Filip Klouda. nepolygonální hranice v nespojité Galerkinově

Transkript

1 Unverzta Karlova v Praze Matematcko-fyzkální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Flp Klouda Použtí přrozeného splnu pro aproxmac nepolygonální hrance v nespojté Galerknově metodě Katedra numercké matematky Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Vít Dolejší, Ph.D., DSc. Studjní program: Matematka, obecná matematka 29

2 Na tomto místě bych chtěl poděkovat vedoucímu práce doc. RNDr. Vítu Dolejšímu, Ph.D., DSc. Prohlašuj, že jsem svou bakalářskou prác napsal samostatně a výhradně s použtím ctovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce. V Praze dne Flp Klouda 2

3 Obsah 1 Úvod 5 2 Pops metody Formulace problému Dskretzace Aproxmace hrance Křvočaré elementy Splne Implementace Numercké expermenty 18 5 Závěr 31 3

4 Název práce: Použtí přrozeného splnu pro aproxmac nepolygonální hrance v nespojté Galerknově metodě Autor: Flp Klouda Katedra: Katedra numercké matematky Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Vít Dolejší, Ph.D., DSc. e-mal vedoucího: dolejs@karln.mff.cun.cz Abstrakt: V předložené prác studujeme aplkac nespojté Galerknovy metody na numercké řešení soustavy hyperbolckých rovnc, popsující proudění stlačtelných nevazkých tekutn. Co se týče dskretzace času, používáme sem-mplctní numercké schéma, vycházející z vlastností nevazkých toků a umožňující lnearzac Eulerových rovnc, což vede na soustavu lneárních algebrackých rovnc v každém kroku. V okolí nepolygonální část hrance výpočetní oblast používáme křvočaré elementy, abychom dostal fyzkálně přjatelné a dostatečně přesné numercké řešení. Zvláštní pozornost věnujeme aproxmac nepolygonální hrance, kde hlavním užtým nástrojem je přrozený kubcký splne. Po částech lneární aproxmace není u nespojté Galerknovy metody dostačující. Jsou prezentovány numercké expermenty podzvukového proudění kolem proflu křídla NACA12. Klíčová slova: nespojtá Galerknova metoda, Eulerovy rovnce pro stlačtelný plyn, aproxmace nepolygonálních oblastí Ttle: The splne approxmaton of nonpolygonal boundares n dscontnuous Galerkn method Author: Flp Klouda Department: Department of Numercal Mathematcs Supervsor: doc. RNDr. Vít Dolejší, Ph.D., DSc. Supervsor s e-mal address: dolejs@karln.mff.cun.cz Abstract: In the present work we study an applcaton of the dscontnuous Galerkn fnte element method to the soluton of a system of hyperbolc equatons descrbng compressble nvscd flow. As for the tme dscretzaton, we use the sem-mplct numercal scheme based on the propertes of nvscd fluxes and allowng a lnearzaton of the Euler equatons whch leads to a lnear algebrac system on each tme level. Isoparametrc fnte elements are used near a curved boundary of a nonpolygonal computatonal doman n order to acheve a physcally admssble and suffcently accurate numercal soluton. Specal attenton s pad to the problem of an approxmaton of a curved boundary, where splne s the man tool we use. The pecewse lnear approxmaton s not suffcent n the case of the dscontnuous Galerkn fnte element method. Numercal examples of subsonc flow around the NACA12 arfol are presented. Keywords: dscontnuous Galerkn method, compressble Euler equatons, approxmatons of nonpolygonal boundares 4

5 Kaptola 1 Úvod V této prác se zabýváme numerckou smulací proudění stlačtelných nevazkých tekutn, pomocí nespojté Galerknovy (DG-FE) metody, která je zobecněním metod konečných objemů (FV) a konečných prvků (FE). DG-FE metoda je založena na po částech polynomální aproxmac bez požadavku spojtost na vntřní hranc elementů. Používáme sem-mplctní numercké schéma, vycházející z vlastností nevazkých toků a umožňující lnearzac Eulerových rovnc, která vede na soustavu lneárních algebrackých rovnc v každém kroku. Zvláštní pozornost věnujeme aproxmac nepolygonální hrance. Zatímco u konformních metod konečných prvků se obvykle používá aproxmace hrance po částech lneární, u DG-FE metody je tato aproxmace nedostačující, vz. [BR97, DF3]. Je třeba použít aproxmac vyššího řádu. V takovém případě se element, přlehlý k nepolygonální část hrance, nahradí křvočarým elementem s jednou křvou hranou, přlehlou k hranc, a výpočet se provede na takto upravené sít. Tyto křvočaré elementy se konstruují přdáním jednoho až dvou uzlů na nepolygonální část hrance, a křvočarý element dostaneme jako obraz referenčního elementu pomocí zobrazení vyššího řádu. Dostaneme po částech polynomální aproxmac nepolygonální hrance. Taková aproxmace ovšem obecně nemá spojté dervace, což vede k otázce, zda je tento postup dostatečně přesný. Cílem této práce je konstrukce aproxmace takové, která má první, případně druhé dervace spojté. Za tímto účelem konstruujeme přrozený kubcký splne. Nový přístup je porovnán s původním. Ve druhé kaptole uvedeme formulac spojtého problému, jeho dskretzac a metodu řešení dskrétního problému. Třetí kaptola se týká aproxmace hrance, pojednává o konstrukc křvočarých elementů a specálně se tedy věnuje použtí přrozeného splnu pro aproxmac nepolygonální hrance. Implementace metody je součástí třetí kaptoly, numercké expermenty ukážeme v kaptole čtvrté. 5

