Donald E. Knuth. Umění programování 1. díl, Základní algoritmy

Transkript

1

2 Donald E. Knuth Umění programování 1. díl, Záladní algoritmy Computer Press, a.s. Brno 2008

3 Umění programování 1. díl, Záladní algoritmy Donald E. Knuth Computer Press, a.s., Vydání první. Přelad: David Krásensý Odborná oretura: Pavel Töpfer, Jan Kučera Jazyová oretura: Alena Láníčová Vnitřní úprava: Petr Soja Sazba: Petr Soja Rejstří: David Krásensý, Petr Soja Obála: Ivana Mitáčová Komentář na zadní straně obály: Rade Hylmar Technicá spolupráce: Jiří Matouše, Petr Soja, David Krásensý, Jiří Rybiča, Petr Klíma Odpovědný redator: Rade Hylmar Technicý redator: Jiří Matouše Produce: Daniela Nečasová Authorized translation from the English language edition, entitled THE ART OF COMPUTER PROGRAMMING, VOLUME 1: FUNDAMENTAL ALGORITHMS, 3rd EDITION, by KNUTH, DONALD E., published by Pearson Education, Inc, publishing as Addison Wesley Professional, Copyright 1997 Addison Wesley. All rights reserved. No part of this boo may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage retrieval system, without permission from Pearson Education, Inc. CZECH language edition published by COMPUTER PRESS, A.S., Copyright Autorizovaný přelad z originálního anglicého vydání The Art of Computer Programing, Volume 1: Fundamental Algorithms, 3rd Edition. Originální copyright: Addison Wesley, Přelad: Computer Press, a.s., Computer Press, a. s., Holandsá 8, Brno Objednávy nih: distribuce@cpress.cz tel.: ISBN Prodejní ód: K1463 Vydalo naladatelství Computer Press, a. s., jao svou publiaci. Computer Press, a.s. Všechna práva vyhrazena. Žádná část této publiace nesmí být opírována a rozmnožována za účelem rozšiřování v jaéoli formě či jaýmoli způsobem bez písemného souhlasu vydavatele.

4 Tuto sérii nih s lásou a vzpomínami věnuji počítači Typu 650, terý byl dysi instalován na Case Institute of Technology a se terým jsem prožil mnoho nezapomenutelných večerů.

5

6 PŘEDMLUVA Tady je níža, o jejíž vydání jste nás žádali v tisících dopisů. Její sestavení nám trvalo mnoho let, dy jsme prověřovali bezpočet různých receptů a vybírali z nich jen ty nejlepší, ty nejzajímavější a ty nejdoonalejší. Nyní se můžeme bez jediného stínu pochybnosti zaručit za jeden aždý z nich: budete-li se doslova držet předepsaných postupů, dosáhnete přesně stejného výsledu jao my, přestože jste třeba nidy dosud nevařili. McCallova uchařa (1963 Proces přípravy programů pro číslicové počítače je zvláště zajímavý, a to nejen pro své eonomicé a vědecé přínosy, ale taé pro své esteticé strány, díy nimž se podobá sládání veršů nebo hudby. Tato niha je prvním z něolia svazů, ve terých čtenář pozná různé dovednosti zdatného programátora. Následující apitoly nejsou ovšem pojaty jao úvod do programování počítačů; předpoládáme, že již čtenář v tomto smyslu jisté zušenosti má. Požadavy e studiu nihy jsou faticy velmi jednoduché, ale začáteční musí věnovat jistou práci a čas záladnímu seznámení s číslicovým počítačem. Čtenář tétonihybyměl: a Mít nějaou představu o práci číslicového počítače s uloženým programem; není nutné znát jeho eletroniu, ale spíše vědět, ja se instruce uládají do paměti počítače a následně vyonávají. b Být schopen převést řešení problémů do natoli explicitních pojmů, že jim doáže porozumět ipočítač.(počítačetotižnemajížádný zdravýrozum ; udělajípřesněto,cojimřeneme,nicméněanicvíce.tentoprincipjepři prvním setání s počítačem nejobtížnější. c Mít alespoň nějaé znalosti záladních počítačových techni, jao je tvorba cylů(opaované provádění jisté množiny instrucí, volání podprogramů a práce s indexovanými proměnnými. d Znátalespoňtrochupočítačovouhantýru vědět,coje paměť, registry, bity, pohyblivářádováčára, přetečení, software.květšině výrazů, teré nejsou definovány přímo v textu, je uvedena stručná definice v rejstříu na onci svazu. Tyto čtyři předpolady bychom možná mohli shrnout do jediného požadavu, asicežečtenářjižnapsalaotestovaldejmetomunejméněčtyřiprogramypro nejméně jeden počítač.

7 vi PŘEDMLUVA Celou tuto sérii nih se snažím psát ta, aby sloužila něolia účelům. Knihy jsou především referenčními publiacemi, teré shrnují poznaty z něolia důležitých oblastí. Knihy je taé možné využít jao učebnice samostatnému studiu nebo pro vysoošolsé ursy počítačů a informatiy. Pro splnění obou těchto cílů jsem do textu začlenil velé množství cvičení a většinu z nich jsem doplnil i o odpovědi. Mojí snahou bylo taé zaplnit strány faty, a nioli vágním, obecným výladem. Série nih je určena pro čtenáře, teří se budou o počítače zajímat hlouběji, nemusí to ale nutně být počítačoví specialisté. Jedním z mých hlavních cílů bylo sutečně zpřístupnit tyto techniy programování i lidem, teří pracují v jiných oblastech a mohou počítače vhodně využít, ale teří na druhé straně nemají čas hledat všechny potřebné informace v různých odborných časopisech. Tématěchtonihbychommohlioznačitjao nenumericouanalýzu.počítače bývaly tradičně spojovány s řešením různých numericých problémů, jao je výpočet ořenů rovnice, numericé interpolace a integrace atd., ale podobným tématům se zde nija do hlouby nevěnujeme. Numericé programování počítačů je velice zajímavou a rychle se rozvíjející oblastí poznání a je mu věnována celá řada nih. Od začátu 60. let 20. století se ale počítače stále častěji používají ipřiřešeníproblémů,vnichž sesčíslypracuje téměřjen náhodou;zde již nevyužíváme schopnosti počítačů provádět aritmeticé výpočty, ale schopnosti jejich rozhodování. Sčítání a odčítání i v těchto nenumericých oblastech přece jen využijeme, násobení a dělení již méně. Samozřejmě že i člově, terý se zajímá především o numericé programování počítačů, využije znalostí nenumericých techni, protože ty jsou zde uvedeny na pozadí numericých programů. Výsledy výzumů v oblasti nenumericé analýzy najdete v různých odborných časopisech. Mojí snahou bylo vyhledat v této rozsáhlé literatuře ty nejzáladnější techniy, teré se při programování dají uplatnit v mnoha různých situacích.pousiljsemsetytomyšlenysjednotitdojaési teorie,alezároveň jsem se pousil uázat i její apliaci na různé praticé problémy. Nenumericáanalýza jeprotentooborsamozřejměneobyčejněnelichotivým názvem; mnohem vhodnější je charaterizovat jej pomocí výstižného pozitivníhooznačení.pojem zpracováníinformací jeprouvažovanoupubliaci přílišširoýa techniyprogramování jsoujaopojemnaopapřílišúzé.rád bych proto navrhl, aby se témata probíraná v těchto nihách označovala jao analýza algoritmů. Tento název by měl mít význam: teorie vlastností určitých počítačovýchalgoritmů. Celá série nih označená titulem Umění programování je vytvořena podle následující obecné osnovy: Svaze 1. Záladní algoritmy Kapitola 1. Záladní principy Kapitola 2. Informační strutury Svaze 2. Seminumericé algoritmy Kapitola 3. Náhodná čísla

