MATEMATIKA. Minkowského metoda měření délek, obsahů a povrchů geometrických útvarů

Transkript

1 MATEMATIKA Minkowskéo metoda měření délek, obsaů a povrců geometrickýc útvarů JOSEF POLÁK Fakulta aplikovanýc věd ZČU, Plzeň Článek vycází u příležitosti autorova životnío jubilea Problém měření délek, obsaů a objemů geometrickýc útvarů istoricky vznikl z praktickýc potřeb lidské populace, jejic měření bylo jednou z prvníc matematickýc činností lidí. Pojmy délka úsečky, délka oblouku křivky, obsa rovinnéo obrazce a objem tělesa vznikly již ve starověké matematice (Eudoxos, Eukleides, Arcimedes) a postupně byly precizovány. V 19. století k jejic precizaci značně přispěli zejména francouzský matematik Camille Jordan ( ) a italský matematik Giuseppe Peano ( ). Na konci 19. století a počátku 20. století pak především dva francouzští matematici Émile Borel ( ) a Henri Lebesgue ( ) měli zásadní zásluu na vybudování exaktní teorie míry geometrickýc útvarů a jejím zobecnění v abstraktní teorii míry množin (nejen geometrickýc). Pro moderní matematiku ve 20. a 21. století je carakteristické, že se zabývá měřitelnými strukturami, v nicž je míra pojímána jako množinová funkce jistýc vlastností, jež jsou zobecněním vlastností míry geometrickýc útvarů (množin bodů). Míra geometrickéo útvaru je společný název pro délku útvaru na přímce či křivce, pro obsa útvaru v rovině či na ploše, pro objem útvaru v prostoru. Obecně se pojem míra útvaru zavádí axiomaticky takto [1]: Matematika fyzika informatika

2 Necť je dán množinový systém M útvarů v takovém prostoru P, ve kterém jsou definovány pojmy sodnost útvarů, vnitřní a raniční bod útvaru. Mírou útvarů ze systému M nazýváme funkci m, která má tyto vlastnosti: 1. Každému útvaru X M přiřazuje číslo m(x) Každým dvěma sodným útvarům X, Y (X = Y) přiřazuje totéž číslo m(x) = m(y). 3. (Aditivita míry m) Každým dvěma útvarům X, Y, které nemají společný vnitřní bod, přiřazuje taková čísla m(x), m(y), že m(x Y) = m(x) + m(y). 4. Alespoň jednomu útvaru E M je přiřazeno číslo m (E) = 1. Konkrétní modely míry geometrickýc útvarů užívané ve školské geometrii byly vytvořeny již starořeckým matematikem Arcimedem ze Syrakus a v moderním pojetí zejména francouzským matematikem C. Jordanem (v r. 1892). O této tzv. Jordanově míře a jejím užití v elementární geometrii a v matematické analýze pojednává podrobně řada našic knižníc publikací (viz např. [2] a [3]). Omezené útvary, jimž přísluší nezáporná Jordanova míra, se nazývají jordanovsky měřitelné; rovinné útvary s kladnou mírou se nazývají ve školské geometrii obrazce, prostorové útvary s kladnou mírou jsou tělesa. Další pro středoškolskou geometrii významnou alternativní metodou určování délek a obsaů geometrickýc útvarů je tzv. Minkowskéo metoda. Její základní idea má původ v pracíc německýc matematiků Carla Wilelma Borcardta ( ) a Hermanna Minkowskéo ( ). Zásadní vliv na praktické uplatnění této metody ve výuce středoškolské geometrie měl pak francouzský matematik Henri Lebesgue, který ji zarnul do svýc přednášek o měření geometrickýc veličin pro studenty učitelství matematiky a do statí publikovanýc v letec ve švýcarském časopise L Enseignement matématique ( Vyučování matematice ). Později vyšly souborně v knižním vydání rusky a francouzsky [4]. U nás byla Minkowskéo metoda systematicky použita v závěrečnýc partiíc středoškolské učebnice geometrie Jana Vyšína a kol. z r [5]. Zpracování těcto partií bylo originální na základě využití matematickéo aparátu limit posloupností a velmi přesné, ale pro žáky značně náročné. Obecnější poled na problematiku měření útvarů v geometrii (včetně Minkowskéo metody) obsaovala polská publikace pro učitele matematiky z r [6]. O možnosti využití základní (přibližné) ideje Minkowskéo metody 322 Matematika fyzika informatika