6 Kaptola 2 Pops metody V této kaptole uvedeme metodu řešení Eulerových rovnc, které popsují proudění nevazkých stlačtelných tekutn. Jedná se o soustavu nelneárních hyperbolckých rovnc, která vychází ze zákonů zachování hmoty, hybnost a energe. Z toho důvodu je také označována jako systém zákonů zachování. Pro naše účely bude dostačující, když se omezíme pouze na dvojrozměrný případ. V první část této kaptoly zformulujeme spojtý problém, v další potom provedeme jeho dskretzac a představíme způsob řešení dskrétního problému pomocí DG-FE metody. 2.1 Formulace problému Na množně Q T = Ω (, T) uvažujeme hyperbolcký systém prvního řádu w t + 2 s=1 f s (w) x s =, (2.1) popsující proudění stlačtelné nevazké tekutny v rovnné, omezené oblast Ω, v časovém ntervalu (, T). Zde je stavový vektor, w = (ρ, ρv 1, ρv 2, e), w = w(x, t), x Ω, t (, T) f s (w) = (ρv s, ρv s v 1 + δ s1 p, ρv s v 2 + δ s2 p, (e + p)v s ), s = 1, 2 jsou nevazké (Eulerovy) toky a p je dáno stavovou rovncí p = (γ 1) (e 12 ) ρ v 2. (2.2) Používáme standardní značení: t čas, x = (x 1, x 2 ) kartézské souřadnce, ρ hustota, p tlak, e celková energe, v = (v 1, v 2 ) rychlost, δ j Kroneckerovo delta (pokud = j, potom δ j = 1, jnak δ j = ) a γ > 1 je Possonova adabatcká konstanta. 6

7 Systém (2.1) (2.2) je doplněn počáteční podmínkou w(x, ) = w (x) x Ω, (2.3) kde w je daná funkce, a okrajovým podmínkam, formálně psaným jako B(w) = na Ω (, T), (2.4) kde B je vhodně zvolený operátor. Některé komponenty w je třeba extrapolovat, ostatní se zadávají, vz. [FFS3, Dol6b]. 2.2 Dskretzace V následujícím používáme standardní značení pro prostory funkcí: H k (Ω) = W k,2 (Ω) značí Sobolevův prostor a C 1 ([, T], X) značí prostor spojtě dferencovatelných zobrazení z [, T] do X. Necht Ω h je polygonální aproxmace množny Ω. Abychom odvodl dskrétní problém, budeme na Ω h uvažovat sít T h, skládající se z různých typů konvexních elementů K, I (I N = {, 1, 2,... } je vhodná ndexová množna taková, že T h = {K } I ), např. trojúhelníků, čtyřúhelníků, mnohoúhelníků nebo jejch kombnací. Jako Γ j = Γ j označíme společnou hranu dvou sousedních elementů K a K j. Symbol n j = ((n j ) 1, (n j ) 2 ) je označením pro jednotkovou vnější normálu k K na hraně Γ j, vz. obrázek 2.1. Mmoto označíme množnu všech sousedních elementů K jako s() = {j I; K j je sousední element K }. Hrance Ω h je tvořena konečně mnoha hranam elementů K, přléhajících k Ω h. Označíme všechny tyto mezní hrany jako S j, kde j I b Z = { 1, 2,... }, vz. obrázek 2.2. Položíme γ() = {j I b ; S j je mezní hrana K } a Γ j = S j pro K T h a S j K, j I b. Pro K, neobsahující žádnou mezní hranu S j, položíme γ() =. Zřejmě s() γ() = pro všechna I. Nyní, napíšeme-l S() = s() γ(), máme K = Γ j. j S() Na sít T h defnujeme po částech Sobolevův prostor nespojtých funkcí H k (Ω, T h ) = {v; v K H k (K ) I}. Pokud v H k (Ω, T h ), potom se nutně nemusí rovnat v Γj a v Γj, kde v Γj a v Γj jsou hodnoty v na Γ j uvažované z vntřku respektve vnějšku K. Předpokládejme, že w je klascké C 1 -řešení (2.1). Budeme používat označení w(t) pro funkc w(t) : Ω R 4 takovou, že w(t)(x) = w(x, t) pro x Ω. Abychom odvodl dskrétní problém, vynásobíme rovnc (2.1) funkcí ϕ [H 1 (Ω, T h )] 4 a zn- 7

8 Γ j K j K n j Obrázek 2.1: sousední elementy K a K j Ω K S j Ω Obrázek 2.2: mezní hrana S j 8