8 PŘEDMLUVA vii Kapitola 4. Aritmetia Svaze 3. Řazení a vyhledávání Kapitola 5. Řazení Kapitola 6. Vyhledávání Svaze 4. Kombinatoricé algoritmy Kapitola 7. Kombinatoricé vyhledávání Kapitola 8. Reurze Svaze 5. Syntaticé algoritmy Kapitola 9. Lexiální prohledávání Kapitola 10. Lexiální analýza Svaze 4 hovoří o ta rozsáhlém tématu, že jej ve sutečnosti tvoří tři samostatné nihy (svazy 4A, AB a 4C. Připravuji taé dva další svazy na speciální témata: Svaze 6, Teorie jazyů(kapitola 11 a Svaze 7, Kompilátory (Kapitola12. Knihusuvedenýmiapitolamijsemzačalpsátvroce1962,atovjediném svazu, ale brzy jsem zjistil, že bude lépe se věnovat jednotlivým tématům do hlouby, než je jen přelétnout po povrchu. Výsledný rozsah textu znamená, že jedna aždá z apitol obsahuje víc než dost materiálu pro celý semestrální urs na vysoé šole; má proto smysl vydat celou sérii v něolia svazcích. Vím,žejeneobvylémítvcelénizejendvěapitoly,alerozhodljsemsepro zachování původního číslování apitol, a tím pádem pro snazší řížové odazy. Plánuji taé zrácenou verzi svazů 1 až 5, terá by měla sloužit jao obecnější reference a/nebo jao studijní materiál pro počítačové ursy řádného studia; jejím obsahem bude podmnožina materiálů z celé série a speciální informace budou vynechány. I ve zrácené verzi bude zachováno stejné číslování apitol jao v ompletním díle. Tentosvazemůžetepovažovatzajaýsi průni celésérie,protožeobsahuje záladní materiál, terý se používá v dalších svazcích. Zbývající svazy 2až5seoprotitomudajíčístnezávislenasobě.Svaze1jenejenreferenční příručou pro studium ostatních svazů, ale zároveň může sloužit pro studijní ursy nebo pro samostatné studium tématu datových strutur(tím zdůrazňujeme látu apitoly 2 nebo jao text z disrétní matematiy(de zdůrazňujeme látu apitol 1.1, 1.2, a nebo jao výlad tématu programování ve strojovém jazyce(tentorát lademe důraz na apitoly 1.3 a 1.4. Při psaní těchto apitol jsem zvolil jiný přístup, než jaý přebírá většina současných nih o programování počítačů: nepoouším se naučit čtenáře pracovat se softwarem něoho jiného. Namísto toho chci, aby se naučil sám psát lepší software. Mým původním cílem bylo přivést čtenáře hranicím poznatů ve všech rozebíraných tématech. Držet ro s oborem, terý je eonomicy ta zisový, je ale neobyčejně těžé, a vzhledem rychlému rozmachu informatiy je tento sen doslova nemožný. Tento obor se stal pestrou mozaiou, do jejíchž desetitisíců

9 viii PŘEDMLUVA amínů přispěly svými drobnými výsledy desetitisíce lidí po celém světě. Vzal jsemsiprotonovýcíl:soustředitsena lasicé techniy,terébudoudůležité izaněolidesítelet,apopsatjeta,janejlépeumím.zejménajsemse pousil sledovat historii aždého z témat a tím vytvořit pevné zálady pro budoucí poro. Pousil jsem se volit taovou terminologii, terá je stručná a je v souladu se současným stavem. A pousil jsem se do textu zahrnout všechny známé myšleny o programování sevenčních počítačů, teré jsou rásné a dají se snadno vyslovit. Nyní je na místě něoli slov matematicému obsahu celé série nih. Láta je uspořádána taovým způsobem, že ji doáže strávit aždý čtenář se znalostmi středošolsé algebry (snad jen přesočí něteré náročnější části; matematicy zdatný čtenář se zde dozví spoustu zajímavých matematicých postupů souvisejících s disrétní matematiou. Této dvojí úrovně výladu jsem dosáhl jedna ohodnocením aždého ze cvičení, mezi nimiž jsou zvlášť vyznačena cvičení matematicého charateru, a taé díy uspořádání většiny částí, dy jsou nejdůležitější matematicé výsledy uvedeny před příslušným důazem. Vlastní důazy jsou buďto ponechány jao cvičení(odpovědi jsou shrnuty do samostatné části textu, nebo jsou uvedeny na onci výladu. Čtenář, terého zajímá spíše programování než matematia, může po dosažení obtížnějších částí matematicého výladu zbyte příslušné části přesočit. Na druhé straně matematicy orientovaný čtenář zde najde množství zajímavého materiálu. Významná část publiovaných matematicých teorií programování počítačů byla přitom chybná, a proto je jedním z úolů této nížy nasměrovat čtenáře matematicy správným směrem. A protože se sám považuji za matematia, je mojí povinností udržovat v co největší možné míře taé matematicou správnost textu. Pro většinu matematicého výladu v těchto svazcích stačí záladní znalosti diferenciálního a integrálního počtu, protože většina ostatních potřebných teorií je odvozena přímo v textu. Ve výladu ale občas používám složitější onstruce teorie funcí omplexní proměnné, teorie pravděpodobnosti, teorie čísel a další; v taovém případě odazuji čtenáře na příslušnou učebnici. Nejtěžší rozhodnutí, jaé jsem musel při přípravě těchto svazů učinit, se týalo způsobu výladu různých postupů. Výhody vývojových diagramů a neformálního popisu algoritmů ro za roem jsou dostatečně známé; podrobnější rozbor je uveden napřílad v článu Computer-Drawn Flowcharts z časopisu ACM Communications, roční 6(září 1963, strány Při popisu jaéhooli počítačového algoritmu je nicméně potřeba taé formální, přesný jazy, a proto jsem se musel rozhodnout, jestli pro tyto účely použít vyšší, algebraicý jazy jao ALGOL nebo FORTRAN, nebo strojově orientovaný jazy. Mnozí z dnešních počítačových expertů nebudou zřejmě s tímto názorem souhlasit, ale z následujících důvodů jsem naonec dospěl definitivnímu přesvědčení, že je toto rozhodnutí správné: a Každý programátor je silně ovlivněn jazyem, ve terém píše programy; lidé mají obrovsou tendenci preferovat taové onstruce, teré jsou v daném