3 v geometrii na základní škole se zmiňovala metodická publikace našic autorů Karla Hruši a Jana Vyšína z r Zajímavou stať o definici délky oblouku rovinné křivky v Minkowskéo pojetí obsauje pátý svazek ruské Encyklopedie elementární matematiky z r [7] v jedné z kapitol o měření geometrickýc útvarů v rovině a v prostoru. Pozoruodné je, že v ruskýc středoškolskýc učebnicíc geometrie (zejména pro třídy s rozšířenou výukou matematiky) od šedesátýc let minuléo století až do současnosti je zcela obvyklé užití Minkowskéo metody ve stereometrii s uplatněním pojmu limity funkce, viz např. učebnice [8] a [9]. Naše literatura postrádá obecný výklad Minkowskéo metody a jejío užití v elementární geometrii. Cílem předloženéo článku je stručné vysvětlení matematickýc základů Minkowskéo metody a uvedení jednoducýc příkladů použitelnýc ve středoškolské geometrii, resp. v geometrickýc aplikacíc matematické analýzy. Idea Minkowskéo metody Základní idea Minkowskéo metody definování a výpočtu délek křivek v rovině a obsaů ploc, speciálně povrců těles v prostoru, je velmi jednoducá a názorná. Vycází se z reálnýc (motnýc) modelů uvažovanýc geometrickýc útvarů (křivek, ploc). Rovinná křivka se modeluje jako stopa (tvaru proužku) vytvořená rotem tužky, pera či rýsovacíc prostředků. Vydělením obsau tooto proužku jeo šířkou se dostane přibližně délka modelované křivky. Ploca v prostoru, speciálně ranice tělesa se modeluje tenkou vrstvou látky, např. alobalu. Vydělíme-li objem této vrstvy její tloušťkou, dostaneme přibližně obsa vymodelované plocy. Přesnost výpočtu v obou případec bude tím větší, čím je menší tloušťka modelu. Matematické vyjádření Minkowskéo metody, definiční vzorce K matematickému vyjádření Minkowskéo metody určení (definice a výpočtu) délky rovinné křivky a obsau plocy v prostoru se zavádí pojem -obalu rovinné křivky a -obalu plocy v prostoru (pro > 0): Definice 1 -obalem rovinné křivky k nazýváme množinu M všec bodů X roviny, z nicž pro každý existuje takový bod Y k, že platí XY. Je tvořen všemi body kruů se středy na dané rovinné křivce k a s poloměry rovnými danému číslu > 0. Matematika fyzika informatika

4 Poznámka. -obal rovinné křivky k je uzávěr jejío -okolí v rovině. Definice 2 -obalem plocy F v prostoru nazýváme množinu M všec bodů X prostoru, z nicž pro každý existuje takový bod Y F, že platí XY. Je tvořen všemi body koulí se středy na dané ploše F a s poloměry rovnými danému číslu > 0. Poznámka. -obal plocy F v prostoru je uzávěr jejío -okolí v prostoru. Užitím těcto pojmů se definuje délka oblouku rovinné křivky k a obsa plocy F v prostoru podle Minkowskéo takto: Definice 3 Délkou d oblouku rovinné křivky k podle Minkowskéo nazýváme konečnou limitu podílu obsau (dvojrozměrné Jordanovy míry) S jejío -obalu a čísla 2 pro 0+, pokud tato limita existuje a je kladná: S d = lim (1) Speciálně délkou uzavřené rovinné křivky k neboli obvodem o rovinnéo obrazce O, jeož je křivka k ranicí, podle Minkowskéo nazýváme za obdobnýc předpokladů limitu: S o = lim (1a) Označíme-li S + obsa vnější části -obalu křivky k a S obsa vnitřní části -obalu křivky k, pak za obdobnýc předpokladů platí: S + o = lim 0+, S o = lim 0+. (1b) (1c) Definice 4 Obsaem S plocy F v prostoru podle Minkowskéo nazýváme konečnou limitu podílu objemu (trojrozměrné Jordanovy míry) V jejío -obalu a čísla 2 pro 0+, pokud tato limita existuje a je kladná: V (2) 324 Matematika fyzika informatika