9 tegrujeme j přes element K, I. S použtím Greenovy věty dostaneme denttu 2 w(t) ϕ dx = f s (w(t)) ϕ dx t K K x s=1 s 2 f s (w(t)) ϕ K (n j ) s ds. j S() Γ j s=1 Sčítáním předchozího přes všechna I dostáváme další denttu t I K w(t) ϕ dx = I I K s=1 2 f s (w(t)) ϕ dx x s j S() Γ j 2 f s (w(t)) ϕ K (n j ) s ds. s=1 (2.5) Tato rovnost představuje slabou formu Eulerových rovnc ve smyslu prostoru H 1 (Ω, T h ). Nyní představíme dskrétní problém, aproxmující denttu (2.5) za pomoc DG- FE metody. Defnujeme prostor nespojtých, po částech polynomálních funkcí S h S p, 1 (Ω, T h ) = {v; v K P p (K ) I}, (2.6) kde P p (K ) značí prostor všech polynomů na K, stupně nejvýše p N. Očvdně S h H 1 (Ω, T h ). Pro t [, T] bude přesné řešení w(t) aproxmováno funkcí w h (t) [S h ] 4. K výpočtu hrančního ntegrálu v (2.5) používáme aproxmac Γ j 2 f s (w(t))(n j ) s ϕ K ds H(w h (t) Γj,w h (t) Γj,n j ) ϕ K ds, Γ j s=1 kde H je numercký tok, vz. [FFS3]. Pro j γ() musíme hodnoty w h (t) Γj určt z okrajových podmínek (2.4). Navíc pro w h (t), ϕ h [S h ] 4 zavedeme formy (w h (t), ϕ h ) h = w h (x, t) ϕ h (x) dx = w h (x, t) ϕ h (x) dx Ω h I K b h (w h (t), ϕ h ) = 2 f s (w h (x, t)) ϕ h(x) dx I K x s=1 s + H(w h (t) Γj (x),w h (t) Γj (x),n j ) ϕ h K (x) ds. I j S() Γ j (2.7) Řekneme, že w h je přblžné řešení (2.1), pokud vyhovuje podmínkám (a) w h C 1 ([, T], [S h ] 4 ), (b) t (w h(t), ϕ h ) h + b h (w h (t), ϕ h ) = ϕ h [S h ] 4 t (, T), (2.8) (c) w h () = wh, 9

10 kde wh [S h] 4 značí [S h ] 4 -aproxmac w z počáteční podmínky (2.3). Vztahy (2.8) představují soustavu obyčejných dferencálních rovnc, která může být řešena vhodnou numerckou metodou. Budeme uvažovat dělení = t o < t 1 < t 2... časového ntervalu [, T] a položíme τ k = t k+1 t k. Dále budeme používat značení wh k pro aproxmac w h(t k ). Řešíme tedy následující dskrétní problém: pro každé k hledáme w k+1 h tak, aby (a) w k+1 h [S h ] 4, ( w k+1 ) h wh k (b), ϕ h τ k h + b h (w k+1 h, ϕ h ) = ϕ h [S h ] 4, k =, 1,..., (c) w h [S h] 4 je [S h ] 4 -aproxmace w z počáteční podmínky (2.3). (2.9) Schéma (2.9) vede na soustavu slně nelneárních algebrackých rovnc, jejíž numercké řešení je značně komplkované. Abychom problém zjednodušl, provedeme lnearzac (2.8), (b) a dostaneme soustavu lneární. Zavedeme tedy lnearzac b h (, ) formou b h (,, ), která je lneární v druhé a třetí složce a s formou b h (, ) je konzstentní v následujícím smyslu: b h (w h (t),w h (t), ϕ h ) = b h (w h (t), ϕ h ) w h (t), ϕ h [S h ] 4. Tato lnearzace je založena na vlastnostech Eulerových toků f s, s = 1, 2 a vhodné volbě numerckého toku H(,, ), vz. [DF4]. Hlavní myšlenka dskretzace spočívá v tom, že lneární část b h se dskretzuje mplctně a nelneární explctně. S použtím (2.9) dostáváme následující sem-mplctní lnearzované numercké schéma: pro každé k hledáme w k+1 h tak, aby (a) w k+1 h [S h ] 4, (b) (w k+1 h, ϕ h ) h + τ k b h (wh k,wk+1 h, ϕ h ) = (wh k, ϕ h) h ϕ h [S h ] 4, k =, 1,..., (c) wh [S h] 4 je [S h ] 4 -aproxmace w z počáteční podmínky (2.3). (2.1) Schéma (2.1) představuje soustavu lneárních algebrackých rovnc pro každé k =, 1,..., která může být řešena vhodnou terační metodou (např. GMRES). 1

11 Kaptola 3 Aproxmace hrance Tato kaptola pojednává o aproxmac hrance nepolygonální oblast. U konformních metod konečných prvků se obvykle používá aproxmace po částech lneární, která ovšem nedává uspokojvé řešení u DG-FE metody. Je tak vhodnější použít aproxmac vyššího řádu, např. po částech kvadratckou č kubckou, př které se konstruují křvočaré elementy. Obecně ovšem taková aproxmace nemá spojté dervace a potom je na místě otázka, zda by se hladkostí nedospělo k lepším výsledkům. Zpočátku této kaptoly osvětlíme konstrukc křvočarých elementů a provedeme změnu numercké metody za použtí těchto elementů. V následujícím se budeme zabývat možností spojtost první a druhé dervace př aproxmac nepolygonální hrance, což nabízí přrozený kubcký splne. Tento nový přístup porovnáme s přístupem původním, který s hladkostí nepracoval. Nakonec předvedeme mplementac metody. 3.1 Křvočaré elementy Necht {K, I c, I c I} je množna trojúhelníků přlehlých k nepolygonální část Ω. Necht P k, k =, 1, 2 jsou vrcholy K, I c a navíc P 2 Ω a P k Ω pro k =, 1. Pro r [, 1], s [, 1], r + s 1 označíme P r = P + r(p 1 P ) bod, ležící na rovné hraně P P 1 a P r;s = P r + s(p 2 P ) všechny body na trojúhelníku K, vz. obrázek 3.1. Mějme q N = {1, 2,... }, necht E q = { P j q j q R 2 ; j = 1, 2,..., q 1} je množna bodů takových, že bod P E q leží v blízkost bodu P P P 1, j = 1, 2,..., q 1. Konkrétní konstrukc množny E q popíšeme níže. Navíc pro r (, 1), s (, 1) r;s označíme P = P r + s(p r,1 r P r ). Potom exstuje jednoznačné polynomální j q 11