10 PŘEDMLUVA ix jazyce nejjednodušší, nioli ty, teré jsou nejlepší pro daný počítač. Porozumí-li programátor strojově orientovanému jazyu, bude používat mnohem efetivnější metody a výrazně se přiblíží realitě. b Všechny programy, teré společně napíšeme, jsou až na něoli málo výjime ráté, taže by je měl být schopen zpracovat praticy jaýoli vhodný počítač. c Jazyy vyšší úrovně jsou nevhodné pro disusi různých důležitých otáze nízé úrovně, jao je linování oprogramů, generování náhodných čísel, aritmetia s vícenásobnou přesností a řada problémů souvisejících s efetivním využíváním paměti. d Člově s vážnějším zájmem o počítače by měl mít dobré znalosti strojového jazya, protože ten je jednou z nejdůležitějších součástí počítače. e Výstupem mnoha softwarových programů, popsaných v řadě příladů, bude ta jao ta nějaý ód ve strojovém jazyce. f Zhruba aždých pět roů přicházejí a vycházejí z módy nějaé nové algebraicé jazyy, zatímco já zde hovořím o záladních, nadčasových principech. Na druhé straně přiznávám, že v programovacích jazycích vyšší úrovně se programypíšíoněcosnázeažesetaévýrazněsnázeladí.zhrubaodrou1970 píšu své vlastní programy ve strojových jazycích nízé úrovně jen výjimečně, protože dnešní počítače jsou dostatečně velé a rychlé. My se ale v této nížce zaměřujeme na celou řadu problémů, u terých má význam programování jao umění. Něteré ombinatoricé výpočty se napřílad musí opaovat biliónrát a aždá miroseunda, o terou zrátíme vnitřní smyču cylu, znamená úsporu zhruba 11,6 dne výpočetního času. Podobně má smysl věnovat větší úsilí i při psaní jaéhooli softwaru, terý se bude používat mnohorát denně v instalacích na mnoha počítačích, protože napsat jej musíme vždy pouze jednou. Máme-li tedy za sebou rozhodnutí pro strojově orientovaný jazy, terý z jazyů to má být? Mohl jsme zvolit jazy nějaého onrétního počítače X, alepotombysilidé,teřípočítači Xnemajípřístup,mohlimyslet,žejetato niha jen pro majitele systému X. Navíc počítač X bude mít nejspíše spoustu různých zvláštností, teré jsou vzhledem látce uváděné v této nize naprosto irelevantní a teré bychom si tato navíc museli vysvětlit; a naonec výrobce počítače Xpřijdezadvaroyspočítačem X+1nebodoonce10Xapočítač X již nebude nioho zajímat. Tomutodilematujsemsevyhnultím,žejsemsepousilvytvořit ideální počítač, terý pracuje podle velmi jednoduchých pravidel(ta se můžete naučit dejme tomu za pouhou hodinu, ale terý zároveň velice připomíná sutečné počítače.nenídůvod,pročbysestudentimělibátučitsevlastnostivícenež jednoho počítače; jamile zvládnou jeden strojový jazy, přizpůsobí se ostatním již snadno. Taé profesionální programátor se ve své ariéře setává s řadou různýchstrojovýchjazyů.jedinouzbývajícínevýhodoutohoto myticého počítače tedy je, že programy pro něj napsané si jen velmi těžo vyzoušíme.

11 x PŘEDMLUVA Naštěstí to ale velý problém není, protože řada dobrovolníů napsala simulátory tohoto hypoteticého počítače. Taovéto simulátory jsou ideální pro výuu, protože se s nimi pracuje ještě snáze než se sutečnými počítači. Ke aždému tématu jsem se pousil citovat ty nejlepší první doumenty a vybíral jsem taé něteré novější práce. V odazech na literaturu používám standardní zraty názvů periodi; výjimou jsou nejčastěji citované časopisy, teré zracuji následujícím způsobem: CACM = Communications of the Association for Computing Machinery JACM = Journal of the Association for Computing Machinery Comp. J. = The Computer Journal(British Computer Society Math. Comp. = Mathematics of Computation AMM = American Mathematical Monthly SICOMP = SIAM Journal on Computing FOCS = IEEE Symposium on Foundations of Computer Science SODA = ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms STOC = ACM Symposium on Theory of Computing Crelle = Journal für die reine und angewandte Mathemati Citaci uvedenou o dvě strány zpět zrátím ta napřílad na zápis CACM 6 (1963, Výrazem CMath označuji dále nihu Concrete Mathematics, teroucitujivúvodudočásti1.2. Velá část odborného obsahu těchto nih je soustředěna do cvičení. Poud jsou za nějaým netriviálním cvičením sryté cizí myšleny, snažím se uvést jejich autora. Příslušné odazy na literaturu jsou obvyle uvedeny v doprovodném textudanéčástinihynebovodpovědinacvičení,alevřaděpřípadůjsoucvičení založena na různém nepubliovaném materiálu, e terému ani nelze uvést další odazy. Při přípravě těchto nih mi samozřejmě po celou tu dobu pomáhala spousta jiných lidí, terým jsem nesmírně zavázán. Děuji především své ženě Jill za její neonečnou trpělivost, za přípravu něolia ilustrací a za nevýslovnou další pomoc. Děuji taé Robertu W. Floydovi, terý v šedesátých letech výrazně pomohl zlepšit tento materiál. Svojí pomocí přispěly i tisíce jiných sepsat jen jejich jména by zabralo celou další nížu! Mnozí z nich lasavě svolili využití jejich dosud nepubliované práce. Moje výzumné práce na Caltech a Stanfordu podporovala po dlouhá léta nadace National Science Foundation a Office of Naval Research. Vyniající pomoc a spolupráci mi posytuje taé vydavatelství Addison-Wesley, a to hned od zahájení projetu v roce Nejlépe ale všem poděuji, dyž jim dnes mohu uázat, že jsem s jejich podlady mohl napsat právě taovou nihu, jaou ode mne očeávali. Předmluva e třetímu vydání Po deseti rocích vývoje systémů počítačové sazby TEX a METAFONT si dnes mohu splnit sen, se terým jsem tyto práce začínal: mohu tyto systémy apliovat

12 PŘEDMLUVA xi na celé dílo Umění programování. Přinejmenším celý text této nihy se nachází uvnitř mého osobního počítače v taové eletronicé podobě, terou bude možné snadno přizpůsobit i budoucím změnám v technologiích zobrazování a tisu. Díy novému uspořádání jsem do textu mohl začlenit doslova tisíce zlepšení, na terá jsem už dlouho čeal. V tomto novém vydání jsem znovu prošel celý text slovo za slovem, pousil jsem se zachovat mladicou nevázanost původních vět a zároveň do nich vnést ouse úsudu zralého muže. Přidal jsem desíty nových cvičení a desítám jiných jsem doplnil nové a rozšířené odpovědi. Kniha Umění programování je vša stále ve vývoji. U něterých částí uvidíte protosymbol vevýstavbě,terýmseomlouvám,žedanýmateriálnení zcela atuální. Šuplíy mám plné důležitého materiálu, terý chci začlenit do posledního, nejslavnějšího, čtvrtého vydání Svazu 1, ale nejprve musím doončit svazy4a5ajejichvydánínechciodládatvíce,nežolijeabsolutněnezbytné. Většinu náročných prací na přípravě nového vydání zajistili Phyllis Winler a Silvio Levy, teří zodpovědně přepsali a upravili text druhého vydání, a dále Jeffrey Oldham, jenž převedl téměř všechny původní ilustrace do formátu META- POST. Opravil jsem vešeré chyby, na teré mne čtenáři druhého vydání upozornili (a taé něoli chyb, terých si nido nevšiml, a pooušel jsem se nezanést nové chyby s novým materiálem. Přesto vím, že v nize nějaé závady být mohou, a aždou z nich chci opravit co nejdříve. Za aždou odbornou, typograficou nebo historicou chybu proto s radostí vyplatím 2,56 dolaru tomu, do ji nalezne jao první. Internetová strána obsahuje informace o této nize (včetně atuálního seznamu všech dosud oznámených chyb a o související literatuře. Stanford, California D. E. K. duben 1997 Za poslední dvě desetiletí se věci změnily. BILL GATES (1995

13 1. Začáte 2. Přečti str. xv xvii 3.N Volná zábava 4. Začni apitolu N Ano Ne 17.N 12? 5. Je zajímavá? Ano Ne Ano 6.N 2? Ne 16. ZvýšitN 7. Začni další část Konec apitoly 15. Jdi spát Poprvé Ano 8.? Ne Ano Ne 14. Jsi unavený? = 5? Ne Ano 11. Přesoč matematiu 10. Zontroluj vzorce 12. Vypracuj cvičení 13. Porovnej odpovědi Vývojový diagram pro čtení této série nih.

