ále pro α. Protože e podle obr. 43 áslost boční síl α na α nelneární e řemé že průběh bude íce nelneární. Př úplném bočním smu e α π / a. o na úhlu směroé úchl br. 43 Průběh boční síl áslost na úhlu α br. 44 Záslost ratného momentu na úhlu α... Valení nalopené pneumat po ruhoé dráe Uažume pneumatu alící se rchlostí po ruhoé dráe o poloměru terá e slopená od sslé přím o úhel ψ. Poud b dotoý bod C měl být pólem pohbu musela b se pneumata pohboat po ružnc t o poloměru e rcholu užele tořeného dotoou přímou pneumat p a osou ola t t obr. 45 terá má střed rchlost alení užele ω e dána tomto případě součtem dou úhloých rchlostí o K. Úhloá ω ω + ω (33) t de ω e úhloá rchlost ola a ω t e úhloá rchlost rotace olem sslé os o t. Kolo oná sfércý pohb složený těchto dou rotací. Protože ale olo atáčí olem os o a pohbue se ta po ružnc o poloměru < t úhloou rchlostí ω musí se naíc otáčet olem sslé os přídanou úhloou rchlostí ω ω (34) ω t terá e relatní úhloou rchlostí me pneumatou a podložou. Po dosaení dostaneme 47

48 br. 45 Knemata pohbu naloněné pneumat po ruhoé dráe ω snψ rd. (35) Vlem úhloé rchlost ω se budou element běhounu pneumat untř dotoé ploš obr. 46 deformoat rchlostí ω r. (36) Bod na náběžné hraně ploš nesou touto deformační rchlostí atížené a ech deformace e nuloá. Z uedeného popsu e řemé že pneumata nalopená o úhel ψ a alící se po ruhoé dráe o poloměru < t bude podrobena sté boční síle a ratnému momentu teré sou olán boční a podélnou nesmetrcou torní deformací elementů běhounu. Běhoun nabíhá na oou neatíženém nedeformoaném stau. V příčném bočním smu sou neětší deformace e středu dotoé ploš a podélném směru na onc ploš př ýběhu elementů. br. 46 chlost bodu D dotoé ploš 48

49 Pro malé hodnot úhlu ψ sn ψ & ψ můžeme [] použtím ro. (35) přblžně psát r ψ ψ r ξr d rd (37) b de r b & 5 6 a ξ r ξ o & 5 sou onstant [] a ýra áorce e rodíl řostí reálné a teoretcé ruhoé dráh. Pro pneumatu nalopenou o úhel ψ a pohbuící se po dráe směřue boční síla e směru nalopení horní část pneumat a moment se snaží dráhu napřímt. Př uedených úahách sme neuažoal úhel směroé úchl. Jestlže se alí olo nalopené o úhel ψ po ruhoé dráe o poloměru s onstantním úhlem směroé úchl α sou ýsledné deformace elementů běhounu dán součtem deformací příslušných ednotlým účnům ted boční deformac torní deformac a deformac od směroé úchl. Protože neětší příčné deformace naí př alení nalopené pneumat ψ po ruhoé dráe uprostřed dotoé ploš atímco př alení pneumat pod úhlem směroé úchl α adní část dotoé ploš obr. 4 olňuí ψ a př malých úhlech α elost proluoé oblast adní část dotoé ploš en málo. ůžeme proto použít áon superpoce a přblžně psát ro. (37) a ro. (7) a ro. (3) pro boční sílu a ratný moment tah uα + ψ ψ r ξ α + ξr (38) d rd r de u ro. (7) e směroá tuhost a ξ ro. (3) e ratná tuhost rotuící pneumat....3 Valení pneumat př působení boční a podélné síl Uažueme nenalopenou pneumatu atíženou radální slou routícím momentem terý oláá obodoou sílu 49 ζ boční slou η a obr. 3. Pneumata atížená těmto sloým účn se odalue př dopředném pohbu s měrným sluem δ ro. (4) a obr. 4. oložení radálních a obodoých sl dotoé plošce pneumat pro přímý pohb be působení boční síl e uááno na obr. 8. Nní těmto slám eště přpoíme síl boční. oložení elementárních sl dotoé plošce e náorněno na obr. 47. Přblžné roložení radálních sl e uááno horní část obráu. V níže položeném obráu e náorněno roložení tečných sl t teré se sládaí elementárních bočních sl podélných sl podle tahu t a elementárních +. (39) Elementární síl nnou důsledu boční deformace elementů běhounu obr. 4 lem alení pod úhlem směroé úchl α. Elementární síl nnou podélnou deformací elementů běhounu a e uááno na spodní část obráu terá náorňue

50 stuac př brdění se nem měrného sluu δ. Za ednodušuícího předpoladu že střednce ostr pneumat e oblast dotoé ploš ronoběžná s osou platí pro příčnou deformac elementu běhounu a pro elementární tečnou sílu tah t α µ (4) de µ ap..3 e součntel adhee a e dálenost elementu od náběžné hran dotoé ploš. Pro e dosažen lmtní bod soudržnost e terém tečná síla m t dosáhla sé mamální hodnot proluu. t me. Pro m > nastáá loální sm a dostááme se do oblast uažoaný průběh střednce ostr střednce ostr brdění blast proluu br. 47 Záslost elementárních sl na úhlu směroé úchl α a měrném sluu δ 5

51 Př dalším šoání elementárních sl se oblast proluu rošíří na celou dotoou plochu a nastáá sm pneumat po ooce. Př působení hnací síl se ratný moment sládá e dou slože + (4) de složa e olána řením ostr pneumat působeném úhlem směroé úchl α obr. 39. Druhá složa ná důsledu bočního posunutí obodoé síl e terému dode obr. 48 př boční deformac střednce ostr pneumat obr. 35 a 4. íla neleží potom na ose ale e ronoběžně posunutá o míru κ. tuace e patrná obr. 48 e terého můžeme pro moment psát tah κ. (4) Protože platí přepsat do taru můžeme ro. (4) br. 48 Boční posunutí obodoé síl κ. (43) V důsledu neronoměrného roložení elementárních ertálních sl a podélné příčné deformace běhounu a ostr sou sutečné poměr dotoé plošce omploaněší....4 ení součntelé soudržnost oučntelům soudržnost u pneumat alící se be působení boční síl a to a na elementární úron ta na celé dotoé ploše bla ěnoána ap.... Nní se míníme o součntelích soudržnost u pneumat terá se alí a působení boční síl. Budeme uažoat mamálně dosažtelné hodnot součntelů soudržnost podélném a příčném směru. oučntel boční soudržnost µ e žd nžší než součntel podélné soudržnost µ. ení součntelé soudržnost pneumat př alení sou rodílní pro režm brdění a pro hnací režm. Větší rodíl e u pneumat dagonální než u radální. ení hodnot součntelů soudržnost pro růné rchlost a růné tloušť odní rst na porchu oo sou uáán [] pro dagonální pneumatu na obr. 49 e terého e patrný odlšný tar ře pro brdění a pro hnaní. Vdtelný e nepradelný tar ře. V předcháeícím ýladu sme aedl da důležté pom a to elementární součntel soudržnost pro element deénu pneumat a součntel soudržnost pro celou dotoou plochu. Pro lepší apamatoání a odlšení uedeme nní ech přehled. Elementární součntelé soudržnost µ... staconární součntel soudržnost µ... třecí součntel soudržnost s 5

52 oučntelé soudržnost µ... staconární součntel soudržnost stuící se př alení µ s... třecí součntel soudržnost nebo taé součntel soudržnost sluu terý běžně naýáme součntelem tření a onačueme písmenem f taže f µ s µ ma µ... e mení hodnota staconárního součntele soudržnost terý běžně naýáme součntelem adhee obr. 5 a onačueme ϕ µ stue se př alení µ... součntel příčné boční soudržnost př alení µ µ... součntel podélné soudržnost př alení f ma µ... součntel příčného tření. dagonální pneu 5N p 5 pa ore běhounu % tloušťa odní rst mm... mm (sucho)... mm 3... mm 4... mm hnaní brdění br. 49 ení součntelé soudržnost pro brdící a hnací režm íd...5 Pneumata na me bočního smu Pohbue-l se pneumata lem působících sl s elým úhl směroých úchle α a s elým měrným slu δ může nastat stuace d se celá dotoá plocha pneumat s ooou dostane do oblast smu. Potom model děů terý sme doposud uáděl přestáá platt a ednodušeně s můžeme předstat že dotoá ploša degeneroala do 5

53 bodu C. Uažueme obr. 5 že pneumata rotuící úhloou rchlostí ω se pohbue dopředu rchlostí cosα pod úhlem směroé úchl α de ω r. Pneumata se může nacháet brdícím nebo hnacím režmu íd teré sou náorněn na obr. 5 d se celá dotoá ploša nacháí e smu. Potom se místě dotu pneumat s ooou stne podélném směru smoá rchlost s. Př brdění e dopředná sluoá rchlost dána tahem ω ω r (44) de ω e úhloá rchlost ola př čstém alení a ω s odpoídá sluoé rchlost podélném směru. Podobně e tomu př hnacím režmu íd de docháí proluu ola a e uááno ap.... Poud sou hodnot α a δ taoé že složa rchlost s e ž na hranc bočního sluu e ýsledná rchlost sluu s odchýlena od os o úhel τ a eí elost e s ( s ) d +. (45) br. 5 Pohb pneumat pod úhlem s s s směroé úchl α brdící režm íd hnací režm íd br. 5 Pohb pneumat na me bočního smu Na eí nostelce musí ležet ýsledná tečná síla 53 t složená e síl dopředné t a boční Přpomeňme s že dopředná síla působící na obodu ola ap..3 e reslena ta a e uáděno áladním uru mechan ao reační síla působící oo na olo. tená úaha platí pro tečnou sílu t. Analogcá stuace platí př hnacím režmu íd d docháí proluu ola. t.

54 .. Neustálené sta alení Ustáleným sta alení pneumat roumíme ídní sta teré se nemění po dobu mnmálně s a maí na tomto nteralu statcý charater. utečnost e ale taoá že této stuac pratc nedocháí a e měně ídních staů docháí mnohem ratších nteralech. Př reálném pohbu pneumat docháí eímu natáčení řdčem s freencí 75 H bočnímu a ertálnímu posouání nalápění a natáčení lem péroání s freencem 5 H a 7 4 H a bočnímu posouání a natáčení důsledu mtání říení s freencí 5 4 H. Jž př freenc H docháí fáoému posunu me stupní ýchlou a nem sl a momentů. o e álad neustáleného ídního stau alení pneumat terá se trale nacháí přechodu ednoho ídního stau do druhého př terém na olo působí ratné moment. Důsledem e že úhel směroé úchl α se mění áslost na čase. Časoou měnu α můžeme ádřt buď pro bod ležící na středu dotoé ploš nebo na eí hraně. Pro demonstrac nestaconárního pohbu pneumat použeme [] matematcý model on-chlppeho d uažueme obr. 5 bod náběžné hran dotoé ploch pneumat terá se alí po ooce stálou úhloou rchlostí ω a e daném oamžu natočena od přímého o směru íd o úhel β. Kromě dopředné rchlost se bod pohbue bočním směru důsledu neronost oo rchlostí & c důsledu boční síl rchlostí & a důsledu natáčení pneumat olem sslé os procháeící bodem C o úhel β rchlostí přblžně b / & β. aže eho boční rchlost e přblžně b & & & c β. (46) + br. 5 amžtý úhel směroé úchl α př nestaconárním pohbu Potom můžeme podle obr. 5 přblžně psát 54