12 P 2 Ω P ; _ 2 3 K P ; _ 1 2_ 3 3 P P ; 1_ 3 P P _ 2 3 1_ 3 _ 1 P ; _ P _ 2 ; _ P 1 Ω Obrázek 3.1: trojúhelník K přlehlý k Ω zobrazení F q : ˆK K řádu q takové, že F q F q ( ˆP k ) = P k, k =, 1, 2, F q ( ˆP ; k q ) = P ; k q, k = 1, 2,..., q 1, ( ˆP j q ; q j q F q F q ( ˆP j q ; ) = P j ) = P q ; q j q, j = 1, 2,..., q 1, j q j q ; k q j, j = 1, 2,..., q 1, ( ˆP j q ; k q ) = P, j = 1, 2,..., q 2, k = 1, 2,..., q j 1, (3.1) kde ˆK je referenční trojúhelník s vrcholy ˆP = [1; ], ˆP 1 = [; 1], ˆP 2 = [; ] (3.2) a ˆP r;s = [1 r s; r], r [, 1], s [, 1], r + s 1, (3.3) pro q = 3 vz. obrázek 3.2. Trojúhelníky K, I c jsou tedy nahrazeny zakřveným trojúhelníky, defnovaným jako K = F q ( ˆK). Množna K je rovnný útvar, mající dvě hrany rovné a jednu zakřvenou, vz. obrázek 3.2. Pokud / I c, potom je F q lneární zobrazení, a proto F q ( ˆK) = K. Nakonec metodu, popsanou ve druhé kaptole, upravíme tak, že ve všech vztazích položíme K := K, kde K = F q ( ˆK). Nyní s ukážeme jak vypočítat objemové a hranční ntegrály přes elementy K a jejch hrany Γ j, I c a j γ(). Budeme používat značení J F q (ˆx) D F q D ˆx (ˆx), ˆx ˆK, 12

13 P 2 ^ P 1 ^ P _ 2 ; _ ^ P 2 K^ ^ ; 2 P _ 3 ^ _ P 3; 2 ^ P _ 1 ; 2_ ^ 3 3 P _ 1 ; _ ^ _1 P 3; ^ ; 3 P _1 F 3 ^ P ~ 1_ 3 P ~ K P ; _ 2 3 _ P ; 1 3 ~ _ 1 P ; _1 3 2 P ; _ 1 2_ 3 3 P _ 2 ; _ ~ P _ 2 3 P 1 P Obrázek 3.2: polynomální zobrazení F 3 : ˆK K pro Jacobho matc zobrazení F q. Funkce ϕ h z (2.8) je defnovaná na hrančním elementu K pomocí zobrazení F q jako ϕ h (x) = ˆϕ((F q ) 1 (x)), x K, kde ˆϕ [P p ( ˆK)] 4. Přblžné řešení w h (, t) defnujeme na elementu K obdobně jako w h (x, t) = ŵ ((F q ) 1 (x), t), x K, t (, T), kde ŵ (, t) [P p ( ˆK)] 4. Integrály v (2.7) potom vypočítáme následovně. První formu v (2.7) vyjádříme jako w h (x, t) ϕ h (x) dx = det J F q (ˆx)ŵ (ˆx, t) ˆϕ(ˆx)dˆx, I c. (3.4) K ˆK Dále, objemový ntegrál ve formě b h v (2.7) vypočítáme pomocí 2 K s=1 = ˆK f s (w h (x, t)) ϕ h(x) x s dx 2 det J F q (ˆx) f s (ŵ (ˆx, t)) s=1 2 j=1 ˆϕ(ˆx) (F q ) 1 j (F q (ˆx)) dˆx, I c, (3.5) ˆx j x s kde (F q ) 1 j značí j-tou složku nverzního zobrazení (F q ) 1. Abychom vypočítal nverzní zobrazení (F q ) 1, použjeme následující vztah, zapsaný v matcovém tvaru jako D (F q [ ) 1 D F q ] 1 D x (F q (ˆx)) = D ˆx (ˆx), (3.6) který vychází z dentty x = F q ((F q ) 1 (x)). Výpočet nverzní matce v (3.6) je jednodušší než vyčíslení (F q ) 1. 13