5 Speciálně pro uzavřenou plocu F, která je ranicí tělesa T, představuje S povrc tělesa. Označíme-li V + objem vnější části -obalu plocy F a V objem vnitřní části jejío -obalu, pak za obdobnýc předpokladů platí: V + 0+, (2a) V 0+. (2b) Definice 3 a 4 jsou teoreticky použitelné vždy za uvedenýc předpokladů. Jejic praktické použití k výpočtu délek oblouků rovinnýc křivek a obsaů ploc v prostoru je ovšem omezené jen na případy, kdy dovedeme vypočítat příslušné obsay, resp. objemy jejic -obalů. Příklady užití Minkowskéo metody v elementární geometrii a) Výpočet délky rovinné křivky Délku d oblouku AB rovinné křivky k podle Minkowwskéo můžeme vypočítat užitím vzorce (1), jestliže dovedeme určit obsa S -obalu oblouku AB (obr. 1). Jako nejjednodušší uvedeme nejprve ilustrativní příklad délky d úsečky AB. A d B Obr. 1 Příklad 1 Prověřte, že Minkowskéo metodou dostáváme jako délku d libovolné úsečky AB její standardní délku AB. Řešení: -obal úsečky AB (obr. 2) má obsa S = AB 2 + π 2 (kde AB je délka úsečky jako vzdálenost bodů A, B), a tedy podle vzorce (1) pro její délku d podle Minkowskéo platí: S d = lim ( AB 0+ 2 = lim + π ) 0+ 2 = AB. Matematika fyzika informatika

6 A d B 2 Obr. 2 Prakticky významné příklady užití Minkowskéo metody představují odvození vzorců pro délku kružnice (obvod kruu) a délku kruovéo oblouku. Příklad 2 Odvoďte užitím Minkowskéo metody vzorec pro délku kružnice k (obvod kruu) o poloměru r. r r + r Obr. 3 Řešení: Označme S(r) obsa kruu o poloměru r, tj. S(r) = πr 2. Na obr. 3 je -okolí kružnice k mezikruží o obsau S = S(r + ) S(r ) = 4πr, takže podle vzorce (1a) má kružnice délku S(r + ) S(r ) o = lim = 2πr Matematika fyzika informatika

7 Poznámka. Odvodili jsme takto, že obvod o kruu o proměnném poloměru r je tzv. symetrickou derivací jeo obsau S(r) = πr 2, o(r) = S s(r). Užitím vzorců (1b), (1c) obdobně dostáváme: S(r + ) S(r) S(r) S(r ) o = lim = 2πr, o = lim = 2πr Prvním z těcto vztaů je obvod o kruu pro proměnný poloměr r vyjádřen jako derivace zprava jeo obsau S(r) = πr 2 a druým je vyjádřen jako jeo derivace zleva. Protože platí S +(r) = S (r) = 2πr, plyne odtud, že symetrická derivace funkce S(r) = πr 2 je rovna její derivaci: S s(r) = S (r) = 2πr. Zároveň zdůrazněme, že všecny tyto vztay nejsou žádnou invariantní vlastností uvažovanéo obrazce (kruu) a jeo ranice (kružnice), neboť platí pouze, když za funkční proměnnou zvolíme poloměr r (nikoliv např. průměr d). Příklad 3 Odvoďte užitím Minkowskéo metody vzorec pro délku oblouku kružnice o poloměru r příslušnéo k jejímu středovému úlu ASB o velikosti x v obloukové míře. Řešení: Příslušná kruová výseč má obsa S v (r) = πr 2 x 2π = 1 2 r2 x, takže -obal uvažovanéo oblouku kružnice má obsa S = 1 2[ (r + ) 2 (r ) 2] x + π 2 = 2rx + π 2. Ze vzorce (1) pak pro délku tooto oblouku podle Minkowskéo dostáváme: S d = lim 0+ 2 = lim ( π rx ) = rx. Příklad 4 Odvoďte Minkowskéo metodou vzorec pro obvod konvexnío mnooúelníku. Řešení: Uvažujme libovolný konvexní n-úelník A 1 A 2... A n se stranami délek a 1, a 2,..., a n. Sestrojíme rovinné -okolí jeo ranice (obr. 4 pro konvexní pětiúelník), jeož vnější část má obsa S + = (a 1 + a a n ) + π 2. Matematika fyzika informatika