55 dc dβ b d + tg ( α + β ) & dt dt dt. (47) V tomto tahu hledem malým hodnotám α a β uažueme že rchlost příslušná rotac β & leží ose. Z důodu malých hodnot α a β můžeme pro úhel α ro. (47) psát d d c dβ b α & β + +. (48) dt dt dt b oučasně můžeme přblžně psát pro < σ tgα & α. (49) σ ento tah platí přesně pro úhel α měřený od čelní ron obr. 4 taže našem případě platí přblžně. Po dosaení do ro. (48) dostaneme σ d + dt β d dt c dβ dt b. (5) Protože e ro. () a (3) u b & pro < σ (5) σ de u e směroá tuhost můžeme pro boční posunutí psát tah Po dosaení do ro. (5) dostaneme σ. (5) u d dt σ σ d d b u + β c + β /. (53) u uσ dt dt σ Po úpraě dostaneme ýsledný tar dferencální ronce pro měnu boční síl áslost na čase d u dc dβ b + β +. (54) dt σ σ dt dt Pro onst. e d dt a můžeme ronc uprat na tar d d + u d + b c dβ β. (55) σ σ d d o. (55) určue hledanou áslost ( ). Vlem působení síl ( ) ratný moment nne na ole 55

56 [ ] + (56) ź de ( α ) e moment olaný měnou úhlu směroé úchl α a ( β ) e moment olaný řením ostr pneumat lem eího natáčení olem sslé os. Popsaná stuace e e sutečnost složtěší neboť elčn roncích nesou onstantní. 56

57 3. AICKÁ ANAÝZA VZIDVÝCH ECHANIŮ tatcou analýu odloých mechansmů proádíme steně ao řešení sousta áaných těles teré blo probíráno áladním ursu mechan ted uolňoáním ednotlých členů sousta. Podle tpu a složtost řešené úloh můžeme řešení použít etoroý působ terý e hodný pro méně náročné prostoroé úloh nebo působ matcoý terý e hodný pro řešení složtěších prostoroých mechansmů s užtím počítačoé podpor. Uážeme s stručně oba působ ale íce se aměříme na řešení s užtím matc. V dalším budeme hoořt o etoroé a o matcoé analýe. Z našch úah loučíme prncp rtuálních prací daný tahem δ A δ r de δ r e rtuální dosunutí terý adřue ronoáhu atních sloých účnů působících na soustau s holonomním (ntegroatelným) abam. ato metoda e př řešení prostoroých úloh náročná na ádření potřebných geometrcých áslostí a naíc neumožňue určení reačních sl e abách. 3. Vetoroá analýa Zaměříme se na těleso uložené prostoru případně na prostoroé sousta neboť řešení ronných sousta blo ž proáděno áladní ýuce mechan. Pro ronoáhu tělesa prostoru musí opět platt podmína ronoáh ačních ( A A ) a reačních sloých účnů terou toří dě etoroé ronce A + A + (57) teré po roepsání toří soustau šest salárních ronc. Protože prncp a postup řešení bl ž mňoán předcháeící ýuce př hledání ronoážné poloh tělesa bude stuace nelépe patrná uedených příladů. Přílad Určete reace působící na tuhou nehmotnou hnací náprau automoblu obr. 58 atíženou tíhoým slam arosere a routícím momentem estlže e dáno a b c r. Hledáme N N r s A B. A Řešení tohoto ednoduchého případu proedeme a předpoladu že na obou olech působí stená tečná síla. eace působící na náprau sou B. A A B B N A B Náprau a ola uažueme ao nehmotná tělesa a proto platí N. Pro přesněší ýpočet b blo nutné proést eí uolnění od ol a uažoat hmotu nápra a hmot ol. Jedná se o prostoroou soustau sl pro terou píšeme e oleném souřadncoém sstému tř složoé a tř momentoé podmín ronoáh ( ) : + A B : A B : A + B 57

58 ( a + b) N ( a + c) N : rs A + c b + ( N + N ) e : rs + r + e ( a + b) ( a + c) + b c :. (58) A B br. 53 loé účn působící na tuhou náprau Ze šest salárních ronc můžeme určt hledané nenámé A B N N B. Ještě ednou opaume že př řešení sme neuažoal hmotu neodpružených částí t. nápra a ol. Všmněte s že onání strana ubu pastoru abírá s onení stranou ubu talířoého ola. Přílad Určete reace uložení přeodoé sříně s uželoým souolím u eletrcé loomot E49 estlže sou dán následuící sloé účn a roměr: H K l Nm e hnací moment přáděný od motoru 458Nm e routící moment přenášený na druhou přeodou 3435 Nm e routící moment přenášený na doolí 5 m d 7 m e 54m Hledáme: A A A B B Ponáma: Jedná se o letmo uloženou uželo-čelní přeodou obr. 54 de přeodoá sříň uložená místech A B na hřídel doolí e uchcena na áěsné tč. Hmotu přeodo neuažueme. 58

59 a pomocném. Protože můžeme složoé podmín ronoáh nahradt podmínam momentoým napíšeme podmín ronoáh následuící formě terá nám umožní přímé určení hledaných reací. Řešení proedeme e oleném souřadncoém sstému ( ) souřadncoém sstému ( ) br. 54 loé účn působící na letmo uloženou přeodoou sříň eletrcé loomot K : K l & 56 N l d + H + : H + B e d B & 36 N e : + e ( d + e) H A ( d + e) H A & 8 N e : B e : A e B A :. (59) A Výsledná reace e směru od uložení bodech A a B e A B + A N (6) a eí dálenost od počátu určíme ronost momentů 59

60 B e B e cm (6) br. 55 Grafcé náornění sloých účnů Vdíme že reace a toří sloou doc. tuace e grafc náorněna na obr. 55 a prostoroě ta roně. Podle obráu můžeme psát ( ) K + H + m Protože sme řešl ronoáhu enom přeodoé sříně bl reace A a B nuloé. to reace ísáme řešením statcé ronoáh doolí. Ze statcého hledsa demonstrue uedený přílad ronoáhu docoých momentů. 3. atcoá analýa Vadřoání sloých účnů u složtěších případů e ýhodné proádět použtím matcoého počtu. Nechť náhrada prostoroé sousta sl defnoané prostoru 3 bodě B Ω Ω3 e. Chceme ádřt tto sloé účn prostoru. K řešení použeme pomocný prostor terý nl paralelním posunutím obr. 56 prostoru. V následuících taích budeme etor síl a momentu apsoat e taru matc. Dále bude platt že ápsem e rouměn etor ádřený souřadncoé soustaě br. 56 Uspořádání prostorů 6

61 terou budeme něd ednoduše naýat prostorem. ílu a docoý moment můžeme ádřt prostoru pomocí transformačního tahu 3 3 (63) 3 3 de (64) sou matce sloých účnů a matce směroých osnů př transformac prostoru 3 do e Je to matce ortogonální a platí pro ní ( ψ ) (65) (66) 3 Z uedených tahů e patrné že se edná o transformac me pootočeným souřadncoým sstém. Známe nní sloé účn prostoru a proedeme ech ádření prostoru nebo na řečeno proedeme transformac prostoru do prostoru. Prostor a sou áemně posunut. o namená že síla se nemění neboť se edná o prní etoroý narant prostoroé sousta sl ale mění se moment. Pro sloé účn ádřené platí transformační tah I (67) I de I e ednotoá matce a e matce terá adřue posunutí síl a terou určíme následuícím působem. Uažume nní že e lboolná síla ležící prostoru obr. 57. oment síl bodu A podle ponám platí můžeme obr. 57 ádřt buď přímo pomocí polohoého etoru r nebo případě že síla leží obecně prostoru prostředoaně pomocí etorů r B a r následuícím působem A r BA B ( rb + r ) rb + r B B B B. (68) de B e moment síl bodu B prostoru a BA e moment síl posunuté do bodu B bodu A. o. (68) má po roepsání determnantu tar 6

62 6 br. 57 oment síl bodu A B B B B B B B B B B B B B B A (69) o. (69) můžeme ádřt matcoé smbolce následuícím působem B A + (7) de e matce adřuící paralelní posunutí síl eíž onrétní tar e B B B B B B. (7) Vnačení prostoru u etoru e formální neboť a sme řel síla e hledem prostorům a narantní. Dosaením ro. (63) do ro. (67) dostaneme transformační tah me sloým účn prostoru 3 a I I I I (7) tručně můžeme tento ýra apsat formálně tato ~ ~ ~ 3 3 (73) de ~ e hpermatce složená e sloupcoých matc a a 3 ~ e hpermatce terá se sládá e submatc 3 a. once (7) případně (73) adřue transformac

63 obecné prostoroé sousta sl prostoru 3 do áladního prostoru. atce e ~ sloupcoá matce sloých účnů. ransformační matce 3 není ortogonální a ní nerní matce e ~ I ~ ~ I I 3 I 3. (74) Uedený obecný postup bude řemý následuících příladů. Přílad 3 Určete reace místech uložení hřídele olané slou defnoanou prostoru estlže sou dán následuící sloé a geometrcé elčn: ϕ δ a ψ b tuace e náorněna na obr. 58 e terého e řemé že síla e určena sým složam souřadncoém sstému ( ). Řešení proedeme e dou rocích. Nedříe nahradíme sílu bodě Ω a následně napíšeme podmín ronoáh prostoru ( ). Pro snadněší řešení aedeme pomocný prostor ( ) terý e paralelní s prostorem. Náhradu síl bodě spočíaící paralelním posunutím apíšeme smbolcou etoroou roncí br. 58 Zatížení hřídele slou 63

64 (75) de síla a transformační matce sou dán ýra cosδ snϕ snδ cosψ snψ snψ cos. (76) ψ Neapomeňme že prostor a sou paralelně posunut a proto platí dosaení do ro. (75) dostaneme cosδ cosψ snϕ snψ snδ. Po cosδ snψ snϕ cosψ. (77) + Pro určení momentu potřebueme nát polohoé etor počátů souřadncoých sstémů pro teré platí r r. (78) Aplací ro. (68) můžeme ádřt moment nlý posunutím síl do bodu ( r + r ) r + r r +. (79) Všmněte s že ro. (79) nesou u etorů ueden prostor neboť ronce e platná obecně be ohledu na ádření etorů teré ale musíme respetoat př onrétním ýpočtu e oleném prostoru. Náš fnální ýpočet terým e určení statcé ronoáh proádíme prostoru a proto do tohoto prostoru přetransformueme ro. (79). Vádříme proto ednotlé ýra na praé straně ronce příslušných souřadncoých sstémech. Pro druhý člen na praé straně můžeme psát r snδ snϕ + snϕ snδ + cosδ cosδ. (8) a po transformac do prostoru s užtím pomocného prostoru dostaneme cosψ snψ + cos snψ ψ. (8) 64

65 65 Nní ádříme prní člen na praé straně ro. (79) r +.(8) Po dosaení do ronce (79) dostaneme ( ) ( ) ( ) ( ) cos sn sn cos ψ ψ ψ ψ. (83) Uedený postup oěříme na ednoduchém lustračním případu d nepre pro dané hodnot určíme moment bodě nlý posunutím síl přímo a potom použtím ro. (83). Pro číselné hodnot 4 m m 4 N m π ϕ δ ψ můžeme obr. 59 e moment síl bodu dán tahem br. 59 Ilustrační případ pro oěření ( ) ( ) Nm (84) Použtím ro. (77) a (83) dostaneme po dosaení 4 ( ) ( ) (85) Vdíme že oba postup daí stené ýsled. Uedené oěření e ošem možné proést poue pro elm ednoduchý lustrační případ. ímto sme splnl prní ro a nní býá sestat podmín statcé ronoáh. Jedná se podobně ao příladu o prostoroou soustau sl pro terou píšeme šest podmíne ronoáh teré smbolc apíšeme tato + (86) de B A a B A sou matce reačních sloých účnů. Je řemé že moment pro ronoáhu bude mít poue složu ose. oepsání etoroé ronce (86) do salárních ronc ž proádět nebudeme.