14 Procedura pro čtení této série nih 1. Začněte číst tuto proceduru, poud jste ji ještě nezačali číst. Pečlivě poračujte podle následujících roů.(obecný formát procedury a doprovodného vývojového diagramu budeme používat i na jiných místech nížy. 2. Přečtěte si Poznámy e cvičením na stranách xv xvii. 3. Přiřaďte Nrovno1. 4. Začněte číst apitolu N. Nečtěte citáty uvedené na začátu apitoly. 5. Jeprovástémaapitolyzajímavé?Poudano,přejdětenaro7,poud ne,přejdětenaro6. 6. Je N 2?Poudne,přejdětenaro16;poudano,projdětepřestotext apitoly.(kapitoly 1 a 2 obsahují důležitý úvodní materiál a taé přehled záladních techni programování. Přinejmenším prolétněte část apitoly o používaných notacích a o počítači MIX. 7. Začnětesečtenímdalšíčástiapitoly;poudjsteužaledošlinaonec apitoly, přejděte na ro Ječísločástiapitolyoznačenoznaem?Poudano,můžetetutočást při prvním čtení vynechat(věnuje se jistému speciálnímu tématu, teré je zajímavé, ale není úplně podstatné; vraťte se na ro Jstematematicyzdatný?Poudjeprovásmatematia španělsávesnice, přejděte na ro 11; jina poračujte roem Zontrolujte matematicá odvození v této části apitoly(a případné chyby oznamte autorovi. Přejděte na ro Poud je tato část apitoly plná matematicých výpočtů, raději popsaná odvozování vůbec nečtěte. Seznamte se ale s nejdůležitějšími výsledy, teré jsou obvyle uvedeny na začátu, nebo šimým písmem naopa na onci obtížnější části. 12. Vypracujte doporučená cvičení této části apitoly, a to v souladu s poyny uvedenýmivpoznámáchecvičení(tyjstesipřečetlivrou Jamile vypracujete cvičení e své spoojenosti, porovnejte svou odpověď s odpovědí uvedenou v příslušném oddíle zadní části nihy(je-li danému problému nějaá odpověď popsána. Přečtěte si taé odpovědi e cvičením,

15 xiv PROCEDURA PRO ČTENÍ TÉTO SÉRIE KNIH na jejichž vypracování jste neměli čas. Poznáma: Ve většině případů je nejrozumnější si nejprve přečíst odpověď e cvičení n a teprve poté začít pracovat na cvičení n + 1, taže roy se obvyle provádějí souběžně. 14. Jsteunaveni?Poudne,vraťtesenaro Jdětespát.Potévstaňteavraťtesenaro Zvyštečíslo Nojedniču.Poudje N=3,5,7,9,11nebo12,začnětečíst další svaze z celé série. 17. Poudje Nmenšíneborovno12,vraťtesenaro Blahopřejeme. Nyní se pouste přesvědčit taé své přátele, aby si oupili Svaze1azačalijejčíst.Dálesevraťtenaro3. Běda tomu, terý čte jen jednu nihu. GEORGE HERBERT, Jacula Prudentum, 1144 (1640 Le défaut unique de tous les ouvrages c est d être trop longs. (Společným nedostatem všech děl je jejich přílišná déla. VAUVENARGUES, Réflexions, 628 (1746 Knihy jsou malicherné. Jen život je nádherný. THOMAS CARLYLE, Journal (1839

16 POZNÁMKY KE CVIČENÍM Cvičenívtétosériinihjsouvhodnájasamostatnémustudiu,taipro výuu.naučitsenějaétémajenstím,žesiněcopřečteme,alenepousíme se uplatnit poznaty na onrétní problémy, je velmi obtížné, ne-li nemožné, protože teprve při cvičení plně pochopíme, co všechno jsme se naučili. Navíc nejlépe se naučíme to, na co přijdeme sami. Proto tvoří cvičení velou část tohoto díla; pooušel jsem se v nich ale zachovat co nejvíce informativní hodnoty a současně volit taové problémy, teré jsou zajímavé a poučné. V mnoha nihách jsou lehá cvičení nahodile zamíchána mezi ta nejobtížnější. To bývá nědy nešťastné, protože čtenáři rádi dopředu vědí, oli času jim řešení problému asi zabere jina mohou všechny problémy naonec vynechat. Klasicým příladem této situace je niha Dynamic Programming, terou napsal Richard Bellman; je to důležité, průopnicé dílo, v němž jsou ovšem problémy na onci něterých apitol sepsány pod jednotný nadpis Exercises and Research Problems,tedy Cvičeníavýzumnéproblémy ;zdejsouažrajnětriviální otázy zařazeny přímo doprostřed složitých a dosud nevyřešených problémů. Říáse,žeseprýjednounědoDr.Bellmanazeptal,japoznáběžnécvičení od výzumného problému; on tehdy odpověděl: Poud doážete otázu vyřešit, znamenáto,žejetocvičení;jinajetovýzumnýproblém. Dávat do nihy podobného druhu ja výzumné problémy, ta i velmi snadná cvičení, je ovšem z řady důvodů rozumné; abych čtenáři ušetřil nepříjemné dilema, teré otázy jsou teré, označil jsem je číselným hodnocením, jež definuje úroveň obtížnosti. Číselné stupně mají následující obecný význam: Hodnocení Význam 00 Velice snadné cvičení, na teré může čtenář, jenž dobře porozuměl probírané látce, odpovědět oamžitě; taovéto cvičení stačí praticy vždyudělatjen zhlavy. 10 Jednoduchý problém, u něhož se musíte zamyslet nad přečtenou látou, ale terý ještě zdalea není obtížný. Taovéto otázy byste měli zvládnout zhruba do jedné minuty a při řešení vám může pomoci tuža a papír. 20 Průměrně složitý problém, na terém si vyzoušíte záladní porozumění probírané látce; úplné odpovědi můžete ale potřebovat patnáct až dvacet minut. 30 Středně obtížný a/nebo složitý problém; plně uspoojivé odpovědi se dopracujete i více než po dvou hodinách, případně po delší době, poud u toho máte zapnutou televizi.