14 Dále, hranční ntegrál přes mezní hranu Γ j K ve formě b h v (2.7) vypočteme pomocí vhodné parametrzace této hrany a hrany ˆΓ referenčního trojúhelníku ˆK, odpovídající Γ j př zobrazení F q. Mějme tedy Pro pevné t položíme x = x(s) = F q (ˆx(s)), s [ 1, 1]. u(x) = H(w h (t) Γj (x),w h (t) Γj (x),n j (x)) ϕ h (x), kde n j (x) značí jednotkovou vnější normálu k K na zakřvené hraně Γ j v bodě x, a dále počítáme 1 u(x)ds = u(x(s)) x (s) 2 ds Γ j 1 ( ) 2 = u(f q (ˆx(s))) (F q ) j(ˆx(s)) ˆx k ˆx (s) k 1 j=1 k=1 1 2 ds, I c, j γ(). (3.7) Popsal jsme, jak se změní metoda, když použjeme křvočaré elementy a na konc této část se vrátíme k problému, jak zvolt body P E q, I c v (3.1), abychom tyto elementy mohl zkonstruovat. Jednou z možností je volba taková, že j q P Ω. Pro q = 2 je tento způsob popsán v [DF3, FFS3], jedná se tedy o aproxmac hrance po částech kvadratckou. Tato volba ovšem vyžaduje, aby byla hrance Ω zadaná bud analytcky nebo alespoň dostatečně hustou množnou bodů, což v následujícím potřebovat nebudeme. Navíc takováto aproxmace hrance obecně nemá spojté dervace. V další část této kaptoly ukážeme, zda by nám hladká aproxmace neumožnla získat lepší výsledky. 3.2 Splne Uvažujme opět množnu {K, I c, I c I} trojúhelníků přlehlých k nepolygonální část Ω. Označme tuto část hrance jako ω. Dále mějme body P k, k =, 1, 2 jako výše. Množna I c je zřejmě konečná, pro jednoduchost předpokládejme, že I c = {1, 2,..., n}. Zřejmě Navíc budeme předpokládat, že P k ω, = 1, 2,..., n, k =, 1. P 1 = P +1, = 1, 2,..., n 1. Poznámka. Pokud uvažujeme, že hrance ω je uzavřená, předpokládá se navíc, že P 1 n = P 1, což je častá stuace, např. př obtékání zolovaného proflu. Tato skutečnost však algortmus konstrukce splnu njak faktcky neovlvní, formálně tedy zůstane stejný. 14 j q

15 1 ^ ω ~ ω 1 ~ ω P _ 3 ~ 1_ 3 P P ~ ω +1 ~ 2 P 1 P 1 +1 ω ~ P 1 Obrázek 3.3: aproxmace hrance ω Nyní máme vše přpraveno ke konstrukc aproxmace hrance ω přrozeným kubckým nterpolačním splnem, tuto aproxmac označíme jako ω, vz. obrázek 3.3. Jedná se o aproxmac po částech kubckou, hledáme tedy zobrazení ˆω : [, 1] R 2, = 1, 2,..., n tak, aby ( a x ˆω (s) = s 3 + b x s2 + c x s + ) dx a y s3 + b y s2 + c y s + (3.8) dy ˆω () = P, ˆω (1) = P 1, (3.9) kde a x, b x, c x, d x, a y, by, cy, dy jsou reálné koefcenty, které je třeba specfkovat. K tomu použjeme spojtost dervací. Dostáváme tedy následující podmínky: ˆω (1) = ˆω +1(), = 1, 2,..., n 1, (3.1) ˆω (1) = ˆω +1(), = 1, 2,..., n 1, (3.11) ˆω 1 () =, ˆω n (1) =. (3.12) Podmínky (3.8) (3.11) představují podmínky pro konstrukc kubckého nterpolačního splnu, které s podmínkou (3.12) tvoří podmínky konstrukce přrozeného kubckého nterpolačního splnu. Z (3.8) vdíme, že pro každé zobrazení ˆω, = 1, 2,... n musíme určt 8 koefcentů. Dohromady tedy máme 8n neznámých. Z (3.9) máme celkem 4n podmínek, (3.1) a (3.11) nám dává dvakrát 2n 2 podmínek a zbylé 4 podmínky dostaneme z (3.12). Př konstrukc splnu vyjdeme z klasckého algortmu, nebudeme ho tedy popsovat přílš podrobně, jelkož je obecně znám. Zřejmě můžeme zobrazení ˆω 1, ˆω 2,..., ˆω n konstruovat po složkách. Předpokládejme, že známe momenty splnu M = (ˆω ()) 1, = 2, 3,...n, M 1 = (ˆω 1 ()) 1, M n+1 = (ˆω n (1)) 1. Zřejmě (ˆω ) 1 je lneární funkce na [, 1], = 1, 2,..., n (ˆω (s)) 1 = M + (M +1 M )s = M (1 s) + M +1 s. 15

16 Integrováním dostaneme (ˆω (s)) (1 s) 2 s 2 1 = M + M A, (3.13) (1 s) 3 s 3 (ˆω (s)) 1 = M + M A s + B, (3.14) kde A, B jsou reálné koefcenty, které jednoduše spočítáme z podmínek (3.9) dosazením do (3.14). Zbývá nám určt hodnoty momentů M 2, M 3,...M n, M 1 a M n+1 známe. Z podmínek (3.1) dostaneme dosazením do (3.13) vztahy 1 M M M = (P 1 ) 1 2(P ) 1 + (P = 2, 3,..., n, 1) 1, na základě kterých můžeme sestavt soustavu lneárních rovnc 4 1 M 2 6(P M 3 ) 1 12(P2 ) 1 + 6(P1 ) 1 6(P3 1 ) 1 12(P3 ) 1 + 6(P2 ) = M n 1 6(Pn 1 1 ) 1 12(Pn 1 ) 1 + 6(Pn 2 ) (Pn) (Pn) 1 + 6(Pn 1) 1 M n Matce této soustavy je ostře dagonálně domnantní, z čehož plyne, že je regulární a má tedy právě jedno řešení. Dosazením získaných hodnot do (3.14) určíme tvar funkcí (ˆω 1 ) 1, (ˆω 2 ) 1,...(ˆω n ) 1. Analogcky bychom postupoval u druhých složek zobrazení ˆω 1, ˆω 2,... ˆω n. Aproxmac hrance ω defnujeme jako ω = n ω, =1 kde ω = ˆω ([, 1]), vz. obrázek 3.3. Abychom nyní mohl zkonstruovat křvočaré elementy K 1, K 2,..., K n, zkonstruujeme nejprve množnu E 3 = { P 1 3, P 2 3 } tak, že položíme P 1 3 = ˆω ( 1 3 ) ( ) 2 3 2, P = ˆω, = 1, 2,..., n, 3 pomocí (3.1) najdeme jednoznačně určená kubcká zobrazení F1 3, F 2 3,...,F n 3 a defnujeme K = F 3 ( ˆK), = 1, 2,..., n, kde ˆK je referenční trojúhelník z (3.2) (3.3) pro q = Implementace Výpočet přblžného řešení byl realzován za použtí regulární trangulace, vz. [FFS3], s pomocí po částech kubcké aproxmace, tzn. p = 3 v (2.6). Na prostoru S h := S 3, 1 16