8 Ze vzorce (1b) pak pro jeo obvod o plyne: S + o = lim 0+ = lim 0+ (a 1 + a a n + π) = a 1 + a a n. A 4 A 3 A 5 A 2 A 1 Obr. 4 Poznámka. Lze dokázat (viz [7]), že pro všecny jednoducé oblouky křivek scopné rektifikace, tj. mající konečnou délku definovanou jako limita posloupnosti vepsanýc lomenýc čar, je tato délka rovna jeo délce podle Minkowskéo definice. Příklad 5 Odvoďte, jaký platí speciálně vzta mezi obsaem S a obvodem o konvexnío mnooúelníku, jemuž lze vepsat kružnici k (tzv. tečnovéo mnooúelníku). Řešení: Označme O střed kružnice k vepsané tečnovému n-úelníku A 1 A 2... A n, ϱ její poloměr a P 1, P 2,..., P n dotykové body kružnice k se stranami tooto n-úelníku o délkác a 1, a 2,..., a n (obr. 5 pro n = 4). Dále označme α 1, α 2,..., α n jeo vnitřní úly při vrcolec A 1, A 2,..., A n. 328 Matematika fyzika informatika

9 A 4 P 4 P 3 ϱ ϱ α 3 2 A 3 0 α 3 2 A 1 α 1 2 α 1 2 ϱ ϱ P 2 P 1 Obr. 5 A 2 Z rozkladu trojúelníků A 1 A 2 O,..., A n A 1 O na pravoúlé trojúelníky A 1 P 1 O a A 2 P 1 O,..., A n P n O a A 1 P n O plyne (obr. 5), že čili..., čili Označíme-li a 1 = ϱ cotg α ϱ cotg α 2 2 a 1 = c 1 ϱ, kde c 1 = cotg α cotg α 2 2, a n = c n ϱ, c = c 1 + c c n = 2 a n = ϱ cotg α n 2 + ϱ cotg α 1 2 kde c n = cotg α n 2 + cotg α 1 2. ( cotg α cotg α cotg α ) n, 2 Matematika fyzika informatika

10 dostáváme, že pro obvod a obsa tečnovéo n-úelníku platí o = a 1 + a a n = cϱ, S = 1 2 a 1ϱ a 2ϱ a nϱ = 1 2 cϱ2. Pro funkce o(ϱ) = cϱ a S(ϱ) = 1 2 cϱ2 plyne jako triviální důsledek, že S (ϱ) = o(ϱ), tj. pro tečnový mnooúelník o poloměru vepsané kružnice ϱ platí, že derivace jeo obsau S podle ϱ je rovna jeo obvodu o. Poznámka. Speciálně odvozené vztay o = cϱ a S = 1 2 cϱ2 platí pro libovolný trojúelník, kde c = 2 ( cotg α 2 + cotg β 2 + cotg γ 2 ) a pro každý pravidelný mnooúelník (kde např. pro rovnostranný trojúelník je c = 6 3, pro čtverec c = 8, atd.). b) Výpočet obsau plocy v prostoru, speciálně povrcu tělesa Obsa S plocy F v prostoru podle Minkowskéo můžeme vypočítat pomocí vzorce (2), jestliže dovedeme určit objem jejío -obalu. Příklad 6 Ověřte, že pro libovolný konvexní mnooúelník v prostoru obsa S určený podle Minkowskéo metody je týž jako jeo rovinný obsa S p. Řešení: -obal uvažovanéo n-úelníku v prostoru má objem, který opět snadno vypočteme: V = S p (a 1 + a a n )π π3, kde S p je jeo rovinný obsa, a 1, a 2,..., a n jsou délky jeo stran. Jeo obsa S podle Minkowskéo určíme užitím vzorce (2): V [S 0+ 2 = lim p + 14 (a 1 + a a n )π + 23 ] 0+ π2 = S p. Zvláště významná a prakticky užívaná je Minkowskéo metoda při definování a výpočtu povrcu těles. Pokud se ranice těles skládá z jednoducýc rovinnýc obrazců jako u mnoostěnů či ji lze rozvinout do roviny jako u rotačnío válce nebo rotačnío kužele, výpočet povrcu tělesa je velmi jednoducý. Povrc tělesa v takovém případě je rovný součtu obsaů rovinnýc obrazců, z nicž se skládá ranice tělesa. U těles, jejicž ranici nelze rozvinout do roviny, jako jsou např. koule a její části, je nutné definovat, co se obecně rozumí povrcem tělesa. Nabízí se postupovat při této definici obdobně jako při definování délky oblouku křivky 330 Matematika fyzika informatika