17 xvi POZNÁMKY KE CVIČENÍM 40 Dosti obtížný nebo rozsáhlý problém, terý může být ve výuce vhodným námětem pro semestrální projet. Student by měl být schopen problém vyřešit v rozumném čase, ale řešení není triviální. 50 Výzumný problém, terý dosud nebyl uspoojivě vyřešen(poud bylo autoroviznámovdoběvzniutextu,idyžseojehořešenímnozí pooušeli. Poud se vám podaří najít odpověď taovémuto typu problému, rozhodně ji publiujte; taé autora těchto stráne velice potěší, jestliže mu o řešení dáte co nejdříve vědět(za podmíny, že je řešení správné. Interpolacítéto logaritmicé stupnicemůžemesnadnovysvětlitijinéčíselné hodnocení. Výraz 17 bude napřílad označovat cvičení, teré je o něco více než průměrně jednoduché. Problémy s hodnocením 50, teré později nějaý čtenář vyřeší, mohou být v dalších vydáních nihy i v erratech na Internetu(viz strana iv označeny číslem 45. Zbyte po dělení číselného hodnocení pěti vyjadřuje objem potřebné rutinní práce. Vyřešit cvičení označené číslem 24 může tedy trvat déle než cvičení shodnocením25,aleecvičenísčíslem25jepotřebavícetvořivosti. Autor se pousil přiřadit číselné hodnocení jednotlivých cvičení co nejpřesněji, ale pro člověa, terý nějaý problém vymyslí, je samozřejmě obtížné odhadnout, ja těžé bude hledat řešení pro něoho jiného; aždý má navíc přirozenévlohyprourčitétypyproblémůaužneprojiné.doufám,žejetoto hodnocení dobrým odhadem obtížnosti; čísla berte ale jen jao rámcové vodíto, nioli jao nějaý absolutní indiátor. Knihu jsem psal pro čtenáře s různým stupněm matematicého vzdělání a nadání; něterá ze cvičení jsou proto určena jen pro matematicy zdatné studenty. Cvičení, jehož řešení je potřeba více matematicého myšlení či motivace, než oli je běžné u lidí, teří se zajímají jen o programování samotných algoritmů, má hodnocení připojeno písmeno M. Poud jsou e cvičení nezbytné znalosti diferenciálního počtu nebo jiné vyšší matematiy, terá není v této nizeodvozena,jeoznačenopísmeny VM.Samotnéoznačení VM ovšem neznamená, že by cvičení nutně muselo být obtížné. Předněterýmicvičenímijeuvedenašipa, ;tauvádíproblémy,teré jsou obzvláště názorné a jejichž řešení je možné čtenáři doporučit. Neočeávám samozřejmě, že aždý čtenář či student vypracuje úplně všechna cvičení, a proto jsem tato označil ta nejcennější.(tím vás ale nechci odradit od těch ostatních! Každý čtenář by se ovšem měl přinejmenším pousit o vyřešení všech problémů s hodnocením 10 a menším; podle šipe se může rozhodnout, terým ze cvičení o vyšším hodnocení dá přednost. Řešení většiny cvičení je uvedeno v seci odpovědí. Ty prosím používejte s rozumem a na odpověď se nedívejte, poud se nepousíte problém poctivě vyřešit sami nebo poud na vyřešení tohoto onrétního problému sutečně nemáte čas. Ažpoté,copřijdetenasvojevlastnířešení,neboseotoalespoňpousíte,může pro vás být vzorová odpověď poučením a návodem. Řešení uvedená v nize jsou často velmi stručná a detailní postupy jsou postaveny na předpoladu, že jste

18 POZNÁMKY KE CVIČENÍM xvii se nejprve poctivě pousili problém vyřešit vlastními silami. Nědy se z řešení dozvíte méně informací, než oli bylo v otázce požadováno, jindy naopa více. Jetaédocelamožné,žesevámpodařínajítlepšíodpověď,nežjaájevnize uvedena;vtomtopřípaděbudeautorpotěšen,poudsesnímořešenípodělíte. V dalších vydáních nihy se pa podle možností objeví zdoonalené řešení spolu se jménem řešitele. Při práci na cvičeních můžete obvyle využívat odpovědi na předchozí cvičení, poud to není výslovně zaázáno. Taé číselná hodnocení jsou definována sohledemnatotopravidlo;jeprotomožné,žecvičení n+1budemítnižší hodnocení než cvičení n, i dyž ve svém speciálním případě využívá výsledů cvičení n. Shrnutí ódů: Doporučené M Matematicy orientované VM Vyžaduje vyšší matematiu 00 Oamžitá odpověď 10 Jednoduchá (do jedné minuty 20 Průměrná (čtvrt hodiny 30 Středně obtížná 40 Semestrální projet 50 Výzumný problém CVIČENÍ 1. [00] Co znamená hodnocení M20? 2. [10] Jaou hodnotu mohou mít cvičení v učebnici pro jejího čtenáře? 3. [14] Doažte, že 13 3 = Svoji odpověď zobecněte. [To je přílad hrozivého typu problémů, terým se autor poouší vyhýbat.] 4. [VM45] Doažte, že pro žádné celé číslon, den>2, nemá rovnicex n +y n =z n žádné řešení v množině ladných celých číselx,y,z. Můžeme našemu problému čelit. Můžeme taovéto sutečnosti zařídit s náležitým řádem a postupem. HERCULE POIROT, v Vražda v Orient Expressu (1934

19 OBSAH Kapitola 1 Záladní principy Algoritmy Matematicé zálady Matematicá induce Čísla, mocniny a logaritmy Součty a součiny Celočíselné funce a teorie čísel Permutace a fatoriály Binomicé oeficienty Harmonicá čísla Fibonacciho čísla Generující funce Analýza algoritmů * Asymptoticá reprezentace * O-notace * Eulerův sumační vzorec * Něteré asymptoticé výpočty Počítač MIX Popis počítače MIX Assembler pro MIX Apliace při výpočtu permutací Něteré záladní techniy programování Podprogramy Koprogramy Interpretační programy Simulátor počítače MIX * Trasovací podprogramy Vstup a výstup Historie a literatura Kapitola 2 Informační strutury Úvod Lineární seznamy Zásobníy, fronty a oboustranné fronty Sevenční aloace Spojová aloace

20 OBSAH xix Kruhové seznamy Obousměrně propojené seznamy Pole a ortogonální seznamy Stromy Průchod binárním stromem Reprezentace stromu binárním stromem Jiné reprezentace stromu Záladní matematicé vlastnosti stromů Volné stromy Orientované stromy * Königovo neonečné lemma * Výčet stromů Déla cesty * Historie a literatura Seznamy a uvolňování paměti Vícenásobně propojené strutury Dynamicá aloace paměti Historie a literatura Odpovědi na cvičení Příloha A Tabuly číselných veličin Záladní onstanty (desítově Záladní onstanty (osmičově Harmonicá čísla, Bernoulliho čísla, Fibonacciho čísla Příloha B Rejstří notací Rejstří a slovníče pojmů

21

22 KAPITOLA PRVNÍ ZÁKLADNÍ PRINCIPY Mnozí lidé, teří nejsou zběhlí v matematicých disciplínách, se domnívají, že poud je jeho úolem [Babbageova Analyticého Počítače] dávat výsledy v číselné notaci, musí mít i jeho procesy aritmeticou a číselnou povahu, nioli algebraicou a analyticou. To je ovšem chyba. Stroj doáže uspořádat a zombinovat svoje číselné veličiny přesně stejně, jao by to byla písmena nebo jiné obecné symboly; a ve sutečnosti může po přijetí odpovídajících opatření podávat výsledy i v algebraicé notaci. AUGUSTA ADA, hraběna z Lovelace (1844 Zísej cvi, probůh, v malých věcech; potom poračuj v těch velých. EPIKTÉTOS (Epitétovy rozpravy IV.i 1.1. ALGORITMY Slovo algoritmus je při programování počítačů natoli záladním pojmem, že musíme začít jeho pečlivým rozborem. Užsamotnéslovo algoritmus jedocelazajímavé:naprvnípohledtovypadá,jaobynědochtělnapsat logaritmus,aleprvníčtyřipísmenatrochu zpřeházel. V anglicém slovníu Webster s New World Dictionary se toto slovo objeviloažvroce1957;dotédobyjsmezdenalezlijenjehostaršípodobu algorism sještěstaršímvýznamem,terýmbyloprováděníaritmeticýchvýpočtů s arabsými číslicemi. Za středověu totiž abaisté počítali na abau a algoristé pomocí algorismů. V období renesance byl ale původ tohoto slova nejasný a první lingvisté se pooušeli vysvětlit je různými ombinacemi, napřílad algiros[bolestný]+arithmos[číslo]; jiní tvrdili, že slovo pochází od astilsého rále Algora. Naonec ale historiové matematiy nalezli sutečný původ slova algorism: pochází ze jména slavného persého matematia a autora učebnic, terý se jmenoval Abū Abd Allāh Muḥammad ibn Mūsā al-chwārizmī(c. 825, doslova otecabdulláha,mohammeda,synmojžíšův,narozenývchorezmu. Aralsému moři ve Střední Asii se totiž dysi říalo jezero Chorezm(Chvárizm, v anglicé transripci Khwārizm a oblast Chorezm se nachází v povodí řey Amu-Darji jižně od tohoto moře. Al-Chwārizmī napsal slavný arabsý text Kitāb al-jabrwa l-muqābala( Pravidlaproodvozováníasrovnávání ;zesamotného názvu nihy, terá se systematicy věnovala řešení lineárních a vadraticých rovnic,papocházídalšídůležitéslovo, algebra.[bližšípojednáníoživotě a díle al-chwārizmīho najdete v článu H. Zemane, Lecture Notes in Computer Science 122(1981, 1 81.]