17 uvažujeme báz {φ k } dof k=1, kde dof značí dmenz S h, vz. [Dol6a]. Naše volba vede na blokově dagonální matc v (2.8), (b). Nyní, pokud v (2.8) nahradíme ϕ h := φ k, k = 1, 2,..., dof, získáme soustavu obyčejných dferencálních rovnc. Na výpočet hrančních ntegrálů v (2.7) a (3.7) zavedeme parametrzac hrany Γ j x = x(s) = Q j + s 2 (B j A j ), s [ 1, 1], kde Q j označuje střed a A j, B j koncové body Γ j a obdobně parametrzujeme referenční hranu ˆΓ ˆx = ˆx(s) = ˆQ + s 2 ( ˆB Â), s [ 1, 1], kde ˆQ je střed a  a ˆB jsou koncové body ˆΓ. Nakonec použjeme dvoubodový Gaussův kvadraturní vzorec 1 ( g(s)ds g 1 ) ( ) 1 + g 3, 1 3 který je přesný pro polynomy třetího stupně, vz. [Ueb97]. Objemové ntegrály v (2.7) vypočteme tříbodovým ntegračním vzorcem g(x)dx 1 K 3 K g(q j ), j S() kde K značí plochu K. Stejně spočítáme ntegrály přes referenční trojúhelník ˆK v (3.4) a (3.5). Tento vzorec je přesný pro polynomy druhého stupně, vz. [Ca2]. Soustavy lneárních algebrackých rovnc (2.1) jsou řešeny pomocí terační metody GMRES. 17

18 Kaptola 4 Numercké expermenty Na začátek uvedeme defnce používaných velčn, budeme uvažovat dokonalý plyn, vz. [FFS3]. Zaprvé je to entrope S = c V ln p/p (ρ/ρ ) γ + konst. = c V ln T/T + konst., (ρ/ρ ) γ 1 kde p a ρ jsou pevné hodnoty tlaku respektve hustoty a T = p /(Rρ ). Předpokládáme, že tlak je funkcí hustoty a entrope, tzn. ( ) S p = p(ρ, S) = κρ γ exp, κ = konst. >. Dále defnujeme rychlost zvuku c = c V p ρ a nakonec Machovo číslo M = v c. Říkáme, že proudění je v bodě x a čase t podzvukové, pokud M(x, t) < 1, soncké, pokud M(x, t) = 1 a nadzvukové, pokud M(x, t) > 1. Používáme standardní značení: c p měrná tepelná kapacta př konstantním tlaku, c V měrná tepelná kapacta př konstantním objemu, T termodynamcká teplota a R = c p c V > je molární plynová konstanta. Poznamenejme, že u deálního plynu pokládáme c p a c V za konstantní. Navíc budeme uvažovat adabatcké proudění, př kterém nedochází k přenosu a výměně tepla mez plynem a okolím, vz. [FFS3]. K tomuto uvedeme následující větu, jejíž důkaz je uveden v [FFS3]. Věta 4.1. Př adabatckém proudění nevazkého deálního plynu S = konst. podél trajektore lbovolné částce tekutny, (4.1) p = κρ γ podél trajektore lbovolné částce tekutny, (4.2) kde κ je konstanta závslá na uvažované trajektor. 18