11 jako limity posloupnosti vepsanýc lomenýc čar složenýc z n úseček pro n. Avšak již v r zveřejnil německý matematik H. A. Scwarz ( ) článek, ve kterém ukázal, že povrcy oblýc těles nelze bez doplňujícíc podmínek definovat jako limity posloupností povrců vepsanýc n-stěnů pro n. Poznámka. Označíme-li δ n maximální rozměr stěn vepsanéo n-stěnu (tj. největší vzdálenost mezi dvěma body na jeo stěnác), pak jako doplňkovou podmínku pro zvolenou posloupnost povrců vepsanýc n-stěnů a n je nutné klást δ n 0. Praktické užití Minkowskéo metody je možné jen tedy, když dovedeme vypočítat (elementárně či užitím integrálnío počtu) objem -obalu ranice tělesa. Z didaktickéo lediska ovšem výodu Minkowskéo metody určování (definice a výpočtu) povrcu těles představuje skutečnost, že je univerzální pro všecna tělesa (mnoostěny a rotační tělesa) ve středoškolské geometrii. Příklad 7 Odvoďte užitím Minkowskéo metody vzorec pro povrc koule K o poloměru r. Řešení: Označme V (r) objem koule o poloměru r, tj. V (r) = 4 3 πr3. Z prostorové analogie obr. 3 je zřejmé, že -okolí koule K má objem V = V (r + ) V (r ) = 8 3 π(3r2 + 2 ) a podle vzorce (2) má proto koule povrc V (r + ) V (r ) = 4πr Poznámka. Odvodili jsme takto užitím vzorce (2), že povrc S koule o poloměru r je symetrickou derivací jejío objemu V (r) = 4 3 πr3 : S(r) = V s (r). Užitím vzorců (2a), (2b) obdobně dostáváme: V (r + ) V (r) = 4πr 2 V (r) V (r ), = 4πr Prvním z těcto vztaů je povrc S koule o proměnném poloměru r vyjádřen jako derivace zprava jejío objemu V (r) = 4 3 πr3 a druým je Matematika fyzika informatika

12 vyjádřen jako jeo derivace zleva. Protože podle těcto vztaů pro ně platí V +(r) = V (r) = 4πr 2, plyne odtud, že symetrická derivace funkce V (r) = 4 3 πr3 je rovna její derivaci, tj. V s (r) = V (r) = 4πr 2. Zároveň opět zdůrazněme, že tyto vztay nejsou invariantní vlastností uvažovanéo tělesa (koule) a jeo ranice (koulové plocy), neboť platí pouze, když za funkční proměnnou se zvolí jejic poloměr r (nikoliv např. průměr d). Příklad 8 Užitím Minkowskéo metody odvoďte vzorec pro povrc rotačnío válce o poloměru podstavy r a výšce v. r r v v Obr. 6 Řešení: -okolí ranice válce je znázorněno na obr. 6. Výpočet jeo objemu V a objemu jeo vnější části V + je obtížnější, objem jeo vnitřní části však vypočteme jednoduše jako rozdíl objemů dvou rotačníc válců: V V = πr2 v π(r ) 2 (v 2) = π(2rv + 2r 2 v 4r ). Podle vzorce (2b) pro povrc danéo rotačnío válce platí: V 0+ = lim 0+ π(2rv + 2r2 v 4r ) = 2πrv + 2πr Matematika fyzika informatika