23 2 ZÁKLADNÍ PRINCIPY 1.1 Tvarivýznampůvodníhoslovaalgorismsealepostupněposunula ja vysvětluje slovní Oxford English Dictionary slovo prošlo množstvím pseudoetymologicých zomolení, mimo jiné nedávným slovem algoritmus, teré se vědecyzaměňuje sřecýmpůvodemslovaaritmetia.jestližesiuvědomíme, že lidé dávno zapomněli originální původ slova, není těžé tento posun od slova algorism algoritmus pochopit.jedenzprvníchněmecýchmatematicých slovníů, Vollständiges mathematisches Lexicon(Leipzig: 1747, definuje slovo Algoritmus následovně: Pod tímto pojmem vysytují se významy čtyř typů aritmeticýchvýpočtů,jmenovitěsčítání,odčítání,násobeníadělení. Latinsým výrazem algorithmus infinitesimalis se v té době označovaly způsoby výpočtů sneonečněmalýmiveličinami,terévynalezlleibniz. Do rou 1950 bylo slovo algoritmus spojováno nejčastěji s Eulidovým algoritmem, terý slouží e zjištění největšího společného dělitele dvou čísel a terý jeuvedenveulidovědílezálady(kniha7,věta1a2.neníodvěcisinyní Eulidův algoritmus uvést: Algoritmus E (Eulidův algoritmus. Jsou-li dána dvě ladná celá čísla m a n, najděte jejich největšího společného dělitele, tedy největší ladné celé číslo, terým jsou beze zbytu dělitelná čísla m i n. E1.[Nalezení zbytu.] Vydělte m číslem n a nechť r je zbyte.(znamená to, že 0 r < n. E2.[Jezbyterovennule?]Poud r=0,algoritmusončíanjeodpověď. E3.[Reduce.]Přiřaďte m n, n r,avraťtesenaroe1. Eulides samozřejmě neuváděl svůj algoritmus v přesně tomto znění. Na tomto zápise si pouze ilustrujeme, jaým způsobem budeme uvádět i ostatní algoritmy v této nize. Každý rozebíraný algoritmus zde dostane písmenné označení(v předcházejícím příladu to bylo E a jednotlivé roy mají označení stejného písmene následovaného číslicí(e1, E2, E3. Kapitoly nihy jsou rozděleny do částí a v aždé části stačí identifiaci algoritmu jen jeho písmeno; poud se ale odvoláváme na algoritmus z jiné části nihy, doplníme i číslo části. Nyní se napřílad nacházíme v části 1.1, a proto ve stejné části nihy budeme Eulidův algoritmus nazývat jen jao Algoritmus E, zatímco v dalších částech to bude Algoritmus 1.1E. Každý ro algoritmu, jao napřílad ro E1, začíná rátou frází v hranatých závorách, terá co nejstručněji vystihuje podstatný význam rou. Stejnou frázi najdeme obvyle taé v doprovodném vývojovém diagramu, jehož přílad je na obrázu 1, taže čtenář si činnost algoritmu může lépe představit. Ne E1. Nalezení zbytu E2. Je zbyte roven nule? E3. Reduce Ano Obr. 1. Vývojový diagram Algoritmu E

24 1.1 ALGORITMY 3 Za tímto stručným shrnutím následuje popis, terý pomocí slov a symbolů vyjadřuje prováděnou aci či operaci nebo nějaé rozhodování. Mohou zde být uvedenytaéomentářevzávorách,jaojevroue1druhávěta.tyobsahují různé vysvětlující informace a často popisují jisté invarianty neboli neměnné vlastnosti proměnných, případně cíle, teré je třeba v tomto rou splnit. Nepopisují ta ace vlastního algoritmu, ale co nejvíce pomáhají čtenáři při jeho pochopení. Šipa vroue3jezevšehonejdůležitějšíoperace,asicenahrazení, nědynazývanátaépřiřazenínebosubstituce: m n znamená,žehodnotu proměnné m nahradíme atuální hodnotou proměnné n. Při zahájení algoritmu E obsahují hodnoty proměnných m a n původně zadaná čísla, ale při jeho sončení již v nich budou obvyle jiné hodnoty. Šipa ta odlišuje operaci nahrazení od relacerovnosti:neříáme Nechť m=n,alemohlibychomsezeptat, Je m= = n? Znaméno = označujetedypodmínu,naterousemůžemeptát (testovat, zatímco vyjadřuje aci (operaci, terou je možné provést. Operacizvýšení nojedničuzapíšemetudížvýrazem n n+1 (čtete n budenahrazenoza n+1 nebo do nzapíšeme n+1.výraz proměnná vzorec paobvyleznamená,ževypočtemevzorecnazáladěsoučasných hodnot zapsaných v proměnných a poté výsledem nahradíme dosavadní hodnotu proměnné uvedené vlevo od šipy. Lidé bez znalostí práce s počítačem mívají slony vyjadřovat operaci zvýšení n o jedniču větou n bude rovno n + +1 azapisovatjijao n n+1 ;tatosymboliavedeovšemjenezmatení, protože je v rozporu se standardními zvylostmi, a proto ji nepoužívejte. Všimněte si, že v rou E3 je významné i pořadí jednotlivých ací: nechť m n, n r mánaprostojinývýznamnež nechť n r, m n,protože u druhého uvedeného zápisu se předchozí hodnota n ztratí, a nemůžeme ji tedy zapsatdo m.druhásevenceoperacíjetedyevivalentnízápisu nechť n r, m r.přiřazenístejnéveličinydoněoliaproměnnýchmůžemevyjádřit něoliašipamiposoběanapříladmísto n r, m r zapsat n m r.výměnuhodnotdvouproměnnýchmůžemestručnězapsat Vyměnit m n ;stejouoperacimůžemedefinovattaépomocínovéproměnné t,seterou napíšeme: Nechť t m, m n, n t. Každý algoritmus začíná roem o nejnižším čísle, obvyle roem 1, a další roy provádí v běžném sevenčním pořadí, není-li řečeno jina. V rou E3 jenapříladuvedenpříaz vraťtesenaroe1,terýzřejmýmzpůsobem definuje pořadí roů ve výpočtu. V rou E2 je před operací uvedena podmína Poud r=0 ;je-litedy r 0,zbytepříazujižneplatíažádnáoperacese neprovádí. Mohli bychom doplnit další větu, terá je již ale redundantní: Poud r 0,přejdětenaroE3. Silnávertiálníčára naonciroue3označujeonecalgoritmu,za terým opět poračuje běžný text. Nyní jsme tedy rozebrali praticy všechny onvence používané v této nize pro zápis algoritmů, jen s výjimou notace indexovaných polože, teré definují prvyuspořádanéhopole.dejmetomu,žemáme nveličin, v 1, v 2,...,v n ;namísto zápisu v j budemečasto j-týelementoznačovatpomocínotace v[j].podobně