66 66 Přílad 4 Určete reace místech uložení prostoroého mechansmu aěšení automobloého ola estlže sou dán následuící sloé a geometrcé elčn: [ ] G [ ] c c c C cos cos cos ζ η ξ γ β α s [ ] B B ψ α. Z obr. 57 na terém e mechansmus aěšení náorněn e patrné že reačním účn budou síl místech A B C teré předstauí něší reace. Abchom se hnul dlouhaému počítání spooíme se s nanačením postupu ýpočtu. Hledáme reace B A a sílu pružně Q a proto řešení proedeme prostoru ( ). Pomocné prostor ( ) ξ ξ ξ ξ a ( ) ξ ξ ξ ξ sou paralelní prostor ξ e hledem prostoru ( ) natočen o úhel ψ olem os ξ. onoáhu sl působících na lchoběžníoý áěs můžeme ádřt ro. (7) roncí Q B B A ξ ξ ξ ξ ξ (87) br. 6 echansmus aěšení ola

67 67 de ξ e matce směroých osnů me prostor ( ) ξ ξ ξ ξ a ( ) e matce směroých osnů me prostor ( ) a. ξ e transformační matce adřuící paralelní posunutí síl prostoru ξ do. Podobně matce adřue posunutí síl prostoru do. atcoou ronc (87) můžeme apsat stručně pomocí hpermatc Q B B A ~ ~ ~ ~ ~ ~ ξ ξ (88) de [ ] [ ] [ ] B A A Q B B A ~ ~ ~ / / ξ ξ sou matce sloých účnů a ~ ~ c ξ ξ ξ ξ ξ sou transformační matce. oepsáním ro. (87) nebo ro. (88) dostaneme šest ronc pro šest nenámých Q B B B A A.

68 4. KINEAICKÁ ANAÝZA VZIDVÝCH ECHANIŮ echansm teré toří onstruční álad růných odloých ústroí a aříení sou tořen soustaou těles terá sou áemně áána nematcým docem. ělesa spoená nematcým docem tářeí nematcé řetěce teré mohou být uařené oteřené nebo smíšené. tane-l se uařeném nematcém řetěc něterý člen rámem hooříme o áaném nematcém řetěc nebo taé běžně o mechancé soustaě případně o mechansmu. Počet stupňů olnost [4] prostoroé mechancé sousta určíme pomocí aboé ronce 5 ( n ) 6 (89) de 6 e počet stupňů olnost tělesa prostoru n e počet členů sousta četně rámu d e počet nematcé doce -té tříd a e doce -té tříd terá snžue pohblost sousta o stupňů olnost. Vaboá ronce pro ronné sousta těles bla uedena áladním uru mechan. ůžeme ošem použít ro. (89) s tím že těleso roně má 3 stupně olnost. Váemná poloha sousedních členů áané mechancé sousta e určena souřadncem příslušných nematcých doc teré tářeí nematcé ab teré mohou být holonomní nebo neholonomní případně reonomní t. ásí na čase nebo sleronomní na čase neáslé. holonomních abách hooříme tehd estlže se e aboé podmínce neobeí rchlost. Vstue-l se e aboé podmínce rchlost hooříme o abě neholonomní. Přehled nematcých doc pro ronné áané nematcé řetěce e ueden [9]. Přehled áladních nematcých doc pro prostoroé áané sousta e uáán na obr. 6 de e počet stupňů olnost a σ e počet reačních účnů e abě. U nžších nematcých doc docháí dotu ploše dežto u šší nematcé doce e dot dou sousedních těles bodě nebo řce. d Nžší nematcé doce o 3 σ 3 sfércá doce o σ 4 álcoá doce o σ 5 o σ 5 rotační doce posuná doce 68

69 o σ 5 šrouboá doce Všší nematcé doce neongruentní ploch o 5 σ obecná doce ongruentní ploch br. 6 Knematcé doce prostoroých áaných sousta Určení stupňů olnost prostoroého mechansmu s uážeme na následuícím áaném mechancém sstému obr. 6 terý předstaue uložení neříeného automobloého ola lchoběžníoém áěsu. Přílad 5 Určete počet stupňů olnost naresleného mechansmu aěšení automobloého ola. br. 6 Neříené olo na lchoběžníoém áěsu 69

70 Počet stupňů olnost prostoroého mechancého sstému na obr. 6 určíme pomocí ro. (89) de n 5 e počet členů sousta 4 d4 3 e počet sfércých doc d 5 e počet rotačních doc. Po dosaení dostaneme o ( 5 ) (9) Výsledem sou da stupně olnost. Jeden stupeň olnost přísluší rotac dolního ramene ϕ případně horního ramene ϕ 3 neboť oba pohb sou áemně peně nematc sáán a druhý stupeň olnost náleží rotac členu 5 olem sé os terou naeme paratní rotací neboť hledsa pohblost sousta nemá ýnam. eálným technc použtelným ýsledem e proto o. (9) Je potřebné s uědomt že nematcého hledsa e aždý e členů a 3 uložen ednom radaálním ložsu. o namená že čároaně onačená radální ložsa nebereme př určoání stupňů olnost úahu. Z techncého hledsa e taoýto letmý působ uložení ale nepřatelný a proto př onstruční realac e nebtné radální ložsa použít. Vdíme že nematcý a techncý pohled nemusí být nutně stený. Vžd ale platí že techncé řešení musí respetoat áěr nematcého řešení. Člen 5 terý stablue polohu ola předstaue př případném přpoení ola řídícímu ústroí rameno říení ap. 5. Knematcou analýu můžeme proádět použtím analtcé geometre etoroého počtu matcoého počtu Použtí něteré metod ásí na složtost a tpu řešení úloh. Důležtým hledsem e da se edná o úlohu ronnou nebo prostoroou. metodou aloženou na analtcé geometr ste se senáml áladních předmětech mechan de se proádělo nematcé řešení ronných mechansmů trgonometrcou metodou a roněž se ačala použíat metoda etoroá. Budeme se nní abýat nematcou analýou prostoroých mechansmů pomocí etoroého a matcoého počtu a tto analý naeme rátce etoroou a matcoou analýou. 4. Vetoroá analýa Analýa prostoroých mechansmů proáděná pomocí etorů e relatně ednoduchá neboť lade mnmální náro na prostoroou předstau ao e tomu př použtí sfércé a prostoroé geometre a současně dáá a to e eí elá přednost náorný obra řešeného problému. Použtí etoroého počtu uážeme př určoání přeodoých funcí prostoroých a sfércých mechansmů teré se stuí u slnčních a želenčních odel. Proedeme řešení unerálního Hooeoa loubu neobecněším taru s mnoběžným osam a s mmoběžným řížem a dále braných sfércých mechansmů. 4.. Řešení unerálního Hooeoa loubu Hooeů loub obecném taru předstaue čtřčlenný prostoroý mechansmus obr. 63 u terého e člen 3 tořen mmoběžným osam o o 3 34 a dále děma mmoběžným osam o o 4. Člen 3 oná obecný prostoroý pohb. 7

71 Pro dané elčn ω m δ ϕ 4 ϕ 4 ϕ de ϕ e pootočení hnacího hřídele a ϕ 4 pootočení hnaného hřídele 4 dále aální posu p hnaného ýstupního hřídele a relatní posu s s říže 3 ůč členům a 4. Počáteční polohu mechansmu e teré dlce 4 leží roně σ // e načena čároaně. Výnamné bod počáteční poloh sou A B C teré př otočení dlce o úhel ϕ předou do bodů A B C obecné poloe načené plným čaram. Vdálenost ron σ e teré leží osa o 4 terá sírá se sým půdorsným průmětem úhel δ od počátu Ω e m. s říže o 3 a o 34 sou áemně olmé mmoběžné se střední příčou l BC B C. Vstupní a ýstupní hřídele s osam o o4 sou mmoběžné s příčou m. l chceme určt áslost ( ) Posunutí bodů A B C do noých poloh A B C ádříme pomocí polohoých etorů m m s ϕ + ϕ s cos s sn s s snϕ 4 + s 4 cosδ + s 4 snδ (9) p p snδ p cosδ. Vdálenost bodů A B e ýchoí poloe e br. 63 Hooeů loub 7

72 l l. (93) cosδ Vetor l střední příč čase t můžeme ádřt etoroým součtem dílčích dáleností l m + l + + p + s ( m + s snϕ + s ) l cosδ ( psnδ + s cosδ s snϕ ) + p cosδ + s snδ. s (94) Výra (9) až (94) sme ádřl etor teré mechansmu loubu toří uařený obraec. Uedené tah obsahuí hledané nenámé ϕ 4 s s p pro echž určení potřebueme čtř ronce. ř ronce ísáme podmíne olmost etorů s s (95) s l (96) s l (97) a čtrtou ronc ísáme e sutečnost že l e příčou os o 3 a o 34 taže pro etor l můžeme psát s s l l. (98) s s Vetor tořený lomem předstaue ednotoý etor úseč l BC. Proedeme nanačené salární součn a dostaneme následuící áslost. Z ronce s s ísáme s s snϕ4 + s s snϕ 4 cosδ (99) odud po úpraě dostaneme ϕ4 tgϕ cosδ. () tg Z ronce s l použtím ro. (9) (94) a dělením s dostaneme m s snϕ 4 + p snϕ snδ + s snϕ 4 cosδ s Po dosaení a cos δ ro. () ísáme posunutí s. () m p snϕ snδ. () s + Podobně ronce s l a s užtím tahu (98) dostaneme ýra pro posunutí s e taru s l tgδ m sn. (3) 4 ϕ4 Pro určení aálního posunutí p členu 4 upraíme nepre ýra ro. (98) de užeme že π platí s s s s sn s s taže dostaneme 7

73 l s s s s l l s s s s snϕ 4 s s snϕ cosδ 4 s snδ 4 (4) l snϕ snδ snδ cosδ snϕ snϕ 4. ento etor musí být shodný s etorem příč ro. (94) taže po salárním násobení obou ronc ednotoým etorem dostaneme ( m + l + p + s ) l. (5) s Po dosaení a ednotlé etor po pronásobení a ednoduché úpraě dostaneme aální posunutí členu 4 p cos cos cos l ϕ ϕ δ m sn ϕ 4 snδ. 4 cosδ + snϕ snϕ 4 + cos cosδ ϕ 4 tgδ snδ (6) once () () (3) a (6) teré určuí hledané elčn bl sestaen pro prostoroé uspořádání Hooeoa loubu. Úprau pro ednodušší a reálném techncém sětě častě se stuící případ proedeme elm lehce následuícím působem. moběžné os růnoběžný říž: l m Po dosaení do uedených ronc dostaneme ϕ4 tgϕ cosδ. (9) tg p snϕ snδ m s () etrém 3 s ± m e pro ϕ ϕ π. s m snϕ 4 () etrém π 3 s ± m e pro ϕ ϕ π. m p tgδ snϕ4 () etrém m π 3 p ± tgδ e pro ϕ4 ϕ4 π