13 Příklad 9 Odvoďte Minkowskéo metodou vzorec pro povrc S konvexnío mnoostěnu. Řešení: Uvažujme libovolný konvexní s-stěn se stěnami o obsazíc S 1, S 2,..., S s. Pro vnější část objemu -obalu jeo ranice lze odvodit vzta V + = (S 1 + S S s ) C π3, kde C je konstanta rovná součtu součinů délek ran mnoostěnu a velikostí příslušnýc vnějšíc úlů. (Přitom vnějším úlem příslušným k raně se rozumí úel sevřený vnějšími normálami ke stěnám, jež mají společnou tuto ranu.) Povrc S mnoostěnu vypočteme užitím vzorce (2a): V + 0+ ( 1 + S S s + 12 C + 43 ) 0+ π2 = = S 1 + S S s. Příklad 10 Odvoďte, jaký platí vzta speciálně mezi objemem V a povrcem S konvexnío mnoostěnu, jemuž lze vepsat kouli K (tzv. tečnéo mnoostěnu). Řešení: Označme O střed vepsané koule K a ϱ její poloměr. Pomocí stejnolelosti se středem O a koeficientem stejnolelosti ϱ dostáváme, že pro obsay všec stěn tečnovéo mnoostěnu platí S i = c i ϱ 2 (i = 1, 2,..., s). Odtud plyne pro jeo povrc vzta čili S = S 1 + S S s = (c 1 + c c s )ϱ 2, S = cϱ 2 (kde c = c 1 + c c s ). Jeo objem vypočteme jako součet objemů s jelanů o obsazíc podstav S i a výšce ϱ (s lavním vrcolem O): V = V 1 + V V s = = 1 3 S 1ϱ S 2ϱ S sϱ = 1 3 (S 1 + S S s )ϱ = 1 3 Sϱ čili V = 1 3 cϱ3. Matematika fyzika informatika

14 Pro funkce S(ϱ) = cϱ 2 a V (ϱ) = 1 3 cϱ3 plyne jako triviální důsledek, že V (ϱ) = S(ϱ), tj. pro tečný mnoostěn o poloměru vepsané koule ϱ je derivace jeo objemu podle ϱ rovna jeo povrcu S. Poznámka. Speciálně vztay odvozené v příkladu 10 platí pro všecny pravidelné mnoostěny. Příklad 11 Anuloid vzniklý rotací kruu o poloměru r kolem osy o ve vzdálenosti R od středu kruu má objem V = πr 2 2πR = 2π 2 Rr 2. Určete užitím Minkowskéo metody vzorec pro povrc S anuloidu. Řešení: Uvažujeme objem -obalu anuloidu jako funkci proměnné r: V = V (r + ) V (r ) = 2πr 2πR 2 a ze vzorce (2) pak pro povrc anuloidu dostáváme: V 0+ 2 = lim V (r + ) V (r ) = 2πr 2πR = 4π 2 Rr Poznámka. Odvození vzorce pro povrc anuloidu lze provést též užitím vzorců (2a), (2b) a vyslovit obdobné závěry jako v poznámce k příkladu 7. L i t e r a t u r a [1] Sedláček, J. a kol.: Slovník školské matematiky. SPN, Praa [2] Vyšín, J. a kol.: Geometrie pro pedagogické fakulty. I. díl. SPN, Praa Geometria pre pedagogické fakulty. II. diel. SPN, Bratislava [3] Scwabik, Š. Šarmanová, P.: Malý průvodce istorií integrálu. (Dějiny matematiky, sv. 6.) Prometeus, Praa [4] Lebesgue, H.: La mesure des grandeurs. Institut de Matématiques Université, Genéve (Ruský překlad: Ob izmerenii veličin. 2. vyd. GUPI, Moskva 1960.) [5] Vyšín, J. a kol.: Geometrie pro jedenáctý postupný ročník. SPN, Praa [6] Moszner, Z.: O mierzeniu w matematyce. PZWS, Warszawa [7] Boltjanskij, V. G. Jaglom, I. M. (red.): Enciklopedija elementarnoj matěmatiki. Kniga 5 Geometrija. Nauka, Moskva [8] Pogorelov, A. V.: Geometrija dlja 6 10 klassov sredněj školy. Prosveščenije, Moskva (5. vydání.) [9] Kalinin, A. J. Těrešin, D. A.: Stereometrija dlja 11 klassa. Eksperimentalnyj učebnik dlja škol s uglublennym izučenijem matěmatiki. Izdatělstvo MFTI, Moskva Matematika fyzika informatika