25 4 ZÁKLADNÍ PRINCIPY 1.1 zápis a[i, j]nahrazujenědynotacisdvojitýmindexem, a ij.proměnnébývají taé označovány identifiátorem z něolia písmen, napřílad TEMP může být název proměnné pro dočasné uložení vypočtené hodnoty, PRIME[K] může být K-té prvočíslo apod. Toli tedy formě algoritmů a nyní zusíme jeden provést. Na tomto místě je ale třeba čtenáře upozornit, že se algoritmy nedají číst jao texty v rásné literatuře; při taovéto lehé četbě bychom těžo pochopili, o co v něm jde. Algoritmu musíme věřit a nejlépe jeho význam pochopíme ta, že si jej vyzoušíme.čtenářbysiměleaždémualgoritmuvzíttužuapapírazusit si jej ihned projít. Obvyle bude načrtnut hotový funční přílad, jindy si jej čtenář snadno sestaví sám. Je to jednoduchý a bezbolestný způsob, ja daný algoritmus pochopit; jaýoli jiný postup bývá obvyle neúspěšný. ProjděmesitedynynípříladAlgoritmuE.Nechťjedáno m=119an= = 544; můžeme tedy začít roem 1.(Čtenář může lasavě sledovat činnost algoritmu,podleznámého šolahrou.dělení mčíslem njevtomtopřípadě jednoduché, snad až příliš jednoduché, protože neúplný podíl je roven nule azbyteje119.mámetedy r 119.PoračujemeroemE2,aprotože r 0,neprovádímežádnouoperaci.VrouE3přiřadíme m 544, n 119. Jezřejmé,žepoudbylopůvodně m < n,budeprvnípodílvroue1vždy nula,aalgoritmustavdalšímroufaticyvyměníproměnné man,idyž poněud těžopádným způsobem. Mohli bychom doplnit nový ro: E0.[Zajistit m n.]poudje m < n,vyměňte m n. Pro samotný algoritmus by to neznamenalo žádnou podstatnou změnu, jen bychom ho tím mírně prodloužili a zhruba v polovině případů bychom zároveň zrátili dobu jeho provádění. Vrátíme-lisezpětdorouE1,zjistíme,že544/119=4+68/119,taže r 68.PodmínavE2taopětneplatíavrouE3přiřadíme m 119, n 68.Přidalšímprůchodudostáváme r 51anásledně m 68, n 51. Ještějedenprůchoddávýslede r 17am 51, n 17.Naonecdělíme51 číslem17aonečněmáme r 0,tažealgoritmusvrouE2sončí.Největší společnýdělitelčísel119a544je17. To je tedy algoritmus. Moderní význam slova algoritmus je hodně podobný výrazům jao recept, proces, metoda, technia, procedura, postup, bláboly, jen slovo algoritmus znamenápřecejentrošuněcojiného.algoritmusjenejen onečnou množinou pravidel, terá popisují posloupnost operací pro řešení jistého typu problémů, ale zároveň musí splňovat pět důležitých vlastností: 1 Konečnost. Algoritmus musí vždy po onečném počtu roů sončit. Popsaný algoritmus E tuto podmínu splňuje, protože po provedení rou E1 je hodnotaproměnné r menší než n;poudtedy r 0,hodnotaproměnné n se v příštím průchodu roem E1 sníží. Každá lesající posloupnost ladných celýchčíselmusíjednousončit,aprotoseiroe1přiaždédanéhodnotě n provádí jen po onečný počet opaování. Poznamenejme ale, že počet roů (průchodů může být libovolně velý; při vhodně zvolených velých hodnotách manseroe1můžeprovésttřebavícenežmilionrát.

26 1.1 ALGORITMY 5 (Proceduru, terá vyazuje všechny charateristicé vlastnosti algoritmu, ale terá nemusí splňovat podmínu onečnosti, můžeme nazývat výpočetní metoda.eulides původně vytvořil nejen algoritmus výpočtu největšího společného dělitele dvou čísel, ale taé velmi podobný geometricý postup pro onstruci největšíspolečnémíry déledvouúseče;poudjsoualedélyobouzadaných úseče nesouměřitelné, tato výpočetní metoda nesončí. Jiným příladem neuončené výpočetní metody je reativní proces, terý nepřetržitě reaguje na podněty ze svého prostředí. 2 Určitost. Každý ro algoritmu musí být přesně definován a pro aždý případ v něm musí být s určitostí a jednoznačností popsány prováděné operace. Algoritmy v této nížce budou(doufejme tuto podmínu splňovat, jsou ale napsány v přirozeném jazyce, taže se může stát, že čtenář neporozumí přesně záměrům autora. Pro přeonání těchto obtíží s jednoznačnou interpretací se algoritmy zapisují ve formálně definovaných programovacích jazycích neboli počítačových jazycích, de má aždý příaz přesně určený význam. Celá řada algoritmů budevtétonizepopsánajavběžném,taivpočítačovémjazyce.vyjádření jisté výpočetní metody v počítačovém jazyce je označováno jao program. Kritérium určitosti u rou E1 v algoritmu E vyjadřuje, že čtenář přesně rozumí,coznamenávydělitčíslo mčíslem nastanovitzbyte.poudale man nejsou ladná celá čísla, není přesný výlad této operace jednotný: jaý je zbyte po dělení 8 děleno π? A jaý je zbyte 59/13 děleno nulou? Kritérium určitosti zde tedy mimo jiné znamená, že musíme před provedením rou E1 zontrolovat, zdajsouhodnoty manvždyladnáceláčísla.nazačátujetatopodmína splněna díy předpoladu; po provedení rou E1 je již r určitě nezáporné celé číslo,apoudsedostanemenaroe3,musíbýtzároveňnenulové.tažečísla m a n jsou sutečně při dělení vždy ladná a celá, ja potřebujeme. 3 Vstup. Každý algoritmus má nula nebo více vstupů: to jsou veličiny, teré do algoritmu zadáme před jeho zahájením nebo teré načteme dynamicy za běhu. Tyto vstupy se přebírají z určené množiny objetů. V algoritmu E máme napříladdvavstupy,jmenovitě man,avolímejezmnožinyladnýchcelých čísel. 4 Výstup. Algoritmus má taé jeden nebo více výstupů: to jsou veličiny, teré mají zadaný vztah e vstupům. Algoritmus E má jeden výstup, a to proměnnou n definovanou v rou E2, terá nabude hodnoty největšího společného dělitele obou vstupních veličin. (Že je toto číslo sutečně největším společným dělitelem, to můžeme snadno doázat; podívejme se na důaz. Po provedení rou E1 dostáváme m=qn+r, pronějaéceléčíslo q.poud r=0,je mnásobemčísla navtaovémpřípadě je samozřejmě zároveň největším společným dělitelem čísel m a n. Jestliže r 0, pajaéoličíslo,teréjedělitelem man,musíbezezbytudělittaé m qn= = rajaéoličíslo,teréjedělitelem nar,musíbezezbytudělit qn+r=m; množina společných dělitelů čísel {m, n} je tudíž stejná jao množina společných