74 ůnoběžné os mmoběžný říž: l m teným působem ao předcháeícím odstac dostaneme ϕ4 tgϕ cosδ (3) tg s p snϕ snδ (4) etrém π 3 s ± l tgδ cos δ e pro ϕ ϕ π. s l tgδ cos (5) ϕ 4 etrém s ± l tgδ e pro ϕ ϕ π. l p 4 cosδ + snϕ snϕ 4 + cos ϕ 4 tgδ snδ (6) cosδ cosδ etrém ( cosδ ) l π 3 p e pro ϕ ϕ π 3. cos δ ůnoběžné os růnoběžný říž: l m Po dosaení máme tgϕ4 tgϕ cosδ (7) s s p. (8) Uedené tah porýaí šroou šálu techncých arací unerálního Hooeoa loubu. U odel de použíáme Cardanů hřídel terý má na sých oncích Hooeo loub musíme tto loub áemně nastat ta abchom na ýstupním onc ísal onstantní otáč. 4.. Řešení sfércých mechansmů fércým mechansm teré sou láštním a nutno dodat ednodušším případem prostoroých mechansmů roumíme taoé mechansm u terých něterý člen oná sfércý pohb. Přpomeňme že těleso onáá sfércý pohb estlže eden bod tělesa ůstáá trale ldu. fércý pohb tělesa oble řešíme použtím Euleroých nematcých a dnamcých ronc teré ísáme roložením pohbu tělesa na preces nutac a rotac s následným aedením úhlů precese ψ nutace ϑ a rotace ϕ teré onačueme ao Eulero úhl. tuace e náorněna na obr. 6 terý náorňue míněna peně spoený s tělesem tř otočení terým se souřadncoý sstém ( ) repreentoaným rotačním uželem přemístí ýchoí poloh e teré splýá se souřadncoým sstémem ( ) do obecné poloh. Prním otočením o úhel precese ψ olem os přede souřadncoý sstém do sstému ( ). Druhým otočením o úhel nutace ϑ olem os přede souřadncoý sstém do sstému ( ). ϕ ϕ ϕ ϕ 74

75 řetím otočením olem os ζ o úhel rotace ϕ přede souřadncoý sstém do terý určue obecnou polohu tělesa se terým e peně spoen. sa sstému ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ ζ terá nla otočením os o úhel nutace ϑ e osou lastní rotace tělesa. Známel časoé derace ednotlých Euleroých úhlů můžeme podle obr. 64 ádřt etor ýsledné úhloé rchlost tělesa následuícím tahem & ϑ cosψ & ϕ snϑ snψ ω ψ& + ϑ & + ϕ& & ϑ snψ & ϕ snϑ cosψ. (9) ψ& + & ϕ cosϑ Poud estuí druhé derace ednotlých rotačních pohbů ísáme etor rchlení derací ro. 9. ím se ale nní nebudeme abýat. Pomocí ro. (9) le proádět nematcé řešení sfércých mechansmů. Je ale možné použít řešení ednodušší a elm náorný působ užtím salárního součnu etorů. Všmněme s ro. (95) předcháeící aptole terá říá že salární součn dou áemně olmých etorů s a s e roen nule. Vužeme této ronce s eíž pomocí můžeme be použtí sfércé trgonometre určt přeodoou func sfércého mechansmu terá e edním nedůležtěších tahů neboť na eím áladě můžeme určt pohb ednotlých členů. Vetor s s s ýhodou e možné uažoat ednotoé etor teré musí obsahoat úhl rotace stupního br. 64 fércý pohb tělesa a Eulero úhl a ýstupního členu bereme podle onstručního uspořádání onrétně řešeného mechansmu. Uedeme přílad použtí u následuících braných mechansmů. Přílad 6 U naresleného mechansmu né dlce obr. 65 přeáděícího rotační pohb členu na rotačně ratný pohb členu 4 určete přeodoou func ϕ 4 ϕ4 ( ϕ) estlže e dáno δ onst. ω br. 65 echansmus né dlce 75

76 V mechansmu načíme naáem olmé etor s s teré sou souřadncoém určen následuícím tah sstému ( ) Po dosaení do ro. (95) dostaneme s s cosδ + s snδ snϕ s snδ cos ϕ s s sn + s cos. () ϕ4 ϕ4 s s cosδ snϕ + s s snδ snϕ () odud po úpraě ísáme přeodoou func 4 4 tg ϕ tgδ sn. () 4 ϕ Přílad 7 U naresleného mechansmu přeáděícího rotační pohb členu na pohb členu 4 obr. 66 ϕ ϕ estlže e dáno δ onst. určete áslost ( ) o3 o 34 o 34 o ϕ ω br. 66 echansmus sfércého loubu s teré sou souřadncoém sstému ( ) Zaedeme opět etor s ýra s snδ + s snδ snϕ + s cosδ Po dosaení do ro. (95) obdržíme tah e terého ísáme přeodoou func s s ϕ4 ϕ4 76 určen s cos s sn. (3) s s sn sn cos s s cos sn (4) δ ϕ ϕ4 δ ϕ4 tg ϕ tgδ sn. (5) 4 ϕ

77 Přílad 8 U mechansmu šmé des obr. 67 přenášeícího rotační pohb členu přes pohb des 3 ϕ ϕ estlže e dáno na ratný pohb pístu 6 určete přeodoou func ( ) δ ω onst. 3 3 ϕ Šmá desa 3 terá má tar ruhoého otouče oná sfércý pohb olem bodu Ω. V bodě A terý se pohbue po ružnc e desce přpoena once 5 terá udělue pístu 6 posuně ratný pohb. Píst 6 terých e po obodu ruhoého otouče umístěno íce buď stlačuí atmosfércý duch a sou droem tlaoého duchu nebo tlaoé apaln pro motor nebo pro né aříení nebo může e álc epandoat nasátá směs a píst sou droem rotačního pohbu členu. ento prncp bl užíán u letecých motorů. V praé část obr. 67 e náorněna oamžtá úhloá rchlost ω 3 des 3 terá e určena etoroým součtem úhloých rchlostí rotačních pohbů 3 a taže e ω ω +. Pro pohb bodu A e 3 3 ω užta poue složa úhloé rchlost ω 3Z. br. 67 echansmus šmé des Podobně ao u předcháeících případů načíme mechansmu etor s s a taže dostaneme ádříme e ech složam souřadncoém sstému ( ) s s + s ϕ 3 sn s + ϕ. (6) s snδ + s cosδ s snδ sn Po dosaení do ro. (95) dostaneme salární ronc s s snδ + s s cosδ snϕ (7) odud ísáme hledanou přeodoou func ϕ 3 tg ϕ tgδ cos. (8) Přílad 9 U naresleného sfércého mechansmu otočné uls obr. 68 určete pohb uls 3 estlže e dáno δ ω onst. ϕ ϕ. Kulsa onáá rotačně ratný pohb terý e určen přeodoou funcí ( ) 3 3 ϕ Pro eí určení použeme opět etor s a s. Vetor s leží na porchoé přímce rotačního 77

78 užele opsoaného přímou p členu a etor s e olmý na ronu ρ proloženou přímam p o3 taže s ρ ρ p o3. lož obou etorů souřadncoém sstému ( ) sou s s snϕ3 s 3 s s cos + s sn cos s sn sn. (9) δ δ ϕ δ ϕ br. 68 echansmus otočné uls teně ao předcháeících případech dosadíme do ro. (95) a ísáme salární ronc s s cosδ snϕ + s s snδ snϕ (3) e teré ísáme hledanou přeodoou func 3 3 tg ϕ tg δ sn. (3) 3 ϕ 4. atcoá analýa Analýa uařených prostoroých áaných nematcých řetěců teré stručně naýáme prostoroé mechansm pomocí matcoého počtu e elm ýhodná neboť romě přehledného smbolcého ápsu a snadného přechodu na soustau salárních ronc umožňue proádět transformace me ednotlým prostor a rchlé použtí počítačoých softwarů. Použtí matcoé smbol ádření etorů e ýhodné neen hledsa potřebných transformací ale hledsa použtí matcoého počtu. ento postup e elm hodný pro složtěší prostoroé úloh. Podobně ao u statcé analý budeme de -tý souřadncoý sstém naýat -tým prostorem a ednotlé etor reperu souřadncoého 78

79 sstému onačíme 3 e n de onačue ednotoý etor souřadncoé báe a onačue souřadncoý sstém. Uažume bod tělesa obr. 69 teré oná prostoru ( e e e3) obecný prostoroý pohb přčemž prostor se současně e e roněž obecným prostoroým pohbem. pohbue hledem prostoru ( ) e3 Chceme ádřt pohboý sta bodu terý e určen polohoým etorem r prostoru terý e áladním prostorem. Polohu bodu ádříme tomto prostoru smbolcým ápsem [4] e taru ( t) r ( t) ( t) r + r (3) de r ( t) ( t) ( t) ( t) e polohoý etor počátu prostoru. V dalším postupu nebudeme pro ednodušení ápsu nebude-l to nebtně nutné uádět čas t. Polohoý etor r určuící polohu bodu prostoru přetransformueme do prostoru tahem br. 69 Uspořádání prostorů r r (33) de matce pootočení nebo taé na matce směroých osnů e 3 (34) e e e 3 e e e e e e 3 e e e e e e 3 e e e 3 3 de e 3 sou a blo řečeno úodu této aptol ednotoé etor souřadncoých báí prostorů a. Vdíme že matce (34) e určena salárním součn těchto ednotoých etorů pro teré platí že e e cosα e osnus úhlu terý sírá osa q -tého souřadncoého prostoru s osou -tého prostoru de q 3 3. Po dosaení ro. (34) do ro. (33) a následně do ro. (3) dostaneme q q cosα cosα 3 cosα cosα r cosα cosα cosα +. (35) 3 cosα cosα

80 Pro další řešení ádříme [4] důodu ompatního a ednoduchého ápsu transformačních tahů polohoé etor rošířených nebo taé na homogenních souřadncích následuícím působem u u u r r r (36) de u e polohoý etor bodu prostoru u e polohoý etor bodu prostoru a onečně u e polohoý etor bodu terý e počátem prostoru prostoru. atce směroých osnů cosα q ro. (34) e matcí ortogonální terá udáá natočení prostoru hledem prostoru. Naonec aedeme transformační matc udáaící polohu prostoru hledem e taru u (37) de e nuloá matce. Nní můžeme ro. (35) apsat buď nerošířených souřadncích e taru u u + u (38) nebo ednoduše a ompatně rošířených homogenních souřadncích e taru r r. (39) Př dalším řešení mohou nastat da případ teré se odlšuí postaením bodu prostoru. Pro ech odlšení aedeme nní do ápsu opět časoou áslost. Prní případ Bod e bodem tělesa 3 peně spoeného s prostorem 3 terý se pohbue. Potom e r t. (4) ( ) ( ) t r Druhý případ Bod e bodem tělesa teré se pohbue prostoru terý se pohbue. Potom platí pro polohu bodu tah r t t t. (4) ( ) ( ) ( ) r K uedeným tahům ponameneme že bod nemusíme áat na těleso a můžeme ho uažoat ao oloaný bod. o. (4) adřue pohb bodu tělesa 3 3 peně spoeného s prostorem terý oná obecný prostoroý pohb prostoru. ento pohb můžeme použtím áladního roladu pohbu roložt na unášý pohb posuný určený pohbem bodu a na druhotný sfércý pohb 3 olem tohoto bodu terý apíšeme smbolcým ápsem ento pohb popsue ro. (38). o. (4) adřue 8

81 pohb bodu tělesa 3 pohbuícího se prostoru terý opět oná obecný prostoroý pohb prostoru. Jedná se o současné pohb tělesa 3 pro teré opět platí smbolcý áps de ale pohb 3 a sou né než předcháeícím případě neboť předstauí obecné prostoroé pohb a edná se ted o případ podstatně složtěší. ůžeme samořemě postupoat obráceně d náme polohu bodu prostoru a chceme tuto polohu ádřt prostoru. K tomu použeme opačnou transformac pro terou budeme potřeboat nerní transformační matc terou ísáme následuícím působem. Vnásobením ro. (4) lea nerní transformační matcí necháme ápsu opět čas dostaneme r r (4) 443 a tím ísáme transformační tah r r. (43) oučn matce půodní a matce nerní e roen edné neboť půodní matce e regulární. ar nerní transformační matce určíme e tahu I. (44) de I e ednotoá matce. Protože ro. (44) předstaue denttu musí mít šechn matce stené ntřní formální uspořádání Upraíme-l ted podle ro. (37) býaící dě matce můžeme ro. (44) apsat smbolc následoně u A C B D I. (45) Po pronásobení dostaneme soustau ronc A u C I + B u D + A C B + D (46) e teré určíme hledané matce C D A B u. (47) 8