19 Obrázek 4.1: trangulace v okolí přední hrany proflu NACA12, křížky představují body získané pomocí po částech kubcké aproxmace hrance přrozeným splnem, které se použjí pro konstrukc křvočarých elementů Pokud je splněna podmínka (4.1), mluvíme o zentropckém proudění. Jestlže navíc S = konst. v celém objemu systému, proudění se nazývá homoentropcké. Numercké expermenty se týkají podzvukového, homoentropckého proudění nevazkého deálního plynu kolem proflu křídla NACA12 s Machovým číslem M =.5 a úhlem náběhu α = 2. Hledáme staconární řešení Eulerových rovnc pro t, tj. řešení nezávslé na čase. Předvádíme vlv použtí křvočarých elementů a přrozeného splnu pro aproxmac nepolygonální hrance, jak bylo vysvětleno ve třetí kaptole, vz. obrázkek 4.1. V dalším budeme zkráceně psát P 1 aproxmace hrance jako po částech lneární aproxmace hrance, P 3 aproxmace hrance jako po částech kubcká aproxmace hrance, konstruovaná pomocí bodů, ležících na skutečné hranc a S 3 aproxmace hrance jako po částech kubcká aproxmace hrance přrozeným splnem. Obrázky prezentují spočítané výsledky pro Machovo číslo M a entrop S podél proflu křídla NACA12. Použl jsme P 1, P 3 a S 3 aproxmace hrance Ω pro pět trangulačních sítí, od nejhrubší r1 až po nejjemnější r5, vz. obrázek 4.2. Pokud se zaměříme na Machovo číslo M, z výpočtů vdíme, že P 1 aproxmace hrance nám v porovnání s P 3 a S 3 aproxmacem nedává kvaltní řešení, což je zjevné zejména u hrubších sítí, ale u jemnějších je rozdíl znatelný. Pokusíme-l se o srovnání P 3 aproxmace hrance s S 3 aproxmací, výsledky nepotvrzují, že by hladká aproxmace Ω vedla k lepšímu řešení, naopak u jemnějších sítí vdíme, že řešení, získané pomocí S 3 aproxmace hrance, je o něco méně kvaltní. Nyní se zaměříme na entrop S. Srovnání aproxamcí Ω nám poskytuje tabulka 4.1. Z předchozího a z (4.1) víme, že v našem deálním případě je entrope konstantní, v pravém sloupečku tabulky 4.1 by tak byla hodnota. Z tohoto pohledu se jako nejhorší zdá být řešení získané pomocí P 1 aproxmace hrance, což je vdět zejména u jemnějších sítí. Výsledky získané za pomoc P 3 a S 3 aproxmací jsou řádově stejné, ncméně hlavně u jemnějších sítí dává hladká S 3 aproxmace Ω o něco kvaltnější řešení. 19

20 Obrázek 4.2: trangulace v okolí proflu NACA12, nejhrubší r1 (vlevo) a nejjemnější r5 (vpravo) sít aproxmace Ω max S mn S max S mn S P 1 aproxmace Ω 1,9414 1,757 8,66E-2 r1 P 3 aproxmace Ω 1,7216 1,3354 3,86E-2 S 3 aproxmace Ω 1,7144 1,4676 2,47E-2 P 1 aproxmace Ω 1,8164 1,4957 3,21E-2 r2 P 3 aproxmace Ω 1,6138 1,3546 2,59E-2 S 3 aproxmace Ω 1,5628 1,3168 2,46E-2 P 1 aproxmace Ω 1,6986 1,4883 2,1E-2 r3 P 3 aproxmace Ω 1,52 1,4946 5,6E-4 S 3 aproxmace Ω 1,4995 1,4927 6,8E-4 P 1 aproxmace Ω 1,5272 1,498 2,92E-3 r4 P 3 aproxmace Ω 1,58 1,4963 4,5E-4 S 3 aproxmace Ω 1,4987 1,4966 2,1E-4 P 1 aproxmace Ω 1,5176 1,498 1,96E-3 r5 P 3 aproxmace Ω 1,548 1,4964 8,4E-4 S 3 aproxmace Ω 1,4985 1,4963 2,2E-4 Tabulka 4.1: maxs maxmální spočítaná hodnota entrope S a mn S mnmální spočítaná hodnota entrope S na hranc proflu NACA12 pro pět sítí r1 až r5 a P 1, P 3 a S 3 aproxmace hrance 2

21 1.4 gnu.2.6 gnu.1.1 gnu P 1 aproxmace hrance.7 gnu.2.6 gnu.1.1 gnu P 3 aproxmace hrance.8 gnu.2.6 gnu.1.1 gnu S 3 aproxmace hrance Obrázek 4.3: sít r1, Machovo číslo M, rozložení M podél proflu NACA12 (vlevo), zolne (uprostřed) a detal zolní v okolí přední hrany (vpravo) pro P 1, P 3 a S 3 aproxmace hrance 21

22 1.1 gnu.4.6 gnu.3.1 gnu gnu P 1 aproxmace hrance.6 gnu gnu P 3 aproxmace hrance 1.75 gnu.4.6 gnu.3.1 gnu S 3 aproxmace hrance Obrázek 4.4: sít r1, entrope S, rozložení S podél proflu NACA12 (vlevo), zolne (uprostřed) a detal zolní v okolí přední hrany (vpravo) pro P 1, P 3 a S 3 aproxmace hrance 22

23 .9 gnu.2.6 gnu.1.1 gnu P 1 aproxmace hrance.8 gnu.2.6 gnu.1.1 gnu P 3 aproxmace hrance.8 gnu.2.6 gnu.1.1 gnu S 3 aproxmace hrance Obrázek 4.5: sít r2, Machovo číslo M, rozložení M podél proflu NACA12 (vlevo), zolne (uprostřed) a detal zolní v okolí přední hrany (vpravo) pro P 1, P 3 a S 3 aproxmace hrance 23

24 1.85 gnu.4.6 gnu.3.1 gnu P 1 aproxmace hrance 1.65 gnu.4.6 gnu.3.1 gnu P 3 aproxmace hrance 1.6 gnu.4.6 gnu.3.1 gnu S 3 aproxmace hrance Obrázek 4.6: sít r2, entrope S, rozložení S podél proflu NACA12 (vlevo), zolne (uprostřed) a detal zolní v okolí přední hrany (vpravo) pro P 1, P 3 a S 3 aproxmace hrance 24