27 6 ZÁKLADNÍ PRINCIPY 1.1 dělitelů čísel {n, r}. Zejména pa největší společný dělitel čísel {m, n} je stejný jao největší společný dělitel čísel {n, r}. Kro E3 proto nezmění odpověď na náš původní problém. 5 Efetivita. Algoritmus by měl být zároveň efetivním, což znamená, že všechnyjehooperacemusíbýtvrozumnémířejednoduché,tažebyjevprincipuměl být schopen přesně a za onečnou dobu provést dooli s tužou a papírem. Algoritmus E používá jen operace dělení jednoho ladného celého čísla druhým, testování rovnosti celého čísla s nulou a přiřazení hodnoty jedné proměnné do druhé proměnné. Tyto operace jsou efetivní, protože celá čísla se dají na papíře vyjádřit onečným způsobem a protože existuje nejméně jedna metoda( algoritmusdělení proděleníjednohočísladruhým.stejnéoperacealenebudou efetivní, poud za obě hodnoty zvolíme libovolná reálná čísla s neonečným desetinným rozvojem nebo poud místo nich zadáme délu úsečy(terou taé nelze přesně stanovit. Jiným příladem neefetivního rou může být: Poud je 4 největší celé číslo n, pro teré existuje řešení rovnice w n + x n + y n = = z n vladnýchcelýchčíslech w, x, yaz,přejdětenaroe4. Taováto věta nemůže být efetivní operací, doud nědo úspěšně nevytvoří algoritmus, terým by zjistil, jestli 4 je, nebo není největším číslem s uvedenou vlastností. Porovnejme nyní pojem algoritmu s receptem z uchařsé nihy. Každý recept je s nejvyšší pravděpodobností onečný(i dyž se říá, že hrnec, na terý se jen díváme, nezačne vařit, má nějaé vstupy(vejce, mouu atd. a taé výstupy(večeře podle televize apod., zároveň mu ale zoufale chybí určitost. V uchařsých nihách najdeme až příliš často různé neurčité instruce: Přidejtešpetusoli. Taová špeta jedefinovánajao méněnež 1 / 8 ávové lžičy adefinicesolibymělabýtjasnáaždému;aleammámesůlpřidat nahoru? nebo na stranu? Podobné instruce jao zleha promíchávejte, doud nenísměshladá,nebo ohřejteoňavmalépánvi jsoudostatečnýmvysvětlením snad jen pro zušeného šéfuchaře; algoritmus musí být ale specifiován do taového stupně přesnosti, že podle něj může pracovat i počítač. I počítačový programátor se nicméně může studiem uchařy hodně naučit.(autor jen těžo odolávalpoušenínazvattentosvaze Kuchařouprogramátora ;možnáse jednohodnepousínapsatnihusnázvem Algoritmydouchyně. Nutno poznamenat, že samotná podmína onečnosti není pro praticé použití dostatečně silná. Aby byl algoritmus užitečný, musí sončit nejen po onečném, ale po velmi onečném, tedy rozumném počtu roů. Existuje napřílad algoritmus, terý zjistí, jestli bílý může šachovou partii vždy vyhrát, poud neudělá chybu(viz cvičení Tento algoritmus doáže tedy vyřešit problém,oterýseživězajímajítisícelidínacelémsvětě,alepřestosemůžeme v lidu vsadit, že za svého života odpověď nepoznáme; provedení algoritmu totiž trvá přímo nesutečné množství času, i dyž je sám onečný. Výlad na téma ta velých čísel, terá jsou již za hranicemi normálního chápání, najdete v apitole 8. V praxi ovšem požadujeme nejen nějaé algoritmy, ale taové algoritmy, teré jsou v jaémsi volně definovaném esteticém smyslu dobré. Jedním z ri-

28 1.1 ALGORITMY 7 térií dobrého algoritmu je doba nezbytná jeho provedení; můžeme ji vyjádřit taé počtem opaování aždého rou. Dalším ritériem může být adaptabilita algoritmu pro různé typy počítačů, jeho jednoduchost a elegance atd. Často je řešením jednoho stejného problému hned něoli algoritmů, z nichž musíme vybrat ten nejlepší. Tím se dostáváme jedné velice zajímavé a současně důležité oblasti analýzy algoritmů: je-li dán nějaý algoritmus, stanovte jeho výonovou charateristiu. Uvažujme napřílad znovu Eulidův algoritmus a předpoládejme tuto otázu: Poudjehodnotačísla npevnědaná,ale mmůženabývatlibovolnéholadnéhoceléhočísla,jaýmprůměrnýmpočtemopaování T n projdevalgoritmue roe1? Nejprvesemusímepřesvědčit,jestlimátatootázavůbecsmysluplnou odpověď, protože se pooušíme stanovit průměr z neonečně mnoha hodnot m. Jealezřejmé,žejižpoprvnímprovedenírouE1jepodstatnýpouzezbytepo dělení mčíslem n.prozjištěníčísla T n námtedystačívyzoušetalgoritmuspro m=1, m=2,..., m=n,spočítatcelovýpočetprovedeníroue1avýslede podělit číslem n. Nynípřicházídůležitáotázastanovenípovahyčísla T n ;budepřibližněrovno 1 3 n,nebotřeba n?stanovitodpověďnataovoutootázujeneobyčejněobtížný a fascinující matematicý problém, terý dosud není úplně vyřešen; podrobněji semuvěnujemevčásti4.5.3.proveléhodnotyčísla njemožnédoázat,že je T n přibližněrovno ( 12(ln2/π 2 lnn,tedyžejepřímoúměrnépřirozenému logaritmu čísla n, přičemž násobící onstantu by sotva do doázal přímo odhadnout! Podrobnější informace Eulidově algoritmu a dalším způsobům výpočtu největšího společného dělitele najdete v části Výrazem analýza algoritmů popisuje autor různá šetření podobného charateru. Záladní myšlenou je vzít určitý algoritmus a stanovit jeho vantitativní chování; příležitostně taé zoumáme, jestli daný algoritmus je nebo není v jistém slova smyslu optimální. Teorie algoritmů je zcela jiné téma, teré se zabývá především existencí nebo neexistencí efetivního algoritmu pro výpočet určitých veličin. Zatím byl náš výlad algoritmů poměrně málo přesný a matematicy orientovaný čtenář se může po právu domnívat, že předcházející text je jen velmi chatrným záladem pro výstavbu jaéoli teorie algoritmů. Tuto část textu uzavřeme proto stručným popisem jisté metody, pomocí níž můžeme pojem algoritmu pevně zaotvit do sféry matematicé teorie čísel. Definujeme proto formálněvýpočetnímetodujaočtveřici(q, I,Ω, f,de Qjemnožinaobsahující podmnožinyziaω,afjezobrazenízmnožiny Qdosebesama.Navíc fmusí býtnapodmnožiněωidenticé,tedy f(qmusíbýtrovno qprovšechna qzω. Uvedené čtyři veličiny Q, I, Ω, f po řadě reprezentují stavy výpočtu, vstupy, výstupy a výpočetní pravidla. Každý vstup x v množině I definuje následujícím způsobemvýpočetníposloupnost x 0, x 1, x 2,...: x 0 = x a x +1 = f(x pro 0. (1 Říáme, že výpočetní posloupnost ončí v rocích, poud je nejmenší celé číslo,proteré x náležídoω;zároveňříáme,žezxjeodvozenvýstup x.