82 8 Protože matce směroých osnů e ortogonální platí. Na áladě nalost matc ro. (47) můžeme po dosaení do druhé matce na leé straně ro. (45) určt hledanou nerní transformační matc u D C B A. (48) 4.. chlost bodu tělesa Pro další ýlad budeme uažoat ro. (4) e teré r není funcí času. chlost bodu ísáme časoou derací ro. (4) pro tento áps použeme onačení časoé áslost e teré dostaneme ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t r r r & & & + (49) de r & a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t & & & & & u r e rošířený etor rchlost bodu apsaný homogenních souřadncích prostoru. V dalších ápsech čas opět uádět nebudeme. Derac transformační matce můžeme apsat následuícím působem V & (5) de matc V & (5) naeme matcí rchlost. Po dosaení a ro. (48) a po následném deroání dostaneme u u u V & & & & (5) Podobně ao ro. (5) pro transformační matc můžeme pro matc směroých osnů psát Ω & (53) de Ω & (54) e matce úhloé rchlost. Je to matce antsmetrcá nebo taé polosouměrná protože Ω Ω a sngulární neboť eí hodnost e menší než eí řád. Podě udíme ro. (73) a ro. (98) že této matc přísluší etor úhloé rchlost ω. Protože I e matce ortogonální a platí. o. (49) můžeme potom apsat následoně r V (55)

83 83 de matce rchlost e s použtím ro. (54) u Ω V &. (56) Dosadíme-l do ro. (55) a ednotlé matce ýra terým sou určen ted ro. (37) ro. (56) a etor ádříme homogenních souřadncích dostaneme. u u Ω u u Ω u u Ω u u & & & & & & + (57) Po přepsání do homogenních souřadnc dostaneme pro rchlost bodu tělesa spoeného s prostorem 3 prostoru tah u u Ω u & & + (58) de u& e rchlost počátu souřadncoého sstému. 4.. Zrchlení bodu tělesa oncí (49) e určena rchlost bodu. Časoou derac této ronce použeme opět onačené časoé funce ísáme tah pro rchlení bodu ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t r r a & & && & + (59) de opět r & a ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t & & && && & & u a e rošířený etor rchlení ádřený homogenních souřadncích prostoru. Derací ro. (5) ísáme V V & & & & +. (6) načíme-l matc A V & ao matc rchlení a matc I Ω & ao matc úhloého rchlení můžeme ro. (6) uprat s použtím ro. (5) na následuící tar ( ) A V A V V + + & & (6)

84 84 de matce rchlení e určena derací ro. (56) u u Ω A && & & & +. (6) Potom můžeme po dosaení do ro. (59) ádřt rchlení bodu ž opět be onačení časoé áslost ýraem ( ) r A V a + (63) de eště potřebueme ádřt matc rchlení a adrát matce rchlost. Pro úprau matce rchlení určíme nedříe derac ta že použeme ro. (54) e teré nahradíme a dostaneme Ω &. (64) Po transpoc dostaneme ronc Ω & (65) terou násobíme praa matcí a dostaneme Ω I & 443 &. (66) Po dosaení do ro. (6) s tím že I Ω & e podle ponám u ro. (6) matce úhloého rchlení dostaneme matc rchlení e taru u u Ω A && & + I. (67) Pro ádření adrátu matce rchlost použeme ro. (56) podle teré můžeme psát u Ω Ω u Ω u Ω V & & &. (68) použtím ro. (67) a (68) ádříme součet matc áorce ro. (63) s tím že podle ponám u ro. (54) e Ω Ω a dostaneme [4] úplnou matc rchlení e taru

85 85. ~ u Ω u u Ω u Ω Ω A && && & & + I + + I (69) o. (63) můžeme potom použtím úplné matce rchlení apsat ráceně ~ r A a (7) a po proedeném násobení dostaneme pro rchlení onečný ýra ( ) ( ). r u Ω r I u Ω r u Ω u a && && & & & & + I + I + I (7) Vetor rchlení ro. (7) e ádřen rošířených homogenních souřadncích u a & &. o. (7) má nerošířených souřadncích tar ( ) u r Ω u & & & & + I +. (7) o. (7) a (58) adřuí etor rchlení a rchlostí bodu tělesa spoeného s prostorem terý se pohbue prostoru ádřené nerošířených souřadncích prostoru. ošíření uedených tahů na lboolný počet prostorů e formálně ednoduché neboť stačí tořt další analogcé transformační tah a ačlent e do stáaících ronc. U ro. (54) sme uedl že matc úhloé rchlost Ω Ω přísluší etor úhloé rchlost ω. otéž platí pro matc úhloého rchlení I I teré přísluší etor rchlení α. ěmto matcím můžeme přřadt etor úhloých rchlostí a úhloého rchlení následuícím působem ω ω ω ω ω ω Ω de ω ω ω ω (73)

86 I α α de α α (74) α α α neboť stačí pronásobt ronc Ω r ω r podobně pro rchlení a ísáme slož etorů ω α matcích úhloé rchlost a úhloého rchlení. V dalším ýladu uedeme něol případů použtí ložené teore. Jedná se o ednoduché případ teré bchom mohl elm dobře řešt méně náročným postupem aša pro aplac ložené teore sou hodné. Přílad Určete rchlost bodu tělesa rotuícího olem os onstantní úhloou rchlostíω obr. 67 estlže e dána poloha bodu [ ] a úhloá rchlost ω. onst Zaedeme áladní nehbný prostor e terém chceme rchlost určt a prostor terý spoíme s tělesem. ba prostor maí společný počáte Ω. Poloha bodu prostoru c c c rotuícího olem os ( ) 3 e určena eho souřadncem taže s použtím homogenních souřadnc můžeme psát α α α r u (75) de sou dané hodnot teré pro ednodušení ápsu přenačíme dalším ýladu na. Pro řešení s přpraíme potřebné matce. atce směroých osnů má podle ro. (34) tar snϕ. (76) br. 7 otace tělesa snϕ Pro transformační matc podle ro. (37) platí cos sn u ϕ ϕ. (77) snϕ atce úhloé rchlost e podle ro. (54) 86

87 Ω & snϕ snϕ & ϕ & ϕ snϕ snϕ (78) Nní můžeme podle ro. (56) určt matc rchlost. V našem případě e polohoý etor u a proto dostaneme. Ω u & ϕ ( ) & ϕ ϕ (79) V D de matc D ( ϕ ) naeme [4] matcoým dferencálním operátorem terý určue rotační pohb olem os. Zaedení matce D usnadňue ýpočt neboť umožňue formálně nahradt složtou struturu hpermatce s derací ednoduchou čtercoou matcí. chlost bodu prostoru hledem prostoru můžeme podle ro. (55) ádřt následuícím tahem & ϕ. (8) V r D r Po dosaení a ednotlé matce dostaneme ( ϕ ) snϕ snϕ ϕ snϕ snϕ Pro ϕ e & ϕ & ϕ & (8) & ϕ. (8). Protože se edná o ednoduchý případ rotace e oěření ýsledu podle obr. 7 hned řemé. Přílad Určete rchlost bodu ramena robotu [4] estlže e dáno r h( t) ( t) ϑ( t) ( t) 87 ϕ. tuace e náorněna na obr. 7 terý achcue bod ramena 4 obecné poloe. Pro lepšení přehlednost e obráu načena poue báe ednotoých etorů áladního nehbného prostoru. ameno 4 má tř stupně olnost. Kromě áladního prostoru aedeme další pomocné prostor 3 4. Polohoý etor bodu ádřený matcoém taru prostoru e

88 r r r. (83) Pro další postup musíme určt polohoý etor odu a ednotlé transformační matce. Polohoý etor ádřený prostoru 4 homogenních souřadncích má tar [ ] r. (84) r 4 atce směroých osnů rotačních pohbů 43 a sou cosϑ ( ϑ) ( ϕ) 4 3 snϑ snϑ cosϑ a m příslušné transformační matce maí tar snϕ cos (85) snϕ ϕ 4 3 snϕ snϕ snϕ snϕ. (86) atce směroých osnů 3 a posuných pohbů 3 a sou ednotoé taže můžeme psát (87) br. 7 ameno robotu 3 a příslušné transformační matce sou 3. (88) h 88

89 Celoá transformační matce 4 e podle ro. (83) určena součnem dílčích transformačních matc. Postupným násobením dostaneme 4 cosϑ snϕ snϕ cosϑ snϕ snϑ snϕ 4 h snϑ cosϑ h (89) snϕ snϑ de 4 e celoá matce směroých osnů terou můžeme taé ísat součnem dílčích matc Dosaením ro. (89) do ro. (83) dostaneme polohoý 3 etor bodu ádřený áladním prostoru homogenních souřadncích ( + r cosϑ) ( + r cosϑ) snϕ r. (9) h r sn ϑ chlost bodu můžeme určt buď přímou derací ro. (9) nebo použtím matce rchlost V uedené ro. (56). 4 Výpočet přímou derací Derací ro. (9) dostaneme ( & r & ϑ snϑ) ( + r cosϑ) ( & r & ϑ snϑ) snϕ + ( + r cosϑ) sn ϕϕ& ϕ & & r. (9) r cosϑ & ϑ Výpočet pomocí matce rchlost chlost bodu e určena ro. (55) terou pro náš řešený přílad přenačíme tím že pro ednodušení aedeme podle obr. 7 r r 4 na tar de matce rchlost ro. (56) e V r (9) V 4 Ω Ω (93) u& & Po proedení derace a transpoce matce směroých osnů ro. (89) neapomeňme že dostaneme

90 cosϑ snϕ. (94) 4 snϑ snϕ cosϑ snϕ snϑ snϑ cosϑ & ϕ snϕ cosϑ & ϑ snϑ & ϕ & ϕ snϕ snϑ + & ϑ cosϑ & & ϕ cosϑ & ϑ snϕ snϑ & ϕ snϕ & ϕ snϑ & ϑ snϕ cosϑ 4 +. (95) & ϑ cosϑ & ϑ snϑ Po dosaení do druhého ýrau na praé straně ro. (93) můžeme ádřt ro. (54) matc úhloé rchlost & ϕ cosϑ & ϑ Ω & ϕ cosϑ & ϕ snϑ 4. (96) & ϑ & ϕ snϑ Vdíme že matce úhloé rchlost Ω 4 e podle ponám u ro. (54) sutečně matcí antsmetrcou. Pro ádření součnu transponoané matce směroých osnů a derace nerošířeného polohoého etoru počátu 4 terý e u h snϕ 4 4 u h (97) určíme nedříe derac polohoého etoru & & ϕ snϕ u & & snϕ & ϕ cos. (98) + ϕ 4 Potom po pronásobení ro. (94) a (98) dostaneme 9 & u& & ϕ. (99) 4 4 & snϑ Konrétní tar matce rchlost dostaneme po dosaení do ro. (93) & ϕ cosϑ & ϑ & cosϑ & ϕ cosϑ & ϕ snϑ & ϕ V 4. () & ϑ & ϕ snϑ & snϑ Nní můžeme dosadt do ro. (9) a po postupném pronásobení matc dostaneme nedříe dílčí součn