25 .8 gnu.2.6 gnu.1.1 gnu P 1 aproxmace hrance.8 gnu.2.6 gnu.1.1 gnu P 3 aproxmace hrance.8 gnu.2.6 gnu.1.1 gnu S 3 aproxmace hrance Obrázek 4.7: sít r3, Machovo číslo M, rozložení M podél proflu NACA12 (vlevo), zolne (uprostřed) a detal zolní v okolí přední hrany (vpravo) pro P 1, P 3 a S 3 aproxmace hrance 25

26 1.7 gnu.4.6 gnu.3.1 gnu gnu P 1 aproxmace hrance.6 gnu gnu P 3 aproxmace hrance 1.5 gnu.4.6 gnu.3.1 gnu S 3 aproxmace hrance Obrázek 4.8: sít r3, entrope S, rozložení S podél proflu NACA12 (vlevo), zolne (uprostřed) a detal zolní v okolí přední hrany (vpravo) pro P 1, P 3 a S 3 aproxmace hrance 26

27 .8 gnu.2.6 gnu.1.1 gnu P 1 aproxmace hrance.8 gnu.2.6 gnu.1.1 gnu P 3 aproxmace hrance.8 gnu.2.6 gnu.1.1 gnu S 3 aproxmace hrance Obrázek 4.9: sít r4, Machovo číslo M, rozložení M podél proflu NACA12 (vlevo), zolne (uprostřed) a detal zolní v okolí přední hrany (vpravo) pro P 1, P 3 a S 3 aproxmace hrance 27

28 1.53 gnu.4.6 gnu.3.1 gnu gnu P 1 aproxmace hrance.6 gnu gnu P 3 aproxmace hrance gnu.4.6 gnu.3.1 gnu S 3 aproxmace hrance Obrázek 4.1: sít r4, entrope S, rozložení S podél proflu NACA12 (vlevo), zolne (uprostřed) a detal zolní v okolí přední hrany (vpravo) pro P 1, P 3 a S 3 aproxmace hrance 28

29 .8 gnu.2.6 gnu.1.1 gnu P 1 aproxmace hrance.8 gnu.2.6 gnu.1.1 gnu P 3 aproxmace hrance.8 gnu.2.6 gnu.1.1 gnu S 3 aproxmace hrance Obrázek 4.11: sít r5, Machovo číslo M, rozložení M podél proflu NACA12 (vlevo), zolne (uprostřed) a detal zolní v okolí přední hrany (vpravo) pro P 1, P 3 a S 3 aproxmace hrance 29

30 1.518 gnu.4.6 gnu.3.1 gnu P 1 aproxmace hrance 1.55 gnu.4.6 gnu.3.1 gnu gnu P 3 aproxmace hrance.6 gnu gnu S 3 aproxmace hrance Obrázek 4.12: sít r5, entrope S, rozložení S podél proflu NACA12 (vlevo), zolne (uprostřed) a detal zolní v okolí přední hrany (vpravo) pro P 1, P 3 a S 3 aproxmace hrance 3

31 Kaptola 5 Závěr Používáme sem-mplctní numercké schéma a nespojtou Galerknovu metodu pro řešení Eulerových rovnc, popsujících proudění nevazkých stlačtelných tekutn. Je mplementována po částech kubcká aproxmace na trangulačních sítích. Numercké expermenty, provedené na proflu křídla NACA12, ukazují, že k tomu, abychom docíll dobrého řešení v blízkost nepolygonální hrance, je nezbytné užtí křvočarých elementů. Takové elementy se dají zkonstruovat pomocí polynomálního zobrazení lbovolného řádu, přdáme-l na tuto část hrance odpovídající počet nových uzlů. Co se týče možností aproxmace hrance, hlavním použtým nástrojem je přrozený kubcký nterpolační splne. Nemůžeme však potvrdt, že by se hladkou aproxmací dosáhlo výrazně lepších č horších výsledků v porovnání s aproxmací, která obecně nemá spojté dervace. 31

32 Lteratura [BR97] [Ca2] [DF3] [DF4] F. Bass and S. Rebay. Hgh-order accurate dscontnuous fnte element soluton of the 2D Euler equatons. J. Comput. Phys., 138: , P.G. Carlet. The fnte element method for ellptc problems. Socety for Industral Mathematcs, 22. V. Dolejší and M. Festauer. On the dscontnuous Galerkn method for the numercal soluton of compressble hgh-speed flow. In F. Brezz, A. Buffa, S. Corsaro, and A. Murl, edtors, Numercal Mathematcs and Advanced Applcatons, ENUMATH 21, pages Sprnger-Verlag, Itala, Mlano, 23. V. Dolejší and M. Festauer. A sem-mplct dscontnuous Galerkn fnte element method for the numercal soluton of nvscd compressble flow. Journal of Computatonal Physcs, 198(2): , 24. [Dol6a] V. Dolejší. An effcent mplementaton of the sem-mplct dscontnuous galerkn method for compressble flow smulaton. In J. Chleboun, K. Segeth, and T. Vejchodský, edtors, Programs and Algorthms of Numercal Mathematcs 13, pages Academy of Scence of the Czech Republc, Prague, 26. [Dol6b] V. Dolejší. Dscontnuous Galerkn method for the numercal smulaton of unsteady compressble flow. WSEAS Transactons on Systems, 5(5):183 19, 26. [FFS3] M. Festauer, J. Felcman, and I. Straškraba. Mathematcal and Computatonal Methods for Compressble Flow. Oxford Unversty Press, Oxford, 23. [Ueb97] C.W. Ueberhuber. Numercal computaton: methods, software, and analyss. Sprnger,