91 & cosϑ r & ϕ cosϑ + & ϕ V 4 u& 4 r & ϑ + & sn ϑ () de etor r 4 e určen ro. (84) a poslée celoou matc etoru rchlost homogenních souřadncích ( & r & ϑ snϑ) ( + r cosϑ) snϕ & ϕ ( & r & ϑ snϑ) snϕ + ( + r cosϑ) & ϕ 4 V 4 r 4 () r cosϑ & ϑ terou e určena rchlost bodu. Poronáním s ro. (9) díme shodu obou ýraů. Přílad Určete pohb členů unerálního Hooeoa loubu [4] áslost na poloe hnacího členu e-l dáno h α onst. ω br. 7 Hooeů loub Řešení Hooeoa loubu terý e náorněn na obr. 7 sme ž proedl pomocí etoroé analý a nní uážeme postup př použtí matcoé analý. Uažueme podle obr. 7 loub s mmoběžným osam o o4 a s růnoběžným řížem s osam o o e 3 43 ýchoí poloe terá e na obráu načena. Př přemístění říže tořeného členem 3 dode následuícím pohbům. Člen se otočí o úhel ϕ člen 3 se hledem e členu 9

92 otočí o úhel ϕ 3 a posune o délu ζ 3 a roněž hledem e členu 4 se otočí o úhel ϕ 43 a posune o délu η 43 a člen 4 se otočí a posune o mír ϕ 4 a ζ 4. tuace e náorněna na obráu. Použtím roladu pohbu pro člen 4 e taru ísáme následuící matcoou ronc mechansmu tořenou transformačním matcem. (3) Jednoduchý postup řešení spočíá tom že ronce pro nás předstaue denttu taže matce na obou stranách ronce ádříme samostatně a ech áemným poronáním ísáme salární ronce pro určení elčn popsuících pohb ednotlých členů. Pohb Pohbem e rotace olem os o terou ádříme transformační matcí snϕ ( ϕ) (4) sn ϕ de submatce načená čároaně e matce směroých osnů ísaná podle schematcého obráu prao u ro. (4). Pohb 3 Pohb 3 e složen rotace ϕ 3 členu 3 olem os o 3 a posuu ξ3 podél této os. Vádříme ho proto součnem dou dílčích transformačních matc přpomeneme s že na pořadí matc př násobení neáleží ( ξ ϕ ) ( ξ ) ( ) (5) P 3 3 ϕ3 de nde P onačue posu a nde rotac. Po sestaení dílčích transformačních matc čároaně sou opět načen matce směroých osnů dostaneme 3 ( ξ ϕ ) 3 3 ξ 3 snϕ 3 3 snϕ 3 3 snϕ 3 3 snϕ 3 3 ξ 3 (6) de opět submatce směroých osnů určuící rotac 3 ϕ e určena na áladě schematcého obráu u ro. (6). 9

93 Pohb 43 Pohb 43 e opět složen rotace ϕ 43 členu 4 olem os o 43 a posuu η 43 podél této os. Podobně ao předcháeícím případě ádříme tento pohb součnem transformačních matc ( η ϕ ) ( η ) ( ) (7) P ϕ43 de nde P maí stený ýnam ao ro. (5). Po sestaení dílčích matc a ech násobení dostaneme 43 ( η ϕ ) η 43 snϕ snϕ snϕ snϕ η 43 (8) ubmatce směroých osnů nebol submatce pootočení e opět určena podle schematcého obráu u ro. (8). Určl sme transformační matce dílčích pohbů na praé straně ro. (3) a můžeme přstoupt určení transformační matce na leé straně. Pohb 4 Pohb 4 e složen rotace ϕ 4 členu 4 olem os o 4 a posunutí ζ 4 podél této os. Člen 4 se nedříe e áladního prostoru posune a natočí o předepsané mír poloh e teré se přemístí do obecné poloh míněnou rotac 4 h α do sé ýchoí ϕ a posunutím ζ 4. Přemístění členu 4 e áladní do obecné můžeme ádřt součnem ednotlých transformačních matc ( h α ζ ϕ ) ( h) ( α) ( ζ ) ( ) (9) P 4 4P 4 4 ϕ4 de smbola načení e stená ao předchoích roncích. estaíme ednotlé matce a proedeme dílčí součn 4P ( ζ ) ( ϕ ) ζ 4 snϕ 4 4 snϕ 4 4 snϕ 4 4 snϕ 4 4 ζ 4 () 93

94 de ( α ) na schematcém obráu prao u ro. () předstaue souřadncoou osu ( α ) o úhel α. o samé platí pro ednotoý etor e. Další dílčí otočenou olem os součn toří prní dě matce na praé straně ro. (9). 4P ( h) ( α ) 4 cosα snα snα cosα cosα snα h snα cosα () de submatce směroých osnů e opět určena podle schematcého obráu. Pronásobením ro. () a () dostaneme ýslednou transformační matc 4 terá má následuící tar 4 snϕ cosα snϕ4 cosα 4 snα ζ 4snα 4 () snα snϕ snα cosα ζ cosα Po proedení součnů na praé straně ro. (3) dostaneme h snϕ snϕ snϕ snϕ 3 snϕ + + snϕ snϕ ξ 3 43 η snϕ 3 4 snϕ + + snϕ snϕ snϕ snϕ snϕ ξ snϕ η 3 3 snϕ 43 snϕ 3. (3) η snϕ Poronáním ednotlých členů matc ro. () a (3) ísáme následuících danáct transcendentních ronc (a) 4 43 snϕ snϕ3 snϕ43 sn ϕ (b) 4 snϕ 3 cos ϕ snϕ + snϕ snϕ (c) 43 cos α snϕ + (d) 4 snϕ 43 snϕ3 snϕ43 3 cos α (e)

95 snα snϕ (f) snϕ43 snϕ3 43 snα snϕ (g) 4 3 snϕ43 sn α 4 snϕ 3 (h) cos α 3 43 (ch) h ξ () 3 η43 snϕ 3 ζ sn + () 4 α ξ3 snϕ η43 3 ζ () (4) 4 cosα η4 snϕ3 pro šest nenámých ϕ3 ξ3 ϕ 43 η43 ϕ 4 ζ 4 př daném úhlu natočení ϕ členu. Prních deět ronc soustaě (4) náleží submatc směroých osnů 4 transformační matce 4 terá repreentue tř otočení. Proto poue tř nch sou neáslé. Z ronc (b) a (e) dostaneme ϕ4 tg ϕ cosα (5) tg ronc (e a (h) máme tg ϕ tgα cos (6) 3 ϕ a poslée ronc (g) a (h) ísáme snϕ43 tgϕ4 tgϕ3 snϕ snα. (7) ím sme ísal natočení ednotlých členů. Po dosaení a úhl pootočení do ro. () () () ísáme posu ξ 3 η43 ζ 4 ednotlých členů ech etrémní hodnot. Prostoroý pohb ntřního členu 3 terý toří říž Hooeoa loubu popsue transformační ronce. (8) 3 3 Po dosaení a dílčí transformační matce na praé straně ronc (4) a (5) a po proedeném součnu dostaneme matc adřuící pohb 3 následuícím taru snϕ 3 snϕ3 ξ3 snϕ 3 (9) snϕ snϕ 3 3 snϕ snϕ 3 3 ξ de poslední sloupec předstaue souřadnce středu říže roně obr. 7 terá e součástí prostoru spoeného se členem. teně ao u etoroé analý e možné de řešt specální případ teré maí techncé pra ětší užtí. 3 95

96 5 KINEAICKÁ YNÉZA VZIDVÝCH ECHANIŮ Př sntée mechancého sstému požadueme ab mechansmus astl žádané nematcé elčn (polohu případně rchlost a rchlení) bodů nebo členů nematcého řetěce. Často chceme ab určtý bod nebo člen daného řetěce onal požadoaný pohb e smslu aumutí předepsaných poloh s případně požadoaným nematcým elčnam a hooříme o nematcé roměroé sntée. Pro řešení tato chápané snté použíáme oloační metod a budeme hoořt o sntée e fáích. V teor automoblů e něd potřebné astt s elou přesností dodržení požadoaných nematcých elčn řešeného členu e olené poloe ao e tomu u áěsu ol u řídcího sstému. Pro rchlé řešení e hodná nematcá metoda aložená na užtí nematcých elčn charateruících oamžtý pohboý sta členu a pro tato chápanou sntéu budeme hoořt o loální sntée. ouhrnně můžeme proto sntéu rodělt následuícím působem: fáoá sntéa: metoda oloační: - Blochoa metoda ompleních čísel - matcoá metoda postupných opra loální sntéa: metoda nematcá 5. Blochoa metoda ompleních čísel Ja e řečeno úodu u oloační metod žadueme [] ab mechansmus měl požadoané nematcé elčn braných členů přesně enom určtých polohách mechansmů a mmo tto poloh může být požadoaný pohb realoán přblžně. Před dalším ýladem s přpomeneme něteré potřebné áladní operace s omplením čísl a přpomeneme s že etor a můžeme Gaussoě roně ompleních čísel apsat třem působ: α magnární osa a a + a a (cosα + snα) ae de a a e α absolutní hodnota etoru e cosα + snα e Eulerů tah terý sme použl ápsu gonometrcém taru. oučet etorů horní část obr. 7 r a+ b má po roepsání do souřadncoých os tar r ( + snϕ) a(cosα + snα) + b(cos β + sn β ). oučet etorů reálná osa alární násobení etorů r a b můžeme ádřt pomocí gonometrcého taru prostřední část obr. γ α β 73 r e ae be de r ab γ α + β. magnární osa Vetoroý součn etorů prostřední část obr. 73. c a b e náorněn alární součn etorů reálná osa 96

97 Ponáma Zaeďme ednotoý etor e e terý bude mít ϕ gonometrcém ápsu tar e. Potom násobení lboolného etoru a ednotoým etorem e předstaue pootočení etoru a o úhel ϕ neboť α ϕ ( α + ϕ ) a e ae e ae. Vetor a noé poloe onačíme a ~ a přřadíme mu omplení číslo a ~. tuace e uáána dolní část obr. 73. Blochoa metoda užíá uedených operací sntée poloh louboých mechansmů. Vetoroý součn etorů magnární osa reálná osa br. 73 Početní operace s etor Přílad 3 U čtřlouboého mechansmu e požadoáno narhnout eho roměr ta ab pro tř dané poloh hnací l aual člen 3 a 4 žádané poloh. Jna řečeno pro počáteční úhl κ α β a předepsané úhl ϕ ψ ξ potřebueme určt dél a b c. tuace e náorněna na obr. 74 de přírůst počátečního úhlu slonu těhlce κ sou onačen ξ a přírůst polohoých úhlů α hnacího členu a β hnaného členu 4 sou ϕ. ψ l 4 br. 74 ntéa čtřlouboého mechansmu Počáteční poloha mechansmu e onačena plným čaram obecná poloha e načena čároaně. Podle etoroé metod probírané áladním uru mechan můžeme psát etoroý tah a + b l + c a+ b c l (9) terý ádříme omplením taru pro tř požadoané poloh hnacího členu ted pro α α + ϕ α + ϕ a pro l α κ β a e + b e c e e ( α + ϕ ) ( κ + ξ ) ( β + ψ ) a e + b e c e e ( α + ϕ ) ( κ + ξ ) ( β + ψ ) a e + b e c e e. () 97

98 o. () terá adřue pootočení členů 3 4 o úhl násob ednotoých etorů e taru ϕ ψ ξ můžeme apsat ao ~ a ~ + b c~ ~ ϕ ~ ξ ~ ψ a e + b e c e ~ ϕ ~ ~ ξ ψ a e + b e c e () α κ β de a ~ ~ a e b be c~ c e sou hledané nenámé teré určíme použtím Crameroa pradla. Determnant sousta e D o ϕ ξ ψ e e e () e ϕ e ξ e ψ a hledané elčn sou určen tah ~ a e e ξ ξ D e e ψ ψ D D e ~ e b ϕ ϕ D e e ψ ψ D D e ~ e c ϕ ϕ e e D ξ ξ D D 3. (3) eaptulace řešení pro tř poloh hnací a hnané l e taoá že pro dané olíme ϕ ψ ξ a určíme a b c. α β κ Přílad 4 Pro dané čtř poloh hnacího členu čtřlouboého mechansmu požadueme určt eho roměr ta ab člen 3 a 4 aual př sém pohbu požadoané poloh. Platí stuace na obr. 74 de pro počáteční hodnot úhlů α β κ a předepsané úhl ϕ ψ ξ 3potřebueme určt roměr mechansmu a b c l de opět položíme l. Platí ro. (9) terá přede pro čtř požadoané poloh hnacího členu na soustau čtř ompleních ronc ~ a ~ + b c~ ~ ϕ ~ ξ ~ ψ a e + b e c e ~ ϕ ~ ξ ~ ψ a e + b e c e ~ ϕ ~ 3 ~ 3 ξ ψ 3 a e + b e c e (4) 98

99 terá e analogcá soustaě ronc () a roněž ýnam šech elčn obou soustaách e stený. Velčn a ~ ~ b c~ určíme lboolných tří ronc třeba prních tří. Podmínu pro určené elčn a ~ ~ b c~ taoou ab platla poslední ronce sousta (4) ísáme dž do čtrté ronce dosadíme počtené hodnot a ~ ~ b c~ ádřené Crameroým pradlem ao podíl ro. (3) dou determnantů. Dostaneme ronc D e ϕ 3 ξ3 ψ 3 + D D e D3 e (5) terou můžeme pomocí determnantů D D D3 ádřt e taru determnantu ϕ ξ ψ e e e D (6) ϕ ξ ψ e e e e ϕ 3 e oedením podle posledního řádu dostaneme ro. (5). Včíslením determnantu D ísáme ronc pro určení hodnot ednoho úhlu ξ. eaptulací řešení pro určení čtř poloh hnací a hnané l ted určení a b c díme že splnění požadau aumutí požadoaných poloh členů a 4 daných úhl α β ϕ ψ 3 e splněno úplně a požadae aumutí poloh těhlce 3 e splněn pro dě poloh třeba ξ a třetí polohu ξ 3 musíme určt. ξ 3 e ψ 3 5. atcoá metoda postupných opra Výlad rodělíme na tř část e terých se míníme o matcoé metodě dále o matc opra a poslée o lastní sntée mechansmu. 5.. atcoá metoda určení poloh mechansmu Ja sme uedl úodu čtrté aptol sou mechansm tořen soustaou těles terá sou áemně spoena nematcým docem a táří ronné nebo prostoroé nematcé řetěce. Polohu mechansmu můžeme [4] určt pomocí matc následuícím postupem. Knematcý řetěec uažoaného mechansmu obr. 75 obsahuícího n členů přerušíme -tém členu mšleným řeem. Půodní řetěec se ropadne na da řetěce s počt členů p a p pro teré platí p 3... a p n n +. Bod členu oná stený pohb ať přřadíme člen prnímu nebo e druhému řetěc. usí proto platt dentta r n n K 3 n + K r (7) terá předstaue matcoou nematcou ronc mechansmu de transformační matce me člen člen a b umístěn. 99 b a b a respete me prostor b a ro. (37) e e terých sou a

100 br. 75 Knematcý řetěec 5.. atce opra Váemná poloha dou členů a b nematcého řetěce e určena transformační matcí b a. Změní-l těleso b so polohu o malé přemístění a přede do blíé poloh b e přemístění b b určeno matcí b b a transformační matce me členem a a noou polohou b členu b e b a b b : : :. b a b b b a b b b b b a b. chematc tuto stuac apíšeme následuícím působem a Potom platí ~ (8) b a b a b b b a b b de matc b b budeme naýat matcí opra a matc b a ~ matcí opraenou. Ponameneme že ěta o áměnnost transformačních matc áladních pohbů uedená aptole ěnoané nematcé analýe platí tomto případě. atc opra terá adřue a měnu souřadnc poloh ta roněž měnu roměrů můžeme pro použtí rošířených etorů napsat e taru b b b b ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ (9) de ednotlá natočení a posu reultuí e měn roměrů a e měn souřadnc. Protože aždou transformační matc můžeme ádřt ao součn dílčích transformačních matc můžeme pro transformac me člen a b psát N Π ( q ) (3) b a b a

101 de q e obecněný parametr N e počet uažoaných parametrů udáaících polohu b hledem a e -tý parametr a -tá transformace. použtím matce opra můžeme ro. (3) přepsat do taru pro měněnou polohu členu b N ~ Π ( q ) ( q ) (3) b a b a de b b ( q ) ( q ) e matce opra parametru q b b a q e opraa parametru q. Přpomeňme s že fálního hledsa adřuí ronce (3) a (3) polohu členu b půodní respete poměněné poloe hledem e členu a. Polohu bodu obr. 76 terou rošířených souřadncích ádříme formálně tahem b b r r + + (3) r můžeme potom apsat prostoru e taru N a a a b b b a r r + r r + Π ( q ) ( q ) (33) br. 76 Přemístění tělesa b 5..3 ntéa mechansmu etodu snté terou uedeme naýáme matcoou oloační metodou postupných opra [4] neboť u ní žadueme ab brané člen řešeného mechansmu dáal požadoané nematcé elčn terým sou poloha rchlost a rchlení bodů a členů mechansmu přesně en určtých polohách mechansmu ab de olooal. mo tto poloh e předepsaná funce pohbu realoána enom přblžně.

102 5..3. Záladní ronce snté V následuícím ýladu budeme mít na pamět že př sntée mechansmů se uplatní enom měn roměrů. Použtím ro. (7) a (8) můžeme pro -tý člen nematcého řetěce mechansmu psát áladní matcoou ronc snté mechansmu ~ 3 ~... r ~ ~ ~ ~... r n n n (34) e teré ísáme denttu ~ ~ ~ ~ ~ ~ (35) 3 n n n Do ro. (35) dosadíme ro. (8) případně ž ro. (3) a opraené matce roměrů a uspořádáme podle opra ednotlých roměrů u členů na obou stranách ronce. Proedeme lnearac př teré anedbáme nelneární ýra stuící se opraách a ísaný tah ádříme [4] smbolcou roncí ρ ρ (36) o + l l de ρ p p l sou opra geometrcých roměrů ρ p členů mechansmu a sou matce obsahuící roměr členů. U mechansmu s olnost e ale poue šest parametrů q neáslých. Proto podobně ao u příladu e čtrté aptole obsahue soustaa (36) enom šest neáslých parametrů taže dalším postupu předstaue soustau šest neáslých salárních ronc. Ještě ednou přpomeneme že máme na msl roměroou sntéu a proto těchto šest neáslých ronc ádříme matcoém ápsu tahem de matce Η( q ρ ) H q o p obsahue edna parametr neáslých a edna roměr mechansmu ( ρ ) H ρ h (37) q toho e šest parametrů q o ρ p. Podobně etor praých stran e h h q q o p a ρ ρ e etor opra uažoaných roměrů ρ p. Knematcé elčn členů mechansmu sou tořen ech rchlostm a rchlením teré ísáme derací ro. (37) podle času. Prní derací dostaneme tah adřuící rchlost členů mechansmu áslost na parametrech e taru m Σ H q& q 6 H + Σ q q o o m h h ρ Σ q& +Σ q& o (38) q q Další derací terou nebudeme pro nedostate místa proádět bchom ísal tah pro rchlení nebol pro měnu rchlost členů mechansmu.

103 5..3. Určení roměrů mechansmu Předpoládeme že obecném případě sou parametr sousta q funcí neáslých parametrů q taže platí q q q ) de q q (t) na daném nteralu t t t. o Zobecněním pro šechn parametr ( o o q dostaneme matcoém ápsu o q q ( q ) q q ( t). (39) o Ještě ednou s přpomeneme že se abýáme sntéou roměrů ρ. Časoou derací ro. (39) dostaneme průběh rchlostí parametrů q e taru o o a pro rchlení máme r q q && Σ p& ( t) (4) p de s r q r q q && Σ Σ p& ( t) p& ( t) + Σ & p ( t) (4) p p p p p sou proměnné elčn parametrech Pro lastní ýpočet olíme časoého nteralu t t požadoané čas a ro. (39) (4) a (4) určíme příslušné etor q q& & q& a dosadíme do ro. (37) (38) a do ronce pro rchlení terou sme pro úsporu místa netořl. Počet časoých oamžů musí odpoídat počtu hledaných opra ρ. Po proedení ýpočtu dostaneme etor opra ρ. Protože sme př přechodu ro. (36) na ro. (37) proedl lnearac a anedbal člen s mocnnam šších řádů nedosáhneme přesné splnění ro. (37) a postup e nutné opaoat. Pro n-tý terační ro platí + q. ( n) ( n) ( n) ρ ρ ρ. (4) Výpočet uončíme oamžu d e splněna podmína přípustná dference. (n ) ρ ε de ε e olená 5.3 Knematcá metoda Ja blo řečeno úodu aptol 5 e nematcá metoda hodná pro loální sntéu př teré požadueme splnění požadoaných nematcých elčn e braných poloe mechansmu. Je samořemé že se nemusí ednat poue o ednu polohu na uažoaném časoém úseu ale tím se nní nebudeme této úodní část abýat. Př ýladu nematcé metod naážeme na ponat e áladního uru mechan teré rošíříme o nebtné úodní nalost teore táření geometrcých ře a ech obále. V našem ýladu necháme táření ploch a m příslušné spoluabíraící a obaloé ploch teré sou elm důležté teor oubených ol. 3

104 5.3. třed řost traetorí a obále Poem traetore nebol dráha bodu e běžně námý. Pomem obála ř roumíme obr. 77 řu o terá nne ao obála sté ýtarné ř př eím pohbu dané roně. tená úaha platí pro plochu a eí obálu ale tím se abýat nebudeme. Určoání středů řost ře teré naí ao traetore bodů a ech obále e nženýrsé pra ýnamné a hledsa osulace ře ta hledsa určoání normáloých slože rchlení bodů těles. Z geometre íme že poloměr řost ronné ř dané můžeme určt použtím orce dferencální geometre eplctním tahem ( ) ( + ) 3. Podmínou použtí tohoto tahu e že náme ronc ř ted ronc traetore uažoaného bodu. a tomu ale řadě případů není. Použtím nemat můžeme střed řost ronných ře určt neen be nalost traetore ale taé mnohem rchle a hlaně snadně. třed řost můžeme určoat analtc t. početně nebo grafc. Podobně ao nde de platí že grafcé metod sou méně přesné ale ech elou ýhodou e rchlost a ednoduchost s aou dosáhneme ýsledu. Pro analtcé řešení použeme ětu Euler-aarho a grafcé řešení proedeme pomocí rchlostní onstruce nebo pomocí Bobllero onstruce. Ještě s přpomeneme že pohb tělesa onaícího obecný ronný pohb můžeme nahradt obr. 77 alením hbné polode H po nehbné polode N. Dále aedeme poem pár přdružených bodů terý bude pro další ýlad užtečný. ímto pomem onačueme bod tělesa a eho střed řost. Na obr. 77 e to a. Dalším důležtým pomem terý nám umožňue určt střed řost obál o obr. 77 tořené br. 77 báloá ěta pohbem ýtarné ř e obáloá ěta: třed řost obál o ř e totožný se středem řost traetore bodu terý e středem řost ýtarné ř. Z obráu e řemé že ýtarná řa e peně spoena s hbnou polodí ěta má mmořádný ýnam teor oubených ol. H. báloá Věta Euler aarho Věta Euler aarho e dána následuícím tahem + snϑ + (43) r s r r 4

105 de obr. 78 r e dálenost bodu od pólu P s e dálenost středu řost bodu od pólu ϑ e úhel terý sírá normála bodu s tečnou t polodím a r a r sou poloměr nehbné a hbné polode. br. 78 Věta Euler - aar chlostní onstruce Záladem rchlostní onstruce terou určueme střed řost grafc e Hartmanoa ěta: Koncoý bod etoru rchlost lboolného bodu tělesa eho střed řost a oncoý bod praoúhlého průmětu póloé rchlost ν π do směru olmého na normálu bodu leží na edné přímce. br. 79 Hartmanoa ěta Bobleroa onstruce Boblleroa grafcá onstruce e aložena na následuící ětě. Pro lboolné dě normál n A nb estue osa olneace pro eíž o AB bod platí že se nch protínaí sponce bodů ležících na obou normálách a sponce ech středů řost. sa olneace sírá s normálou ednoho bodu stený ale opačně orentoaný úhel ao sírá tečna t polodím s normálou druhého bodu. br. 8 Boblleroa onstruce Použtí uedených metod s uážeme na následuících příladech. 5

106 Přílad 5 Určete střed řost bodu peně spoeného s ružncí H terá se alí po ružnc N estlže e dáno r r m. tuace e náorněna na obr. 8. Řešení proedeme početně a grafc. Početně pomocí ět Euler aarho + + r + m s r r (44) odud e s. (45) r + r r + m r r br. 8 třed řost traetore bodu Grafc rchlostní onstrucí Zolíme rchlost bodu Určíme ν π ν Průsečnce sponce oncoých bodů rchlostí střed řost. neboť eho střed řost náme ν a ν π s normálou Ponáma: chlostní onstruc použíáme eména pro bod ležící na hlaní normále. n e hledaný Přílad 6 Určete střed řost obál o tářené přímou p obr. 8 př alení přím q po ružnc N estlže e dáno r α. Řešení proedeme početně a grafc. Početně ětou Euler aarho Použtím ro. (43) dostaneme π + sn α s r + (46) odud e s cosα. (47) r br. 8 třed řost obál tářené přímou p 6

107 Grafc Boblleroou onstrucí Postupoat budeme následoně: příma q má střed řost neonečnu bod střed řost bodě střed řost ýtarné přím p e neonečnu a splýá s bodem Q terý s tímto středem splýá má U tečna polodím splýá s alou přímou q a s hbnou polodí H a e olmá na normálu bodu Q podle Bobllero ět musí být proto osa olneace bodů Q U olmá na normálu bodu U průsečí sponce bodů U Q protne osu olneace eím úběžném bodu K sponce úběžného bodu K a bodu Q s normálou bodu U e hledaný střed řost obál. Ponáma: Jedná se o prncp ýrob čelních eolentních oubených ol odaloacím působem. Přílad 7 Určete střed řost traetore bodu členu 3 mechansmu naresleného na obr. 83. Řešení proeďte grafc. echansmus se nacháí obecné poloe a bod neleží na hlaní normále. K řešení proto použeme Bobllerou onstruc. Řešení proeďte samostatně a ontrolute s obr. 83. br. 83 třed řost traetore bodu 5.3. Záěsná aříení ol automoblů Pomocí nematcé metod chceme proést sntéu řídícího ústroí předního neásle aěšeného ola automoblu. Nebtným předpoladem e proedení snté aěšení ola a proto se stručně míníme o působech uložení automobloých ol. Kola mohou být rámu 7

108 odla [] přpoena buď ednotlě prostřednctím samostatného áěsu nebo po dou prostřednctím nápra. Podle toho da se ola na edné nápraě př natáčení áemně olňuí č nol rodělueme aěšení na neáslé áslé a poloáslé. Poloáslým aěšením se abýat nebudeme a roněž se budeme dalším ýladu abýat poue nematc určtým aěšením. Uážeme s nematcá schémata něterých tpcých působů aěšení Neáslá aěšení echansmus neáslého aěšení neříených ol má eden stupeň olnost a u říených ol má da stupně olnost. Zaěšení může být proedeno ronným nebo prostoroým mechansmem. Velm často se použíá aěšení lchoběžníoé a aěšení na telesopcé pěře naýané aěšení c Pherson teré sou ronné er uedené na obr. 84. onné uspořádání choběžníoé aěšení br. 84 onné áěsné mechansm Prostoroé uspořádání Prostoroý áěsný mechansmus umožňue lepší splnění požadaů ladených na aěšení ola a řídící ústroí neboť má ětší počet parametrů. Neýhodou e omploanost a obtížnost nematcého řešení. Na obr. 85 sou nematcá schémata lchoběžníoého aěšení a aěšení c Pherson. V dolní část obráu e případ prostoroého lchoběžníoého aěšení ola se stablátorem a pružnou. U prostoroých áěsných 8

109 mechansmů se místo rotačních nematcých doc stuí sfércé doce se třem stupn olnost. Na obr. 86 e nematcé schéma aěšení s telesopcou pěrou se sfércým docem. onné uspořádání lchoběžníoého aěšení e průmětem prostoroého uspořádání do ron olmé na podélnou osu odla. choběžníoé aěšení Zaěšení c Pherson stablátor br. 85 Prostoroé áěsné mechansm br. 86 Prostoroý áěsný mechansmus se sfércým docem 9

110 Přílad 8 Konstruční proedení neáslého aěšení c Pherson předního ola u osobního automoblu Šoda aort 36 s řídícím mechansmem e uááno na obr. 84. Přenos rotačního pohbu na olo e aštěn pomocí homonetcého loubu. 3 uchcení pístnce tlumče na aroser 4 přídaná progresní pružna poluretanu 5 pružna 6 tlumč 7 nosč ola 89 matce a nábo ola ložso uloý čep příčného ramene 34 ulčoý loub 57 spodní troúhelníoé rameno 6 louboý hnací hřídel 8 řídící tč 9 náprance 3 loub rpode třmen brd br. 87 Přední polonápraa c. Pherson s hancím hřídelem Záslá aěšení U áslého aěšení ol sou nosče obou ol spolu áán tuhým tělesem naýaným mostem aěšení oto aěšení se běžně naýá tuhá nebo taé nedělená nápraa. Záslé aěšení musí nematcého hledsa umožnt:

111 pohb mostu e sslém směru natočení mostu olem os ronoběžné s podélnou osou odla Záladní případ čtřbodoého aěšení Čtřbodoé aěšení s Panhardsou tčí terá ašťue přímé edení Zaěšení s troúhelníoým ramenem Knematc přeurčené aěšení br. 88 Záslé aěšení ol taže má da stupně olnost. Záslé aěšení toří žd prostoroý mechansmus. Záladní případ áslého aěšení ol sou ueden na obr. 88 de prní čtř případ sou nematc určté a na posledním pátém náresu e aěšení nematc přeurčené př terém sou požadoané pohb mostu žd doproáen deformacem úložných místech edoá osa Vrátíme se nní pět neáslému aěšení říeného předního ola teré se př měně směru íd otáčí olem sté os terou naýáme redoá osa. ato osa obr. 89 e buď oamžtá nebo pená. Po usnadnění íd odla přímém směru eména př šších rchlostech e nutné ab říená ola měla sama tendenc setráat poloe pro přímý směr

112 íd. Dále e potřebné ab se ola po proetí atáč sama racela do neutrální poloh a roněž se požadue ab se ola racela samočnně do neutrální poloh po chýlení oamžtá redoá osa br. 89 Říené olo pená redoá osa nahodlým bočním slam. ěchto účnů se dosahue polohou redoé os terá e realoána redoým čepem nebo též na naýaným čepem nápra. Poloha redoé os obr. 9 e určena: úhlem álonu β úhlem přílonu δ úhlem odlonu ola ϑ. Zaímaé e štění že říené olo př přímé ídě automoblu neoná ldný rotační pohb olem sé os otáčení nýbrž se natáčí olem redoé os lem řdče s freencí 75 H lem péroání s freencí 5 H a 7 4 H lem mtání s freencí 5 4 H. Jž př freenc H docháí fáoému posuu me stupní ýchlou a ýnem sloých účnů taže říené olo se př pohbu nacháí nestaconárním stau. Nní se budeme abýat podrobně ednotlým úhl teré určuí polohu os redoého čepu. osa redoého čepu br. 9 Poloha redoé os

113 Zálon čepu nápra tablační účne álonu čepu nápra β spočíá [5] př chýlení ol přímého směru obr. 9 e nu růně elých momentů od sl alého odporu taže nlý moment rací ola do přímého směru. Další stablační účne spočíá př působení bočních sl u ol odaluících se se směroým úchlam α α e ýšení ratného momentu olaného moment bočních sl na ramenech l l. Vratný moment se ted sládá e dou momentů a o ble se olí β. l +. (44) l redoá osa l směroé úchl: br. 9 Zálon redoé os U odel s pohonem předních ol de síla e hnací síla a destablační. Proádí se proto nuloý nebo áporný álon. Přílon čepu nápra má opačný smsl f odpor alení ap.. e stuace ná neboť síla de b měla účne Přílon čepu nápra δ e hlaní opatření terým se dosahue automatcého racení ol do poloh pro přímou ídu. tablace e olána tíhoým atížením přední nápra obr. 89. Př natáčení ola se stčná plocha ola s ooou pohbue roně σ a docháí ýšoé měně přední část odla. Velost ratného momentu pro terý platí tah f G snδ a snϕ (45) 3

114 de G e tíhoá síla přpadaící na olo terým sou ola rácena do přímého směru ásí edle úhlu přílonu δ na dálenost a stopníu redoé os roně σ od středu ola. ble e δ 5 8. redoá osa redoá osa dlon ola br. 9 Přílon redoé os dlon ola ϑ má příný l onstručního hledsa. alá síla snϑ atěžue trale osoě ložso což přspíá eho ldnému chodu a šue bepečnost aálního štění. Dále docháí e menšení dálenost p me radální reací oo a místem etnutí čepu ola do třmenu teré e neíce namáháno. o ble se olí ϑ 3 případně nebo o o < pro případ že e třeba ýšt schopnost ol přenášet boční sílu. Ponáma Kromě poloh redoé os se pro docílení stablt říených ol proádí ech natočení olem redoých čepů o úhel cca κ 4 ta že dálenost předních oraů ráfů dsů obou ol e menší než adních oraů. ím nnou na olech malé boční síl teré se snaží natočt ola do přímého směru a ech moment hledem redoým osám olaí mechansmu říení tralé napětí terým se meí šechn případné ůle a abraňue se romtání ol olem redoých čepů. 4 br. 93 dlon ola

115 Přílad 9 Jao přílad neáslého aěšení ol s uážeme aěšení ol přední a adní nápra u automoblu Honda Integra.8 Vt. U obou ol e neáslé aěšení řešeno prostoroým mechansmem obr. 94 ehož počet stupňů olnost e ueden na obrácích de s načí sfércou nematcou doc p posunou a r rotační nematcou doc n e počet členů sousta. Paratní rotací e rouměna rotace příslušných členů olem sých os terá nemá l na pohblost sousta a nematcého hledsa e beýnamná. Honda Integra Přední nápraa: 6 ( 8 ) o 4 s 6 p r 6 8 paratní rotace Počet stupňů olnost o redoá osa Zadní nápraa: o ( 8 ) redoá osa s 9 p r paratní rotace Počet stupňů olnost o br. 94 Zaěšení ol přední a adní nápra u automoblu Honda Integra 5